004 07 1 TOAN 10 b7 c4 CAC KHÁI NIỆM MO DAU DE TR112

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

IV

CHƯƠNG

VECTƠ

BÀI 7. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
I ===I LÝ THUYẾT.
1. KHÁI NIỆM VECTƠ
AB
A
B
Cho đoạn thẳng
. Nếu chọn điểm
làm điểm đầu, điểm
làm điểm cuối thì đoạn thẳng
AB
A
B
AB
có hướng từ
đến . Khi đó ta nói
là một đoạn thẳng có hướng.
1.1. Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai điểm mút của đoạn
thẳng, đã chỉ rỏ điểm đầu, điểm cuối.

1.2. Kí hiệu
B

uuu
r
AB

AB
và điểm cuối được kí hiệu là
, đọc là “vectơ
”.
r r r yr
a b x
Vectơ còn được kí hiệu là , , , , … khi khơng cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.
1.3. Độ dài vectơ: Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
uuu
r
uuur
r
uuu
r
AB
AB = AB
a
AB
Độ dài của vectơ
được kí hiệu là
, như vậy
. Độ dài của vectơ được kí
r
a
hiệu là .
1

Vectơ có độ dài bằng gọi là vectơ đơn vị.
2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, VECTƠ CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU
2.1. Giá của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá
của vectơ đó.
2.2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của
chúng song song hoặc trùng nhau.
Hai vectơ cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Vectơ có điểm đầu

A


CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

2.3. Nhận xét

uuur
uuu
r
AC
A B C
AB
Ba điểm phân biệt , ,
thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ
và
cùng phương.
r
r
a

b
2. 4. Hai vecto bằng nhau: Hai vectơ và được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng
và có cùng độ dài.
r r
a =b
Kí hiệu
.
3.3. Chú ý
uuu
r r
r
a
O
OA = a
A
Khi cho trước vectơ và điểm , thì ta ln tìm được một điểm
duy nhất sao cho
.
3. VECTƠ – KHƠNG
r
0
Vectơ – khơng là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ta kí hiệu là .
0
Ta quy ước vectơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ và có độ dài bằng .
r uuu
r
uuuu
r r
r uuu
0 = AA = BB = ...

MN = 0 ⇔ M ≡ N
Như vậy
và
.

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.

r r r
a, b, c

r
0

4.1. Cho ba vectơ
đều khác vectơ . Những khẳng định nào sau đây là đúng?
r r r
r
a , b, c
0
a)
đều cùng phương với vectơ .
r
r
r
r
b
a
b
a
b) Nếu khơng cùng hướng với thì ngược hướng với .

r
r
r
r
r
a
b
c
a
b
c) Nếu và đều cùng phương với thì và cùng phương.
r
r
r
r
r
a
b
c
a
b
d) Nếu và đều cùng hướng với thì và cùng hướng.
4.2. Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ
bằng nhau.


CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

ABCD

uuur uuur
BC = AD

4.3. Chứng minh rằng, tứ giác
là hình bình hành khi và chỉ khi
.
ABCD
4.4. Cho hình vng
có hai đường chéo cắt nhau tại O. Hãy chỉ ra tập hợp S chứa tất cả các vectơ
r
{ A, B, C , D, O}
0
khác vectơ , có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp
. Hãy chia tập S thành
các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.
uuu
r uuuu
r
A ( 1; 2 ) , M ( 0; −1) , N ( 3;5 )
Oxy
OA, MN
4.5. Trên mặt phẳng tọa độ
, hãy vẽ các vectơ
với
.
a) Chỉ ra mối liên hệ giữa hai vectơ trên.
b) Một vật thể khởi
hành
r uu
u

r từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu
v = OA
diễn bởi vectơ
. Hỏi vật thể đó có đi qua N hay khơng? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ
tới N?

II ===IHỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH MỘT VECTƠ; PHƯƠNG, HƯỚNG CỦA VECTƠ; ĐỘ DÀI CỦA
VECTƠ

1 ===IPHƯƠNG PHÁP.
+ Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định nghĩa.
+ Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ.

2 ===IBÀI TẬP TỰ LUẬN.
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:

Với hai điểm phân biệt A, B có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có điểm
đầu và điểm cuối được lấy từ hai điểm trên?
Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh A, B, C?
Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm số các vectơ khác vectơ - khơng, cùng phương với
uuu
r
OB
vectơ
có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác?

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO
Câu 4:
Câu 5:

Câu 6:

ABCDEF

Cho lục giác đều
tâm
Tìm số các vectơ bằng
có điểm đầu và điểm cuối là các
đỉnh của lục giác?
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Lấy 8
uuu
r
AR
điểm trên là gốc hoặc ngọn của các vectơ. Tìm số vectơ bằng với vectơ
Cho tứ giác
tứ giác?

ABCD

. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu và cuối là các đỉnh của

r
0

7

Số vectơ (khác vectơ ) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ điểm phân biệt cho trước?
A, B, C , D, E ; F
6
Trên mặt phẳng cho
điểm phân biệt
. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ –
khơng, mà có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho?

Câu 7:
Câu 8:

uuu
r
OC

O.

Câu 9: Cho n điểm phân biệt. Hãy xác định số vectơ khác vectơ
điểm trên?

ABCDEF

Câu 10: Cho lục giác đều
giác là bao nhiêu?

M , N,P

Câu 11: Cho ba điểm
vectơ cùng hướng?

Câu 12: Cho hình bình hành

tâm

O

. Số các vectơ bằng

thẳng hàng, trong đó điểm

ABCD

. Tìm vectơ khác

điểm cuối là đỉnh của hình bình hành
ABCDEF

ABCD

r
0

N

r
0

có điểm đầu và điểm cuối thuộc

uuur

OC

có điểm cuối là các đỉnh của lục

nằm giữa hai điểm

M

, cùng phương với vectơ

và

uuu
r
AB

P

. Tìm các cặp

và có điểm đầu,

.

O

Câu 13: Cho lục giác đều
tâm . Tìm số các vectơ khác vectơ khơng, cùng phương với
có điểm đầu và điểm cuối
r là cácr đỉnh của lục giác là:

a
0
A
M
Câu 14: Cho điểm và véctơ khác . Tìm điểm
sao cho:
r
uuuu
r
a
AM
a)
cùng phương với .
r
uuuu
r
a
AM
b)
cùng hướng với .
Câu 15: Cho tam giác

ABC

ngoại tiếp tam giác

có trực tâm
ABC

H

. Gọi

D

. Chứng minh rằng

là điểm đối xứng với
uuu
r uuu
r
HA = CD

và

n

uuur uuur
AD = HC

B

qua tâm

.

BC

Câu 16: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = 4. Tính
uuur

AC
Câu 17: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh 3. Giá trị của
là bao nhiêu?
uuu
r
CB
Câu 18: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính

O

uuu
r
OC

của đường trịn


CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

uuuur
GM
Câu 19: Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12. Tính
điểm của BC)
uuur
AC
Câu 20: Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 4 và AC = 5. Tìm độ dài vectơ
.

(với M là trung

3 ===IBÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

Câu 1:

Cho tứ giác
tứ giác?

ABCD

. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu và cuối là các đỉnh của

4.

Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:

6.

ABCDEF

Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

12.

O.

Cho lục giác đều
tâm
Số các vectơ khác vectơ - không, cùng phương với
điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
4.

Câu 5:

8.

A.
B.
C.
D.
Cho 5 điểm A, B, C, D, E có bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu là A và điểm cuối
là một trong các điểm đã cho?
A. 4
B. 20
C. 10
D. 12
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tìm các vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu, điểm cuối
uuu
r
AB
là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho bằng với
?
uuur uuur uuur

uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
FO, OC , FD
FO, AC , ED
BO, OC , ED
FO, OC , ED
A.
B.
C.
D.

6.

7.

uuu
r
OC

có

9.

A.
B.
C.
D.
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Xác định các vectơ
uuuu

r
MN
cùng phương với
.
uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuu
r
uuuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r
AC , CA, AP, PA, PC , CP
NM , BC , CB, PA, AP
A.
B.
uuuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuu
r
uuuur uuur uuu
r uuuu
r uuur uuur uuu
r
NM , AC , CA, AP, PA, PC , CP
NM , BC , CA, AM , MA, PN , CP
C.
D.

r
0
Cho hai vectơ khác vectơ - khơng, khơng cùng phương. Có bao nhiêu vectơ khác cùng
phương với cả hai vectơ đó?
2
1
A. .
B. .
C. khơng có.
D. vơ số.

Cho hình bình hành

ABCD

r
0

uuu
r
AB

. Số vectơ khác , cùng phương với vectơ
và có điểm đầu,
ABCD
điểm cuối là đỉnh của hình bình hành
là
3
1
2

4
A. .
B. .
C. .
D. .
r
ABCDEF
O
0
Cho lục giác đều
tâm . Số vectơ khác , có điểm đầu điểm cuối là đỉnh của lục
uuur
O
OC
giác hoặc tâm
và cùng phương với vectơ
là


CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO
A.
Câu 9:

3

.

B.

4

8
C. .

.

9
D. .

Cho tứ giác ABCD . Số các véctơ khác véctơ-khơng có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ
giác là
6
8
4
12
A. .
B. .
C. .
D. .

Câu 10: Cho tam giác

ABC

, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu và

điểm cuối là các đỉnh

A, B, C ?

3

6

A. .

Câu 11: Cho tứ giác

ABCD
ABCD

A. Tứ giác
uuur uuur
AC = BD
C.
.

có

uuur uuur
AD = BC

Câu 12: Cho tam giác
. Gọi
sau đây cùng hướng?
uuu
r
AB

A.

và

uuur
MB

Câu 13: Cho tứ giác
A.
C.

ABCD

AD

và

.

ABCD

M,N

B.

D. .

. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?
B.

DA = BC

B.

uuuur
MN

và

uuur
CB

.

C.

ABDC

uuur
MA

và

O

uuur
MB

AB, AC

.

D.

uuu
r uuu
r
AB = CD

. Hỏi cặp véctơ nào

uuur
AN

và

uuur
CA

Câu 14: Gọi là giao điểm hai đường chéo
sau đây là đẳng thức sai?

D.

AC

uuur uuur
AB = DC

và

.
B.
.
A.
Câu 15: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
uu
r
0
A.
cùng hướng với mọi vectơ.
uuur
uuur uu
r
AB > 0
AA = 0
C.
.
D.
.

BD

C.

B.

AB = CD

?

.

ABCD

của hình bình hành

uuur uuur
OA = OC
uu
r
0

.

D.

. Đẳng thức nào

uuur uuur
CB = DA

.

cùng phương với mọi vectơ.

Câu 16: Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 4 và AC = 5. Tìm độ dài vectơ

uuur
BC

.

±3.
D.
uuu
r
CA
Câu 17: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Tính độ dài của vectơ
.
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
CA = 5.
CA = 25.
CA = 7.
CA = 7.
A.
B.
C.
D.
uuur
AH
Câu 18: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 1. Gọi H là trung điểm BC. Tính
.
A.

3.

B.

41.

.

là hình bình hành.

có cùng trung điểm.

uuur uuur
OB = DO

.

lần lượt là trung điểm của các cạnh

. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để

là vng.
BC

C. .

là hình bình hành.
uuu
r uuur

AB = DC
D.
.

ABC

9

4

B. .

C.

9.


CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

A.

3
.
2

B.

1.

C.

2.
uuuur
AM

Câu 19: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Gọi M là trung điểm BC. Khi đó
A.

2a.

2a 3.

C.
uuur
OD
Câu 20: Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O. Tính
.

a 2
.
2

B.


2
1 −
÷
÷a.
2




A.
B.
Câu 21: Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 22:

Câu 23:

Câu 24:

Câu 25:

Câu 26:

C.

4a.

a.

D.

bằng:
D.

D.

r
0

3.

a 3.

a2
.
2

A. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác thì cùng phương.
B. Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng.
C. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương.
D. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng hướng.
A, B, C
Cho 3 điểm
khơng thẳng hàng. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ khơng, có điểm đầu và
A, B
C?
điểm cuối là
hoặc
3
5
6
9
A. .
B. .
C. .
D. .

A
B
Vectơ có điểm đầu là , điểm cuối là được kí hiệu là:
uuu
r
uuu
r
uuu
r
AB
AB
AB
BA
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABC
Cho tam giác
. Có thể xác định bao nhiêu vectơ (khác vectơ khơng) có điểm đầu và điểm
A, B, C
cuối là đỉnh
?
3
6
A. .

B. .
C. 4.
D. 2.
r
A, B
0
Từ hai điểm phân biệt
xác định được bao nhiêu vectơ khác ?
3
1
2
4
A. .
B. .
C. .
D. .
Khẳng định nào sau đây đúng?
r 2 r2
r
r
a =b .
a
b
A. Hai vectơ và được gọi là bằng nhau nếu
r
r
a
b
B. Hai vectơ và được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương và cùng độ dài.
r

r
a
b
C. Hai vectơ và được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng độ dài.
r
r
a
b
D. Hai vectơ và được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.


Câu 27:

Câu 28:

Câu 29:

Câu 30:

CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO
r
A, B, C , D
0
Cho bốn điểm
phân biệt. Số véctơ (khác ) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ các
A, B, C , D
điểm
là
10
8

14
12
A. .
B. .
C. .
D. .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai véc tơ gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài.
B. Hai véc tơ gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài.
C. Hai véc tơ gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng.
D. Hai véc tơ gọi là đối nhau nếu chúng cùng phương và cùng độ dài.
Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ bằng nhau thì có giá trùng nhau hoặc song song.
B. Hai vectơ có độ dài khơng bằng nhau thì khơng cùng hướng.
C. Hai vectơ khơng bằng nhau thì chúng khơng cùng hướng.
D. Hai vectơ khơng bằng nhau thì độ dài của chúng khơng bằng nhau.
Hai vectơ có cùng độ dài và ngược hướng gọi là
A. Hai vectơ cùng hướng.
B. Hai vectơ cùng phương.
C. Hai vectơ đối nhau.
D. Hai vectơ bằng nhau.

Câu 31: Cho tứ diện

ABCD

r
0

. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm

ABCD
cuối là hai đỉnh của tứ diện
?
10
8
12
4
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 32: Phát biểu nào sau đây sai?
A. Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương.
B. Độ dài của vec tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó.
C. Hai vec tơ cùng phương thì cùng hướng.
D. Vec tơ là đoạn thẳng có hướng.
N
M N P
M
P
Câu 33: Cho 3 điểm
, , thẳng hàng trong đó nằm giữa
và . khi đó các cặp véc tơ nào sau
đây cùng hướng?
uuuu
r
uuuu
r
uuur
uuuur

uuur
uuur
uuur
uuur
MN
MN
PN
NM
NP
PN
MP
MP
A.
và
.
B.
và
.
C.
và
.
D.
và
.
M , N, P
N
M
P
Câu 34: Cho ba điểm
thẳng hàng, trong đó điểm

nằm giữa hai điểm
và . Khi đó các
cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?
uuur
uuuu
r
uuur
uuuur
uuur
uuuu
r
uuur
uuur
PN
MN
PN
NM
NP
MN
MP
MP
A.
và
.
B.
và
.
C.
và
.

D.
và
.

DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI VECTƠ BẰNG NHAU

1 ===IPHƯƠNG PHÁP.


CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO
+ Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng có cùng độ dài và cùng
uuu
r uuur
hướng hoặc dựa vào nhận xét nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB = DC hoặc
uuur uuu
r
AD = BC .

2 ===IBÀI TẬP TỰ LUẬN.
O
ABCD
Cho hình vng
tâm . Hãy liệt kê tất cả các vectơ bằng nhau nhận đỉnh và tâm của
hình vngulàm
uuu
r uuur
uur điểm đầu và điểm cuối.
C
AB = CD
AB

D
Câu 2: Cho vectơ
và một điểm . Có bao nhiêu điểm
thỏa mãn
.
M , N , P, Q
AB, BC , CD, DA
ABCD
Câu 3: Cho tứ giác đều
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Chứng
uuuu
r uuu
r
MN = QP
minh
.
uuu
r uuu
r
ABCD
AB = CD
Câu 4: Cho tứ giác
. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để
?
A, B
AB
Câu 5: Cho hai điểm phân biệt
. Xác định điều kiện để điểm I là trung điểm

.
D, E , F
BC , CA, AB
ABC
Câu 6: Cho tam giác
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
.
uuur uuur
EF = CD
Chứng minh
.
ABCD
C
E
D
Câu 7: Cho hình bình hành
. Gọi là điểm đối xứng của qua .
uuur uuur
AE = BD
Chứng minh rằng
.
∆ABC
M N P
AB BC CA
I
Câu 8: Cho
có
, ,
lần lượt là trung điểm của các cạnh

,
,
. Tìm điểm sao
uuur uuu
r
NP = MI
cho
.
M , N , P, Q
AB, BC , CD, DA
ABCD
Câu 9: Cho tứ giác
. Gọi
lần lượt là trung điểm
. Chứng minh
uuuu
r uuu
r uuur uuuu
r
MN = QP; NP = MQ
.
M,N
AB, DC AN
ABCD
CM
Câu 10: Cho hình bình hành
. Goi
lần lượt là trung điểm của
.
và

lần
uuur uur uuu
r
E, F
BD
DE = EF = FB
lượt cắt
tại
. Chứng minh rằng

Câu 1:

3 ===IBÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Câu 1:

Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi:
A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.


CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO
Câu 2:

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tìm các vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu, điểm cuối
uuur
AB
là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho bằng với
?

uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
FO, OC , FD
FO, AC , ED
BO, OC , ED
FO, OC , ED
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r uuur
uuur
uuu
r
AB = BC
BC
BA
A.
.
B.
và
cùng phương.

uuur
uuu
r
uuu
r
uuur
AC
CA
CB
AB
C.
và
ngược hướng.
D.
và
cùng hướng.
2a
Câu 4: Cho tam giác đều cạnh
. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
uuur
uuu
r uuur
uuu
r
uuur
AB = 2a
AB = AC
AB = 2a
AB = AB
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
O
ABCD
Câu 5: Cho hình bình hành
với
là giao điểm của hai đường chéo. Câu nào sau đây là sai?
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
AB = CD
AD = BC
AO = OC
OD = BO
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
uuuur

u
u
u
r
uuur r
AB = CD
C
AB ≠ 0
Câu 6: Cho vectơ
và một điểm . Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn
.
A. 1
B. 2
C. 0
D. Vô số
uuur uuur
AB = AC
Câu 7: Chọn câu dưới đây để mệnh đề sau là mệnh đề đúng: Nếu có
thì
ABC
ABC
A. Tam giác
cân.
B. Tam giác
đều.
BC
C
A
B
C.

là trung điểm đoạn
.
D. Điểm
trùng với điểm .
uuur uuur
ABCD
AB = CD
Câu 8: Cho tứ giác
. Điều kiện cần và đủ để
là?
ABCD
ABDC
A.
là hình vng.
B.
là hình bình hành.
BC
AB = CD
AD
C.
và
có cùng trung điểm.
D.
.
A ', B ', C '
∆ABC
Câu 9: Cho
với điểm M nằm trong tam giác. Gọi
lần lượt là trung điểm của BC, CA,
A ', B ', C '

AB và N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với M qua
. Câu nào sau đây đúng?
uuur uuur
uuur uuur
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
QB = NC
AC = QN
AM = PC
AM = PC
A.
và
B.
và
uuur uuur
uuu
r uuur
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
AP = QN
AB = CN
AB ' = BN
MN = BC
C.
và
D.

và
ABCDEF
O.
Câu 10: Cho lục giác đều
có tâm
Đẳng thức nào sau đây sai?
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur
AB = AF .
AB = ED.
OD = BC .
OB = OE.
A.
B.
C.
D.


CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO
Câu 11: Cho tam giác

Câu 12:

Câu 13:

Câu 14:

Câu 15:

Câu 16:

Câu 17:

Câu 18:

ABC

M , N, P

bằng véctơ
A. .

B.

Câu 19: Cho hình bình hành tâm
A.

.

và

BC

?

1

uuu
r uuu
r
OC = OA

lần lượt là trung điểm của

AB, AC

. Có bao nhiêu véctơ
A, B, C , M , N , P
khác véctơ khơng có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trong các điểm
bằng
uuuu
r
uuuu
r
MN
MN
véctơ
(không kể véctơ
)?
3
1
4
2
A. .
B. .
C. .

D. .
ABCD
Cho hình thoi
. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur uuu
r
uuur uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
AD = CB.
AB = BC .
AB = AD.
AB = DC.
A.
B.
C.
D.
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A. Chúng cùng phương và có độ dài bằng nhau.
B. Giá của chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
C. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
O
ABCD
Gọi là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành
. Đẳng thức nào sau đây sai?
uuu
r uuur

uuur uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB = DC
OA = CO
OB = DO
CB = AD
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
uuu
r
BA
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Ba vectơ bằng với
là
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuur
uuur uuur uuur
OF , ED, OC
OF , DE , CO
CA, OF , DE

OF , DE , OC
A.
.
B.
.
C.
D.
.
uuu
r
ABCEF
O
OC
Cho lục giác đều
tâm . Số các vectơ bằng
có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh
của lục giác là
3
6
2
4
A. .
B. .
C. .
D. .
uuu
r
ABCDEF
O
BA

Cho lục giác đều
tâm . Ba vectơ bằng vectơ
là:
uuu
r uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
OF , ED, OC
CA, OF , DE
OF , DE , CO
OF , DE , OC
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
M , N, P
AB, AC BC
ABC
Cho tam giác
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Có bao nhiêu
A, B, C , M , N , P
véctơ khác véctơ khơng có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trong các điểm

uuuu
r
MN

. Gọi

O

B.
ABCDEF

Câu 20: Cho lục giác đều
đỉnh của lục giác là
6
A. .

4

.

C.

. Hãy chọn phát biểu sai
uuu
r uuur
AB = DC

tâm

3
B. .

O

.

C.

2

.

D.

uuur uuu
r
AD = BC

. Số vecto bằng vecto

2

C. .

.

uuu
r
OC

D.

3

uuu
r uuur
BO = OD

.

có điểm đầu và điểm cuối là các

4

D. .


CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO

ABC
O
H
Câu 21: Cho tam giác
có trực tâm
và tâm đường trịn ngoại tiếp
. Gọi D là điểm đối xứng
O
O
BC

A
với qua ; E là điểm đối xứng với qua
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

uuu
r uuu
r
OA = HE

.

B.

uuur uuur
OH = DE

.

C.

uuur uuu
r
AH = OE

.

D.

uuur uuu

r
BH = CD

.

DẠNG 3: XÁC ĐỊNH ĐIỂM THOẢ ĐẲNG THỨC VECTƠ

1 ===IPHƯƠNG PHÁP.
Sử dụng: Hai véc tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng độ dài và cùng hướng.

2 ===IBÀI TẬP TỰ LUẬN.

Câu 1:

Câu 2:

AB , BC , CA
N
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
là
uuur uuur
N
MP = CN
điểm thỏa mãn
. Hãy xác định vị trí điểm .
M , N , P, Q
ABCD
BC = 2 AD
Cho hình thang

với đáy
. Gọi
lần lượt là trung điểm của

Cho tam giác

ABC

BC , MC CD , AB

,

. Gọi

uuur uuur
BN = QE

E

E

Câu 4:

là điểm thỏa mãn
. Xác địnhuu
vịurtrí u
điểm
.
uur
ABC

G
N
AN = GC
Cho tam giác
có trọng tâm
và
là điểm thỏa mãn
. Hãy xác định vị trí
N
điểm .
AD , AB
ABCD N , P
M
Cho hình chữ nhật
,
lần lượt là trung điểm cạnh
và điểm
thỏa mãn

Câu 5:

. Xác định vị trí điểm .
uuur uuuu
r
ABCD
O
AO = OM
M
M
Cho hình bình hành

tâm
và điểm
thỏa mãn
. Xác định vị trí điểm .

Câu 3:

Câu 6:
Câu 7:

và

M , P, Q

uuu
r uuuu
r
AP = NM

uuu
r
AB

M

uuu
r
uuur uuur
AB = AD − AC

r
0

C
D
khác và cho điểm . Xác định điểm
thỏauuur uuur uuuu
?
r r
ABC
MA
−
MB
+
MC
=
0
M
Cho tam giác
. Xác định vị trí của điểm sao cho
Cho

3 ===IBÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
ABC

lần lượt là trung điểm các cạnh

AB , BC

và

N

Cho tam giác

Câu 2:

mãn
. Chọn khẳng định đúng.
N
MC
N
BP
A.
là trung điểm của cạnh
.
B.
là trung điểm của cạnh
.
N
AC
N
PC
C.
là trung điểm của cạnh
.
D.
là trung điểm của cạnh
.
uuu

r uuu
r
ABC
AB = CD
D
Cho tam giác
và
là điểm thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây đúng?

uuuu
r uuu
r
MN = BP

. Gọi

M, P

Câu 1:

là điểm thỏa


CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO
A.
B.
C.

Câu 4:

D
D

là đỉnh thứ tư của hình bình hành
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
là đỉnh thứ tư của hình bình hành

1

thẳng hàng.

3
C. .

2

B. .

4

D. .

N , P, Q
ABCD
AB = 2CD
BC
Cho hình thang
với đáy
. Gọi

lần lượt là trung điểm các cạnh
uuur uuur
CD DA
DC = MB
M
,
,
và
là điểm thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây đúng?
PN
AN
M
M
A.
là trung điểm của
.
B.
là trung điểm của
.

C.

M

AB

QN

M

là trung điểm của
.
D.
là trung điểm của
.
uuur uuur uuuu
r r
ABC
MA − MB + MC = 0
M
M
Cho tam giác
. Để điểm
thoả mãn điều kiện
thì
phải thỏa mãn
mệnh đề nào?
ABMC
M
A.
là điểm sao cho tứ giác
là hình bình hành.
ABC
M
B.
là trọng tâm tam giác
.
BAMC
M

C.
là điểm sao cho tứ giác
là hình bình hành.
D.

Câu 8:

.

Cho bốn điểm
thỏa mãn
và các mệnh đề.
ABCD
(I)
là hình bình hành.
C
D
B
(II)
nằm giữa
và .
C
D
AB
(III)
nằm trên đường thẳng đi qua điểm
và song song hoặc trùng với đường thẳng
.

A. .

Câu 7:

ADBC

.

uuu
r uuur
AB = DC

A, B , C , D

A, B , C , D

Câu 6:

ABCD

.

D

(IV) Bốn điểm
Số mệnh đề đúng?

Câu 5:

ABDC

ACBD
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
.
uuu
r uuu
r
ABCDEF
O
AB = FO
Cho lục giác đều
và
là điểm thỏa mãn
. Mệnh đề nào sau đây sai?
O
ABCDEF
O
FC
A.
là tâm của lục giác
.
B.
là trung điểm của đoạn
.
EDCO
O
ED
C.
là hình bình hành.
D.
là trung điểm của đoạn

.
D.

Câu 3:

D

M

AB

thuộc trung trực của
.
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
ABCD
MA + MB − MC = MD
M
Cho hình bình hành
. Tập hợp các điểm
thỏa mãn
là?
A. tập rỗng.
B. một đoạn thẳng.
C. một đường tròn.
D. một đường thẳng.
Cho tam giác

ABC.

Tập hợp các điểm
BC
A. trung trực đoạn
.
C. đường thẳng qua

A

M

và song song với

uuur uuuu
r
uuuu
r uuu
r
MB − MC = BM − BA

thỏa mãn

là?

B. đường tròn tâm

BC

. D. đường thẳng

A,

AB

.

bán kính

BC

.


CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – VECTO
Câu 9:

Câu 10:

Câu 11:

Câu 12:

Câu 13:

Cho hình bình hành

ABCD

, điểm

M

uuuu
r uuu
r uuur uuur
4 AM = AB + AD + AC

M

thõa mãn
. Khi đó điểm
là:
AC
AD
A. Trung điểm của
. B. Trung diểm của
.
C
AB
C. Điểm .
D. Trung điểm của
.
ABCD
ABCD
Cho tứ giác
. Tứ giác
là hình bình hành khi và chỉ khi
uuur uuur
uuur uuur
uuu

r uuur
AB = CD
AB = DC
AC = BD
AB = CD
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABC
2a
BC
M
Cho tam giác
đều cạnh
. Gọi
là trung điểm
. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuuu
r a 3
uuuu
r
uuuu
r
uuur uuuu
r

AM =
AM = a 3
AM = a
MB = MC
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
u
u
u
r
u
u
u
r
r
uuur
AB = CD
0
C
AB
D
Cho
khác và cho điểm . Có bao nhiêu điểm thỏa mãn

?
1
2
A. Vơ số.
B. điểm.
C. điểm.
D. Khơng có điểm nào.
ABCD
Cho hình bình hành
. Đẳng thức nào sau đây sai?
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuu
r uuur
AC = BD
BC = DA
AD = BC
AB = CD
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.