Ôn thi đại học môn toán năm 2013 chuyên đề hình học không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.79 MB, 60 trang )
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG KHÔNG GIAN
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HÀ N
ỘI, 8/2013
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
CHUYÊN ĐỀ
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1: MỞ ĐẦU
I. VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán
• !"#$$#%&
'(
•)*+,
-Qui tắc ba điểm:./0%12./34,
AB BC AC+ =
-Qui tắc hình bình hành:.5/5$12.64,
AB AD AC+ =
-Qui tắc hình hộp:.5712.6(1′2′.′6′4,
' 'AB AD AA AC+ + =
-Hê thức trung điểm đoạn thẳng:.89$*0%:;'12<*3+(
=4,
0IA IB+ =
>
2OA OB OI+ =
-Hệ thức trọng tâm tam giác:.?9$@ %:%12.<*3+(
=4,
0; 3GA GB GC OA OB OC OG+ + = + + =
-Hệ thức trọng tâm tứ diện:.?9$@ %:A"B12.6<*3+(
=4,
0; 4GA GB GC GD OA OB OC OD OG+ + + = + + + =
-Điều kiện hai vectơ cùng phương:
( 0) ! :≠ ⇔ ∃ ∈ =
a vaø b cuøng phöông a k R b ka
-Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số kC≠D<*3+(
=4,
;
1
OA kOB
MA kMB OM
k
−
= =
−
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
•2@9$E'F*:GHIIJ%7%&'(
•Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:./
, ,a b c
4
a vaø b
H(K4,
, ,a b c
E'⇔∃L%∈M,
c ma nb= +
•./
, ,a b c
E'
x
*3+(
K4,∃L%∈M,
x ma nb pc= + +
3. Tích vô hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian:
0 0
, ( , ) (0 180 )AB u AC v u v BAC BAC= = ⇒ = ≤ ≤
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNN
•Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
-.
, 0u v ≠
(K4,
. . .cos( , )u v u v u v=
-OJ 0 0
u hoaëc v
= =
(P*J,
. 0
u v
=
-
. 0u v u v⊥ ⇔ =
-
2
u u=
II. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
./Q<<!<R*4J*S%7$*%70%T<(?@
, ,i j k
9$
AUQ<<!<R(VB/QW!@9$B@7U*4<!R&X9$B
@7<!R(
Chú ý,
2 2 2
1i j k= = =
$
. . . 0i j i k k j= = =
(
2. Tọa độ của vectơ:
a) Định nghĩa:
( )
; ;u x y z u xi y j zk= ⇔ = + +
b) Tính chất:.
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; ),a a a a b b b b k R= = ∈
•
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b± = ± ± ±
•
1 2 3
( ; ; )
ka ka ka ka
=
•
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=
= ⇔ =
=
•
0 (0; 0; 0), (1; 0;0), (0;1; 0), (0; 0;1)i j k= = = =
•
a
H
( 0)b b ≠
⇔
( )a kb k R= ∈
1 1
1 2 3
2 2 1 2 3
1 2 3
3 3
, ( , , 0)
a kb
a a a
a kb b b b
b b b
a kb
=
⇔ = ⇔ = = ≠
=
•
1 1 2 2 3 3
. . . .
a b a b a b a b= + +
•
1 1 2 2 3 3
0
a b a b a b a b⊥ ⇔ + + =
•
2 2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
•
2 2 2
1 2 2
a a a a= + +
•
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos( , )
.
.
a b a b a b
a b
a b
a b
a a a b b b
+ +
= =
+ + + +
(với
, 0a b ≠
)
3. Tọa độ của điểm:
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNY
a) Định nghĩa:
( ; ; ) ( ; ; )
M x y z OM x y z⇔ =
(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
•
M
∈
(Oxy)
⇔
z = 0; M
∈
(Oyz)
⇔
x = 0; M
∈
(Oxz)
⇔
y = 0
•
••
•
M
∈
Ox
⇔
y = z = 0; M
∈
Oy
⇔
x = z = 0; M
∈
Oz
⇔
x = y = 0
b) Tính chất: .
( ; ; ), ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
•
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
•
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
•=;70%Z;12[ITk(k≠1):
; ;
1 1 1
A B A B A B
x kx y ky z kz
M
k k k
− − −
− − −
•=;7*0%Z:;'12,
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
+ + +
•=;7@ %?:%12.,
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
+ + + + + +
•=;7@ %?:A"B12.6,
; ;
4 4 4
A B C D A B C D A B C C
x x x x y y y y z z z z
G
+ + + + + + + + +
4. Tích có hướng của hai vectơ:(Chương trình nâng cao)
a) Định nghĩa: Cho
1 2 3
( , , )
a a a a=
1 2 3
( , , )
b b b b=
(
( )
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
, ; ; ; ;
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
= ∧ = = − − −
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
•
, ; , ; ,i j k j k i k i j
= = =
•
[ , ] ; [ , ]
a b a a b b⊥ ⊥
•
( )
[ , ] . .sin ,a b a b a b=
•
,
a b
H
[ , ] 0
a b⇔ =
c) Ứng dụng của tích có hướng:
•Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
,
a b
$
c
E'⇔
[ , ]. 0
a b c =
•Diện tích hình bình hành ABCD:
,
ABCD
S AB AD
=
▱
•
Diện tích tam giác ABC:
1
,
2
ABC
S AB AC
∆
=
•
Thể tích khối hộp ABCD.A
′
′′
′
B
′
′′
′
C
′
′′
′
D
′
′′
′
:
. ' ' ' '
[ , ]. '
ABCD A B C D
V AB AD AA=
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\
•
Thể tích tứ diện ABCD:
1
[ , ].
6
ABCD
V AB AC AD=
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai
đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình
hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
. 0
, 0
, , , . 0
a b a b
a vaø b cuøng phöông a b
a b c ñoàng phaúng a b c
⊥ ⇔ =
⇔ =
⇔ =
5. Phương trình mặt cầu:
•5%&]*C^D %I(a; b; c)/R,
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
•5
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + =
J
2 2 2
0a b c d+ + − >
9$5%&]* %I(–
a; –b; –c)$/R =
2 2 2
a b c d+ + −
.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 1. ./
, ,a b c
(=5%m, n0
,c a b
=
,
D
( ) ( ) ( )
3; 1; 2 , 1;2; , 5;1; 7a b m c= − − = =
/D
( ) ( ) ( )
6; 2; , 5; ; 3 , 6;33;10a m b n c= − = − =
HT 2. _I#E':/
, ,a b c
%`aI* !,
D
( ) ( ) ( )
1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3a b c= − = =
/D
( ) ( ) ( )
4;3; 4 , 2; 1;2 , 1;2;1a b c= = − =
D
( ) ( ) ( )
3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1a b c= − − = = −
"D
( ) ( ) ( )
4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1a b c= = =
HT 3. =5%m0Y
, ,a b c
E',
D
( ) ( ) ( )
1; ;2 , 1;2;1 , 0; 2;2a m b m c m= = + = −
/D
(2 1;1;2 1); ( 1;2; 2), (2 ; 1;2)a m m b m m c m m= + − = + + = +
HT 4. .
, , ,a b c u
(.A % /
, ,a b c
E'( 20*"b
u
, ,a b c
,
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNc
D
( ) ( ) ( )
2;1;0 , 1; 1;2 , 2;2; 1
(3;7; 7)
a b c
u
= = − = −
= −
/D
( ) ( ) ( )
2
1; 7;9 , 3; 6;1 , ;1; 7
( 4;13; 6)
a b c
u
= − = − = −
= − −
HT 5. .Ad/T
, , ,a b c d
E',
D
( ) ( ) ( )
2; 6;1 , 4; 3; 2 , 4; 2;2 , ( 2; 11;1)a b c d= − − = − − = − − = − −
/D
( ) ( ) ( )
2; 6; 1 , 2;1; 1 , 4;3;2 , (2;11; 1)a b c d= − = − = − = −
HT 6. ./
, ,a b c
E'$
d
(.A%/7/I*E',
D
, ,b c d ma nb= +
CJm, n ≠ 0) /D
, ,a c d ma nb= +
CJm, n ≠ 0)
HT 7. .0%Z(=5%@75F**4:0%Z,
•=U%&'@7,<!<R<!R •=UQ@7,<<!<R
D
(1;2;3)M
/D
(3; 1;2)M −
D
( 1;1; 3)M − −
"D
(1;2; 1)M −
HT 8. .0%Z(=5%@7:0%Z′TAJ0%Z,
•P*T;7•P*%C<!D •P*Q<!
D
(1;2;3)M
/D
(3; 1;2)M −
D
( 1;1; 3)M − −
"D
(1;2; 1)M −
HT 9. _'$:/7/0%I*,
D
(1;3;1), (0;1;2), (0; 0;1)A B C
/D
(1;1;1), ( 4;3;1), ( 9;5;1)A B C− −
HT 10. ./0%12.(
•.Ad/0%12.;$%7%(
•=5%;7@ %?:∆12.(
•_0%6I12.69$5/5$(
D
(1;2; 3), (0; 3;7), (12;5;0)A B C−
/D
(0;13;21), (11; 23;17), (1; 0;19)A B C−
D
(3; 4; 7), ( 5;3; 2), (1;2; 3)A B C− − − −
"D
(4;2; 3), ( 2;1; 1), (3;8;7)A B C− −
HT 11. =UQ<!(Ox)5%0%*0%,
D
(3;1;0)A
( 2;4;1)B −
/D
(1; 2;1), (11; 0;7)A B−
D
(4;1; 4), (0; 7; 4)A B −
HT 12. =U%&'<!(Oxz, Oyz)5%0%*/0%,
D
(1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1)A B C− −
/D
( 3;2;4), (0;0; 7), ( 5;3; 3)A B C− −
HT 13. .0%12(a'12e%&'<!R(Oxz, Oxy) ;0%Z(
•0%Z;'12[IT$f •=5%@70%Z(
D
( ) ( )
2; 1;7 , 4;5; 2A B− −
/D
(4; 3; 2), (2; 1;1)A B− −
D
(10;9;12), ( 20; 3; 4)A B −
HT 14. ./T0%12.6(
•.A%12.69$/T[:%7A"B(
•=5%@7@ %?:A"B12.6(
•=4;/g;T"B:A"B12.6(
•=0:TA"B12.6(
•="B%2.6S4I*!7"$a:A"BhS1(
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNi
D
(2; 5; 3), (1; 0;0), (3; 0; 2), ( 3; 1;2)A B C D− − − −
/D
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;1;0 , 0; 0;1 , 2;1; 1A B C D − −
D
( ) ( ) ( ) ( )
1;1; 0 , 0;2;1 , 1;0;2 , 1;1;1A B C D
"D
( ) ( ) ( ) ( )
2; 0;0 , 0;4;0 , 0;0;6 , 2;4;6A B C D
HT 15. .5712.6(1j2j.j6j(
•=5%;7[k9;(
•=0T7(
D
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;1 , 2;1;2 , 1; 1;1 , ' 4;5; 5A B D C− −
/D
2 5 3 1 0 0 3 0 2 3 1 2A B C A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )− − − −
D
(0;2;1), (1; 1;1), (0;0; 0;), '( 1;1; 0)A B D A− −
"D
(0;2;2), (0;1;2), ( 1;1;1), '(1; 2; 1)A B C C− − −
HT 16. ./T0%^CY>>lND1Cc>Y>D2CN>Y>l\D.C>N>mD(
D.A%^1⊥C^2.D^2⊥C^1.D^.⊥C^12D(
/D.A%^(12.9$%754*(
D_;7 aV:54(^*!7"$a^V(
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNo
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Dạng 1:(S) 4 % I(a; b; c) $/ R:
(S):
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
Dạng 2: (S) 4 % I(a; b; c) $p*0%1,
Khi đó bán kính R = IA.
Dạng 3:(S) W;'12J9$%a,
– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:
; ;
2 2 2
A B A B A B
I I I
x x y y z z
x y z
+ + +
= = =
.
– Bán kính R = IA =
2
AB
.
Dạng 4:(S) p*/T0%12.6(mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + =
CqD(
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d
⇒
Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5:(S)p*/0%12.$4 %8r%U%&'CDJ,
Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6:(S)4 %8$FGJ%&]*(T)J,
– Xác định tâm J và bán kính R
′
của mặt cầu (T).
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)
Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + =
J
2 2 2
0a b c d+ + − >
thì (S) có %I(–a; –b; –c)$/R =
2 2 2
a b c d+ + −
.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 17. =5% %$/:%&]*I*,
D
2 2 2
8 2 1 0x y z x y+ + − + + =
/D
2 2 2
4 8 2 4 0x y z x y z+ + + + − − =
D
2 2 2
2 4 4 0x y z x y z+ + − − + =
"D
2 2 2
6 4 2 86 0x y z x y z+ + − + − − =
HT 18. OF5%&]*4 %8$/M,
D
(1; 3;5), 3I R− =
/D
(5; 3;7), 2I R− =
D
(1; 3;2), 5I R− =
"D
(2;4; 3), 3I R− =
HT 19. OF5%&]*4 %8$p*0%1,
D
(2; 4; 1), (5;2;3)I A−
/D
(0; 3; 2), (0;0; 0)I A−
D
(3; 2;1), (2;1; 3)I A− −
HT 20. OF5%&]*4a12J,
D
(2; 4; 1), (5;2; 3)A B−
/D
(0;3; 2), (2;4; 1)A B− −
D
(3; 2;1), (2;1; 3)A B− −
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNs
HT 21. OF5%&]*;FA"B12.6J,
D
( ) ( ) ( ) ( )
1;1; 0 , 0;2;1 , 1;0;2 , 1;1;1A B C D
/D
( ) ( ) ( ) ( )
2; 0;0 , 0;4;0 , 0;0;6 , 2;4;6A B C D
HT 22. OF5%&]*p*/0%12.$4 %r%%&'CDJJ,
D
(1;2;0), ( 1;1; 3), (2;0; 1)
( ) ( )
A B C
P Oxz
− −
≡
/D
(2;0;1), (1; 3;2), (3;2;0)
( ) ( )
A B C
P Oxy
≡
HT 23. OF5%&]*C^D4 %8$FGJ%&]*C=DJ,
D
2 2 2
( 5;1;1)
( ) : 2 4 6 5 0
I
T x y z x y z
−
+ + − + − + =
/D
2 2 2
( 3;2;2)
( ) : 2 4 8 5 0
I
T x y z x y z
−
+ + − + − + =
--------------------------------------------------------------------
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
•O
0n ≠
9$O==:CαDF*:
n
*4JCαD(
Chú ý:
•
Nếu
n
là một VTPT của (
α
) thì
kn
(k ≠ 0) cũng là VTPT của (
α
).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
2 2 2
0 0Ax By Cz D vôùi A B C+ + + = + + >
•tF*CαD45
0Ax By Cz D+ + + =
5
( ; ; )n A B C=
9$%7O==:CαD(
•5%&'p*
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
$4%7O==
( ; ; )n A B C=
9$,
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =
3. Các trường hợp riêng
Chú ý:
•
Nếu trong phương trình của (
α
) không chứa ẩn nào thì (
α
) song song hoặc chứatrục tương ứng.
•
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
1
x y z
a b c
+ + =
(
α
) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
.%&'CαDCβD45, CαD,
1 1 1 1
0A x B y C z D+ + + =
CβD,
2 2 2 2
0A x B y C z D+ + + =
Các hệ số
Phương trình mặt phẳng (α
αα
α) Tính chất mặt phẳng (α
αα
α)
D = 0
(α) đi qua gốc toạ độ O
A = 0
(α) // Ox hoặc (α) ⊃ Ox
B = 0
(α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy
C = 0
(α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz
A = B = 0
(α) // (Oxy) hoặc (α) ≡ (Oxy)
A = C = 0
(α) // (Oxz) hoặc (α) ≡ (Oxz)
B = C = 0
(α) // (Oyz) hoặc (α) ≡ (Oyz)
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNu
•
(
α
), (
β
) cắt nhau
⇔
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C≠
•
(
α
) // (
β
)
⇔
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
= = ≠
•
(
α
)
≡
(
β
)
⇔
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
= = =
•
(
α
)
⊥
(
β
)
⇔
1 2 1 2 1 2
0A A B B C C+ + =
5. Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (
α
αα
α
): Ax + By + Cz + D = 0
( )
0 0 0
0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng (
α
) ta cần xác định một điểm thuộc (
α
) và một VTPT của nó.
Dạng 1:(
α
) p*0%
( )
0 0 0
; ;M x y z
4O==
( )
; ;n A B C=
,
(
α
):
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
Dạng 2:(
α
) p*0%
( )
0 0 0
; ;M x y z
4&O=.
,a b
,
Khi đó một VTPT của (
α
) là
,n a b
=
.
Dạng 3: (
α
) p*0%
( )
0 0 0
; ;M x y z
$IIJ%&'(
β
): Ax + By + Cz + D = 0,
(
α
):
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
Dạng 4: (
α
) p*Y0%'$12.,
Khi đó ta có thể xác định một VTPT của (
α
) là:
,n AB AC
=
Dạng 5:(
α
) p*%70%Z$%7a'C"DAZ,
– Trên (d) lấy điểm A và VTCP
u
.
– Một VTPT của (
α
) là:
,n AM u
=
Dạng 6:(
α
) p*%70%Z$*4J%7a'C"D,
VTCP
u
của đường thẳng (d) là một VTPT của (
α
).
Dạng 7:(
α
)p*Na'e*"
"
N
,
– Xác định các VTCP
,a b
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (
α
) là:
,n a b
=
.
– Lấy một điểm M thuộc d
1
hoặc d
2
⇒
M
∈
(
α
).
Dạng 8:(
α
)Aa'"
$IIJa'"
N
(d
1
, d
2
chéo nhau),
lXác định các VTCP
,a b
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNm
– Một VTPT của (
α
) là:
,n a b
=
.
– Lấy một điểm M thuộc d
1
⇒
M
∈
(
α
).
Dạng 9:(
α
)p*0%Z$IIJa'*"
"
N
,
– Xác định các VTCP
,a b
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (
α
) là:
,n a b
=
.
Dạng 10:(
α
)p*%7a'C"D$*4J%7%&'CβD,
– Xác định VTCP
u
của (d) và VTPT
n
β
của (
β
).
– Một VTPT của (
α
) là:
,n u n
β
=
.
– Lấy một điểm M thuộc d
⇒
M
∈
(
α
).
Dạng 11:(
α
)p*0%Z$*4J%&'e*CβDCγD,
– Xác định các VTPT
,n n
β γ
của (
β
) và (
γ
).
– Một VTPT của (
α
) là:
,n u n
β γ
=
.
Dạng 12:(
α
)p*a'C"DJ$0%ZJ%7XJ,
l Giả sử (
α
)có phương trình:
Ax z+D
0By C+ + =
( )
2 2 2
0A B C+ + ≠
.
– Lấy 2 điểm A, B
∈
(d)
⇒
A, B
∈
(
α
) (ta được hai phương trình (1), (2)).
– Từ điều kiện khoảng cách
( ,( ))d M k
α
=
, ta được phương trình (3).
– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
Dạng 13:(
α
)9$FGJ%&]*C^D;0%V,
– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R.
– Một VTPT của (
α
) là:
n IH=
Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở lớp 11.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 24. OF5%&'CDp*0%Z$4O==J,
D
( ) ( )
3;1;1 , 1;1;2M n = −
/D
( ) ( )
2;7;0 , 3;0;1M n− =
D
( ) ( )
4; 1; 2 , 0;1; 3M n− − =
HT 25. OF5%&'*#:;'12JJ,
D
(2;1;1), (2; 1; 1)A B − −
/D
(1; 1; 4), (2; 0;5)A B− −
D
(2; 3; 4), (4; 1; 0)A B− −
HT 26. OF5%&'p*0%Z$4&O=.
,a b
JJ,
D
(1;2; 3), (2;1;2), (3;2; 1)M a b− = = −
/D
(1; 2; 3), 3; 1; 2), (0; 3; 4)M a b− = − − =
HT 27. OF5%&'CαDp*0%Z$IIJ%&'
( )
β
JJ,
D
( ) ( ) ( )
2;1;5 ,M Oxy
β
=
/D
( ) ( )
1; 2;1 , : 2 3 0M x y
β
− − + =
HT 28. OF5%&'CαDp*0%Z$9]9IIJ%&';7J,
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
D
( )
2;1;5M
/D
( )
1; 2;1M −
D
( )
1;1; 0M −
"D
( )
3;6; 5M −
HT 29. OF5%&'CαDp*/0%12.'$JJ,
D
(1; 2; 4), (3;2; 1), ( 2;1; 3)A B C− − − −
/D
(0;0; 0), ( 2; 1;3), (4; 2;1)A B C− − −
HT 30. OF5%&'CαDp*0%1$*4Ja'p*0%2.J
J,
D
(1; 2; 4), (3;2; 1), ( 2;1; 3)A B C− − − −
/D
(0;0; 0), ( 2; 1;3), (4; 2;1)A B C− − −
HT 31. OF5%&'CαDp*0%12$*4J%&'CβDJJ,
D
( )
(3;1; 1), (2; 1;4)
: 2 3 1 0
A B
x y z
β
− −
− + − =
/D
( )
( 2; 1;3), (4; 2;1)
: 2 3 2 5 0
A B
x y z
β
− − −
+ − + =
D
( )
(2; 1; 3), ( 4;7; 9)
: 3 4 8 5 0
A B
x y z
β
− − −
+ − − =
HT 32. OF5%&'CαDp*0%Z$*4J%&'CβDCγDJJ,
D
( )
( )
( 1; 2;5), : 2 3 1 0, : 2 3 1 0M x y z x y z
β γ
− − + − + = − + + =
/D
( )
( )
(1; 0; 2), : 2 2 0, : 3 0M x y z x y z
β γ
− + − − = − − − =
HT 33. OF5%&'CαDp*0%Z$*!F:%&'CDCPDJJ,
D
( )
( )
( )
:
1;2; 3 , : 2 3 5 0, 3 2 5 1 0M P x y z Q x y z− − + − = − + − =
/D
( )
( )
( )
:
2;1; 1 , : 4 0, 3 1 0M P x y z Q x y z− − + − = − + − =
HT 34. OF 5 %& ' CαD p* *!F : %&' CD CPD Ea I I J %&
'CMDJJ,
D
( ) : 2 4 0, ( ) : 3 0, ( ) : 2 0P y z Q x y z R x y z+ − = + − − = + + − =
/D
( ) : 4 2 5 0, ( ) : 4 5 0, ( ) : 2 19 0P x y z Q y z R x y− + − = + − = − + =
D
( ) : 3 2 0, ( ) : 4 5 0, ( ) : 2 7 0P x y z Q x y R x z− + − = + − = − + =
HT 35. OF 5 %&' CαD p* *!F : %&' CDCPD E a *4 J %&
'CMDJJ,
D
( ) : 2 3 4 0, ( ) : 2 3 5 0, ( ) : 2 3 2 0P x y Q y z R x y z+ − = − − = + − − =
/D
( ) : 2 4 0, ( ) : 3 0, ( ) : 2 0P y z Q x y z R x y z+ − = + − + = + + − =
D
( ) : 2 4 0, ( ) : 2 5 0, ( ) : 2 3 6 0P x y z Q x y z R x y z+ − − = + + + = − − + =
"D
( ) : 3 2 0, ( ) : 4 5 0, ( ) : 2 7 0P x y z Q x y R x z− + − = + − = − + =
HT 36. OF5%&'CαDp**!F:%&'CDCPDEa0%ZJ
%7X/rkJ,
D
( ): 2 0, ( ) : 5 13 2 0, (1;2;3), 2P x y Q x y z M k− − = − + = =
VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
HT 37. _T:&%&'I*,
D
2 3 2 5 0
3 4 8 5 0
x y z
x y z
+ − + =
+ − − =
/D
3 4 3 6 0
3 2 5 3 0
x y z
x y z
− + + =
− + − =
D
5 5 5 1 0
3 3 3 7 0
x y z
x y z
+ − − =
+ − + =
HT 38. _m, n0&%&'I*,•II •e* •H*
D
3 2 7 0
7 6 4 0
x my z
nx y z
+ − − =
+ − + =
/D
5 2 11 0
3 5 0
x y mz
x ny z
− + − =
+ + − =
D
2 3 5 0
6 6 2 0
x my z
nx y z
+ + − =
− − + =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNN
HT 39. _m0&%&'I**4J*
D
2 7 2 0
3 2 15 0
x y mz
x y z
− + + =
+ − + =
/D
(2 1) 3 2 3 0
( 1) 4 5 0
m x my z
mx m y z
− − + + =
+ − + − =
VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.
•
Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (
α
): Ax + By + Cz + D = 0
( )
0 0 0
0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
•
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt
phẳng kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
•
Điểm H là hình chiếu của điểm M trên (P)
⇔
,
( )
MH n cuøng phöông
H P
∈
•
Điểm M
′
đối xứng với điểm M qua (P)
⇔
2MM MH
′
=
BÀI TẬP
HT 40. .%&'CD$0%Z(
•=XSZFCD( •=5%;75F*V:ZUCD(
•=5%;70%Z′TAJZp*CD(
D
( ) : 2 2 6 0, (2; 3;5)P x y z M− + − = −
/D
( ) : 5 14 0, (1; 4; 2)P x y z M+ + − = − −
HT 41. =5%Xv%&',
D
2 3 1 0
2 3 5 0
x y z
x y z
− + + =
− + + =
/D
6 2 1 0
6 2 3 0
x y z
x y z
− + + =
− + − =
D
2 4 5 0
3 5 1 0
x y z
x y z
− + + =
+ − − =
HT 42. =5%0%ZUQOx(Oy, Oz)*0%t$%&'CD,
D
( ) : 2 2 5 0, (1;2; 2)P x y z N+ + − = −
/D
( ) : 5 14 0, (1; 4; 2)P x y z N+ + − = − −
D
( ) : 6 2 3 12 0, (3;1; 2)P x y z N− + + = −
"D
( ) : 2 4 4 3 0, (2; 3;4)P x y z N− + + = −
HT 43. =5%0%ZUQOx(Oy, Oz)*%&',
D
1 0
5 0
x y z
x y z
+ − + =
− + − =
/D
2 2 1 0
2 2 5 0
x y z
x y z
+ − + =
+ + − =
D
2 4 5 0
4 2 1 0
x y z
x y z
− + + =
+ − − =
HT 44. =5%5wp*:%&'CDp*0%1$IIJ%&'CPDJ(=
XvCD$CPD,
D
( )
1;2; –3 , ( ) : 2 4 4 0A Q x y z− − + =
( /D
( )
3; 1; –2 , ( ) : 6 2 3 12 0A Q x y z− + + =
(
HT 45. =5%5wp*:%&'CDIIJ%&'CPD$0%1%7Xk
J,
D
( ) : 2 2 5 0, (2; 1; 4), 4Q x y z A k+ − + = − =
/D
( ) : 2 4 4 3 0, (2; 3; 4), 3Q x y z A k− + + = − =
HT 46. =5%5wp*:%&'CD%&'CPD%7Xk,
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNY
D
( ) : 3 2 3 0, 14Q x y z k− + − = =
/D
( ) : 4 3 2 5 0, 29Q x y z k+ − + = =
VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (
α
), (
β
) có phương trình: (
α
):
1 1 1 1
0A x B y C z D+ + + =
(
β
):
2 2 2 2
0A x B y C z D+ + + =
Góc giữa (
α
), (
β
) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT
1 2
,n n
.
( )
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
cos ( ),( )
.
.
n n A A B B C C
n n
A B C A B C
α β
+ +
= =
+ + + +
Chú ý:
•
( )
0 0
0 ( ),( ) 90α β≤ ≤
.
•
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0A A B B C C
α β
⊥ ⇔ + + =
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 47. =4v%&',
D
1 0
5 0
x y z
x y z
+ − + =
− + − =
/D
2 2 1 0
2 2 5 0
x y z
x y z
+ − + =
+ + − =
D
2 4 5 0
4 2 1 0
x y z
x y z
− + + =
+ − − =
"D
4 4 2 7 0
2 4 5 0
x y z
x z
+ − + =
+ − =
D
2 2 3 0
2 2 12 0
x y z
y z
− − + =
+ + =
xD
3 3 3 2 0
4 2 4 9 0
x y z
x y z
− + + =
+ + − =
HT 48. =5%m04v%&'I*/rαJ,
D
0
(2 1) 3 2 3 0
( 1) 4 5 0
90
m x my z
mx m y z
α
− − + + =
+ − + − =
=
/D
0
2 12 0
7 0
45
mx y mz
x my z
α
+ + − =
+ + + =
=
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số của đường thẳng
•Phương trình tham số:a'dp*0%
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
$4O=.
1 2 3
( ; ; )a a a a=
,
1
2
3
( ) : ( )
o
o
o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
= +
= + ∈
= +
•tF*
1 2 3
0a a a ≠
5
0 0 0
1 2 3
( ) :
x x y y z z
d
a a a
− − −
= =
được gọi là phương trình chính tắc của d.
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
.a'dd
′
45%IT9]99$,
0 1
0 2
0 3
:
x x ta
d y y ta
z z ta
= +
= +
= +
$
0 1
0 2
0 3
:
x x t a
d y y t a
z z t a
′ ′ ′
= +
′ ′ ′ ′
= +
′ ′ ′
= +
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\
•
d // d
′
⇔
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
,
( , )
′
′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′
+ = +
a a cùng phương
x ta x t a
hệ y ta y t a ẩn t t vô nghiệm
z ta z t a
⇔
0 0 0 0
,
( ; ; )
′
′
∉
a a cùng phương
M x y z d
⇔
0 0
,
,
′
′
a a cùng phương
a M M không cùng phương
⇔
0 0
, 0
, 0
′
=
′
≠
a a
a M M
•
d
≡
d
′
⇔
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
( , )
′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′
+ = +
x ta x t a
hệ y ta y t a ẩn t t có vô số nghiệm
z ta z t a
⇔
0 0 0 0
,
( ; ; )
′
′
∈
a a cùng phương
M x y z d
⇔
0 0
, ,
′ ′
a a M M đôi một cùng phương
⇔
0 0
, , 0
′ ′
= =
a a a M M
•
d, d
′
cắt nhau
⇔
hệ
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′
+ = +
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
(ẩn t, t
′
) có đúng một nghiệm
⇔
0 0
,
, ,
′
′ ′
a a không cùng phương
a a M M đồng phẳng
⇔
0 0
, 0
, . 0
′
≠
′ ′
=
a a
a a M M
•
d, d
′
chéo nhau
⇔
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
,
( , )
′
′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′
+ = +
a a không cùng phương
x ta x t a
hệ y ta y t a ẩn t t vô nghiệm
z ta z t a
⇔
0 0
, ,
′ ′
a a M M không đồng phẳng
⇔
0 0
, . 0
′ ′
≠
a a M M
•
d
⊥
d
′
⇔
a a
′
⊥
⇔
. 0a a
′
=
3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
.%&'CαD,
0
Ax By Cz D+ + + =
$a'd,
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +
= +
= +
_5,
0 1 0 2 0 3
( ) ( ) ( ) 0
A x ta B y ta C z ta D
+ + + + + + =
CytD CqD
•
d // (
α
)
⇔
(*) vơ nghiệm
•
d cắt (
α
)
⇔
(*) có đúng một nghiệm
•
d
⊂
(
α
)
⇔
(*) có vơ số nghiệm
4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNc
. a'd,
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +
= +
= +
CD$%&]*(S),
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
x a y b z c R− + − + − =
CND
0O==:d$(S)!CD$CND%75CqD(
•
d và (S) không có điểm chung
⇔
(*) vô nghiệm
⇔
d(I, d) > R
•
d tiếp xúc với (S)
⇔
(*) có đúng một nghiệm
⇔
d(I, d) = R
•
d cắt (S) tại hai điểm phân biệt
⇔
(*) có hai nghiệm phân biệt
⇔
d(I, d) < R
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
.a'dp*M
0
$4O=.
a
$0%Z(
0
,
( , )
M M a
d M d
a
=
6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau(chương trình nâng cao)
.a'*d
1
$d
2
(
d
1
p*0%M
1
$4O=.
1
a
d
2
p*0%M
2
$4O=.
2
a
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
( , )
,
a a M M
d d d
a a
=
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
bằng khoảng cách giữa d
1
với mặt phẳng (
α
) chứa d
2
và
song song với d
1
.
7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (
α
) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d
đến mặt phẳng (
α
).
8. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt có các VTCP
1 2
,a a
.
Góc giữa d
1
, d
2
bằng hoặc bù với góc giữa
1 2
,a a
.
( )
1 2
1 2
1 2
.
cos ,
.
a a
a a
a a
=
9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a=
và mặt phẳng (
α
) có VTPT
( ; ; )n A B C=
.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (
α
) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d
′
của nó trên (
α
).
( )
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
sin ,( )
.
Aa Ba Ca
d
A B C a a a
α
+ +
=
+ + + +
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNi
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.
Dạng 1:dp*0%
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
$4O=.
1 2 3
( ; ; )a a a a=
,
1
2
3
( ) : ( )
o
o
o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
= +
= + ∈
= +
Dạng 2:dp*0%A, B,
Một VTCP của d là
AB
.
Dạng 3:d p*0%
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
$IIJa'∆J,
Vì d //
∆
nên VTCP của
∆
cũng là VTCP của d.
Dạng 4:d p*0%
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
$*4J%&'CDJ,
Vì d
⊥
(P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d.
Dạng 5:d9$*!F:%&'CDCPD,
•
Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
– Tìm toạ độ một điểm A
∈
d: bằng cách giải hệ phương trình
( )
( )
P
Q
(với việc chọn giá trị cho một ẩn)
– Tìm một VTCP của d:
,
P Q
a n n
=
•
Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Dạng 6:dp*0%
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
$*4Ja'd
1
, d
2
:
Vì d
⊥
d
1
, d
⊥
d
2
nên một VTCP của d là:
1 2
,
d d
a a a
=
Dạng 7:dp*0%
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
*4$ea'
∆
.
•
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M
0
trên đường thẳng
∆
.
0
H
M H u
∈ ∆
⊥
△
Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M
0
, H.
•
Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khi đó d = (P)
∩
(Q)
Dạng 8:d p*0%
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
$ea'd
1
, d
2
:
•
Cách 1: Gọi M
1
∈
d
1
, M
2
∈
d
2
. Từ điều kiện M, M
1
, M
2
thẳng hàng ta tìm được M
1
, M
2
. Từ đó suy ra phương trình
đường thẳng d.
•
Cách 2: Gọi (P) =
0 1
( , )M d
, (Q) =
0 2
( , )M d
. Khi đó d = (P)
∩
(Q). Do đó, một VTCP của d có thể chọn là
,
P Q
a n n
=
.
Dạng 9:dr%%&'CD$eXa'd
1
, d
2
:
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNo
Tìm các giao điểm A = d
1
∩
(P), B = d
2
∩
(P). Khi đó d chính là đường thẳng AB.
Dạng 10:dIIJ∆$eXa'd
1
, d
2
:
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
∆
và d
1
, mặt phẳng (Q) chứa
∆
và d
2
.
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
Dạng 11:d9$a*4*:a'd
1
, d
2
*,
•
Cách 1: Gọi M
∈
d
1
, N
∈
d
2
. Từ điều kiện
1
2
MN d
MN d
⊥
⊥
, ta tìm được M, N.
Khi đó, d là đường thẳng MN.
•
Cách 2:
– Vì d
⊥
d
1
và d
⊥
d
2
nên một VTCP của d có thể là:
1 2
,
d d
a a a
=
.
– Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d
1
, bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d
1
.
+ Một VTPT của (P) có thể là:
1
,
P d
n a a
=
.
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d
2
.
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
Dạng 12:d9$5F*:a'∆9U%&'CD,
•
Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa
∆
và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
– Lấy M
∈
∆
.
– Vì (Q) chứa
∆
và vuông góc với (P) nên
,
Q P
n a n
∆
=
.
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
Dạng 13:dp*0%Z*4Jd
1
$ed
2
,
•
Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d
2
. Từ điều kiện MN
⊥
d
1
, ta tìm được N.
Khi đó, d là đường thẳng MN.
•
Cách 2:
– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d
1
.
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d
2
.
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 49. OF5%IT:a'p*0%Z$4O=.
a
J,
D
(1;2; 3), ( 1;3;5)M a− = −
/D
(0; 2; 5), (0;1;4)M a− =
D
(1; 3; 1), (1;2; 1)M a− = −
"D
(3; 1; 3), (1; 2;0)M a− − = −
D
(3; 2;5), ( 2; 0;4)M a− = −
xD
(4;3; 2), ( 3;0; 0)M a− = −
HT 50. OF5%IT:a'p*0%12J,
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNs
D
( ) ( )
, 2;3; 1 1;2;4A B−
/D
( ) ( )
, 1; 1; 0 0;1;2A B−
D
( ) ( )
, 3;1; 5 2;1; 1A B− −
"D
( ) ( )
, 2;1;0 0;1;2A B
D
( ) ( )
A , 1;2; 7 1;2; 4B−
xD
( ) ( )
, 2;1;3 4;2; 2A B− −
HT 51. OF5%IT:a'p*0%1$IIJa'∆J,
D
( )
, 3;2; 4A Ox− ∆ ≡
/D
( )
2; 5; 3 , (5;3;2), (2;1; 2)A qua M N− ∆ −
D
2 3
(2; 5;3), : 3 4
5 2
x t
A y t
z t
= −
− ∆ = +
= −
"D
2 5 2
(4; 2;2), :
4 2 3
x y z
A
+ − −
− ∆ = =
HT 52. OF5%IT:a'p*0%1$*4J%&'CDJ,
D
( )
, (P)2;4;3 : 2 3 6 19 0A x y z− − + + =
/D
( )
, 1; 1;0 ( ) : ( )A P Oxy−
D
( )
3;2;1 , ( ) : 2 5 4 0A P x y− + =
"D
(2; 3;6), ( ) : 2 3 6 19 0A P x y z− − + + =
HT 53. OF5%IT:a'9$*!F:%&'CDCPDJ,
D
( ) : 6 2 2 3 0
( ) : 3 5 2 1 0
P x y z
Q x y z
+ + + =
− − − =
/D
( ) : 2 3 3 4 0
( ) : 2 3 0
P x y z
Q x y z
− + − =
+ − + =
D
( ) : 3 3 4 7 0
( ) : 6 2 6 0
P x y z
Q x y z
+ − + =
+ + − =
"D
( ) : 2 3 0
( ) : 1 0
P x y z
Q x y z
+ − + =
+ + − =
D
( ) : 1 0
( ) : 2 0
P x z
Q y
+ − =
− =
xD
( ) : 2 1 0
( ) : 1 0
P x y z
Q x z
+ + − =
+ − =
HT 54. OF5%IT:a'p*0%1$*4Ja'd
1
, d
2
J,
D
1 2
1 2 1
(1;0;5), : 3 2 , : 2
1 1 3
x t x t
A d y t d y t
z t z t
= + = −
= − = +
= + = −
/D
1 2
1 1 3
(2; 1;1), : 2 , : 2
3 3
x t x t
A d y t d y t
z z t
= + = +
− = − + = − +
= = +
D
1 2
1 1
(1; 2;3), : 2 2 , : 2
3 3 3
x t x
A d y t d y t
z t z t
= − =
− = − − = − +
= − = +
"D
1 2
7 3 1
(4;1;4), : 4 2 , : 9 2
4 3 12
x t x t
A d y t d y t
z t z t
= − + = +
= − = − +
= + = − −
HT 55. OF5%IT:a'p*0%1*4$ea'∆J,
D
(1;2; 2), : 1
2
x t
A y t
z t
=
− ∆ = −
=
/D
3 2
( 4; 2;4), : 1
1 4
x t
A d y t
z t
= − +
− − = −
= − +
D
1 3
(2; 1; 3), : 1
2 2
x t
A y t
z t
= +
− − ∆ = +
= − +
"D
(3;1; 4), : 1
2
x t
A y t
z t
=
− ∆ = −
= −
HT 56. OF5%IT:a'p*0%1$eXa'd
1
, d
2
J,
D
1 2
1 2 1
(1;0;5), : 3 2 , : 2
1 1 3
x t x t
A d y t d y t
z t z t
= + = −
= − = +
= + = −
/D
1 2
1 1 3
(2; 1;1), : 2 , : 2
3 3
x t x t
A d y t d y t
z z t
= + = +
− = − + = − +
= = +
D
1 2
1 3 2 2
( 4; 5;3), : 3 2 , : 1 3
2 1 5
x t x t
A d y t d y t
z t z t
= − + = +
− − = − − = − +
= − = −
"D
1 2
1 3
(2;1; 1), : 2 4 , :
3 5 2
x t x t
A d y t d y t
z t z t
= + = −
− = − + =
= − + =
HT 57. OF5%IT:a'r%%&'(P)$eXa'd
1
, d
2
J,
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNu
D
1 2
( ) : 2 0
2
1
: , : 4 2
1 1 4
1
P y z
x t
x y z
d d y t
z
+ =
= −
−
= = = +
−
=
/D
1 2
( ) : 6 2 2 3 0
1 2 1
: 3 2 , : 2
1 1 3
P x y z
x t x t
d y t d y t
z t z t
+ + + =
= + = −
= − = +
= + = −
D
1 2
( ) : 2 3 3 4 0
7 3 1
: 4 2 , : 9 2
4 3 12
P x y z
x t x t
d y t d y t
z t z t
− + − =
= − + = +
= − = − +
= + = − −
"D
1 2
( ) : 3 3 4 7 0
1 1
: 2 2 , : 2
3 3 3
P x y z
x t x
d y t d y t
z t z t
+ − + =
= − =
= − − = − +
= − = +
HT 58. OF5%IT:a'IIJa'∆$eXa'd
1
, d
2
J,
D
1
2
1 1
:
2 1 2
1 1
:
1 2 1
2 1 3
:
3 2 1
x y z
x y z
d
x y z
d
− −
∆ = =
−
+ −
= =
−
− + +
= =
/D
1
2
1 5
:
3 1 1
1 2 2
:
1 4 3
4 7
:
5 9 1
x y z
x y z
d
x y z
d
− −
∆ = =
−
− + −
= =
+ +
= =
D
1
2
1 2 2
:
1 4 3
1 2 2
:
1 4 3
4 7
:
5 9 1
x y z
x y z
d
x y z
d
− + −
∆ = =
− + −
= =
+ +
= =
"D
1
2
1 3 2
:
3 2 1
2 2 1
:
3 4 1
7 3 9
:
1 2 1
x y z
x y z
d
x y z
d
+ + −
∆ = =
− −
− + −
= =
− − −
= =
−
HT 59. OF 5 % IT : a ' * 4 * : a ' * d
1
, d
2
J,
D
1 2
3 2 2 3
: 1 4 , : 4
2 4 1 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
= − = +
= + = −
= − + = −
/D
1 2
1 2 2 3
: 3 , : 1 2
2 3 4 4
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = − +
= − + = +
= + = − +
D
1 2
2 2 1
: 1 , : 3
3 1 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = +
= + = +
= − = +
"D
1 2
2 3 1 2
: 3 , : 1 2
1 2 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = − +
= − − = −
= + = +
HT 60. OF5%IT:a'd9$5F*:a'∆U%&'CDJ,
D
2 3 1
:
2 1 3
( ) : 2 2 3 0
x y z
P x y z
+ − −
∆ = =
−
− + + =
/D
3 2 2
:
1 2 3
( ) : 3 4 2 3 0
x y z
P x y z
− − +
∆ = =
−
+ − + =
D
1 1 3
:
1 2 2
( ) : 2 2 3 0
x y z
P x y z
+ − −
∆ = =
−
− + − =
"D
1
:
2 1 1
( ) : 1 0
x y z
P x y z
−
∆ = =
−
+ − + =
HT 61. OF5%IT:a'p*0%1*4Ja'd
1
$ea'
d
2
J,
D
1 2
1
1 2
(0;1;1), : , :
3 1 1
1
x
x y z
A d d y t
z t
= −
− −
= = =
= +
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNNm
/D
1 2
2
1 1
(1;1;1), : , : 1 2
2 1 1
1
x
x y z
A d d y t
z t
=
− +
= = = +
−
= − −
D
1 2
1 4 1 1 3
( 1;2; 3), : , :
6 2 3 3 2 5
x y z x y z
A d d
+ − − + −
− − = = = =
− − −
VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
•
Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.
•
Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 62. _Tva'd
1
, d
2
J,
D
{
1 2
1 2 4
: ; : 1 ; ; 2 3
2 1 3
x y z
d d x t y t z t
− + −
= = = − + = − = − +
−
/D
{ {
1 2
: 5 2 ; 1 ; 5 ; : 3 2 '; 3 '; 1 'd x t y t z t d x t y t z t= + = − = − = + = − − = −
D
{ {
1 2
: 2 2 ; 1 ; 1; : 1; 1 ; 3d x t y t z d x y t z t= + = − + = = = + = −
"D
1 2
1 2 3 7 6 5
: ; :
9 6 3 6 4 2
x y z x y z
d d
− − − − − −
= = = =
HT 63. .Adr&a'I* !*(OF5a*4*:G,
D
{ {
1 2
: 1 2 ; 3 ; 2 3 ; : 2 '; 1 '; 3 2 'd x t y t z t d x t y t z t= − = + = − − = = + = −
/D
{ {
1 2
: 1 2 ; 2 2 ; ; : 2 '; 5 3 '; 4d x t y t z t d x t y t z= + = − = − = = − =
D
{ {
1 2
: 3 2 ; 1 4 ; 4 2; : 2 3 '; 4 '; 1 2 'd x t y t z t d x t y t z t= − = + = − = + = − = −
HT 64. =5%0%:a'd
1
và d
2
,
D
{ {
1 2
: 3 ; 1 2 ; 3 ; : 1 '; 2 '; 4 'd x t y t z t d x t y t z t= = − = + = + = = +
/D
{
1 2
3 0
: ; : 1 ; 2 ; 3
2 1 0
x y z
d d x t y t z t
x y
+ + + =
= + = − + = −
− + =
HT 65. =5%m0a'd
1
và d
2
e*(K45%;70%:G,
D
{ {
1 2
: 1 ; ; 1 2 ; : 1 '; 2 2 '; 3 'd x mt y t z t d x t y t z t= + = = − + = − = + = −
/D
{
{
1 2
: 1 ; 3 2 ; ; : 2 '; 1 '; 2 3 'd x t y t z m t d x t y t z t= − = + = + = + = + = −
D
1 2
2 4 0 2 3 0
: ; :
3 0 2 6 0
x y z x y mz
d d
x y x y z
+ − − = + + − =
+ − = + + − =
VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
•
Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNN
•
Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 66. _Tva'd và %&' (P)(=5%0%CF*4D:G,
D
{
: 2 ; 1 ; 3 ; ( ) : 10 0d x t y t z t P x y z= = − = + + + − =
/D
{
: 3 2; 1 4 ; 4 5; ( ) : 4 3 6 5 0d x t y t z t P x y z= − = − = − − − − =
D
12 9 1
: ; ( ) : 3 5 2 0
4 3 1
x y z
d P x y z
− − −
= = + − − =
"D
11 3
: ; ( ) : 3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d P x y z
+ −
= = − + − =
D
13 1 4
: ; ( ) : 2 4 1 0
8 2 3
x y z
d P x y z
− − −
= = + − + =
xD
3 5 7 16 0
: ; ( ) : 5 4 0
2 6 0
x y z
d P x z
x y z
+ + + =
− − =
− + − =
D
2 3 6 10 0
: ; ( ) : 4 17 0
5 0
x y z
d P y z
x y z
+ + − =
+ + =
+ + + =
HT 67. .a'd và %&' (P)(=5%m, n 0,
Dde(P). Ddzz(P)( Dd⊥(P). Dd⊂(P).
D
1 2 3
: ; ( ) : 3 2 5 0
2 1 2
x y z
d P x y z
m m
− + +
= = + − − =
−
/D
1 3 1
: ; ( ) : 3 2 5 0
2 2
x y z
d P x y z
m m
+ − −
= = + + − =
−
HT 68. .a'd và %&' (P)(=5%m, n 0,
D
{
: ; 2 ; 3d x m t y t z t= + = − =
e
( ) : 2 5 0P x y z− + − =
;0%4*7/rY(
/D
2 3 0
:
2 5 0
x y
d
y z
− − =
+ + =
e
( ) : 2 2 2 0P x y z m+ + − =
;0%47/rl(
D
2 3 0
:
3 2 7 0
x y
d
x z
+ − =
− − =
e
( ) : 0P x y z m+ + + =
VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách
1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d
•
Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M
0
và có VTCP
a
.
0
,
( , )
M M a
d M d
a
=
•
Cách 2: – Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.
– d(M,d) = MH.
•
Cách 3: – Gọi N(x; y; z)
∈
d. Tính MN
2
theo t (t tham số trong phương trình đường thẳng d).
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNNN
– Tìm t để MN
2
nhỏ nhất.
– Khi đó N
≡
H. Do đó d(M,d) = MH.
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
.
d
1
đi qua điểm M
1
và có VTCP
1
a
, d
2
đi qua điểm M
2
và có VTCP
2
a
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
( , )
,
a a M M
d d d
a a
=
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
bằng khoảng cách giữa d
1
với mặt phẳng (
α
) chứa d
2
và
song song với d
1
.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường
thẳng kia.
4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (
α
) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d
đến mặt phẳng (
α
).
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 69. =XS0%1Fa'd,
D
1 4
(2;3;1), : 2 2
4 1
x t
A d y t
z t
= −
= +
= −
/D
2 2
(1;2; 6), : 1
3
x t
A d y t
z t
= +
− = −
= −
D
2 1
(1;0;0), :
1 2 1
x y z
A d
− −
= =
"D
2 1 1
(2; 3;1), :
1 2 2
x y z
A d
+ − +
= =
−
HT 70. .A%a'd
1
, d
2
*(=XvG,
D
{ {
1 2
: 1 2 ; 3 ; 2 3 ; : 2 '; 1 '; 3 2 'd x t y t z t d x t y t z t= − = + = − − = = + = −
/D
{ {
1 2
: 1 2 ; 2 2 ; ; : 2 '; 5 3 '; 4d x t y t z t d x t y t z= + = − = − = = − =
D
{ {
1 2
: 3 2 ; 1 4 ; 4 2; : 2 3 '; 4 '; 1 2 'd x t y t z t d x t y t z t= − = + = − = + = − = −
HT 71. .A%a'd
1
, d
2
IIJ*(=XvG,
D
{ {
d
1 2
: 3 2 , 4 3 , 2 ; : 4 4 , 5 6 , 3 2d x t y t z t x t y t z t= + = + = + = + = + = +
/D
1 2
1 2 3 2 3 1
: ; :
2 6 8 3 9 12
x y z x y z
d d
− + − + − +
= = = =
− − −
HT 72. .A%a'd IIJ%&'CD(=XvG,
D
{
: 3 2; 1 4 ; 4 5; ( ) : 4 3 6 5 0d x t y t z t P x y z= − = − = − − − − =
/D
{
: 1 2 ; ; 2 2 ; ( ) : 8 0d x t y t z t P x z= − = = + + + =
D
2 1 0
: ; ( ) : 2 2 4 5 0
2 3 0
x y z
d P x y z
x y z
− + + =
− + + =
+ − − =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNNY
VẤN ĐỀ 6: Góc
1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt có các VTCP
1 2
,a a
.
Góc giữa d
1
, d
2
bằng hoặc bù với góc giữa
1 2
,a a
.
( )
1 2
1 2
1 2
.
cos ,
.
a a
a a
a a
=
2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a=
và mặt phẳng (
α
) có VTPT
( ; ; )n A B C=
.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (
α
) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d
′
của nó trên (
α
).
( )
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
sin ,( )
.
Aa Ba Ca
d
A B C a a a
α
+ +
=
+ + + +
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 73. =4va',
D
{ {
1 2
: 1 2 , –1 , 3 4 ; : 2 – , –1 3 , 4 2d x t y t z t d x t y t z t= + = + = + = = + = +
/D
1 2
1 2 4 2 3 4
: ; :
2 1 2 3 6 2
x y z x y z
d d
− + − + − +
= = = =
− −
D
{
1 2
2 3 3 9 0
: ; : 9 ; 5 ; –3
2 3 0
x y z
d d x t y t z t
x y z
− − − =
= = = +
− + + =
HT 74. .A%a'I**4J*,
D
1 2
7 2 15 0 7 0
: ; :
7 5 34 0 3 4 11 0
x z x y z
d d
y z x y
− − = − − − =
+ + = − − =
HT 75. =5%m04va'I*/rα,
D
{ {
0
1 2
: 1 ; 2; 2 ; : 2 ; 1 2; 2 ; 60d x t y t z t d x t y t z mt α= − + = − = + = + = + = + =
(
HT 76. =4va'd$%&'(P),,
D
1 1 3
: ; ( ) : 2 – – 2 – 10 0
1 2 3
x y z
d P x y z
− − +
= = =
−
(
/D
{
4 4
: 1; 2 5; 3 ; ( ) : 5 4 0d x y t z t P x z= = + = + + + =
D
4 2 7 0
: ; ( ) : 3 – 1 0
3 7 2 0
x y z
d P x y z
x y z
+ − + =
+ + =
+ − =
VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác
1. Viết phương trình mặt phẳng
•
Dạng 1: Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d:
– Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNN\
– Một VTPT của (P) là:
,n AB AC
=
.
•
Dạng 2: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d
1
, d
2
:
– Xác định VTCP
a
của d
1
(hoặc d
2
).
– Trên d
1
lấy điểm A, trên d
2
lấy điểm B. Suy ra A, B
∈
(P).
– Một VTPT của (P) là:
,n a AB
=
.
•
Dạng 3: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau d
1
, d
2
:
– Lấy điểm A
∈
d
1
(hoặc A
∈
d
2
)
⇒
A
∈
(P).
– Xác định VTCP
a
của d
1
,
b
của d
2
.
– Một VTPT của (P) là:
,n a b
=
.
•
Dạng 4: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d
1
và song song với đường thẳng d
2
(d
1
, d
2
chéo nhau):
– Xác định các VTCP
,a b
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (P) là:
,n a b
=
.
– Lấy một điểm M thuộc d
1
⇒
M
∈
(P).
•
Dạng 5: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
:
– Xác định các VTCP
,a b
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (P) là:
,n a b
=
.
2. Xác định hình chiếu H của một điểm M lên đường thẳng d
•
Cách 1: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d.
– Khi đó: H = d
∩
(P)
•
Cách 2: Điểm H được xác định bởi:
d
H d
MH a
∈
⊥
3. Điểm đối xứng M' của một điểm M qua đường thẳng d
•
Cách 1: – Tìm điểm H là hình chiếu của M trên d.
– Xác định điểm M
′
sao cho H là trung điểm của đoạn MM
′
.
•
Cách 2: – Gọi H là trung điểm của đoạn MM
′
. Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M, M
′
.
– Khi đó toạ độ của điểm M
′
được xác định bởi:
'
d
MM a
H d
⊥
∈
.
4. Xc định hình chiếu H của một điểm M lên mặt phẳng (P)
•
Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với (P).
– Khi đó: H = d
∩
(P)
