BAI TAP PHUONG TRINH HE PHUONG TRINH CO LOI GIAI

BÀI
1.

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình một ẩn

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

f ( x) = g( x)

( 1)

f ( x)
g( x)
f ( x)
trong đó
và
là những biểu thức của x. Ta gọi
là vế trái,
g( x)
( 1) .
là vế phải của phương trình
f ( x0 ) = g( x0 )
Nếu có số thực x0 sao cho
là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là
( 1) .
một nghiệm của phương trình
( 1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập
Giải phương trình

nghiệm).
Nếu phương trình khơng có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vơ
nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

2. Điều kiện của một phương trình
( 1) , ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f ( x)
Khi giải phương trình
g( x)
và
có nghĩa (tức là mọi phép tốn đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là

điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương
trình).

3. Phương trình nhiều ẩn
Ngồi các phương trình một ẩn, ta cịn gặp những phương trình có nhiều ẩn
số, chẳng hạn
3x + 2y = x2 - 2xy + 8,
( 2)
4x2 - xy + 2z = 3z2 + 2xz + y2.

( 3)

( 2) là phương trình hai ẩn ( x và y ), cịn ( 3) là phương trình
Phương trình
x
,
y
ba ẩn (
và z ).

( 2) có giá trị bằng nhau, ta nói
Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình
( x; y) = ( 2;1) là một nghiệm của phương trình ( 2) .
cặp
( x; y; z) = ( - 1;1;2) là một nghiệm của phương trình ( 3) .
Tương tự, bộ ba số
4. Phương trình chứa tham số
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngồi các chữ đóng vai trị ẩn
số cịn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là
tham số.

II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ
QUẢ
1. Phương trình tương đương


Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

2. Phép biến đổi tương đương
Định lí
Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà khơng
làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu
thức luôn có giá trị khác 0.
Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép
cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.

3. Phương trình hệ quả
f ( x) = g( x)

Nếu mọi nghiệm của phương trình
đều là nghiệm của phương
f1 ( x) = g1 ( x)
f1 ( x) = g1 ( x)
trình
thì phương trình
được gọi là phương trình hệ
f ( x) = g( x) .
quả của phương trình
Ta viết
f ( x) = g( x) Þ f1 ( x) = g1 ( x) .
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm khơng phải là nghiệm của
phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH
2x
3
- 5= 2
2
x +1 là
Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình x +1
A. x ¹ 1.
B. x ạ - 1.
C. x ạ 1.
D. x ẻ ¡ .
Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình x - 1+ x - 2 = x - 3 là
A. x > 3.
B. x ³ 2.
C. x ³ 1.
D. x ³ 3.

x2 + 5
x- 2 +
=0
7- x
Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình
là
x
³
2.
2
£
x
£
7.
2
x
<
7.
A.
B.
C.
D. £ x < 7.

1

+ x2 - 1 = 0

Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình x
là
A. x ³ 0.

B. x > 0.
2
2
C. x > 0 và x - 1³ 0.
D. x ³ 0 và x - 1> 0.
x2

=

8

x - 2 là
Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình x - 2
A. x ¹ 2.
B. x ³ 2.
C. x < 2.
D. x > 2.
1
= x +3
2
x
- 4
Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình
là:
A. x ³ - 3 và x ¹ ±2.

B. x ¹ ±2.


D. x ³ - 3.

C. x >- 3 và x ¹ ±2.

x2 - 4 =

1
x - 2 là

Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình
A. x ³ 2 hoặc x £ - 2.
B. x ³ 2 hoặc x <- 2.
C. x > 2 hoặc x <- 2.
D. x > 2 hoặc x £ - 2.

x+
Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình

1
2x + 4

D. x ¹ - 2 và x ¹ 0.

x + 2Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình
A. x >- 2 và x ¹ - 1.

B. x >- 2 và
x£

là

3
x£ .
x >- 2, x ¹ 0
2
B.
và

A. x >- 2 và x ¹ 0.
3
x< .
2
C. x >- 2 và

C. x >- 2, x ¹ - 1 và

3- 2x
x

=

4
.
3

1
x+2

=

4- 3x

x +1

là

4
x< .
3

D. x ¹ - 2 và x ¹ - 1.

2x +1
=0
Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình x + 3x
là
1
1
x³ - .
x³ 2
2 và x ¹ - 3.
A.
B.
1
x³ 2 và x ¹ 0.
C.
D. x ¹ - 3 và x ¹ 0.
2

Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
Câu 11. Hai phương trình được gọi là tương đương khi
A. Có cùng dạng phương trình.

B. Có cùng tập xác định.
C. Có cùng tập hợp nghiệm.
D. Cả A, B, C đều đúng.
2
Câu 12. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x - 4 = 0 ?

A.
C.

( 2+ x) ( - x2 + 2x +1) = 0.
x2 - 3 = 1.

B.

( x - 2) ( x2 + 3x + 2) = 0.

2
D. x - 4x + 4 = 0.

2
Câu 13. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x - 3x = 0 ?
1
1
x2 +
= 3x +
.
2
x- 3
x- 3
A. x + x - 2 = 3x + x - 2.

B.
2
C. x x - 3 = 3x x - 3.

2
2
2
D. x + x +1 = 3x + x +1.

( x2 +1) ( x – 1) ( x +1) = 0 . Phương trình nào sau đây
Câu 14. Cho phương trình
tương đương với phương trình đã cho ?


2
( x – 1) ( x+1) = 0.
A. x- 1= 0.
B. x+1= 0.
C. x +1= 0.
D.
Câu 15. Phương trình nào sau đây khơng tương đương với phương trình
1
x+ =1
x
?
2
A. x + x = - 1.

B.

2x - 1 + 2x +1 = 0.

C. x x- 5 = 0.
D. 7+ 6x - 1 = - 18.
Câu 16. Khẳng định nào sau đây là đúng?
2
2
A. 3x + x - 2 = x Û 3x = x -

x - 2. B.

x - 1 = 3x Û x - 1= 9x2.

2x - 3
2

2

C. 3x + x - 2 = x + x - 2 Û 3x = x . D.
Câu 17. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

x- 1

2

= x - 1 Û 2x - 3 = ( x - 1) .

x2 +1= 0 Û

x - 1 = 2 1- x Û x - 1= 0.

B.

2

x- 1
x- 1

= 0.

2

2
x - 2 = x +1 Û ( x - 2) = ( x +1) .
C.
D. x = 1 Û x = 1.
Câu 18. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:

A. x + x - 1 = 1+ x - 1 và x = 1.
B. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1.
x( x + 2) = x
x ( x + 2) = x
C.
và x+ 2 = 1.
D.
và x+ 2 = 1.
Câu 19. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:

x x +1

A. 2x + x - 3 = 1+ x - 3 và 2x = 1.

B.

x +1

=0

và x = 0.

2

x +1= ( 2- x) .
C. x +1 = 2- x và
D. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1.
Câu 20. Chọn cặp phương trình khơng tương đương trong các cặp phương
trình sau:
2

2
x + 2 = ( x - 1) .
A. x +1= x - 2x và

B. 3x x +1 = 8 3- x và 6x x +1 = 16 3- x.
2
2
C. x 3- 2x + x = x + x và x 3- 2x = x.
2
D. x + 2 = 2x và x + 2 = 4x .
Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương

đương:
3
2
2x2 + mx - 2 = 0 ( 1) và 2x +( m+ 4) x + 2( m- 1) x - 4 = 0 ( 2) .
1
m= .
2
A. m= 2.
B. m= 3.
C.
D. m=- 2.
m
Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để cặp phương trình sau tương
đương:

mx2 - 2( m- 1) x + m- 2 = 0 ( 1)
A. m=- 5.

B. m= - 5; m= 4.

và

( m- 2) x2 - 3x + m2 - 15 = 0 ( 2) .

C. m= 4.

D. m= 5.

Câu 23. Khẳng định nào sau đây là sai?

x( x - 1)
A.
C.

x - 2 = 1Þ x - 2 = 1.

3x - 2 = x - 3 Þ 8x2 - 4x - 5 = 0.

= 1Þ x = 1.

B.

x- 1

D.

x - 3 = 9- 2x Þ 3x - 12 = 0.

2

Câu 24. Cho phương trình 2x - x = 0 . Trong các phương trình sau đây, phương
trình nào khơng phải là hệ quả của phương trình đã cho?
x
2x = 0.
3
1
x
A.

B. 4x - x = 0.

( 2x

2

C.

2

- x) +( x - 5) = 0.
2

3
2
D. 2x + x - x = 0.

Câu 25. Cho hai phương trình:
định nào sau đây là đúng?

x( x - 2) = 3( x - 2) ( 1)

x( x - 2)
và

x- 2

= 3 ( 2)

. Khẳng

( 1) là hệ quả của phương trình ( 2) .
( 1) và ( 2) là hai phương trình tương đương.
B. Phương trình
( 2) là hệ quả của phương trình ( 1) .
C. Phương trình
A. Phương trình

D. Cả A, B, C đều sai.
Vấn đề 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

x2 - 2x = 2x - x2 là:

Câu 26. Tập nghiệm của phương trình
A.

S = { 0} .

B. S = Ỉ.

Câu 27. Phương trình
A. 0.
Câu 28. Phương trình
A. 0.

C.

S = { 0;2} .

D.

S = { 2} .

x( x2 - 1) x - 1 = 0

có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.

- x2 + 6x - 9 + x3 = 27 có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.

D. 3.
D. 3.

2

Câu 29. Phương trình
A. 0.

( x - 3) ( 5- 3x) + 2x = 3x - 5 + 4
B. 1.

có bao nhiêu nghiệm?
C. 2.
D. 3.

Câu 30. Phương trình x + x - 1 = 1- x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.
C. 2.

D. 3.

Câu 31. Phương trình
A. 0.

2x + x - 2 = 2- x + 2 có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.

Câu 32. Phương trình
A. 0.

x3 - 4x2 + 5x - 2 + x = 2- x có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.
D. 3.

D. 3.


Câu 33. Phương trình
A. 0.
Câu 34. Phương trình
A. 0.
Câu 35. Phương trình
A. 0.

x+

1
2x - 1
=
x - 1 x - 1 có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.

( x2 -

D. 3.

3x + 2) x - 3 = 0

có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.

( x2 -

D. 3.

x - 2) x +1 = 0

có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.

D. 3.

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC
HAI

BÀI
2.

I – ƠN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Phương trình bậc nhất
Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng
sau

ax + b = 0

( 1)

Hệ số

Kết luận
b

( 1) có nghiệm duy nhất x = - a
( 1) vơ nghiệm

a¹ 0
b¹ 0

a= 0

( 1) nghiệm đúng với mọi x

b= 0

Khi a¹ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Phương trình bậc hai
Cách giải và cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong
bảng sau

ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)

( 2)

D = b2 - 4ac

Kết luận

D >0

( 2) có hai nghiệm phân biệt x1, 2 =

D =0

( 2) có nghiệm kép x = - 2a
( 2) vô nghiệm

D <0

- b± D

2a

b

3. Định lí Vi–ét
Nếu phương trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)

có hai nghiệm x1, x2 thì


c
x1x2 = .
a
u
Ngược lại, nếu hai số
và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là
các nghiệm của phương trình
x1 + x2 =-

b
,
a

x2 - Sx + P = 0.
II – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc
bậc hai.
Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.

1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định
nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt
đối.
Ví dụ 1. Giải phương trình

x - 3 = 2x +1. ( 3)
Giải

Cách 1

( 3) trở thành x - 3 = 2x +1. Từ đó x = - 4.
a) Nếu x ³ 3 thì phương trình
Giá trị x = - 4 khơng thỏa mãn điều kiện x ³ 3 nên bị loại.
2
x= .
3)
(
x
+
3
=
2
x
+
1.
3
x
<

3
b) Nếu
thì phương trình
trở thành
Từ đó
Giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm.
2
x= .
3
Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là
Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình
hệ quả
2

( 3) Þ ( x - 3) = ( 2x +1)

( 3) ta đưa tới phương trình

2

Þ x2 - 6x + 9 = 4x2 + 4x +1
Þ 3x2 +10x - 8 = 0.
Phương trình cuối có hai nghiệm là x = - 4 và

2
x= .
3
2

( 3) chỉ có nghiệm là x = 3.

Thử lại ta thấy phương trình
2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình
phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả khơng chứa ẩn dưới dấu
căn.
( 4)
Ví dụ 2. Giải phương trình 2x - 3 = x - 2.
Giải.


3

( 4) là x ³ 2.
Điều kiện của phương trình
( 4) ta đưa tới phương trình hệ quả
Bình phương hai vế của phương trình
( 4) Þ 2x - 3 = x2 - 4x + 4
Þ x2 - 6x + 7 = 0.
Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3+ 2 và x = 3- 2. Cả hai giá trị
( 4) , nhưng khi thay vào phương
này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình
( 4) thì giá trị x = 3- 2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), cịn giá trị
trình
x = 3+ 2 là nghiệm (hai vế cùng bằng 2 +1 ).
Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình

( 4) là x = 3+ 2.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( m2 - 4) x = 3m+ 6 vô nghiệm.
A. m= 1.
B. m= 2.
C. m= ±2.
D. m=- 2.
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx - m= 0
vơ nghim.
+
m= { 0} .
A. mẻ ặ.
B.
C. mẻ Ă .
D. mẻ ¡ .
m
Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số
để phương trình
2
2
m
5
m
+
6
x
=
m
2
m
(

)
vơ nghiệm.
m=
1.
m=
2.
A.
B.
C. m= 3.
D. m= 6.
2

( m+1) x +1= ( 7m- 5) x + m . Tìm tất cả các giá trị thực
Câu 4. Cho phương trình
của tham số m để phương trình đã cho vơ nghiệm.
A. m= 1.
B. m= 2; m= 3.
C. m= 2.
D. m= 3.
2
2
y = ( m+1) x + 3m x + m
y = ( m+1) x2 +12x + 2
Câu 5. Cho hai hàm số
và
. Tìm
tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt
nhau.
A. m= 2.
B. m= - 2.

C. m= ±2.
D. m= 1.
m
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình

( 2m- 4) x = m- 2 có nghiệm duy nhất.
A. m=- 1.

B. m= 2.

C. m¹ - 1.

D. m¹ 2.

[- 10;10] để
Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
( m2 - 9) x = 3m( m- 3) có nghiệm duy nhất ?
phương trình
A. 2.
B. 19.
C. 20.
D. 21.


Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
[- 5;10] để phương trình ( m+1) x = ( 3m2 - 1) x + m- 1 có nghiệm duy nhất.
Tổng các phần tử trong S bằng:
A. 15.
B. 16.

C. 39.
D. 40.
m
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình
2
( m + m) x = m+1 có nghiệm duy nhất x = 1.
A. m= - 1.
B. m¹ 0.
C. m¹ - 1.
D. m= 1.
2

y = ( 3m+ 7) x + m
y = ( m+1) x - 2
Câu 10. Cho hai hàm số
và
. Tìm tất cả các
m
giá trị của tham số
để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau.
m¹
2.
m¹
- 3.
A.
B.
C. m¹ - 2; m¹ 3.
D. m= - 2; m= 3.
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

( m2 - 1) x = m- 1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ .
A. m= 1.
B. m= ±1.
C. m= - 1.
D. m= 0.
2
Câu 12. Cho phương trình m x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. m= 2.

C. mạ - 2 v mạ 2. D. mẻ ¡ .

B. m¹ - 2.

( m2 – 3m+ 2) x + m2 + 4m+ 5 = 0. Tìm tất cả các giá trị
Câu 13. Cho phương trình
thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x
thuộc ¡ .
A. m= - 2.

B. m= - 5.

C. m= 1.

D. Không tồn tại.

( m - 2m) x = m - 3m+ 2. Tìm tất cả các giá trị thực
Câu 14. Cho phương trình
của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. m= 0.

B. m= 2.
C. m¹ 0; m¹ 2.
D. m¹ 0.
2

2

y = ( 3m2 - 1) x + m
y = ( m+1) x +1
Câu 15. Cho hai hàm số
và
. Tìm tất cả các
giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau.
2
2
m= 1; m =- .
m¹ - .
3
3
A.
B. m¹ 1 và
C. m= 1.

m= -

2
.
3

D.

Vấn đề 2. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2
Câu 16. Phương trình ax + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
ïìï a ¹ 0
ïìï a = 0
.
í
í
ï D =0
ï b¹ 0
A. a= 0.
B. ùợ
hoc ùợ
ùỡù a ạ 0
.
ớ
ù D =0
C. a = b = c = 0.
D. ïỵ
Câu 17. Số - 1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?


2
A. x + 4x + 2 = 0.
2
C. - 3x + 5x - 2 = 0.

2
B. 2x - 5x - 7 = 0.
3

D. x - 1= 0.

2
Câu 18. Nghiệm của phương trình x - 7x +12 = 0 có thể xem là hoành độ giao
điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây?
2
2
A. y = x và y = - 7x +12.
B. y = x và y = - 7x - 12.
2
C. y = x và y = 7x +12.

2
D. y = x và y = 7x - 12.

[- 10;10]
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn
2
để phương trình x - x + m= 0 vô nghiệm?
A. 9.

B. 10.
( m+1) x - 2mx + m- 2 = 0

C. 20.

D. 21.

2

Câu 20. Phương trình
A. m£ - 2.
B. m<- 2.

vơ nghiệm khi:
C. m> 2.
D. m³ 2.

2x( kx - 4) - x2 + 6 = 0
Câu 21. Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương trình
vơ nghiệm là?
A. k = - 1.
B. k = 1.
C. k = 2.
D. k = 3.
( m– 2) x2 + 2x – 1= 0
Câu 22. Phương trình
có nghiệm kép khi:
A. m= 1; m= 2. B. m= 1.
C. m= 2.
D. m= - 1.
2
Câu 23. Phương trình mx + 6 = 4x + 3m cú nghim duy nht khi:
A. mẻ ặ.
B. m= 0.
C. mẻ Ă .
D. mạ 0.
mx2 2( m+1) x + m+1= 0
Câu 24. Phương trình
có nghiệm duy nhất khi:

A. m= 0.
B. m= - 1.
C. m= 0; m=- 1.
D. m= 1.

Câu 25. Phương trình
A. m= - 1.

( m+1) x2 – 6( m+1) x + 2m+ 3 = 0

6
m= - 1; m= 7
B.

6
m= - .
7
C.

có nghiệm kép khi:
6
m= .
7
D.

2( x2 - 1) = x( mx +1)
Câu 26. Phương trình
có nghiệm duy nhất khi:
17
17

m= .
m= 2; m= .
8
8
m=
2.
A.
B.
C.
D. m= - 1.
Câu 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( m- 2) x2 - 2x +1- 2m= 0
có nghiệm duy nhất. Tổng của các phần tử trong S
bằng:
5
7
9
.
.
.
3.
2
2
A.
B.
C.
D. 2
Câu 28. Phương trình
A. m>- 8.

B.

( m- 1) x2 + 6x - 1= 0
m>-

5
.
4

có hai nghiệm phân biệt khi:
5
m>- ; m¹ 1.
m
>8;
m
¹
1.
4
C.
D.


[- 5;5]
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn
mx2 - 2( m+ 2) x + m- 1= 0
để phương trình
có hai nghiệm phân biệt.
A. 5.
B. 6.
C. 9.

D. 10.
Câu 30. Phương trình

( m2 + 2) x2 +( m- 2) x -

3= 0

có hai nghiệm phân biệt khi:
A. 0 < m< 2.
B. m> 2.
C. mỴ ¡ .
D. m£ 2.
Câu 31. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = 2x + m tiếp xúc
( P ) : y = ( m– 1) x2 + 2mx + 3m– 1.
với parabol
A. m= 1.
B. m= - 1.
C. m= 0.
D. m= 2.
2
Câu 32. Phương trình x + m= 0 có nghiệm khi:
A. m> 0.
B. m< 0.
C. m£ 0.

D. m³ 0.

Câu 33. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc
2
[- 20;20]

để phương trình x - 2mx +144 = 0 có nghiệm. Tổng của các phần tử
trong S bằng:
A. 21.
B. 18.
C. 1.
D. 0.
m
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để hai đồ thị hàm số
y = - x2 - 2x + 3 và y = x2 - m có điểm chung.
A.

m= -

7
.
2

B.

m<-

7
.
2

C.

m>-

7
.
2

( m- 1) x + 3x - 1= 0 có nghiệm khi:
Câu 35. Phương trình
5
5
5
m³ - .
m£ - .
m= - .
4
4
4
A.
B.
C.

D.

m³ -

7
.
2

2

5

m= .
4
D.

[- 10;10] để
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
2
phương trình mx - mx +1= 0 có nghiệm.
A. 17.

B. 18.

C. 20.

D. 21.

2

Câu 37. Biết rằng phương trình x - 4x + m+1= 0 có một nghiệm bằng 3 .
Nghiệm cịn lại của phương trình bằng:
A. - 1.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

3x2 - ( m+ 2) x + m- 1= 0
ïì 5 ùỹ
mẻ ớ ;7ý.
ùù

ợùù 2 ỵ

A.
B.
Cõu 39. Tỡm tt c
3x2 - 2( m+1) x + 3mA. m= 7.

B.

có một nghiệm gấp đơi nghiệm cịn lại.
ìï
1ïü
ïì 2ïü
ïì 3 ïü
mỴ í - 2;- ý.
mẻ ớ 0; ý.
mẻ ớ - ;1ý.
2ỵ
ùù
ùù
ùù
ợùù
ợùù 5ỵ
ợùù 4 þ
C.
D.
các giá trị thực của tham số m để phương trình
5= 0
có một nghiệm gấp ba nghiệm cịn lại.
m= 3.

C. m= 3; m= 7.
D. mẻ ặ.


Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( x - 1) ( x2 - 4mx - 4) = 0
ba nghiệm phân biệt.
3
3
m¹ .
mạ - .
4
4
A. mẻ Ă .
B. mạ 0.
C.
D.
Vn 3. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)
Câu 41. Phương trình
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
khi và chỉ khi:
ìïï D ³ 0
ïìï D > 0
ïìï D > 0
ïìï D > 0
.
.
.

.
í
í
í
í
ïïỵ P > 0
ïïỵ P > 0
ïïỵ S > 0
ï S <0
A.
B.
C.
D. ïỵ
ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)
Câu 42. Phương trình
có hai nghiệm âm phân biệt khi và
chỉ khi:
ìï D > 0
ìï D > 0
ïï
ïï
ï
ïí P > 0.
í P > 0.
ïìï D > 0
ïìï D > 0
ïï
ïï
.
.

í
í
ï P >0
ïS>0
ï S>0
ï S <0
A. ïỵ
B. ïỵ
C. ïỵ
D. ùợ
ax2 + bx + c = 0 ( a ạ 0)
Câu 43. Phương trình
có hai nghiệm dương phân biệt khi
và chỉ khi:
ïìï D > 0
ïìï D > 0
ïï
ïï
í P > 0.
í P > 0.
ïìï D > 0
ïìï D > 0
ï
ïï
.
.
í
í
ïï S > 0
ïïỵ P > 0

ïS>0
ï
S
<
0
A.
B. ïỵ
C. ïỵ
D. ïỵ
ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)
Câu 44. Phương trình
có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ
khi:
ïìï D > 0
ïìï D > 0
.
.
í
í
ï S <0
ï S>0
A. ïỵ
B. ïỵ
C. P < 0.
D. P > 0.
2
Câu 45. Phương trình x - mx +1= 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi:
A. m<- 2.

B. m> 2.

C. m³ - 2.

D. m¹ 0.
[- 5;5] để phương
Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc
2
2
trình x + 4mx + m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt?
A. 5.
B. 6.
C. 10.
D. 11.
m
Câu 47. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình
mx2 + x + m= 0 có hai nghiệm âm phân biệt là:

ỉ1 ư
ỉ 1 1ữ
ử
ổ 1ữ
ử
mẻ ỗ
- ;0ữ
.
mẻ ỗ
- ; ữ
.
mẻ ỗ

0; ữ
.
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
mẻ
0;2
.
( )
ố 2 ø B.
è 2 2ø
è 2ø
A.
C.
D.
Câu 48. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
[- 2;6] để phương trình x2 + 4mx + m2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.
Tổng các phần tử trong S bằng:
A. - 3.
B. 2.
C. 18.
D. 21.
Câu 49. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

x2 - 2( m+1) x + m2 - 1= 0

có hai nghim dng phõn bit l:
ổ1
ử
mẻ ỗ
- ;+Ơ ữ
ữ
ỗ
ữ.
ỗ
mẻ ( - 1;1) .
mẻ ( 1; +Ơ ) .
mẻ ( - ¥ ; - 1) .
è 2
ø
A.
B.
C.
D.
( m- 1) x2 + 3x - 1= 0 có hai nghiệm trái dấu khi:
Câu 50. Phương trình
A. m> 1.
B. m< 1.
C. m³ 1.
D. m£ 1.
Vấn đề 4. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

x2 - ( 2m+1) x + m2 + 2 = 0 m
Câu 51. Giả sử phương trình
(
là tham số) có hai
P = 3x1x2 - 5( x1 + x2 )
nghiệm là x1, x2 . Tính giá trị biểu thức
theo m.
2
A. P = 3m - 10m+ 6.

2
B. P = 3m +10m- 5.

2
C. P = 3m - 10m+1.

2
D. P = 3m +10m+1.

2
Câu 52. Giả sử phương trình x - 3x - m= 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là
P = x12 ( 1- x2 ) + x22 ( 1- x1 )
x1, x2
. Tính giá trị biểu thức
theo m.
A. P = - m+ 9.
B. P = 5m+ 9.
C. P = m+ 9.
D. P = - 5m+ 9.

2
Câu 53. Giả sử phương trình 2x - 4ax - 1= 0 có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị
T = x1 - x2 .
của biểu thức

A.

T=

4a2 + 2
.
3

2

B. T = 4a + 2.

C.

T =

a2 + 8
.
2

D.

T =

a2 + 8

.
4

2

Câu 54. Cho phương trình x + px + q = 0 trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các
p bằng
nghiệm của phương trình bằng 1. Khi đó
A.

4q+1.

B.

4q- 1.

C. -

4q+1.

D. q+1.

x2 - ( 2m+1) x + m2 +1= 0 m
Câu 55. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
(
x1x2
P=
x1 + x2
là tham số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức
có

giá trị nguyên.
A. m= - 2.
B. m= - 1.
C. m= 1.
D. m= 2.
x2 - 2( m+1) x + m2 + 2 = 0
Câu 56. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
(
P
=
x
x
2
x
+
x
6
(
)
1 2
1
2
m là tham số). Tìm m để biểu thức
đạt giá trị nhỏ
nhất.
1
m= .
2
A.
B. m= 1.

C. m= 2.
D. m= - 12.
2
2
Câu 57. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x + 2mx + m - 2 = 0 ( m là
P = 2x1x2 + x1 + x2 - 4 .
tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức


1
Pmax = .
2
A.

25
9
Pmax = .
Pmax = .
P
=
2.
4
4
B. max
C.
D.
x1, x2
Câu
58.
Gọi

là
hai
nghiệm
của
phương
trình
2
2
x - 2( m- 1) x + 2m - 3m+1= 0 m
(
là tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của
P = x1 + x2 + x1x2 .
biểu thức
9
9
1
Pmax = .
Pmax = .
Pmax = .
Pmax = 1.
8
16
4
A.
B.
C.
D.
2
Câu 59. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - mx + m- 1= 0 ( m là tham
số). Tìm m để biểu thức

1
m= .
2
A.

P=

2x1x2 + 3
x + x22 + 2( x1x2 +1)

đạt giá trị lớn nhất.

C. m= 2.

5
m= .
2
D.

2
1

B. m= 1.

2
Câu 60. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - mx + m- 1= 0 ( m là tham
2x1x2 + 3
P= 2
.
x1 + x22 + 2( x1x2 +1)

số). Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức

A. Pmin = - 2.

B.

Pmin = -

1
.
2

C. Pmin = 0.

D. Pmin = 1.

Vấn đề 5. TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2
Câu 61. Nếu m¹ 0 và n ¹ 0 là các nghiệm của phương trình x + mx + n = 0 thì

tổng m+ n bằng:
A.

-

1
.
2

B.

1
.
C. 2

- 1.

D. 1.
2

Câu 62. Giả sử các nghiệm của phương trình x + px + q = 0 là lập phương các
2
nghiệm của phương trình x + mx + n = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
3

3
A. p+ q = m .

3
B. p = m + 3mn.

3
C. p = m - 3mn.

ổ
mử
p
ỗ
= .
ữ

ỗ ữ
ữ
ỗ
D. ốn ứ q

2
2
Cõu 63. Cho hai phng trỡnh x - 2mx +1= 0 và x - 2x + m= 0. Có hai giá trị
của m để phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm
của phương trình kia. Tính tổng S của hai giá trị m đó.

A.

S =-

5
.
4

B. S = 1.

C.
2

S =-

1
.
4

1
S= .
4
D.

2
Câu 64. Cho hai phương trình x - mx + 2 = 0 và x + 2x - m= 0 . Có bao nhiêu
giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của
phương trình kia có tổng là 3 ?


A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 65. Cho a, b, c, d là các số thực khác 0 . Biết c và d là hai nghiệm của
2
phương trình x + ax + b = 0 và a, b là hai nghiệm của phương trình
x2 + cx + d = 0. Tính giá trị của biểu thức S = a+ b+ c+ d.
A.

S = - 2.

B. S = 0.

C.

S=

- 1+ 5
.
2

D. S = 2.

Vấn đề 6. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
3
3x
2x +
=
x - 1 x - 1 là:
Câu 66. Tập nghiệm S của phương trình
ì 3ü
ì 3ü
S = ïí 1; ïý.
S = ïí ïý.
S = {1} .
S = Ă \ {1} .
ùợù 2ùỵ
ùợù 2ùỵ
ù
ù
A.
B.
C.

D.
x2 - 5x
Cõu 67. Tp nghiệm của phương trình
A.

S = {1;4} .

B.

S = {1} .

x- 2

4

=-

x - 2 là:

C. S = Ỉ.

D.

S = { 4} .

2x2 - 10x
= x- 3
2
Câu 68. Phương trình x - 5x
có bao nhiêu nghiệm?

0.
A.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
10
50
1=
x - 2 x + 3 ( 2- x) ( x + 3)
x0
Câu 69. Gọi
là nghiệm của phương trình
.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

x0 Î ( - 5;- 3) .

B.

x0 Î [- 3;- 1.
]

C.

x0 Î ( - 1;4) .

( m +1) x2

Câu 70. Tập nghim S ca phng trỡnh
mạ 0 l:

ỡ m+1ỹ
ùý.
S = ùớ
ùợù m2 ùỵ
ù
A.

B. S = ặ.

D.

1

x +1

C. S = Ă .

( 2m2 + 3) x + 6m
x
Câu 71. Tập nghiệm S ca phng trỡnh
ỡù 3 ùỹ
S = ớ - ý.
ùợù mùỵ
ù
A. S = ặ.
B.
C. S = Ă .

=1

x0 ẻ [ 4;+Ơ ) .

trong trường hợp

ì 2ü
S = ïí 2 ïý.
ïỵï m ùỵ
ù
D.
=3

khi mạ 0 l:

D.

S = Ă \ { 0} .

x2 + mx + 2
=1
x2 - 1
Câu 72. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình
vơ
nghiệm?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.


2mx - 1
=3
Câu 73. Phương trình x +1
có nghiệm duy nhất khi:

A.

m¹

3
.
2

B. m¹ 0.

C. m¹ 0 và

m¹

3
.
2

D.

m¹ -

1
3
m¹ .
2 và
2

[- 3;5]
Câu 74. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
x- m x- 2
=
để phương trình x +1 x - 1 có nghiệm.
Tổng các phần tử trong tập S bằng:
A. - 1.
B. 8.

C. 9.

D. 10.

[1;20] để
Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
x +1
m
x +3
+
=
2
x

2
4
x
x
+ 2 có nghiệm.
phương trình
A. 4.

B. 18.
C. 19.
3x - 2 = 3- 2x
Câu 76. Tập nghiệm S của phương trình
là:

S = {1} .
{ 0} .
C.
D. S =
2x - 4 - 2x + 4 = 0
Câu 77. Phương trình
có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
2x - 1 = x - 3
Câu 78. Tập nghiệm S của phương trình
là:
4ïü
ïì 4ïü

ïì
S = í ý.
S = ớ - 2; ý.
S = { - 2} .
ùợù 3ùỵ
ù
3ùỵ
ù
ù
ợù
A.
B. S = Ỉ.
C.
D.
A.

S = { - 1;1} .

D. 20.

B.

S = { - 1} .

Câu 79. Tổng các nghiệm của phương trình
A. - 12.
B. - 6.
C. 6.

x2 + 5x + 4 = x + 4

bằng:
12.
D.

x2 - 4x - 5 = 4x - 17
là hai nghiệm của phương trình
2
. Tính giá trị biểu thức P = x1 + x2.
A. P = 16.
B. P = 58.
C. P = 28.
D. P = 22.

Câu 80. Gọi

x1, x2 ( x1 < x2 )

x - 2 = 3x - 5
Câu 81. Tập nghiệm S của phương trình
là:
ïì 3 7ïü
ïì 3 7ïü
ïì 7 3ïü
ïì 7 3ïü
S = í ; ý.
S = í - ; ý.
S = í - ;- ý.
S = ớ - ; ý.
ùợù 2 4ùỵ

ù
ù
ù
ù
ùợù 4 2ùỵ
ù
ù
ù
ù
ợù 2 4ỵ
ợù 4 2ỵ
A.
B.
C.
D.
x +2 = 2 x- 2
Cõu 82. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
2
20
1
.
.
.
A. 2
B. 3
C. 6.
D. 3
Câu 83. Phương trình

2x +1 = x2 - 3x - 4

có bao nhiêu nghiệm?


A. 0.

B. 1.
C. 2.
D. 4.
2x - 4 + x - 1 = 0
Câu 84. Phương trình
có bao nhiêu nghiệm ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Câu 85. Tổng các nghiệm của phương trình
5
.
6.
A.
B. 2

2x - 5 + 2x2 - 7x + 5 = 0

bằng:

7
.

C. 2

3
.
D. 2

2

( x +1) - 3 x +1 + 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
Câu 86. Phương trình
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Câu 87. Tổng các nghiệm của phương trình
A. 0.
B. 1.

4x( x - 1) = 2x - 1 +1

bằng:

C. 2.

D. - 2.

3 x + 2ax = - 1
Câu 88. Với giá trị nào của a thì phương trình
có nghiệm duy
nhất?

3
- 3
3
- 3
- 3
3
a> .
a<
.
a ¹ Ùa ¹
.
a<
Ú a> .
2
2
2
2
2
2
A.
B.
C.
D.
x +1= x2 + m
Câu 89. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
có
nghiệm duy nhất.
A. m= 0.
B. m= 1.
C. m= - 1.

D. Khơng có m.

[- 5;5] để
Câu 90. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
mx + 2x - 1 = x - 1
phương trình
có đúng hai nghiệm phân biệt?
A. 8.
B. 9.
C. 10.
D. 11.
Câu 91. Tập nghiệm S của phương trình
A.

S = { 6;2} .

B.

S = { 2} .

C.

Câu 92. Tập nghiệm S của phương trình
A.

S = { 0;2} .

B.

S = { 2} .

C.

2x - 3 = x - 3 là:
S = { 6} .

x2 - 4 = x - 2 là:
S = { 0} .

Câu 93. Tổng các nghiệm của phương trình
A. 0. B. 1.
C. 2.
D. 3.
x2 - 4x - 2
x- 2
Câu 94. Phương trình
A. 1.
B. 2.

2- x +

D. S = Ỉ.

D. S = Ỉ.

( x - 2) 2x + 7 = x2 - 4 bằng:

= x- 2
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
C. 3.

D. 5.

4

=2
2- x + 3
Câu 95. Phương trình
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
m
Câu 96. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để phương trình


ổx2 ữ
ử2 2x2
ỗ
ữ+
ỗ
ữ x - 1 + m= 0
ỗ
ốx - 1÷
ø

có đúng bốn nghiệm?
A. 0.
B. 1.

C. 2.
D. Vơ số.
Câu 97. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m phng trỡnh
ổ2 1 ữ
ử
ổ 1ữ
ử
ỗ
- 2mỗ
+1= 0
ỗx + 2 ữ
ỗx + ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ố
x ứ
xứ
cú nghim.

ổ 3 3ử
ộ3
ử
mẻ ỗ
- ; ữ
.
mẻ ờ ;+Ơ ữ
.

ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ờ
ố
ứ
ứ
4 4
ở4
A.
B.
ổ
ổ
ử
3ự
3ự ộ3
mẻ ỗ
- Ơ ;- ỳ.
mẻ ỗ
- Ơ ;- ỳẩ ờ ;+Ơ ữ
.
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ

ố
ố
ứ
4ỳ
4ỳ
ỷ
ỷ ờ
ở4
C.
D.
Cõu 98. Tỡm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
ỉ 2ư
4
÷+ m- 1= 0
x2 + 2 - 4ỗ
x- ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố xứ
x
cú ỳng hai nghim ln hn 1.
A. m<- 8.
B. - 8 < m< 1.
C. 0 < m< 1.
D. m£ - 8.
m
Câu 99. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình

(x

2

A.

2

+ 2x + 4) – 2m( x2 + 2x + 4) + 4m– 1= 0

có ỳng hai nghim.

mẻ ( 3;4) .

mẻ - Ơ ;2-

B.

(

) (

)

3 ẩ 2+ 3;+Ơ .

mẻ ( 4;+Ơ ) ẩ { 2+ 3} .
C.
D. mỴ ¡ .
Câu 100. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

x2 + 2mx + 2m x + m + m2 + 3- 2m= 0
cú nghim.
ộ3
ử
mẻ ( Ơ ;- 3] ẩ ờ ;+Ơ ữ
ữ
ữ.
mẻ ( Ơ ;- 3] ẩ [1;+Ơ ) .
ờ
ứ
2
ở
A.
B.

C.

mẻ [1;+Ơ ) .

BAỉI
3.

ộ3
mẻ ờ ;+Ơ
ờ
ở2
D.

ử
ữ

.
ữ
ữ
ứ

PHệễNG TRèNH VAỉ HE PHệễNG
TRèNH
BAC NHAT NHIỀU ẨN

I – ƠN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là
ax + by = c
( 1)

trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.
CHÚ Ý
a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c¹ 0 thì phương trình


( x ;y )
này vơ nghiệm, cịn nếu c= 0 thì mọi cặp số 0 0 đều là nghiệm.
b) Khi b¹ 0, phương trình ax + by = c trở thành
y=-

a
c
x+
b

b

( 2)

( x0 ; y0 ) là một nghiệm của phương trình ( 1) khi và chỉ khi điểm
Cặp số
M ( x0 ; y0 )
( 2) .
thuộc đường thẳng
Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn
ln ln có vơ số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình
( 1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
của phương trình
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng qt là
ïìï a1x + b1 y = c1
í
ïïỵ a2x + b2 y = c2
Trong đó

( 3)

x, y là hai ẩn; các chữ số cịn lại là hệ số.

( x ;y )
Nếu cặp số 0 0 đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì
( x0 ; y0 ) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình ( 3) .
( 3) là tìm tập nghiệm của nó.
II – HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN
Giải hệ phương trình

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là
ax + by + cz = d,

trong đó
bằng 0.

x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c khơng đồng thời

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng qt là
ìï a1x + b1 y + c1z = d1
ïï
ïí a x + b y + c z = d
( 4)
2
2
2
ïï 2
ïïỵ a3x + b3 y + c3z = d3
x, y, z là ba ẩn; các chữ cịn lại là các hệ số.
Trong đó

( x0 ; y0 ; z0 ) nghiệm đúng ba phương trình của hệ được gọi là
( 4) .
một nghiệm của hệ phương trình
Mỗi bộ ba số

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
ìï x + y + z = 11
ïï

ïí 2x - y + z = 5
ïï
ï 3x + 2y + z = 24
Câu 1. Nghiệm của hệ phương trình ïỵ
là:


A.
C.

( x; y; z) = ( 5;3;3) .
( x; y; z) = ( 2; 4;5) .

B.
D.

( x; y; z) = ( 4;5;2) .
( x; y; z) = ( 3;5;3) .

ìï x + 2y = 1
ïï
ïí y + 2z = 2
ïï
ï z + 2x = 3
Câu 2. Nghiệm của hệ phương trình ïỵ
là:
ìï x = 0
ïï
ïí y = 1.
ïï

ï z =1
A. ïỵ

ìï x = 1
ïï
ïí y = 1.
ïï
ï z=0
B. ïỵ

ìï x = 1
ïï
ïí y = 1.
ïï
ï z =1
C. ïỵ

ìï x = 1
ïï
ïí y = 0.
ïï
ï z =1
D. ïỵ

( x; y; z) = ( 2;- 1;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?
Câu 3. Bộ
ìï x + 3y- 2z = - 3
ìï 2x - y- z = 1
ïï
ïï

ïí 2x - y + z = 6 .
ïí 2x + 6y- 4z = - 6.
ïï
ïï
ïïỵ 5x - 2y- 3z = 9
ï x + 2y = 5
A.
B. ïỵ
ìï 3x - y- z = 1
ïìï x + y + z = - 2
ïï
ïï
ïí x + y + z = 2 .
í 2x - y + z = 6 .
ïï
ïï
ïïỵ x - y- z = 0
ï 10x - 4y- z = 2
C.
D. ïỵ
( x; y; z) = ( 1;0;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?
Câu 4. Bộ
ìï 2x + 3y + 6z - 10 = 0
ìï x + 7y- z = - 2
ïï
ïï
ïí x + y + z = - 5
ïí - 5x + y + z = 1.
.
ïï

ïï
ïïỵ y + 4z = - 17
ï x - y + 2z = 0
A.
B. ïỵ
ìï 2x - y- z = 1
ìï x + 2y + z = - 2
ïï
ïï
ïí x + y + z = 2 .
ïí x - y + z = 4 .
ïï
ïï
ïïỵ - x + y- z = - 2
ï - x - 4y- z = 5
C.
D. ïỵ
ìï 3x + y- 3z = 1
ïï
ïí x - y + 2z = 2
ïï
ï - x + 2y + 2z = 3
x0 ; yo; z0 )
(
Câu 5. Gọi
là nghiệm của hệ phương trình ïỵ
. Tính giá
2
2
2

P
=
x
+
y
+
z
.
0
0
0
trị của biểu thức
A. P = 1.

B. P = 2.

C. P = 3.

D. P = 14.

ìï x + y + z = 11
ïï
ïí 2x - y + z = 5
ïï
x0 ; yo; z0 )
ï 3x + 2y + z = 24
(
Câu 6. Gọi
là nghiệm của hệ phương trình ïỵ
. Tính giá

P = x0 y0 z0.
trị của biểu thức
A. P = - 40.

B. P = 40.

C. P = 1200.

D. P =- 1200.


ïìï 2x + 3y + 4 = 0
ïï
í 3x + y- 1= 0
ïï
ï 2mx + 5y- m= 0
Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình ïỵ
có
duy nhất một nghiệm.
A.

m=

10
.
3

B. m= 10.

C. m= - 10.

D.

m= -

10
.
3

ìï mx + y = 1
ïï
ïí my + z = 1
ïï
ï x + mz = 1
m
Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số
để hệ phương trình ïỵ
vơ
nghiệm.
A. m=- 1.
B. m= 0.
C. m= 1.
D. m= 1.
Câu 9. Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một cơng trình xây đập thủy
điện. Đồn xe có 57 chiếc gồm ba loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe
chở 7,5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7,5 tấn chở ba chuyến thì được số xi măng
bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến
chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ?
A. 18 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 20 xe chở 7,5
B. 20 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5

C. 19 xe chở 3 tấn, 20 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5
D. 20 xe chở 3 tấn, 18 xe chở 5 tấn và 19 xe chở 7,5

và xe 3 tấn chở hai
tấn.
tấn.
tấn.
tấn.

Câu 10. Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động
trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi
em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C
trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và
375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ?
A. 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em.
B. 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em.
C. 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em.
D. 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

3
BÀI
1.

PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG
TRÌNH
ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

2

Câu 1. Chọn D. Vì x +1¹ 0 với mọi x Ỵ ¡ .


Câu
Câu

Câu
Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu
Câu

ïìï x - 1³ 0 ïìï x ³ 1
ïïí x - 2 ³ 0 Û ïïí x ³ 2 Û x ³ 3.
ïï
ï
ï x - 3 ³ 0 ïïỵï x ³ 3
2. Phương trình xác định khi ỵï
Chọn D.
ïìï x - 2 ³ 0 ïìï x ³ 2
Û í
Û 2 £ x < 7.

í
ï 7- x > 0 ïïỵ x < 7
3. Phương trình xác định khi ïỵ
Chọn D.
ìï x > 0
ïí
ï x2 - 1³ 0
4. Phương trình xác định khi ïỵ
. Chọn C.
5. Phương trình xác định khi x - 2 > 0 Û x > 2 . Chọn D.
ìï x2 - 4 ¹ 0 ïì x ¹ ±2
ïí
Û ïí
ïïỵ x + 3 ³ 0
ïïỵ x ³ - 3 . Chọn A.
6. Phương trình xác định khi
ìï éx ³ 2
éx > 2
ïìï x2 - 4 ³ 0 ïïï ê
Û ớờ
xÊ - 2 ờ
ớ
ở
ờ
ùợù x - 2 ạ 0
ùù
ởx Ê - 2
ùùợ x ạ 2
7. Phng trỡnh xỏc nh khi
. Chọn D.

ìï x >- 2
ïìï 2x + 4 > 0 ïï
ï
3
ïï
í 3- 2x ³ 0 Û ïí x £
ïï
ïï
2
ïïỵ x ¹ 0
ïïï x ¹ 0
ỵ
8. Phương trình xác định khi
. Chọn B.
ïìï x >- 2
ïìï x + 2 > 0
ïï
4
ïï
í 4- 3x 0 ớù x Ê
ùù
ùù
3
ùùợ x +1ạ 0
ùù
ùợ x ạ - 1 . Chn C.
9. Phng trỡnh xác định khi
ìï
ïï x >- 1
ïï

1
2 ìïï
ïìï 2x +1³ 0
x³ ù
ù
ớ xạ 0 ớ
2
ớ 2
ùợù x + 3x ¹ 0 ïï
ïï
x
¹
0
ïï x ¹ - 3 ỵï
ïï
ïỵ
10. Phương trình xác định khi
. Chọn C.
11. Chọn C.

2
Câu 12. Ta có x - 4 = 0 Û x = ±2 .

S = { - 2;2}
Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là 0
.
Xét các đáp án:
éx + 2 = 0
Û
( 2+ x) ( - x2 + 2x +1) = 0 Û ê

ê- x2 + 2x +1= 0
ë
 Đáp án A. Ta có

Do đó, tập nghiệm của phương trình là

{

S1 = - 2;1-

}

éx = - 2
ê
êx = 1± 2
ê
ë
.

2;1+ 2 ¹ S0

.


éx = 2
ê
êx = - 1
ê
êx =- 2
ë

.

éx - 2 = 0
Û
( x - 2) ( x + 3x + 2) = 0 Û ê
êx2 + 3x + 2 = 0
ë
2

 Đáp án B. Ta có

Do đó, tập nghiệm của phương trình là
2

S2 = { - 2;- 1;2} ¹ S0

.

2

x - 3 = 1Û x - 3 = 1 Û x = ±2 .

 Đáp án C. Ta có

Do đó, tập nghiệm của phương trình là

S3 = { - 2;2} = S0

. Chọn C.

2

 Đáp án D. Ta có x - 4x + 4 = 0 Û x = 2 .
Do đó, tập nghiệm của phương trình là
éx = 0
x2 - 3x = 0 Û ê
êx = 3
ë
Câu 13. Ta có
.

S4 = { 2} ¹ S0

Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là
Xét các đáp án:

.

S0 = { 0;3}

ïì x - 2 ³ 0
x + x - 2 = 3x + x - 2 Û ïí 2
Û
ïïỵ x - 3x = 0
2

 Đáp án A. Ta có

Do đó, tập nghiệm của phương trình là

 Đáp án B. Ta có

ïìï x ³ 2
ïï
x= 0Û x=3
íé
ïï ê
ê
ïïỵ ëx = 3
.

S1 = { 3} ¹ S0

.
ì
x
3
¹
0
ï
1
1
x2 +
= 3x +
Û ïí
Û x=0
x- 3
x - 3 ïïỵ x2 - 3x = 0

Do đó, tập nghiệm của phương trình là

2

x
 Đáp án C. Ta có

.

.
ìï x - 3 ³ 0
ïï
x2 - 3x = 0 Û
x - 3 = 3x x - 3 Û ïí é
ïï ê
ïï ê
ê x- 3 = 0
ỵë

Do đó, tập nghiệm của phương trình là

.

S2 = { 0} ¹ S0

S3 = { 3} ¹ S0

ïìï x ³ 3
ïï
í éx = 0 Û x = 3
ïï ê
ê

ïỵï ëx = 3
.

.

éx = 0
x2 + x2 +1 = 3x + x2 +1 Û x2 = 3x Û ê
êx = 3
ë
 Đáp án D. Ta có
.
S4 = { 0;3} = S0
Do đó, tập nghiệm của phương trình là
. Chọn D.

Câu 14. Ta có
D.

( x2 +1) ( x – 1) ( x +1) = 0 Û ( x - 1) ( x +1) = 0
x+

Câu 15. Ta có

1
= 1Û
x

phương trình đã cho là
Xét các đáp án:

ïìï x ạ 0
ớ 2
ùùợ x - x +1= 0
S0 = Ỉ

.

2
(vì x +1> 0, " x Ỵ ¡ . Chọn

(vơ nghiệm). Do đó, tập nghiệm của


ỡù x2 0
ù
ắắ
đ x2 + x 0
ớ
ùù x ³ 0
2
 Đáp án A. Ta có ỵ
. Do đó, phương trình x + x = - 1
vơ nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S1 = Ỉ= S0 .
ìï 2x - 1 = 0
2x - 1 + 2x +1 = 0 Û ïí
ïï 2x +1 = 0
ỵ
 Đáp án B. Ta có
(vơ nghiệm). Do đó,
2x - 1 + 2x +1 = 0

phương trình
vơ nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là
S2 = Ỉ= S0
.
ìï x - 5 ³ 0
ïï
x x - 5 = 0 Û ïí ìïï x = 0
Û x=5
ïï í
ï
ïï ïỵ x - 5 = 0
ỵ
 Đáp án C. Ta có
. Do đó, phương trình
S
=
5
¹
S
{
}
3
0
x x- 5 = 0 có tập nghiệm là
. Chọn C.
® 7+ 6x - 1 ³ 7 >- 18 . Do đó, phương trình
 Đáp án D. Ta có 6x - 1 ³ 0 ¾¾
7+ 6x - 1 = - 18 vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S4 = Ỉ= S0 .
Câu 16. Chọn A.
2

Câu 17. Chọn D. Vì x = 1 Û x = ±1.
Câu 18. Xét các đáp án:
 Đáp án A. Ta có
ïì x ³ 1
x + x - 1 = 1+ x - 1 Û ïí
Û x = 1ắắ
đ x + x - 1 = 1+ x - 1 Û x = 1
ïïỵ x = 1

.

Chọn

A.
ïì x - 2 ³ 0
x + x - 2 = 1+ x - 2 ùớ
xẻ ặ
ùùợ x = 1
ỏp án B. Ta có
.
Do đó, x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1 không phải là cặp phương trình tương
đương.
ìï x ³ 0
ïï
x ( x + 2) = x Û ïí éx = 0
Û x=0
ïï ê
ïïỵ ê
x
+

2
=
0
ë
x + 2 = 1Û x = - 1

 Đáp án C. Ta có
. Do đó,
x+
2
=
1
và
khơng phải là cặp phương trình tương đương.
éx = 0
x( x + 2) = x Û ê
êx =- 1
ë

x ( x + 2) = x

x + 2 = 1Û x = - 1
x( x + 2) = x
 Đáp án D. Ta có
. Do đó,
và x+ 2 = 1
khơng phải là cặp phương trình tương đương.
Câu 19. Xét các đáp án:

 Đáp án A. Ta có

ìï x ³ 3
ïìï x - 3³ 0 ïï
2x + x - 3 = 1+ x - 3 ớ
ớ
xẻ ặ
ùùợ 2x = 1
ï x= 1
ïỵï
2
1
2x = 1 Û x =
2
.

Do đó, 2x + x - 3 = 1+ x - 3 và 2x = 1 khơng phải là cặp phương trình tương
đương.
ïì x +1> 0 ïìï x >- 1
x x +1
= 0 Û ïí
Û í
Û x=0
ïỵï x = 0
ïỵï x = 0
x +1
 Đáp án B. Ta có
.
x x +1
x +1

=0

và x = 0 là cặp phương trình tương đương. Chọn B.
Đáp
án
C.
Ta
ïìï x £ 2
ìï 2- x ³ 0
5- 13
ï
ï
x +1 = 2 - x Û í
Û í
Û x=
ïï x +1= ( 2- x) 2 ïï x = 5± 13
2
ỵ
ïïỵ
2

Do đó,


2

x +1= ( 2- x) Û x2 - 5x + 3 = 0 Û x =
Do đó,
đương.

5± 13
2

x +1 = 2- x và x +1= ( 2- x)

có

.

2

khơng phải là cặp phương trình tương

ïì x - 2 ³ 0
x + x - 2 = 1+ x - 2 ùớ
xẻ ặ
ùùợ x = 1
 Đáp án D. Ta có
.
Do đó, x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1 khơng phải là cặp phương trình tương
đương.
Câu 20. Chọn D.
ïì 2x ³ 0
x + 2 = 2x Û ïí
Û
ïïỵ x + 2 = 4x2

Ta có
Do đó,

đương.

x + 2 = 4x2 Û x =

ïìï x ³ 0
1+ 33
ï
Û x=
í
ïï x = 1± 33
8
ïïỵ
8

1± 33
8

.

x + 2 = 2x và x + 2 = 4x2 không phải là cặp phương trình tương
éx =- 2

Câu 21. Ta có

( 2) Û ( x + 2) ( 2x2 + mx - 2) = 0 Û ê
ê

.
2
ë2x + mx - 2 = 0

Do hai phương trình tương đương nên x = - 2 cũng là nghiệm của phương trình

( 1) .
2

( 1) , ta được 2( - 2) + m( - 2) - 2 = 0 Û m= 3 .
Thay x =- 2 vào