Graph và một số ứng dụng trong chương trình THPT pptx

DANH MỤC HÌNH VẼ
Trang
Hình 1.1 Đồ thị hàm số y = sinx 4
Hình 1.2 Đồ thị biểu diễn ví dụ 1 5
Hình 1.3 Đồ thị biểu diễn ví dụ 2 6
Hình 1.4 Đồ thị biểu diễn ví dụ 3 6
Hình 1.5 Biểu diễn phẳng của Graph 7
Hình 1.6 Biểu diễn Graph con và Graph thành phần 8
Hình 1.7 Biểu diễn bậc của đỉnh 9
Hình 1.8 Dãy cạnh kế tiếp 9
Hình 1.9 Biểu diễn cạnh có hướng 12
Hình 2.1 Ma trận kề đồ thị vô hướng không trọng số và đồ thị có hướng có
tróng số 14
Hình 2.2 Biểu diễn cài đặt đồ thị bằng danh sách cạnh trên mảng và trên danh
sách móc nối 17
Hình 2.3 Đồ thị vô hướng không trọng số 20
Hình 2.4 Biểu diễn Graph bằng danh sách kề 22
Hình 2.5 Đồ thị vô hướng 24
Hình 2.6 Ma trận kề đồ thị trọng số vô hướng và đồ thị trọng số có hướng 31
Hình 2.7a Đồ thị trọng số có hướng 31
Hình 2.7b Biểu diễn đồ thị trọng số bằng danh sách lân cận kề 31
Hình 2.8 Đồ thị vô hướng có trọng số ví dụ 4 33
Hình 2.9 Cây khung DFS(1) và cây khung BFS(1) 37
Hình 2.10 Đồ thị vô hướng có trọng số ví dụ 5 40
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 1
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT GRAPH 4
1.1. Khái niệm cơ bản về graph 4
1.1.1. Những bài toán và vấn đề dẫn đến khái niệm graph [1] 4

1.1.2. Định nghĩa graph và các khái niệm cơ bản 7
1.1.3. Graph con và graph thành phần 8
1.2. Phân loại graph 9
1.2.1. Graph vô hướng 9
1.2.2. Graph có hướng 12
1.3. Kết luận chương 1 13
Chương 2
MỘT SỐ THUẬT TOÁN CƠ BẢN TRÊN GRAPH 14
2.1. Biểu diễn graph trên máy tính 14
2.1.1. Biểu diễn bằng ma trận lân cận [6] 14
2.1.2. Biểu diễn bằng danh sách cạnh [6] 17
2.1.3. Biểu diễn danh sách lân cận [6] 19
2.2. Phép duyệt một graph 24
2.2.1. Tìm kiếm theo chiều sâu 24
2.2.2. Tìm kiếm theo chiều rộng 26
2.2.3. Tìm đường đi và kiểm tra tính liên thông của đồ thị 28
2.3. Đồ thị trọng số 30
2.3.1. Khái niệm 30
2.3.2. Biểu diễn đồ thị trọng số 30
2.4. Đường đi trên đồ thị trọng số 32
2.4.1. Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh đến tất cả các đỉnh
khác 32
Độ phức tạp của giải thuật: Thuật toán Dijkstra tìm được đường đi ngắn
nhất trên đồ thị sau thời gian cỡ O(n2). [2] 33
Ví dụ 4: Cho đồ thị vô hướng có trọng số G trong hình 2.8 dưới đấy. Tìm
đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến tất cả các đỉnh khác trong G 33
Ma trận trọng số của đồ thị có dạng: 33
Kết quả tính toán theo thuật toán được trình bày trong bảng dưới đây.
Quy ước viết hai thành phần của nhãn theo thứ tự: d[v], Truoc[v]. Đỉnh
được đánh dấu ‘*’ là đỉnh được chọn để cố định nhãn ở bước lặp đang

xét, nhãn của nó không biến đổi ở các bước tiếp theo, vì thế ta đánh dấu
34
Bước lặp 34
Đỉnh 1 34
Đỉnh 2 34
Đỉnh 3 34
Đỉnh 4 34
Khởi tạo 34
0, 1 34
10, 1 34
6, 1 34
2, 1* 34
1 34
34
5, 4 34
3, 4 * 34
34
2 34
34
5, 4 * 34
34
34
34
Nhận xét: Từ bảng kết quả ta có thể truy xuất ra được đường đi từ đỉnh 1
tới tất cả các đỉnh còn lại trong đồ thị như sau: 34
Đường đi từ đỉnh 1 tới đỉnh 2: 34
Ta có đỉnh trước đỉnh 2 là Truoc[2] = 4 vậy 4 là đỉnh trước đỉnh 2 trên
đường đi này 34
Trước đỉnh 4 là Truoc[4] = 1 vậy 1 là đỉnh trước đỉnh 4 trên đường đi
này 34

Dừng, ta thu được đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 tới đỉnh 2 là: 34
1 – 4 – 2 với độ dài đường đi ngắn nhất là d[2] = 5 34
Tương tự ta có các đường đi sau: 34
Đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến đỉnh 3 là: 1 – 4 – 3 với độ dài đường đi
ngắn nhất là d[3] = 3 34
Đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến đỉnh 4 là: 1 – 4 với độ dài đường đi
ngắn nhất là d[4]=2 34
2.4.2. Thuật toán Floyd tìm đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh34
- Khởi tạo: 36
36
Nhận xét: Đường đi từ đỉnh 1 tới các đỉnh còn lại trong đồ thị: 36
Đường đi từ đỉnh 1 đến đỉnh 2: 36
Trước 2 là p[1,2]=4 vậy 4 là đỉnh trước 2 trên đường đi này. 36
Trước 4 là p[1,4]=0, vậy đỉnh 1 đứng trước đỉnh 4 trên đường đi này 36
Dừng, đường đi thu được là: 1 – 4 – 2 với độ dài đường đi là d[1,2] = 5 36
Tương tự ta tìm được đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến đỉnh 3 là: 1 – 4 – 3
với độ dài d[1,3] = 3. 36
Do p[1,4] = 0 nên đường đi từ đỉnh một tới đỉnh 4 là đường đi trực tiếp với
độ dài là p[1,4]= 2 36
Để tìm đường đi giữa tất cả cặp đỉnh còn lại trong đồ thị ta làm tương tự 36
2.5. Cây khung và cây khung với giá trị cực tiểu 37
2.6. Kết luận chương 2 45
Chương 3
ỨNG DỤNG GRAPH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG 47
CHƯƠNG TRÌNH TIN HỌC PHỔ THÔNG 47
3.1. Giới thiệu một số bài toán về đồ thị trong chương trình tin học trung
học phổ thông 47
3.2. Một số bài toán về phép duyệt đồ thị 47
3.2.1. Bài toán 1- Đếm số thành phần liên thông [4] 47
3.2.2. Bài toán 2 - Dự tiệc 50

3.2.3. Bài toán 3 - Bản đồ [2] 52
3.3. Một số bài toán về đường đi trong đồ thị 53
3.3.1. Bài toán 1 - Đường đi [4] 53
3.3.2. Bài toán 2 - Du lịch [4] 56
3.3.3. Bài toán 3 - Đến trường [7] 58
3.4. Một số bài toán về cây khung đồ thị 61
3.4.1. Bài toán 1 - Dự án 61
3.4.2. Bài toán 2 - Thay hệ thống [4] 64
3.4.3. Bài toán 3 – Bão Sơn Tinh 66
3.5. Kết luận chương 3 70
KẾT LUẬN 71
TÀI LIỆU THAM KHẢO 72
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trên thực tế có nhiều bài toán liên quan tới một tập các đối tượng và
những mối liên hệ giữa chúng, đòi hỏi toán học phải đặt ra một mô hình biểu
diễn một cách chặt chẽ và tổng quát bằng ngôn ngữ ký hiệu, đó là đồ thị.
Những ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra từ thế kỷ thứ XVIII bởi nhà toán
học Thụy Sĩ Leonhard Euler, ông đã dùng mô hình đồ thị để giải bài toán về
những cây cầu Konigsberg nổi tiếng. Mặc dù Lý thuyết đồ thị đã được khoa
học phát triển từ rất lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại. Đặc biệt trong
khoảng vài chục năm trở lại đây, cùng với sự ra đời của máy tính điện tử và
sự phát triển nhanh chóng của Tin học, Lý thuyết đồ thị càng được quan tâm
đến nhiều hơn. Đặc biệt là các thuật toán trên đồ thị đã có nhiều ứng dụng
trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: Mạng máy tính, Lý thuyết mã, Tối ưu
hoá, Kinh tế học v.v
Một trong các mục tiêu khi đưa tin học vào nhà trường là nhằm giúp cho
học sinh có khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa vấn
đề và đặc biệt là phát triển tư duy. Hiện nay, có nhiều bài toán trong chương
trình trung học phổ thông được giải quyết nhờ vận dụng lý thuyết đồ thị. Để

tìm hiểu sâu về lý thuyết đồ thị và ứng dụng của nó trong chương trình tin học
phổ thông nên em đã chọn đề tài “Graph và một số ứng dụng trong chương
trình trung học phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu một số vấn đề về Graph như các khái niệm cơ bản về Graph, phân
loại Graph… Để hiểu sâu sắc hơn lý thuyết Graph, cài đặt một số thuật toán, từ
đó ứng dụng lý thuyết Graph vào chương trình tin học phổ thông để giải quyết
một số bài toán liên quan.
3. Nội dung tìm hiểu, nghiên cứu
• Một số vấn đề về lý thuyết về Graph.
• Một số thuật toán cơ bản trên Graph.
1
• Ứng dụng lý thuyết Graph vào giải quyết một số bài toán cụ thể trong
chương trình tin học phổ thông.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu các tài liệu về lý thuyết đồ thị và các bài
toán liên quan.
• Phương pháp thực nghiệm: Lập trình kiểm thử, tìm hiểu thông tin trong
một số Website trên mạng.
• Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết các kiến thức đã học tập được.
• Tham khảo ý kiến chuyên gia: Tiếp thu ý kiến đóng góp của các thầy cô
và ý kiến của các bạn bè.
Cấu trúc của đề tài
Mở đầu: Nêu ra lý do chọn đề tài, phương pháp, nội dung tìm hiểu và mục
đích nghiên cứu, cấu trúc đề tài.
Chương 1: Một số vấn đề về lý thuyết Graph.
Chương 2: Một số thuật toán cơ bản trên Graph: Tìm hiểu và cài đặt
các thuật toán cơ bản trên Graph cụ thể như: biểu diễn Graph trên máy tính,
phép duyệt Graph, tìm đường đi và kiểm tra tính liên thông của Graph….Các
thuật toán được cài đặt trên ngôn ngữ lập trình Pascal.

Chương 3: Ứng dụng của Graph vào chương trình Tin học phổ thông:
Đưa ra và vận dụng lý thuyết Graph vào cài đặt một số bài toán cụ thể trong
chương trình tin học phổ thông theo từng dạng: Bài toán duyệt đồ thị, bài toán
về đường đi trên đồ thị, bài toán về cây khung đồ thị.
Kết luận: Nêu ra những vấn đề đã tìm hiểu, một số công việc chính đã
được thực hiện, hướng phát triển tiếp theo của đề tài trong tương lai.
Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, TS Nguyễn Mạnh Đức - Giảng viên
Tin học, Khoa Toán, Đại học Sư phạm Thái Nguyên, người đã trực tiếp
hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình làm đề tài.
2
Em xin chân thành cảm ban chủ nhiệm Khoa Toán cùng các Thầy, Cô
trong khoa đã tạo điều kiện để em thực hiện đề tài này.
Tôi cũng xin cảm ơn các bạn sinh viên, người thân đã động viên, giúp đỡ
trong thời gian thực hiện đề tài.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013
Sinh viên
Vi Văn Sơn
3
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT GRAPH
1.1. Khái niệm cơ bản về graph
1.1.1. Những bài toán và vấn đề dẫn đến khái niệm graph [1]
Hai chữ “đồ thị” vẫn thường xuyên xuất hiện trong toán học và cả trong
đời sống hàng ngày. Trong các giờ học toán, chúng ta có nói tới đồ thị của các
hàm số. Chẳng hạn, trong hình dưới có biểu diễn đồ thị của hàm số y=sinx.
Trong các công sở, các nhân viên phải
lập các biểu đồ theo dõi số lượng tiêu thụ
điện hoặc xăng dầu hàng tháng,và họ cũng
có thể gọi những biểu đồ đó là đồ thị
Tóm lại khái niệm đồ thị là một khái niệm

toán học khá quen thuộc đối với chúng ta
nhằm biểu diễn tương quan đi lại hai đối tượng hoặc nhiều đối tượng toán học
khác nhau.
Lý thuyết đồ thị (theo tiếng Anh và tiếng Đức đọc là: “graph”) nghiên cứu
những tính chất toán học, những quan hệ mà không phụ thuộc vào bản chất
riêng của những mối quan hệ này. Để tránh khỏi bị nhầm là đồ thị của hàm
số, ta sử dụng thuật ngữ “graph” trong tài liệu này ở các phần tiếp theo.
Graph là một mô hình toán học có thể dùng để giải quyết khá nhiều bài
toán và vấn đề toán học. Một graph có thể hiểu đơn giản là một hệ thống các
đỉnh và các cạnh nối với nhau. Gần với mô hình lí thuyết graph là các bài toán
thoáng qua như những bài toán hình học mà thực chất việc giải quyết chúng
không thể chỉ sử dụng những kiến thức hình học thông thường. Trên mặt
phẳng, có những bài toán dường như là bài toán hình học như thế, nhưng
chúng ta có thể xem xét một số ví dụ để thấy không chỉ có thể dùng kiến thức
hình học để giải quyết được chúng. Việc muốn giải quyết những bài toán này
4
Hình 1.1. Đồ thị hàm số y =sinx
cần đi sâu hơn nữa vào những mối quan hệ toán học của các đối tượng toán
học trong bài toán. Một số ví dụ có nguồn gốc phát sinh từ các bài toán hình
học mà bản chất thực sự của nó là các bài toán về lí thuyết grap.
Ví dụ 1:
Có ba cái nhà và ba cái giếng. Mỗi nhà có ba đường đi từ nó tới ba cái
giếng đó. Hỏi có thể làm những con đường đi như vậy sao cho không có hai
con đường nào cắt nhau hay không?
Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể giả sử là các
nhà là các điểm A
1
, A
2
, A

3
trên mặt phẳng và các giếng là
các điểm B
1
, B
2
, B
3
nào đó. Các con đường đi là các đường
(liên tục) nối các đỉnh A
i
với các đỉnh B
i
.
Khi đó, câu hỏi của bài toán là liệu có những điểm A
i
tới các điểm B
i
trên mặt phẳng sao cho không có hai con đường nào cắt nhau
hay không? Bằng cách thiết lập mô hình này, chúng ta đã thiết lập một graph
có 6 đỉnh và 9 cạnh.
Chúng ta thấy rằng để giải bài toán này, các kiến thức hình học không còn
giúp gì được cho chúng ta nữa. Bài toán đòi hỏi phải có kiến thức sâu sắc hơn
về mối quan hệ nào đó của quan hệ các đỉnh và các cạnh. [1]
Nhưng không phải chỉ với một số bài toán hoặc một số vấn đề toán học có
nguồn gốc hình học mới có thể đưa về mô hình đỉnh – cạnh như trên. Mô hình
đỉnh – cạnh của chúng ta tỏ ra là mô hình rất hiệu quả để nắm bắt được chính
xác bản chất toán học thật sự của nhiều đối tượng toán học. Các đỉnh được
biểu diễn cho các đại lượng tham gia và các cạnh nối chúng biểu diễn mối
quan hệ đi lại của chúng theo một tiêu chuẩn nào đó được đưa ra.

Ví dụ 2:
Hãy biểu thị graph quan hệ không nguyên tố cùng nhau của các số trong
tập hợp { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
5
Hình 1.2. Đồ thị biểu
diễn ví dụ 1
Bài toán này được giải quyết bằng phương pháp graph như sau: Trước hết
ta chọn 6 điểm trên mặt phẳng biểu diễn cho 6 số 1, 2, 3, 4, 5 và 6. Các điểm
này được tô đậm để phân biệt với giao điểm của các cạnh của graph.
Chúng ta nối hai đỉnh của graph bởi một đường nối (hình 1.3) nếu hai số
tương ứng với hai đỉnh của chúng không nguyên tố cùng
nhau. Trong biểu diễn graph như vậy, chúng ta có thể nhận
ra ngay rằng có 3 số đôi một không nguyên tố cùng nhau.
Mối quan hệ giữa các đại lượng ta xét rất có thể còn là
các mối quan hệ trong đời sống. Chẳng hạn, cũng graph trong hình 2 biểu thị
các mối quan hệ quen biết của 6 người, được đánh số từ 1 đến 6, nếu cho biết
họ quen nhau khi số thứ tự tương ứng của họ không nguyên tố cùng nhau.
Trong các ví dụ trên, các đỉnh của graph được nối bởi các cạnh cũng có thể
có hướng và chỉ nối các đỉnh khác nhau với nhau. Trong lý thuyết graph các
cạnh cũng có thể có hướng.
Ví dụ 3:
Có một trận đấu bóng bàn có một số đấu thủ cùng tham gia. Hai đấu thủ
bất kì phải đấu với nhau đúng một hiệp. Điểm được cho mỗi hiệp là thắng 1
điểm, thua 0 điểm (không có hòa). Hỏi có khi nào trận đấu kết thúc với kết
quả là tất cả các đấu thủ đều bằng điểm nhau hay không?
Ta biểu diễn các đấu thủ tương ứng thành các đỉnh của một graph
Hai đỉnh x và y của graph được nối bởi một cạnh có hướng đi từ x tới y
nếu như đấu thủ x thắng đấu thủ y. Bài toán được đặt ra là có thể có graph
tương ứng với n đấu thủ sao cho các đỉnh có số cạnh
xuất phát từ chúng bằng nhau.

Trong hình 1.4 là một graph thỏa mãn yêu cầu
của bài toán với n=5.
6
Hình 1.4. Đồ thị
biểu diễn ví dụ 3
Hình 1.3. Đồ thị biểu
diễn ví dụ 2
Trong nhiều trường hợp, chúng ta chấp nhận những cạnh nối một đỉnh đã
cho với chính nó. Loại này được gọi là cạnh khuyên trong graph.
Trong lý thuyết graph có cho phép giữa hai đỉnh có thể có nhiều cạnh nối.
Trong trường hợp có nhiều cạnh (ít nhất là hai) nối 2 đỉnh khác nhau nào đó
của một graph, thì ta gọi cạnh đó là cạnh kép.
1.1.2. Định nghĩa graph và các khái niệm cơ bản
Thông thường chúng ta hay kí hiệu một graph bởi chữ G (chữ cái đầu của
từ “Graph” trong tiếng Đức, ngôn ngữ dùng để viết cuốn sách đầu tiên về lí
thuyết graph). Còn tập đỉnh thường được kí hiệu bởi chữ V (là chữ cái đầu
tiên của từ “Vertices”) và tập cạnh bởi chữ cái E (chữ cái đầu của từ
“Edges”). Graph không có cạnh có hướng thường được kí hiệu là G=(V,E),
còn graph có các cạnh có hướng được kí hiệu là G=[V,E]. Việc dùng kí hiệu
này không bắt buộc, mà chỉ là một thói quen mà thôi.
Định nghĩa đồ thị: Một đồ thị G = (V, E) bao gồm một tập hữu hạn V =
{v
1
, v
2
,…v
n
} các đỉnh (nút) và 1 tập hữu hạn E = {(v
i
, v

j
), v
i
, v
j

∈
V} các cặp
đỉnh gọi là cung (hay cạnh). Nếu (v
i
, v
j
)
∈
E thì ta nói có một cung nối v
i
với
v
j
. Nếu cung (v
i
, v
j
) khác cung (v
j
, v
i
) thì G là đồ thị có hướng, ngược lại là
không hướng.
Một graph được gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ được trên một mặt phẳng

mà không có cạnh nào cắt nhau (ở một điểm không phải là điểm mút của các
cạnh). Hình vẽ như thế được gọi là một biểu diễn phẳng của graph.

Như chúng ta đã thấy trong các ví dụ trên, graph thường được biểu diễn
trên mặt phẳng: các đỉnh được tô đậm và các cạnh nối các đỉnh là các đoạn
thẳng hoặc là các đường cong nối các đỉnh này với nhau. Ngoài ra, chúng ta
7
Hình 1.5. Biểu diễn phẳng
của Graph
phải lưu ý rằng một graph có thể có nhiều biểu diễn trên mặt phẳng khác
nhau. Trong hình 1.5 chúng ta có hai biểu diễn trên mặt phẳng khác nhau của
một graph.
Graph được phân loại theo tính chất cạnh của chúng. Trong mỗi graph các
cạnh của graph thẳng hay cong, dài hay ngắn, các đỉnh ở vị trí nào, đều không
phải là điều quan trọng. Mà điều quan trọng là graph có bao nhiêu cạnh và
đỉnh nào được nối với đỉnh nào.
Một graph được gọi là graph vô hướng nếu tất cả các cạnh của nó đều là
cạnh vô hướng. Graph được gọi là graph có hướng nếu tất cả các cạnh của nó
đều là cạnh có hướng. Đỉnh xuất phát của một cạnh có hướng được gọi là
đỉnh đầu, và đỉnh kết thúc của cạnh được gọi là đỉnh cuối của nó. Trong
trường hợp graph có cả cạnh vô hướng cũng như cạnh có hướng thì graph
được gọi là graph hỗn hợp. Một graph được gọi là graph đơn nếu nó không
có khuyên và không có cạnh kép. Ngoài ra, ta gọi graph điểm là graph có
đúng một đỉnh và không có cạnh nào. Graph rỗng dùng để gọi một graph
không có đỉnh và cạnh nào cả.
1.1.3. Graph con và graph thành phần
Cho trước một graph G với tập đỉnh X và tập cạnh E.
Một graph G’ với tập đỉnh X’ và tập cạnh E’ được gọi là
graph con của graph G nếu X’
⊂

X và E’
⊂
E. Trong
trường hợp X’ là tập con của X vả E’ là tập hợp tất cả
các cạnh của G nối hai đỉnh của X’, thì G’ được gọi là
graph thành phần của G và còn được gọi là graph sinh
bởi tập đỉnh X’.
Graph trong hình 1.6 có các cạnh được tô đậm là graph con của graph
được biểu diễn trong hình. Nếu thêm vào nó hai cạnh a và b thì ta được
một graph thành phần đã cho. Graph rỗng là graph thành phần của mọi
graph cho trước.
8
Hình 1.6. Biểu diễn
Graph con và Graph
thành phần
1.2. Phân loại graph
1.2.1. Graph vô hướng
1.2.1.1. Bậc của đỉnh
Trong phần này chúng ta chỉ xét những graph vô
hướng, tức là những graph mà các cạnh của chúng không
có hướng. Ta gọi bậc của một đỉnh là số cạnh xuất phát từ
đỉnh đó (các khuyên được tính gấp đôi). Bậc của một đỉnh
là một số không âm. Một đỉnh được gọi là đỉnh cô lập nếu
nó không có cạnh nào cả, tức là khi đỉnh có bậc là 0. Đỉnh
có bậc bằng 1 là đỉnh treo.
Graph trong hình 1.7 có A là đỉnh cô lập, D là đỉnh treo. Đỉnh B có bậc là
3, đỉnh C có bậc là 2.
Lưu ý rằng : trong một graph đơn vô hướng với n đỉnh thì bậc của một
đỉnh bất kì luôn là một số nguyên không âm không vượt
n-1.

1.2.1.2. Dãy cạnh kế tiếp
Cho trước một graph G với tập đỉnh V và tập cạnh E.
Hai cạnh của một graph cho trước gọi là hai cạnh kề
nhau nếu như chúng có một đỉnh chung. Một dãy m
cạnh e
i
= (A
i,
A
i+1
) với i=1, 2,…,m được gọi là một dãy
cạnh nối tiếp và thường được kí hiệu là: H = (A
1
, e
1
, A
2
,

e
2
,…, e
k
,A
k+1
)
Trong trường hợp G là một graph đơn thì ta có thể biểu diễn một dãy cạnh
kế tiếp qua các đỉnh của chúng, chẳng hạn dãy cạnh kế tiếp của H của ta ở
trên được kí hiệu đơn giản là: H = (A
1

, A
2
,

A
3
,…,A
k+1
)
Theo định nghĩa thì một dãy các cạnh liên tiếp kề nhau (mỗi cạnh kề với
cạnh tiếp theo) chưa hẳn đã là dãy cạnh kế tiếp. Một dãy các cạnh liên tiếp kề
nhau là một dãy các cạnh kế tiếp chỉ khi đỉnh chung của một cạnh bất kì
9
Hình 1.7. Biểu diễn
bậc của đỉnh
Hình 1.8. Dãy
cạnh kế tiếp
(không phải là khuyên) với cạnh đứng trước nó và cạnh đứng sau nó khác
nhau. Trong một dãy cạnh kế tiếp, một cạnh của graph có thể xuất hiện nhiều
lần. Số m các cạnh được gọi là là độ dài của dãy cạnh kế tiếp. Cho trước dãy
cạnh kế tiếp H = (A
1
, e
1
, A
2
,

e
2

,…, e
k
,A
k+1
), đỉnh A
1
được gọi là đỉnh đầu vả
đỉnh A
k+1
được gọi là đỉnh cuối của H. H còn được gọi là dãy cạnh kế tiếp nối
A
1
với A
k+1
. Trong trường hợp A
1
≠ A
k
, dãy cạnh kế tiếp H được gọi là dãy
cạnh kế tiếp không khép kín. Còn khi A
1
= A
k
thì H được gọi là dãy cạnh kế
tiếp khép kín [1].
Một dãy cạnh kế tiếp e
1
, e
2
,…, e

k
với e
i
≠

e
j
cho mọi i ≠ j được gọi là một
xích đơn. Một xích đơn với đỉnh đầu là A và đỉnh cuối là B được gọi là một
xích đơn nối A với B.
1.2.1.3. Chỉ số liên thông
Khi biểu diễn một graph trên mặt phẳng, chúng ta đã thấy rằng có nhiều
khi hình biểu diễn của chúng là những cụm tách rời nhau không được nối với
nhau. Tương ứng với mỗi hình rời nhau như vậy là một graph thành phần của
graph đã cho mà ta sẽ gọi là một phần liên thông của graph cho trước.
Để chính xác hóa khái niệm liên thông, trước hết chúng ta nói hai đỉnh của
một graph cho trước là liên thông với nhau nếu có một dãy cạnh kế tiếp nối
chúng với nhau trong graph đã cho. Một đỉnh cho trước luôn được coi là liên
thông với chính nó (được nối với chính nó bởi một dãy cạnh kế tiếp có độ dài
0). Một graph được gọi là liên thông nếu hai đỉnh bất kì của nó liên thông với
nhau. Quan hệ “liên thông” có những tính chất cơ bản sau [1]:
a) Mỗi đỉnh a của graph liên thông với chính nó.
b) Nếu a liên thông với b thì b liên thông với a.
c) Nếu a liên thông với b và b liên thông với c, thì a liên thông với c.
Thực chất đây là một quan hệ tương đương trong tập hợp các đỉnh của
graph. Quan hệ tương đương này chia tập đỉnh của graph thành các lớp có hai
tính chất sau:
10
1) Các đỉnh thuộc cùng một lớp thì liên thông với nhau.
2) Các đỉnh không cùng thuộc một lớp không liên thông với nhau.

Các lớp đỉnh này là đỉnh của graph thành phần liên thông trong graph cho
trước, được gọi là thành phần liên thông của graph đã cho.
1.2.1.4. Đường đi trong graph
Trong thực tế ứng dụng của cuộc sống, ta thường gặp một khái niệm khác
của dãy cạnh kế tiếp là những dãy cạnh kế tiếp được tuân thủ nguyên tắc tối
ưu là chúng không đi qua đỉnh nào của graph quá một lần. Một dãy cạnh kế
tiếp trong một graph cho trước được gọi là một đường đi nếu chúng không đi
qua đỉnh nào của graph quá 1 lần. Cũng tương tự như với dãy cạnh kế tiếp,
nếu a và b là hai đỉnh đầu tiên và đỉnh cuối cùng của đường W, thì ta nói rằng
W nối a với b. Chúng được gọi là đỉnh đầu và đỉnh cuối của con đường và
được xem là phải khác nhau.
Thông thường, đường đi được biểu diễn thông qua các đỉnh và các cạnh
nối chúng, chẳng hạn: W = (p
1
, e
1
, p
2
, e
2
, p
3
, e
3
,…, e
k-1
, P
k
)
với p

i
là các đỉnh và e
i
là các cạnh của W. Đặc biệt, khi graph cho trước là
graph đơn, thì ta có thể biểu diễn một đường đi thông qua tập đỉnh của nó,
chẳng hạn: W = (p
1
, p
2
, p
3
,…, P
k
)
Số cạnh của một đường đi được gọi là độ dài của nó.
1.2.1.5. Chu trình của graph
Khi định nghĩa đường đi nối hai đỉnh a và b của một graph, ta luôn giả
thiết rằng các đỉnh a và b này phải khác nhau. Trong trường hợp a và b được
nối với nhau bởi một cạnh, thì khi thêm cạnh (a, b) vào, ta thu được từ con
đường đã cho một chu trình. Như vậy chu trình là một dãy cạnh kế tiếp khép
kín sao cho mỗi đỉnh của graph được đi qua không quá một lần.
Chu trình được kí hiệu bởi việc đưa ra các cạnh và các đỉnh liên tiếp nhau
trên chu trình. Chẳng hạn, nếu chu trình C đi qua các đỉnh p
1
, p
2
, …, p
k
và các
cạnh e

1
, e
2
, …, e
k
thì ta viết: C = (p
1
, e
1
, p
2
, e
2
, …, p
k
, e
k
, p
1
)
11
Trong trường hợp graph là một đơn graph, thì thay vì viết rõ các cạnh và
các đỉnh, chu trình được xác định duy nhất qua việc gọi tên các đỉnh nó đi
qua. Chẳng hạn chu trình C ở trên có thể viết thành: C = (p
1
, p
2
,…, p
k
, p

1
).
Số cạnh của chu trình được gọi là độ dài của chu trình và thông thường
hay được kí hiệu bởi l(C). Một khuyên lập thành một chu trình có độ dài 1.
Một graph cho trước chỉ có chu trình có độ dài 2 nếu như nó có cạnh kép.
Trong một graph đơn mỗi chu trình có độ dài ít nhất là 3.
Một graph không đơn hiển nhiên luôn có ít nhất một chu trình (có độ dài 1
hoặc 2). Trong graph đơn không phải lúc nào ta cũng có thể tìm thấy một chu
trình. Chẳng hạn các graph biểu diễn sơ đồ cấp điện, hoặc các sơ đồ cấp nước
chẳng hạn.
1.2.2. Graph có hướng
1.2.2.1. Khái niệm cơ sở của graph có hướng
Một graph được gọi là graph (hữu hạn) có
hướng khi nó chỉ có các cạnh có hướng mà ta còn
gọi là các cung.
Một cung u được xác định nhờ điểm đầu x và
điểm cuối y, mà ta thường kí hiệu u = [x, y], trong
đó x được gọi là đỉnh xuất phát và y được gọi là đỉnh đích của u. Chúng ta
cũng nói rằng u liên hợp với đỉnh x và đỉnh y.
Graph có hướng G với tập đỉnh X và tập cạnh E thường được kí hiệu bởi
G = [X, E]. Một graph có hướng cũng được biểu diễn trên mặt phẳng bởi một
hình, trong đó các đỉnh được biểu diễn thành các điểm tô đậm, các cạnh có
hướng và các cung là các đường liên tục và được bổ sung bởi mũi tên thể hiện
chiều đi từ đỉnh xuất phát tới đỉnh đích. Các cung có cùng đỉnh xuất phát và
đỉnh đích được gọi là các cung song song. Nếu đỉnh xuất phát và đỉnh đích có
cùng một cung u trùng nhau thì cung u này được gọi là khuyên có hướng. Một
graph không có cung song song và khuyên có hướng nào cả được gọi là
12
x
y

u
Hình 1.9. Biểu
diễn cạnh có
hướng
graph có hướng đơn. Ta nói rằng cung u liên hợp với đỉnh x, nếu như x là
đỉnh xuất phát hoặc là đỉnh đích của cung u. Nếu cung u liên hợp với đỉnh x,
thì cung u được gọi là liên hợp hướng ra ngoài (liên hợp hướng vào trong) đối
với đỉnh x là đỉnh xuất phát (đỉnh đích) của cung u.
1.3. Kết luận chương 1
Trong chương này chúng ta đã tìm hiểu tổng quan một số vấn đề về lý
thuyết đồ thị: Đưa ra một số bài và vấn đề dẫn đến khái niệm Graph, đưa ra
khái niệm cơ bản về Graph, Phân loại Graph, Lý thuyết về Graph vô hướng,
Graph có hướng… Trong đó có các khái niệm về bậc của đỉnh, chỉ số liên
thông, khái niệm về đường đi và chu trình trong Graph…
13
Chương 2
MỘT SỐ THUẬT TOÁN CƠ BẢN TRÊN GRAPH
2.1. Biểu diễn graph trên máy tính
Để giải quyết các bài toán về graph bằng máy tính, chúng ta cần phải lưu
giữ graph trong bộ nhớ. Có nhiều biểu diễn cấu trúc được sử dụng để biểu
diễn graph. Việc lựa chọn cấu trúc nào là tùy thuộc vào các ứng dụng và các
phép xử lý cần tác động lên graph trong ứng dụng ấy. Có hai cách biểu diễn
graph thường dùng: Dùng ma trận kề và dùng danh sách kề.
2.1.1. Biểu diễn bằng ma trận lân cận [6]
Giả sử G=(V, E) là một graph đơn có số đỉnh (Ký hiệu |V|) là n, không mất
tính tổng quát có thể coi các đỉnh được đánh số từ 1, 2,…, n. Khi đó ta có thể
biểu diễn đồ thị bằng một ma trận vuông A = [a
ij
] cấp n. Trong đó:
• a

ij
= 1 nếu (i, j)
∈
E
• a
ij
= 0 nếu (i, j)
∉
E
• Quy ước a
ij
= 0 với
∀
i;
Đối với đa đồ thị thì việc biểu diễn cũng tương tự trên, chỉ có điều nếu như
(i, j) là cạnh thì không phải ta ghi số 1 vào vị trí a
ij
mà là ghi số cạnh nối đỉnh
i với j.
Ví dụ:

14
Hình 2.1. Ma trận kề đồ thị vô hướng
không trọng số và đồ thị có hướng không
trọng số.
Các tính chất của ma trận lân cận [6]:
1. Đối với graph vô hướng G, thì ma trận lân cận tương ứng là ma trận đối
xứng (a
ij
= a

ji
), điều này không đúng với đồ thị có hướng.
2. Nếu G là graph vô hướng và A là ma trận lân cận tương ứng thì trên ma
trận A:
Tổng các số trên hàng i = tổng các số trên cột i = Bậc của đỉnh i = d
G
(i)
Trong trường hợp G là graph đơn, ta có thể biểu diễn ma trận lân cận A
tương ứng là các phần tử logic. a
ij
= 1 nếu (i, j)
∈
E và a
ij
= 0 nếu (i, j)
∉
E.
Trong rất nhiều vấn đề ứng dụng của lý thuyết graph, mỗi cạnh e =(i, j)
của graph được gán với một con số c(e) (còn viết là c(i, j)) gọi là trọng số của
cạnh e. Graph trong trường hợp đó được gọi là graph có trọng số. Đối với
graph có trọng số, thay vì ma trận kề, để biểu diễn graph ta sử dụng ma trận
trọng số: Thay c[i, j] là trọng số c(i ,j) của cung (i, j) nếu có cung. Nếu không
có cung (i, j) thì người ta đặt a
ij
bằng một giá trị đặc biệt nào đó, có thể là 0,
+∞, hoặc -∞ tùy từng trường hợp cụ thể.
*Ưu điểm của ma trận lân cận:
• Đơn giản, trực quan, dễ cài đặt trên máy tính.
• Để kiểm tra xem hai đỉnh (u, v) của đồ thị có kề nhau hay không, ta chỉ
việc kiểm tra bằng một phép so sánh a

ij
≠ 0.
*Nhược điểm của ma trận lân cận:
• Bất kể số cạnh của graph là nhiều hay ít, ma trận lân cận luôn đòi hỏi n
2
ô nhớ để lưu các phần tử của ma trận, điều đó gây lãng phí bộ nhớ dẫn tới
việc không thể biểu diễn được đồ thị với số lượng đỉnh lớn.
Với một đỉnh u bất kỳ của đồ thị, nhiều khi ta phải xem xét tất cả các đỉnh
v khác kề với nó, hoặc xét tất cả các cạnh liên thuộc với nó. Trên ma trận lân
cận việc đó được thực hiện bằng cách xét tất cả các đỉnh v và kiểm tra điều
kiện a
uv
≠ 0. Như vậy ngay cả khi đỉnh u là đỉnh cô lập (không kề với đỉnh
nào) hoặc đỉnh treo (chỉ kề với 1 đỉnh) ta cũng buộc phải xét tất cả các đỉnh
và kiểm tra điều kiện trên dẫn tới lãng phí thời gian.
15
Chương trình sau biểu diễn graph vô hướng bằng ma trận kề trên ngôn ngữ
Pascal:
• Input: Nhập từ bàn phím số đỉnh, số cạnh, với mỗi cạnh (i, j) ta nhập đỉnh
đầu i và đỉnh cuối j.
• Output: Ma trận lân cận A với a
ij
= 1 nếu i kề với j, ngược lại thì a
ij
= 0.
Chương trình:
uses crt;
const fo='MATRANKE.INP';
var f:text;
a:array[1 100,1 100] of byte;

i,j,n,m:integer;
procedure init;
var x,y:integer;
begin
writeln('Nhap so dinh va so canh cua do thi: ');
readln(n,m);
for i:= 1 to m do
begin
writeln(' Nhap dinh dau va dinh cuoi canh ',i,' : ');
readln(x,y);
a[x,y]:=1;
a[y,x]:=1;
end;
end;
procedure process;
begin
assign(f,fo); rewrite(f);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
write(f,a[i,j],' ');
writeln(f);
end;
close(f);
16
end;
begin
clrscr;
init;
process;

readln
end.
2.1.2. Biểu diễn bằng danh sách cạnh [6]
Trong trường hợp graph có n đỉnh, m cạnh, ta có thể biểu diễn graph dưới
dạng danh sách cạnh, trong cách biểu diễn này, người ta liệt kê tất cả các cạnh
của graph trong một danh sách, mỗi phần tử của danh sách là một cặp (u, v)
tương ứng với một cạnh của graph. (Trong trường hợp graph có hướng thì mỗi
cặp (u, v) tương ứng với một cung, u là đỉnh đầu và v là đỉnh cuối của cung).
Danh sách được lưu trong bộ nhớ dưới dạng mảng hoặc danh sách móc nối.
Ưu điểm:
• Trong trường hợp graph thưa (có số cạnh tương đối nhỏ: chẳng hạn
m < 6n), cách biểu diễn bằng danh sách cạnh sẽ tiết kiệm được không gian
lưu trữ, bởi nó chỉ cần 2m ô nhớ để lưu danh sách cạnh.
17
Hình 2.2. Biểu diễn cài đặt đồ thị bằng danh sách cạnh trên mảng
và trên danh sách móc nối.
• Trong một số trường hợp, ta phải xét tất cả các cạnh của graph thì cài
đặt trên danh sách cạnh làm cho việc duyệt các cạnh dễ dàng hơn. (Thuật toán
Kruskal chẳng hạn).
Nhược điểm:
• Nhược điểm cơ bản của danh sách cạnh là khi ta cần duyệt tất cả các
đỉnh kề với đỉnh v nào đó của graph, thì chẳng có cách nào khác là phải duyệt
tất cả các cạnh, lọc ra những cạnh có chứa đỉnh v và xét đỉnh còn lại. Điều đó
khá tốn thời gian trong trường hợp graph dày (nhiều cạnh).
Chương trình sau biểu diễn graph vô hướng bằng danh sách móc nối trên
ngôn ngữ Pascal:
• Input: Nhập từ bàn phím số đỉnh, số cạnh, với mỗi cạnh (i, j) ta nhập
đỉnh đầu i và đỉnh cuối j.
• Output: Danh sách các cạnh của graph.
Chương trình:

uses crt;
type ds=^node;
node =record
dau,cuoi:integer;
next:ds;
end;
var canh,list:ds;
i,m:integer;
procedure init;
var x,y:integer;
begin
list:=nil;
write('Nhap so canh cua do thi: ');
readln(m);
for i:=1 to m do
begin
write('Nhap thong tin dinh dau va dinh cuoi canh ',i);
readln(x,y);
18
new(canh);
canh^.dau:=x;
canh^.cuoi:=y;
canh^.next:=list;
list:=canh;
end;
end;
procedure xuatds;
var k:byte;
begin
k:=1;

while (list<>nil) do
begin
writeln('Dinh dau va dinh cuoi canh ',k,' :
',list^.dau,' ',list^.cuoi);
list:=list^.next;
end;
end;
begin
clrscr;
init;
xuatds;
readln
end.
2.1.3. Biểu diễn danh sách lân cận [6]
Để khắc phục nhược điểm của phương pháp ma trận lân cận (kề) và danh
sách cạnh, người ta đề xuất phương pháp biểu diễn graph bằng danh sách kề.
Trong cách biểu diễn này, với mỗi đỉnh v của graph, ta cho tương ứng với nó
một danh sách các đỉnh kề với v.
Với graph G = (V, E). V gồm n đỉnh và E gồm m cạnh. Có hai cách cài đặt
danh sách kề phổ biến:
19
Cách 1: (Forward Star) Dùng một mảng các đỉnh, mảng đó chia làm n
đoạn, đoạn thứ i trong mảng lưu danh sách các đỉnh kề với đỉnh i: Ví dụ với
đồ thị trên, danh sách kề sẽ là một mảng A gồm 12 phần tử [6]:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 5 1 3 1 2 4 3 5 1 4
1 2 3 4 5
Để biết một đoạn nằm từ chỉ số nào đến chỉ số nào, ta có một mảng lưu vị
trí riêng. Ta gọi mảng lưu vị trí đó là mảng Head. Head[i] sẽ bằng chỉ số đứng
liền trước đoạn thứ i. Quy ước Head[n + 1] sẽ bằng m. Với graph trên thì

mảng Head[1 6] sẽ là: (0, 3, 5, 8, 10, 12). Như vậy đoạn từ vị trí Head[i]+1
đến Head[i+1] trong mảng A sẽ chứa các đỉnh kề với đỉnh i. Lưu ý rằng với
graph có hướng gồm m cung thì cấu trúc Forward Star cần phải đủ chứa m
phần tử, với graph vô hướng m cạnh thì cấu trúc Forward Star cần phải đủ
chứa 2m phần tử.
Chương trình sau biểu diễn graph vô hướng bằng danh sách kề trên ngôn
ngữ Pascal:
• Input: Nhập từ bàn phím số đỉnh, số cạnh, với mỗi cạnh (i, j) nhập đỉnh
đầu i và đỉnh cuối j.
• Output: Với mỗi đỉnh i, in ra danh sách các đỉnh kề với i, với danh sách
các đỉnh được lưu trữ theo cách 1.
Chương trình:
uses crt;
20
Hình 2.3. Đồ thị vô hướng
không trọng số.