BÁO cáo bài tập cơ học vật rắn BIẾN DẠNG ứng suất biến dạng – định luật hooke

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP
CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Giảng viên hướng dẫn
PGS.TS Lê Đình Tuân
PGS.TS Lý Hùng Anh
Sinh viên: Trương Quốc Khánh
MSSV: 1710135

1
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


Mục lục
A. Khái niệm ứng suất - ứng suất tổng quát ….........….………………...………...…..…3
B. Ứng suất / biến dạng – Định luật Hooke ………...…………….……….…..………..8
C. Định luật Hooke ...……………………...…………………..………………………11
D. Ứng suất phẳng .…………………………………………….……………………...16
E. Biến dạng phẳng ……...……………………………………………………….…....22
F. Xoắn thuần túy …...………………………………………………………...............28

Tài liệu tham khảo……………….………………..………………………..…………34

2
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat

QUIZZES
MÔN CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
A. KHÁI NIỆM ỨNG SUẤT - ỨNG SUẤT TỔNG QUÁT
Đáp án: xem tại Interactive Tutorials – Mechanics of Materials là phần mềm cài đặt
trên máy tính được cung cấp trong mơn học.
Câu 1:

Cho hai thanh trụ rắn được hàn vào nhau tại điểm B như hình trên. Xác định ứng suất
pháp tại điểm giữa mỗi thanh.
Xét một mặt cắt bất kì trong thanh AB, ta có:
𝑃𝐴𝐵 = 𝐹𝐴 = 50 𝑘𝑖𝑝𝑠 => 𝜎𝐴𝐵 =

𝑃𝐴𝐵
50
=
= 3.9789 (𝑘𝑠𝑖)
𝐴𝐴𝐵 0.25 ∗ 𝜋 ∗ 42

Tương tự xét một mặt cắt bất kì trong thanh BC, ta có:
𝑃𝐵𝐶 = 𝐹𝐴 − 2𝐹𝐵 = −30 𝑘𝑖𝑝𝑠 => 𝜎𝐵𝐶 =

𝑃𝐵𝐶
−30
=
= −0.9041 (𝑘𝑠𝑖)
𝐴𝐵𝐶 0.25 ∗ 𝜋 ∗ 6.52

Câu 2:

Ba lực P=6 kN tác dụng lên hệ như hình trên. Xác định diện tích mặt cắt ngang thanh
BE nếu ứng suất pháp của mặt aa là 80 MPa.
Đặt nội lực của thanh BE là FBE hướng lên theo chiều dương và phản lực tại A là FA
hướng xuống theo chiều âm.
Ta có: Tổng lực theo phương dọc: FBE - FA – 3P = 0  FBE - FA = 18 (kN) (1)
Tổng moment tại điểm A:
0.18FA - (0.18+0.36-0.06)P – (0.18+0.36)P - (0.18+0.36+0.06)P = 0


FBE = 54 (kN)

(1) => FA = 36 (kN)

3
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


Ta có: 𝜎𝐵𝐸 =

𝐹𝐵𝐸
𝐴𝐵𝐸

 𝐴𝐵𝐸 =

𝐹𝐵𝐸
𝜎𝐵𝐸

=

54∗103
80∗106

= 6.75 ∗ 10−4 (𝑚2 ) = 675 (𝑚𝑚2 )

Câu 3:

Hai liên kết có tại điểm B và C. Biểu đồ vật thể tự do mơ hình các lực tại mỗi chốt.
+(Σ𝑀𝐶 = 0: 𝐹𝐵𝜃 (0.48) − (16)(0.68) = 0
𝐹𝐵0 = 22.67kh
+ + Σ𝐹𝑔 = 0: 16 − 𝐹𝐵𝜃 + 𝐹𝐶𝐸 = 0
16 − 22.67 + 𝐹𝐶𝐸 = 0
𝐹𝐶𝐸 = 6.67kH

Liên kết BD hỗ trợ tải trọng kéo 22,67 / 2 = 11,33kH, trong khi liên kết CE chịu tải
trọng nén 6,67 / 2 = 3,33kH. Ứng suất pháp tuyến lớn nhất trong mỗi liên kết là tại
chốt, trong khi ứng suất bình thường danh nghĩa là tại một mặt cắt giữa mỗi chốt. Hai
khu vực mặt cắt ngang phải được xác
định
𝐴net = (32 − 6)(8) = 208 mm2 , 𝐴nom = (32)(8) =
(𝜎max )𝐵𝜃 = 11.33kh/208 mm2
(𝜎max )𝐵𝜃 = 54.49MPa
(𝜎nom )𝐵𝜃 = 11.33kH/256 mm2 (𝜎nom )𝐵0 = 44.27MPa
(𝜎max )𝐶𝐸 = −3.33kn/208 mm2 (𝜎max )𝐶𝐸 = −16.03MPa
(𝜎nom )𝐶𝐸 = −3.33kn/256 mm2 (𝜎nom )𝐶𝐸 2 = −13.02MPa

Câu 6:

Đối với một mặt của khu vực tiếp xúc với mối nối là 𝐴 = (0.5)(∠ − 0.01 m)(0.1 m)

Bởi vì có hai mặt nên
𝜏 = 𝐹/2𝐴 2𝐴 = 𝐹𝑉𝜏

4
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


2𝐴 = 2[(0.5)(∠ − 0.01)(0.1)]
= (∠ − 0.01)(0.1)
Do đó
(∠ − 0.01 m)(0.1 m) = (28 × 103 H)/(825 × 106 m/m2 ) = 0.00003394 m2
(4 − 0.01) = 0.00003394/(0.1) = 0.000339
∠ = 0.000339 + 0.01 = 0.01034 m
∠ = 10.34 mm
Câu 7:

Tải trọng P được xác định tác dụng lên đường kính của thanh thép và ứng suất pháp
tuyến trong thanh.
𝜎 = 𝜌/𝐴 𝑝 = (4ksi)(𝜋/4)(4/8in. )2
𝑷 = 785.4lb
Ứng suất mang là
𝜎𝑏 = 𝑃/𝐴𝑏
𝐴𝑏 = 𝐹/𝜎𝑏 = 785.4/825 = 0.952
Khu vực chịu lực cho máy giặt là
𝐴𝑏 = (𝜋/4)[𝑑2 − (0.61)2 ] = 0.952
Đáp số, 𝑥 2 = 1.584. 𝑑 = 1.259 in.
Câu 8:

Đối với tấm, diện tích cắt là

5
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


𝐴 = 𝜋(𝑑)(𝑡) = 𝜋(1.2)(0.4) = 1.508 in 2
𝐴 𝜌 = 𝜏/𝑨 = 50ksi/1.508
𝜏 = 𝑷/𝑨
𝑃 = 75.4kip
Diện tích mặt cắt ngang là
𝐴 = (𝜋/4)(𝑑)2 = (𝜋/4)(1.2)2 = 1.131 in 2
Ứng suất bình thường là lực nén và được xác định từ
𝜎 = 𝐹/𝐴 = −75.398 kip /1.131
𝜎 = −66.67ksi
Câu 9:

Đối với trạng thái ứng suất đơn trục, ứng suất cắt và ứng suất cắt trên mặt phẳng
nghiêng được biểu thị theo tải trọng tác dụng và diện tích mặt cắt ngang là
𝜌
𝜎=
cos 2 𝜃
𝐴0
𝜌
𝜏=
sin 𝜃cos 𝜃
𝐴0
Khi 𝐴0 = (3 in.) (5in) = 15 in 2
Bởi vì ứng suất cho phép là 100 psi
100psi = (P/15in.2 )sin 24∘ cos 24∘

(100 b/in ⋅ 2 )(15in ⋅ 2 )
𝜌=
𝜌 = 4036.95lb
sin 24∘ cos 24∘
Câu 16:

Lực 1600 N tác dụng lên mỗi tấm được truyền qua các tấm nối bằng lực cắt. Có hai bề
mặt cắt dọc AB và CD, có thể được biểu thị bằng tải trọng tác dụng như

6
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


Khi (𝐴𝑠 )𝐴𝐵

𝜏 = 1600/𝐴𝑠
= 2(50𝑏) và (𝐴𝑠 )𝐶𝜃 = 2(50𝑧)

Đường keo dọc AB được thiết kế không thành công, vì vậy
𝜏𝐴𝐵 = 𝜏𝑢1𝑡 = 1200kPa
1200 × 103 n/m2 = 1600/(0.1 m)𝜃
𝑏 = 1600/(0.1 m)(1200 × 103 n/m2 ) = 0.013533 m
𝑏 = 13.33 mm
Đường keo dọc đĩa CD được thiết kế với hệ số an tồn là 2.5, vì thế
𝜏𝐶𝐷 = 𝜏ult /F. S. = 1200/2.5 = 480kPa
480 × 103 n/m2 = 1600/(0.1 m)𝑒
𝑒 = 1600/(0.1 m)(480 × 103 n/m2 ) = 0.03353 m 𝑒 = 33.33 mm

7

TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


QUIZZES
TR2005 - MÔN CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
B. ỨNG SUẤT / BIẾN DẠNG – ĐỊNH LUẬT HOOKE
Đáp án: xem tại Interactive Tutorials – Mechanics of Materials là phần mềm cài đặt
trên máy tính được cung cấp trong mơn học.
Bài 5:

𝑃𝐴𝐵 = 10 kip; 𝑃𝐵𝐶 = 10+15 = 25 kip; 𝑃𝐶𝐷 = 10+15-20 = 5 kip.
Tương tự bài trên, ta có:
∆𝐿𝐴𝐵 =
∆𝐿𝐵𝐶 =
∆𝐿𝐶𝐷 =

𝑃𝐴𝐵 ∗𝐴𝐵
𝐸∗𝐴𝐴𝐵
𝑃𝐵𝐶 ∗𝐵𝐶
𝐸∗𝐴𝐵𝐶
𝑃𝐶𝐷 ∗𝐶𝐷
𝐸∗𝐴𝐶𝐷

=
=
=

10∗4448.2216∗2.5∗0.3048
6895∗107 ∗1.7∗6.4516∗10−4

= 0.4482 mm;

25∗4448.2216∗2.2∗0.3048
6895∗107 ∗2.55∗6.4516∗10−4
5∗4448.2216∗2.8∗0.3048
6895∗107 ∗2.55∗6.4516∗10−4

= 0.6574 mm;
= 0.1673 mm;

Độ dời của A: ∆𝑥𝐴 = ∆𝐿𝐴𝐵 + ∆𝐿𝐵𝐶 + ∆𝐿𝐶𝐷 = 1.2729 mm.
Bài 6:

𝑃𝐴𝐵 = 𝑃𝐵𝐶 = 200 kN; 𝑃𝐶𝐷 = 200+600 = 800 kN.
𝐸1 = 70 GPa; 𝐸2 = 210 GPa.
8
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


Độ biến dạng các đoạn:
𝑃𝐴𝐵 ∗𝐴𝐵

∆𝐿𝐴𝐵 =

𝐸1 ∗𝐴𝐴𝐵

∆𝐿𝐵𝐶 =
∆𝐿𝐶𝐷 =

𝑃𝐵𝐶 ∗𝐵𝐶
𝐸2 ∗𝐴𝐵𝐶
𝑃𝐶𝐷 ∗𝐶𝐷
𝐸2 ∗𝐴𝐶𝐷

=
=
=

200000∗3
70∗109 ∗550∗10−6

= 15.584 mm;

200000∗3.5
210∗109 ∗1100∗10−6
800000∗2.5
210∗109 ∗1100∗10−6

= 3.03 mm;
= 8.658 mm;

Độ dời của A: ∆𝑥𝐴 = ∆𝐿𝐴𝐵 + ∆𝐿𝐵𝐶 + ∆𝐿𝐶𝐷 = 27.272 mm.
Bài 7:

Độ biến dạng của thanh đồng thau:
∆𝐿1 =

𝑃∗𝐻𝐹

𝐸𝐵𝑟𝑎𝑠𝑠 ∗𝐴1

=

20∗4448.2216∗31∗0.0285
15∗106 ∗6895∗(0.5∗0.0285)2 ∗

𝜋
4

= 4.765 mm;

Độ biến dạng của ống sắt:
∆𝐿2 =

𝑃∗𝐻𝐺
𝐸𝐹𝑒 ∗𝐴2

=

20∗4448.2216∗20∗0.0285
30∗106 ∗6895∗0.75∗0.02852

= 0.402 mm;

Độ biến dạng của 2 tấm nhôm:
∆𝐿3 =

𝑃∗ℎ
𝐸𝐴𝑙 ∗𝐴3

=

20∗4448.2216∗16∗0.0285
10∗106 ∗6895∗1.25∗2∗6.25∗0.02852

= 0.046 mm;

Độ dời của F: ∆𝑥𝐹 = ∆𝐿1 + ∆𝐿2 + ∆𝐿3 = 5.213 mm.
Bài 8:

E = 30*106 *6895 = 2.0685*1011 Pa.
Đặt 𝑅1 và 𝑅2 lần lượt là phản lực tại C và D.
Ta có hệ: 𝛴𝐹 = 𝑅1 + 𝑅2 − 1000 ∗ 9.81 ∗ 0.4536 = 0; (Tổng lực phương dọc bằng
0)
9
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


𝛴𝑀𝐴 = 3 ∗ 0.3048 ∗ 𝑅2 − 𝐿 ∗ 1000 ∗ 9.81 ∗ 0.4536 = 0;
tại A bằng 0).

(Tổng momen

Giải hệ theo AB, ta thu được: 𝑅1 = 4449.816 − 4866.378 ∗ 𝐿 (N) và 𝑅2 =
4866.378 ∗ 𝐿 (N).
Mặt khác theo đề: ∝≤ 0.1° = 1.745 ∗ 10−3 rad
 𝑡𝑎𝑛 ∝≤ 1.745 ∗ 10−3
 Xét tam giác ABB’ vng tại B: 𝑡𝑎𝑛 ∝=

Ta có: ∆𝐿𝐵𝐷 =
∆𝐿𝐴𝐶 =

𝑅2 ∗𝐵𝐷
𝐸∗𝐴𝐵𝐷
𝑅1 ∗𝐴𝐶
𝐸∗𝐴𝐴𝐶

=
=

𝐵𝐵′
𝐴𝐵

4866.378∗𝐿∗30∗0.0285
2.0685∗1011 ∗0.12∗0.02852

=

∆𝐿𝐵𝐷 −∆𝐿𝐴𝐶
𝐴𝐵

≤ 1.745 ∗ 10−3 (1)

= 2.064 ∗ 10−4 ∗ 𝐿 (m)

(4449.816−4866.378∗𝐿)∗20∗0.0285
2.0685∗1011 ∗0.2∗0.02852

= 7.548 ∗ 10−5 − 8.255 ∗

10−5 ∗ 𝐿 (m)
Thay vào 2 phương trình trên vào (1) và với AB = 0.9144 m, ta thu được:
L ≤ 5.783 m.

10
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


QUIZZES
TR2005 - MÔN CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
C. ĐỊNH LUẬT HOOKE – CHUYỂN VỊ/BIẾN DẠNG
Đáp án: xem tại Interactive Tutorials – Mechanics of Materials là phần mềm cài đặt
trên máy tính được cung cấp trong mơn học.
Câu 1:

𝜎𝑥 = −3 𝑘𝑠𝑖; 𝜎𝑦 = 10 𝑘𝑠𝑖; 𝜎𝑧 = −5 𝑘𝑠𝑖; 𝜏𝑥𝑦 = 0; 𝜏𝑦𝑧 = 6 𝑘𝑠𝑖; 𝜏𝑧𝑥 = 8 𝑘𝑠𝑖.
1

𝜀𝑥 = [𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 )] = -0.465*10−3 ;
𝐸
1

𝜀𝑦 = [𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 )] = 1.264*10−3 ;
𝐸
1

𝜀𝑧 = [𝜎𝑧 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑥 )] = -0.731*10−3 ;
𝐸

𝜏𝑥𝑦

𝛾𝑥𝑦 =
𝛾𝑦𝑧 =
𝛾𝑧𝑥 =

𝐺
𝜏𝑦𝑧
𝐺
𝜏𝑧𝑥
𝐺

= 0;
= 1.6*10−3 ;
= 2.13*10−3 ;

Câu 2:

𝜎𝑥 = 5 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑦 = 40 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑧 = 8 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑥𝑦 = −6 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑦𝑧 = 14 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑧𝑥 =
6 𝑀𝑃𝑎.
1

𝜀𝑥 = [𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 )] = -0.155*10−3 ;
𝐸
1

𝜀𝑦 = [𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 )] = 0.51*10−3 ;
𝐸
1

𝜀𝑧 = [𝜎𝑧 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑥 )] = -0.098*10−3 ;
𝐸

11
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


𝜏𝑥𝑦

𝛾𝑥𝑦 =
𝛾𝑦𝑧 =
𝛾𝑧𝑥 =

𝐺
𝜏𝑦𝑧
𝐺
𝜏𝑧𝑥
𝐺

= -0.228*10−3 ;
= 0.532*10−3 ;
= 0.228*10−3 ;

Câu 3:

𝜎𝑥 = 0; 𝜎𝑦 = −12 𝑘𝑠𝑖; 𝜎𝑧 = 6 𝑘𝑠𝑖; 𝜏𝑥𝑦 = 0; 𝜏𝑦𝑧 = −4.5 𝑘𝑠𝑖; 𝜏𝑧𝑥 = 0.
1

𝜀𝑥 = [𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 )] = 0.58*10−4 ;

𝐸
1

𝜀𝑦 = [𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 )] = -4.58*10−4 ;
𝐸
1

𝜀𝑧 = [𝜎𝑧 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑥 )] = 3.16*10−4 ;
𝐸
𝜏𝑥𝑦

𝛾𝑥𝑦 =
𝛾𝑦𝑧 =
𝛾𝑧𝑥 =

𝐺
𝜏𝑦𝑧
𝐺
𝜏𝑧𝑥
𝐺

= 0;
= -3.869 *10−4 ;
= 0;

Câu 4:

𝜎𝑥 = −14 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑦 = 35 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑧 = 17.5 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑥𝑦 = 0; 𝜏𝑦𝑧 = 14 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑧𝑥 = 0.
1

𝜀𝑥 = [𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 )] = -1.4875*10−4 ;
𝐸
1

𝜀𝑦 = [𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 )] = -1.6975*10−4 ;
𝐸
1

𝜀𝑧 = [𝜎𝑧 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑥 )] = 0.56*10−4 ;
𝐸

12
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


𝜏𝑥𝑦

𝛾𝑥𝑦 =
𝛾𝑦𝑧 =
𝛾𝑧𝑥 =

𝐺
𝜏𝑦𝑧
𝐺
𝜏𝑧𝑥
𝐺

= 0;
= 1.82 *10−4 ;

= 0;

Câu 5:

1

𝜀𝑥 = [𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 )]  𝜎𝑥 − 0.33𝜎𝑦 − 0.33𝜎𝑧 = 20 𝑘𝑠𝑖
𝐸
1

𝜀𝑦 = [𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 )]  −0.33𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 − 0.33𝜎𝑧 = 1.5 𝑘𝑠𝑖
𝐸
1

𝜀𝑧 = [𝜎𝑧 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑥 )]  −0.33𝜎𝑥 − 0.33𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 = −4 𝑘𝑠𝑖
𝐸
Giải hệ 3 phương trình trên, ta được: 𝜎𝑥 = 27.808 𝑘𝑠𝑖; 𝜎𝑦 = 13.899 𝑘𝑠𝑖; 𝜎𝑧 =
9.763 𝑘𝑠𝑖;
𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦 = 4.125 ksi;
𝜏𝑦𝑧 = 𝐺𝛾𝑦𝑧 = 0;
𝜏𝑧𝑥 = 𝐺𝛾𝑧𝑥 = 0.

Câu 6:

1

𝜀𝑥 = [𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 )]  𝜎𝑥 − 0.265𝜎𝑦 − 0.265𝜎𝑧 = 400𝑀𝑃𝑎;
𝐸
1

𝜀𝑦 = [𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 )]  −0.265𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 − 0.265𝜎𝑧 = 40𝑀𝑃𝑎;
𝐸
1

𝜀𝑧 = [𝜎𝑧 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑥 )]  −0.265𝜎𝑥 − 0.265𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 = −150𝑀𝑃𝑎;
𝐸
Giải hệ 3 phương trình trên, ta được: 𝜎𝑥 = 445.463 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑦 = 160.878 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑧 =
10.68 𝑀𝑃𝑎;
𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦 = 94.8 MPa;
𝜏𝑦𝑧 = 𝐺𝛾𝑦𝑧 = 0;
𝜏𝑧𝑥 = 𝐺𝛾𝑧𝑥 = 0.
13
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


Câu 7:

2

𝐴𝐵′ = √(𝐴𝐵 + 𝛿𝑥𝑥 )2 + 𝛿𝑦𝑥 2 ; 𝐴𝐷′ = √(𝐴𝐷 + 𝛿𝑦𝑦 ) + 𝛿𝑥𝑦 2
1

Mà AB’ = AB(1+𝜀𝑥 )  𝜀𝑥 = [𝜎𝑥 − 𝜈𝜎𝑦 ] =
𝐸

𝐴𝐵′
𝐴𝐵

−1

𝜎𝑥 − 0.33𝜎𝑦 = 25.006 𝑘𝑠𝑖;
Tương tự với AD’, ta thu được: −0.33𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 = 15.718 𝑘𝑠𝑖;
Giải hệ 2 phương trình trên, ta thu được: 𝜎𝑥 = 33.883 𝑘𝑠𝑖; 𝜎𝑦 = 26.899 𝑘𝑠𝑖.
𝛾𝑥𝑦 = ∠𝐵𝐴𝐵′ + ∠𝐷𝐴𝐷′ = arctan (

𝛿𝑦𝑥

𝐴𝐵+𝛿𝑥𝑥

𝛿𝑥𝑦

) + arctan (𝐴𝐷+𝛿 ) = 2.0196*10−3 ;
𝑦𝑦

 𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦 = 7.573 𝑘𝑠𝑖.
Câu 8:

2

𝐴𝐵′ = √(𝐴𝐵 + 𝛿𝑥𝑥 )2 + 𝛿𝑦𝑥 2 ; 𝐴𝐷′ = √(𝐴𝐷 − 𝛿𝑦𝑦 ) + 𝛿𝑥𝑦 2
1

Mà AB’ = AB(1+𝜀𝑥 )  𝜀𝑥 = [𝜎𝑥 − 𝜈𝜎𝑦 ] =
𝐸

𝐴𝐵′
𝐴𝐵

−1

𝜎𝑥 − 0.33𝜎𝑦 = 35.715 𝑀𝑃𝑎;
Tương tự với AD’, ta thu được: −0.33𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 = −24.242 𝑀𝑃𝑎;
Giải hệ 2 phương trình trên, ta thu được: 𝜎𝑥 = 31.102 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑦 = −13.978 𝑀𝑃𝑎.

14
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


𝛾𝑥𝑦 = −(∠𝐵𝐴𝐵′ + ∠𝐷𝐴𝐷′ ) = −[arctan (

𝛿𝑦𝑥

𝐴𝐵+𝛿𝑥𝑥

𝛿𝑥𝑦

) + arctan (𝐴𝐷−𝛿 )] = 𝑦𝑦

−4

1.8287*10 ;
 𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦 = −13.715 𝑀𝑃𝑎.

15
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat

QUIZZES
TR2005 - MÔN CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
D. ỨNG SUẤT PHẢNG
Đáp án: xem tại Interactive Tutorials – Mechanics of Materials là phần mềm cài đặt
trên máy tính được cung cấp trong môn học.
Câu 1:

Cho trạng thái ứng suất của 1 cấu trúc như hình trên. Sử dụng phương trình biến dạng,
xác định ứng suất pháp và ứng suất cắt của mặt a-a.
Đặt x’ là phương vng góc với mặt a-a chiều dương hướng ra ngoài, y’ là phương
song song với mặt a-a chiều dương hướng lên, ∆𝐴 là diện tích mặt a-a.
𝜎𝑥 = 8 𝑘𝑠𝑖; 𝜎𝑦 = 10 𝑘𝑠𝑖; 𝜏𝑥𝑦 = 1 𝑘𝑠𝑖;
Ta có: Σ𝐹𝑥′ = 0  𝜎𝑥′ ∆𝐴 + (𝜏𝑥𝑦 ∆𝐴 sin 30) cos 30 − (𝜎𝑦 ∆𝐴 sin 30) sin 30 +
(𝜏𝑥𝑦 ∆𝐴 cos 30) sin 30 − (𝜎𝑥 ∆𝐴 cos 30) cos 30 = 0
 𝜎𝑥′ = 𝜎𝑦 sin2 30 − 2 𝜏𝑥𝑦 sin 30 cos 30 + 𝜎𝑥 cos 2 30 = 7.6340 (𝑘𝑠𝑖)
Tương tự với Σ𝐹𝑦′ = 0, ta thu được:
𝜏𝑥′𝑦′ = (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) sin 30 cos 30 + 𝜏𝑥𝑦 (cos 2 30 − sin2 30) = −0.3660 (𝑘𝑠𝑖)
Câu 2:

Cho trạng thái ứng suất như hình trên. Sử dụng phương trình biến dạng, xác định ứng
suất pháp và ứng suất cắt của mặt a-a.
Tương tự câu trên, ta xét Σ𝐹𝑥′ = 0
 𝜎𝑥′ ∆𝐴 − (𝜏𝑥𝑦 ∆𝐴 cos 35) sin 35 + (𝜎𝑦 ∆𝐴 cos 35) cos 35 −
(𝜏𝑥𝑦 ∆𝐴 sin 35) cos 35 − (𝜎𝑥 ∆𝐴 sin 35) sin 35 = 0

16
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat

 𝜎𝑥′ = 𝜎𝑥 sin2 35 + 2 𝜏𝑥𝑦 sin 35 cos 35 − 𝜎𝑦 cos 2 35 = 31.0987 (𝑀𝑃𝑎)
Trong trường hợp này chiều dương y’ hướng xuống, xét Σ𝐹𝑦′ = 0, ta thu được:
𝜏𝑥′𝑦′ = (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) sin 35 cos 35 + 𝜏𝑥𝑦 (cos2 35 − sin2 35) = 57.2452 (𝑀𝑃𝑎).
Câu 3:

Cho trạng thái ứng suất như hình trên. Sử dụng phương trình biến dạng, xác định ứng
suất pháp và ứng suất cắt của mặt a-a.
Tương tự câu trên, ta xét Σ𝐹𝑥′ = 0
 𝜎𝑥′ ∆𝐴 + (𝜏𝑥𝑦 ∆𝐴 cos 60) sin 60 − (𝜎𝑦 ∆𝐴 cos 60) cos 60 +
(𝜏𝑥𝑦 ∆𝐴 sin 60) cos 60 + (𝜎𝑥 ∆𝐴 sin 60) sin 60 = 0
 𝜎𝑥′ = 𝜎𝑦 cos 2 60 − 2 𝜏𝑥𝑦 sin 60 cos 60 − 𝜎𝑥 sin2 60 = −11.2942 (𝑘𝑠𝑖)
Trong trường hợp này chiều dương y’ hướng lên, xét Σ𝐹𝑦′ = 0, ta thu được:
𝜏𝑥′𝑦′ = (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) sin 60 cos 60 + 𝜏𝑥𝑦 (sin2 60 − cos 2 60) = 15.7583 (𝑘𝑠𝑖).
Câu 4:

Cho trạng thái ứng suất như hình trên. Sử dụng những phương trình phù hợp, xác định
ứng suất pháp cực đại và cực tiểu, góc chính, và ứng suất cắt cực đại.
𝜎𝑥 = 70 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑦 = −20 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑥𝑦 = −20 𝑀𝑃𝑎;
Sử dụng vòng tròn Mohr, ta tính được: 𝜎𝑎𝑣𝑔 =

𝜎𝑥 +𝜎𝑦
2

= 25 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 =

𝜎𝑥 −𝜎𝑦 2

√(

2

) + 𝜏𝑥𝑦 2 = 49.2443 𝑀𝑃𝑎.

Ứng suất pháp cực đại và cực tiểu:
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑎𝑣𝑔 + 𝑅 = 74.2443 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝑎𝑣𝑔 − 𝑅 = −24.2443 𝑀𝑃𝑎;
Góc chính:
17
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


tan 2𝜃𝑝 =

2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 −𝜎𝑦

= 1.0943 => 𝜃𝑝 = 23.7893°.

Câu 5:

Cho trạng thái ứng suất như hình trên. Sử dụng những phương trình phù hợp, xác định
ứng suất pháp cực đại và cực tiểu, góc chính, và ứng suất cắt cực đại.
𝜎𝑥 = −6 𝑘𝑠𝑖; 𝜎𝑦 = 30 𝑘𝑠𝑖; 𝜏𝑥𝑦 = 4 𝑘𝑠𝑖;
Sử dụng vịng trịn Mohr, ta tính được: 𝜎𝑎𝑣𝑔 =

𝜎𝑥 +𝜎𝑦
2

= 12 𝑘𝑠𝑖; 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 =

𝜎𝑥 −𝜎𝑦 2

√(

2

) + 𝜏𝑥𝑦 2 = 18.4391 𝑘𝑠𝑖.

Ứng suất pháp cực đại và cực tiểu:
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑎𝑣𝑔 + 𝑅 = 30.4391 𝑘𝑠𝑖; 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝑎𝑣𝑔 − 𝑅 = −6.4391 𝑘𝑠𝑖;
Góc chính:
tan 2𝜃𝑝 =

2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 −𝜎𝑦

= −0.2222 => 𝜃𝑝 = −6.2644°.

Câu 6:

𝑃𝑟0 6.5 ∗ 106 ∗ 525
𝜎𝑥 = 𝜎𝐶 =
=
= 136.5 𝑀𝑃𝑎;
𝑡
25
𝜎𝑦 = 𝜎𝐿 + 𝜎 =
𝜏𝑥𝑦 =

𝑃𝑟0

2𝑡

+

𝐹
𝐴0

=

6.5∗106 ∗525
2∗25

+

−650000
𝜋∗0.5252

= 67.4993 𝑀𝑃𝑎;

𝑇𝑟
= 0;
𝐽

Sử dụng phương trình biến dạng, ta có:
𝜎𝑦 ′ =

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
−
cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃 = 90.2 𝑀𝑃𝑎;
2

2

18
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


𝜏𝑥′𝑦′ = −

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
sin 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃 = −32.4197 𝑀𝑃𝑎.
2

Câu 9:

Cho trạng thái ứng suất như hình trên. Sử dụng vịng trịn Mohr, xác định ứng suất
chính và góc chính.
𝜎𝑥 = 30 𝑘𝑠𝑖; 𝜎𝑦 = 0; 𝜏𝑥𝑦 = 6 𝑘𝑠𝑖;
Sử dụng vịng trịn Mohr, ta tính được: 𝜎𝑎𝑣𝑔 =

𝜎𝑥 +𝜎𝑦
2

= 15 𝑘𝑠𝑖; 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 =

𝜎𝑥 −𝜎𝑦 2

√(

2

) + 𝜏𝑥𝑦 2 = 16.1555 𝑘𝑠𝑖.

Ứng suất chính cũng là ứng suất cực đại: 𝜎𝑥 ′ = 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑎𝑣𝑔 + 𝑅 = 31.1555 𝑘𝑠𝑖;
𝜎𝑦′ = 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝑎𝑣𝑔 − 𝑅 = −1.1555 𝑘𝑠𝑖;
Góc chính:
tan 2𝜃𝑝 =

2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 −𝜎𝑦

= 0.4 => 𝜃𝑝 = 10.9007°.

Câu 10:

Cho trạng thái ứng suất như hình trên. Sử dụng vịng trịn Mohr, xác định ứng suất
chính và góc chính.
𝜎𝑥 = 50 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑦 = −100 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑥𝑦 = −12.5 𝑀𝑃𝑎;
Sử dụng vòng tròn Mohr, ta tính được: 𝜎𝑎𝑣𝑔 =

𝜎𝑥 +𝜎𝑦
2

= −25 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 =

𝜎𝑥 −𝜎𝑦 2

√(

2

) + 𝜏𝑥𝑦 2 = 76.0345 𝑀𝑃𝑎.

Ứng suất chính cũng là ứng suất cực đại:
𝜎𝑥 ′ = 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑎𝑣𝑔 + 𝑅 = 51.0345 𝑀𝑃𝑎;
𝜎𝑦′ = 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝑎𝑣𝑔 − 𝑅 = −101.0345 𝑀𝑃𝑎;
19
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


Góc chính:
tan 2𝜃𝑝 =

2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 −𝜎𝑦

= −0.1667 => 𝜃𝑝 = −4.7312°.

Câu 11:

Cho trạng thái ứng suất tại 1 điểm trên 1 cấu trúc như hình trên. Sử dụng vịng trịn
Mohr, xác định các ứng suất trên hệ trục x’y’.
𝜎𝑥 = −6 𝑘𝑠𝑖; 𝜎𝑦 = 9 𝑘𝑠𝑖; 𝜏𝑥𝑦 = 3 𝑘𝑠𝑖;
Sử dụng vịng trịn Mohr, ta tính được:
𝜎𝑎𝑣𝑔 =

𝜎𝑥 +𝜎𝑦
2

𝜎𝑥 −𝜎𝑦 2

= 1.5 𝑘𝑠𝑖; 𝑅 = √(

2

) + 𝜏𝑥𝑦 2 = 8.0777 𝑘𝑠𝑖.

Theo đề, ta có 𝜃 = 35°:
tan 2𝜃 = −

𝜎𝑥′ −𝜎𝑦′
2𝜏𝑥′𝑦′

= 2.7475 

𝜎𝑥′ −𝜎𝑦′
2

= −2.7475𝜏𝑥′𝑦′

𝜎𝑥′ −𝜎𝑦′ 2

Lại có: 𝑅 = √(

2

) + 𝜏𝑥′𝑦′ 2 = 8.0777

 𝜏𝑥′𝑦′ = 2.7627 𝑘𝑠𝑖;

𝜎𝑥′ −𝜎𝑦′
2

hoặc 𝜏𝑥′𝑦′ = −2.7627 𝑘𝑠𝑖;
Trường hợp (1), với 𝜎𝑎𝑣𝑔 =

= −7.5906 𝑘𝑠𝑖 (1)

𝜎𝑥′ −𝜎𝑦′
2

𝜎𝑥′ +𝜎𝑦′
2

= 7.5906 𝑘𝑠𝑖 (2)

= 1.5 𝑘𝑠𝑖, ta tính được:

𝜎𝑥′ = −6.0906 𝑘𝑠𝑖; 𝜎𝑦′ = 9.0906 𝑘𝑠𝑖; 𝜏𝑥′𝑦′ = 2.7627 𝑘𝑠𝑖;
Trường hợp (2), với 𝜎𝑎𝑣𝑔 =

𝜎𝑥′ +𝜎𝑦′
2

= 1.5 𝑘𝑠𝑖, ta tính được:

𝜎𝑥′ = 9.0906 𝑘𝑠𝑖; 𝜎𝑦′ = −6.0906 𝑘𝑠𝑖; 𝜏𝑥′𝑦′ = −2.7627 𝑘𝑠𝑖.
Câu 12:

Cho trạng thái ứng suất tại 1 điểm trên 1 cấu trúc như hình trên. Sử dụng vòng tròn
Mohr, xác định các ứng suất trên hệ trục x’y’.
20
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


𝜎𝑥 = 80 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑦 = −40 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑥𝑦 = −16 𝑀𝑃𝑎;
Sử dụng vịng trịn Mohr, ta tính được:
𝜎𝑎𝑣𝑔 =

𝜎𝑥 +𝜎𝑦
2

𝜎𝑥 −𝜎𝑦 2

= 20 𝑀𝑃𝑎; 𝑅 = √(

) + 𝜏𝑥𝑦 2 = 62.0967 𝑀𝑃𝑎.

2

Theo đề, ta có 𝜃 = 35°:
tan 2𝜃 = −

𝜎𝑥′ −𝜎𝑦′
2𝜏𝑥′𝑦′

= 2.7475 

𝜎𝑥′ −𝜎𝑦′
2

= −2.7475𝜏𝑥′𝑦′

𝜎𝑥′ −𝜎𝑦′ 2

Lại có: 𝑅 = √(

2

) + 𝜏𝑥′𝑦′ 2 = 62.0967

 𝜏𝑥′𝑦′ = 21.2382 𝑀𝑃𝑎;

𝜎𝑥′ −𝜎𝑦′
2

hoặc 𝜏𝑥′𝑦′ = −21.2382 𝑀𝑃𝑎;
Trường hợp (1), với 𝜎𝑎𝑣𝑔 =

= −58.3519 𝑀𝑃𝑎(1)

𝜎𝑥′ −𝜎𝑦′

𝜎𝑥′ +𝜎𝑦′
2

2

= 58.3519 𝑀𝑃𝑎 (2)

= 20 𝑀𝑃𝑎, ta tính được:

𝜎𝑥′ = −38.3519 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑦′ = 78.3519 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑥′𝑦′ = 21.2382 𝑀𝑃𝑎;
Trường hợp (2), với 𝜎𝑎𝑣𝑔 =

𝜎𝑥′ +𝜎𝑦′
2

= 1.5 𝑘𝑠𝑖, ta tính được:

𝜎𝑥′ = 78.3519 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑦′ = −38.3519 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑥′𝑦′ = −21.2382 𝑀𝑃𝑎.
Câu 19:

Chọn vào vòng tròn Morh thể hiện tốt nhất trạng thái ứng suất trên
Shown that best represents the state of plane stress above

21
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


𝜎arg

= (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )/2
= (90 + 0)/2 = 45
𝑅 = [(45)2 + (0)2 ]1/2 = 45
𝜎1 = 𝜎avg + 𝑅 = 45 + 45 = 90ksi
𝜎2 = 𝜎avg − 𝑹 = 45 − 45 = 0ksi

Câu 24:

Chọn vào vòng tròn Morh thể hiện tốt nhất trạng thái ứng suất trên
𝜎arg

= (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )/2
= (−22 + −11)/2 = −16.5
𝑘 = [(−5.5)2 + (5.5)2 ]1/2 = 7.78
𝜎1 = 𝜎arg + 𝑅 = −16.5 + 7.78 = −8.72ksi
𝜎2 = 𝜎arg − 𝑅 = −16.5 − 7.78 = −24.28ksi

22
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


QUIZZES
TR2005 - MÔN CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
E. BIẾN DẠNG PHẢNG
Đáp án: xem tại Interactive Tutorials – Mechanics of Materials là phần mềm cài đặt
trên máy tính được cung cấp trong môn học.
Câu 1:

chúng ta bắt đầu bằng cách vẽ biểu đồ của các điểm đối diện theo đường kính
(𝜀𝑥 , −𝛾𝑥𝑦 /2) và (𝜀𝑦 , 𝛾𝑥𝑦 /2). Sau đó xác định biến dạng pháp tuyến của hình trịn
(tâm của vịng trịn) và bán kính của hình trịn.

𝜀arg

= (𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 )/2

= (4500 + −2250)/2 = 1125𝜇

Để xác định bán kính của đường trịn, chúng ta cần xác định khoảng cách d
𝑑 = 𝜀𝑥 − 𝜀arg = 4500 − 1125 = 3375
Bán kính của hình trịn là
𝑨 = [33752 + 13502 ]1/2 = 3634.99
Tiếp theo hãy vẽ đường tròn và xác định các biến dạng tối đa và tối thiểu cần thiết.
𝜀1 = 𝜀arg + 𝑨 = 1125 + 3634.99 = 4759.99𝜇
𝜀2 = 𝜀arg − 𝑨 = 1250 − 4038.87 = −2284.99𝜇
2𝜃𝑝 = tan−1 (1350/3375) = 21.80
𝜃𝑝 = 10.9∘
Vì khi xây dựng đường tròn, chúng ta sử dụng 𝜂𝑥𝑦 /2, biến dạng cắt lớn nhất là
𝑦max = 2𝑹 = 2(3634.99)
y max = 7269.98𝜇

23
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


Câu 2:

chúng ta bắt đầu bằng cách vẽ biểu đồ của các điểm đối diện theo đường kính
(𝜀𝑥 , −𝛾𝑥𝑦 /2) và (𝜀𝑦 , 𝛾𝑥𝑦 /2). Sau đó xác định biến dạng pháp tuyến của hình trịn
(tâm của vịng trịn) và bán kính của hình trịn.

𝜀arg

= (𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 )/2
= (4000 + 800)/2 = 2400𝜇

Để xác định bán kính của đường tròn, chúng ta cần xác định khoảng cách d
𝑑 = 𝜀𝑥 − 𝜀arg = 4000 − 2400 = 1600
Bán kính của hình trịn là
𝑨 = [24002 + 6002 ]1/2 = 2473.86
Tiếp theo hãy vẽ đường tròn và xác định các biến dạng tối đa và tối thiểu cần thiết.
𝜀1 = 𝜀arg + 𝑨 = 2400 + 2473.86 = 5143.86𝜇
𝜀2 = 𝜀arg − 𝑨 = 2400 − 2473.86 = −343.86𝜇
2𝜃𝑝 = tan−1 (600/1600) = 20.560
𝜃𝑝 = 10.2∘
Vì khi xây dựng đường tròn, chúng ta sử dụng 𝜂𝑥𝑦 /2, biến dạng cắt lớn nhất là
𝑦max = 2𝑹 = 2(2473.86)
y max = 4947.72𝜇

Câu 9:

24
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat


Chọn vào vòng tròn Morh thể hiện giống nhất trạng thái ứng suất trên
Theo quan hệ được cho bởi định luật Hook
1
[𝜎 − 𝑣𝜎2 ]
𝐸 1
1
𝜀2 = [𝜎2 − 𝑣𝜎1 ]
𝐸
𝜀1 =

Câu 10:

Chọn vào vòng tròn Morh thể hiện giống nhất trạng thái ứng suất trên
Theo quan hệ được cho bởi định luật Hook

25
TIEU LUAN MOI download :
moi nhat