SỐ PHỨC vận DỤNG CAO

SỐ PHỨC MỨC ĐỘ KHÁ TRỞ LÊN
z  m 2  2m  5
Câu 1 : Cho số phức z thỏa mãn
với m là số thực. Biết rằng tập hợp điểm của số phức
w   3  4i  z  2i
là đường trịn . Tìm bán kính R nhỏ nhất của đường trịn đó .
A. R  5
B. R  10
C. R  15
D. R  20
Giải :
w  2i   3  4i  z � w  2i   3  4i  z   3  4i  z  5 �
�20
�m  1 2  4�
�
.
� w  2i �20
R  20 với tâm I  0; 2 
. Vậy đường trịn có bán kính min
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi m  1 .
Câu 2 : Cho hai số phức
.
A. P  4 6

z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z1  z2
B. P  2 26

C. P  5  3 5
D. P  32  3 2
Giải :
�

�
 a  c  2   b  d  2  100
�z1  a  bi
�a  c   b  d  i  8  6i
�
��
 a, b, c, d �� � �
�
�z2  c  di
 a  c 2   b  d  2  4 �
�
 a  c 2   b  d  2  4 .
�
Gọi :

�  a  c    b  d    a  c    b  d   104 � a 2  b 2  c 2  d 2  52
2

2

2

2

B.C .S

P  a 2  b2  c 2  d 2 �





.



12  12 a 2  b2  c 2  d 2  2 26
Mặc khác :
.
Cách 2:
z ,z
Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức 1 2 trên mặt phẳng phức và D là điểm thứ tư của hình bình
z  z � OD  z1  z2  10
hành AOBD � D là điểm biểu diễn số phức  1 2 
.
z1  z2
chính là độ dài đoạn AB .
2
2
2
�
AOB  4
�AB  OA  OB  2OA.OB.cos �
2
� 104  2 OA2  OB 2 � OA  OB 
� 2
OD  OA2  OB 2  2OA.OB.cos �
AOB  100
OAB có �
�  OA  OB  max  104  2 26 �  z1  z2  max  2 26

.





z  8  z  8  20
Câu 3 : Cho số phức z thỏa
. Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
z
. Tính P  m  n .
Giải :
z  x  yi  x, y ��
M  x; y 
Gọi
và
là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức .
Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 1


Trong mặt phẳng phức, xét các điểm
Ta có

MF1 
MF2 

 8  x 
 8  x

2

2

F1  8;0  ; F2  8;0 

  y 

 x  8

  y 

 x  8

2

2

2

2

.

  y  z  8
2

  y  z  8

� z  8  z  8  20 � MF1  MF2  20  conts

.

2

.

.

x2 y 2
MF1  MF2  F1 F2 � Tập hợp điểm M là 1 elip có dạng a 2  b2  1 .
Do
�
max z  10
2a  20 �a 2  100
�
x2 y 2
�
��
� �2
�


1
�
�
c 8
min z  6
b  a 2  c 2  36 100 36

�
�
�
.

z 1
T  z  1  2 z 1
Câu 4 : Cho số phức z thỏa
. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
.
A. max T  2 5
Gọi

B. max T  2 10

z  a  bi  a, b �� � a  b  1
2

Ta có :

T  z 1  2 z 1 

2

C. max T  3 5

D. max T  3 2

Giải :
.

 a  1 2  b2  2  a  1 2  b2
B.C .S

 a 2  b 2  2a  1  2 a 2  b 2  2a  1  2a  2  2 2  2 a �

1

2



 22  4   2 5

.

Vậy max T  2 5 .
Câu 5 : Cho
A.
Gọi

P

z1 , z2

là 2 số phức thỏa

3
2

z  a  bi  a, b ��

2 z  i  2  iz

và

z1  z2  1

P  z1  z2
. Tính giá trị
.
2
P
2
C.
D. P  3

B. P  2
Giải :

.
2
2
2 z  i  2  iz � 4a 2   2b  1  a 2   2  b  � a 2  b2  1

Ta có :
.
z ,z
Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của số phức 1 2 trong mặt phẳng phức .
uuu

r uuu
r uuu
r
� z1  z2  OA  OB  BA  1
.
� OAB có OA  OB  AB  1 � OAB là tam giác đều .
uuu
r uuu
r
uur
� P  z1  z2  OA  OB  2 OI  3
với I là trung điểm AB .
z

��
_ 2
_
��
z
zz 2 3
_
��
z
Câu 6 : Cho z và z là số phức liên hợp của z . Biết ��
và
. Tìm
.
Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 2

A.
Gọi

z 1

B.

z 3

z 2
C.
Giải :

D.

z 4

_

z  a  bi  a, b ��

� z  a  bi

.

_

Ta có :

z  z   a  bi    a  bi   2bi  2 3 � b 2  3

.

2

� �
z. z ��� �z. z ���
� �
.
_

_

z z2
z3
.1

.

�� � z 3 ��
_ 2
_ 2
_ 2 z2
_ 2
�� ��
��
� �
z

z
z
��
��
��
�z. z �
��
��
��
� �
Theo giả thiết :
.
2
3
3
3
2
3
2
2
3
z  a  3a bi  3a  bi    bi   a  3ab   3a b  b  i
Mà
�
�
�
3a 2b  b 3  0
3a 2  b 2  0
a2  1
� �2

� �2
� �2
� z 2
b 3
b 3
b 3
�
�
�
.
z

Câu 7 : Cho
A.

z



z  a  bi  a; b ��



2

P  z 2



thỏa

2

B.

z2  4  2 z

P   z  2

và

P  8  b 2  a 2   12

2

C.



2

P  z 4



, mệnh đề nào sau đây là đúng :

2

D.

P   z  4

2

Giải
Ta chọn z  6  2 5 i � P  36  16 5 . Đáp án thỏa điều trên là đáp án A ( dựa vào MTCT thì khoảng 1p
là xong bài ) .
Hướng dẫn cách chọn z  6  2 5 i
Theo đề ta có :
z 2  4  2 z �  a 2  b 2  4   2abi  2 a  bi

�  a 2  b 2  4   4a 2 b 2   4  a 2  b 2 
2

Chọn a  0 � b  6  2 5 .
Câu 8 : Cho số phức thỏa

z 1

. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
Giải :
2
2
z  a  bi  a; b �� � a  b  1
Đặt
.

z 1 



 2a

2

.

 b 2  2  a  1

z 2  z  1   a 2  2abi  b 2    a  bi   a 2  b 2   2a 2  a    2a  1 bi





 a  1

P  z 1  z2  z 1

2

 a    2a  1 b 2 
2

2

 2a  1

2

a

2

 b 2   2a  1

.

Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 3


Vậy

P  2  a  1  2a  1

.

�
�7 � 13
max P  P � �
�
�
max P  P  1  3
�8 � 4
� 1� �
a ��
1; �� �

1 � �
�
a �� ;1�� �
� 2� �
�1 �
�1 �
2 � �
min P  P � � 3
min P  P � � 3
�
�
�2 �
�2 �
�
�
Xét
. Xét
.
�
13
7
15
max
�
12 3P  4 � z   8 � 8 i
� z 1
�
1
3
�

min
P

3
�
z

�
i
{
�
2
2
z

1
Kết luận �
.
Câu 9 : Cho số phức
P x y .
A. 0

Theo giả thiết ta có :

z  x  2 yi  x; y ��

thỏa

z 1

. Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
5
D. 2

C.  5
Giải :
2
2
2
�
�
�z  1
5 y 2  2 Py  P 2  1  0  *
�x  4 y  1 �
P  y   4 y2 1  0

��
��
��
��
�x  P  y
�P  x  y
�x  P  y
�x  P  y
B. 5

Để hệ có nghiệm thì phương trình
�  ' *  P 2  5  P 2  1 �0

5

5
��
P 2 �
P
4
2
� max P  min P  0 .

 *

.

có nghiệm với mọi y �� .

5
2

z

im
 m ��
1  m  m  2i 

Câu 10 : Cho số phức
z  1 �k
. Giá trị k thuộc khoảng nào sau đây .
�1 1 �
�1 2 �
�; �
�; �

A. �3 2 �
B. �2 3 �

. Gọi

k  k ��

�2 4 �
�; �
C. �3 5 �
Giải :
 1  m  i
im
im
1
z
 2

� z 1 
2
1  m  m  2i  i  2mi  m
im
m i

Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

là giá trị nhỏ nhất sao cho tồn tại
�4 �
� ;1�
D. �5 �

Page 4




Ta có :

a
a

 b �0 
b
b

z 1 

 1 m  i
m i

. Áp dụng

k 0
�
�2
� z  1 �k � �m  2m  2
�k 2
� 2
� m 1
Theo yêu cầu bài toán, tồn tại

m 2  2m  1
m2  1



m 2  2m  2
f  m 
m2  1
. Xét

kmin để z  1 �k

�
1 5 � 3  5
f�
� 2 �
� 2
�
�



 min f  m 
Ta có
5 1
k
2 là giá trị k cần tìm � B .
Vậy

min f  m 



5 1
4

k2

2

k

5 1
k
2

0

.

Cách biến đổi khác, bình thường hơn :
im
im
1
m
i
z
 2


 2
 2
2
1  m  m  2i  i  2mi  m
i  m m 1 m 1
2

2

�m  m 2  1 � � 1 �
m  m2 1
i
� z 1 
 2
� z 1  � 2
� � 2
�
m2  1
m 1
� m  1 � �m  1 �
2
�
m   m 2  1 � � 1 �
m 2  2m  m 2  1   m 2  1  1
m 2  2m  2
� � 2 � 
� z 1  � 2

2
m  1 � �m  1 �

m2  1
�
 m2  1
�
�
2

2

.

z  2  2i  z  4i , w  iz  1
w
Câu 11 : Cho số phức z , w thoả
. Giá trị nhỏ nhất cùa
là
Giải :
z  a  bi  a, b ��
Gọi
.
2
2
2
z  2  2i  z  4i �  a  2    b  2   a 2   b  4  � a  b  2  0

� Số phức z  a   2  a  i � w   a  1  ai
2
2
� w   a  1  a 2 �
2 .

1
a
2 .
Dấu "  " khi và chỉ khi

Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 5


T  1  z3  z 2  z  1
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
Giải :
3
2
T �1  z  z  z  1  5
. Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi z  1 .
Ta có :
1  z3
3
3
1  z �0 � 1  z �
2

1  z3 1  z3
2
z  z 1 
�
 1  z �2, z  1
1 z

2

.
3
3
1 z
1 z
�
T
1
2
2
. Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi z  1 .
�max T  5
�
Vậy �min T  1 .

Câu 12 : Cho

z 1

z 2   2a  bi  1 z   a  2bi   0  a, b  �, b
Câu 13 : Cho phương trình phức sau :
sau đây của a, b thì phương trình trên có ít nhất 1 nghiệm thực :
2

0

. Với điều kiện nào

2 � 4  36b 2
4  2  36b 2
4 � 2  36b 2
2  4  36b 2
a
a
a
9
9
9
9
A.
B.
C.
D.
Giải :
x
��
Gọi
là nghiệm thực của phương trình :
a

� x 2   2a  bi  1 x   a  2bi   0
2

.
� x   2a  1 x  a  4b   bx  4ab  i  0 �
2

2

2

Áp dụng định nghĩa 2 số phức bằng nhau :

Ta có :
2
2
2
�
�x   2a  1 x  a  4b  0
�x  4a
��
�� 2
bx  4ab  0
 4a    2a  1  4a   a 2  4b2  0
�
�

�x  4a
2� '
�� 2
�  *
2
a

 '  b '2  ac  4  36b 2 

9
a


4
a

4
b

0
*
 
�
9
có nghiệm là
.
z 2017  1  1
P z
A  2017.  max P   2017.  min P 
Câu 14 : Cho số phức
. Gọi
. Tính
.
2017
2016
2017
A. A  2017. 2
B. A  2017. 3
C. A  2017. 2
D. A  2017
Giải :
2017

2017
2017
max P  z  0 � max P
 z
 z
Ta có :
.
2017
2017
2017
min P  z  0 � min P
 z
 z
.
Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 6


Gọi

z 2017  a  bi  a, b ��

� Tập hợp điểm biểu diễn số phức z 2017 là đường trịn tâm I  0;1 có bán kính R  1 .
�
max P 2017  2
max P  2017.2017 2
�
��
�

� A  2017.2017 2
�
2017
min P  0
min P
0
�
�
.

�z1  z2  z3  0
�
�
2 2
2
2
2
z1  z2  z3 
�
3 . Tính A  z1  z2  z2  z3  z3  z1
Câu 15 : Cho 3 số phức z1 ; z2 ; z3 thỏa �
2 2
8
8
A. 3
B. 2 2
C. 3
D. 3
Giải :
�z1  z2   z3

8
2
2
2
�
�z1  z3   z2 � A   z1   z2   z3 
3
�z  z   z
1
�2 3
.

z z
z  z2  1; z1  z2  3
Câu 16 : Cho 2 số phức z1 , z2 thỏa 1
. Tính 1 2 .
1
A. 0
B. 1
C. 2
Giải :
�
�z1  a  bi
�z1  z2  1
 a, b, x, y �� � �
�
�z2  x  yi
�z1  z2  3 .
Gọi
�

a 2  b2  x 2  y 2  1
�
a 2  b2  x2  y 2  1
�
�
��
��
2
2
 a  x    b  y   3 �2  ax  by   1
�
� z1  z2 

 a  x

2

  b  y 
2

a

 1  2i 

Câu 17 : Xét số phức z thoả
3
 z 2
2 z
A. 2
B.

Ta có :

 1  2i 

z 

2

 b 2    x 2  y 2   2  ax  by   1

z 

D.

2

.

10
2i
z
. Mệnh đề nào dưới đây đúng :
1
1
3
z 
 z 
2
2

C.
D. 2
Giải :

10
2i
z

� 10 �
�  z  2    2 z  1 i  � 2 �z
�z �
� �
Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 7


�

�

�

10

10
�z 
 z  2    2 z  1 i  �
� �
�z

2

z

�

2

� 10 �
.z �
�z �
�
� �

2

� 10 �
�  z  2    2 z  1  �
�z �
�
� �
2

2





� z  z  2  0 �  z  1  z  1 z  1  0 � z  1
4

2

2

.

z1 , z2 thỏa z  2i  2 iz  1 và z1  z2  1 . Tính P  z1  z2 .
Giải :
z  a  bi  a, b �� M , N
z ,z
Gọi
,
là điểm biểu diễn của 1 2 trong mặt phẳng phức ,
z  2i  2 iz  1 � a 2  b 2  2
Ta có :
.
uuuu
r uuur
uur
� z1  z2  OM  ON  2 OI
với I là trung điểm của MN .
uuuu
r uuur uuuur
� z1  z2  OM  ON  NM  1
.
Câu 18 : Cho số phức

2

7
�1
�
O � OI  MN � OI  OM  � MN � 
� 2 OI  7
2
2
�
�

OMN
Ta có :
cân tại
.
2

2
2 và điểm A trong hình vẽ bên là điểm
Câu 19 : Cho số phức z thỏa mãn
1
w
iz là
biểu diễn của z . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức
một trong bốn điểm M , N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là :
A. Điểm Q
C. Điểm M
z 

B. Điểm N
z  a  bi  a, b ��

D. Điểm P
Giải :

là điểm biểu diễn số phức A .
Do z thuộc góc phần tư thứ nhất trong mặt phẳng Oxy , nên a, b  0 .
1
b
a
w  2
 2 2i
2
iz a  b a  b
Lại có
� Điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng Oxy .
Gọi

w

1
1

 2  2 z  2OA
iz i . z

.
w
Vậy điểm biểu diễn của số phức

là điểm P .
z  a  bi  a, b ��
z  1  i  z  2i
P  z  2  3i  z  1
Câu 20 : Cho số phức
thỏa mãn
và
đạt giá trị
P

a

2
b
nhỏ nhất . Tính
:
Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 8


Giải :
Ta có :

z  1  i  z  2i � a  b  1

 a  2

P  P  z  2  3i  z  1 

2

.
  b  3 

 a  1

2

2

 b2

.

M  a; b  , A  2;3 , B  1;0 
Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm
với M điểm biểu diễn số phức
z � M � d  : a  b  1  0
.

 a  2

  b  3 

 a  1

MA  MB  min
Ta có :
. Vậy ta tìm M �d sao cho 

.
x

y

1
x

y

1

0
�
A
,
B
 A A  B B 
Do
cùng thuộc một phía so với đường thẳng d .

MA  MB 

2

2

2

 b2

� Gọi A ' là điểm đối xứng của A qua d .
5
�3 1 �
M  A ' B �d � M � ; �� P  a  2b 
2 .
�2 2 �
Ta có : MA  MB  MA ' MB �A ' B . Dấu "  " xảy ra khi
z  a  bi  a, b ��
z  1  i  z  2i
P  z  2  3i  z  1  2i
Câu 21 : Cho số phức
thỏa mãn
và
đạt giá
P

a

2
b
trị nhỏ nhất . Tính
:
Giải :
z  1  i  z  2i � a  b  1
Ta có :
.

 a  2

P  P  z  2  3i  z  1 

2

  b  3 

 a  1

2

2

  b  2

2

.

M  a; b  , A  2;3 , B  1; 2 
Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm
với M điểm biểu diễn số phức
z � M � d  : a  b  1  0
.

MA  MB   a  2    b  3    a  1   b  2 
MA  MB  min
Ta có :
. Vậy ta tìm M �d sao cho 
.
 xA  y A  1  xB  yB  1  0 � A, B khác phía so với đường thẳng d .

Do
2

2

2

2

5
�3 1 �
M  AB �d � M � ; �� P  a  2b 
2 .
�2 2 �
Ta có : MA  MB �AB . Dấu "  " xảy ra khi
z  3  4i  2
P  z  2i
Câu 22 : Cho số phức z thỏa
và
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của P . Tính A  M  m .
Giải :
z  a  bi  a, b ��
Gọi
.
2
2
z  3  4i  2 �  a  3   b  4   4
Ta có :
.

Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 9


M � C  :  a  3   b  4   4
2

Vậy tập hợp điểm

A  2;1

2

Trong mặt phẳng phức xét
, ta có :
�
�MAmin  AI  R  34  2
�
MA  AI  R  34  2
Vậy : � max
.

có tâm

I  3; 4 

P  z  2  i  MA

và bán kính R  2

M � C  :  a  3   b  4   4
2

với

2

.

z  1  i  z  2i
P  z  3i
Câu 23 : Cho số phức z  a  bi thỏa
và
đạt giá trị nhỏ nhất . Tính A  a  2b
.
Giải :
z  a  bi  a, b ��
Gọi
.
z  1  i  z  2i � a  b  1  0
Ta có :
.
M �   : a  b  1  0
Vậy tập hợp điểm
.
A  0;3 � P  MA
M �  
Trong mặt phẳng phức xét
với
.

MAmin  d �
A;    �
�
� 2 2 .
Vậy

Câu 24: Cho số phức z, w khác 0 sao cho
1
1
a
a
8
4
A.
B.

zw 2 z  w

. Phần thực của số phức
1
a
8
C. a  1
D.
Giải :

u

z
w là:

Cách 1 :
u  a  bi  a, b ��
Gọi
.

Ta có :

�
z 1

1
�2
�u 
a  b2 
w 2
�
�
4
zw 2 z  w � �
��
2
�z  w  z  w  u  1
�
 a  1  b2  1
�
� w
w
�

.

3
1
2
�  a  1  a 2  2a  1  � a 
4
8
Cách 2 :

�
a 2  b 2  4  *
1
�
z  1 � z  1 � 1 w  2  w � �
�a
2
2
w  a  bi  a, b ��
 a  1  b2  4
�
Gọi
. Chọn
.
15
1
1
15
�u 
 

i
 * � b 
1
2
8
8
1
15
a

i
2 vào
2
2
Thay
.

Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 10


2 z  1  3 z  i �2 2
Câu 25 : Xét số phức z thỏa
. Mệnh đề nào dưới đây đúng :
3
1
1
3
 z 2

z 
 z 
z

2
2
2 .
A. 2
B.
C.
D. 2
Giải :
A  1;0  , B  0;1
M  x; y 
Xét các điểm
và
với M là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức .
Ta có :

2 z 1  3 z  i  2

 x  1

2

 y 2  3 x 2   y  1  2 MA  3MB
2

.

2MA  3MB  2  MA  MB   MB �2 AB  MB  2 2  MB �2 2
Ta có :
.
� 2 z  1  3 z  i �2 2
2 z  1  3 z  i �2 2
. Mà theo giả thuyết ta có :
.
2 z 1  3 z  i  2 2
Vậy
.
�M �AB
��
M  B M  0;1
z 1
�
MB

0
�
"

"
Dấu
xảy ra khi và chỉ khi
.
4

�z  1 �
�
� 1

Câu 26 : Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là nghiệm của phương trình �2 z  i �
.
2
2
2
2
P   z1  1  z2  1  z3  1  z4  1
Tính
.
Giải :
i
z�
2 .
Điều kiện :
�  z  1   2 z  i 
4

4

2
2
2
2
�
��
z  1   2 z  i  � 0
�z  1   2 z  i  �

��
�

2
2
�
��
0
 z  1   2 z  i  �
 z  1   2 z  i  �
 z  1   2 z  i  �
�
��
�
��
�

�  3z  1  i    z  1  i  �
5 z 2   2  4i  z �
�
� 0
� 1 i
z
�
3
�
z


1
i
17
��

�P
�
z0
9
�
2  4i
�
z

�
5
�
.

Câu 27 : Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M �
. Số phức w  z (4  3i ) và số
, N , N �là bốn đỉnh của hình chữ
phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N , N �
. Biết rằng M , M �
nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của

z  4i  5

.

Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 11

5

A.

2

34

1

5

B.

4

C. 2
Giải :

D.

13

z  a  bi  a, b ��
Gọi số phức
.
� w   a  bi   4  3i    4a  3b    3a  4b  i � w   4a  3b    3a  4b  i
�MM '  Ox
��
�NN '  Ox .

Ta có : M và M ' đối xứng nhau qua trục Ox , N và N ' đối xứng nhau qua trục Ox
, N , N �là bốn đỉnh của hình chữ nhật MM ' N ' N hoặc MM ' NN ' .
Ta có : M , M �
A  5; 4  � z  4i  5  MA
Trong mặt phẳng phức Oab , xét điểm
Trường hợp 1 : Với hình chữ nhật MM ' N ' N .
� MN  M ' N ' � MN / / Ox � yM  yN � b   3a  4b  � a  b  0

� M � d1  : a  b  0

. Vậy

MAmin  d �
A;  d1  �
�
�

5   4 
2



1
2 .

Trường hợp 2 : Với hình chữ nhật MM ' NN ' .
� MN '  M ' M ' � MN '/ / Ox � yM  y N ' � b    3a  4b  � 3a  5b  0

� M � d 2  : 3a  5b  0

Vì

. Vậy

MAmin  d �
A;  d 2  �
�
�

z  a  2bi  a, b ��

z  a 2   2b 

5
34 .

f  x   ax 2  bx  1

C. 5
Giải:

D.

. Biết

f  �1 �1

. Tính giá trị

7

2

Ta có:
.
f  ��۱
1 1�۱a�b 1 1

ax
�
�
2b  y , ta có
Đặt �

và đa thức:

B. 2 2

A. 2

32  52



1
2 .

d�
A;  d1  �
A;  d 2  �

�
� d �
�
�� MAmin 

Câu 28 : Cho số phức
z
lớn nhất của .

3.5  5.  4 

2a 2b 2

2x y
 1 ۱���

2

2

2  1

.

2 �2 x  y  2 �2
�
�
2 �2 x  y  2 �2
�

2 x  y  4 �0
�
�
2 x  y  4 �0
�
 *
�
2
x

y
�
0
�
�
2 x  y �0
�
.

*
A  0;0  , B  1; 2  , C  2;0  , D  1; 2 
Miền nghiệm S của   là tứ giác ABCD (kể cả cạnh). Với
.
Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 12


Dễ dàng nhận thấy ABCD là hình thoi.
M  x; y 

Gọi
là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy � M
chạy tung tăng trong miền S .
Ta có

z  OM � z max  OM max

.

OM max  OB  OD � z max  5
Ta dễ nhận thấy
. Nhưng nhóm
muốn chứng minh thêm cho mọi người xem , phần chữ màu đỏ .
CHỨNG MINH :

OBC
Vì
và ODC đối xứng nhau qua trục Ox nên xét M chạy
tung tăng trên OBC ( O �A ).
OM

BC OM ON và N thuộc cạnh BC .
Gọi N  �
HN �HB
�
BC � �
HN �HC .
�
H là hình chiếu của O trên
Ta lại có HN là hình chiếu của ON trên BC .

HB là hình chiếu của OB trên BC .
HC là hình chiếu của OC trên BC .
ON �OB
OM �OB
�
�
�
� OM max  max  OB; OC
�
ON �OC �
OM �OC
�
Từ đó ta có �
.

Mà

OB  5
�
OM
� max
�
OC  2
�

OB

5

M

B
.

M �B  1; 2 
�
OM max � �
� z max  5
M �D  1; 2 
�
Do tính đối xứng nên
.

1
1 1
1
 
2 và số phức w thỏa z w z  w . Tính w :
Câu 29 : Cho số phức z có
Giải :
1
1
1
2w  1
1
2
z � w
�

�  2w  1  2w

1
2
w

1
2
2
2
w
2
2
Chọn:
z 

1
3
1
� 4 w2  2 w  1  0 � w   
i� w 
4 4
2.
Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 13


z
z
2 1
1

P 1  2
 
z2
z1
Câu 30 : Cho số phức z1 , z2 thỏa z1 z2 z1  z2 . Tính giá trị
.
Giải :
�z1  1
1
1
1 1
�2 
�  2 z2  1  z2  1  z 2 � 2 z22  2 z2  1  0 � z2    i
�
z �1
z2 1  z2
2 2
Chọn �2
.
z
z
3 2
�P 1  2 
z2
z1
2
.
Câu 31 : Cho số phức z thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của

w

z 2  2 z  5   z  1  2i   z  3i  1

và số phức w thỏa w  z  2  2i .

.

z  2 z  5   z  1  2i   z  3i  1

Giải :

2

Ta có :

� z  1  2i   0
�  z  1  2i   z  1  2i    z  1  2i   z  3i  1 � �
�
� z  1  2i    z  3i  1 .
 z  1  2i   0 � z  1  2i � w  1 .
Trường hợp 1 :
1
 z  1  2i    z  3i  1 � b  
2 với z  a  bi  a, b �� .
Trường hợp 2 :

3
� 1 �
�w�

a  i � 2  2i   a  2   i � w 
2
� 2 �

 a  2

2



9 3
�
4 2 .

f  z    4  i  z 2  az  b
f  1 , f  i 
Câu 32 : Cho hàm số phức
với a, b là số phức . Biết
là số thực . Tính
P a b
giá trị nhỏ nhất của
.
Giải :
a  x1  y1i
�
 x , x , y , y ��
�
b  x2  y 2 i 1 2 1 2
�
Gọi :

.
2
f  z    4  i  z  az  b
Ta có :
.
� f  1  4  i  a  b   4  x1  x2    y1  y2  1 i
.
� f  i     4  i   ai  b   4  y1  x2    1  x1  y2  i
.
y

y

1

0
�
� �1 2
� x1  y1  2  0
f  1 , f  i 
x1  y2  1  0
�
Do
là số thực
.
a �   : x  y  2  0
Vậy để thỏa yêu cầu bài tốn thì
trong mặt phẳng Oxy cịn b là số phức tự do .
� Pmin  a  b  d �
O;    �

�
� 0  2 .
Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 14


z  1  2i  2 2
Câu 33 : Cho số phức z thỏa
. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  z  1  2017 z  3  4i
.
Giải :
z  a  bi  a, b ��
Gọi
.
M  a; b 
Gọi
là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức .
A  1;0  , B  3; 4 
Trong mặt phẳng phức xét các điểm
.
2
2
2
2
�MA  MB  AB  py  ta  go 
�  P  2017MB   MB 2  AB 2  0
�
P  MA  2017 MB

Ta ln có : �
.
2
2
2
2
�  2017  1 MB  2.P.2017 MB   P  AB   0  *
.

 * có nghiệm thì :
Để phương trình
 ' * �0 � 2017 2 P 2   2017 2  1  P 2  AB 2  �0


P2

AB 2  2017 2 1

P

AB

 2017

2

1

.

z  1  2i  2 2
P  a z  1  b z  3  4i
Câu 34 : Cho số phức z thỏa
. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
với a, b là số thực dương .
Gọi

z  x  yi  x, y ��
M  x; y 

Giải :
.

là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức .
A  1;0  , B  3; 4 
Trong mặt phẳng phức xét các điểm
.
2
2
2
2
�MA  MB  AB  py  ta  go 
�P  bMB �
2
2
�
�
�
� MB  AB  0
P  aMA  bMB

� a
�
Ta luôn có : �
.
2
2
�b
�
�P
�
2.P.b
� � 2  1�MB 2 
MB  � 2  AB 2 � 0  *
a
�a
�
�a
�
Gọi

 * có nghiệm thì :
Để phương trình
�P 2
b 2 2 �b 2 �
2�
 ' * �0 � 2 P  � 2  1�
� 2  AB ��0
a
�a
�

�a
�
�
P 2 �b 2
�
�
�� 2 1�AB 2
2
a �a
�

0

P2

AB 2  a 2 b 2 

P

.

AB a 2 b 2
.

M  4u  3v
u  v  10, 3u  4v  2017
Câu 34 : Cho 2 số phức u , v thỏa
. Tính
.
Giải :

Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 15


Đặt

v  a  bi  a, b ��

.

� 161
a
2
2
�
�
v

10
�
a

b

100
60
�
�
�

u  10 � �
��
��
2
2
 30  4a   16b  2017 �b  100  a 2  93 71
�
�30  4v  2017
�
80 .
�
Chọn
� M 2  40  3  a  bi   2983 � M  2983
2

Câu 35 : Cho 2 số phức
Đặt

z1  a  bi  a.b ��

z1 , z2

thỏa

.

z1  2, z2  1, 2 z1  3 z2  4

. Tính

M  z1  2 z2

.

Giải :
.

�
a
2
2
�
�
a

b

4
�
�z1  2
�
�
z2  1 � �
��
��
2
 2a  3  4b 2  16 �b 
�2 z1  3 z2  4
�
�

Chọn

3
4
55
4

� M  11
.

z   3  4i   5
Câu 36 : Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
2
2
2
2
P  z  2  z i
nhất của
. Tính giá trị A  M  m .
Giải :
z  a  bi  a, b ��
Gọi
.
2
2
z   3  4i   5 �  a  3   b  4   5
Ta có :
.
� z thuộc đường trịn  C  có tâm I  3; 4  và bán kính R  5 .

2

Mặt khác :

2

P  z  2  z  i � 4a  2b  3  P  0

   : 4a  2b  3  P  0 .
Vậy z thuộc đường thẳng

.

�z � C 
�
�
�
z �  
I;  �
 C  �   � d �
�
�
��R
Ta có :
Để z thì
23  P
�
5
13 P 33
2 5

� A  1258 .

z �2
Câu 37 : Cho số phức z �0 thoả
. Họi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
z i
P
z . Tính A  M 2  m 2 :
Giải :
Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 16


zi
�  T  1 z  i
z
Gọi
. T  1 � Khơng có số phức nào thoả mãn.
i
i
1
T �1 � z 
� z 
�2 � T  1 �
T 1
T 1
2 .
Xét
T

I  1;0 
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức T là hình trịn tâm
có bán kính
3
�
M  OI  R 
�
�
2 � A 5
��
1
2
�
m  OI  R 
�
2
.

R

1
2 .

3  4i
z 5
Câu 38 : Cho số phức z thỏa
. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  5 .
Giải :
3  4i

3  5 A  4i
3  5 A  4i
3  5 A  4i
A
�z
�z 
�
 5 � 3  5 A  4i  5 A
z 5
A
A
A
Đặt
.

Gọi

A  x  yi  x, y �� �

 5 x  3

2

  5 y  4  5 x2  y 2
2

� 6x  8 y  5  0 .
A �   : 6 x  8 y  5  0
Vậy tập hợp điểm của số phức
.

� min A  d �
O;    �
�
�

.

1
2 .

z  4i
z 5
Câu 39 : Cho số phức z thỏa
. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  5 .
Giải :
z  4i
A
z  5 . Xét A  1 � khơng có số phức z nào thỏa . Vậy A �1
Đặt
5 A  4i
5 A  4i
5 A  4i
�z
� z 
�
 5 � 5 A  4i  5 A  1
A 1
A 1
A 1
.

Gọi

A  x  yi  x, y �� �

 5x 

2

  5 y  4  5
2

 x  1

2

 y2

� 50 x  40 y  9  0 .
A �   : 50 x  40 y  9  0
Vậy tập hợp điểm của số phức
.
9
� min A  d �
O;    �
�
�
10 41 .

Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

.

Page 17


1 1 1
 
z  z 2  z3  3
z ,z ,z
z ,z ,z
Câu 40 : Cho 3 số phức 1 2 3 phân biệt thỏa mãn 1
và z1 z2 z3 . Biết 1 2 3 lần
lượt được biểu diễn bởi các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức . Tính góc �ACB .
Giải :
Ta có :
z
z
1 1 1
z
z
z
z
  � 1  2  3 � 1 2  2 2  3 2 � z1  z2  z3
z1 z2 z3
z1.z1 z2 .z2 z3 .z3
z1
z2
z3

Do tính đối xứng trục Ox nên C là điểm thứ 3 của hình bình hành

OACB .
OB  AC
�
� OA  OC  AC
�
OB

OA

OC
�
Từ đó ta có :
.
� OAC là tam giác đều � Góc �ACB  1200 .

z  a  bi  a, b  �; a, b 0 
f  x   ax 2  bx  2
f  1 �0,
Câu 41 : Cho số phức
. Đặt đa thức
. Biết
�1 � 5
f � ��
�4 � 4 . Tính giá trị lớn nhất của z .
Ta có :

Giải :

f  1��
a b 2 0

 0�۳

b a 2

a b
�1 � 5
f � �-���- 2
�4 � 4 16 4

5
4

b 3

a
4.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy là
một miền kín được giới hạn bởi các đường thẳng sau :
x
x  0; y  0; y  x  2; y    3
4
.

z � max z  max OM
Gọi M là điểm biễu diễn số phức
.
� M là 1 trong các định sau A  0;0  , B  2;0  , C  2; 4  , D  0;3 .
� max Om  OC  2 5 .
z2  z1

z  2i  1
z
Câu 42 : Cho 1 là số phức, z2 là số thực thoả mãn 1
và 1  i là số thực . Gọi M , m lần lượt giá
2
2
z z
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1 2 . Tính A  M  m .
Giải :
Oxy
Trong mặt phẳng phức
:

Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 18


Gọi A, B lần lượt là điểm biểu điểm số phức z1 , z2 .
2
� A � C  : x 2   y  2   1
và B �Ox
uuur uuu
r uuur
� z2  z1  OB  OA  AB
.
uuu
r
z1  z2

 k  k �� � AB  k  1;1 �
Ta có 1  2i
Đường thẳng AB có
 1; 1 .
véctơ pháp tuyến là
0
Ta có : AB tạo với trục Ox một góc 45 .
max AO
3
�
max AB 

3 2
0
�
AO
�
sin 45
sin 450
� AB 
��
� P  20
min AO
1
sin 450
�
max AB 

 2
�

sin 450 sin 450
.

 z

2

Câu 43 : Cho số phức z thỏa mãn
phần ảo của số phức z .
Đặt

z  a  bi  a, b ��

z  2,

2

1  z

là một số thuần ảo . Tính trị tuyệt đối phần thực và

Giải :
.

2 z   2
2

2  z   z.z
2

z
. 2z  z  z
2
2
2
Ta có :
.
2  a  bi    a  bi 
z
�a  3bi
�
� . 2z  z  z 
  a  bi   �
 a � bi
2
2
� 2
� .
�a  3bi
�
2
�  z  1  z  �
 a � bi
� 2
� .
a �0
a  3bi
�
2
�


a

0
�
.
�
 z  1  z
a 2  9b 2
2
�
Do
là số thuần ảo
3
�
a 
�
1
9 �
3
2
5
z  2 � a 2  b2  2 � b2  � a 2  � �
�a b
1
5
5 �
5
b
�

5
�
Mặt khác
.

 z

2

1  z 

Câu 44 : Cho

z 

z1 , z2 là nghiệm của phương trình

z  a  bi  a, b ��

. Ta có :

6  3i  iz  2 z  6  9i

thõa mãn

z1  z2 

8
5 . Gọi M , m

z1  z2

. Tính P  M  m .
Giải :
2
2
6  3i  iz  2 z  6  9i �  a  3   b  4   1  C 

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
Đặt

z

Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

.
Page 19


z ,z
Trong mặt phẳng phức Oxy , gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức 1 2 và I , H lần lượt là tâm
 C  , trung điểm AB .
đường tròn
�A, B � C  :  x  3 2   y  4  2  1
�
��
uuu
r uuu
r
uuur

z1  z2  OA  OB  2 OH  2OH
�
�
.
OI  IH �OH �OH  HI
Với 3 điểm O, I , H ta có :
.
2
�
AB
AB 2 � 44
2
-�
2 OI
�� IA
- ��

2OH 2 �
OI
IA2
�
4
4
�
�
�
� 5
Dấu "  " xảy ra :
Khi OH đạt giá trị nhỏ nhất thì O, H , I thẳng hàng theo thứ tự đó .
Khi OH đạt giá trị lớn nhất thì O, I , H thẳng hàng theo thứ tự đó .

2OH

56
5

P

20
.

z1  z2
z

3

4
i

1,
z

1

z

i
z
,
z

2
2
Câu 45 : Cho số phức 1 2 thoả mãn 1
và 2  i là số thực . Gọi M , m lần lượt
z z
là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1 2 . Tính P  M  m .
Giải :
z1 , z2 .
Gọi A, B lầnuulượt
làur điểm
u
r uu
uuurbiểu diễn của số phức
� z2  z1  OA  OB  AB � z2  z1  AB
.
u
u
u
r
z1  z2
 k  k �� � AB  k  2; 1 �
2i
Ta có
Đường

 1; 2  .
thẳng AB có véctơ pháp tuyến là
Trong mặt phẳng phức Oxy ta có :

2

2
�
�z1 � C  :  x  3   y  4   1
�
�z2 � d  : x  y  0
.
d
Ta có góc giữa AB và là :
uuur uu
r
nAB .nd
3 10
1
cos  AB; d   uuur uu
r 
10 � sin  AB; d  
nAB . nd
10 .
I; d  �
 C  không cắt  d  � d �
�
� R C   0 . Gọi H là hình chiếu của A trên  d  .
Ta có

�
d�
I; d  �
max AH
�
� R C 

max AB 

 7 5  10
�
sin  AB; d 
sin  AB; d 
�
AO
� AB 
��
� P  14 5
sin  AB; d 
d�
I; d  �
�
min AH
�
� R C 
max AB 

 7 5  10
�
sin  AB; d 
sin  AB; d 
�
Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

.
Page 20

w

z
2  z 2 là thực . Giá trị lớn nhất của

Câu 46 : Cho số phức z thoả mãn z không phải là số thực và
P  z 1 i
là :
Giải :
z
1 2  z 2 �2
�
w
�
�
�

 �  z�
��
2
2 z
w
z
�z
� .
� z 0 . Ta có :
Do z �

z  a  bi  a, b ��

Gọi
.
2  a  bi 
2
2
� 2a
� � 2
�
� z
 a  bi  2 2  a  bi  � 2 2  a � b � 2 2  1�
i
z
a  bi
a b
�a  b
� �a  b
�.
�
b  0  loai 
1
� 2
�
��� b � 2 2  1� 0 � �2
w
�a  b
�
a  b2  2 .
�
Do
C  : a2  b2  2


z
Vậy tập hợp điểm của số phức là đường tròn
trong mặt phẳng phức.
Trong mặt phẳng phức xét điểm

A  1;1 � P  MA � max P  OA  R C   2 2

.

z  z2  5
Câu 47 : Cho hai số phức z1 , z2 thỏa: 1
. Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:
z  z1  2 z  z2
A.

R

5
3

là đường trịn và có bán kính R . Tính giá trị của R .
7
10
14
R
R
R
3
3

3
B.
C.
D.
Giải:

Trong mặt phẳng phức, gọi Z , Z1 , Z 2 lần lượt là hai
điểm biểu diễn số phức z , z1 , z2 .

A là điểm thứ tư của hình bình hành OZ 2 AZ1 .
uuuu
r uuuu
r uuu
r

� OZ1  OZ 2  OA � z1  z2  OA  5

.

uuur uuuu
r
z  z1  OZ  OZ1  ZZ1
Ta
có:
uuur uuuu
r
z  z2  OZ  OZ 2  OP

và

với P là điểm thứ tư của

hình bình hành OZ 2 PZ .
Gọi N là trung điểm OA � ON  2,5 và H là trung
điểm cạnh OP � OP  2OH và H cũng là trung điểm cạnh ZZ 2 .
Ta có HN là đường trung bình của ZZ1Z 2
Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 21


� ZZ1  2 HN .

z  z1  2 z  z2 � ZZ1  2OP � 2 HN  4OH � HN  2 HO
.
u
u
r
u
u
r
ON 2,5
�

�IN  2 IO � OI 
3
3
�uuu
r
uuu

r
�
JN  2 JO � OJ  ON  2,5
Gọi I , J lần lượt là hai điểm thỏa: �
.

Ta chứng minh được HI , HJ lần lượt đường phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh H của

HON � HI  HJ � H thuộc đường trịn đường kính
Gọi O1 là trung điểm

IJ � O1I 

IJ 

10
3 .

5
3.

Gọi O ' là là điểm sao cho O1 là trung điểm O ' Z 2 .

10
3.
Ta có: O1 H là đường trung bình của
Với z1 , z2 khơng đổi thì A, Z1 , Z 2 � N cố định � I , J cố định � O1 cố định � O ' cố định.
10
R
3 .

Vậy Z thuộc đường trịn tâm O ' , bán kính
O ' ZZ 2 � O ' Z  2O1H 

5  35i
z  1  i  z1
z
z
Câu 48 : Cho số phức 1 thỏa 1
, số phức 2 thỏa 5 z2  23  4i là số thực và số phức w thỏa
2 w  1  i  3 w  2  i �2
P  w  z1  w  z2  z1  z2
điều kiện
. Cho
, gọi a là giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P (nếu có) . Đáp án nào sau đây là đúng :
16 10
8 10
64 5
a
a
a
5
5
2
A.
B.
C.
D. Đáp án khác

Giải :

Oxy
A
,
B
,
C
Trong mặt phẳng phức
gọi
lần lượt là điểm
w
,
z
,
z
1 2.
biểu diễn của số phức

z  a  bi  a, b �� � z1  1  i  z1 � a  b  1  0
Gọi 1
.
� z1 � 1  : x  y  1  0
trong mặt phẳng phức Oxy .

uuur 1
5  35i
 k  k �� � CD   1; 7 
k
Ta có : 5 z2  23  4i
với
23

4
�
�
D� ; �
�5 5 �. Vậy z2 thuộc đường thẳng có véctơ chỉ

Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 22


phương
.

 1; 7 
là

và đi qua điểm D nhưng không lấy điểm

D � z2 �  2  : 7 x  y  33  0

23 4
z2 �  i
5 5
và

2 w  1  i  3 w  2  i �2 � 2 AE  3 AF �2
E  1; 1 F  2; 1
Ta có :
với

.
Mà 2 AE  2 AF �2 EF  2 . vậy dấu "  " xảy ra khi w  2  i .

� P  AB  BC  CA . Ta có A thuộc góc nhọn được tạo bởi 2 đường thẳng

A,A
Gọi 1 2 lần lượt là điểm đối xứng của A qua

 1  ,   2 

� P  AB  BC  CA  A1 B  BC  A2C �A1 A2 

 1  ,   2  .

�A1  2;3
�
�AB  A1 B
� �38 1 �
��
�A2 � ;  �
�AC  A2C và � �5 5 �.

16 10
�
5
Chọn A … ah mà thôi :v .

�
�B  A1 A2 � 1 
�

C  A1 A2 �  2 
"

"
Dấu
xảy ra khi và chỉ khi �
. Ta cần tìm tọa độ C để so sánh với điểm loại đi trên
23 4 �
 2  � C �
� ; ��
�5 5 � Không tồn tại điểm C � Không tồn tại Pmin .
Câu 49: Gọi S là tập hợp giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức thoả z.z  1 và
z 3i  m
có nghiệm duy nhất .
A. 4
B. 1
C. 3
D. 2

Đặt

Giải :

z  a  bi  a, b ��

.

 C  : a 2  b2  1 và  C2  :  a 
chính là giao điểm của 2 đường trịn 1



2

3   b  1  m 2
2

� Số phức z
.
m
�
Do đây là 2 đường tròn khác tâm
Ứng với mỗi
tồn tại 1 số phức duy nhất thì 2 đường trịn này phải
tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngồi .
� Có 2 số phức thoả yêu cầu bài toán .

Câu 50 : Có bao nhiêu số phức z thoả mãn
Đặt

z  a  bi  a, b ��

z
và z  4 là số thuần ảo ?
Giải :

z  3i  5

.

z4
4 �
4a � 4bi
z
�
 1  �
1 2
 2
2 �
z
z
a

b
a  b 2 cũng là số thuần ảo .
�
�
z

4
Ta có
là số thuần ảo

Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 23


4a
2

 0 �  a  2   b2  4
2
a b
.
2
2
z  3i  5 � a   b  3  25
Ta có :
.
�1

2

C : a  2   b2  4
C : a 2   b  3  25
Số số phức z là số giao điểm của 2 đường tròn  1  
và  2 
.
� Có 2 giao điểm, ta loại z  4 vì khi đó khơng xác định số phức � có 1 số phức thoả .
2

2

z  2i  2 2
z  1
Câu 51 : Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
và 
là số thuần ảo ?
A. 3
B. 0

C. 4
D. 2
Giải :
2

2
z  a  bi  a, b �� � �
 a  1  bi �
�
�   a  1  b  2  a  1 bi .
Đặt
b  a 1
�
2
�  a  1  b 2  0 � �
2
z  1
b  1 a .
�
Do 
là số thuần ảo
Vậy trong mặt phẳng phức Oxy thì tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc 2 đường thẳng
 d1  : y  x  1,  d2  : y  1  x .
2
2
z  2  i  2 2 � z � C  :  x  2    y  1  8
Mặt khác ta có :
.
 d  � C  ,  d1  � C  � Có 3
Vậy số số phức z thỏa yêu cầu bài toán là tồng số giao điểm phân biệt của 1

giao điểm phân biệt � có 3 số phức thỏa .
2

2

1 i
z ,z
w ,w
Câu 52 : Cho số phức 1 2 thỏa
và
, số phức 1 2 thỏa điều kiện w  4  2i
w  w2  3 2
2 u  2  i  3 u  1  2i �6 2
là số thực và 1
, số phức u thỏa
. Gọi giá trị nhỏ nhất của biểu
P  u  z1  u  z2  u  w1  u  w2
thức sau (nếu có) là
. Đáp án nào sau đây là đúng :
A. 3  26
B. 9 2  6
C. 6  2 26
D. Đáp án khác

z 1 i  z

z1  z2  6 2

Giải :
z , z � z1  z2  6 2 � AB  6 2

Trong mặt phẳng phức gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức 1 2
.

Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 24


Gọi

z  a  bi  a, b �� � z  1  i  z � a  b  1  0

z , z �   : x  y  1  0
Vậy 1 2
trong mặt phẳng phức với
z1  z2  6 2
.

.

Trong mặt phẳng phức gọi X , C , D lần lượt là là điểm biểu
w, w1 , w2 � w1  w2  3 2 � CD  3 2 .
diễn số phức
uuur
1 i
 k  k �� � XY  k  1;1
Y  4; 2 
Ta có : w  4  2i
với
.

 1;1 và đi
Vậy w thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương là
Y  4; 2 
qua điểm
nhưng w �4  2i .
� w �  2  : x  y  6  0
Y  4; 2 
loại đi điểm
.
Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn số phức u .
E  2;1 , F  1; 2  � 2 u  2  i  3 u  1  2i �6 2 � 2 ME  3MF �6 2
Ta có
.
MF  0 � M  1; 2 
Mà 2ME  2MF �2 EF  6 2 . Vậy dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi
.
� P  MA  MB  MC  MD với AB  2CD  6 2 . Ta cần tìm Pmin .

Gọi E , F lần lượt là định thứ tư của hình bình hành MCDE , MBAF .
 
 
Gọi E ' là điểm đối xứng của E qua 2 , F ' là điểm đối xứng của F qua 1 .
�MC  DE  DE '
� P   E ' D  DM    F ' A  AM  �E ' M  F ' M
�
MB

AF

AF

'
�
Ta có :
.
�
�D  ME '�  2 
�
A  MF '� 1 
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi �
.
 � MHA  ANF '  g  c  g 
Gọi N là hình chiếu của M trên  1 
với
� MA  AF '  AF  MB � MAB cân tại M . Chứng minh tương tự MCD cân tại M .
� Pmin  MA  MB  MC  MD  6  2 26 .

N  FF '� 1 

Kiểm tra lại tọa độ của C , D . Ta viết phương trình đường trịn tâm M bán kính R  MC .
C  4; 2 
�
�
� C , D   C  �  2  � �
�D  1; 5  Không tồn tại Pmin do w �4  2i .

Biên soạn và sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng

Page 25