Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phương pháp giải các phương trình quy về phương trình bậc hai

PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Dù đã trải qua hơn hai ngàn năm nhưng tốn học đã chứng tỏ mình như 
một đỉnh cao trí tuệ của con người, xâm nhập vào hầu hết các ngành khoa học và 
là nền tảng của nhiều lý thuyết khoa học quan trọng. Ngày nay với thời đại cơng 
nghiệp tiên tiến và sự phát triển như vũ bão của cơng nghệ thơng tin thì vai trị 
của tốn học càng trở nên quan trọng và cần thiết hơn bao giờ hết. 
Trong q trình giáo dục tri thức cho học sinh, thì việc dạy đúng, đủ theo 
chuẩn  kiến  thức kỹ  năng  của  chương  trình  đào tạo  là  nhiệm  vụ  trọng  tâm  của 
mỗi  người  giáo  viên  đứng  lớp.  Song,  bên  cạnh  đó  một  nhiệm  vụ  cũng  khơng 
kém phần quan trọng và cần thiết đối với các trường trung học cơ sở đó là việc 
bồi  dưỡng,  đào  sâu  kiến  thức  mở  rộng,  nâng  cao  cho đối  tượng  học  sinh  khá 
giỏi. Việc bồi dưỡng đó giúp các em khơng chỉ nắm vững kiến thức, kỹ năng cơ 
bản mà cịn rèn thói quen suy nghĩ,  tìm  hiểu,  suy luận,  giải quyết một vấn  đề, 
một bài tốn khó một cách chặt chẽ, logic. Từ đó rèn cho các em trí thơng minh, 
sáng tạo, niềm u thích, hứng thú đối với bộ mơn Tốn. 
 

Qua một thời gian giảng dạy bộ mơn Tốn  lớp 9 ở trường trung học cơ sở 

thị trấn Than Un, huyện Than Un, tỉnh Lai Châu, tơi nhận thấy, phần kiến 
thức về “Phương trình bậc hai”, “Phương trình quy về phương trình bậc hai” là 
phần kiến thức trọng tâm, cơ bản, thường xun xuất hiện trong các đề thi tuyển 
sinh vào lớp 10, thi học sinh giỏi các cấp. Do đó tơi thấy học sinh cần nắm thật 
vững mảng kiến thức này, đặc biệt đối với học sinh khá giỏi thì giáo viên giảng 
dạy cũng như giáo viên bồi dưỡng cần giúp các em có cái nhìn rõ nét, đầy đủ về 
phương trình bậc hai và các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai.  
 

Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề, sau khi nghiên cứu kỹ lưỡng 

một số tài liệu có liên quan, tơi mạnh dạn đưa ra một hệ thống các kiến thức, các 
dạng phương trình quy về phương trình bậc hai và cách giải. Tơi hy vọng rằng đề 
tài này ít nhiều sẽ giúp ích được thầy cơ và các em học sinh khi bồi dưỡng mảng 
kiến thức về phương trình bậc hai. Đó chính là lý do tơi chọn “Phương pháp giải
các phương trình quy về phương trình bậc hai” làm đề tài nghiên cứu của mình 
trong hai năm học vừa qua.  
II. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
1. Phạm vi nghiên cứu
- Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai trong chương trình 
Đại số 9 THCS. 

 
1


2. Đối tượng nghiên cứu
- Một  số  kiến  thức  về  phương  trình  bậc  hai.  Một  số  phương  trình  quy 
được về phương  trình  bậc  hai trong  chương  trình Đại  số 9  trung  học  cơ  sở  và 
phương pháp giải. 
III. Mục đích nghiên cứu
Nhằm mục đích nâng cao, mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi 
dưỡng học  sinh giỏi,  giúp các em  có cái nhìn đầy đủ hơn về phương trình bậc 
hai, phương trình  quy  về phương trình  bậc hai.  Qua  đó  giúp học  sinh  có điều 
kiện hồn thiện các phương pháp về giải phương trình và rèn luyện tư duy sáng 
tạo cho học sinh. 
IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu
Đã áp dụng trong cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2011 - 2012, 
2012 - 2013 và thu được những kết quả khả quan, thu hút được sự chú ý, tăng 
cường tính sáng tạo, tư duy của học sinh. 

2


 

PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
Trong chương trình giáo dục phổ  thơng, Tốn học là một mơn khoa học 

quan trọng, là thành phần khơng thể thiếu của nền văn hóa phổ thơng mỗi con 
người.  Với  các  đặc  trưng  là  suy  luận,  tính  tốn,  chứng  minh,  phân  tích,  tổng 
hợp, so sánh, mơn tốn có tiềm năng khai thác góp phần phát triển năng lực trí 
tuệ, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.
 

Để giải các bài tốn, ngồi việc nắm vững các kiến thức cơ bản cũng cần 

có phương pháp  suy  nghĩ  khoa  học  cùng với những kinh  nghiệm  cá  nhân  tích 
lũy được trong q trình học tập, rèn luyện. Trong mơn tốn ở trường trung học 
cơ sở có rất nhiều bài tốn chưa có hoặc khơng có thuật tốn để giải. Đối với 
những bài tốn ấy, người giáo viên cần phải cố gắng hướng dẫn học sinh cách 
suy nghĩ, tìm tịi lời giải. 
Trong q trình giảng dạy bộ mơn tốn ở nhà trường cũng như trong các kỳ 
thi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thơng, chun 
đề về  phương pháp giải một số phương trình quy về phương trình bậc hai là một 
chun đề hay và lý thú, thu hút được đơng đảo thầy cơ và học sinh quan tâm.  
1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số
Ở  chương  trình  tốn  9  THCS,  định  nghĩa  phương  trình  bậc  hai  một  ẩn 
được trình bày như sau: Phương trình bậc hai đối với ẩn  x  R  là phương trình có 
dạng: ax2 + bx + c = 0 (a    0). 

2. Một số kiến thức và kỹ năng cần nắm được khi giải phương trình
bậc hai
- Các quy tắc tính tốn với các biểu thức đại số. 
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ. 
- Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử. 
- Kiến thức về giá trị tuyệt đối. 
- Kỹ năng tìm tập xác định của một biểu thức. 
- Kỹ năng biến đổi các biểu thức. 
- Kỹ năng giải và biện luận phương trình. 
II. Thực trạng vấn đề
1. Thuận lợi 
Với đặc điểm phân chia các lớp theo lực học tại trường trung học cơ sở thị 
trấn Than Un, thì việc các em học sinh đang theo học tại các lớp chọn muốn đào 
sâu, mở rộng kiến thức là điều dễ dàng nhận thấy và cần được khích lệ, biểu dương. 
3


 

Trong chương trình tốn THCS phần kiến thức về phương trình, phương 
trình  bậc  hai  được  đơng  đảo  học  sinh  u  thích,  say  mê  tìm  hiểu.  Các  dạng 
phương trình quy được về phương trình bậc hai trong chương trình tốn THCS 
tuy rất đa dạng và phong phú nhưng mỗi dạng đều có những đặc điểm riêng, dễ 
dàng nhận biết, đồng  thời mỗi dạng phương trình đều có một phương pháp giải 
cụ thể, phù hợp với từng dạng bài. 
2. Khó khăn
* Về phía giáo viên:  
Căn cứ vào thực tế giảng dạy tại nhà trường, tơi nhận thấy phần kiến thức 
về phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai ở trường trung học 
cơ sở chưa được giáo viên thường xun quan tâm  và đề cập đến nhiều.  Trong 

q trình bồi dưỡng học sinh giỏi, phần kiến thức này giáo viên thường chuẩn bị 
chưa chu đáo, cịn tự biên soạn tài liệu giảng dạy, hoặc dựa vào q nhiều tài liệu 
tham khảo, cịn bị động trước các tình huống học sinh đưa ra, gây khơng ít khó 
khăn cho cả người dạy và người học. 
Có thể khẳng định rằng phương trình quy về phương trình bậc hai là một 
trong  những  kiểu  bài  tương  đối  khó với giáo  viên.  Khó  khăn  trước  hết là  khó 
khăn về kiến thức, về phương pháp. Khó khăn trong việc  hướng dẫn học sinh 
phát hiện vấn đề, làm sao để chỉ trong một vài tiết có thể giúp học sinh nhận biết 
thành  thạo  các  dạng  phương  trình  quy  được  về  phương  trình  bậc  hai  và  cách 
giải, chỉ trong một số tiết mà dung lượng kiến thức khơng ít, có rất nhiều dạng 
tốn, rất nhiều vấn đề cần đề cập nâng cao. Giáo viên phải làm sao để giờ học 
vừa truyền thụ đủ kiến thức cho học sinh để học sinh có “nghệ thuật giải phương 
trình”  vừa  cơ  đọng,  tập  trung  vào  phương  pháp  giải  đồng  thời  tránh  được  sự 
giảng giải nhàm chán và cuốn hút học sinh. Vậy ngun nhân do đâu? 
        Thứ nhất: Các tài liệu về phương trình quy về phương trình bậc hai để giáo 
viên  tham khảo  cịn  rất  hiếm  nên  giáo  viên  ít  có  cơ  hội  để bổ  sung  kiến thức, 
phương pháp. 
         Thứ hai:  Do  giáo  viên  chưa  tìm  được  phương  pháp  tối  ưu,  chưa  đầu  tư 
nhiều để suy nghĩ đưa ra hệ thống những lời chỉ dẫn cần thiết cho học sinh trong 
các tiết học. 
        * Về phía học sinh:
Với giáo viên, việc giúp học sinh lĩnh hội phương pháp giải các phương 
trình quy về phương trình bậc hai là khó thì với học sinh kiểu bài này cịn khó 
hơn rất nhiều.  
4


 
      Việc học tập các phương pháp tổng qt và đặc biệt để giải các bài tốn, việc 
hình thành kỹ năng và kỹ xảo vận dụng tốn học vào những sự kiện khác nhau 

trong đời sống như ta đã biết có một ý nghĩa quan trọng. 
      Học sinh trong khi nghiên cứu tốn học các em có những kiến thức nội dung 
tài  liệu  học  tập,  các  em  hiểu  các  định  lý  và  quy  tắc  nhưng  khơng  hiểu  các 
phương pháp chung để giải các bài tốn. Bởi vì các thủ thuật ấy khơng được nêu  
rõ và hình thành trong bản thân khoa học. 
      Điều quan trọng khơng chỉ thơng báo cho học sinh những thơng tin về những 
thủ thuật và phương pháp ấy mà phải làm sao cho học sinh hiểu thấu đáo những 
kiến thức thu được về phương pháp. Điều này là bắt buộc bởi lẽ sách giáo khoa 
và tuyển tập tài liệu dùng cho học sinh hiện nay khơng có đầy đủ những chỉ dẫn 
liên quan đến phương pháp nhận thức riêng và lơgic đại cương áp dụng cho khi 
nghiên cứu tốn học ở nhà trường. 
      Những chỉ dẫn tản mạn của giáo viên thơng thường học sinh khơng nhớ và 
hệ thống hóa được. Vì thế tất cả những chỉ dẫn đó chỉ trơng cậy vào trí nhớ của 
học sinh, học sinh lại nhanh qn. Mặc dù trong sách giáo khoa đã có một số bài 
tập giải mẫu và một vài chỉ dẫn giải phương trình  nhưng những hướng dẫn đó 
chưa cung cấp cho học sinh đầy đủ những cơ sở vững chắc để nắm vững cách 
giải các bài tốn.  
Cịn một số ngun nhân khác khiến học sinh giải chưa tốt phương trình 
quy về phương trình bậc hai, đó là: 
-  Học  sinh  cịn  yếu  về  kỹ  năng  phát  hiện  phương  trình  quy  về  phương 
trình  bậc  hai,  khi  đứng  trước  một  phương  trình  học  sinh  khơng  biết  được 
phương trình đó có đưa về phương trình bậc hai được hay khơng, ngun nhân 
là do học sinh chưa nắm rõ, chưa phân biệt được các dạng phương trình quy về 
phương trình bậc hai. 
-  Khi  đứng  trước  một  phương  trình  học  sinh  cịn  nhầm  lẫn  về  phương 
pháp giải giữa phương trình này với phương trình kia. 
-  Một  số  học  sinh  khơng  hiểu  giải  một  bài  tốn  là  như  thế  nào.  Vì  thế 
khơng giải đầy đủ, khơng biết nghiệm của phương trình tìm được có là đáp số 
của bài tốn này khơng. 
 

Trước  khi  tiến  hành  bồi  dưỡng,  nghiên  cứu  chun  đề  này,  tơi  đã  tiến 

hành kiểm tra khảo sát nhằm đánh giá khả năng vốn có của học sinh. Mặt khác 
lưu giữ kết quả để đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh.  
 

Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát:  
5


 

Câu 1.  Giải phương trình: 

2x 2  1
x
7x 1
 


3x
2x  1
6

Câu 2.  Giải phương trình:  3( x 2  x)2  2( x 2  x) 1  0  
Giải
1
2

Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình: x    0; x      
 

Phương trình đã cho tương đương với: 
     2(2x 2 + 1)(2x - 1) + 6x 2 = x(2x - 1)(7x - 1) 
3

2

 6x  - 11x  - 3x + 2 = 0 
2

 (6x  + x - 1)(x - 2) = 0 

1
1
 2
6x

 x

1 

0

  
x

;
 x


1
2

2
3   

 x    2   0  x 3   2

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = 

1
1
; x2 =  ; x3 = 2. 
2
3

Câu 2: 3( x 2  x)2  2( x 2  x) 1  0   
 

t1  1
Đặt x + x = t, ta có  3t  2t 1  0    
 
t2  1

3

 

Với t1 = 1, ta có: x2 + x =1 hay x2 + x – 1 = 0 

2

2

 
Giải ra ta được:  x1 
1
3

1  5
1  5
x2 
; 
 
2
2
1
3

1
3

          Với  t2  =  , ta có  x 2  x    hay  x 2  x   0  
Phương trình này vơ nghiệm. 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:  x1 

1  5
1  5
; x2 

 
2
2

Kết quả thu được: BẢNG 1
ĐỐI TƯỢNG I
NĂM HỌC

Số
lượng

%

ĐỐI TƯỢNG II
Số
lượng

%

ĐỐI TƯỢNG III
Số
lượng

%

2011 - 2012 

6 

30 

10 

50 

4 

20 

2012 - 2013 

7 

30,4 

11 

47,9 

5 

21,7 

6


 

Đối chiếu kết quả thu được sau hai năm như sau:
- Đối tượng I: Các em chỉ mới làm được bài 1 nhưng thiếu kết luận nghiệm: 

+ Năm học 2011 - 2012: 6/20 em chiếm tỷ lệ 30%;  
+ Năm học 2012 - 2013: 7/23 em chiếm tỷ lệ 30,4%. 

 

- Đối tượng II: Các em làm hồn thiện bài 1 nhưng bài 2 chưa biết cách 

đặt ẩn phụ: 
+ Năm học 2011 - 2012: 10/20 em chiếm tỷ lệ  50%; 
+ Năm học 2012 - 2013: 11/23 em chiếm tỷ lệ  47,9%. 
 

 

- Đối tượng III: Các em đã biết làm cả hai bài nhưng lập luận chưa chặt chẽ:
+ Năm học 2011 - 2012: 4/20 em chiếm tỷ lệ  20%;  
+ Năm học 2012 - 2013: 5/23 em chiếm tỷ lệ  21,7%. 

 

Từ thực trạng trên, để học sinh có định hướng rõ nét, đồng thời trang bị 

cho  các  em  hệ  thống  phương  pháp  giải  các  dạng  phương  trình  quy  được  về 
phương trình bậc hai, nhằm mục đích giúp các em khi đứng trước một phương 
trình bất kỳ có thể dễ dàng định hướng được cách giải tơi đã đề ra các biện pháp 
như sau: 
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
1. Nhắc lại định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số
a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với ẩn  x  R  là phương trình có 
dạng ax2 + bx + c = 0 (a    0) (1)  

b) Cách giải: Tính    b2  4ac  
Nếu    0  thì phương trình (1) vơ nghiệm. 
Nếu    0  thì phương trình (1) có nghiệm kép  x1  x2  

b
. 
2a

Nếu    0  thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 
x1 

b  
b  
. 
, x2 
2a
2a

c) Định lý Viet về dấu các nghiệm. 
Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn  x  R :  ax 2  bx  c  0  a  0   có hai 
nghiệm  x1 , x2  thì  S  x1  x2 

b
c
, P  x1.x2  . 
a
a

Dấu các nghiệm:  
Phương trình  ax 2  bx  c  0  a  0   có hai nghiệm trái dấu     P  0  

  0
 
P  0

Phương trình  ax 2  bx  c  0  a  0   có hai nghiệm cùng dấu   

7


 

  0
Phương trình  ax  bx  c  0  a  0   có hai nghiệm cùng dương    P  0  
S  0

2

  0
Phương trình  ax  bx  c  0  a  0   có hai nghiệm cùng âm    P  0  
S  0

2

2. Giải và biện luận phương trình bậc hai 
Phương trình bậc hai có dạng tổng qt là:  ax 2  bx  c  0  a  0   (1) 
Giải  và  biện  luận phương  trình  bậc  hai  ở  dạng  tổng  quát  ta  tiến  hành 
như sau: 
Tính biệt thức    b2  4ac , căn cứ vào đó để biện luận theo tham số:  
Nếu    0  thì phương trình (1) vơ nghiệm. 
Nếu    0  thì phương trình (1) có nghiệm kép  x1  x2  

b
. 
2a

Nếu    0  thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 
x1 

 

b  
b  
. 
, x2 
2a
2a

Khi b  chẵn  ta có  thể  kết  luận  số  nghiệm  của  phương  trình bậc  hai  qua 
b
2

biệt số thu gọn   '  với   '  b '2  ac ;  b '   
 

 '  > 0: phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1,2 =

 

 ' = 0: phương trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x 2 = 

 

 ' < 0: phương trình bậc hai vơ nghiệm. 

b '  '
. 
a

b '
. 
a

Các bài tốn về phương trình bậc hai rất phong phú và đa dạng. Để giải được 
các bài tốn đó phải khéo léo kết hợp giữa việc vận dụng các kết quả đã biết về 
phương trình bậc hai đặc biệt là định lý Viet, với đặc thù riêng của phương trình đã 
cho mà biến đổi cho phù hợp. 
3. Các dạng phương trình quy được về phương trình bậc hai
Trong trường phổ thơng ta thường gặp một số dạng phương trình quy về 
phương trình bậc hai như sau: 
- Phương trình chứa ẩn ở mẫu. 
- Phương trình bậc 3. 
- Những phương trình bậc cao quy được về phương trình bậc hai bao  gồm:   
+) Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0. 
8


 

+) Phương trình dạng: (x + a)4 + (x  + b)4  = c. 
+) Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m. 

+) Phương trình giải bằng cách  đặt ẩn phụ. 
+) Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2    kbx + k2a = 0. 
+) Phương trình giải bằng cách đưa về dạng tích.
CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Phương  trình  chứa  ẩn  ở  mẫu  là  phương  trình  chứa  ẩn  ở  mẫu  thức  của 

phương trình. 
a) Cách giải : 
 

+ Tìm tập xác định của phương trình.   
+ Quy đồng, khử mẫu. 

 
 

+ Biến đổi đưa phương trình về dạng: ax2 + bx + c = 0 (a    0) (1).   
+ Giải phương trình dạng (1). 

 

+ Kiểm tra kết quả, kết luận số nghiệm của phương trình. 
b) Ví dụ:  
Giải phương trình:  x 2  12 

36
24
 4x 
 5   

2
x
x

Giải
x 2  12 

36
24
 4x 
 5 (1)  
2
x
x

36  
6

  x 2  2   4  x    17  0  
x  
x

6
x

Đặt  t = x -     x 2 

36
 = t2 + 12 
x2

Ta được phương trình trung gian:  t2 - 4t - 5 = 0  
Giải phương trình này ta được t1 = -1; t2 = 5 
6
x

 

+) Với t1 = -1   x -   = -1    x1 = 2; x2 = -3 

 

+) Với t2 = 5   x -   = 5    x3 = 6; x4 = -1 

 

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: x1 = 2; x2 = -3; x 3 = 6; x4 = -1 

6
x

c) Nhận xét: 
- Dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu thức là dạng phương trình rất  thường 
gặp ở trường phổ thơng đặc biệt là trung học cơ sở. 
9


 

Khi giải dạng phương trình này học sinh thường gặp những khó khăn sau: 

+ Tìm điều kiện xác định của mẫu thức. 
+ Tìm mẫu thức chung. 
+ Quy đồng, khử mẫu. 
- Khi giải dạng phương trình này cần lưu ý học sinh: Trước tiến cần tìm tập 
xác định của phương trình, sau khi giải tìm được nghiệm  phải kiểm tra, đối 
chiếu kết quả với tập xác định và kết luận số nghiệm của phương trình. 
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
Phương trình bậc ba một ẩn số là phương trình có dạng tổng qt: 

ax3 + bx2 + cx + d = 0 (trong đó x là ẩn số, a, b, c, d là các hệ số, a    0). 
a) Cách giải: 
 

Để  giải  một  phương  trình  bậc  ba,  thơng  thường  ta  phải  biến  đổi  đưa  về 

phương trình tích, ở đó vế trái là tích của một nhân tử bậc nhất với một nhân tử bậc 
hai, cịn vế phải bằng 0. Để làm tốt điều này học sinh cần có kỹ năng phân tích đa 
thức thành nhân tử đã được tìm hiểu ở chương trình tốn lớp 8. 
 

1
3

b) Ví dụ: Giải phương trình: x3 – x2 – x =   (2) 
Giải
Phương trình (2) tương đương với: 3x3 – 3x2 – 3x = 1 
3

3

2

 

 4x  = x  + 3x  + 3x + 1 

 

 ( 3 4 x)  = ( x+1)

 



 

Vậy phương trình (2) có một nghiệm  x 

 

c) Nhận xét: 

3

3

3 

4 x = x + 1   x 

1
  
3
4 1

1
.  
3
4 1

- Đối với dạng phương  trình  này chủ yếu dùng phương pháp phân tích đa 
thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích, ta sẽ được một 
phương trình mà vế trái gồm các phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai đã 
biết cách giải. 
- Lưu ý: Nếu phương trình bậc 3:  ax 3  +  bx 2 + cx  +  d  =  0 (a   0) có: 
 

+) a  +  b  +  c  +  d = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 = 1 

 

+) a  –  b  +  c  –  d = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1  = -1 
10


 

DẠNG 3: NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO QUY ĐƯỢC VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

 

3.1. Phương trình trùng phương:
Dạng tổng qt: ax4  + bx2  + c = 0 

 

(trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số,  a  0 )  

 

a) Cách giải: 
- Đặt  x2 = t,  ta được phương trình bậc hai trung gian: at2 + bt + c = 0 

 

- Giải phương trình bậc hai trung gian này, ta tìm được t 
- Sau đó thay x 2 = t  để tìm x.   
 

b) Ví dụ: Giải phương trình:  2 x 4  3x 2  2  0  (3) 
Giải
- Đặt  x 2  t     (t  0)  ta có phương trình trung gian ẩn t:   
2t 2  3t  2  0

 

t1  2

t 2   1

2


 

 

1
t 2   (loại) 
2

 

Với t1 = 2    x 2 = 2   x =   2  

 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x =   2  
c) Nhận xét: 

Khi giải tìm nghiệm của phương trình trùng phương, ta cần lưu ý một số 
điểm như sau: 
- Phương  trình trùng  phương  vơ  nghiệm  trong  trường  hợp  phương  trình 
bậc  hai  trung  gian  vơ  nghiệm  hoặc  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  có  hai 
nghiệm cùng âm. 
-  Phương  trình  có  nghiệm  khi  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  có  hai 
nghiệm,  có  nghiệm  kép  dương  hoặc  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  có  hai 
nghiệm trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm âm. 
3.2. Phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c (c > 0) 
(trong đó x là ẩn, a, b, c là các hệ số) 

ab
 
2

 

a) Cách giải: Ta đặt t = x + 

 

Khi đó mọi phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4  = c (c > 0) đều đưa được 

về dạng phương trình trùng phương (At4 + Bt2 + C = 0) 
   

Phương trình này là phương trình trùng phương đã biết cách giải.  
11


 

b) Ví dụ: Giải phương trình  

x  14  x  34  16  (4) 

 
Giải

Đặt t = x + 2 
Ta được phương trình trung gian ẩn t: (t – 1)4 + (t +1)4 = 16 

Khai triển và rút gọn ta được:  
     2t4 + 12t2 + 2 = 16   t4 + 6t2 – 7 = 0 
Đặt z = t2  > 0, ta được phương trình: z2 + 6z – 7 = 0 
Giải phương trình này ta được: z1 = 1; z2 = -7 (loại)  
Với z1 = 1, ta giải phương trình t2 = 1.  
Ta được hai nghiệm: t1 = 1; t2 = -1, tương ứng x 1 = -1; x2 = -3 
c)  Nhận xét:  Như  vậy,  để  giải  phương  trình  dạng:  x  a 4  x  b 4  c   ta 
đặt:  t  x 

ab
, khi đó ta đưa phương trình dạng  x  a 4  x  b 4  c  về phương 
2

trình trung gian là phương trình trùng phương có dạng tổng qt:  t 4  Bt 2  C  0  
Bằng phép đặt t2  = X với X  0 ta đưa phương trình về phương trình bậc 
hai trung gian: X2 + BX + C = 0 
Số nghiệm của phương trình  x  a 4  x  b 4  c  phụ thuộc vào số nghiệm 
của phương trình trung gian X2 + BX + C = 0 
-  Nếu  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  vơ  nghiệm  hoặc  có  nghiệm  nhưng 
nghiệm đó là nghiệm âm thì phương trình trùng phương  t 4  Bt 2  C  0  vơ nghiệm, do 
đó phương trình   x  a 4   x  b 4  c  vơ nghiệm. Nếu phương trình bậc hai trung gian 
có nghiệm khơng âm X0 thì phương trình ban đầu có nghiệm: 
ab
2
 
ab
x2   x0 
2
x1  x0 

- Ta thấy, số nghiệm của phương trình ban đầu phụ thuộc vào số nghiệm 
của  phương  trình  trùng  phương,  do  đó  phụ  thuộc  vào  số  nghiệm  của  phương 
trình bậc hai trung gian. 
3. 3. Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m
(trong đó: a + c = b + d hoặc a + b = c + d hoặc a + d = b + c) 
a) Cách giải:  
Nhóm (x + a) với (x + d); (x + b) với (x + c) khai triển tích đó.  
 
12

 


 

Ta đưa phương trình đã cho về dạng: 
 x 2   a  d  x  ad   x 2   b  c  x  bc   m  

Do a + d = b + c đặt  x2 + (a + d)x + k = t (với k = ad hoặc k = bc)  
Ta đưa phương trình về dạng: At2 + Bt + C = 0 
Giải phương trình này ta tìm được nghiệm t của phương trình. 
Thay x2 + (a + d)x + ad = t 
Giải phương trình này ta tìm được nghiệm x của phương trình ban đầu 
Nếu phương trình At2 + Bt + C = 0 vơ nghiệm thì phương trình đầu cũng 
vơ nghiệm. 
b) Ví dụ: Giải phương trình:  
(x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 9 (5) 
Giải
Nhận thấy  5 + (-1) = 1 + 3 
 [(x – 1)(x + 5)][(x + 1)(x + 3)] = 9 

2

2

 (x  + 4x – 5)(x  + 4x + 3) = 9 
2

2

2

 (x  + 4x – 5)  + 8(x  + 4x – 5) – 9 = 0 

Đặt  x2 + 4x – 5 = t. 
Ta được phương trình: t2 + 8t – 9 = 0 
Giải ra ta được: t1 = 1; t2 = -9 
x1  2  10

Phương trình (5) có nghiệm:  x2  2  10  
x3  2

c) Nhận xét: Như vậy, để giải phương trình dạng trên, ta cần nhóm hợp lý 
sau đó đổi hệ số, khai triển, biến đổi mỗi nhóm để đưa về phương trình bậc hai 
trung  gian.  Căn  cứ  vào  số  nghiệm  của  phương  trình  bậc  hai  trung  gian để  kết 
luận số nghiệm của phương trình ban đầu. 
 

3.4. Phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ:
a) Cách giải: 
- Tìm điều kiện xác định của phương trình. 

- Đặt  ẩn  phụ,  ta được  phương  trình  trung  gian,  tìm  nghiệm của  phương 

trình trung gian. 
- Trở về ẩn ban đầu, tìm nghiệm của phương trình ban đầu. 
 

b) Ví dụ: Giải phương trình:  
(x2 + 2x + 3)2  - 9(x 2 + 2x + 3) + 18 = 0 (6) 
13


 

Giải
2

 

Đặt x  + 2x + 3 = t 

 

Ta được phương trình ẩn t: t2 – 9t + 18 = 0  

 

Giải phương trình này ta được: t1 = 3; t2 = 6.  

 

Từ đó, thay vào cách đặt ban đầu ta được hai phương trình: 

 
 

+) x2 + 2x + 3 = 3 
Giải phương trình ta được: x1 = 0; x 2 = -2 

 

+) x2 + 2x + 3 = 6 

 

Giải phương trình ta được: x3 = 1; x 4 = -3 

 
 

Vậy phương trình (6) có 4 nghiệm x1 = 0; x2 = -2; x3 = 1; x 4 = -3. 
c) Nhận xét: Với dạng phương trình này cần chú ý cho học sinh tìm điều 

kiện  xác  định  của  phương  trình.  Quan  sát  kỹ  phương  trình  ban  đầu  để  tìm  ra 
cách đặt ẩn phụ đưa về phương trình trung gian.  Sau khi  tìm được nghiệm đối 
với phương trình trung gian cần đưa về phương trình ban đầu để tìm nghiệm của 
phương trình ban đầu, so sánh với điều kiện xác định của phương trình để có kết 
luận nghiệm chính xác. 
 

3.5. Phương trình dạng ax4+ bx3 + cx2  kbx + k2a = 0

(Phương trình đối xứng) 
a) Cách giải: 
Nhận thấy x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của 

phương trình cho x2 ta được:     

k2
k
a ( x  2 )  b( x  )  c  0  
x
x
2

k
x

đặt  t  x   t 2  x 2 

k2
k2
2



 t 2  2k  
2
k
x
2
2

x
x

2
Ta có phương trình bậc hai:  a (t  2k )  bt  c  0  

b) Ví dụ: Giải phương trình: x4 + 5x3 – 12x2 + 5x + 1 = 0 (7) 
Giải
Vì  x = 0 khơng là nghiệm nên chia hai vế cho x2 ta được: 
 (x2 

1
1
)  5( x  )  12  0  (7’) 
2
x
x
1
x

Đặt: x   t  

 7 '  t 2  2  5t  12  0  
        t 2  5t  14  0  
14


 
 
 

 
1 = -7, t2 = 2 
 Giải phương trình ta được t
 
+) Với t1 = -7 
 
1
 x   7  x 2  7 x  1  0  
 

x

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 
 

 7  45
 7  45
 ; x2 = 
  
2
2

+) Với t2 = 2 
 x

1
 2  x2  2x  1  0  
x

 Phương trình có nghiệm kép x3 = x 4 = 1 
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm cần tìm:  
x 1 = 

 7  45
 7  45
; x 2 = 
; x 3  = x 4 = 1 
2
2

c) Nhận xét: 
-  Để  giải  phương  trình  đối  xứng  như  trên  ta  dùng  những  phép  biến  đổi 
tương  đương  và  “đổi  biến”  để đưa  về  phương  trình  bậc  hai  trung  gian  rồi  trả 
biến sẽ tìm được nghiệm phương trình ban đầu . 
-  Số  nghiệm  của  phương  trình  đối  xứng  phụ  thuộc  vào  số  nghiệm  của  
phương trình bậc hai. 
3.6. Phương trình giải bằng cách đưa về dạng tích
Ví dụ: Giải phương trình:  
           5x2 – 4(x2 – 2x + 1) - 5 = 0 (8) 
Giải
2

2

           5x  – 4(x  – 2x + 1) - 5 = 0
        5(x2 – 1) – 4(x – 1)2 = 0 
 x1  1
 
 x2  9

    

        (x – 1)(x + 9) = 0  

     

IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sau khi thực hiện đề tài trên tơi nhận thấy,  khi gặp các phương trình có 

thể đưa  về phương trình bậc hai các em đều giải một cách thành thạo,  say mê 
hứng thú, kích thích được niềm đam mê, sáng tạo của học sinh. 
 
Một điều đáng mừng hơn cả là kết quả thu được qua các bài kiểm tra. Chất 
lượng bài kiểm tra sau bao giờ cũng cao hơn, trình bày chặt chẽ hơn bài kiểm tra 
trước về trình độ nhận thức, về phương pháp giải, về tính thơng minh sáng tạo.  
 

Để kiểm tra khả năng lĩnh hội của học sinh, tơi cho các em làm một số bài tập 

như sau:  
15


 
 

Giải phương trình:
Câu 1. 2 x3  5 x 2  8x  3  0  
Câu 2. x4    3x3 + 4x2    3x + 1 = 0

 

Giải 
Câu 1: Nhân cả hai vế với 2  ta có: 
23.x3 - 5.22.x2 + 16.2x - 12 = 0 

 

Đặt t = 2x  

2

3

2

  t  - 5t  + 16t - 12 = 0 

 

  t = 1 
  x = 

 

1
2

Vậy phương trình có nghiệm: x = 

1
2

Câu 2. Nhận thấy x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình, chia cả 
hai vế của phương trình cho x2 ta được: 
1
 2 1  
 x  2   3 x    4  0  
x  
x

1
x

Đặt t =  x  ; điều kiện  t  2   
2

  t  – 3t + 2 = 0 
t1  1
 

t2  2

Nghiệm t1 = 1 loại do không thỏa mãn điều kiện  t  2  
1
x

Với t2 = 2  x   = 2   x = 1 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 

Kết quả thu được qua bài kiểm tra thật đáng phấn khởi như sau:                                      
Kết quả thu được: BẢNG 2 
ĐỐI TƯỢNG I
NĂM HỌC

Số
lượng

%

ĐỐI TƯỢNG II
Số
lượng

%

ĐỐI TƯỢNG III
Số
lượng

%

2011 - 2012 

1 

5 

7 

35 

12 

60 

2012 - 2013 

2 

8,7 

7 

30,4 

14 

60,9 

16


 

Đối chiếu kết quả thu được sau hai năm như sau:
Đối tượng I: Ở bài tập 1,2 đã biết vận dụng phương pháp giải đã được học 

để tìm nghiệm của phương trình nhưng ở bài 2 chưa đối chiếu với điều kiện  t  2 . 
Năm học 2011-2012: 1/20 em chiếm tỷ lệ 5% 

Năm học 2012-2013: 2/23 em chiếm tỷ lệ  8,7%  
Đối tượng II: Các em  đã  làm được  bài  1  và  bài 2,  nhưng lập  luận còn 
chưa được chặt chẽ.  
Năm học 2011-2012: 7/20 em chiếm tỷ lệ 35% 
Năm học 2012-2013: 7/23 em chiếm tỷ lệ  30,4%  
Đối tượng III: Các  em  đã  làm  hoàn  chỉnh  cả  hai  bài,  vài  em  cịn  lúng 
túng trong việc kết luận số nghiệm của phương trình. 
Năm học 2011-2012: 12/20 em chiếm tỷ lệ  60% 
Năm học 2012-2013: 14/23 em chiếm tỷ lệ  60,9%  
 

Qua hai năm thực hiện đề tài, so sánh bảng số liệu đầu năm học và cuối 

năm học, ta nhận thấy kỹ năng giải phương trình, phương trình quy về phương 
trình bậc hai của học sinh đã tiến bộ hơn rất nhiều thể hiện ở  số lượng các em 
hồn thiện bài tập theo đúng u cầu của giáo viên có sự gia tăng đáng kể. 
PHẦN KẾT LUẬN
   

I. Những bài học kinh nghiệm
Từ thực tế giảng dạy chun đề này tơi nhận thấy, để học sinh có thể giải 

thành thạo các phương trình bậc hai cơ bản và nâng cao, một kinh nghiệm q 
báu  được  rút  ra  là  học sinh phải  nắm  chắc các kiến thức  cơ bản, biết  cách  vận 
dụng  linh  hoạt  các  kiến  thức  ấy.  Từ  đó  giáo  viên  cung  cấp  cho  học  sinh  các 
phương pháp được coi là thuật giải, sau đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng 
cao,  khắc  sâu  kiến  thức  một  cách  hợp  lý  với  các  đối  tượng  học  sinh  nhằm  bồi 
dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh. 
Để chuyên đề phát  huy  hiệu quả  khi  giảng dạy  giáo  viên  phải  cung  cấp 
nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy cho học sinh. 

II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm
       Sau khi học sinh học xong chun đề này, tơi thấy học sinh nắm chắc hơn 
về phương trình bậc hai, khi đứng trước một bài tốn về phương trình bậc hai 
học sinh khơng cịn cảm thấy e sợ, ngỡ ngàng. Từ đó kích thích niềm say mê học 
tốn của các em.  
17


 

III. Khả năng ứng dụng, triển khai
Căn  cứ  vào kết quả thu được từ hai  bảng 1 và bảng 2 ta thấy trước khi 

 

thực  hiện  chuyên  đề  này  học  sinh  thường  gặp  khúc  mắc  khi  đứng  trước  một 
phương trình bậc hai khơng ở dạng tổng qt mà khơng định hình được hướng 
giải, khơng biết bắt đầu từ đâu, đường lối làm như thế  nào mặc dù  rất dễ. Sau 
khi  đã  được  học  và  được  làm  quen  với  chuyên  đề  trên  thì  đa  số  các  em  hiểu 
được cách làm của các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai. Điều đó 
chứng tỏ việc phân dạng các bài tốn về phương trình bậc hai là khơng thể thiếu 
được trong chương trình tốn cấp 2.  
 
Qua việc tham khảo, nắm bắt ý kiến đồng nghiệp, tơi tin tưởng rằng đề tài tơi 
nghiên cứu  có  khả năng  ứng  dụng  nhân rộng  ra  các trường  cùng  loại  hình  trong 
tồn huyện, giúp ích được nhiều cho giáo viên giảng dạy và giáo viên bồi dưỡng 
học sinh giỏi cũng như các em học sinh có nhu cầu đào sâu mở rộng kiến thức.  
IV. Những kiến nghị, đề xuất
Phịng Giáo dục và Đào tạo, các tổ chun mơn trong các nhà trường nên 
tổ  chức  thường  xuyên  các  cuộc  hội  thảo  về  các  chuyên  đề  khó  trong  chương 

trình trung học cơ sở để giáo viên các trường nói chung, giáo viên trong tổ nói 
riêng có thể trao đổi, thảo luận nhất là vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi để nâng 
cao chất lượng mũi nhọn. 
Theo tơi muốn cho học sinh tự nguyện có nhu cầu đào sâu, mở rộng vốn 
kiến  thức  trong chương  trình,  phát  huy  tính  độc  lập  sáng  tạo  trong  học  tập  thì 
bản  thân  mỗi  giáo  viên  chúng  ta  cần  không  ngừng  sáng  tạo,  đổi  mới  phương 
pháp  giảng dạy, đặc biệt tăng cường giảng dạy theo các chun đề,  từ đó  kích 
thích hứng thú, niềm ham học hỏi của học sinh.   
Do thời gian có hạn, chun đề tơi nghiên cứu chỉ trong phạm vi chương 
trình đại số lớp 9, áp dụng chủ yếu ở học sinh khối 9, học sinh tham gia bồi dưỡng 
học sinh giỏi, do vậy  khơng tránh khỏi khiếm khuyết. Rất mong sự đóng góp ý 
kiến của các đồng chí, đồng nghiệp để chun đề tơi viết được hồn thiện hơn và 
việc áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy có hiệu quả hơn. 
 

 

Than Un, ngày 15 tháng 3 năm 2013                       
Người thực hiện

Nguyễn Thị Mai
18


 

PHỤ LỤC: CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG

1. DẠNG 1: Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Bài tập tương tự: Giải phương trình: 

1) 

x
x
2x


2 x  3 2x  2 (x  1)(x  3)

2)

x
x4

x 1 x 1

3)

( x  2 x )  (3 x  6)
0
x3

4) x 

1
1
 x2  2
x
x

2. DẠNG 2: Phương trình bậc ba.
Bài tập tương tự: Giải phương trình: 
 

1) x3 – 2x2 – x + 2 = 0 

 

2) x3 – x2 – 3x + 3 = 0 

 

3) 2x3 – 5x2 + 8x -  3 = 0 
4) x3 + 2x2 – 4x - 8 = 0 

3. DẠNG 3:  Phương trình bậc cao đưa được về phương trình bậc hai. 
3.1. Phương trình trùng phương:
 Bài tập tương tự: Giải phương trình: 
1) x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + 1 = 0 
2) x4 + 2x3 – 6x2 + 2x + 1 = 0 
3) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 
4) x4 + 5x3 – 12x2 + 5x + 1 = 0 
3.2. Phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c (c > 0)
(trong đó x là ẩn, a, b, c là các hệ số)
Bài tập tương tự: Giải phương trình: 
1) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 
2) (x - 5)4 + (x - 2)4 = 17 
3) x 4 + (x - 1)4 = 97 
3. 3. Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m
Bài tập tương tự: Giải phương trình: 

1) ( x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 
2) ( x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680 
19


 

3) ( x - 1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) = 297 
3.4. Phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ:
 Bài tập tương tự: Giải phương trình: 

 

1) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x – 1) = 3 

 

2) (x2 – 5x)2 + 10(x2 – 5x) + 24 = 0 
3)  (

x 1 2
x 2 3
) (
)   
x
x 1
2

3.5. Phương trình dạng ax4+ bx3 + cx2  kbx + k2a = 0
(Phương trình đối xứng)

Bài tập tương tự: Giải phương trình: 
1) x4 - x3 - x + 1 = 0 
2) x5 - 5x 4 + 4x3 + 4x2 - 5x + 1 = 0 
3.6. Phương trình giải bằng cách đưa về dạng tích
Bài tập tương tự: Giải phương trình: 
1) x4 + 2x3 - 6x 2 + 2x + 1 = 0 
2) (x2 + 4x + 21)2 = (x + 3)4 
 

20


 

TÀI LIỆU THAM KHẢO
-  Sách giáo khoa Tốn 9 - Tơn Thân - Nhà xuất bản giáo dục.
- Sách Thực hành giải tốn - Giáo trình cao đẳng sư phạm - Nhà xuất bản

giáo dục.
- 1001 bài toán sơ  cấp bồi dưỡng học  sinh giỏi và luyện thi vào lớp 10Nhà xuất bản trẻ.
- Một số đề thi học sinh giỏi các cấp. 
- Một số tài liệu tham khảo khác. 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21


 

MỤC LỤC
Trang
PHẦN MỞ ĐẦU

 

I. Lý do chọn đề tài.

1 

II.  Phạm vi và đối tượng nghiên cứu. 

1 

III. Mục đích nghiên cứu. 

2 

IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu. 

2 

PHẦN NỘI DUNG

 

I. Cơ sở lý luận. 

3 

II. Thực trạng vấn đề. 

3 

III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề. 

7 

1. Nhắc lại định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số. 

7 

2. Giải và biện luận phương trình bậc hai. 

8 

3. Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai. 

8 

IV. Hiệu quả sáng kiến 

15 
 

PHẦN KẾT LUẬN
I. Bài học kinh nghiệm 

17 

II. Ý nghĩa của SKKN 

17 

III. Khả năng ứng dụng, triển khai 

18 

IV. Những kiến nghị, đề xuất 

18 

Phụ lục: Các bài tập vận dụng 

19 

22


 

23