(TIỂU LUẬN) báo cáo bài tập cơ học vật rắn BIẾN DẠNG ứng suất biến dạng – định luật hooke

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP
CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Giảng viên hướng dẫn
PGS.TS Lê Đình Tuân
PGS.TS Lý Hùng Anh
Sinh viên: Trương Quốc Khánh
MSSV: 1710135

1


Mục lục
A. Khái niệm ứng suất - ứng suất tổng quát ….........….………………...………...…..…3
B. Ứng suất / biến dạng – Định luật Hooke ………...…………….……….…..………..8
C. Định luật Hooke ...……………………...…………………..………………………
11
D. Ứng suất phẳng .…………………………………………….
……………………...16
E. Biến dạng phẳng ……...……………………………………………………….
…....22

F. Xoắn thuần túy …...
………………………………………………………...............28

Tài liệu tham khảo……………….………………..………………………..…………34

2


QUIZZES
MÔN CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
A. KHÁI NIỆM ỨNG SUẤT - ỨNG SUẤT TỔNG QUÁT
Đáp án: xem tại Interactive Tutorials – Mechanics of Materials là phần mềm cài đặt
trên máy tính được cung cấp trong mơn học.
Câu 1:

Cho hai thanh trụ rắn được hàn vào nhau tại điểm B như hình trên. Xác định ứng
suất pháp tại điểm giữa mỗi thanh.
Xét một mặt cắt bất kì trong thanh AB, ta có:
=

=50=>

Tương tự xét một mặt cắt bất kì trong thanh BC, ta có:
=

−2

Câu 2:

Ba lực P=6 kN tác dụng lên hệ như hình trên. Xác định diện tích mặt cắt ngang
thanh BE nếu ứng suất pháp của mặt aa là 80 MPa.
Đặt nội lực của thanh BE là FBE hướng lên theo chiều dương và phản lực tại A là
FA hướng xuống theo chiều âm.
Ta có: Tổng lực theo phương dọc: FBE - FA – 3P = 0

Tổng moment tại điểm A:



FBE - FA = 18 (kN) (1)

0.18FA - (0.18+0.36-0.06)P – (0.18+0.36)P - (0.18+0.36+0.06)P = 0


(2)

FBE = 54 (kN)

=> FA = 36 (kN)


3


Ta có:

Câu 3:

Hai liên kết có tại điểm B và C. Biểu đồ vật thể +(Σ = 0: (0.48) − (16)(0.68)
=0

tự do mơ hình các lực tại mỗi chốt.

+ +Σ =0: 16− + =0
16−22.67+ =0

= 6.67kH

0=

22.67kh

Liên kết BD hỗ trợ tải trọng kéo 22,67 / 2 = 11,33kH, trong khi liên kết CE chịu tải
trọng nén 6,67 / 2 = 3,33kH. Ứng suất pháp tuyến lớn nhất trong mỗi liên kết là tại
chốt, trong khi ứng suất bình thường danh nghĩa là tại một mặt cắt giữa mỗi chốt. Hai
khu vực mặt cắt ngang phải được xác
định
(

)

= 11.33kh/208 mm

2

max

(

)

2

= 11.33kH/256 mm

nom
(

)

= −3.33kn/208 mm

2

max

(

2

) = −3.33kn/256 mm

nom

Câu 6:

Đối với một mặt của khu vực tiếp xúc với mối nối là
Bởi vì có hai mặt nên

= /2 2 =

4

= (0.5)(∠ − 0.01 m)(0.1 m)

2 = 2[(0.5)(∠ − 0.01)(0.1)]
= (∠ − 0.01)(0.1)

Do đó
(∠ − 0.01 m)(0.1 m) = (28 × 103H)/(825 × 106 m/m2) = 0.00003394 m2 (4 − 0.01) = 0.00003394/(0.1) = 0.000339
∠

= 0.000339 + 0.01 = 0.01034 m
∠

= 10.34 mm

Câu 7:

Tải trọng P được xác định tác dụng lên đường kính của thanh thép và ứng suất pháp
tuyến trong thanh.
= (4ksi)( /4)(4/8in. )2

= /

= 785.4lb

Ứng suất mang là
= /

= / = 785.4/825 = 0.952

Khu vực chịu lực cho máy giặt là
Đáp số, = 1.584. = 1.259 in.

= ( /4)[

2

− (0.61)2] = 0.952

2

Câu 8:

Đối với tấm, diện tích cắt là

5


= ( )( ) = (1.2)(0.4) = 1.508 in

2

= / = 50ksi/1.508

= /

= 75.4kip

Diện tích mặt cắt ngang là

= ( /4)( )2 = ( /4)(1.2)2 = 1.131 in

2

Ứng suất bình thường là lực nén và được xác định từ = / = −75.398 kip /1.131 =
−66.67ksi

Câu 9:

Đối với trạng thái ứng suất đơn trục, ứng suất cắt và ứng suất cắt trên mặt phẳng
nghiêng được biểu thị theo tải trọng tác dụng và diện tích mặt cắt ngang là
=

Khi

0

cos2

=
0=

0

sin cos

(3 in.) (5in) = 15 in 2

Bởi vì ứng suất cho phép là 100 psi

100psi = (P/15in.2 )sin 24∘cos 24∘
=

(100 b/in ⋅ 2)(15in ⋅ 2)

= 4036.95lb

sin 24∘cos 24∘

Câu 16:

Lực 1600 N tác dụng lên mỗi tấm được truyền qua các tấm nối bằng lực cắt. Có hai bề
mặt cắt dọc AB và CD, có thể được biểu thị bằng tải trọng tác dụng như

6


Khi ( )

Đường keo dọc AB được thiết kế không thành cơng, vì vậy =

1

= 1600/
= 2(50 ) và ( )

= 2(50 )

= 1200kPa

1200 × 103n/m2 = 1600/(0.1 m)

= 1600/(0.1 m)(1200 × 103n/m2) = 0.013533 m = 13.33 mm

Đường keo dọc đĩa CD được thiết kế với hệ số an tồn là 2.5, vì thế
= ult /F. S. = 1200/2.5 = 480kPa
480 × 103n/m2 = 1600/(0.1 m)

= 1600/(0.1 m)(480 × 103n/m2) = 0.03353 m

7

= 33.33 mm


QUIZZES
TR2005 - MÔN CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
B. ỨNG SUẤT / BIẾN DẠNG – ĐỊNH LUẬT HOOKE
Đáp án: xem tại Interactive Tutorials – Mechanics of Materials là phần mềm cài đặt
trên máy tính được cung cấp trong mơn học.
Bài 5:

= 10 kip;

= 10+15 = 25 kip;

= 10+15-20 = 5 kip.

Tương tự bài trên, ta có:
∆

∆

∆

Độ dời của A: ∆

=∆

+∆

= 1.2729 mm.

+∆

Bài 6:

=
1=

70 GPa;

= 200 kN;

2

= 210 GPa.

= 200+600 = 800 kN.
8

=

=

=


Độ biến dạng các đoạn:
∗

∆

=

∆

=

∗

∆

=

∗

=

1∗

=

2∗

200000∗3

70∗109∗550∗10−6

200000∗3.5

=

2∗

= 15.584 mm;

210∗109∗1100∗10−6
800000∗2.5

210∗109∗1100∗10−6

Độ dời của A: ∆

= 3.03 mm;

= 8.658 mm;

=∆

+∆

= 27.272 mm.

+∆

Bài 7:

Độ biến dạng của thanh đồng thau:
∆ =

∗

1

Độ biến dạng của ống sắt:
∆ 2= ∗

6

= 20∗4448.2216∗20∗0.0285 = 0.402 mm; ∗ 2 30∗10 ∗6895∗0.75∗0.0285

2

Độ biến dạng của 2 tấm nhôm:
∆ =

3

=∆

Độ dời của F: ∆

1

+∆

2

+∆

3

= 5.213 mm.

Bài 8:

6

11

E = 30*10 *6895 = 2.0685*10
Đặt
1 và

Ta có hệ: =

1

2

Pa.

lần lượt là phản lực tại C và D.

+

2

− 1000 ∗ 9.81 ∗ 0.4536 = 0; (Tổng lực phương dọc bằng 0)

9


= 3 ∗ 0.3048 ∗
Giải hệ theo AB, ta thu được:

1

2

− ∗ 1000 ∗ 9.81 ∗ 0.4536 = 0; (Tổng momen tại A bằng 0).

= 4449.816 − 4866.378 ∗ (N) và

Mặt khác theo đề: ∝≤ 0.1° = 1.745 ∗ 10−3rad

2

= 4866.378 ∗ (N).



∝≤ 1.745 ∗ 10−3

 Xét tam giác ABB’ vng tại B:

∝=

′

=

∆

−∆

≤ 1.745 ∗ 10

−3

(1)

Ta có: ∆

∆

(m)
Thay vào 2 phương trình trên vào (1) và với AB = 0.9144 m, ta thu được:
10−5 ∗

L ≤ 5.783 m.

10

QUIZZES
TR2005 - MÔN CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
C. ĐỊNH LUẬT HOOKE – CHUYỂN VỊ/BIẾN DẠNG
Đáp án: xem tại Interactive Tutorials – Mechanics of Materials là phần mềm cài đặt
trên máy tính được cung cấp trong mơn học.
Câu 1:

=−3

;

=10

;

=−5

= 1 [ − ( + )] = -0.465*10−3; = 1 [ −
1.264*10−3; = 1 [ − ( + )] = -0.731*10−3;

(

=0;

;
+ )] =

Câu 2:

=5 ;=40 ;=8 ;=−6 ;=14 ;= 6 .
= 1 [ − ( + )] = -0.155*10−3; = 1 [ − ( + )] =
0.51*10−3; = 1 [ − ( + )] = -0.098*10−3;

11

=6

;

=8

.


−3

=

= -0.228*10

;

= 0.532*10−3;

=

Câu 3:
=0;

=
=
=

=

1

[ − ( +
[ − ( +
1
[ − ( +

=−12

1

=

;

=6

)] = 0.58*10−4;

=0;

;

=−4.5

=0.

;

−4

=0;

)] = -4.58*10 ;
)] = 3.16*10−4;

= -3.869 *10−4;

Câu 4:

1

=−14 ; =35 ; =17.5 ; =0; =14 ; =0. = [ − ( + )] = -1.4875*10
−4
1
−4
= -1.6975*10 ; = [ − ( + )] = 0.56*10 ;

12

−4

;=

1

[ − ( + )]


Câu 5:



= 1 [ − ( + )] − 0.33 − 0.33 = 20 = 1 [ − ( + )]

= 1.5 = 1 [ − ( + )] −0.33 − 0.33 + = −4



−0.33 + − 0.33

Giải hệ 3 phương trình trên, ta được: = 27.808 ; = 13.899 ; = 9.763 ;
=

= 4.125 ksi;

=
=

=0;

=0.

Câu 6:

1

= [ − ( +

)]
1

[ − ( +

=

)]

1

=

[ − ( +

)]






− 0.265 − 0.265 = 400

;

−0.265 +

− 0.265 = 40

−0.265 − 0.265 +

Giải hệ 3 phương trình trên, ta được: = 445.463 ; = 160.878 ; = 10.68 ;
=

=
=

= 94.8 MPa;

=0;
=0.

13

;
= −150

;


Câu 7:

′

= √(

+

Mà AB’ = AB(1+



− 0.33 = 25.006

Tương tự với AD’, ta thu được: −0.33 += 15.718

;

;

Giải hệ 2 phương trình trên, ta thu được:
=∠

′

′

+∠

= 33.883 ;

= arctan (



== 7.573

.

Câu 8:

′

=√(

2

+

) +

MàAB’=AB(1+


− 0.33 = 35.715

Tương tự với AD’, ta thu được: −0.33

)



2

;

′

=√(

= 1[ −

;

Giải hệ 2 phương trình trên, ta thu được:

2

−

) +

2

′

]=

−1

+

= −24.242

= 31.102

14

;

;

= −13.978

.


′

= −(∠



=

+∠

′

) = −[arctan (

= −13.715

+

) + arctan (

−

−4

)] = - 1.8287*10

.

15

;


QUIZZES
TR2005 - MÔN CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
D. ỨNG SUẤT PHẢNG
Đáp án: xem tại Interactive Tutorials – Mechanics of Materials là phần mềm cài đặt
trên máy tính được cung cấp trong môn học.
Câu 1:

Cho trạng thái ứng suất của 1 cấu trúc như hình trên. Sử dụng phương trình biến dạng,
xác định ứng suất pháp và ứng suất cắt của mặt a-a.
Đặt x’ là phương vng góc với mặt a-a chiều dương hướng ra ngoài, y’ là phương song song với mặt a-a chiều dương hướng lên, ∆ là diện tích mặt a-a.

;

=8

=10

;

=1

;



Ta có: Σ ′ = 0
′∆ + ( ∆ sin 30) cos 30 − ( ∆ sin 30) sin 30 + ( ∆ cos 30) sin 30 − ( ∆
cos30) cos30 = 0


Tương tự với Σ

′

′

= 0, ta thu được:

′ ′=

= sin2 30 − 2 sin 30 cos 30 + cos2 30 = 7.6340 (

( − ) sin 30 cos 30 +

)

(cos2 30 − sin2 30) = −0.3660 (

)

Câu 2:

Cho trạng thái ứng suất như hình trên. Sử dụng phương trình biến dạng, xác định
ứng suất pháp và ứng suất cắt của mặt a-a.
Tương tự câu trên, ta xét Σ

′

=0



− ( ∆ cos 35) sin 35 + ( ∆ cos 35) cos 35 − ( ∆ sin 35) cos 35 − ( ∆ sin
′∆
35) sin 35 = 0

16




2

′=

Trong trường hợp này chiều dương y’ hướng xuống, xét Σ
′ ′=

2

sin 35 + 2 sin 35 cos 35 − cos 35 = 31.0987 (

( + ) sin 35 cos 35 +

′

= 0, ta thu được:

(cos2 35 − sin2 35) = 57.2452 (

)

).

Câu 3:

Cho trạng thái ứng suất như hình trên. Sử dụng phương trình biến dạng, xác định ứng
suất pháp và ứng suất cắt của mặt a-a.
Tương tự câu trên, ta xét Σ

′

=0



+ ( ∆ cos 60) sin 60 − ( ∆ cos 60) cos 60 + ( ∆ sin 60) cos 60 + ( ∆ sin
′∆
60) sin 60 = 0


′=

2

′ ′=

2

cos 60 − 2 sin 60 cos 60 − sin 60 = −11.2942 (

Trong trường hợp này chiều dương y’ hướng lên, xét Σ

( + ) sin 60 cos 60 +

′

)

= 0, ta thu được:

(sin2 60 − cos2 60) = 15.7583 (

).

Câu 4:

Cho trạng thái ứng suất như hình trên. Sử dụng những phương trình phù hợp, xác
định ứng suất pháp cực đại và cực tiểu, góc chính, và ứng suất cắt cực đại.
;
;
;
Sử dụng vòng tròn Mohr, ta tính được:
=
= 25
;
=
=
=70

=−20

=−20

+

√(

−

2

)2 +

2

= 49.2443

2

.

Ứng suất pháp cực đại và cực tiểu:
=

+

= 74.2443

;

=

Góc chính:
17

−

= −24.2443

;


tan 2 =

2

= 1.0943 => = 23.7893°.
−

Câu 5:

Cho trạng thái ứng suất như hình trên. Sử dụng những phương trình phù hợp, xác
định ứng suất pháp cực đại và cực tiểu, góc chính, và ứng suất cắt cực đại.
;
;
;
Sử dụng vịng trịn Mohr, ta tính được:
=
= 12
;
=
=
=−6

=30

=4

+

√(

−

2

)2 +

2

= 18.4391

2

.

Ứng suất pháp cực đại và cực tiểu:
=

+

Góc chính:
tan 2 =

2

= 30.4391

= −0.2222 =>

;

=

−

= −6.4391

;

= −6.2644°.

−

Câu 6:

=

=

=

Sử dụng phương trình biến dạng, ta có:
′

=


=−

′ ′

Câu 9:

Cho trạng thái ứng suất như hình trên. Sử dụng vịng trịn Mohr, xác định ứng suất
chính và góc chính.
;
;
Sử dụng vịng trịn Mohr, ta tính được:
=
= 15
;
=
=
=0;

=30

=6

+

√(

−

2

2

) +

2

= 16.1555

Ứng suất chính cũng là ứng suất cực đại:
′=

=

2

.

−

′

=

=

+

= 31.1555

;

;

= −1.1555

Góc chính:

tan 2 =

Câu 10:

Cho trạng thái ứng suất như hình trên. Sử dụng vịng trịn Mohr, xác định ứng suất
chính và góc chính.
;
;
;
Sử dụng vịng trịn Mohr, ta tính được:
=
= −25
;
=
=
=50

=−100

=−12.5

+

√(

−

2

)2 +

2

= 76.0345

.

Ứng suất chính cũng là ứng suất cực đại:
′

= = + = 51.0345

;

′=

= − = −101.0345 ;

19

2


Góc chính:
tan 2 =

2

= −0.1667 =>

= −4.7312°.

−

Câu 11:

Cho trạng thái ứng suất tại 1 điểm trên 1 cấu trúc như hình trên. Sử dụng vịng trịn
Mohr, xác định các ứng suất trên hệ trục x’y’.
;
;
;
=−6

=9

=3

Sử dụng vòng tròn Mohr, ta tính được:
=
= 1.5
; = √( −2 )2 +
Theo đề, ta có = 35°:
+

2

2

= 8.0777

.

tan 2 = −

Lại có:


′ ′

= 2.7627

= √(
;

′−

′

′−

2

′ 2

) +

2
′ ′

= 8.0777

= −7.5906

hoặc
Trường hợp (1), với
;
Trường hợp (2), với
;
′ ′=

′=

′=

−2.7627

;

′−

′

(1)
2

= 7.5906

=

′+

, ta tính được:

= 1.5

′

2

−6.0906

9.0906

(2)
2

′=

;

9.0906
=

′+

′

′ ′=

2.7627

;

, ta tính được:

= 1.5
2

′=

−6.0906

;

′ ′=

−2.7627

.

Câu 12:

Cho trạng thái ứng suất tại 1 điểm trên 1 cấu trúc như hình trên. Sử dụng vòng tròn
Mohr, xác định các ứng suất trên hệ trục x’y’.
20


=80

;

=−40

;

=−16

;

Sử dụng vịng trịn Mohr, ta tính được:
=
= 20
; = √( −2 )2 +
Theo đề, ta có = 35°:
+

2

2

= 62.0967

.

tan 2 = −

Lại có: =



′ ′

= 21.2382

hoặc

′ ′

;

= −21.2382

;

Trường hợp (1), với
′

;

= −38.3519

′

Trường hợp (2), với

;

= 78.3519
=

′+

′

′ ′

= 21.2382

;

, ta tính được:

= 1.5
2

′=

78.3519

;

′=

;

−38.3519

′ ′=

−21.2382

Câu 19:

Chọn vào vịng trịn Morh thể hiện tốt nhất trạng thái ứng suất
trên Shown that best represents the state of plane stress above

21

.


1 = avg

2=

+ = 45

avg

− = 45

Câu 24:

Chọn vào vòng tròn Morh thể hiện tốt nhất trạng thái ứng suất trên
arg

= ( + )/2
= (−22 + −11)/2 = −16.5

[(−5.5)2 + (5.5)2]1/2 = 7.78

=

1

=

arg

2

=

arg

22

+ = −16.5 + 7.78

− = −16.5 − 7.78


QUIZZES
TR2005 - MÔN CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
E. BIẾN DẠNG PHẢNG
Đáp án: xem tại Interactive Tutorials – Mechanics of Materials là phần mềm cài đặt
trên máy tính được cung cấp trong môn học.
Câu 1:

chúng ta bắt đầu bằng cách vẽ biểu đồ của các điểm đối diện theo đ ường kính

( , − /2) và ( , /2). Sau đó xác định biến dạng pháp tuyến của hình trịn (tâm của vịng trịn) và bán kính của hình trịn.

=( +

arg

)/2

= (4500 + −2250)/2 = 1125

Để xác định bán kính của đường tròn, chúng ta cần xác định khoảng cách d
−

=

arg

= 4500 − 1125 = 3375

Bán kính của hình trịn là

= [33752 + 13502]1/2 = 3634.99

Tiếp theo hãy vẽ đường tròn và xác định các biến dạng tối đa và tối thiểu cần thiết.
1 = arg

+ = 1125 + 3634.99 = 4759.99
−2284.99

= 10.9∘

2 = arg

− = 1250 − 4038.87 =

2 = tan−1 (1350/3375) = 21.80

Vì khi xây dựng đường trịn, chúng ta sử dụng
max

= 2 = 2(3634.99)

y max

= 7269.98

23

/2, biến dạng cắt lớn nhất là