Hàm rbf và một số ứng dụng trong đồ họa máy tính

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên






ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN






Trần Đức Thụ





HÀM RBF VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH



Chuyên nghành: Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Đặng Quang Á




Thái Nguyên 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT:
IMQ: Inverse Multi Quadric
MQ: Multi Quadric
RBF: Radian Basic Function

DANH MỤC BẢNG
Bảng 1.1: Sai số nội suy hàm Frank với

= 3
11
Bảng 2.1 : So sánh phƣơng pháp trực tiếp và phƣơng pháp nhanh
26
Bảng 2.2: So sánh việc khớp hàm RBF và thời gian tính toán trên máy
tính PIII tốc độ 550MHz Ram 512
33
Bảng 2.3: So sánh yêu cầu lƣu trữ của việc nội suy bằng RBF và các
lƣới đƣợc suy ra
36

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 2.1: Khớp hàm RBF và phục hồi lƣới bằng RBF
15
Hình 2.2: Mô tả các điểm ngoài bề mặt
18
Hình 2.3: Khôi phục một bàn tay
18
Hình 2.4: Mặt cắt qua các ngón tay
20
Hình 2.5: Phƣơng pháp điều chỉnh nhanh
25
Hình 2.6: Thuật toán tham lam cho việc khớp RBF
25
Hình 2.7: Rút gọn tâm
28
Hình 2.8: Xấp xỉ dữ liệu LIDAR
31
Hình 2.9: Mức làm trơn
31
Hình 2.10: Gia công đẳng mặt
32
Hình 2.11: Lấp lỗ và ngoại suy bề mặt
34
Hình 2.12: Biểu diễn các đối tƣợng phức tạp
35
Hình 2.13: Khôi phục hành tinh Eros
35
Hình 3.1: Dữ liệu 3D tải vào
40
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Hình 3.2: Lƣới thu đƣợc sau khi đổi trật tự mảng giá trị và các đối số
43
Hình 3.3: Bề mặt đƣa vào
44
Hình 3.4: Bề mặt với các đƣờng pháp tuyến
45
Hình 3.5: Bề mặt với các đƣờng pháp tuyến có đô dài < 0,5mm bị loại
bỏ
46
Hình 3.6: Bề mặt sau khi khớp không có sự rút gọn tâm
48
Hình 3.7: Bề mặt sau khi khớp có sự rút gọn tâm
49
Hình 3.8: Tính giá trị bề mặt trên lƣới 3D
50
Hình 3.9: Lƣới mới đƣợc sinh ra
51
Hình 3.10: Lƣới đa giác đƣợc sinh ra
52

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1. Hàm cơ sở bán kính (RBF) 3
1.1.1. Nội suy dữ liệu rời rạc 3
1.1.2. Ma trận và hàm xác định dƣơng 5
1.1.3. Hàm cơ sở bán kính 6

1.1.4. Hàm xác định dƣơng và đơn điệu hoàn toàn 6
1.1.5. Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dƣơng có điều
kiện
7
1.1.6. Ví dụ nội suy bằng RBF 10
1.2. Bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D 11

Chƣơng 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO CÁC
BÀI TOÁN KHÔI PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƢỢNG 3D
14
2.1. Các bề mặt ẩn 15
2.2. Khớp một hàm ẩn vào bề mặt 16
2.3. Nội suy hàm cơ sở bán kính 23
2.4. Các phƣơng pháp nhanh 26
2.5. Rút gọn tâm 27
2.6. Xấp xỉ dữ liệu nhiễu bằng RBF 29
2.7. Tính toán bề mặt 30
2.8. Các kết quả 32
2.9. Kết luận 37

Chƣơng 3: KHAI THÁC PHẦN MỀM FASTRBF 38
3.1. Phần mềm FastRBF làm gì 38
3.2. Ai có thể sử dụng phần mềm FastRBF 38
3.3. Những lợi ích của phần mềm FastRBF 38
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3.4.Các ứng dụng 39
3.5. Các kết quả đạt đƣợc khi sử dụng phần mềm FastRBF 39
3.5.1. Khớp và tính toán dữ liệu 3D 39
3.5.1.1. Rút gọn tâm RBF 41

3.5.1.2. Tính toán lƣới 3D 42
3.5.2. Khớp dữ liệu bề mặt 3D 43
3.5.2.1. Khớp bề mặt vào dữ liệu lƣới 43
3.5.2.2. Gia công đẳng mặt 51
3.6. Kết luận 53
KẾT LUẬN 54
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỞ ĐẦU
Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, con ngƣời
đã ứng dụng những thành tựu của nó trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau. Máy
tính đã trở thành một công cụ hỗ trợ đắc lực cho con ngƣời trong việc xử lý
dữ liệu một cách nhanh chóng và chính xác.
Đồ họa máy tính là một lĩnh vực của khoa học máy tính nghiên cứu các
phƣơng pháp và kỹ thuật biểu diễn và thao tác các dữ liệu số hóa của các vật
thể trong thực tế. Lĩnh vực này đƣợc phát triển dựa trên nền tảng của hình học
họa hình, hình học tính toán, hình học vi phân cùng nhiều kiến thức toán học
của đại số và giải tích, cũng nhƣ các thành tựu của phần cứng máy tính.
Thuật ngữ "đồ họa máy tính" (computer graphics) đƣợc đề xuất bởi một
chuyên gia ngƣời Mỹ tên là William Fetter vào năm 1960. Khi đó ông đang
nghiên cứu xây dựng mô hình buồng lái máy bay cho hãng Boeing. William
Fetter đã dựa trên các hình ảnh 3 chiều của mô hình ngƣời phi công trong
buồng lái để xây dựng nên mô hình buồng lái tối ƣu cho máy bay Boeing.
Đây là phƣơng pháp nghiên cứu rất mới vào thời kỳ đó.
Trong đồ họa máy tính bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D
là một trong các bài toán cơ bản. Công cụ quan trọng để giải quyết bài toán
này là lý thuyết nội suy hàm số nhiều biến. Để nội suy hàm số từ một tập
điểm đã biết thông thƣờng ngƣời ta sử dụng các hàm ghép trơn (spline) và
các biến dạng của nó. Từ khoảng hai chục năm nay ngƣời ta đã và đang phát

triển một kỹ thuật nội suy mới có độ chính xác cao. Đó là nội suy bởi hàm cơ
sở bán kính (radial basis functions) viết tắt là RBF. Phƣơng pháp nội suy này
đã đƣợc sử dụng trong nhiều lĩnh vực của CNTT nhƣ xử lý tín hiệu, xử lý ảnh
và lý thuyết điều khiển. Một số phần mềm về hàm RBF và các ứng dụng cũng
đã đƣợc phát triển.
Luận văn gồm có ba chƣơng:
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chƣơng 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm RBF. Những tính
chất của hàm RBF đƣợc áp dụng cho bài toán nội suy dữ liệu rời rạc. Đây là
những kiến thức cơ sở rất quan trọng. Tìm hiểu về bài toán khôi phục và biểu
diễn các đối tƣợng 3D.
Chƣơng 2: Nghiên cứu ứng dụng hàm RBF vào bài toán khôi phục và biểu
diễn các đối tƣợng 3D
Chƣơng 3: Tiến hành khai thác phần mềm FASTRBF.

Em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo PGS.TS. Đặng Quang
Á đã tận tình hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em cũng xin chân
thành cảm ơn các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp, Khoa Công nghệ
Thông tin – Đại học Thái Nguyên và Trƣờng Cao đẳng Công nghiệp Việt
Đức (Thái Nguyên) đã động viên, giúp đỡ em trong quá trình học tập và
nghiên cứu.

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2009
TÁC GIẢ
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về hàm cơ sở
bán kính (RBF), bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D.
1.1. Hàm cơ sở bán kính (RBF):
1.1.1 Nội suy dữ liệu rời rạc:
Trong nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật cần giải bài toán: Cho tập dữ
liệu (gồm các kết quả đo đạc và vị trí thu đƣợc những kết quả đó), yêu cầu
tìm một quy tắc cho phép suy diễn thông tin từ những kết quả đã có. Vì
vậy ta mong muốn tìm một hàm “đủ tốt” phù hợp với tập dữ liệu đã có. Có
nhiều cách để quyết định thế nào là tốt và một trong các tiêu chuẩn là
muốn hàm xấp xỉ có giá trị chính xác với những kết quả đo đạc đƣợc tại
những vị trí đã cho – Đáp ứng tiêu chuẩn này gọi là bài toán nội suy. Và
nếu những vị trí mà đã cho kết quả đo đạc không nằm trên một lƣới chuẩn
thì tiến trình trên gọi là nội suy dữ liệu rời rạc. Chính xác hơn ta có:
Bài toán 1.1 Cho tập dữ liệu
 
jj
yx ,
,
nj ,...,1
với
j
x
 R
s
,
j
y
 R. Tìm
một hàm (liên tục)
f

P
thỏa mãn:

 
jjf
yxP 
, j=1,…,n (1.1)
Ý tƣởng chung để giải quyết bài toán nội suy là tìm hàm
f
P
dƣới dạng
tổ hợp tuyến tính của hệ hàm cơ sở
 
n
k
k
B
1
, nghĩa là:

   



n
k
kkf
xBcxP
1
, x  R

s
(1.2)
Từ đó, thay điều kiện (1.1) dẫn đến việc giải hệ phƣơng trình đại số
tuyến tính để xác định các hệ số
 
n
k
k
c
1
:

yAc 
(1.3)
Trong đó
 
jkjk
xBA 
;
nkj ,...,1, 
;
 
T
n
ccc ,...,
1

;
 
T

n
yyy ,...,
1


4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Bài toán 1.1 sẽ đƣợc đặt đúng, nghĩa là tồn tại và duy nhất nghiệm, khi
và chỉ khi ma trận A không suy biến.
Trong trƣờng hợp một chiều, ta luôn xây dựng đƣợc đa thức nội suy
bậc n – 1 cho n điểm nội suy phân biệt tùy ý. Tuy nhiên khi s ≥ 2, ta có kết
quả phủ định sau:
Định lý 1.1 (Mairhuber-Curtis) Nếu



R
s
, s ≥ 2 chứa một điểm trong
thì trong

không tồn tại không gian Haar các hàm liên tục, trừ trường
hợp không gian một chiều.
Trong đó, không gian Haar đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Định nghĩa 1.1 Cho không gian hàm tuyến tính hữu hạn chiều B

C(

).

Gọi
 
n
BBB ,...,,
21
là một cơ sở của B. Khi đó B được gọi là không gian
Haar trên

nếu
 
0det A
với mọi tập các điểm phân biệt
 
n
xxx ,...,,
21



.
Ở đây ma trận A là ma trận được xây dựng bởi
 
jkkj
xBA 
,
;
nkj ,...,1, 
.
Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận
nội suy, nghĩa là tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán nội suy 1.1. Không

gian các đa thức một biến bậc
1n
chính là không gian Haar n chiều với
tập dữ liệu
 
jj
yx ,
,
nj ,...,1
,
j
x

 R,
j
y

 R. Cơ sở chính tắc của không
gian này là
 
12
321
,...,,,1


n
n
xBxBxBB
.
Định lý trên cho thấy, để giải quyết bài toán nội suy dữ liệu rời rạc

trong không gian nhiều chiều chúng ta không thể xây dựng trƣớc tập các
hàm cơ sở không phụ thuộc dữ liệu. Để giải quyết vấn đề không suy biến
của ma trận A, ta cần một phƣơng pháp khác để xây dựng hàm nội suy.
Thay vì sử dụng biểu diễn tuyến tính thông qua một hệ hàm cơ sở không
phụ thuộc dữ liệu, ta biểu diễn tuyến tính thông qua một hàm đơn phụ
thuộc dữ liệu đã cho, có tính khoảng cách, đối xứng với tâm nào đó của dữ
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

liệu tƣơng ứng. Phƣơng pháp này đƣợc đề xuất bởi R.L Hardy năm 1971
và đƣợc gọi là phƣơng pháp hàm cở sở bán kính.
1.1.2 Ma trận và hàm xác định dƣơng:
Định nghĩa 1.2 Ma trận giá trị thực, đối xứng A được gọi là nửa xác định
dương nếu dạng toàn phương tương ứng là không âm:

 

n
j
n
k
jkkj
Acc
1 1
0
(1.4)
với
 
T
n

ccc ,...,
1

 R
n
. Nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi
 
T
c 0,...,0

thì ma trận A được gọi là xác định dương.
Tính chất quan trọng của ma trận xác định dƣơng là nó có tất cả các giá
trị riêng đều dƣơng và không suy biến.
Nếu hệ hàm cơ sở
 
n
k
k
B
1
trong khai triển (1.2) làm cho ma trận nội suy
xác định dƣơng thì bài toán nội suy đƣợc đặt đúng. Hàm xác định dƣơng
đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Định nghĩa 1.3 Hàm liên tục : R
s


R là xác định đương khi và chỉ khi
nó là hàm chẵn và thỏa mãn:

 

 

n
j
n
k
kjkj
xxcc
1 1
0
(1.5)
với mọi n điểm đôi một khác nhau
n
xx ,...,
1
 R
s
và
 
T
n
ccc ,...,
1

 R
n
.
Hàm


gọi là xác định dương chặt nếu dấu bằng của (1.5) xảy ra khi
và chỉ khi
 
T
c 0,...,0
.
Từ định nghĩa 1.3 và tính chất của ma trận xác định dƣơng ta thấy, có
thể sử dụng các hàm xác định dƣơng chặt
 
kk
xxB 
làm hệ hàm cơ sở,
và khi đó ta có:

   



n
k
kkf
xxcxP
1
(1.6)
Ma trận nội suy trở thành:
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

   
kjjkjk
xxxBA 
;
nkj ,...,1, 
(1.7)
Tuy nhiên giải bài toán nội suy sẽ trở nên khó khăn trong không gian
nhiều chiều. Do đó, thay vì sử dụng hàm đa biến
 
x
(độ phức tạp sẽ tăng
lên theo số chiều), chỉ làm việc với hàm một biến

cho tất cả số chiều s.
1.1.3 Hàm cơ sở bán kính:
Định nghĩa 1.4 Hàm : R
s
 R được gọi là hàm bán kính nếu tồn tại hàm
một biến

: [0,+)  R thỏa mãn:

   
rx


(1.8)
Với
xr 
và

.
là một chuẩn nào đó trong R
s
(thường dùng chuẩn
Euclidean). Hàm

tương ứng gọi là hàm cơ sở bán kính. Ta nói hàm

là
xác định dương (chặt) khi và chỉ khi hàm  là xác định dương (chặt).
1.1.4 Hàm xác định dƣơng và đơn điệu hoàn toàn:
Trong phần này trình bày kết quả quan trọng xây dựng một số hàm bán
kính thỏa mãn tính khả nghịch của ma trận nội suy tƣơng ứng, dựa trên
tính chất của hàm đơn điệu hoàn toàn.
Định nghĩa 1.5 Hàm

C

 
0
R
được gọi là đơn điệu hoàn toàn khi và
chỉ khi
 
 
 
01  t
l
l


(1.9)
với mọi
,...,1,0l
với mọi t.
Việc xây dựng hàm bán kính xác định dƣơng thông qua hàm đơn điệu
hoàn toàn dựa vào kết quả sau, đƣợc đƣa ra bởi Schoenberg năm 1938.
Định lý 1.2 Cho

: R
+
 R là hàm liên tục đơn điệu hoàn toàn. Khi đó
với mọi tập điểm hữu hạn phân biệt từng đôi một
 
n
xxx ,...,,
21
 R
s
, hàm
bán kính
 
 
2
rx


,
xr 
là hàm xác định dương.
Ví dụ 1.1

7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Xét hàm

(t) = e
–

t
với

≥ 0. Ta có: (– 1)
l

(l)
(t) = (

)
l
e
–

t
> 0. Suy ra
hàm này là đơn điệu hoàn toàn. Do đó hàm Gaussian (GA)

(r)=e
–

r

có
thể sử dụng làm hàm cơ sở bán kính đảm bảo tính xác định dƣơng của ma
trận nội suy.
Tƣơng tự, hàm

(t) = (t +

2
)


,

,

> 0 cũng là hàm đơn điệu hoàn
toàn. Hàm cơ sở bán kính

(r) = (r
2
+

2
)


,

,


> 0 đƣợc gọi là hàm
Inverse Multiquadric (IMQ)
Theo định nghĩa hàm đơn điệu hoàn toàn, ta có

(t) ≥ 0,


(t)  0, …
Tuy nhiên nếu có


đơn điệu hoàn toàn (


(t) ≥ 0,


(t)  0, …) ta vẫn có
thể sử dụng đƣợc hàm

đảm bảo ma trận không suy biến.
Định lý 1.3 Cho

 C

[0,+) là hàm thỏa mãn


đơn điệu hoàn
toàn, khác hằng số. Giả sử thêm rằng


(0) ≥ 0. Khi đó ma trận nội suy
không suy biến với (x) =

(||x||) =

(r
2
).
Trong trƣờng hợp tổng quát, nếu với giả thiết yếu hơn về tính đơn điệu
hoàn toàn của

, nghĩa là

(k)
, k ≥ 1 là hàm đơn điệu hoàn toàn thì cần các
điều kiện nào để sử dụng đƣợc

(theo định nghĩa ma trận nội suy tƣơng
ứng không suy biến)?. Vấn đề này đã đƣợc Micchelli (1986) nghiên cứu và
đƣa ra những kết quả quan trọng về hàm xác định dƣơng có điều kiện.
1.1.5 Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dƣơng có điều
kiện:
Định nghĩa 1.6 Hàm : R
s
 R được gọi là xác định dương có điều kiện
bậc m nếu


n

j 1


n
k 1
c
j
c
k
(x
j
– x
k
) ≥ 0 c  R
n
thỏa mãn:
2
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



n
j 1
c
j
p(x
j
) = 0, pP
1m

s
(đa thức thuộc không gian các đa thức s biến có bậc
 m – 1). Nếu đẳng thức chỉ xảy ra với c = 0 thì  gọi là xác định dương
chặt có điều kiện.
Điều quan trọng là có thể sử dụng hàm xác định dƣơng có điều kiện bậc
m để nội suy nếu ta cộng vào biểu thức (1.6) một đa thức đa biến bậc
 
1m
triệt tiêu trên tập dữ liệu đã cho. Cụ thể, hàm nội suy với độ chính
xác đa thức đƣợc cho dƣới dạng:
 
 
 













n
j
jj
n

j
jjf
mxc
xpxxcxP
1
1
,0


(1.10)
với các ký hiệu đa chỉ số:   N
8
0
, || =


8
1i

i
, và x

= x
1
1

.x
2
2


..x
s
s

.
Khi thay điều kiện nội suy ta đƣợc hệ phƣơng trình Ac = y. Để xác định
hệ số của p(x) ta sử dụng các điều kiện


n
j 1
c
j
x

j
= 0, || < m (1.11)
Ví dụ 1.2
Xây dựng hàm nội suy trong không gian 2 chiều với tập dữ liệu cho
trƣớc {(x
j
,y
j
), f(x
j
,y
j
)}
n
j 1

, sử dụng hàm xác định dƣơng có điều kiện bậc 2 ta
đƣợc:
P
f
(x,y) =


n
j 1
c
j
((x,y) – (x
j
,y
j
)) + p(x,y), (1.12)
trong đó p(x,y) là đa thức hai biến bậc 1 triệt tiêu tại các điểm nội suy,
 
yaxaayxp
321
, 
(1.13)
Cho (1.12) thỏa điều kiện nội suy đƣợc hệ:
 
  
 



n

j
kkjjkkj
yxfyxyxc
1
,,,
; k = 1, 2, …,n
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Để xác định các hệ số a
1
,a
2
,a
3
sử dụng (1.11), đƣợc thêm ba điều kiện
sau:



n
j 1
c
j
= 0



n
j 1

c
j
x
j
= 0



n
j 1
c
j
y
j
= 0
Vậy ta đƣợc hệ n + 3 phƣơng trình n + 3 ẩn. Từ đó có thể tìm đƣợc P
f
(x,y).
Trong trƣờng hợp tổng quát, bài toán (1.10) sẽ dẫn tới hệ đại số tuyến
tính sau:






0
T
P
PA

.






d
c
=






0
y
(1.14)
Trong đó:
A =
  
n
jk
jk
xx
1, 

; P =
 


j
x
, j = 1, 2, …, n; d là ma trận các hệ số của p(x)
Việc xây dựng cấu trúc cụ thể của các hàm bán kính xác định dƣơng có
điều kiện (x) =

(r) dựa trên định lý:
Định lý 1.4 Cho

là hàm liên tục và thỏa mãn
 
 
k
k
k
dr
rd

1
, r  0 là hàm
đơn điệu hoàn toàn khác hằng số. Khi đó, hàm (x) =

(||x||) =

(r
2
) là hàm
xác định dương chặt bậc k.
Ví dụ 1.3

1. Hàm

(r) = (– 1)
 

(r +

2
)

,

> 0,

> 0,

 N thỏa mãn:

 
   
 
   
 
k
k
rkr






2
1...11
. Vì vậy:

 
 
 
   
 
 
 
 






2
1...11 rr
là hàm đơn điệu hoàn
toàn. Hơn nữa, với mọi m, m ≥
 

, (– 1)
m

(m)
(r) cũng là hàm đơn điệu

10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

hoàn toàn. Vì vậy, hàm bán kính Multiquadric (MQ) tổng quát
   
 
 



22
1  rr
là xác định dƣơng chặt có điều kiện bậc m,

m ≥
 

.
2. Hàm

(r)=(– 1)
 
2/

r

/2
,

> 0,


 2N thỏa mãn:


(k)
(r)=(– 1)
 
2/

k
rk















2
1
2
...1

22


vì vậy (–1)
 
2/

 
2/


(r) là
hàm đơn điệu hoàn toàn. Hơn nữa, với mọi m, m ≥
 
2/

hàm
   
r
m
m

1
cũng là hàm đơn điệu hoàn toàn. Vì vậy, hàm Năng lượng
   
 
,1
2/




rr 

> 0,

 2N là hàm xác định dƣơng chặt có điều kiện
bậc m,

m ≥
 
2/

.
3. Hàm Thin plates spline (TPS)

(r) = (– 1)
k+1
r
2k
lnr, k

N
Là các hàm xác định dƣơng chặt có điều kiện bậc m ≥ k+1. Thật
vậy: Xét hàm

(r) = (– 1)
k+1
(r)
k
lnr. Khi đó, đào hàm cấp l, l


k của

(r) là:

(l)
(r) = (–1)
k+1
k(k – 1)…(k – l +1)r
k-l
lnr + p
l
(r), trong đó p
l
(r)
là đa thức bậc k – l. Vì vậy, đạo hàm cấp k sẽ là:

(k)
(r) = (–1)
k+1
k!

lnr
+C, và đạo hàm cấp k + 1 là
r
k
r
kk
!
)1()(

1)1( 


, là hàm đơn điệu hoàn
toàn trên (0, ). Do đó, hàm

(r) = (–1)
k+1
r
2k
lnr =
2
1

(r
2
) là hàm xác
định dƣơng chặt có điều kiện bậc m ≥ k + 1.
1.1.6 Ví dụ nội suy bằng hàm RBF:
Cho hàm mẫu Franke nhƣ sau:
22
)29()29(
4
1
1
4
3




yx
ef
;













10
)19(
49
)19(
2
22
4
3
yx
ef
;
   
 
22

3979
4
1
3
2
1



yx
ef
;
   
 
22
7949
4
5
1


yx
ef
;
4321
fffff 
;
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Cho trƣớc tập giá trị
 
jiij
yxfz ,
; i, j = 1,…,n, trong đó (x
i
,y
j
)  [0,1]
2
là
tập điểm nội suy. Để đơn giản, chúng tôi chọn tập điểm nội suy là lƣới đều
trên miền [0,1]
2
và tập tâm trùng với tập điểm nội suy.
Xây dựng hàm nội suy P
j
=


n
j 1
c
k

(||u - u
k
||). Trong đó u
k
= (x,y)Tập điểm

tâm,

đƣợc chọn là hàm IMQ.
Cho thỏa mãn điều kiện nội suy ta đƣợc hệ n
2
phƣơng trình, n
2
ẩn. Kết quả
trong một số lƣới đƣợc cho trong bảng 1.1, với các sai số đƣợc định nghĩa
nhƣ sau:
- Sai số tƣơng đối:
   
 
2
1
2
2
11
2
fP
n
fP
n
f
n
j
jjf






- Sai số lớn nhất:
    


 fPfP
fjjf
nj

2
,...,1
max

Bảng 1.1 Sai số nội suy hàm Frank với

= 3
Lưới
IMQ MQ
Sai số tƣơng đối Sai số lớn nhất Sai số tƣơng đối Sai số lớn nhất
7 x 7 1.211536e-002 8.600572e-002 1.260168e-002 8.722025e-002
10 x 10 1.685702e-003 1.122684e-002 2.241647e-003 1.548224e-002
13 x 13 4.226489e-004 2.856954e-003 4.470312e-004 2.756763e-003
17 x 17 3.761833e-005 3.703740e-004 4.168475e-005 4.447710e-004
20 x 20 4.346574e-006 7.352464e-005 5.739650e-006 6.316986e-005

1.2. Bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D:
Ngày nay, nhờ sự phát triển nhƣ vũ bão của khoa học kỹ thuật – công
nghệ mà loài ngƣời đã có những bƣớc tiến lớn trong nhiều lĩnh vực khác
nhau. Và một trong số đó là vấn đề khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng

3D.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Khôi phục đối tƣợng 3D đã trở thành một nhu cầu cần thiết trong các
lĩnh vực khác nhau nhƣ: Tạo ảnh trong y học, các ứng dụng mỹ thuật, thiết
kế sản phẩm, tạo nguyên mẫu nhanh và trong các phạm vi khác. Việc tạo
mô hình 3D bằng phƣơng pháp thủ công tốn nhiều thời gian và do vậy chi
phí sẽ đắt đỏ. Vì lý do đó, các kỹ thuật đã và đang tiếp tục đƣợc nghiên
cứu, các kỹ thuật này cho phép khôi phục tự động các đối tƣợng 3D. Các
kỹ thuật này có thể chia thành 2 phƣơng pháp: phƣơng pháp chủ động và
phƣơng pháp bị động [25]. Nhƣợc điểm của các phƣơng pháp chủ động là
quá trình khôi phục có thể trở thành một công trình ngân sách cao. Vì lý
do đó, cách tiếp cận đƣợc giới thiệu thuộc về các phƣơng pháp bị động, nó
yêu cầu ít thiết bị hơn và có thể áp dụng một cách tổng quát hơn.
Các phƣơng pháp khôi phục các đối tƣợng 3D truyền thống không thực
hiện tốt ở hai hƣớng:
- Thứ nhất: Chúng không thể xử lý các trƣờng hợp có độ phức tạp cao
đƣợc tìm thấy trong tự nhiên (Ví dụ: các bộ phận của con ngƣời hay
các ảnh cực nhỏ của mô).
- Thứ hai: Chúng không đƣa dữ liệu bề mặt vào một định dạng làm cho
gọn và thích hợp để mô phỏng, hiển thị hoặc định vị
Có 5 trƣờng hợp khôi phục các đối tƣợng 3D [26]. Trƣờng hợp đầu tiên
là với các ảnh đƣợc chụp bằng máy ảnh không định cỡ, làm việc với loại
ảnh này có thể khôi phục lại đối tƣợng so sánh với các phép biến đổi ảnh
xạ. Hai là, khôi phục từ các máy ảnh định cỡ làm việc với loại ảnh này có
thể khôi phục lại đối tƣợng so sánh với các phép biến đổi đồng dạng. Ba
là, các thuộc tính đại số của các hàm đa tuyến tính và các lý tƣởng phát
sinh bởi chúng đƣợc nghiên cứu. Trƣờng hợp thứ tƣ sử dụng kỹ thuật khôi
phục Ơ-clít khi một số thông tin của các máy ảnh đƣợc đƣa ra. Trƣờng hợp

13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

cuối cùng là khôi phục một ảnh của một đối tƣợng hoặc bản vẽ nét đƣợc
biết tới là mảnh 2 chiều.
Nhƣ vậy có thể thấy rằng bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng
3D là một bài toán có ý nghĩa rất lớn và quan trọng.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chƣơng 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO BÀI TOÁN KHÔI
PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƢỢNG 3D

Chúng ta sử dụng hàm cơ sở bán kính đa điều hòa (RBFs) để khôi phục lại
các bề mặt nhẵn, đa tạp từ tập các điểm dữ liệu tập trung và phục hồi các lƣới
điểm không đầy đủ. Một bề mặt của đối tƣợng đƣợc định nghĩa hoàn toàn
giống nhƣ một tập hợp số 0 của một hàm cơ sở bán kính phù hợp với dữ liệu
bề mặt đã cho. Các phƣơng pháp nhanh cho việc khớp dữ liệu và tính giá trị
hàm RBF cho phép chúng ta mô hình các tập hợp dữ liệu lớn, bao gồm hàng
triệu các điểm bề mặt, bằng một hàm RBF đơn trƣớc một bài toán khó giải.
Một thuật toán tham lam trong quá trình khớp dữ liệu làm rút gọn số lƣợng
các tâm RBF yêu cầu để biểu diễn một bề mặt và các kết quả ở dạng nén đáng
kể và hơn nữa là thuận lợi cho tính toán. Đặc trƣng cực tiểu hóa năng lƣợng
của các hàm ghép trơn đa điều hòa dẫn đến nội suy trơn nhất. Đặc trƣng tỷ lệ
điều hòa này là đủ thích hợp để khôi phục các bề mặt từ dữ liệu mẫu không
đều. Các lỗ là sự khớp dữ liệu nhẵn và sự ngoại suy nhẵn các bề mặt. Chúng
ta sử dụng một phép xấp xỉ không nội suy khi dữ liệu là nhiễu. Sự biểu diễn
hàm thực ra mà nói là một mô hình đặc, có nghĩa là độ chênh lệch và chuẩn
bề mặt có thể đƣợc phân tích rõ ràng. Sự hỗ trợ này sinh ra các lƣới đều và
chúng ta thấy rằng sự biểu diễn RBF có các lợi ích cho việc rút gọn lƣới và

sự áp dụng lại lƣới.


15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Hình 2.1: (a) Khớp một hàm RBF vào một tập hợp các điểm dữ liệu tập trung
438.000 điểm. (b) Sự phục hồi lƣới tự động sử dụng hàm RBF song điều hòa.

2.1. Các bề mặt ẩn:
Bài toán khôi phục hoặc biểu diễn bề mặt có thể phát biểu nhƣ sau:
Bài toán 2.1. Cho n điểm phân biệt
  
n
i
iii
zyx
1
,,

trên một bề mặt M trong
không gian R
3
, tìm một bề mặt M’ là gần đúng hợp lý với M.
Phƣơng pháp của chúng ta là mô hình bề mặt ẩn bằng một hàm
),,( zyxf
.
Nếu một bề mặt M gồm có tất cả các điểm
),,( zyx

thỏa mãn phƣơng trình:

0),,( zyxf
, (2.1)
thì chúng ta nói rằng hàm f xác định không tƣờng minh bề mặt M. Mô tả
các bề mặt ẩn với rất nhiều loại hàm là một kỹ thuật nổi tiếng [10].
Trong hình học kiến thiết vật thể (CSG) một mô hình ẩn đƣợc tạo thành từ
các hàm sơ cấp đơn giản nhờ sự kết hợp của các phép toán Boolean (phép
hợp, phép giao vv..) và các hàm trộn. Các kỹ thuật CSG thích hợp cho việc
thiết kế các đối tƣợng trong CAD hơn là phục hồi các đối tƣợng từ dữ liệu
mẫu. Các mặt đại số bậc thấp từng mẩu, đôi khi đƣợc xem nhƣ là các
miếng vá ẩn hoặc các tập nửa đại số, cũng có thể đƣợc sử dụng để định
nghĩa các bề mặt ẩn.
Chúng ta mong muốn mô hình đƣợc toàn bộ đối tƣợng với một hàm
đơn liên tục và khả vi. Sự mô tả hàm đơn có một số ƣu điểm thông qua các
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

bề mặt giới hạn từng mẩu và các miếng vá ẩn. Nó có thể tính toán ở mọi
nơi để sinh ra một lƣới đặc biệt, nghĩa là sự biểu diễn một bề mặt đa tạp có
thể đƣợc tính toán với cách giải mong muốn khi đƣợc yêu cầu. Hiếm khi,
các bề mặt mẫu không đều có thể mô tả một cách đơn giản và bài toán
tham số hóa bề mặt kết hợp với việc khớp từng mẩu các miếng vá hàm
ghép trơn bậc ba là nên tránh.
Carr et al. [11] sử dụng hàm cơ sở bán kính để khôi phục các bề mặt
hộp xƣơng sọ bằng việc nội soi 3D CT. Dữ liệu xung quanh các lỗ lớn
không đều trong hộp sọ đƣợc nội suy sử dụng hàm xác định dƣơng chặt
RBF. Tấm titan đƣợc đúc trong khuôn của bề mặt thích hợp để tạo thành
một hộp sọ giả. Tài liệu đó khai thác các đặc điểm nội suy và ngoại suy
của hàm RBF hợp lý nhƣ các đặc tính vật lý cơ bản của hàm xác định

dƣơng chặt. Tuy nhiên, phƣơng pháp chỉ giới hạn mô hình các bề mặt mà
có thể biểu diễn rõ ràng nhƣ một hàm 2 biến. Trong luận văn này chúng tôi
chứng minh đƣợc rằng bằng cách sử dụng các phƣơng pháp nhanh, hàm
RBF có thể khớp các tập dữ liệu 3D gồm có hàng triệu điểm không có các
giới hạn trên cấu trúc liên kết bề mặt – loại tập dữ liệu cơ bản của các ứng
dụng công nghiệp.

2.2. Khớp một hàm ẩn vào một bề mặt
Ta muốn tìm một hàm f mà xác định không tƣờng minh một bề mặt M’
và thỏa mãn phƣơng trình
,,...,1,0),,( nizyxf
iii


với
 
n
i
ii
zyx
1
,,(

là các điểm nằm trên bề mặt. Để tránh trƣờng hợp nghiệm
tầm thƣờng mà f là 0 ở mọi nơi, các điểm ngoài bề mặt đƣợc bổ sung vào
dữ liệu vào và chúng đƣa ra các giá trị khác 0. Việc này mang đến một vấn
đề nội suy hữu ích hơn: Tìm hàm f nhƣ sau:
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

nizyxf
iii
,...,1,0),,( 
(các điểm trên bề mặt),
Nnidzyxf
iiii
,...,1,0),,( 
(các điểm ngoài bề mặt).


Điều này vẫn mang đến một bài toán tạo ra các điểm ngoài bề mặt
 
N
i
ii
zyx
1
,,(

và giá trị d
i
tƣơng ứng.
Một sự lựa chọn hiển nhiên cho hàm f là một hàm khoảng cách điểm,
với giá trị d
i
đƣợc chọn là khoảng cách tới điểm gần nhất trên bề mặt. Các
điểm bên ngoài đối tƣợng đƣợc gán các giá trị dƣơng, trong khi các điểm
bên trong đƣợc gán giá trị âm. Theo Turk &O‟Brien những điểm ngoài bề
mặt đƣợc sinh ra bởi phần nhô ra dọc theo các đƣờng pháp tuyến bề mặt.
Các điểm ngoài bề mặt có thể đƣợc gán với mỗi mặt của bề mặt nhƣ đƣợc

minh họa trong hình 2.2.
Đẳng mặt
f(x) = 0
f(x) > 0
f(x) < 0
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Hình 2.2: Một hàm khoảng cách điểm đƣợc xây dựng từ dữ liệu bề mặt bằng
việc định rõ các điểm ngoài bề mặt dọc theo các đƣờng pháp tuyến bề mặt.
Những điểm này có thể đƣợc định rõ ở mỗi phía của bề mặt hoặc không ở
phía nào cả.

Hình 2.3. Sự khôi phục của một bàn tay từ đám điểm có và không thông qua
các độ dài pháp tuyến

Kinh nghiệm cho thấy rằng tốt hơn hết là bổ sung tại một điểm dữ liệu
hai điểm ngoài bề mặt, mỗi điểm nằm trên một phía của bề mặt. Trong
hình 2.3 các điểm bề mặt nhận đƣợc từ việc quét laser của một bàn tay
đƣợc biểu thị bằng màu xanh. Các điểm ngoài bề mặt đƣợc mã hóa màu
theo khoảng cách của chúng xuất phát từ điểm đƣợc liên kết trên bề mặt
của chúng. Màu nóng (màu đỏ) mô tả các điểm dƣơng nằm ở bên ngoài bề
mặt trong khi màu lạnh (xanh) nằm ở bên trong. Có hai bài toán cần giải
Các điểm pháp tuyển ngoài bề mặt
Các điểm trên bề mặt
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

quyết: xác định các đƣờng pháp tuyến bề mặt và định rõ khoảng cách hình

chiếu thích hợp.
Nếu ta có một lƣới không hoàn toàn, thì rất đơn giản để định nghĩa các
điểm ngoài bề mặt từ đó các đƣờng tiếp tuyến đƣợc bao hàm bởi sự liên
kết lƣới tại mỗi đỉnh. Trong trƣờng hợp điểm dữ liệu tập trung không có
trật tự, các đƣờng tiếp tuyến có thể đƣợc tính toán từ một vùng lân cận của
các điểm. Việc này cầu xác định cả phƣơng pháp tuyến và định rõ hƣớng
của pháp tuyến. Chúng ta xấp xỉ cục bộ điểm dữ liệu tập trung với một mặt
phẳng để tính toán phƣơng pháp tuyến và sử dụng tính tƣơng thích và/hoặc
thông tin bổ sung nhƣ vị trí máy quét để quyết định hƣớng của pháp tuyến.
Thông thƣờng, rất khó để dự đoán chắc chắn các pháp tuyến ở khắp nơi.
Tuy nhiên, không giống nhƣ các phƣơng pháp khác mà cũng dựa trên việc
tạo thành một hàm khoảng cách điểm, nó không quyết định để dự đoán các
đƣờng pháp tuyến ở mọi nơi. Nếu phƣơng pháp tuyến hoặc hƣớng là
không xác định tại một điểm đặc biệt thì chúng ta không đặt một pháp
tuyến tại điểm đó. Thay vào đó, chúng ta cho phép thực tế điểm dữ liệu là
một điểm 0 (nằm trên bề mặt) ràng buộc vào hàm trong vùng đó.
Đƣa ra một tập hợp các pháp tuyến bề mặt, phải thận trọng khi đƣa ra
các điểm ngoài bề mặt dọc theo các pháp tuyến để đảm bảo rằng chúng
không cắt các phần khác của bề mặt. Điểm chiếu là đƣợc vẽ ra do đó điểm
bề mặt gần nhất là điểm bề mặt sinh ra nó. Miễn là điều kiện ràng buộc
này thỏa mãn, bề mặt đƣợc xây dựng lại là tƣơng đối không nhạy với
khoảng cách hình chiếu. Hình 2.3(c) minh họa cho tác động của các điểm
ngoài bề mặt nhô ra các khoảng không thích hợp dọc theo các đƣờng pháp
tuyến. Các điểm ngoài bề mặt đã lựa chọn nằm cách một khoảng cố định
tính từ bề mặt. Bề mặt kết quả, với f bằng 0 bị biến dạng trong vùng lân
cận của các ngón tay ở chỗ mà các véc tơ pháp tuyến đối lập đã cắt nhau
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

và đã sinh ra các điểm ngoài bề mặt với giá trị khoảng cách tới bề mặt

không đúng, cả về điểm và độ lớn. Trong hình 2.3(a) và (b) giá trị của các
khoảng cách ngoài bề mặt và hình chiếu động đã đảm bảo rằng các điểm
ngoài bề mặt sinh ra một miền khoảng cách nhất quán với dữ liệu bề mặt.
Hình 2.4 là một mặt cắt qua các ngón tay của bàn tay. Hình ảnh minh họa
cách hàm RBF xấp xỉ một hàm khoảng cách gần giống bề mặt của đối
tƣợng. Các đẳng đƣờng tại +1, 0 và -1 ở phần trên của hình và hình dáng
hàm tƣơng ứng bên dƣới, minh họa việc làm thế nào các điểm ngoài bề
mặt sinh ra một hàm với một đại lƣợng chênh lệch gần bằng 1 gần bề mặt.

Hình 2.4: Mặt cắt qua các ngón tay của một bàn tay đƣợc khôi phục từ tập điểm
tập trung trong hình 2.3. Đẳng đƣờng tƣơng ứng với +1, 0 và -1 đƣợc hiển thị
(trên đỉnh) cùng với một mặt cắt nghiêng của hàm cơ cở bán kính (bên dƣới) dọc
theo đƣờng thẳng xuất hiện.