1_9099

Kỹ thuật - Công nghệ

NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI

MỘT VÀI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ TRONG CƠ ĐIỆN TỬ
Some applications of fractional-order derivatives in Mechatronics
GS. TSKH. NGND. Nguyễn Văn Khang *

Tóm tắt: Đạo hàm và tích phân cấp phân số có vai trị quan trọng trong việc mơ tả
tính chất vật lý của các loại vật liệu mới xuất hiện ở cuối thế kỷ XX - đầu thế kỷ XXI.
Bài viết giới thiệu một số định nghĩa về đạo hàm cấp phân số và trình bày việc áp dụng
của đạo hàm cấp phân số trong mơ hình các hệ cơ điện tử.
Từ khóa: Đạo hàm cấp phân số, cơ điện tử, dao động, mạch điện RLC.
Abstract: The fractional derivative and the integral play an important role in
describing the physical properties of new materials created at the end of the 20th
century and at the beginning of the 21st century. Some definitions of the broken
derivative are presented in this work. Subsequently, some applications of fractional
derivative are presented in the models of mechatronic systems.
Keywords: Fractional-order derivative, mechatronics, vibration, RLC circuit.

1. Mở đầu
r ong bức thư ngày 30 tháng 09 năm 1695 của nhà toán học Đức Leibniz (1646T
1716) gửi nhà toán học Pháp L’Hospital, lần đầu tiên khái niệm đạo hàm cấp không
dn
nguyên được đề cập đến [1]. Trả lời câu hỏi của L’Hospital: “Biểu thức đạo hàm
dx n
có ý nghĩa như thế nào khi n  1 ”, Leibni z nói:
“Sẽ dẫn đến một mâu thuẫn” và ông
2
viết thêm: “Từ mâu thuẫn này đến một ngày nào đó sẽ có những kết luận hữu ích”.
Cuối thế kỷ XIX

, lý thuyết đạo hàm và tích phân cấp phân số đã được nghiên cứu
bởi các nhà toán học Liouville, Grünwald, Letnikov, Riemann, v.v… Cơ sở toán học
của lý thuyết đạo hàm cấp phân số được trình bày trong các tài liệu [2], [3], [4].
Lúc đầu lý thuyết đạo hàm cấp phân số được phát triển chủ yếu như là một lĩnh
vực lý thuyết thuần t của tốn học và chỉ hữu ích cho các nhà toán học. Tuy nhiên,
một vài chục năm gần đây, nhiều tác giả đã chỉ ra rằng đạo hàm và tích phân cấp khơng
ngun rất phù hợp cho sự mơ tả tính chất của nhiều loại vật liệu mới, chẳng hạn như
vật liệu polyme. Họ cũng chỉ ra rằng những mơ hình cấp phân số thích hợp hơn những
mơ hình cấp ngun đã được sử dụng trước đó. Sự xem xét về mặt vật lý càng cho thấy
việc sử dụng các mơ hình dựa trên đạo hàm cấp phân số là hợp lý và phù hợp [2, 3].
Đạo hàm cấp phân số cung cấp một công cụ mới để mơ tả bộ nhớ và tính chất di
truyền của những vật liệu và quá trình khác nhau. Đây là ưu điểm chính của đạo hàm
cấp phân số so với những mơ hình đạo hàm cấp ngun cổ điển, trong đó những ảnh
hưởng như vậy trong thực tế bị bỏ qua
* Phó Chủ nhiệm khoa Cơ – Điện tử
Trường ĐH KD&CN Hà Nội

Tạp chí
Kinh doanh và Cơng nghệ
Số 04/2019

67


NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI

Kỹ thuật - Cơng nghệ

Việc mơ hình tốn học và mơ phỏng các hệ cơ và các hệ điện tử dựa trên sự mơ tả
những tính chất của chúng thông qua đạo hàm cấp phân số tất nhiên sẽ dẫn tới những

phương trình vi phân cấp phân số và dẫn tới sự cần thiết phải giải những phương trình
như vậy. Trong bài báo này đầu tiên trình bày một cách ngắn gọn các định nghĩa về đạo
hàm và tích phân cấp phân số, sau đó trình bày một vài kết quả nghiên cứu áp dụng khái
niệm đạo hàm cấp phân số trong một vài bài toán cơ điện tử.
2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số
2.1. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann-Liouville
Cơng thức tích phân Cauchy có dạng:
Dan

t

1
 n 1
f t  
 t    f   d , (n  0)

  n  a

(1)

Mở rộng khái niệm tích phân với giá trị khơng nguyên của n, thay thế số nguyên n
bằng số thực p  0 trong cơng thức tích phân Cauchy (1) ta có:
R

Dtp f  t  

t

1
 p 1

 t    f   d , ( p  0) (2)

  p a

(2)

Biểu thức (2) được định nghĩa là tích phân cấp phân số theo Riemann-Liouville [2,
3]. Khi p  0 [2, 3], người ta định nghĩa
R

1
dn
Dt f  t  
(n  p) dt n
p

 p  0, n  p  n  1

t

 t  

n  p 1

a

f   d (3)

(3)

là đạo hàm cấp phân số theo Riemann-Liouville [2, 3]. Các định nghĩa đạo hàm và
tích phân cấp phân số theo Riemann-Liouville có ứng dụng rất phổ biến trong các lĩnh
vực của khoa học tự nhiên và khoa học kỹ thuật.
2.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald-Letnikov
Dựa trên cơng thức viết cho đạo hàm và tích phân với n nguyên, GrünwaldLetnikov đã đưa ra định nghĩa về đạo hàm và tích phân cấp phân số với p là số thực tùy
ý [2, 3]:
 t  a   p
d p f t 
G
p
Dt f  t  
 lim  
p
N   N 

 d  t  a  

(4)
N 1

  j  p

 t  a  
    p    j  1 f  t  j  N  
j 0

Đại lượng

 j  p
 j  p  1


 Aj 1


j

   j  1    p 

(5)

được gọi là hệ số Grünwald.
Cách định nghĩa theo Grünwald-Letnikov như trên có ưu điểm là đạo hàm, tích
phân cấp phân số được tìm thông qua giá trị của hàm, không cần các phép tính tích phân
và đạo hàm của nó. Người ta đã chứng minh được rằng hàm    p   p  0 có thể

Tạp chí
Kinh doanh và Cơng nghệ
Số 04/2019

68


NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI

Kỹ thuật - Công nghệ

không hữu hạn nhưng tỉ số   j  p  là hữu hạn. Sự tương đương của các định nghĩa đạo
 p

hàm cấp phân số đã được chứng minh trong các tài liệu [2, 3, 5].

2.3. Định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Caputo
Đạo hàm cấp phân số định nghĩa theo Caputo có dạng:
C

Dtp f  t  

1
dn
  n  p  dt n

t

 t  

n  p 1

f   d ,  n  p  n  1

(6)

a

Giữa đạo hàm cấp phân số theo Riemann-Liouvill và theo Caputo người ta tìm
được quan hệ [5]:
n 1
f ( j)  a 
j p
R
p
c

p
(7)
Da f  t   Da f  t   
t  a 
j 0   j  p  1
Nếu f  j   a   0  j  0, , n  1 thì hai định nghĩa trên trùng nhau.
2.4. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo hàm biến phức
Cho f  z  là hàm đơn trị và giải tích trong miền mở A của mặt phẳng phức, A là
tập các điểm trong của A bị chặn bởi đường cong đóng trơn C thì tích phân Cauchy có
dạng [2, 3, 5]:
f  
1
f z 
d ,  z  A
(8)

2 i C   z
Từ (8) ta có cơng thức tính đạo hàm cấp nguyên:

Dn f  z  

f  
n!
d

2 i C   z n1

(9)

Hình 1. Chu tuyến L

Khi n là số p bất kỳ, thì ta có thể thay thế n ! trong biểu thức (9) bằng hàm
( p  1) .Tuy nhiên, nếu p không phải là một số nguyên thì điểm z sẽ trở thành điểm
phân nhánh và không phải là cực của hàm dưới dấu tích phân trong biểu thức (9). Do
đó, đường cong C khơng cịn là một tuyến phù hợp. Để giải quyết vấn đề này ta dựng
một nhát cắt dọc trục thực từ điểm z tới  . Trong hình 1, giả sử z là một số thực
dương, ký hiệu là x. Khi đó định nghĩa Dap f  z  dưới dạng tích phân đường  x  a 

Tạp chí
Kinh doanh và Cơng nghệ
Số 04/2019

69


NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI

Dap


f z 

  p  1
2 i

Kỹ thuật - Công nghệ

  p  1
2 i

   x 

 x 

 p 1
   x  f  d
a

 p 1

(10)

f  d 

L

Từ biểu thức (10) người ta có thể biến đổi dẫn đến biểu thức định nghĩa tích
phân cấp phân số theo Riemann-Liouville (2) [5].
3. Ứng dụng đạo hàm cấp phân số trong kỹ thuật điện
Như chúng ta đã biết [6] khi dòng điện i(t) chạy qua cuộn dây theo định luật cảm
di (t )
biến điện từ, điện áp trong cuộn dây có dạng: uL  L
dt
Khi điện áp trên tụ điện có điện dung C biến thiên thì dịng điện chuyển dịch qua
tụ điện được xác định bởi công thức:
du (t )
i C C
dt
Các công thức trên được xác định bằng thực nghiệm. Sử dụng khái niệm đạo
hàm cấp phân số, các cơng thức cơ bản trên có dạng [7, 8]:
d  uC (t )

i(t )  C
, 0  1
dt
d  i(t )
u (t )  L
, 0   1
dt 
Thí dụ 1. Để minh họa, ta thiết lập phương trình trạng thái của mạch điện RLC
nối tiếp như sau.

u

uR

uL

R

L

i
C

uC

Hình 2. Mạch RLC nối tiếp
Dịng điện được tính theo điện áp trên tụ điện:
du (t )
i (t )  C C
dt

Điện áp rơi trên điện trở và điện áp rơi trên điện cảm
du (t )
uR  R i(t )  uR  R i (t )  RC C
dt
2
d uC (t )
di(t )
uL (t )  L
 LC
dt
dt 2
Tạp chí
Kinh doanh và Cơng nghệ
Số 04/2019

70


NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI

Kỹ thuật - Công nghệ

u (t )  uL (t )  uR (t )  uC (t )

hay:

d 2uC (t )
du (t )
 LC
 RC C  uC (t )

2
dt
dt

d 2uC (t )
du (t )
LC
 RC C  uC (t )  u (t ) .
(11)
2
dt
dt
Nếu sử dụng các công thức đạo hàm cấp phân số ta có:
d  uC (t )
d  uC (t )

 uC (t )  u (t )
LC
RC
(12)
dt 
dt
Trong đó 0    1, 1    2 .
Các kết quả tính tốn theo phương trình (12) gần với các kết quả thực nghiệm
hơn các kết quả tính tốn theo phương trình (11) [7, 8].
4. Ứng dụng đạo hàm cấp phân số trong kỹ thuật dao động
Trong những năm gần đây việc áp dụng đạo hàm cấp phân số trong tính tốn dao
động của các cơ hệ có các vật liệu mới, các vật liệu thông minh được quan tâm nghiên
cứu nhiều [2 -5]. Ta nêu một vài điểm khác biệt như sau.
Thứ nhất, quy luật cản khơng cị là cản bậc nhất hoặc cản bậc hai như các tài liệu

cổ điển:
2
hoặc FC  b d x 2
(13)
FC  a dx
dt
dt
mà là cản cấp phân số:

(14)
FC  c d x 
dt
với  là một số không nguyên hoặc một số phức.
Thứ hai, quan hệ giữa ứng suất-biến dạng không còn tuân theo định luật Hook cổ
điển:
 xx  E xx
(15)
mà có dạng
d   xx
)
 xx  E ( xx  a
(16)
dt
với  là một số không nguyên hoặc một số phức.

Tạp chí
Kinh doanh và Cơng nghệ
Số 04/2019

71

NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI

Kỹ thuật - Cơng nghệ

Thí dụ 2. Thiết lập phương trình vi phân dao động của giá treo ô tô:

Gọi x1, x2 và u là dịch chuyển của các vật và bánh xe. Ta có định luật 2 Newton
m1 x1   R1 ,
(17)
m2 x2  R1  R2 ,
Trong đó R1 , R2 là nội lực sinh ra bên trong vật thể đàn nhớt. Giá trị lực R2 bằng
tổng giá trị lực tác dụng lên giảm chấn c2 và lực tác dụng lên lò xo k

Trong đó :

cơ hệ

R1  c1  x1  x2  ,

(18)

R2  R2  k   R2  c2  ,

(19)

R2  k   k  x2  u  , R2  c2   c2 Dt  x2  u  , (20)

 R2  c2 Dt  x2  u   k  x2  u  ,

(21)
Từ phương trình (17), (18) và (21) ta có phương trình vi phân chuyển động của

m1x1  c1  x1  x2 

(22)

m2 x2  c1  x1  x2   c2 Dt  x2  u   k  x2  u  , (23)
Rút x1 từ phương trình (23)
m
c
k
x1  2 x2  x2  2 Dt x2  x2
c1
c1
c1
c
k
 2 Dt u  u,
c1
c1
Đạo hàm phương trình (24) ta được :

(24)

Tạp chí
Kinh doanh và Công nghệ
Số 04/2019

72

NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI

Kỹ thuật - Công nghệ

x1 

m2
c
k
x2  x2  2 Dt 1 x2  x2
c1
c1
c1

(25)
c2  1
k
 Dt u  u ,
c1
c1
Thay phương trình (24) và (25) vào (22) ta được phương trình vi phân cấp ba sau
c
c 
c
k
x2   1  1  x2  2 Dt 1 x2 
x2
m2

m2
 m1 m2 


c1c2 
kc1
Dt x2 
x2
m1m2
m1m2

(26)

c2  1
cc
kc1
k
Dt u 
u  1 2 Dt u 
u.
m2
m2
m1m2
m1m2
Thí dụ 3. Dao động phi tuyến có thành phần cản cấp phân số [9, 10].
Xét dao động của hệ Duffing như hình 5.


Hình 5. Mơ hình Duffing
Phương trình vi phân mơ tả dao động có dạng

mx  t   k1 x  t   cx  t   k3 x3  t   c p D p  x  t 
 E0 cos  t 

(27)

Trong đó:
m : khối lượng cơ hệ ( kg ) ;

k1 : hệ số độ cứng tuyến tính (

kg
);
s2

kg
);
s
kg
k3 : hệ số độ cứng phi tuyến ( 2 2 ) ;
cm s
E0 : biên độ lực cưỡng bức ( N ) ;
rad
);
 : tần số góc lực cưỡng bức (
s

c : hệ số cản nhớt tuyến tính (

Tạp chí
Kinh doanh và Công nghệ

Số 04/2019

73