500 bai toan co hdan trong cau 1b cua de thi DH

1
500 bài toán trong câu 1b của đề thi ĐH môn Toán có hướng dẫn.doc

PHẦN 2: TIẾP TUYẾN

A. Kiến thức cơ bản
• Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số
y f x
( )
=
tại điểm
x
0
là hệ số góc của tiếp
tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm
(
)
M x f x
0 0 0
; ( )
. Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C)
tại điểm
(
)
M x f x
0 0 0
; ( )
là:
y y f x x x
0 0 0
– ( ).( –

)
′
=

(
)
y f x
0 0
( )
=

• Điều kiện cần và đủ để hai đường (C
1
):
y f x
( )
=
và (C
2
):
y g x
( )
=
tiếp xúc nhau là hệ phương
trình sau có nghiệm:

=

=


f x g x
f x g x
( ) ( )
'( ) '( )
(*) Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai
đường đó.
B. Một số dạng thường gặp và cách giải:

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
y f x
( )
=
tại điểm
M x y C
0 0
( ; ) ( )
∈
:

•
Nếu cho
x
0
thì tìm
y f x
0 0

( )
=
. Nếu cho
y
0
thì tìm
x
0
là nghiệm của phương trình
f x y
0
( )
=
.

•
Tính
y f x
( )
′ ′
=
. Suy ra
y x f x
0 0
( ) ( )
′ ′
=
.

•

Phương trình tiếp tuyến
∆
là:
y y f x x x
0 0 0
– ( ).( –
)
′
=
.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
y f x
( )
=
, biết
∆
∆∆
∆
có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

•
Gọi
M x y
0 0
( ; )

là tiếp điểm. Tính
f x
0
( )
′
.

•

∆
có hệ số góc k ⇒
′
=
f x k
0
( )
(1)

•
Giải phương trình (1), tìm được
x
0
và tính
y f x
0 0
( )
=
. Từ đó viết phương trình của
∆
.

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

•
Phương trình đường thẳng
∆
có dạng:
= +
y kx m
.

•

∆
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

= +

=

f x kx m
f x k
( )
'( )
(*)

•
Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của
∆
.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến

∆
có thể được cho gián tiếp như sau:
+.
∆
tạo với trục hoành một góc
α
thì
=
k a
tan
.
+.
∆
song song với đường thẳng d:
= +
y ax b
thì
=
k a

+.
∆
vuông góc với đường thẳng
= + ≠
d y ax b a
: ( 0)
thì
= −
k
a

1

+.
∆
tạo với đường thẳng
= +
d y ax b
:
một góc
α
thì
−
=
+
k a
ka
tan
1
α

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
y f x
( )
=
, biết
∆

∆∆
∆
đi qua điểm
A A
A x y
( ; )
.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

•
Gọi
M x y
0 0
( ; )
là tiếp điểm. Khi đó:
′ ′
= =
y f x y x f x
0 0 0 0
( ), ( ) ( )
.

•
Phương trình tiếp tuyến
∆
tại M:
′
=
y y f x x x
0 0 0

– ( ).( –
)


•

∆
đi qua
A A
A x y
( ; )
nên:
′
=
A A
y y f x x x
0 0 0
– ( ).( –
)
(2)

•
Giải phương trình (2), tìm được
x
0
. Từ đó viết phương trình của
∆
.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

•
Phương trình đường thẳng
∆
đi qua
A A
A x y
( ; )
và có hệ số góc k:
=
A A
y y k x x
– ( –
)


•

∆
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

= − +

=

A A
f x k x x y
f x k
( ) ( )
'( )

•
Giải hệ trên, tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến
∆
.
2

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
y f x
( )
=
, biết
∆
∆∆
∆
tạo với trục Ox một góc
α
αα
α
.

•
Gọi
M x y
0 0
( ; )

là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc
′
=
k f x
0
( )
.

•

∆
tạo với trục Ox một góc
α

⇔

0
f (x ) tan
′
=
α
. Giải phương trình tìm được
x
0
.

•
Phương trình tiếp tuyến
∆
tại M:

′
=
y y f x x x
0 0 0
– ( ).( –
)

Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
y f x
( )
=
, biết
∆
∆∆
∆
tạo với đường thẳng d:
y ax b
= +

một góc
α
αα
α
.

•

Gọi
M x y
0 0
( ; )
là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc
′
=
k f x
0
( )
.

•

∆
tạo với d một góc
α

⇔

−
=
+
k a
ka
tan
1
α
. Giải phương trình tìm được
x

0
.

•
Phương trình tiếp tuyến
∆
tại M:
′
=
y y f x x x
0 0 0
– ( ).( –
)

Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
=
y f x
( )
, biết
∆
∆∆
∆
cắt hai trục toạ độ tại A và B sao
cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước.

•

Gọi
M x y
0 0
( ; )
là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc
′
=
k f x
0
( )
.

•

∆
OAB vuông cân
⇔

∆
tạo với Ox một góc
0
45
và O
∉

∆
. (a)

•

= ⇔ =
OAB
S S OA OB S
. 2
∆
. (b)

•
Giải (a) hoặc (b) tìm được
x
0
. Từ đó viết phương trình tiếp tuyến
∆
.
Dạng 7: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị
= =
C y f x C y g x
1 2
( ) : ( ), ( ): ( )
.
a) Gọi
∆
:
= +
y ax b
là tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2
).

u là hoành độ tiếp điểm của
∆
và (C
1
), v là hoành độ tiếp điểm của
∆
và (C
2
).

•

∆
tiếp xúc với (C
1
) và (C
2
) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

= +


=

= +

=


f u au b

f u a
g v av b
g v a
( ) (1)
'( ) (2)
( ) (3)
'( ) (4)

• Từ (2) và (4) ⇒
′ ′
= =
⇒
f u g v u h v
( ) ( ) ( )
(5)
• Thế a từ (2) vào (1)
⇒

=
b k u
( )
(6)
• Thế (2), (5), (6) vào (3)
⇒
v
⇒
a
⇒
u
⇒

b. Từ đó viết phương trình của ∆.
b) Nếu (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ
x
0
thì một tiếp tuyến chung của (C
1
) và
(C
2
) cũng là tiếp tuyến của (C
1
) (và (C
2
)) tại điểm đó.
Dạng 8: Tìm những điểm trên đồ thị (C):
=
y f x
( )
sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc
vuông góc với một đường thẳng d cho trước.
• Gọi
M x y
0 0
( ; )
∈ (C). ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính
′

f x
0
( )
.
• Vì ∆ // d nên
′
=
d
f x k
0
( ) (1) hoặc ∆ ⊥ d nên
′
= −
d
f x
k
0
1
( )
(2)

•
Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được
x
0
. Từ đó tìm được
M x y
0 0
( ; )
∈

(C).
Dạng 9: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3, tiếp tuyến với
đồ thị (C):
=
y f x
( )
. Giả sử
+ + =
d ax by c
: 0
.
∈
M M
M x y d
; )(
.

•
Phương trình đường thẳng
∆
qua M có hệ số góc k:
= +
M M
y k x x y
)( –


•

∆

tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

= − +

=

M M
f x k x x y
f x k
( ) ( ) (1)
'( ) (2)


•
Thế k từ (2) vào (1) ta được:
′
= +
M M M
f x x f x y
x( ) )( – . ( )
(3)

•
Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Dạng 10: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C):
=
y f x
( )
và 2

tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
3
Gi
M M
M x y
( ;
)
.


Phng trỡnh ng thng

qua M cú h s gúc k:
= +
M M
y k x x y
)(





tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim:

= +

=

M M
f x k x x y

f x k
( ) ( ) (1)
'( ) (2)



Th k t (2) vo (1) ta c:

= +
M M M
f x x f x y
x( ) )( . ( )
(3)


Qua M v c 2 tip tuyn vi (C)

(3) cú 2 nghim phõn bit
x x
1 2
,
.


Hai tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau



=
f x f x

1 2
( ). ( ) 1
T ú tỡm c M.
Chỳ ý: Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) sao cho 2 tip im nm v hai phớa vi trc honh
thỡ


<

coự nghieọm phaõn bieọt
f x f x
1 2
(3) 2
( ). ( ) 0

Bi tp
Dng 1: Vit phng trỡnh tip tuyn



ca (C):
y f x
( )
=
ti im
M x y C
0 0
( ; ) ( )

:

1.
(ĐH Thái Nguyên 2001) Cho đồ thị (C):
24
2xxy
+=
.Viết phơng trình tiếp tuyến tại
(
)
0;2A
.
2.
(ĐH Ngoại Ngữ 1999) Cho đồ thị (C):
4
9
2
4
1
24
= xxy
.Viết ph
ng trỡnh ti

p tuy

n
tại các giao
điểm của (C) với Ox.
3.
Vi

t ph

ng tỡnh ti

p tuy

n v

i

th

(C) c

a hm s

y =
1
x
1x2

+
t

i giao

i

m (C) v

ng th

ng
d: y = 3x -1.


Dng 2: Vit phng trỡnh tip tuyn



ca (C):
y f x
( )
=
, bit



cú h s gúc k cho trc, hoc tip
tuyn song song hoc tip tuyn vuụng gúc vi ng thng cho trc.
4.
Cho đồ thị (C):
2x 1
y
x 1

=
+
. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C),
bi

t ti

p tuy

n cú HSG l :
a. 3 , b .
3
4

5.
Cho (C)
42
3
1
23
+= xxxy
. Viết phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc k = - 2

6.
Cho đồ thị (C):
5
2
73
+

=
x
x
y . Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) khi biết

a. Tiếp tuyến song song với đờng thẳng
1
2
1
+= xy

b. Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng
4
y x
=
.

7.
Vi

t ph

ng tỡnh ti

p tuy

n v

i

th

(C) c

a hm s

y =
3
x 3x 1
+

a
. Bi

t ti

p tuy

n cú HSG l 9. b. Bi

t ti

p tuy

n cú HSG nh

nh

t.

8.
Cho (C):
3 2
y x 3x 3
= + +

,
L

p
tiếp tuyến c
a
(C) có hệ số góc l
n
nhất.
9.
Cho hm s


2x 1
y
x 1

=
+
(1). Tỡm

i

m M thu

c

th

(C)

ti

p tuy

n c

a (C) t

i M v

i

ng
th

ng

i qua M v giao

i

m hai

ng ti

m c

n cú tớch h

s

gúc b

ng - 9.
HD
: +) Ta cú I(- 1; 2). G

i
M I
0 IM
2
0 M I 0
y y
3 3
M (C) M(x ;2 ) k
x 1 x x (x 1)






= =
+ +

+) H

s

gúc c

a ti

p tuy

n t

i M:
( )
M 0
2
0
3
k y'(x )
x 1
= =
+

+)
M IM
ycbt k .k 9
=

+) Gi

i

c x
0

= 0; x
0
= -2. Suy ra cú 2

i

m M th

a món: M(0; - 3), M(- 2; 5)

4
10.
Cho hàm s
ố

( )
x 1
y C
x 1
+
=
−
. Xác
đị
nh m
để

đườ
ng th
ẳ

ng
y 2x m
= +
c
ắ
t
(
)
C
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
A, B sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
(
)
C
t
ạ

i A và B song song v
ớ
i nhau.

HD
: Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
(
)
d : y 2x m
= +
và
(
)
C
là:
x 1
2x m
x 1
+
= +

−


(
)
(
)
2
2x m 3 x m 1 0 1
x 1

+ − − − =

⇔

≠


Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
2 2
m 3 8 m 1 m 1 16 0, m
g 1 2 0, m

∆ = − + + = + + > ∀


= − ≠ ∀





⇒
ph
ươ
ng trình (1) luôn luôn có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khác 1. V
ậ
y
(
)
d
luôn luôn c
ắ
t
(
)
C

t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi

ệ
t A và B .
G
ọ
i
1 2
x , x

(
)
1 2
x x
≠
l
ầ
n l
ượ
t hoành
độ
c
ủ
a A và B thì
1 2
x , x
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ

ng trình (1). Theo
đị
nh lí Vi-et, ta có:
( )
1 2
1
x x 3 m
2
+ = − . Ti
ế
p tuy
ế
n
(
)
(
)
1 2
,
∆ ∆
t
ạ
i A, B có h
ệ
s
ố
góc l
ầ
n l
ượ

t là :
( )
2
2
y'
x 1
−
=
−
( )
( )
1 1
2
1
2
k y' x
x 1
−
⇒ = =
−
,
( )
( )
2 2
2
2
2
k y' x
x 1
−

= =
−

(
)
(
)
1 2 1 2
/ / k k
∆ ∆ ⇔ =
( ) ( )
2 2
1 2
2 2
x 1 x 1
− −
⇔ =
− −
( ) ( )
2 2
1 2
x 1 x 1
⇔ − = −


1 2
1 2
x 1 x 1
x 1 x 1
− = −


⇔

− = − +

(
)
1 2
1 2
x x
x x 2

=
⇔

+ =

loaïi

( )
1
3 m 2
2
⇔ − =
m 1
⇔ = −
.
V
ậ
y, giá tr

ị
c
ầ
n tìm là:
m 1
= −
.

11.
Cho hàm s
ố

4 2
y f(x) x 2x
= = −

1. Kh
ả
o sát và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
2. Trên (C) l

ấ
y hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A và B có hoành
độ
l
ầ
n l
ượ
t là a và b. Tìm
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đố
i
v
ớ
i a và b
để
hai ti
ế
p tuy
ế

n c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B song song v
ớ
i nhau.

HD
: Ta có
3
'( ) 4 4
f x x x
= −
. G
ọ
i a, b l
ầ
n l
ượ
t là hoành
độ
c
ủ
a A và B.
H
ệ
s
ố
góc ti

ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B là
3 3
A B
k f '(a) 4a 4a, k f '(b) 4b 4b
= = − = = −

Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A, B l
ầ
n l
ượ
t có ph
ươ
ng trình là:

(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
y f ' a x a f a f ' a x f (a) af' a
= − + = + −


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
y f ' b x b f b f ' b x f(b) bf' b
= − + = + −

Hai ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ

a (C) t
ạ
i A và B song song ho
ặ
c trùng nhau khi và ch
ỉ
khi:

(
)
(
)
3 3 2 2
A B
k k 4a 4a = 4b 4b a b a ab b 1 0 (1)
= ⇔ − − ⇔ − + + − =

Vì A và B phân bi
ệ
t nên
a b
≠
, do
đ
ó (1) t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ

i ph
ươ
ng trình:

2 2
a ab b 1 0 (2)
+ + − =

M
ặ
t khác hai ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B trùng nhau

( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
4 2 4 2
a ab b 1 0
a ab b 1 0
a b
f a af ' a f b bf ' b
3a 2a 3b 2b



+ + − =
+ + − =
 
⇔ ≠ ⇔
 
− = −
− + = − +





Gi
ả
i h
ệ
này ta
đượ
c nghi
ệ
m là (a;b) = (-1;1), ho
ặ
c (a;b) = (1;-1), hai nghi
ệ
m này t
ươ
ng
ứ

ng
v
ớ
i cùng m
ộ
t c
ặ
p
đ
i
ể
m trên
đồ
th
ị
là
(
)
1; 1
− −
và
(
)
1; 1
−
.V
ậ
y
đ
i

ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ

để
hai ti
ế
p tuy
ế
n
c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B song song v
ớ
i nhau là
2 2
a ab b 1 0
a 1
a b

+ + − =

≠ ±



≠


12.
Cho hàm s
ố

4 2
y x mx m 1
= + − −
, (C
m
). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng khi m thay
đổ
i thì (C
m
) luôn luôn
đ
i qua
hai
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh A, B. Tìm m
để
các ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A và B vuông góc v
ớ
i nhau.

HD
: Hai
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh A(1; 0), B(–1; 0). Ta có:
3
y 4x 2mx
′
= + .
5
Cỏc ti

p tuy

n t

i A v B vuụng gúc v

i nhau
y (1).y ( 1) 1

=

2
(4 2m) 1
+ =


3 5

2 2
m m
= =
.
13.
Cho hm s


3 2
y x 3x 1
= +

cú

th

(C). Tỡm hai

i

m A, B thu

c

th

(C) sao cho ti

p tuy

n
c

a (C) t

i A v B song song v

i nhau v

di

o

n AB =
4 2
.
HD
:

Gi

s


3 2 3 2
A(a;a 3a 1), B(b;b 3b 1)
+ +
(a b)
Vỡ ti

p tuy

n c

a (C) t

i A v B song song suy ra
y (a) y (b)

=

(a b)(a b 2) 0

+ =


a b 2 0
+ =
b = 2 a

a 1 (vỡ a b).

2 2 3 2 3 2 2
AB (b a) (b 3b 1 a 3a 1)
= + + +
=
6 4 2
4(a 1) 24(a 1) 40(a 1)
+

AB =
4 2

6 4 2
4(a 1) 24(a 1) 40(a 1)
+
= 32
a 3 b 1
a 1 b 3
=

=

=

=


A(3; 1) v B(1; 3)
14.
Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1. Xác định m để đồ thị (C
m
) cắt đờng y = 1 tại 3 điểm phân biệt
C(0; 1), D, E. Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau.
15.
Gọi (C
m
) là đồ thị hàm số: y =
3 2
1 1
3 2 3
m
x x
+
(*) Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng -1.
Tìm m để tiếp tuyến của (C

m
) tại điểm M song song với đờng thẳng 5x - y = 0
16.
(ĐHQG TPHCM 1996) Cho (C
m
)
1)(
23
++==
mxxxfy
. Tìm m để (C
m
) cắt đờng
thẳng y= - x+1 tại 3 điểm phân biệt A(0,1) , B, C sao cho tiếp tuyến với (C
m
) tại B và C
vuông góc với nhau.
17.
(HVCNBCVT 2001) Cho hàm số (C):
xxxfy
3)(
3
==

1. CMR đờng thẳng (d
m
): y = m( x + 1) + 2 luôn cắt (C ) tại điểm A cố định.
2. Tìm m để (d
m
) tại 3 điểm phân biệt A , B, C sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C

vuông góc với nhau
18.
(ĐH Ngoại Ngữ HN 2001) Cho (C)
3
2
3
1
)(
3
+==
xxxfy
. Tìm các điểm trên (C) mà tiếp
tuyến tại đó vuông góc với đờng thẳng
3
2
3
1
+=
xy

19.
Cho (C)
73)(
3
+==
xxxfy
,
a. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y= 6x - 1
b. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
2

9
1
+=
xy
20.
(ĐH Mở TPHCM 1999) Cho (C)
23)(
23
+==
xxxfy
, Viết phơng trình tiếp tuyến với (C)
biết tiếp tuyến vuông góc với 5y - 3x + 4 = 0.

21.
(ĐH Huế khối D 1998) Cho (C
m
)
122)(
24
++==
mmxxxfy

Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc với nhau
22.
Viết phơng trình tiếp tuyến của (C):
5
2
1
3
1

4
1
234
++=
xxxxy
song song với đờng
thẳng y= 2x - 1.
23.
Viết phơng trình tiếp tuyến của (C):
142
24
+=
xxxy
vuông góc với đờng thẳng
3
4
1
+=
xy

24.
Cho đồ thị (C
m
):
1
24
+=
mmxxy
. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với
đờng thẳng y=2.x với A là điểm cố định có hoành độ dơng của (C

m
).
25.
(ĐH Thơng Mại 1994). Cho đồ thị (Cm)
(3m 1)x m
y
x m
+
=
+
. Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của
(Cm) với Ox song song với y= - x- 5.
6
26.
(ĐH Xây Dựng 1998) Cho đồ thị
(C)
2
3
3
2
xxy
+=

a. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) song song với y= k. x
b. Tìm GTLN của khoảng cách giữa đờng thẳng y= k.x với tiếp tuyến nói trên khi k

0,5

27.
Cho đồ thị (C)

3
3
56

+
=
x
x
y
. CMR trên đồ thị (C) tồn tại vô số các cặp điểm sao cho tiếp
tuyến tại các cặp điểm này song song với nhau đồng thời tập hợp các đờng thẳng nối các
cặp tiếp điểm đồng qui tại một điểm cố định.
28.
Cho hm s


y f x mx m x m x
3 2
1
( ) ( 1) (4 3 ) 1
3
= = + + +
cú

th

l (C
m
).
Tỡm cỏc giỏ tr

m
sao cho trờn

th

(C
m
) t

n t

i m

t

i

m duy nh

t cú honh

õm m ti

p tuy

n
t

i

ú vuụng gúc v

i

ng th

ng (d):
x y
2 3 0
+ =
.
HD:
(d) cú h

s

gúc
1
2



ti

p tuy

n cú h

s

gúc
k
2
=
. G

i x l honh

ti

p

i

m thỡ:

f x mx m x m mx m x m
2 2
'( ) 2 2( 1) (4 3 ) 2 2( 1) 2 3 0
= + + = + + =
(1)
YCBT

(1) cú

ỳng m

t nghi

m õm.
+ N

u
m
0
=
thỡ (1)
x x
2 2 1
= =
(lo

i)
+ N

u
m
0

thỡ d

th

y ph

ng trỡnh (1) cú 2 nghi

m l

m
x hay x=
m
2 3
1

=

Do

ú

(1) cú m

t nghi

m õm thỡ
m
m hoaởc m
m
2 3 2
0 0
3

< < >
V

y
m hay m
2

0
3
< >
.
29.
Cho hm s


y mx m x m x
3 2
1
( 1) (4 3) 1
3
= + + +
(C
m
). Tỡm cỏc giỏ tr


m
sao cho trờn (C
m
) t

n
t

i

ỳng hai

i

m cú honh

d

ng m ti

p tuy

n t

i

ú vuụng gúc v

i

ng th

ng
+ =
d x y
: 2 3 0
.
HD:
Ta cú:
y mx m x m
2

2( 1) 4 3

= + +
;
d y x
1 3
:
2 2
= +
.
YCBT

ph

ng trỡnh
y
2

=
cú

ỳng 2 nghi

m d

ng phõn bi

t

mx m x m
2
2( 1) 2 3 0
+ + =
cú

ỳng 2 nghi

m d

ng phõn bi

t


m
S
P
0
0
0
0






>

>

>





m
m
1
0
2
1 2
2 3

< <



< <


. V

y
m
1 1 2
0; ;
2 2 3

.

30.
Cho hm s



=

x
y
x
2 1
1
. G

i I l giao

i

m hai ti

m c

n c

a (C). Tỡm

i

m M thu

c (C) sao cho ti

p
tuy

n c

a (C) t

i M vuụng gúc v

i

ng th

ng MI.
HD:
Giao

i

m c

a hai ti

m c

n l I(1; 2). G

i M(a; b)

(C)


a
b
a
2 1
1

=

(a

1)
PTTT c

a (C) t

i M:
a
y x a

a
a
2
1 2 1
( )
1
( 1)

= +


PT

ng th

ng MI:
y x
a
2
1
( 1) 2
( 1)
= +


Ti

p tuy

n t

i M vuụng gúc v

i MI nờn ta cú:
a a
2 2
1 1
. 1
( 1) ( 1)
=




a b
a b
0 ( 1)
2 ( 3)

= =

= =


V

y cú 2

i

m c

n tỡm M
1
(0; 1), M
2
(2; 3)

Dng 3 : Vit phng trỡnh tip tuyn



ca (C):
y f x
( )
=
, bit



i qua im
A A
A x y
( ; )
.
31.
Cho hm s


( )

x 2
y C .
x 2
+
=

Vi

t ph

ng trỡnh ti

p tuy

n c

a
(
)
C
, bi

t ti

p tuy

n

i qua

i

m
7
(
)
A 6;5 .
−
ĐS
: 2 ti
ế
p tuy
ế
n là :
( ) ( )
1 2
x 7
d : y x 1; d : y
4 2
= − − = − +


32.
(§H NT TPHCM 1999). Cho hµm sè (C):
2
2
−
+
=
x

x
y . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm
A(-6;5) ®Õn ®å thÞ (C) .
33.
(§H HuÕ 2001 Khèi D) .ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn tõ ®iÓm O(0;0) ®Õn ®å thÞ (C):
2
)1(3
−
+
=
x
x
y

34.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C)

3 2
1
y x 2x 3x.
3
= − + bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n này
đ
i qua g
ố
c t
ọ
a
độ
O.

HD
: Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
∆
t

ạ
i
đ
i
ể
m
(
)
0 0 0
;
M x y
là

( )
( )
2 3 2
0 0 0 0 0 0
1
: y x 4x 3 x x x 2x 3x
3
∆ = − + − + − +
.
∆
qua O
0 0
0, 3
x x
⇔ = =
.
Khi:

0
0
x
=
thì
: 3
y x
∆ =
. Khi:
0
3
x
=
thì
: 0
y
∆ =
.

35.
(B2008) Cho hàm s
ố
y = 4x
3
– 6x
2
+ 1 (1).
Viêt pttt c
ủ
a

đồ
th
ị
(1), bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó
đ
i qua
đ
i
ể
m M(-1,-9).
Đ
s: y = 24x + 15 và y =
15 21
x
4 4
−

36.
ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua
)
2
3

;0(
A tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè :
2
3
3
2
1
24
+−=
xxy
37.
Cho hµm sè: y = 2x
4
- 4x
2
+ 1 (C). ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua A(1 ;-1).

38.
(§H C«ng §oµn 2001 ) T×m ®iÓm M thuéc (C)
11232
23
−−+=
xxxy
sao cho tiÕp tuyÕn cña (C )
t¹i ®iÓm M ®i qua gèc to¹ ®é.
39.
(§H Y Th¸i B×nh 2001) ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A(3;0) ®Õn
xxy
9
3

+−=

40.
(HV Ng©n Hµng TPHCM 1998). ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A(1;3) ®Õn
3
43
xxy
−=
.
41.
Cho (C)
24
2
1
2
1
)(
xxxfy
−==
. ViÕt p tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm O(0;0) ®Õn ®å thÞ (C).
42.
(§H KT 1997) Cho (C)
22
)2()(
xxfy
−==
. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm
A(0;4) ®Õn ®å thÞ (C).
43.
Cho (C)

2
3
3
2
1
)(
24
+−==
xxxfy ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm






2
3
;0A
®Õn
®å thÞ (C).
44.
Cho ®å thÞ (C):
5312)( −−−==
xxxfy
. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm







4
27
;2A
®Õn (C) .
45.
Cho ®å thÞ (C):
41)(
2
xxxfy −−+==
. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm
(
)
221;1 −−
A
®Õn (C)
46.
Cho ®å thÞ (C):
).43()(
2
x
exxfy −==
vµ gèc to¹ ®é O(0;0) .ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua
®iÓm O(0;0) ®Õn ®å thÞ (C) .
47.
Cho ®å thÞ (C):
x
lnx1
y
+

=
. Vݪt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua 0(0;0) ®Õn (C)
48.
(§H Ngo¹i Ng÷ 1998) Cã bao nhiªu tiÕp tuyÕn ®i qua






3
4
;
9
4
A

®Õn ®å thÞ (C)
432
3
1
23
++−=
xxxy .
49.
Cho hµm sè: y = x
3
+ 3mx
2
+ (m + 1)x + 1.

T×m m ®Ó tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = -1 ®i qua ®iÓm A(1:2).
8
50.
Tìm m để từ điểm A(1;2) kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC đến đồ thị (C)
2

+
=
x
mx
y
sao cho
tam giác ABC đều (ở đây B,C là 2 tiếp điểm).
51.
( ĐH Xây Dựng 2001) Cho đồ thị (C):
ln.)( xxxfy
=
=
và M(2;1). Từ điểm M kẻ đợc
bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C) .

Dng 4: Vit phng trỡnh tip tuyn



ca (C):
y f x
( )
=
, bit

to vi trc Ox mt gúc



.

52.
Cho (C)
42
3
1
23
+= xxxy
,
a. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 60
0

b. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 15
0

c. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với trục hoành góc 75
0


Dng 5: Vit phng trỡnh tip tuyn

ca (C):
y f x
( )
=
, bit



to vi ng thng d:
y ax b
= +

mt gúc



.

53.
Cho đồ thị (C):
5
2
73
+


=
x
x

y
. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) khi biết :
a. Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= - 2x góc 45
0

b. Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= - x góc 60
0


54.
Cho (C)
3 2
y f (x) 2x 3x 12x 5
= =
. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với
5
2
1
+= xy
góc 45
0

55.
Cho (C):
3 2
1
y x 2x x 4
3
= +
. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với đờng thẳng

3
2
1
+=
xy
góc
30
0

56.
Cho đồ thị (C):
1
34


=
x
x
y
. Viết pt tiếp tuyến tạo với đờng thẳng (d): y= 3x góc 45
0
.

57.
Cho hàm số
3 2
m
y x 3mx mx 1 (C )
= + +
. Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị (C

m
)
tại điểm có hoành độ x = -1 tạo với đờng thẳng (d): y = x + 1 một góc 45
0
.

58.
Cho hm s


y x m x m x m
3 2
(1 2 ) (2 ) 2
= + + + +
(1) (
m
l tham s

).
Tỡm tham s


m




th

c

a hm s

(1) cú ti

p tuy

n t

o v

i

ng th

ng d:
x y
7 0
+ + =
gúc

,
bi

t
1
cos
26

=

.
HD:
G

i k l h

s

gúc c

a ti

p tuy

n

ti

p tuy

n cú VTPT
n k
1
( ; 1)
=



ng th

ng d cú VTPT
n
2
(1;1)
=

.
Ta cú
n n
k
k k k k
n n
k
1 2
2
2
1 2
.
1 1 3 2
cos 12 26 12 0
2 3
.
26
2 1


= = + = = =
+

YCBT tho

món

ớt nh

t m

t trong hai ph

ng trỡnh sau cú nghi

m:

y
y
3
2
2
3


=




=

x m x m
x m x m
2
2
3
3 2(1 2 ) 2
2
2
3 2(1 2 ) 2
3

+ + =



+ + =





/
1
/
2
0

0











m m
m m
2
2
8 2 1 0
4 3 0









m m
m m
1 1

;
4 2
3
; 1
4











m
1
4

ho

c
m
1
2


Cõu h

i t

ng t

:
9
a) V
ớ
i
y x mx d x y
3
1
3 2; : 7 0; cos
26
α
= − + + + = =
.
Đ
S:
m
2
9
≥ −
.

Dạng 6: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3, tiếp tuyến với
đồ thị (C):
=
y f x
( )

.

59.
Cho hàm s
ố

y x x
3
3
= −
(C). Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng (d):
y x
= −
các
đ
i
ể
m M mà t
ừ

đ
ó k
ẻ

đượ
c

đ
úng
2 ti
ế
p tuy
ế
n phân bi
ệ
t v
ớ
i
đồ
th
ị
(C).
HD:
G
ọ
i
M m m d
( ; )
− ∈
. PT
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
qua M có d
ạ

ng:
y k x m m
( )
= − −
.
∆
là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C)
⇔
h
ệ
PT sau có nghi
ệ
m:
x x k x m m
x k
3
2
3 ( ) (1)
3 3 (2)


− = − −

− =



(*)
Thay (2) vào (1) ta
đượ
c:
x mx m
3 2
2 3 4 0
− + =

⇔

x
m
x
3
2
2
3 4
=
−
(**)
T
ừ
M k
ẻ

đượ
c

đ
úng 2 ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C)
⇔
(**) có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
Xét hàm s
ố

x
f x
x
3
2
2
( )
3 4
=
−
. T
ậ
p xác

đị
nh
D R
2 3 2 3
\ ;
3 3
 
 
= −
 


x x
f x
x
4 2
2 2
6 24
( )
(3 4)
−
′
=
−
;
x
f x
x
0
( ) 0

2

=
′
= ⇔

= ±


D
ự
a vào BBT, (**) có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
⇔

m
m
2
2

= −

=

. V
ậ
y:

M
( 2;2)
−
ho
ặ
c
M
(2; 2)
−
.
60.
Cho hàm s
ố

= − +
y x x
3
3 2
. Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng
d y
: 4
=
các
đ
i
ể

m mà t
ừ

đ
ó k
ẻ

đượ
c
đ
úng 2 ti
ế
p
tuy
ế
n v
ớ
i (C).
HD:
G
ọ
i
M m d
( ;4)
∈
. PT
đườ
ng th
ẳ
ng

∆
qua M có d
ạ
ng:
y k x m
( ) 4
= − +

∆
là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C)
⇔
h
ệ
PT sau có nghi
ệ
m:
x x k x m
x k
3
2
3 2 ( ) 4 (1)
3 3 (2)



− + = − +

− =


(*)
Thay (2) vào (1) ta
đượ
c:
x x m x m
2
( 1) 2 (3 2) 3 2 0 (3)
 
+ − + + + =
 


⇔

x
x m x m
2
1
2 (3 2) 3 2 0 (4)

= −

− + + + =


YCBT
⇔
(3) có
đ
úng 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
+ TH1: (4) có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t, trong
đ
ó có 1 nghi
ệ
m b
ằ
ng –1
⇔

m
1
= −

+ TH2: (4) có nghi
ệ
m kép khác –1
⇔

m m
2
2
3
= − ∨ =

V
ậ
y các
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm là:
( 1;4)
−
;
2
;4
3
 
−
 
 
;
(2;4)
.

61.
Cho hàm s
ố

y x x m x m
3 2
2 ( 1) 2
= − + − +
(C
m
).
Tìm
m

để
t
ừ

đ
i
ể
m
M
(1;2)
k
ẻ

đượ
c
đ

úng 2 ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C
m
).
HD:
PT
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
qua M có d
ạ
ng:
y k x
( 1) 2
= − +
.
∆
là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ

a (Cm)
⇔
h
ệ
PT sau có
nghi
ệ
m:
x x m x m k x
x x m k
3 2
2
2 ( 1) 2 ( 1) 2
3 4 1


− + − + = − +

− + − =



⇒

f x x x x m
3 2
( ) 2 5 4 3( 1) 0
= − + − − =
(*)
Để

qua M k
ẻ

đượ
c
đ
úng hai ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n (Cm) thì (*) có
đ
úng 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
Ta có
f x x x f x x x
2
2
( ) 6 10 4 ( ) 0 1;
3
′ ′
= − +
⇒
= ⇔ = =

Các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a (Cm) là:
A m B m
2 109
(1;4 3 ), ; 3
3 27
 
− −
 
 
.
10
Do
đ
ó (*) có
đ
úng 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t

⇔

m
A Ox
B Ox
m
4
3
109
81

=


∈
⇔


∈


=


.
62.
Cho hàm s
ố

y x x

3 2
3 2
= − + −
(C).
Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
):
y
= 2 các
đ
i
ể
m mà t
ừ

đ
ó k
ẻ

đượ
c 3 ti
ế
p tuy
ế
n phân bi
ệ

t v
ớ
i
đồ
th
ị
(C).
HD:
G
ọ
i
M m d
( ;2) ( )
∈
. PT
đườ
ng th
ẳ
ng
∆

đ
i qua
đ
i
ể
m M có d
ạ
ng :
y k x m

( ) 2
= − +

∆
là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C)
⇔
h
ệ
PT sau có nghi
ệ
m
x x k x m
x x k
3 2
2
3 2 ( ) 2 (1)
3 6 (2)


− + − = − +

− + =



(*).
Thay (2) và (1) ta
đượ
c:
x m x mx x x m x
3 2 2
2 3( 1) 6 4 0 ( 2) 2 (3 1) 2 0
 
− + + − = ⇔ − − − + =
 

⇔

x
f x x m x (3)
2
2
( ) 2 (3 1) 2 0

=

= − − + =


T
ừ
M k
ẻ

đượ

c 3 ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n
đồ
th
ị
(C)
⇔
h
ệ
(*) có 3 nghi
ệ
m x phân bi
ệ
t

⇔
(3) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khác 2
m m
f
m
5

0
1
3
(2) 0
2
∆



>
< − ∨ >
⇔ ⇔
 
≠


≠

.
V
ậ
y t
ừ
các
đ
i
ể
m M(m; 2)
∈
(d) v

ớ
i
m m
m
5
1
3
2


< − ∨ >


≠

có th
ể
k
ẻ

đượ
c 3 ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C).
Câu h
ỏ

i t
ươ
ng t
ự
:
y x x d Ox
3 2
3 2,= − + − ≡
.
Đ
S:
M m
( ;0)
v
ớ
i
m
m
2
2
1
3

>

− ≠ < −



63.

Cho hàm s
ố

( ) ( )
y x x
2 2
1 . 1
= + −
. Cho
đ
i
ể
m
A a
( ;0)
. Tìm
a

để
t
ừ
A k
ẻ

đượ
c 3 ti
ế
p tuy
ế
n phân bi

ệ
t
v
ớ
i
đồ
th
ị
(C).
HD:
Ta có
y x x
4 2
2 1
= − +
. PT
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
A a
( ;0)
và có h
ệ
s
ố
góc k :
y k x a

( )
= −

d là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C)
⇔
h
ệ
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m:
x x k x a
I
x x k
4 2
3
2 1 ( )
( )
4 4

− + = −



− =



Ta có:
k
I A
x
2
0
( ) ( )
1 0

=
⇔

− =

ho
ặ
c
x x k
B
f x x ax
2
2
4 ( 1)
( )
( ) 3 4 1 0 (1)



− =

= − + =



+ T
ừ
h
ệ
(A), ch
ỉ
cho ta m
ộ
t ti
ế
p tuy
ế
n duy nh
ấ
t là
d y
1
: 0
=
.
+ V
ậ
y

để
t
ừ
A k
ẻ

đượ
c 3 ti
ế
p tuy
ế
n phân bi
ệ
t v
ớ
i (C) thì
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n
và đủ là
h
ệ
(B)
phả
i

có
2
nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
x k
( ; )
v
ớ
i
x
1
≠ ±
, t
ứ
c
là
ph
ươ
ng trình (1) ph
ả
i có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khác
1
±

⇔

a
f
2
4 3 0
( 1) 0
∆

′
= − >

± ≠


⇔

a hoaëc a
3 3
1 1
2 2
− ≠ < − ≠ >

64.
Cho hàm s
ố

x

y
x
1
1
+
=
−
(C). Tìm trên O
y
t
ấ
t c
ả
các
đ
i
ể
m t
ừ

đ
ó k
ẻ

đượ
c duy nh
ấ
t m
ộ
t ti

ế
p tuy
ế
n t
ớ
i
(C).
HD:
G
ọ
i
o
M y
(0; )
là
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm. PT
đườ
ng th
ẳ
ng qua M có d
ạ
ng:
o
y kx y
= +

(d)
(d) là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C)
o
o o o
x
kx y
y x y x y
x
x k
k
x
x
2
2
2
1
( 1) 2( 1) 1 0 (1)
1
2
2
1;
( 1)
( 1)


+

= +
− − + + + =

 
−
⇔ ⇔
−
 
−
≠ =
= 
−


−

(*)
YCBT
⇔
h
ệ
(*) có 1 nghi
ệ
m
⇔
(1) có 1 nghi
ệ
m khác 1

o
o
o
o o o
o
y
y
x y k
x
y y y
x y k
2
1 1
1
; 1 8
1
2
' ( 1) ( 1)( 1) 0
0; 1 2
2
∆
 
=

≠
 
= = ⇒ = −

⇔ ∨ ⇔

 

=
= + − − + =



= = − ⇒ = −
 

V
ậ
y có 2
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm là: M(0; 1) và M(0; –1).
11

65.
Cho hm s


x
y
x
3
1

+
=

(C). Tỡm trờn

ng th

ng
d y x
: 2 1
= +
cỏc

i

m t



ú k



c duy nh

t m

t
ti

p tuy

n t

i (C).
HD:
G

i
M m m d
( ;2 1)
+
. PT

ng th

ng

qua M cú d

ng:
y k x m m
( ) 2 1
= + +

PT honh

giao

i

m c

a

v (C):
x
k x m m
x
3
( ) 2 1
1
+
+ + =




[
]
[
]
kx m k m x mk m
2
( 1) 2 (2 4) 0
+ + + =
(*)
ti

p xuc v

i (C)

(*) cú nghi

m kộp


[ ] [ ]
k
m k m k mk m
2
0
( 1) 2 4 (2 4) 0





= + + =





k
g k m k m m k m
2 2 2 2
0
( ) ( 1) 4( 4) 4 0

= + =


Qua
M m m d
( ;2 1)
+
k



c

ỳng 1 ti

p tuy

n

n (C)


g k
( ) 0
=
cú

ỳng 1 nghi

m
k
0




m m g m
m m g m
m k k
2 2
2 2
32( 2) 0; (0) 4 0
32( 2) 0; (0) 4 0
1
1 0 16 4 0
4




= > = =


= > = =


= + = =

m M
m M
m M
m M
0 (0;1)
1 ( 1; 1)
2 (2;5)
1 (1;3)

=

=

=

=



66.
( ĐH Nông Lâm 2001) Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị
(C):
23
3
xxy +=

trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
67.
Cho đồ thị (C):
73
2
1
234
+=
xxxy . Tìm m để đồ thị (C) luôn luôn có ít nhất 2 tiếp tuyến
song song với đờng thẳng y = mx.
68.
Tìm trên trục Oy các điểm kẻ đến đồ thị
2
y 9 x (C)
=
2 tiếp tuyến vuông góc với nhau
69.
Cho hm s

y = x
4
x
2
+ 1 .
Tỡm t

t c

cỏc

i

m thu

c tr

c Oy m t



ú k



c

ỳng ba ti

p tuy

n

n (C)
70.
Cho hàm số: y = 3x - x
3
có đồ thị là (C). Tìm trên đờng thẳng y = 2 các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến
đến đồ th& (C) .
71.
(HC BCVT TPHCM 1999). Cho (C):

23)(
23
+== xxxfy
. Tìm các đI ểm trên (C) để
kẻ đợc đúng một tiếp tuyến tới đồ thị (C).
72.
(ĐH Dợc 1996). Cho (C):
cbxaxxxfy +++==
23
)(
. Tìm các điểm trên (C) để kẻ đợc
đúng một tiếp tuyến tới đồ thị (C).
73.
Tìm trên đờng thẳng y=2 các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
23
23
+= xxy
.
74.
( ĐH QG TPHCM 1999) Tìm trên đờng thẳng x = 2 các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
23
3
xxy =
.
75.
Cho (C)
12)(
24
+== xxxfy
. Tìm tất cả các điểm thuộc Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ

thị (C).
76.
Cho đồ thị (C) :
124
2
+++= xxxy
. Tìm trên trục tung các điểm có thể kẻ ít nhất 1 tiếp
tuyến đến (C) .
77.
Cho đồ thị (C):
742)(
2
++== xxxxfy
. Tìm trên đờng thẳng x = 1 các điểm có thể
kẻ đợc tiếp tuyến đến (C) .
78.
Cho đồ thị (C):
10725)(
2
+== xxxfy
. Tìm trên đờng thẳng
24
=
y
các điểm
có thể kẻ đợc tiếp tuyến đến (C) .

Dng 7: Tỡm iu kin ca tham s hai ng tip xỳc nhau

12

79.
Cho hàm s
ố

m x m
y
x
2
(2 1)
1
− −
=
−
. Tìm m
để

đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng th

ẳ
ng
y x
=
.
HD:
TX
Đ
: D = R \ {1}.
Để

đồ
th
ị
ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
y x
=
thì:

− −
=



−

−

=

−

m x m
x
x
m
x
2
2
2
(2 1)
(*)
1
( 1)
1 (**)
( 1)
có nghi
ệ
m.
T
ừ
(**) ta có
m x

2 2
( 1) ( 1)
− = −

⇔

x m
x m
2

=

= −


•
V
ớ
i x = m, thay vào (*) ta
đượ
c:
m
0 0
=
(tho
ả
v
ớ
i m
ọ

i m). Vì x
≠
1 nên m
≠
1.
•
V
ớ
i x = 2 – m, thay vào (*) ta
đượ
c:
m m m m m
2
(2 1)(2 ) (2 )(2 1)
− − − = − − −

⇔

m
2
4( 1) 0
− =

⇔

m
1
=

⇒

x = 1 (lo
ạ
i)
V
ậ
y v
ớ
i m
≠
1 thì
đồ
th
ị
hàm s
ố
ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
y x
=
.
80.
Tìm m
để

2
đườ
ng sau ti
ế
p xúc nhau:

a.
)(
m
C

mxmxxy 33
23
+−−=

và
Ox.
b.
)(
m
C
:
)12(2)232()1(
223
−++−−+−=
mmxmmxmxy
và
®−êng th¼ng y = - 49x + 98.
c.
)(

m
C
:
61632
3
+−−=
mxmxy

và
Ox.
d. (C):
xxxy 44
23
+−=

và

)(
m
D
: y = mx - 3m +3.
e. (C):
mxxmxxy
−−−++=
234
)1(

và
Ox.
f. (C):

42)5(
24
+−−−+=
mmxxmxy và
Ox.
g.
3 2
1
(C ) : y mx (1 2m)x 2mx
= + − +
và

3
2
(C ): y 3mx 3(1 2m)x 4m 2
= + − + −

h.
)(
m
C
:
m
mx
mxxm
y
+
++−−
=
4)2)(1(

2

và
y= 1
k.
)(
m
C
:
m
x
mmxmxmx
y
−
+−−−−+
=
)3()13()12(
223
và
đườ
ng
th¼ng y= x + m + 1
l. TCX cña
1
2)12(
2
−
++−+
=
x

mxmmx
y

và
(P)
9
2
−=
xy

m.
)(
m
C

818)3(32
23
−++−=
mxxmxy

và
Ox.
n.
2
1
x x 1
(C ) : y
x 1
− +
=

−
và

2
2
(C ): y x 1 m
= + +

o.
CMR (C)
x
x
xfy
ln
)( ==
lu«n tiÕp xóc víi y= e.

Các bài toán khác

81.
Cho hàm s
ố

= − +
y x x
3 2
2 3 1
. Tìm trên (C) nh
ữ
ng

đ
i
ể
m M sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M c
ắ
t tr
ụ
c
tung t
ạ
i
đ
i
ể
m có tung
độ
b
ằ
ng 8.
HD:
Gi
ả

s
ử

∈
M x y C
0 0
( ; ) ( )

⇒

= − +
y x x
3 2
0 0 0
2 3 1
. Ta có:
′
= −
y x x
2
3 6
.
PTTT
∆
t
ạ
i M: y x x x x x x
2 3 2
0 0 0 0 0
(6 6 )( ) 2 3 1

= − − + − +
.
đ
i qua
P
(0;8)
⇔

x x
3 2
0 0
8 4 3 1
= − + +

⇔

x
0
1
= −
. V
ậ
y
M
( 1; 4)
− −
.

82.
Cho hàm s

ố

y x x
3 2
3 1
= − +
có
đồ
th
ị
(C). Tìm hai
đ
i
ể
m A, B thu
ộ
c
đồ
th
ị
(C) sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
(C) t
ạ
i A và B song song v

ớ
i nhau và
độ
dài
đ
o
ạ
n AB =
4 2
.
HD:
Gi
ả
s
ử

A a a a B b b b
3 2 3 2
( ; 3 1), ( ; 3 1)
− + − +
thu
ộ
c (C), v
ớ
i
a b
≠
.
Vì ti
ế

p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B song song v
ớ
i nhau nên:
13
y a y b
( ) ( )
′ ′
=

⇔

a a b b a b a b a b a b
2 2 2 2
3 6 3 6 2( ) 0 ( )( 2) 0
− = − ⇔ − − − = ⇔ − + − =

⇔

a b b a
2 0 2
+ − = ⇔ = −
. Vì
a b
≠

nên
a a a
2 1
≠ − ⇔ ≠

Ta có: AB b a b b a a b a b a b a
2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 2
( ) ( 3 1 3 1) ( ) ( 3( ))
= − + − + − + − = − + − − −
b a b a ab b a b a b a
2
2 3
( ) ( ) 3 ( ) 3( )( )
 
= − + − + − − − +
 
b a b a b a ab
2
2 2 2
( ) ( ) ( ) 3 3.2
 
= − + − − + −
 

b a b a b a ab
2
2 2 2
( ) ( ) ( ) 6
 
= − + − + − −

 
b a b a ab
2 2 2
( ) ( ) ( 2 )
= − + − − −


2
AB b a ab a a a
2 2 2 2 2
( ) 1 ( 2 ) (2 2 ) 1 ( 2 2)
   
= − + − − = − + − −
   


a a a a a
2
2 2 2 4 2
4( 1) 1 ( 1) 3 4( 1) ( 1) 6( 1) 10
 
   
= − + − − = − − − − +
 
   
 


a a a
6 4 2

4( 1) 24( 1) 40( 1)
= − − − + −

Mà
AB
4 2
=
nên
a a a
6 4 2
4( 1) 24( 1) 40( 1) 32
− − − + − =
a a a
6 4 2
( 1) 6( 1) 10( 1) 8 0
⇔ − − − + − − =
(*)
Đặ
t
t a t
2
( 1) , 0
= − >
. Khi
đ
ó (*) tr
ở
thành:

t t t t t t t

3 2 2
6 10 8 0 ( 4)( 2 2) 0 4
− + − = ⇔ − − + = ⇔ =

⇒
a b
a
a b
2
3 1
( 1) 4
1 3

= ⇒ = −
− = ⇔

= − ⇒ =


V
ậ
y 2
đ
i
ể
m tho
ả
mãn YCBT là:
A B
(3;1), ( 1; 3)

− −
.
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
: V
ớ
i
y x x AB
3 2
3 2; 4 2
= − + =
.
Đ
S:
A B
(3;2), ( 2; 2)
− −
.

83.
Cho hàm s
ố

y f x x x x
3 2
( ) 6 9 3

= = + + +
(C). Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị

k
,
để
t
ồ
n t
ạ
i 2 ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C)
phân bi
ệ
t và có cùng h
ệ
s
ố
góc
k

,
đồ
ng th
ờ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua các ti
ế
p
đ
i
ể
m c
ủ
a hai ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó
c
ắ
t các tr
ụ
c O

x
, O
y
t
ươ
ng
ứ
ng t
ạ
i A và B sao cho
=
OA OB
2011.
.
HD:
PTTT c
ủ
a (C) có d
ạ
ng:
= +
y kx m
. Hoành
độ
ti
ế
p
đ
i
ể

m
x
0
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
f x k x x k
2
0 0 0
( ) 3 12 9 0
′
= ⇔ + + − =
(1)
Để
t
ồ
n t
ạ
i 2 ti
ế
p tuy
ế
n phân bi
ệ
t thì ph
ươ

ng trình (1) ph
ả
i có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
⇔

k k
9 3 0 3
∆
′
= + > ⇔ > −
(2)
To
ạ

độ
các ti
ế
p
đ
i
ể
m
x y
0 0
( ; )
c

ủ
a 2 ti
ế
p tuy
ế
n là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
:
0 0
2
0 0
6 2 9
3 3
3 12 9
− −

= +



+ + =

k k
y x
x x k
.

Ph
ươ
ng
y x x x
x x k
3 2
0 0 0 0
2
0 0
6 9 3
3 12 9

= + + +


+ + =


trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua các t
ế
p
đ
i
ể

m là:
k k
y x
6 2 9
3 3
− −
= +

Do d c
ắ
t các tr
ụ
c Ox, Oy t
ươ
ng
ứ
ng t
ạ
i A và B sao cho:
OA OB
2011.
=
nên có th
ể
x
ả
y ra:
+ N
ế
u

A O
≡
thì
B O
≡
. Khi
đ
ó d
đ
i qua O
⇒

k
9
2
=
.
+ N
ế
u
A O
≠
thì
∆
OAB vuông t
ạ
i O. Ta có:

OB
OAB

OA
tan 2011
= =

⇒

k 6
2011
3
−
= ±

⇒

k
6039
=
(tho
ả
(2)) ho
ặ
c
k
6027
= −
(không tho
ả
(2)). V
ậ
y:

k k
9
; 6039
2
= =
.


84.
Cho hàm s
ố

= − + −
y x mx m
3
1
(C
m
).
Tìm
m

để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a

đồ
th
ị
(C
m
) t
ạ
i
đ
i
ể
m M có hoành
độ
= −
x
1
c
ắ
t
đườ
ng tròn (C) có
ph
ươ
ng trình
x y
2 2
( 2) ( 3) 4
− + − =
theo m
ộ

t dây cung có
độ
dài nh
ỏ
nh
ấ
t.
HD:
Ta có:
y x m
2
3
′
= −

⇒

y m
( 1) 3
′
− = −
;
y m
( 1) 2 2
− = −
. (C) có tâm
I
(2;3)
, R = 2.
PTTT d t

ạ
i
M m
( 1;2 2)
− −
:
y m x m
(3 ) 1
= − + +

⇔

m x y m
(3 ) 1 0
− − + + =


m mm
d I d R
m m m
2
2 2 2
1 (3 ) 2. (3 ) 14
( , ) 2
(3 ) 1 (3 ) 1 (3 ) 1
+ − − +−
= = ≤ = <
− + − + − +

14

D
ấ
u "=" x
ả
y ra
⇔

m
2
=
. Dó
đ
ó
d I d
( , )

đạ
t l
ớ
n nh
ấ
t
⇔

m
2
=

Ti
ế

p tuy
ế
n d c
ắ
t (C) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m A, B sao cho AB ng
ắ
n nh
ấ
t
⇔

d I d
( , )

đạ
t l
ớ
n nh
ấ
t
⇔

m
2

=

Khi
đ
ó: PTTT d:
y x
3
= +
.
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
: a)
M
y x mx m x C x y
3 2 2
1
1; 1;( ) : ( 2) ( 3)
5
= − + − = − + − =
.
Đ
S:
m m
5
1;
2

= =
.
85.
Cho hàm s
ố

y x mx m
4 2
2
= − +
(1) ,
m
là tham s
ố
.
G
ọ
i A là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s

ố
(1) có hoành
độ
b
ằ
ng 1. Tìm
m

để
kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m
B
3
; 1
4
 
 
 

đế
n ti
ế
p tuy

ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
(1) t
ạ
i A là l
ớ
n nh
ấ
t .
HD:

A Cm
( )
∈
nên
A m
(1;1 )
−
.
y x mx y m
3
' 4 4 '(1) 4 4
= − ⇒ = −

Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (Cm) t
ạ
i A:
y m y x
(1 ) (1).( 1)
′
− − = −

⇔

m x y m
(4 4 ) 3(1 ) 0
− − − − =

Khi
đ
ó d B
m
2
1
( ; ) 1

16(1 ) 1
∆
−
= ≤
− +
, D
ấ
u ‘=’ x
ả
y ra
⇔
khi m = 1.
Do
đ
ó
d B
( ; )
∆
l
ớ
n nh
ấ
t b
ằ
ng 1 khi và ch
ỉ
khi m = 1.


86.

Cho hàm s
ố

x
y
x
2 3
1
+
=
+
có
đồ
th
ị
là (C). L
ậ
p ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) t

ạ
i nh
ữ
ng
đ
i
ể
m
thu
ộ
c
đồ
th
ị
có kho
ả
ng cách
đế
n
đườ
ng th
ẳ
ng
+ − =
d x y
: 3 4 2 0
b
ằ
ng 2.
HD:

Gi
ả
s
ử

M x y C
0 0
( ; ) ( )
∈

⇒

x
y
x
0
0
0
2 3
1
+
=
+
.
Ta có:
x y
d M d
0 0
2 2
3 4 2

( , ) 2 2
3 4
+ −
= ⇔ =
+
x y
0 0
3 4 12 0
⇔ + − =
ho
ặ
c
x y
0 0
3 4 8 0
+ + =

•
V
ớ
i
x
x y x
x
0
0 0 0
0
2 3
3 4 12 0 3 4 12 0
1

 
+
+ − = ⇔ + − = ⇔
 
 
+
 
x M
x M
0 1
0 2
0 (0;3)
1 1 11
;
3 3 4

= ⇒

 

= ⇒
 

 


•
V
ớ
i

x y
0 0
3 4 8 0
+ + =

x
x
x
0
0
0
2 3
3 4 8 0
1
 
+
⇔ + + =
 
 
+
 

x M
x M
0 3
0 4
7
5 5;
4
4 4

; 1
3 3

 
= − ⇒ −
 

 
⇔ 
 

= − ⇒ − −
 

 


⇒
PTTT t
ạ
i
M
1
(0;3)
là
y x
3
= − +
; PTTT t
ạ

i
M
2
1 11
;
3 4
 
 
 
là
y x
9 47
16 16
= − +
;
PTTT t
ạ
i
M
3
7
5;
4
 
−
 
 
là
y x
1 23

16 16
= − +
; PTTT t
ạ
i
M
4
4
; 1
3
 
− −
 
 
là
y x
9 13
= − −
.

87.
Cho
hà
m s
ố
x
y
x
2 1
1

−
=
−
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C), bi
ế
t kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m I(1; 2)
đế
n
ti
ế
p tuy
ế

n b
ằ
ng
2
.
HD:
Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i
đ
i
ể
m
M x f x C
0 0
( ; ( )) ( )
∈
có ph
ươ
ng trình:

y f x x x f x
0 0 0
'( )( ) ( )

= − +

⇔

x x y x x
2 2
0 0 0
( 1) 2 2 1 0
+ − − + − =
(*)
Kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m I(1; 2)
đế
n ti
ế
p tuy
ế
n (*) b
ằ
ng
2
x
x

0
4
0
2 2
2
1 ( 1)
−
⇔ =
+ −
⇔

x
x
0
0
0
2

=

=


Các ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm :

x y
1 0
+ − =
và
x y
5 0
+ − =

88.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2
2
=
+
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a

đồ
th
ị
(C), bi
ế
t r
ằ
ng kho
ả
ng cách t
ừ

tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
(C)
đế
n ti
ế
p tuy
ế
n là l
ớ

n nh
ấ
t.
HD:
Ti
ế
p tuy
ế
n (d) c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i
đ
i
ể
m M có hoành
độ

a
2
≠ −
thu
ộ
c (C) có ph
ươ

ng trình:
15

a
y x a x a y a
a
a
2 2
2
4 2
( ) 4 ( 2) 2 0
2
( 2)
= − + ⇔ − + + =
+
+

Tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a (C) là
(
)
I
2;2
−
. Ta có:

a a a
d I d
a
a a
4 2
8 2 8 2 8 2
( , ) 2 2
2 2 2
16 ( 2) 2.4.( 2)
+ + +
= ≤ = =
+
+ + +


d I d
( , )
l
ớ
n nh
ấ
t khi
a
a
a
2
0
( 2) 4
4


=
+ = ⇔

= −

. T
ừ

đ
ó suy ra có hai ti
ế
p tuy
ế
n
y x
=
và
y x
8
= +
.
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
: a) V
ớ
i

x
y
x
1
=
−
.
Đ
S:
y x y x
; 4
= − = − +
.
89.
Cho hàm s
ố
y =
x
x
2
1
+
+
. G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c

ủ
a 2
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n,
∆
là m
ộ
t ti
ế
p tuy
ế
n b
ấ
t k
ỳ
c
ủ
a
đồ

th
ị
(C).
d
là kho
ả

ng cách t
ừ
I
đế
n
∆
. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
d
.
HD:

y
x
2
1
( 1)
−
′
=
+
. Giao
đ

i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n là I(–1; 1). Gi
ả
s
ử

x
M x C
x
0
0
0
2
; ( )
1
 
+
∈
 
 
+

 

Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
∆
v
ớ
i
đồ
thi hàm s
ố
t
ạ
i M là:

( )
x
y x x
x
x
0
0
2
0
0

2
1
( )
1
1
+
−
= − +
+
+

( ) ( )( )
x x y x x x
2
0 0 0 0
1 1 2 0
⇔ + + − − + + =

Kho
ả
ng cách t
ừ
I
đế
n
∆
là d =
( )
x
x

0
4
0
2 1
1 1
+
+ +
=
( )
( )
x
x
2
0
2
0
2
2
1
1
1
≤
+ +
+

V
ậ
y GTLN c
ủ
a d b

ằ
ng
2
khi
x
0
0
=
ho
ặ
c
x
0
2
= −
.


90.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2 1
1
+
=
+

. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C), bi
ế
t r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ế
n cách
đề
u hai
đ
i
ể
m
A

(2; 4),
B
(
−
4;
−
2).
HD:
G
ọ
i x
0
là hoành
độ
ti
ế
p
đ
i
ể
m (
x
0
1
≠ −
).
PTTT (d) là
x
y x x
x

x
0
0
2
0
0
2 1
1
( )
1
( 1)
+
= − +
+
+

⇔

x x y x x
2 2
0 0 0
( 1) 2 2 1 0
− + + + + =

Ta có:
d A d d B d
( , ) ( , )
=

⇔

x x x x x x
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 4( 1) 2 2 1 4 2( 1) 2 2 1
− + + + + = − + + + + +

⇔

x x x
0 0 0
1 0 2
= ∨ = ∨ = −

V
ậ
y có ba ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n:
= + = + = +
y x y x y x
1 5
; 1; 5
4 4

91.

Cho hàm s
ố
:
x
y
x
2
1
+
=
−
(C). Cho
đ
i
ể
m
A a
(0; )
. Tìm
a

để
t
ừ
A k
ẻ

đượ
c 2 ti
ế

p tuy
ế
n t
ớ
i
đồ
th
ị
(C) sao
cho 2 ti
ế
p
đ
i
ể
m t
ươ
ng
ứ
ng n
ằ
m v
ề
2 phía c
ủ
a tr
ụ
c hoành.
Hd:
Ph

ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
A a
(0; )
và có h
ệ
s
ố
góc k:
y kx a
= +

d là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C)
⇔
H
ệ
PT
x

kx a
x
k
x
2
2
1
3
( 1)

+
= +


−

−
=

−

có nghi
ệ
m
PT:
a x a x a
2
(1 ) 2( 2) ( 2) 0
− + + − + =
(1) có nghi

ệ
m
x
1
≠
.
Để
qua A có 2 ti
ế
p tuy
ế
n thì (1) ph
ả
i có 2 nghi
ệ
m p. bi
ệ
t
x x
1 2
,

⇔

a
a
a
a
1
1

2
3 6 0
∆

≠

≠
⇔
 
′
> −
= + >


(*)
Khi
đ
ó ta có:
a a
x x x x
a a
1 2 1 2
2( 2) 2
;
1 1
+ +
+ = =
− −
và
y y

x x
1 2
1 2
3 3
1 ; 1
1 1
= + = +
− −

16
Để
2 ti
ế
p
đ
i
ể
m n
ằ
m v
ề
2 phía
đố
i v
ớ
i tr
ụ
c hoành thì
y y
1 2

. 0
<

⇔

x x
1 2
3 3
1 . 1 0
1 1
   
+ + <
   
− −
   

⇔

x x x x
x x x x
1 2 1 2
1 2 1 2
. 2( ) 4
0
. ( ) 1
+ + +
<
− + +

⇔

a
3 2 0
+ >

⇔

a
2
3
> −

K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c:
a
a
2

3
1


> −


≠


92.
Cho hàm s
ố

x
y
x
1
2 1
− +
=
−
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ

i
m
,
đườ
ng th
ẳ
ng
d y x m
:
= +
luôn c
ắ
t (C) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B. G
ọ
i
k k
1 2
,
l
ầ
n l
ượ

t là h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a các ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C) t
ạ
i A và B. Tìm
m

để

t
ổ
ng
+
k k
1 2

đạ
t giá tr
ị
l

ớ
n nh
ấ
t.
Hd:
PT hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a d và (C):
x
x m
x
1
2 1
− +
= +
−

⇔

x
g x x mx m
2
1
2

( ) 2 2 1 0 (*)

≠



= + − − =


Vì
g
m m m
g
2
2 2 0,
1
0
2
∆

′
= + + > ∀


 
≠
 

 


nên (*) luôn có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
x x
1 2
,
.
Theo
đị
nh lí Viet ta có:
m
x x m x x
1 2 1 2
1
;
2
− −
+ = − =
. Gi
ả
s
ử
:
A x y B x y
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
.
Ti

ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A và B có h
ệ
s
ố
góc là:
k k
x x
1 2
2 2
1 2
1 1
;
(2 1) (2 1)
= − = −
− −

⇒

k k m
2
1 2
4( 1) 2 2
+ = − + − ≤ −
. D
ấ

u "=" x
ả
y ra
⇔

m
1
= −
.
V
ậ
y:
k k
1 2
+

đạ
t GTLN b
ằ
ng
2
−
khi
m
1
= −
.

93.
Cho hàm s

ố

x
y
x
2
2 3
+
=
+
(1). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
(1), bi
ế
t ti
ế

p tuy
ế
n
đ
ó
c
ắ
t tr
ụ
c hoành, tr
ụ
c tung l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B và tam giác OAB cân t
ạ
i g
ố
c t
ọ
a

độ
O.
HD:
G
ọ
i
x y
0 0
( ; )
là to
ạ

độ
c
ủ
a ti
ế
p
đ
i
ể
m
⇒

y x
x
0
2
0
1

( ) 0
(2 3)
−
′
= <
+

∆
OAB cân t
ạ
i O nên ti
ế
p tuy
ế
n
∆
song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
y x
= −
(vì ti
ế
p tuy
ế
n có h

ệ
s
ố
góc âm).
Ngh
ĩ
a là:
y x
x
0
2
0
1
( ) 1
(2 3)
−
′
= = −
+

⇒

x y
x y
0 0
0 0
1 1
2 0

= − ⇒ =


= − ⇒ =



+ V
ớ
i
x y
0 0
1; 1
= − =

⇒

∆
:
y x y x
1 ( 1)
− = − + ⇔ = −
(lo
ạ
i)
+ V
ớ
i
x y
0 0
2; 0
= − =

⇒

∆
:
y x y x
0 ( 2) 2
− = − + ⇔ = − −
(nh
ậ
n)
V
ậ
y ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm là:
y x
2
= − −
.
94.
Cho hàm s
ố
y =

x
x
2 1
1
−
−
. L
ậ
p ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) sao cho ti
ế
p tuy
ế
n này c
ắ
t các
tr
ụ
c O

x
, O
y
l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i các
đ
i
ể
m A và B tho
ả
mãn OA = 4OB.
HD:
Gi
ả
s
ử
ti
ế
p tuy
ế
n d c
ủ
a (C) t
ạ
i

M x y C
0 0
( ; ) ( )
∈
c
ắ
t Ox t
ạ
i A, Oy t
ạ
i B sao cho
OA OB
4
=
.
Do
∆
OAB vuông t
ạ
i O nên
OB
A
OA
1
tan
4
= =

⇒
H

ệ
s
ố
góc c
ủ
a d b
ằ
ng
1
4
ho
ặ
c
1
4
−
.
H
ệ
s
ố
góc c
ủ
a d là
y x
x x
0
2 2
0 0
1 1 1

( ) 0
4
( 1) ( 1)
′
= − < ⇒ − = −
− −

⇔

x y
x y
0 0
0 0
3
1 ( )
2
5
3 ( )
2

= − =



= =



17
Khi

đ
ó có 2 ti
ế
p tuy
ế
n tho
ả
mãn là:
 
= − + + = − +
 
⇔
 
 
= − − + = − +
 
y x y x
y x y x
1 3 1 5
( 1)
4 2 4 4
1 5 1 13
( 3)
4 2 4 4
.
95.
Cho hàm s
ố

x

y
x
2
2
=
−
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C), bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n này c
ắ
t các tr
ụ
c O
x
, O
y

l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i A và B sao cho
AB OA
2
=
.
HD:
G
ọ
i
M x y C x
0 0 0
( ; ) ( ), 2
∈ ≠
. PTTT t
ạ
i M:
x
y x x
x
x
0
0
2

0
0
2
4
( )
2
( 2)
−
= − +
−
−

Tam giác vuông OAB có AB OA
2
= nên
∆
OAB vuông cân t
ạ
i O. Do
đ
ó d vuông góc v
ớ
i m
ộ
t trong
hai
đườ
ng phân giác
d y x d y x
1 2

: ; :
= = −
và không
đ
i qua O.
+ N
ế
u
d d
1
⊥
thì
x
x
0
2
0
4
1 4
( 2)
−
= − ⇔ =
−

⇒

d y x
: 8
= − +
.

+ N
ế
u
d d
2
⊥
thì
x
2
0
4
1
( 2)
−
=
−

⇒
vô nghi
ệ
m. V
ậ
y PTTT c
ầ
n tìm là:
y x
8
= − +
.
96.

Cho hàm s
ố

x
y
x
1
2 1
+
=
−
. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
m
sao cho t
ồ
n t
ạ
i ít nh
ấ
t m
ộ
t

đ
i
ể
m M
∈
(C) mà ti
ế
p
tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M t
ạ
o v
ớ
i hai tr
ụ
c to
ạ

độ
m
ộ
t tam giác có tr
ọ
ng tâm n
ằ

m trên
đườ
ng th
ẳ
ng
= −
d y m
: 2 1
.
HD:
G
ọ
i
M x y C
0 0
( ; ) ( )
∈
. PTTT t
ạ
i M:
y x x y
x
0 0
2
0
3
( )
(2 1)
−
= − +

−

G
ọ
i A, B là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i tr
ụ
c hoành và tr
ụ
c tung
⇒

B
x x
y
x
2
0 0
2

0
2 4 1
(2 1)
+ −
=
−
.
T
ừ

đ
ó tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a
∆
OAB có:
G
x x
y
x
2
0 0
2
0
2 4 1
3(2 1)
+ −
=

−
. Vì G
∈
d nên
x x
m
x
2
0 0
2
0
2 4 1
2 1
3(2 1)
+ −
= −
−

M
ặ
t khác:
x x x x x
x x x
2 2 2 2
0 0 0 0 0
2 2 2
0 0 0
2 4 1 6 (2 1) 6
1 1
(2 1) (2 1) (2 1)

+ − − −
= = − ≥ −
− − −

Do
đ
ó
để
t
ồ
n t
ạ
i ít nh
ấ
t m
ộ
t
đ
i
ể
m M tho
ả
YCBT thì
m m
1 1
2 1
3 3
− ≥ − ⇔ ≥
. V
ậ

y GTNN c
ủ
a m là
1
3
.

97.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2 3
2
−
=
−
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i

đ
i
ể
m M thu
ộ
c (C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó c
ắ
t
ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng và ti
ệ
m c
ậ
n ngang l
ầ
n l
ượ

t t
ạ
i A, B sao cho

=
cosABI
4
17
, v
ớ
i I là giao 2 ti
ệ
m c
ậ
n.
HD:
I(2; 2). G
ọ
i
x
M x C
x
0
0
0
2 3
; ( )
2
 
−

∈
 
 
−
 
,
x
0
2
≠

Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
∆
t
ạ
i M:
x
y x x
x
x
0
0
2
0

0
2 3
1
( )
2
( 2)
−
= − − +
−
−

Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
∆
v
ớ
i các ti
ệ
m c
ậ
n:
x
A
x
0

0
2 2
2;
2
 
−
 
 
−
 
,
B x
0
(2 2;2)
−
.
Do

ABI
4
cos
17
=
nên

IA
ABI
IB
1
tan

4
= =

⇔

IB IA
2 2
16.
=

⇔
x
4
0
( 2) 16
− =

⇔
x
x
0
0
0
4

=

=


K
ế
t lu
ậ
n: T
ạ
i
M
3
0;
2
 
 
 
ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n:
y x
1 3
4 2
= − +

18
T
ạ
i

M
5
4;
3
 
 
 
ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n:
y x
1 7
4 2
= − +

Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
:

−
= =
+

x
y BAI
x
3 2 5
; cos
1
26
.
Đ
S:
∆
:
y x
5 2
= −
ho
ặ
c
∆
:
y x
5 2
= +
.

98.
Cho hàm s
ố

x

y
x
2 3
2
−
=
−
có
đồ
th
ị
(C). Tìm trên (C) nh
ữ
ng
đ
i
ể
m M sao cho ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M c
ủ
a (C)
c
ắ
t hai ti
ệ

m c
ậ
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A, B sao cho AB ng
ắ
n nh
ấ
t.
HD:
L
ấ
y
đ
i
ể
m
M m
m
1
; 2
2
 
+
 
−
 
(

)
C
∈
. Ta có:
y m
m
2
1
( )
( 2)
′
= −
−

Ti
ế
p tuy
ế
n (d) t
ạ
i M có ph
ươ
ng trình:
y x m
m
m
2
1 1
( ) 2
2

( 2)
= − − + +
−
−

Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d) v
ớ
i ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là:
A
m
2
2;2
2
 
+
 
−
 

Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d) v
ớ
i ti
ệ
m c
ậ
n ngang là:
B m
(2 2;2)
−

Ta có:
AB m
m
2 2
2
1
4 ( 2) 8
( 2)
 
= − + ≥
 
−

 
 
. D
ấ
u “=” x
ả
y ra
⇔

m
m
3
1

=

=

V
ậ
y:
M
(3;3)
ho
ặ
c
M
(1;1)

99.
Cho hàm s
ố
y =
−
−
x
x
2 3
2
.
G
ọ
i
M
là
đ
i
ể
m b
ấ
t kì trên (
C
),
I
là giao
đ
i
ể
m c

ủ
a các
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n. Ti
ế
p
tuy
ế
n
d
c
ủ
a (
C)
t
ạ
i
M
c
ắ
t các
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ

n t
ạ
i
A
và
B.
Tìm to
ạ

độ

đ
i
ể
m
M
sao cho
đườ
ng tròn
ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác
IAB
có di
ệ
n tích b
ằ
ng

2
π
.
Hd:
Ta có: I(2; 2). G
ọ
i
x
M x C x
x
0
0 0
0
2 3
; ( ), 2
2
 
−
∈ ≠
 
 
−
 
. PTTT d:
x
y x x
x
x
0
0

2
0
0
2 3
1
( )
2
( 2)
−
−
= − +
−
−

d c
ắ
t 2 ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
x
A B x
x
0
0
0
2 2

2; , (2 2;2)
2
 
−
−
 
 
−
 
.

IAB
∆
vuông t
ạ
i
I
và
IAB
x M
S x
x M
x
2
0
( ) 0
2
0
0
1 (1;1)

1
2 ( 2) 2
3 (3;3)
( 2)
π

= ⇒
= ⇔ − + = ⇔

= ⇒
−


100.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2 3
2
−
=
−
.G
ọ
i
M
là

đ
i
ể
m b
ấ
t kì trên (
C
). Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (
C)
t
ạ
i
M
c
ắ
t các
đườ
ng ti
ệ
m
c
ậ
n c
ủ

a (
C
) t
ạ
i
A
và
B.
G
ọ
i
I
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a các
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n. Tìm to
ạ

độ

đ

i
ể
m
M
sao cho
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác
IAB
có di
ệ
n tích nh
ỏ
nh
ấ
t.
Hd:
Gi
ả
s
ử

x
M x C x
x
0
0 0

0
2 3
; ( ) 2
2
 
−
∈ ≠
 
 
−
 
,
( )
y x
x
0
2
0
1
'( )
2
−
=
−

Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy

ế
n (
∆
) v
ớ
i ( C) t
ạ
i M:
( )
x
y x x
x
x
0
0
2
0
0
2 3
1
( )
2
2
−
−
= − +
−
−

To

ạ

độ
giao
đ
i
ể
m A, B c
ủ
a (
∆
) v
ớ
i hai ti
ệ
m c
ậ
n là:
( )
x
A B x
x
0
0
0
2 2
2; ; 2 2;2
2
 
−

−
 
 
−
 

Ta th
ấ
y
A B
M
x
x x
x x
0
0
2 2 2
2 2
+ −
+
= = =
,
A B
M
x
y y
y
x
0
0

2 3
2 2
−
+
= =
−

⇒
M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB.
M
ặ
t khác I(2; 2) và
∆
IAB vuông t
ạ
i I nên
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác IAB có di
ệ
n tích

S =
x
IM x x
x
x
2
2 2 2
0
0 0
2
0
0
2 3
1
( 2) 2 ( 2) 2
2
( 2)
π π π π
 
 
 
−
 
 
= − + − = − + ≥
 
 
 
−
 

−
 
 
 

19
D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi
x
x
x
x
2
0
0
2
0
0
1
1
( 2)
3
( 2)

=
− = ⇔


=
−


Do
đ
ó
đ
i
ể
m M c
ầ
n tìm là M(1; 1) ho
ặ
c M(3; 3).
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
: V
ớ
i
x
y
x
3 2
2
+

=
+
.
Đ
S:
M M
(0;1), ( 4;5)
−
.


101.
Cho hàm s
ố

mx
y
x m
2 3
+
=
−
. G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ

a hai ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a (C). Tìm
m

để
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i m
ộ
t
di
ể
m b
ấ
t kì c
ủ
a (C) c
ắ
t hai ti
ệ
m c

ậ
n t
ạ
i A và B sao cho
∆
IAB có di
ệ
n tích
S
64
=
.
HD:
(C) có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng
x m
=
, ti
ệ
m c
ậ
n ngang
y m
2
=

. Giao
đ
i
ể
m 2 ti
ệ
m c
ậ
n là
I m m
( ;2 )
.
G
ọ
i
mx
M x C
x m
0
0
0
2 3
; ( )
 
+
∈
 
 
−
 

. PTTT
∆
c
ủ
a (C) t
ạ
i M:
mx
m
y x x
x m
x m
2
0
0
2
0
0
2 3
2 3
( )
( )
+
+
= − +
−
−
.
c
ắ

t TC
Đ
t
ạ
i
mx m
A m
x m
2
0
0
2 2 6
;
 
+ +
 
 
−
 
, c
ắ
t TCN t
ạ
i
B x m m
0
(2 ;2 )
−
.
Ta có:

m
IA
x m
2
0
4 6
+
=
+
;
IB x m
0
2
= −

⇒

= = + =
IAB
S IA IB m
2
1
. 4 6 64
2
⇔

m
58
2
= ±

.

102.
Cho ®å thÞ (Cm):
m
x
mx
y
−
+
=
32
. T×m m ®Ó tiÕp tuyÕn bÊt kú cña (Cm) c¾t 2 ®−êng th¼ng tiÖm
cËn t¹o nªn 1 tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 8.

103.
Cho hàm s
ố

=
−
x
y
x
1
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti

ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C), bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i 2
đườ
ng ti
ệ
m
c
ậ
n c
ủ
a (C) m
ộ
t tam giác có chu vi
(
)
= +

P
2 2 2
.
HD:
(C) có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng
x
1
=
, ti
ệ
m c
ậ
n ngang
y
1
=
. Giao
đ
i
ể
m 2 ti
ệ
m c
ậ

n là
I
(1;1)
.
G
ọ
i
x
M x C x
x
0
0 0
0
; ( ) ( 1)
1
 
∈ ≠
 
 
−
 
. PTTT
∆
c
ủ
a (C) t
ạ
i M:
x
y x x

x
x
0
0
2
0
0
1
( )
1
( 1)
= − − +
−
−
.
c
ắ
t TC
Đ
t
ạ
i
x
A
x
0
0
1
1;
1

 
+
 
 
−
 
, c
ắ
t TCN t
ạ
i
B x
0
(2 1;1)
−
.
Ta có:
IAB
P IA IB AB x x
x
x
2
0 0
2
0
0
2 1
2 1 2 ( 1)
1
( 1)

= + + = + − + − +
−
−
≥

4 2 2
+

D
ấ
u "=" x
ả
y ra
⇔

x
x
x
0
0
0
0
1 1
1

=
− = ⇔

=


.
+ V
ớ
i
x
0
0
=

⇒
PTTT
∆
:
y x
= −
; + V
ớ
i
x
0
2
=

⇒
PTTT
∆
:
y x
4
= − +

.

104.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2 1
1
+
=
−
có
đồ
th
ị
(C). G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ

n. Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c (C)
sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M c
ắ
t 2 ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i A và B v
ớ
i chu vi tam giác IAB
đạ
t giá tr
ị
nh

ỏ

nh
ấ
t.
HD:
Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a 2 ti
ệ
m c
ậ
n là
I
(1;2)
. G
ọ
i M
x
x
0
0
3
;2
1
 

+
 
 
−
 
∈
(C).
+ PTTT t
ạ
i M có d
ạ
ng:
y x x
x
x
0
2
0
0
3 3
( ) 2
1
( 1)
−
= − + +
−
−

+ To
ạ

độ
các giao
đ
i
ể
m c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i 2 ti
ệ
m c
ậ
n: A
x
0
6
1;2
1
 
+
 
 
−
 

, B
x
0
(2 1;2)
−

20
+ Ta có:
IAB
S IA IB x
x
0
0
1 1 6
. 2 1 2.3 6
2 2
1
∆
= = ⋅ ⋅ − = =
−
(
đ
vdt)
+
∆
IAB vuông có di
ệ
n tích không
đổ
i

⇒
chu vi
∆
IAB
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t khi IA= IB

⇔

x
x
x
x
0
0
0
0
1 3
6
2 1
1
1 3

= +

= − ⇒

−
= −



V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
(
)
M
1
1 3;2 3
+ +
,
(

)
M
2
1 3;2 3
− −

Khi
đ
ó chu vi
∆
AIB =
4 3 2 6
+
.
Chú ý:
V
ớ
i 2 s
ố
d
ươ
ng a, b tho
ả
ab = S (không
đổ
i) thì bi
ể
u th
ứ
c P =

a b a b
2 2
+ + +
nh
ỏ
nh
ấ
t khi
và ch
ỉ
khi a = b.
Th
ậ
t v
ậ
y: P =
+ + +
a b a b
2 2
≥

+ = + = +
ab ab ab S
2 2 (2 2) (2 2)
.
D
ấ
u "=" x
ả
y ra

⇔
a = b.
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
:
x
y
x
2 1
1
−
=
−
.
Đ
S:
M M
1 2
(0; 1), (2;3)
−
.

105.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2
1
−
=
+
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C), bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ắ
t 2 ti
ệ
m c
ậ

n t
ạ
i A và B
sao cho bán kính
đườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p tam giác IAB là l
ớ
n nh
ấ
t, v
ớ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a 2 ti
ệ
m c
ậ
n.
HD:

(C) có TC
Đ

x
1
= −
, TCN
y
1
=
. Giao
đ
i
ể
m 2 ti
ệ
m c
ậ
n là
I
( 1;1)
−
.
G
ọ
i
x
M x C
x
0
0
0

2
; ( )
1
 
−
∈
 
 
+
 
. PTTT
∆
c
ủ
a (C) t
ạ
i M:
x
y x x
x
x
0
0
2
0
0
2
3
( )
1

( 1)
−
= − +
+
+
.
c
ắ
t hai ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
x
A B x
x
0
0
0
5
1; , (2 1;1)
1
 
−
− +
 
 
+

 
. Ta có:
IA IB x
x
0
0
6
; 2 1
1
= = +
+
.
⇒

IAB
S IA IB
1
. 6
2
= =
. G
ọ
i p, r là n
ử
a chu vi và bán kính
đườ
ng tr
ọ
n n
ộ

i ti
ế
p c
ủ
a
∆
IAB.
Ta có:
S
S pr r
p p
6
=
⇒
= =
. Do
đ
ó r l
ớ
n nh
ấ
t
⇔
p nh
ỏ
nh
ấ
t. M
ặ
t khác

∆
IAB vuông t
ạ
i I nên:
p IA IB AB IA IB IA IB IA IB IA IB
2 2
2 2 . 2 . 4 3 2 6
= + + = + + + ≥ + = +
.
D
ấ
u "=" x
ả
y ra
⇔

IA IB
=

⇔

x x
2
0 0
( 1) 3 1 3
+ = ⇔ = − ±
.
+ V
ớ
i

x
1 3
= − −

⇒
PTTT
∆
:
(
)
y x
2 1 3
= + +

+ V
ớ
i
x
1 3
= − +

⇒
PTTT
∆
:
(
)
y x
2 1 3
= + −

106.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2 1
1
+
=
−
. Tìm trên hai nhánh c
ủ
a
đồ
th
ị
(C), các
đ
i
ể
m M, N sao cho các ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ

i
M và N c
ắ
t hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i 4
đ
i
ể
m l
ậ
p thành m
ộ
t hình thang.
HD:
G
ọ
i
M N
M m y N n y
( ; ), ( ; )
là 2
đ
i

ể
m thu
ộ
c 2 nhánh c
ủ
a (C). Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M c
ắ
t hai ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
A, B. Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i N c
ắ
t hai ti
ệ

m c
ậ
n t
ạ
i C, D.
PTTT t
ạ
i M có d
ạ
ng:
M
y y m x m y
( ).( )
′
= − +

⇒

m
A B m
m
2 4
1; , (2 1;2)
1
 
+
−
 
−
 

.
T
ươ
ng t
ự
:
n
C D n
n
2 4
1; , (2 1;2)
1
 
+
−
 
−
 
.
Hai
đườ
ng th
ẳ
ng AD và BC
đề
u có h
ệ
s
ố
góc:

k
m n
3
( 1)( 1)
−
=
− −
nên AD // BC.
V
ậ
y m
ọ
i
đ
i
ể
m M, N thu
ộ
c 2 nhánh c
ủ
a (C)
đề
u tho
ả
mãn YCBT.

107.
Cho hàm s
ố

x
y
x
3
1
+
=
−
. Cho
đ
i
ể
m
o o o
M x y
( ; )
thu
ộ
c
đồ
th
ị
(C). Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ

i M
0
c
ắ
t các
21
ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a (C) t
ạ
i các
đ
i
ể
m A và B. Ch
ứ
ng minh M
o
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ

o
ạ
n th
ẳ
ng AB.
HD:

o o o
M x y
( ; )

∈
(C)
⇒

y
x
0
0
4
1
1
= +
−
. PTTT (d) t
ạ
i M
0
:
y y x x

x
0 0
2
0
4
( )
( 1)
− = − −
−

Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d) v
ớ
i các ti
ệ
m c
ậ
n là:
A x B y
0 0
(2 1;1), (1;2 1)
− −
.
⇒

A B A B
x x y y
x y
0 0
;
2 2
+ +
= =

⇒
M
0
là trung
đ
i
ể
m AB.

108.
Cho hàm s
ố
:
x
y
x
2
1
+
=
−

(C). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ọ
i ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C)
đề
u l
ậ
p v
ớ
i hai
đườ
ng
ti
ệ
m c
ậ
n m

ộ
t tam giác có di
ệ
n tích không
đổ
i.
HD:
Gi
ả
s
ử
M
a
a
a
2
;
1
 
+
 
−
 

∈
(C).
PTTT (d) c
ủ
a (C) t
ạ

i M:
a
y y a x a
a
2
( ).( )
1
+
′
= − +
−

⇔

a a
y x
a a
2
2 2
3 4 2
( 1) ( 1)
− + −
= +
− −

Các giao
đ
i
ể
m c

ủ
a (d) v
ớ
i các ti
ệ
m c
ậ
n là:
a
A
a
5
1;
1
 
+
 
−
 
,
B a
(2 1;1)
−
.
IA
a
6
0;
1
→

 
=
 
−
 

⇒
IA
a
6
1
=
−
;
IB a
(2 2;0)
→
= −

⇒
IB a
2 1
= −

Di
ệ
n tích
IAB
∆
: S

IAB
∆
=
IA IB
1
.
2
= 6 (
đ
vdt)
⇒
Đ
PCM.
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
:
x
y
x
2 4
1
−
=
+

Đ

S: S = 12.
109.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2 1
1
−
=
−
. G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n, A là
đ
i

ể
m trên (C) có hoành
độ
là
a
. Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A c
ủ
a (C) c
ắ
t hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i P và Q. Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng A là trung

đ
i
ể
m c
ủ
a
PQ và tính di
ệ
n tích tam giác IPQ.
HD:

a
I A a
a
2 1
(1; 2), ;
1
 
−
−
 
−
 
. PT ti
ế
p tuy
ế
n d t
ạ
i A:

a
y x a
a
a
2
1 2 1
( )
1
(1 )
−
= − +
−
−

Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng và ti
ế
p tuy
ế

n d:
a
P
a
2
1;
1
 
 
−
 

Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a ti
ệ
m c
ậ
n ngang và ti
ế
p tuy
ế
n d:
Q a
(2 1; 2)
− −

Ta có:
P Q A
x x a x
2 2
+ = =
. V
ậ
y A là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a PQ.
IP =
a
a
a
2 2
2
1
1
+ =
−
−
; IQ =
a
2( 1)
−

. Suy ra: S
IPQ
=
1
2
IP.IQ = 2 (
đ
vdt)

110.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2 1
1
−
=
+
. G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai

đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a (C). Tìm trên
đồ
th
ị
(C),
đ
i
ể
m M có hoành
độ
d
ươ
ng sao cho ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M v
ớ
i
đồ
th

ị
(C) c
ắ
t hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i A và
B tho
ả
mãn:
IA IB
2 2
40
+ =
.
HD:
(C) có TC
Đ
:
x
1
= −
; TCX:
y
2

=

⇒
I(–1; 2). Gi
ả
s
ử

x
M x
x
0
0
0
2 1
;
1
 
−
 
 
+
 

∈
(C), (x
0
> 0).
PTTT v
ớ

i (C) t
ạ
i M:
x
y x x
x
x
0
0
2
0
0
2 1
3
( )
1
( 1)
−
= − +
+
+

⇒

x
A
x
0
0
2 4

1;
1
 
−
−
 
 
+
 
,
(
)
B x
0
(2 1;2
+
.

IA IB
2 2
40
+ =

⇔

x
x
x
2
0

2
0
0
36
4( 1) 40
( 1)
0

+ + =

+


>


⇔

x
0
2
=
(y
0
= 1)
⇒
M(2; 1).

22
111.

Cho hm s


2x 3
y
x 2

=

cú

th

(C). Tỡm trờn (C) nh

ng

i

m M sao cho ti

p tuy

n t

i M c

a (C)
c

t hai ti

m c

n c

a (C) t

i A, B sao cho AB ng

n nh

t .
HD
: L

y

i

m
1
M m;2
m 2

+



(

)
C

. Ta cú:
( )
( )
2
1
y' m
m 2
=

.
Ti

p tuy

n (d) t

i M cú ph

ng trỡnh :
( )
( )
2
1 1
y x m 2
m 2
m 2
= + +

Giao

i

m c

a (d) v

i ti

m c

n

ng l :
2
A 2;2
m 2

+




Giao

i

m c

a (d) v

i ti

m c

n ngang l : B(2m 2 ; 2)
Ta cú :
( )
( )
2
2
2
1
AB 4 m 2 8
m 2

= +




. D

u = x

y ra khi m = 2

V

y

i

m M c

n tỡm cú t

a

l : M(2; 2)


112.
Cho hàm số
2x 1
y
x 1

=
+

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm
I( 1; 2)

tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất .
HD:

0
0
3
M x ; 2 (C)
x 1



+

thì tiếp tuyến tại M có phơng trình :
0
2
0 0
3 3
y 2 (x x )
x 1 (x 1)
+ =
+ +
hay
2
0 0 0
3(x x ) (x 1) (y 2) 3(x 1) 0
+ + =

Khoảng cách từ
I( 1;2)

tới tiếp tuyến là
( )

0 0 0
4 4
2
0
0
0
2
0
3( 1 x ) 3(x 1) 6 x 1
6
d
9
9 (x 1)
9 x 1
(x 1)
(x 1)
+ +
= = =
+ +
+ +
+ +
+
. Theo bất đẳng thức Côsi
692)1(
)1(
9
2
0
2
0

=++
+
x
x
, vây
d 6

. Khoảng cách d lớn nhất bằng
6
khi
( )
2
2
0 0 0
2
0
9
(x 1) x 1 3 x 1 3
(x 1)
= + + = =
+
.
Vậy có hai điểm M :
(
)
M 1 3;2 3
+
hoặc
(
)

M 1 3;2 3
+


113.
Cho hm s


2x 4
y (C)
x 1

=
+
.
1. Kh

o sỏt s

bi

n thiờn v v



th

(C) c

a hm s

.
2.
G

i M l m

t

i

m b

t kỡ trờn

th

(C), ti

p tuy

n t

i M c

t cỏc ti

m c

n c

a (C) t

i A, B. CMR
di

n tớch tam giỏc ABI (I l giao c

a hai ti

m c

n) khụng ph

thu

c vo v

trớ c

a M.

HD
: G

i
( )
2a 4
M a; C a 1
a 1

+


Ti

p tuy

n t

i M cú ph

ng trỡnh:
( )
( )
2
6 2a 4
y x a
a 1
a 1

= +
+
+

Giao

i

m v

i ti

m c

n

ng x = -1 l
2a 10
A 1;
a 1




+


Giao

i

m v

i ti

m c

n ngang
2
y
=
l
(
)
B 2a 1;2
+
Giao hai ti

m c

n I(-1; 2)
( ) ( )
IAB
12 1 1
IA ; IB 2 a 1 S IA.AB .24 12 dvdt
a 1 2 2
= = + = = =
+
Suy ra

pcm
23
114.
Cho hm s

2x 1
y
x 1

=

cú

th

(C). L

p ph

ng trỡnh ti

p tuy

n c

a

th

(C) sao cho ti

p tuy

n
ny c

t cỏc tr

c Ox , Oy l

n l

t t

i cỏc

i

m A v B th

a món OA = 4OB.

HD
: Gi

s

ti

p tuy

n d c

a (C) t

i
M x y
0 0
( ; )
c

t Ox t

i A v Oy t

i B sao cho OA = 4OB.
Do OAB vuụng t

i O nờn:
OB 1
tanA
OA 4
= =
H

s

gúc c

a d b

ng
1
4
ho

c
1
4

.
H

s

gúc c

a d t

i M l:
0
2
0
1
y (x ) 0
(x 1)

= <


0
1
y (x )
4

=

2
0
1 1
(x 1) 4
=



0 0
0 0
3
x 1 y
2
5
x 3 y
2


= =






= =

. V

y cú hai ti

p tuy

n l:
1 3
y (x 1)
4 2
= + +
;
1 5
y (x 3)
4 2
= +

115.
Cho hm s

: y = 2 +
1
x 2

, cú

th

(C). Vi

t ph

ng trỡnh ti

p tuy

n d c

a

th

(C) sao cho

ng th

ng d cựng v

i hai ti

m c

n c

a (C) c

t nhau t

o thnh tam giỏc cõn .

116.
Cho hàm số: y =
2x
x 1
+
đồ thị (C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai
trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng
1
4

117.
Cho hàm số
+
=
+
3x 1
y
x 1
(1) . Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ
thị hàm số (1) tại điểm M(-2;5).
118.
Cho hàm số (C)
3 2
y f(x) x 3x 1
= = +
. CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp
tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp tiếp
điểm này đồng qui tại một điểm cố định

119.
Cho (C):
)1(1)(
3
++==
xkxxfy
,
a. Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại giao điểm của (C) với Oy.
b. Tìm k để (t ) chắn trên Ox ,Oy một tam giác có diện tích bằng 8.
120.
(ĐH An Ninh 2000 ). Cho (C)
1)(
23
+==
mmxxxfy
. Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại các
điểm cố định mà họ (C) đi qua. Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó.
121.
Cho đồ thị
4x 5
y
2x 3

=
+
và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao diểm 2 tiệm cận, tiếp tuyến tại M
cắt 2 tiệm cận tại A, B.
a. CMR M là trung điểm AB b. Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.

CC PHN CềN LI XIN LIấN H TC GI THEO S T : 0942 667 889 . Thy Hong