ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi Toán Lớp 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯU HỒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2018 – 2019

Mơn thi: Tốn - Lớp: 10
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4.0 điểm). Cho parabol (P): y = ax2 + bx – 1 (a, b là hệ số thực).

 3 11 
a) Tìm các giá trị của a, b để parabol (P) có đỉnh I   ;  .
 2 2
b) Với giá trị của a, b tìm được ở câu a), tìm giá trị của k để đường thẳng  có
phương trình y = (k + 6)x + 1 cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho trung
điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d có phương trình 4x + 2y – 3 = 0.
Câu 2 (2.0 điểm). Giải bất phương trình:

x 3 

x  2x  1 .

x 2  5x  m
 1 có nghiệm với mọi x
Câu 3 (2.0 điểm). Tìm m để bất phương trình:
2 x 2  3x  2

thuộc R.

Câu 4 (4.0 điểm). Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích
5 ha. Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh. Nếu trồng cà rốt trên
1 ha cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây
trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần
trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết
rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn.
Câu 5 (4.0 điểm).
a) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c. Tìm b, c biết m b = 4, mc = 2 và a
= 3 (trong đó mb, mc là độ dài các đường trung tuyến qua đỉnh B, C của tam giác).
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho tam giác ABC, biết A(5; 4), B(3; -2), C(1; -5).
uuur uuur uuuu
r
Tìm tọa độ điểm M trên trục hồnh sao cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất.
 y 2  ( y  3) x  4 y  3
Câu 6 (3.0 điểm). Giải hệ phương trình sau:  3
 2 x  2  5 2  y 12
Câu 7 (1.0 điểm). Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a3
b3
c3 a b c
 3 
   .
b3
c
a3 b c a
----------------HẾT---------------Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: ...................................... Số báo danh: ................
Chữ ký giám thị coi thi số 1:
Chữ ký giám thị coi thi số 2:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯU HỒNG
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2018 – 2019

Mơn thi: Tốn - Lớp: 10

I. Hướng dẫn chung
1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như
hướng dẫn quy định.
2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai
lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Ban chấm thi.
3. Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm.

II. Đáp án và thang điểm
Câu

Đáp án

Điểm

3
 b




 2a
2
 3 11 
a) Vì (P) có đỉnh I   ;   nên 
 2 2
 f   3    11
2
  2 
b  3a
a  2
 
 
. Vậy a = 2, b = 6
3
a

2
b

6

0
b

6



1,0

1,0

b) Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình:
Câu 1
(4,0 điểm)

hay phương trình: 2x2 -

có hai nghiệm phân biệt
kx - 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt

có

Khi đó, giao điểm

,

đoạn

.
, nên trung điểm của

là

.

 k k 2  6k  4 
Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = k/4 nên I  ;

4

4

nên k2 + 8k - 2 = 0  k  4  3 2 là giá

Do I thuộc đường thẳng
trị thỏa mãn bài toán.

 2 x  1 0
1


x 
2

a)  2 x  1  x  x  3   x 0

 (2 x  1) x 2  x
2

 ( 2x  1  x ) x  3
1

 x 2
1
1
Câu 2

  x 2
  x 2
 2

 2
(2,0 điểm)   2  x 0
 ( 2 x  1) x ( 2  x ) 2
 2 x 2  x 4  4 x  x 2
 x 2  3x  4 0


1
1
  x 2
 2
  x 1 . Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm [1/2; 1].
2
  4  x 1
Ta có: 2x2 - 3x + 2 > 0, với x  R nên:

x2  5x  m

1,0

 1  x  5 x  m  (2 x  3x  2)  3x  2 x  m  2  0 (*)
Câu 3
2
2
x

3
x

2

(2,0 điểm)
Để BPT đã cho có nghiệm với x  R  (*) có nghiệm với x  R  ’ ≤ 0 (Vì a =
3 > 0)  1 - 3(m + 2) ≤ 0  m ≥ -5/3. Vậy m ≥ -5/3 làm giá trị thỏa mãn bài toán.
2

2

2

1,0

1,0

0,5

0,5

1,0
1,0


Giả sử trồng x (ha) cà rốt và y (ha) khoai tây.
Điều kiện: x  0, y  0 và x  y  5
Số phân vi sinh cần dùng là: 3 x  5 y (tấn). Ta có

3x  5 y  18

Số tiền thu được là T  50 x  75 y (triệu đồng).

1,0

 x  0, y  0

Câu 4
x, y thoả mãn:  x  y  5
Ta
cần
tìm
(4,0 điểm)

3 x  5 y  18


(I)

1,0

sao cho T  50 x  75 y đạt giá trị lớn nhất.
Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền đa giác OABC (Kể

 18   7 3 
, B  ; , C (5;0) .
 5  2 2

cả tứ giác, như hình vẽ), với O(0; 0), A  0;

1,0

Vì biểu thức T  50 x  75 y đạt giá trị lớn nhất chỉ tại các đỉnh của miền đa giác nên

7 3
2 2

ta thấy T lớn nhất tại đỉnh B  ; . Vậy để lãi nhất khi x = 3,5 ha, y = 1,5 ha.

1,0

 2 a 2  c 2 b2
 mb  2  4
a) Theo công thức: 
2
2
2
 m2 a  b  c
 c
2
4

0,5

9  c2 b2

16



  b 2  2c 2 46
2
4
 2

Theo giả thiết ta có hệ: 
2
2
2
9

b
c
4 
 2b  c  2


2
4

0,5

Câu 5
 b 2 14
(4,0 điểm)   2

0,5

 c 30
 b  14
 c  30

Vì b, c dương nên 

0,5

uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
b) Gọi G là trọng tâm của ABC  G(3; -1). Ta có MA  MB  MC  3MG , với mọi
điểm M.
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
Suy ra MA  MB  MC  3 MG . Khi đó MA  MB  MC nhỏ nhất  MG nhỏ
nhất  M là hình chiếu của G trên trục hoành  M(3; 0).
x  R
Điều kiện: 
. Từ phương trình (1)  (y – 3)(x + y – 1) = 0  y = 1 – x (Vì y 
y  2
2)
Với y = 1 – x thay vào (2), ta được: 2 3 x  2  5 x  1  12
Câu 6
x  2 1
x 1 4
(3,0 điểm)  2( 3 x  2  1)  5( x  1  2)  0  2.
 5.
0
3

x 1  2
( x  2) 2  3 x  2  1

2

 ( x  3) 
2
 3 ( x  2)  3 x  2  1



5
  0  x = 3. Vậy hệ có nghiệm (3; -2)
x 1  2 


1,0
1,0

1,0

2,0


Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương, ta được:

a3
a3

 1  33

3
3
b
b
Tương tự, ta có:

a3 a3
a
. 3 .1  3. (1)
3
b
b
b

b3
b3
b

 1  3. (2),
3
3
c
c
c

0,25

c3
c3
c


 1  3. (3)
3
3
a
a
a

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3), ta được:
Câu 7

(1,0 điểm) 2 

a3
b3
c3 
a b c



3

3

    (*)
3
3 
 b3
c
a

b c a



Mặt khác

a3
b3
c3
 3 
 3 (**)
b3
c
a3

Cộng vế với vế của (*) và (**), ta được:
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

0,25

0,25

a3
b3
c3 a b c


   (Đpcm)
b3
c3

a3 b c a

0,25