100 cau trac nghiem so phuc van dung cao

Giaovienvietnam.com

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC
VẬN DỤNG CAO
(C)

z = x − 1 + yi ( x, y ∈ ¡ )
là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức
,
thỏa
z =1 N
z0 = 1 − i
(C)
MN
M
mãn
và
là điểm biểu diễn số phức
. Tìm điểm
thuộc
sao cho
có độ dài lớn nhất.

Câu 1. Gọi

M ( 1;1)

A.

.

B.

1 3
M  ;
÷
÷
2 2 

.

C

M (1;0 )

.

D.

M ( 0;0 )

.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
M ( x; y )

Ta có:

( C ) : ( x − 1)

Do

nên
MN

. Vậy

MN

điểm

Câu 2. Gọi

trên

(C)

. Tâm

có độ dài lớn nhất khi

MN

là đường kính, hay

I (1;0)

là trung

M (1;1)

Lời bình: đây là bài tốn tọa độ lớp
M

I ( 1;0 )

+ y2 = 1

nằm trên đường tròn

N ( 1; −1) ∈ ( C )

điểm của

2

sao cho

MN

10

, khi cho một đường trịn

(C)

và một điểm

N

. Tìm

đạt min, max.

(C)

z = x − 1 + yi

( x, y ∈ ¡ )

là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức
,
thỏa
z =1
z 0 = 5 + 3i M
(C )
N
mãn
và
là điểm biểu diễn số phức
.
là một điểm thuộc
sao cho
MN
MN
có độ dài lớn nhất. Khi đó độ dài
lớn nhất bằng
A.

6

34
.

B.

3 5
.

C
Hướng dẫn giải

Chọn A.

.

5

D. .


M ( x; y )

Ta có:

Câu 3. Gọi

+ y =1
2

nằm trên đường tròn

N ( 5;3)

Do

( C ) : ( x − 1)

Giaovienvietnam.com
2

(C)

nằm ngoài

nên

MN

. Tâm

I (1;0)

MN = NI + R = 5 + 1 = 6

có độ dài lớn nhất khi

(C)

.

( x, y ∈ ¡ )

z = x − 1 + yi

là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức
,
thỏa
z =1
z 0 = 5 + 3i M
(C)
N
mãn
và
là điểm biểu diễn số phức
.
là một điểm thuộc
sao cho
MN
MN
có độ dài bé nhất. Khi đó độ dài
bé nhất bằng
6

A.

34
.

B.

3 5
.

C

.

D.

4

.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
M ( x; y )

Ta có:
Do

nằm trên đường trịn

N ( 5;3)

(C)

nằm ngồi

nên

MN

có độ dài bé nhất khi

I ( 1; 0 )

. Tâm

MN = NI − R = 5 − 1 = 4

thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

z1 − z2

.

A.

5
2

.

z1 + 5 = 5; z2 + 1 − 3i = z2 − 3 − 6i

z1 ; z2
Câu 4. Cho hai số phức

( C ) : ( x − 1) 2 + y 2 = 1

B.

121
6

C.

25
6

D.

49
6

Lời giải
Chọn A
z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i (a1 , b1 , a2 , b2 ∈ ¡ )
Gọi

.

z1 + 5 = 5 ⇔ ( a1 + 5) + b12 = 25
2

Khi đó

.
I ( −5; 0 ) ; R = 5

z1
Tập hợp điểm biểu diễn

là đường tròn tâm


Giaovienvietnam.com
Cũng theo giả thiết, ta có:
z2 + 1 − 3i = z2 − 3 − 6i ⇔ ( a2 + 1) + ( b2 − 3) = ( a2 − 3) + ( b2 − 6 )
2

2

2

2

⇒ 8a2 + 6b2 − 35 = 0.
∆ : 8 x + 6 y − 35 = 0

z2
Tập hợp điểm biểu diễn là đường thẳng
−5.8 − 35 15
d ( I , ∆) =
= ⇒ d ( I, ∆) > R
2
82 + 6 2

⇒ min z1 − z2 = d ( I , ∆ ) − R =

5
2

.

z+1 + z−1 = 4
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn

m = min z
. Gọi

M = max z
và

khi đó

M .n

bằng

A.

2

2 3
.

B.

.

C.

2 3
3

3
.

D.

M = max z + 1+ i

z − 2 − 3i = 1

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn

(M

2

+ n2

.

. Gọi

m= min z + 1+ i

,

. Tính

)

giá trị của biểu thức
A.

28

B.

24

C.

26

D.

20

z1
Câu 7. Kí hiệu

là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình

tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức
M ( −2;1)

A.

M ( 3; − 2 )

.

B.

Câu 8. Cho hai số phức
z1 − z2

?

thỏa mãn

3
w = ( 1 + 2i ) z1 − i
2

.

C.

M ( 2;1)

.

D.

z2 = iz1
và

. Trên mặt phẳng

?

M ( 3; 2 )

z1 + 1 − i = 2

z1 , z2

4 z 2 − 16 z + 17 = 0

. Tìm giá trị nhỏ nhất

.

m

của biểu thức


Giaovienvietnam.com
A.

m = 2 − 1.

B.

m = 2 2.

C.

m = 2.

D.

m = 2 2 − 2.

Lời giải
Chọn D.
z1 + 1 − i = 2

Do

M1

nên điểm biểu diễn
z2 = iz1

nên điểm

quay

900

của thuộc đường tròn tâm

M2

Do

I ( −1;1)

z1

z2

(điểm biểu diễn của

M1

) là ảnh của

z1 − z2 = M 1 M 2 = 2OM 1

. Suy ra

bán kính

R=2

.

O

qua phép quay tâm

, góc

OM 1

ngắn nhất khi

ngắn nhất.

min OM 1 = R − OI = 2 − 2

Ta có:

.

(

)

m = 2 2− 2 = 2 2 −2

Vậy:

.

Đề xuất
z1 + 1 − i = 2

Do

M1

nên điểm biểu diễn

I ( −1;1)

z1

của thuộc đường trịn tâm

bán kính

(

)

R=2

z1 − z2 = z1 − iz1 = ( 1 − i ) z1 = 2 z1 = 2OM ≥ 2 ( R − OI ) = 2 2 − 2 = 2 2 − 2
.

(Vẽ hình thể hiện mơ tả cho phần đánh giá)

Câu 9. Tính mơđun của số phức

z

3 z. z + 2017( z + z ) = 48 - 2016i
thỏa mãn
z = 2020

z =4

A.

.

B.

z = 2017

.
Lời giải

C.

Chọn A.
- Đặt

z = a + bi (a, b ẻ Ă ) ị z = a - bi

.

3 z.z + 2017( z + z ) = 48 - 2016i
- Ta có:
Û 3(a 2 + b 2 ) + 4034b.i = 48 - 2016i Þ a 2 + b 2 = 16

z =2

.

D.

.


Giaovienvietnam.com
z = a 2 + b2 = 4
- Vậy

. Chọn A.
z + 2 z.z - 3 = 0.

z

Câu 11: Tính môđun của số phức thỏa mãn
3
3
z=
z=
2
2
A.
.
B.
.

Câu 12: Số số phức

z

thỏa mãn đẳng thức:

1
A. .

B.

Câu 13: Cho số phức

z

2

z =1

z =3

C.
.
D.
1
1
2
z + ( z - z) = 1+ ( z + z ) i
2
2

.

C.

3

.

D.

.

là

4

.

z −1 = 2
thỏa mãn điêu kiện

. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

T = z +i + z −2−i

A.

max T = 8 2

.

B.

max T = 8

.

C.

max T = 4 2

Hướng dẫn giải
Chọn C
z = x + yi ( x, y Ỵ ¡

Đặt

)
, ta có:

z - 1 = 2 Û x- 1+ yi = 2
2

Û ( x- 1) + y2 = 2 Û x2 + y2 = 2x + 1( *)
T = z + i + z − 2 − i = x + ( y + 1) i + x − 2 + ( y − 1) i

Lại có:
2

= x2 +( y + 1) +

( x- 2)

2

+( y- 1)

2

= x2 + y2 + 2y + 1+ x2 + y2 - 4x- 2y + 5

.

D.

max T = 4

.


Giaovienvietnam.com

( *)
Kết hợp với

, ta được:

T = 2x + 2y + 2 + 6- 2x- 2y

Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được
é

( 1 +1 ) êê(

2

T£

2

ë

max T = 4

Vậy

) (
2

2x + 2y + 2 +

2ù
6- 2x- 2y ú= 4
ú
û

)

.

z = 2
Câu 14 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Xét các số phức z thỏa mãn
. Trên mặt

phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn của các số phức
bán kính bằng

34.

A.

B. 26.

w=

4 + iz
1 + z là một đường trịn có

C. 34.

26.

D.

Lời giải
Chọn A

Ta có
Đặt

w=

4 + iz
⇒ w(1 + z ) = 4 + iz ⇔ z ( w − i ) = 4 − w ⇒ 2 w − i = 4 − w

1+ z

w = x + yi ( x, y ∈ ¡

)

2. x 2 + ( y − 1) =

( x − 4)

2

Ta có

2

+ y 2 ⇔ 2 ( x 2 + y 2 − 2 y + 1) = x 2 − 8 x + 16 + y 2

⇔ x 2 + y 2 + 8 x − 4 y − 14 = 0 ⇔ ( x + 4 ) + ( y − 2 ) = 34
2

2

34

Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường trịn có bán kính bằng

M

Câu 15: Gọi

khác

A.

0

và

m

P=

z +i
z

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
z ≥2

và thỏa mãn

3
2M − m = .
2

. Tính

B.

với

z

là số phức

2 M − m.

5
2M − m = .
2

C.

2 M − m = 10.

D.

2M − m = 6.


Giaovienvietnam.com
Lời giải
Chọn B.

P = 1+
Ta có

i
1 3
i
1 1

≤ 1+
≤ .
1+ ≥ 1−
≥ .
z
| z| 2 Mặt khác:
z
| z| 2

1
3
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P  là 2 , xảy ra khi z = −2i ;  giá trị lớn nhất của P bằng 2 xảy ra

khi z = 2i. ⇒

5
2M − m = .
2

z = 1.
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn
Gọi M và mlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

P = z + 1 + z2 − z + 1.

Tính giá trị của M .m.

39

.
B. 4

13 3
.
A. 4

13
.
D. 4

C. 3 3.

z −3 + z +3 = 8
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
z.
A.

Khi đó M + m bằng

4 − 7.

B. 4 + 7.

D. 4 + 5.

C. 7.

w2 + 4 = 2 w

P = 8 ( x 2 − y 2 ) + 12
Câu 18: Cho số phức w = x + yi ( x, y ∈ R )  thoả điều kiện
. Đặt
.
Khẳng định nào sau đây đúng

A.

(

2

P =− w −2

)

2

B.

(

2

P =− w −2

)

2

. C.
Lời giải

P = ( w − 4)

2

.

D.

(

2

P = w −4

)

2

.

Chọn B.

(

)

(

2

w2 + 4 = 2 w ⇔ x 2 − y 2 + 4 + 2 xyi = 2 x + yi ⇔ x 2 − y 2 + 4 + 4 x 2 y 2 = 4 x 2 + y 2

Ta có:

)

⇔ x 4 + y 4 + 16 + 2 x 2 y 2 + 4 x 2 − 12 y 2 = 0 ⇔ x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2 − 4 x 2 − 4 y 2 + 4 + 8 ( x 2 − y 2 ) + 12 = 0

(

)

⇔ 8 ( x 2 − y 2 ) + 12 = − ( x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2 − 4 x 2 − 4 y 2 + 4 ) ⇔ P = − ( x 2 + y 2 − 2 ) = − w − 2 .
2

2

2


(

2

P =− w −2

Hay phương án chọn là B.

)

Giaovienvietnam.com
2

.

w = w.
Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì
Câu 19: Cho số phức w = x + yi ( x, y ∈ R ) thoả điều kiện
P = 8( x 2 − y 2 ) − 12
. Khẳng định nào sau đây đúng
2

2

P = ( w − 2) 2
A.

. Đặt

(

)

P = 8 x 2 − y 2 + 12

(

2

P = ( w + 2)2
B.

w2 − 4 = 2 w

P = ( w + 4) 2
.

C.

D.

2

P = w −4

)

2

.

Nhận xét: bài này chỉ có thể thay số 4 thành -4; 12 thành -12 chứ thay nữa hoặc làm tương tự
rất khó khăn vì cặp số (2;4) trong bài quá giá trị không thể thay thế.

Câu 20: Cho

w = sin α + i cos α

(

0 <α <

với
2

P = 26 w − 3
Giá trị của
A.

P = 232018.

B.

P = −232018.

)

π
2

w2 +1 = 2 w
thỏa mãn

.

2018

là
C.

P = 232018 i.

D.

P = 292018.

Hướng dẫn giải
Chọn A

w 2 + 1 = ( sin α + i cos α ) + 1 = 1 − cos 2α + i sin 2α ⇒ w 2 + 1 = 2 − 2 cos 2α .
2

Ta có:

2 w = sin 2 α + cos 2 α = 2
.

Từ giả thiết:

⇒w=

π
w 2 + 1 = 2 w ⇒ cos 2α = 0 ⇔ α = 4
2
2
2
2

2
+i
⇒w=
−i
⇒ w =1
2
2
2
2

0 <α <

vì

.

π
2

.


Giaovienvietnam.com
P = 23

2018

Vậy

.

2 z − i = 2 + iz

z1 , z2
Câu 21: Cho

là hai số phức thỏa mãn phương trình
P = z1 + z2
của biểu thức:
.
3
2
P=
P=
P= 2
2
2
A.
.
B.
.
C.
.

z1 − z2 = 1

, biết

Tính giá trị

D.

P= 3

.

Lời giải
Chọn D.
2

2

2 z − i = 2 + iz ⇔ 2 z − i = 2 + iz ⇔ (2 z − i )(2 z + i ) = (2 + iz )(2 − i z )

HD: Cách 1. Ta có:

⇔ 4 z.z + 2iz − 2iz − i 2 = 4 − 2iz + 2iz − i 2 z.z ⇔ 3z.z = 3

M

y
2

z2 = 1

⇔ z.z = 1 ⇔ z = 1 ⇒ z = 1 ⇒ z1 = 1

M2

và

2

a.a = a 2 ⇒ 2 z − i = (2 z − i )(2 z − i ) = (2 z − i)(2 z + i)

Chú ý:
O

z1 , z2
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
bán kính

R =1

là đường trịn tâm O

.

M 1 ( z1 ), M 2 ( z2 ) ⇒ OM 1 = OM 2 = 1
Gọi
uuuur uuuuu
r uuuuuur
z1 − z2 = OM 1 − OM 2 = M 2 M 1 = 1 ⇒ ∆OM 1M 2
Ta có:

đều

uuuur uuuuu
r uuuu
r
z1 + z2 = OM 1 + OM 2 = OM = OM

Mà

với M là điểm thỏa
OM 1MM 2

mãn

là hình thoi cạnh 1

⇒ OM = 3 ⇒ P = 3

.

M1

x


z = x + yi,

Giaovienvietnam.com

( x, y ∈ ¡ )

Cách 2. Đặt

2 z − i = 2 x + (2 y − 1)i

, ta có

2 + iz = 2 − y + xi

và

.

Khi

đó:

 z1 = 1
2 z − i = 2 + iz ⇔ 4 x 2 + (2 y − 1) 2 = ( y − 2) 2 + x 2 ⇔ x 2 + y 2 = 1 ⇒ z = 1 ⇒ 
 z2 = 1
2

2

(

2

z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + z2

2

) ⇒ z +z
1

2
2

= 3 ⇒ z1 + z2 = 3

Sử dụng công thức
D.

. Chọn
iz 3 − 2 z 2 +( 1−i ) z +i = 0

z1 ; z2 ; z3
Câu 22: Gọi

là các nghiệm của phương trình

z1
. Biết

là số thuần ảo.

P = z2 − z3

Đặt
A.

4< P < 5

, hãy chọn khẳng định đúng?
.

B.

2< P < 3

.

C.

3< P < 4

.

D.

1< P < 2

.

Lời giải
Chọn

B.

z =−i

iz − 2 z +( 1−i ) z +i =0 ⇔ ( i + z ) ( iz − z +1) = 0 ⇔ iz 2 − z +1=0 (*)
3

Biến đổi phương trình

2

2

.

z2 ; z3
Như vậy:

là các nghiệm của phương trình (*).
2

P 2 = z2 − z3 = ( z2 − z3 ) = ( z2 + z3 )
2

2

2

1
1
=  ÷ − 4. = 17
− 4 z2 z3  i 
i
.

P = 4 17
Vậy

.

z − 1 = z + 3 − 2i ω = z + m + i
m∈¡
z ω
Câu 23: Cho hai số phức ,
thỏa mãn
;
với
là tham số. Giá

trị của

A.

m

m ≥ 7
m ≤ 3


ω ≥2 5
để ta ln có

.

là:

B.

m ≥ 7
 m ≤ −3



.

C.
Lời giải

−3 ≤ m < 7

.

D.

3≤ m ≤7

.


Giaovienvietnam.com
Chọn B.
z = a + ib, ( a, b ∈ ¡

)

Đặt

M ( x; y )

có biểu diễn hình học là điểm

z − 1 = z + 3 − 2i ⇔ x − 1 + iy = x + 3 + ( y − 2 ) i ⇔

( x − 1)

2

+ y2 =

( x + 3)

2

+ ( y − 2)

2

⇔ −2 x + 1 = 6 x + 9 − 4 y + 4 ⇔ 2 x − y + 3 = 0

Suy ra biểu diễn của số phức

z

∆ : 2x − y + 3 = 0
là đường thẳng

.

ω ≥ 2 5 ⇔ z + m + i ≥ 2 5 ⇔ x + m + + ( y + 1) i ≥ 2 5
Ta có:

( x + m)

⇔

2

+ ( y + 1) ≥ 2 5 ⇔ MI ≥ 2 5

I ( − m; −1)

2

với

.

MI ≥ d ( I , ∆ )

Mà ta có

Nên

MI ≥ 2 5 ⇔ d ( I , ∆ ) ≥ 2 5

 −2m + 4 ≥ 10
 m ≤ −3
⇔
⇔
 −2m + 4 ≤ −10
m ≥ 7

Câu 24:

Cho số phức
P = a+b
.
A.

−3

z = a + bi

.

Chọn C.
z = a + bi ⇒ z = a − bi

B.

⇔

−2m + 4
5

≥2 5

⇔ −2m + 4 ≥ 10

.

( z + 1 + i ) ( z − i ) + 3i = 9

( a ,b ∈ ¡ )
thỏa mãn

−1

.

1
C. .
Lời giải

z >2
và

D.

2

.

. Tính


( z + 1 + i ) ( z − i ) + 3i = 9 ⇔ ( a + bi + 1 + i ) ( a − bi − i ) + 3i = 9

Giaovienvietnam.com

⇔ a 2 + b 2 + 2b + a + 1 − ( b + 1) i = 9 − 3i

 a 2 + b 2 + 2b + a + 1 = 9
b = 2
b = 2 b = 2
⇔ 2
⇔
∨

b + 1 = 3
a + a = 0
a = 0 a = −1

Ta có:
z1 = 2i ⇒ z1 = 2

.

nên khơng thỏa yêu cầu bài toán.
z2 = −1 + 2i ⇒ z2 = 2 2 + 12 = 5
thỏa yêu cầu bài toán.
P = a +b =1
Vậy
.
z − 3 − 4i = 5

M,m
thỏa mãn
. Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
2

2
P = z +2 − z −i
w = M + mi
nhất của biểu thức
. Khi đó modun của số phức

Câu 25: Cho số phức

z

2 314

1258

3 137

2 309

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lờigiải
Chọn B.
2
2

z = x + yi ( x, y ∈ R )
z − 3 − 4i = 5 ⇔ ( x − 3) + ( y − 4 ) = 5
Giả sử
ta có
P = 4 x + 2 y + 3 ⇔ 4 ( x − 3) + 2 ( y − 4 ) = P − 23
Ta có
2
2
2
 4 ( x − 3) + 2 ( y − 4 )  ≤ 20 ( x − 3) + ( y − 4 )  = 100


Ta có
M = 33, m = 13
−10 ≤ P − 23 ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33
w = 33 + 13i
Suy ra
suy ra
do đó ta được
w = 1258
vậy
.
z = z + 4 − 3i
z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )
Câu 26: Biết số phức
,
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
và biểu
P = z + 1 − i + z − 2 + 3i
P = x + 2y

thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
.
P=−

A.
Lời giải

61
10

Chọn A .

P=−

.

B.

253
50

P=−

.

C.

41
5

P=−

.

D.

18
5

.


Giaovienvietnam.com

z = z + 4 − 3i ⇔ x + yi = ( x + 4 ) − ( y + 3) i

Theo giả thiết

⇔ x2 + y2 =

( x + 4)

2

+ ( y + 3)

2

⇔ x 2 + y 2 = x 2 + 8 x + 16 + y 2 + 6 y + 9

⇔ 8 x + 6 y + 25 = 0
.

P=

( x + 1)

2

+ ( y − 1) +
2

( x − 2)

2

+ ( y + 3)

2

Ta có
E ( −1;1)

Xét điểm

F ( 2; −3)

M ( x; y )

;

và

. Khi đó,

P = ME + MF

M ∈ ∆ : 8 x + 6 y + 25 = 0

Bài tốn trở thành tìm điểm

sao cho

( 8 xE + 8 yE + 25) .( 8 xF + 8 yF + 25 ) > 0
Vì
thẳng
Gọi

∆

E′

.

ME + MF

đạt giá trị nhỏ nhất.

E, F

nên hai điểm

nằm cùng phía đối với đường

.
là điểm đối xứng với

E

qua

∆

r
r
nEE′ = u∆ = ( 3; −4 )

E ( 1; −1)

EE ′

Đường thẳng
đi qua điểm
và có VTPT
3 ( x + 1) − 4 ( y − 1) = 0 ⇔ 3 x − 4 y + 7 = 0

nên có phương trình

∆

H
EE ′
là giao điểm của
và . Tọa độ điểm
là nghiệm của hệ phương trình
71

 x = − 25
⇔
3 x − 4 y = −7
 71 19 
 y = 19
H ; ữ

8
x
+
6
y
=

25

50
25 50

suy ra

Gi

EÂ

H

i xứng với

E

qua

H

nên

117

 xE ′ = − 25

 y ′ = − 44
 E
25

.


Giaovienvietnam.com

ME + MF = ME ¢+ MF ³ E ¢F
Ta có

.
⇔M

E ¢F

∆
và đường thẳng
r
F ( 2; −3)
nEE ′ = ( 31;167 )
E ′F
Đường thẳng
đi qua điểm
và có VTPT
có phương trình
31( x − 2 ) + 167 ( y + 3) = 0 ⇔ 31x + 167 y + 439 = 0

Dấu bằng xảy ra

Tọa độ điểm

M

là giao điểm của

là nghiệm của hệ phương trình

P = x + 2y = −

Vậy

61
10

67

 x = − 50
⇔
31x + 167 y = −439
 y = − 119

8
x
+
6
y
=
−
25

50


.
z − 1 + 2i = z + 1 + 2i

z1 , z2

Câu 27: Gọi
là 2 nghiệm của phương trình

thỏa mãn
w − 3 − 2i = 2
z1 − z2 = 2
w
. Biết rằng
là số phức thỏa mãn
. Tìm GTNN của biểu thức
P = w − z1 + w − z2
.
A.

1+ 3

2 3
B.

C.

2

6
D.

.

Lời giải.
Chọn D .
z = x + yi ( x, y ∈ R )
z − 1 + 2i = z + 1 + 2i ⇔ x = 0
Giả sử

ta có
suy ra tập hợp điểm biểu diễn

z1 , z2
là trục tung.

z1 , z2

A, B

Giả sử

lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho

, ta có

z1 − z2 = 2 ⇔ AB = 2

.


Giaovienvietnam.com

w = a + bi ( a, b ∈ R )

Giả sử

và

M

là điểm biểu diễn cho số phức

⇔ (a − 3) + (b − 2) = 4
2

2

suy ra tập hợp điểm biểu diễn

I ( 3; 2 )

bán kính

R=2

P = MA + MB

M

w

w − 3 − 2i = 2

, ta có

cho số phức

w

là đường trịn tâm

.

I
P
là hình chiếu vng góc của lên trục tung, ta thấy
nhỏ
6
6
MinP = 2.
= 6
MA = MB =
2
2
E
AB
nhất khi
là trung điểm
suy ra
, vậy

Ta có

, gọi

E

2
Câu 28: Gọi z là số phức thoả mãn z + z + 1 = 0 . Giá trị của biểu thức

2

3

4

1 
1 
1 



P = 2  z2 + 2 ÷ + 3 z3 + 3 ÷ + 4  z4 + 4 ÷
z 
z 
z 




A. 30 .

B. 14.

C. 8 .

D. 28 .

Lời giải:
Chọn A

2
Dễ thấy rằng z = 0 không thoả mãn z + z + 1 = 0 , do đó ta có

z + z +1 = 0
2

3

⇔ z+

1
1
= −1 ⇒ z 2 + 2 = −1
z
z
2

1
1
1
1 
1  2 1 
z + 3 =  z + ÷ − 3 z.  z + ÷ = 2
z 4 + 4 =  z + 2 ÷ − 2 = −1
z
z
z
z 



z
z
Ta cũng có
và
3


Giaovienvietnam.com
2

3

4

1 
1 
1 



P = 2  z 2 + 2 ÷ + 3  z 3 + 3 ÷ + 4  z 4 + 4 ÷ = 30
z 
z 
z 




Vậy

z1 z2
M1 M 2
Câu 29: Cho hai số phức ,
có điểm biểu diễn lần lượt là
,
cùng thuộc đường trịn có
z1 − z2 = 1

x2 + y2 = 1
phương trình

3
2

P=
A.

và

.

B.

P = z1 + z2

. Tính giá trị biểu thức

P= 2

P=

.

C.

2
2

.

.

D.

P= 3

.

Lời giải
Chọn D.
z1 = z2 = 1
M1 M 2
x2 + y2 = 1
Cách 1: Do
,
cùng thuộc đường trịn có phương trình
nên
.

(

)

2
z1 − z2 = 1 ⇔ z1 − z2 = 1 ⇔ ( z1 − z2 ) ( z1 − z2 ) = 1 ⇔ ( z1 − z2 ) z1 − z2 = 1

Lại có:

(

)

2

2

(

)

⇔ z1.z1 − z1.z2 + z1.z2 + z2 .z2 = 1 ⇔ z1 + z2 − z1.z2 + z1.z2 = 1 ⇔ z .z + z .z = 1
1 2
1 2
.

(

)

(

)

2
P 2 = z1 + z2 = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) = ( z1 + z2 ) z1 + z 2 = z1 + z2 + z1.z2 + z1.z2 = 3

2

2

.
Vậy

P= 3

.

O ( 0;0 )
(T)
M1 M 2
R =1
Cách 2: Do
,
cùng thuộc đường trịn
tâm
, bán kính
và
z1 − z2 = 1

M1M 2 = 1
nên

P = z1 + z2

=
)

∆OM 1M 2
. Suy ra

1
là tam giác đều cạnh bằng .

uuuur uuuuu
r
uuur
3
= 3
OM 1 + OM 2 = 2OH = 2.OH = 2.
2

( Trong đó

H

M 1M 2
là trung điểm


Giaovienvietnam.com
Câu 30:

Cho số phức

z

z −1
1
=
z + 3i
2
thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = z + i + 2 z − 4 + 7i

A.

20

.

B.

10

12 5
.

C.

4 5
.

D.

.

Lời giải
Chọn A.

( x, y ∈ ¡ )

z = x + yi
Gọi

,

.

z −1
1
=
z + 3i
2 ⇔ 2 z − 1 = z + 3i ⇔ 2

( x − 1)

2

+ y 2 = x 2 + ( y + 3)

2

Ta có
⇔ x2 + y 2 − 4 x − 6 y − 7 = 0
.
P = z + i + 2 z − 4 + 7i = x 2 + ( y + 1) + 2
2

( x − 4)

2

+ ( y − 7)

2

Lại có
= 4 x + 8 y + 8 + 2 −4 x − 8 y + 72

.

Mặt khác
Suy ra

(

4 x + 8 y + 8 + 2 −4 x − 8 y + 72

P ≤ 20

)

2

≤ 5.80 ⇒ 4 x + 8 y + 8 + 2 −4 x − 8 y + 72 ≤ 20

.

z = a + bi a b
Câu 31: Cho số phức
( , là các số thực) thỏa mãn
P = a.b
giá trị của
là?

A.

3
4

.

B.

4

.

C.
Lời giải

Chọn D.
Ta có:

2

.

z = z − 3 + 4i
và có mơđun nhỏ nhất.

D.

3

.


Giaovienvietnam.com
a + bi = a − bi − 3 + 4i ⇔ a 2 + b 2 = ( a − 3) + ( b − 4 )
2

Mô đun của số phức

z

2

⇔a=

⇔ 6a + 8b − 25 = 0

25 − 8b
6

là:

100 ( b − 2 ) + 225 15
 25 − 8b 
+ b2 =
2
2 =
≥

÷
z = a +b
 6 
36
6
2

Số phức

3
z min ⇔ b = 2 ⇒ a = 2 ⇒ P = 3

Câu 32: Trong các số phức
nhất.

A.

2

z = −1 + i

z

.

z − 2 − 4i = z − 2i

thỏa mãn điều kiện

B.

z = −2 + 2i

. Tìm số phức

.

C.

z = 2 + 2i

.

Lời giải
Chọn C.

Gọi số phức

z

z − 2 − 4i = z − 2i
z = a + bi z
có dạng
. thỏa mãn

⇔ a − 2 + ( b − 4) i = a + ( b − 2 ) i
⇔ ( a − 2) + ( b − 4) = a 2 + ( b − 2)
2

2

2

⇔ a 2 − 4a + 4 + b 2 − 8b + 16 = a 2 + b 2 − 4b + 4
⇔ 4a + 4b = 16
⇔ a+b = 4
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki.

16 = ( a + b ) ≤ ( 12 + 12 ) ( a 2 + b 2 ) ⇒ z = a 2 + b 2 ≥ 8
2

2

z ≥2 2

Dấu

=

xảy ra

a b
 =
⇔  1 1 ⇔ a = b = 2 ⇒ z = 2 + 2i
 a + b = 4

D.

z

có môđun nhỏ

3 + 2i

.


Giaovienvietnam.com
Câu 33: Trong các số phức
bằng
3 2
A.

z

z − 2 − 4i = z − 2i

thỏa mãn điều kiện

2

B. .

. Số phức

C.
Lời giải

2 2

.

z

có mơ đun bé nhất

4

D. .

Chọn C
z = x + yi ( x, y ∈ ¡

Đặt

)

z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ x + yi − 2 − 4i = x + yi − 2i

. Khi đó

⇔ ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = x 2 + ( y − 2 ) ⇔ −4 x − 4 y + 16 = 0 ⇔ x + y − 4 = 0
2

2

2

.
Số phức có mơ đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ

z min = d ( O; ∆ ) =

4
2

O

∆:x+ y−4=0

đến đường thẳng

.

=2 2
.
z1 + z2 = 5

z1 ; z2

Câu 34: Cho hai số phức

thỏa mãn

z1 − z2 = 1

và

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

P = z1 + z2

là:

26.
A.
Lời giải

Chọn A.

B.

26
.
2

C.

9.

D.

1
− .
2


Giaovienvietnam.com
z1 ; z2

M,N

Ta gọi

lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
uur 5
uuuur uuur
⇔
OI
=
⇔
OM
+
ON
=
5
z1 + z2 = 5

2

Từ giả thiết :
với

I

là trung điểm của đoạn thẳng

MN

uuuur uuur
⇔
OM
− ON = 1
z1 − z2 = 1
⇔ MN = 1

OI 2 =

Ta có

.

.

.

MN 2
OM 2 + ON 2 MN 2

⇔ OM 2 + ON 2 = 2OI 2 +
−
2
4
2 = 13

(

)(

)

2
2
2
2
2
P = z1 + z2 = OM + ON ⇒ P ≤ 1 + 1 OM + ON = 26

Pmax = 26.

. Vậy

Phân tích: Bài tập tìm max, min số phức hiện tại cũng là một bài toán quen thuộc, ta có thể
sử dụng nhiều phương pháp cho loại bài tốn này. Với bài tốn trên ta có thể dùng phương
pháp đại số, hoặc lượng giác.
z1 + z2 = 5

z1 ; z2

Câu 35: Cho hai số phức

thỏa mãn

z1 − z2 = 1

M,m

và

. Gọi

lần lượt là giá trị lớn

P = z1 + z2

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M + m.i

là :

76

A.

. Khi đó mơ đun của số phức

.

B.

76

2 10
.

C.

.

D.

2 11

.

Lời giải
Chọn A.
z1 ; z2

M,N

Ta gọi

lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
uuuur uuur

uur

z1 + z2 = 6 ⇔ OM + ON = 6 ⇔ OI = 3

Từ giả thiết :
.

.

với

I

là trung điểm của đoạn thẳng

MN


uuuu
r uuur
z1 − z2 = 2 ⇔ OM − ON = 2 ⇔ MN = 2

Giaovienvietnam.com
.

MN 2
OM 2 + ON 2 MN 2
2
2
2
⇔
OM
+

ON
=
2O
I
+
OI =
−
2
4
2 = 20.
2

Ta có

(

)(

2
2
2
2
2
P = z1 + z2 = OM + ON ⇒ P ≤ 1 + 1 OM + ON

)

= 40.

Vậy

max P = 2 10 = M .

uuuu
r uuur uuuu
r uuur
P = z1 + z2 = OM + ON ≥ OM + ON = 6

Vậy

min P = 6 = m

.

.

M + m.i = 40 + 36 = 76.

Suy ra

Câu 36: Cho số phức

z

i.z + 3 =

thỏa mãn

5
2

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

P = 2z + 1 − 4i + z − 1 − 5i

là:

2 5

3 5

A.
.
Lời giải

B. 3.

C.

.

D.

Chọn C.
M ( x; y )

Ta gọi
i.z + 3 =

Khi đó:

z
là điểm biểu diễn số phức .

5
5
2
⇔ x 2 + ( y − 3) =
2
2

. Suy ra


5
M ( x; y ) ∈ C  I (0;3); R =
÷
2÷



5
2

.


Giaovienvietnam.com
P = 2z + 1 − 4i + z − 1 − 5i

=2 z+

1
uur uuur
− 2i + z − 1 − 5i = 2 u
MA + MB
2
,

 1 
A  − ; 2 ÷; B ( 1;5 )
 2 

với

Ta có:

uu
r  1

IA =  − ; −1÷ uur
 2
 ; IB = ( 1; 2 )

suy ra

uur
uu
r
IB = −2.IA

.

5MA2 +
Theo

định

lý

Stewart

ta

có:


5
3 5 2
5
MB 2 =
. 5÷
 MI +
÷
2
2 
2


⇒ 2MA2 + MB 2 = 15

(Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ
uuur 1 uuu
r uuur 1 uuur uuur
2 uuur 1 uuur
uuu
r uuur uuur = MA + AB = MA + MB − MA = MA + MB
3
3
3
3
MI = MA + AB

(

)

Suy ra:

MI 2 =

uuur uuur
4
1
4
4
1
4
·
MA2 + MB 2 + MA.MB.cos MA, MB = MA2 + MB 2 + MA.MB.cos AMB
9

9
9
9
9
9

(

)

 MA2 + MB 2 − AB 2  2
4
1
4
2
2
1
2
= MA + MB + MA.MB 
÷ = MA2 + MB 2 − AB 2
9
9
9
2.
MA
.
MB

 3
3

9

⇒ 2MA + MB
2

2

= 3MI 2 +

uuur uuur
P = 2 MA + MB =
Vậy

(

2
AB 2
= 15
3

)

) (

2. 2.MA + MB ≤

2

)(

2 + 12 2MA2 + MB 2

)

= 45 = 3 5.

2 z − i = 2 + iz
z1 − z2 = 1
z1 z2
Câu 37: Cho ,
là hai số phức thỏa mãn
, biết
. Tính giá trị của biểu
P = z1 + z2

thức


Giaovienvietnam.com
P=
A.

3
2

.

B.

P= 2

P=
.

C.
Lời giải

2
2

.

D.

P= 3

.

Chọn D.
Cách 1.

2 z − i = 2 + iz ⇔ 2 x + ( 2 y − 1) i = ( 2 − y ) + xi
z = x + yi x, y ∈ ¡
+ Đặt
,
, ta có

4 x 2 + ( 2 y − 1) =
2

( 2 − y)

2

+ x2 ⇔ 4 x2 + 4 y2 − 4 y + 1 = 4 − 4 y + y 2 + x2

⇔ x 2 + y 2 = 1 ⇒ z = 1 ⇒ z1 = z2 = 1
2

+ Sử dụng công thức:
P= 3
Suy ra
.
Cách 2.

2

(

2

z1 + z2 + z1 − z 2 = 2 z1 + z 2

∀z1 , z2 ∈ £

2

)

ta có

iz + 2 = −i ( iz + 2 ) = z − 2i

+ Biến đổi:
2

2

2 z − i = z − 2i ⇒ 2 z − i = z − 2i ⇒ z = 1 ⇒ z1 = z2 = 1
Ta có

.

+ Sử dụng cơng thức bình phương mơ đun
mz1 + nz2 = m2 z12 + 2mnz1 z2cos ( z1 , z2 ) + n 2 z2 2
2

( z1 , z2 )
Trong đó
là góc
mặt phẳng phức

∠MON

z1 , z2
với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức

z1 − z2 = 1 ⇒ z1 − z 2 = 1 ⇒ z1 + z 2 − 2 z1 . z 2 .cos ( z1, z 2 ) = 1 ⇒ cos ( z1 , z 2 ) =
2

2

2

P 2 = z1 + z 2 = 1 ⇒ z1 + z2 + 2 z1 . z2 .cos ( z1 , z2 ) = 3 ⇒ P = 3
2

Vậy

2

2

.

1
2

.

trên


Giaovienvietnam.com
z + 2 − i = 2 z −1− i

z1 , z2
Câu 38: Cho số phức
2

P = z1 + z 2

thỏa mãn

z1 + z2 = 1 + i
và

. Tính giá trị biểu thức

2

.
A.

P=2

.

B.

P =1

.

C.

P=4

.

D.

P=9

.

Lời giải
ChọnC
z1 + 2 − i = 2 z1 − 1 − i

z1 + z2 = 1 + i

Ta có

mà

⇒ z1 + 2 − i = 2 z2

(

)

⇒ 4 z2 = ( z1 + 2 − i ) z1 + 2 + i = z1 + ( 2 − i ) z1 + ( 2 + i ) z1 + 5.
2

2

(1)

4 z1 = z2 + ( 2 − i ) z2 + ( 2 + i ) z2 + 5.              ( 2 )

2

2

Tương tự ta có
Cộng (1) và (2) ta có
4 P = P + ( 2 − i ) z1 + z2 + ( 2 + i ) ( z1 + z 2 ) + 10

= P + ( 2 − i ) ( 1 − i ) + ( 2 + i ) ( 1 + i ) + 10 = P + 12 ⇒ P = 4.
b; c (c > 0)

Câu 39: Cho hai số thực

A; B

. Kí hiệu

là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai

b
OAB
z + 2bz + c = 0
c
nghiệm của phương trình
, tìm điều kiện của và sao cho tam giác
O
là tam giác vuông ( Với
là gốc tọa độ ).
2

A.

c = b.

B.

c = b2 .

C.
Lời giải

Chọn C.
∆' = b2 − c
Ta có

c = 2b 2 .

D.

b 2 = 2c.


Giaovienvietnam.com
Z1,2 = −b ± ∆ '

∆' = b2 − c > 0 ⇒

Nếu
phương trình có hai nghiệm
hàng)

∆' = b2 − c = 0 ⇒
Nếu
phương trình có nghiệm kép (Loại)
Nếu

∆' = b2 − c < 0 ⇒

cân tại

thẳng

Phương trình có hai nghiệm
B( −b; − b 2 − c )

Vậy hai điểm biểu diễn là
Tam giác
⇔ c = 2b 2

(Loại vì

Z1,2 = −b ± i b 2 − c = −b ± i −(b 2 − c)
A(−b; b 2 − c )

OAB

O, A, B

O

và

.Vậy để tam giác

OAB

vuông

uuu
r uuu
r
2
2
⇒ OA.OB = 0 ⇔ b − b − c = 0

.

Câu 40: Cho số phức

z

z − 2 z = −7 + 3i + z

thỏa mãn

A. 3.

z

. Tính

B.

13
4

.

C.

?
25
4

.

5

D. .

Lời giải
Chọn D.
Giả sử

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

) , ta có:

z − 2 z = −7 + 3i + z ⇔ z − 2 ( x − yi ) = −7 + 3i + x + yi

 x 2 + 9 = 3x − 7 ( *)
 z − 2x = x − 7

⇔
⇔
y =3

 2y = 3+ y
7

x≥

⇔ x=4
( *) ⇔ 
3
2
2
 x + 9 = 9 x − 42 + 7
Vậy

z =5

.

z, w
Câu 41: Hcho hai số phức
P = z−w

thức

.

thỏa mãn

 z − 3 − 2i ≤ 1

 w + 1 + 2i ≤ w − 2 − i

Pmin
. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu