toan_5_5651

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DẠY HỌC MƠN TỐN CẤP 3
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ta đã biết rằng bài toán tìm điều kiện về tính chất nghiên cứu phương trình,
bất phương trình thường xuất hiện trong các kỳ thi đại học và khi chương sách
giáo khoa bỏ định lý đảo về dấu tam thức bậc hai thì bài tốn thuộc tuyến truên
mất đi một công cụ để giải. Tuy nhiên nếu phân tích vấn đề một cách cẩn thận thì
tuyến vẫn đề đó có thể giải quyết bằng phương pháp cực trị tương đối hiệu quả.
Và thực tế giải bằng phương pháp cực trị cho lời giải rõ ràng, ngắn gọn hơn. Mặt
khác hướng dẫn học sinh bằng phương pháp đó phát triển cho học sinh nhiều
phẩm chất tư duy như phát triển tương khái quát hoá, tư duy hàm, tư duy phân
tích tổng hợp… từ việc phân tích ở trên tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu “Sử
dụng phương pháp cục trị để xét phương trình, bất phương trình”.
II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
A. Lý thuyết
1. Phương trình

f(x) = m có nghiệm trên D

 min f ( x)  m  max f ( x)
D
D

2. Bất phương trình

f(x)  m có nghiệm trên D

<=> m  max f ( x)
D

3. Bất phương trình :

f(x)  m có nghiệm đúng x+D

<=> m  min f ( x)
D

4. Bất phương trình :

f(x)  m vô nghiệm trên D
1


<=> m  max f ( x)
D

5. Bất phương trình

m > f(x) có nghiệm x+ D

<=> m  min f ( x )
D

6. Bất phương trình :

f(x) > m có nghiệm đúng x+D

<=> m  max f ( x)
D

7. Bất phương trình :

m > f(x) vơ nghiệm trên D

<=> m  min f ( x)
(Với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên D)
B. Bài tốn
Bài tốn 1: Tìm m để phương trình x 2 – 2x = m có nghiệm x  [ 0; 1]
Giải:

Xét hàm số f(x) = x 2 – 2x
Là hàm số liên tục trên [0;1] từ bảng biến thiên của hàm số f(x) trên [0;1]
Ta có :

maxf(x)
[0 ; 1]

= 0 ; min f(x) = - 1
[0; 1]

Vậy điều cận cần và đủ để phương trình có nghiệm trên [0; 1] là 1 m0
Bài tốn 2: Tìm m để bất phương trình 4x – x2  m nghiệm đúng x  [0; 5]
Giải: Xét hàm số f(x) = 4x – x2 là hàm số bậc hai, biến x:

2


Có 

b
 4 Ta có f(0) = 0; f(4) = 0; f(5) = -5
2a

Bất phương trình nghiệm đúng x  [0; 5]
Đáp số : m  - 5
Bài toán 3: Tìm điều kiện cho m để bất phương trình mx4 – 4x + m  0 nghiệm
đúng xR
Giải vắn tắt :
Bất phương trình

 m

4x
 g ( x)
x 1
4

Bằng phương pháp đạo hàm xét hàm
G(x) =

4x
;
x 1
4

Ta có : max g ( x)  4 27
R

Do đó bất phương trình nghiệm đúng xR điều kiện cần và đủ là :
m  max g ( x)  4 27
R

Đáp số : m  4 27
Tìm tất cả các giá trị của m để x [0; 2] đều là nghiệm của bất

Bài toán 4:
phương trình
log 2

x 2  2 x  m  4 log 4 ( x 2  2 x  m)  5

Giải : Điều kiện ( x 2  2 x  m)  1

3


Bất phương trình  log 2 x 2  2 x  m  4 log 4 ( x 2  2 x  m)  5
Đặt t = log 4 ( x 2  2 x  m)  5; t  0
Bất phương trình trở thành : t2 + 4t – 5  0  - 5  t  t
Kết hợp với t  0 Ta có : 0  t  1
Suy ra :

0  log 4 ( x 2  2 x  m)  1

x 2  2x  m  1

x 2  2x  1 m




2

x 2  2x  4  m

x  2x  m  4

Bất phương trình nghiệm đúng x  [0; 2] khi và chỉ khi
min ( x 2  2 x)  1  m
[ 0; 2 ]

y
2

max( x  2 x)  4  m
[ 0; 2 ]

1  1 m



(Xem hình bên)
0  4m

2m4

0
-1

Bài tốn 5: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm
X 3 + 3x2 – 1  a ( x  x  1)

4

3

(1)

2

x


Giải vắn tắt:
+ Do

3

3

2

x  x  1  0 nên (5)  (x + 3x – 1) ( x  x  1)  a

(2)

TXĐ của (2) là : x  1
+ Hai hàm số : f(x) = x 3 + 3x2 –1 và g(x) =

x  x  1 đều dương và đống

biến khi : x  1 => Hàm số h(x) = x3 + 3x2 –1 ( x  x  1) 3

Đồng biến khi x  1 => min
h( x)  h(1)  3
x 1
Vậy (2) có nghiệm khi và chỉ khi : a  min h(2)  3
x 1

Đáp số : a  3
Bài toán 6: Cho hàm số f(x) = (m – 1) 6x -

2
 2m  1 tìm m để bất phương trình
6x

(x – 61-x) . f(x)  0 x  [0; 1]
Giải vắn tắt :
+ Với x = 1 thì bất phương trình thoả mãn khơng phụ thuộc vào m, nên chỉ
cần tìm m để bất phương trình thoả mãn x  [0; 1]
1
6

Lưu ý : h(x) = x – 61-x =x – 6 ( ( ) x
là hàm đồng biến trên [0; 1] và h(1) = 0
=> h(x) < 0 x  [0; 1]
Do đó chỉ cần tìm ra m để g(x)  0 x  [0; 1]

5


m=

1 2
t  t  1  g (t )
2

Ta có :

g(-1) = 1/2 ; g(1) = -3/2 ; g(1/4) = -39/32
1
2

=> max g (t )  ; min g (t )  
[ 1;1]

[ 1;1]

3
2

Đáp số :   m 

3
2

1
2

CÁC BÀI TỐN TỰ GIẢI
Bài 1: Tìm m để phương trình: x2 – mx + 2m – 1 = 0
Có nghiệm x  (0; 1)
Bài 2: Tìm a để bất phương trình sau nghiệm đúng x R

(x2 + 4x + 3) (x2 + 4x + 6)  a
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm
Phân biệt [0; 2]
4x

2

2 x

 2x

2

 2 x 1

m  0

Bài 4: Tìm m để phương trình
x4 - 2x3 + mx2 – 2x + 1 = 0 có nghiệm x(0; 1)
Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm
x4 + 4x3 + (m+4)x2 + 2mx2 + 2m  0
9


III. KẾT LUẬN
Trên đây là một sáng kiến nhỏ của chúng tơi mong các bạn đồng nghiệp
góp ý, bổ sung cho đề tài hoàn thiện hơn.
Nghi Lộc, ngày 20 tháng 5 năm 2009
Người thực hiện

Nguyễn Văn Nho

10