9_huy2_2183

Kỹ thuật điều khiển & Tự động hóa

PHƯƠNG TRÌNH EULER-LAGRANGE CỦA ĐÀI QUAN SÁT
QUANG ĐIỆN TỬ TRÊN PHƯƠNG TIỆN CƠ ĐỘNG
Vũ Quốc Huy*
Tóm tắt: Bài báo diễn giải lại kết quả nghiên cứu xây dựng phương trình
Euler-Lagrange được thực hiện trong [2], trong đó nhấn mạnh đến một số hiệu
chỉnh mơ hình dựa trên điều kiện hoạt động thực tế của các đài quan sát quang
điện tử [1] đã và đang được trang bị trong quân đội hiện nay.
Từ khóa: Euler-Lagrange; Đài quan sát; Phương tiện cơ động; Góc nghiêng.

1. MỞ ĐẦU
Đài quan sát mục tiêu là một thành phần khơng thể thiếu trong tổ hợp điều
khiển hỏa lực phịng khơng tích hợp trên phương tiện cơ động hoặc nằm trong cụm
tổ hợp phịng khơng mặt đất [1]. Đây là một hệ thống định vị mục tiêu sử dụng các
thiết bị quang điện tử như camera ánh sáng ngày, camera ảnh nhiệt hồng ngoại và
đo xa la-de đặt trên một cơ hệ quay quét. Máy đo xa la-de đo cự ly từ đài quan sát
đến mục tiêu. Các camera thu nhận cảnh vật bên ngoài và tạo ra các chuỗi ảnh đưa
vào hệ điều khiển truyền động bám.
Ở cơng trình nghiên cứu [2], động lực học của hệ quay quét đã được xây
dựng, Theo đó, các yếu tố liên quan đến chuyển động của phương tiện cũng được
đưa vào phương trình mơ tả động lực học cơ hệ. Phương trình Euler-Lagrange
trong [2] không chú trọng phân rã độc lập các kênh điều khiển tầm và hướng như
kết quả nghiên cứu trong [1], [3], [4] mà coi chúng có sự liên kết với nhau. Xét
một cách tổng quát, bài toán xây dựng phương trình động lực học và đề xuất
thuật tốn điều khiển đã có lời giải phù hợp. Tuy nhiên, trong thực tế, tất cả các
đài quan sát đưa vào trang bị trong quân đội, mặc dù được đưa lên phương tiện
cơ động nhưng đều đang hoạt động ở vị trí cố định. Có nghĩa, phương tiện chỉ
mang tính cơ động di chuyển đến vị trí mới, sau đó dừng lại, thiết lập và thực
hiện bắt bám. Vì phương tiện khơng chuyển động trong q trình bắt bám nên
động lực học của cơ hệ quay quét sẽ có thể được hiệu chỉnh ở một biểu diễn toán

học khác, đơn giản hơn. Với cách tiếp cận như vậy, bài báo diễn giải lại phương
trình động lực học của cơ hệ quay quét thực hiện trong [2] và phân tích những
ảnh hưởng do sự tích hợp cơ hệ của đài quan sát trên phương tiện cơ động. Từ đó
hiệu chỉnh phương trình động lực học này phù hợp với điều kiện hoạt động của
các đài quan sát đang trang bị hiện nay.
2. CÁC HỆ TỌA ĐỘ SỬ DỤNG
Các hệ tọa độ gắn với cơ hệ ĐQS được biểu diễn trên hình 1. Gọi O là gốc hệ
tọa độ liên kết. Gọi B là gốc hệ tọa độ gắn liền với phương tiện, có trục Bxb trùng
với trục dọc của phương tiện và hướng về phía trước của phương tiện; Byb vng
góc với Bxb và nằm trên mặt phẳng song song với sàn xe; trục Bzb hướng lên trên
và hợp với Bxb, Byb tạo thành một tam diện thuận. Gọi A là gốc hệ tọa độ chuyển
động gắn với khối phương vị, có Aza trùng với trục quay phương vị và hướng lên
trên; Aya hướng về phía mục tiêu, vng góc với Aza trên mặt phẳng đối xứng của
đài; Axa nằm trên mặt phẳng phương vị và tạo với các trục Aza, Aya thành một tam
diện thuận. Gọi E là gốc hệ tọa độ chuyển động gắn với khối tà, có Eye trùng với
70

Vũ Quốc Huy, “Phương trình Euler-Lagrange của đài quan sát … phương tiện cơ động.”


Nghiên ccứu
ứu khoa học công nghệ

véc-tơ
véc
tơ đường
đường ngắm của đđài;
ài; Eze hư
hướng
ớng llên

ên trên, vng góc vvới
ới Eye trong m
mặt
ặt
phẳng đối xứng của đđài;
phẳng
ới trục quay ttàà và có chi
chiều
ều sao cho chính nó
ài; Exe trùng vvới
hợp
ợp với các trục Eze, Eye tạo
ạo thành
thành m
một
ột tam diện thuận.
Sau đây ssẽẽ gọi tắt llàà các hệ
hệ tọa độ O
O,, B,, A và E.
E. Như vvậy
ậy ggóc
óc trục
trục ph
ương vvịị 
phương
là góc quay của
của hệ tọa độ A so với
với hệ tọa độ B quanh tr
trục
ục Aza; góc trục

trục ttà  là góc
quay ccủa
ủa hệ tọa
ọa độ E so vvới
ới hệ tọa độ A quanh tr
trục
ục Exe.

Hình 1.
Biểu diễn ccơ
ơ hhệệ của ĐQS ccơ
ơ đđộng
ộng.
1 Biểu
Phép biến
biến đổi T chuy
ển hệ tọa độ từ B sang A và phép bi
biến
ến đổi EAT chuy
chuyển
ển hệ tọa
chuyển
độộ từ A sang E như sau:
(1))
0
0 
 cos  sin  0 
1





A
E
cos  0  ;
cos  sin  
BT    sin 
AT   0
 0
 0  sin  cos  
0
1 
Véc-tơ
Véctơ tốc
tốc độ góc của hệ tọa độ E,, A,, B đư
được
ợc định nghĩa:
T
T
T
T
B
(2))
  Bx By Bz  ; A   Ax  Ay  Az  ; E   Ex  Ey  EzEz 
A
B

Giữa
Gi
ữa hệ tọa độ A và hhệệ tọa độ B chỉ

chỉ có một phép quay quanh tr
trục
ục Aza với
với tốc độ

góc  ; giữa
giữa hệ tọa độ E và hệ
ũng chỉ có một phép quay quanh trục Exe
hệ tọa độ A ccũng

với
ới tốc độ góc  , do đó:
T
T
E
A
(3))
  EAT A   0 0
  ABT B   0 0   ;
Từ
ừ ((1
1),
), (2)
( ) và (3
(3)) ta có các cơng thức
ức sau:

Tạp
ạp chí Nghi
Nghiên

ên cứu
cứu KH&CN qn
n sự,
sự, Số Đặc san TĐH, 04 - 2019

71


Kỹ thuật điều khiển & Tự động hóa

 Ax  Bx cos   By sin 

 Ay  Bx sin   By cos  ;


 Az  Bz  
Ex   Ax  

Ey   Ay cos    Az sin 

Ez   Ay sin    Az cos 

(4)

(5)

3. ĐỘNG LỰC HỌC HỆ QUAY QUÉT CỦA ĐÀI QUAN SÁT
3.1. Phương trình động lực học kênh tà
Định luật II Newton đối với chuyển động quay được biểu diễn như sau:
(6)

dH
M 
; với
H  J
dt
Trong (6), H là véc-tơ động lượng của khối quay; M là véc-tơ mô-men tác
động lên khối quay;  là tốc độ góc của trục quay; J là ma trận mơ-men qn
tính của khối quay.
Gọi A J và E J là ma trận mơ-men qn tính của khối tà và khối phương vị. Mơmen qn tính trục chính nên A J và E J có dạng ma trận đường chéo.
(7)
0 
0 
 J Ax 0
 J Ex 0




A
E
J   0 J Ay 0  ;
J   0 J Ey 0 
 0
 0
0 J Az 
0 J Ez 
Động lượng kênh tà:
E
(8)
H  E J E

Véc-tơ mô-men tổng tác động lên kênh tà:
(9)
d EH E
E
M
   EH
dt
Véc-tơ động lượng cơ hệ kênh tà:
0  Ex  Ex J Ex 
 J Ex 0

E
E E
H  J    0 J Ey 0  Ey   Ey J Ey 
 0
0 J Ez  Ez  Ez J Ez 
Mô-men ngoại lực tác động lên trục quay kênh tà tương ứng với hàng thứ nhất
của véc-tơ E M , gọi là M Ex :
(10)
d EH
M Ex 
 E  E H   Ex J Ex  EyEz J Ez  J Ey
x
dt x
Thay (5), (2.10) vào (9):



72







Vũ Quốc Huy, “Phương trình Euler-Lagrange của đài quan sát … phương tiện cơ động.”


Nghiên cứu khoa học công nghệ

M Ex   Ax   J Ex  EyEz  J Ez  J Ey 
  Ax   J Ex

(11a)

  Ay cos    Az sin   Az cos    Ay sin   J Ez  J Ey 

M Ex   Ax   J Ex
2
2


Az
 Ay
  AyAz cos 2 
sin 2   J Ez  J Ey 


2



Thay Az từ (4) vào (11b):
   J  J  cos 2
M  J   J     
Ex

M Ex

Ex

Ax

Ex

Bz

Ay

Ay

Ez

Ey

2
2
 Bz

 2Bz    2   Ay


  J Ez  J Ey  sin 2

2


1
 J Ex   J Ez  J Ey   2 sin 2
2
   J  J  cos 2
  Ax J Ex  Bz Ay  
Ay
Ez
Ey



1 2
2
Bz  2Bz    Ay
2



 J

Ez



1 2
2
Bz  2Bz    Ay
2



(11c)

(11d)

 J Ey  sin 2

Đặt:

M Ed   Ax J Ex  Bz Ay  
Ay



(11b)

 J
 J

Ez

Ez

 J Ey  cos 2

 J Ey  sin 2

(11e)

Mô-men tác động lên kênh tà:
(12)
1
M Ex  J Ex    J Ez  J Ey   2 sin 2  M Ed
2
M Ed chính là nhiễu do chuyển động của phương tiện tạo nên. Mô-men ngoại
lực M Ex bao gồm mô-men sinh ra từ cơ cấu chấp hành (CCCH) M Ew , mô-men ma
sát nhớt M Ev , ma sát Coulomb M Ec .
Gọi tỉ số truyền và hiệu suất truyền mô-men tương ứng là iE , E . Gọi mô-men
đầu trục động cơ là M Em . Mô-men sinh ra từ CCCH tác động lên cơ hệ kênh tà:
(13)
M Ew  iE E M Em
Tổng mô-men ngoại lực tác động lên trục tà là:
M Ex  M Ew   M Ev  M Ec 

(14)

Thay (13) vào (14):
M Ex  iE E M Em   M Ev  M Ec 

(15)

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san TĐH, 04 - 2019

73

Kỹ thuật điều khiển & Tự động hóa

Từ (10) và (15) có được:
(16)
1
J Ez  J Ey   2 sin 2

2
 M Ev  M Ec  M Ed
Phương trình (16) được viết lại:
(17)
J Ez  J Ey  2
J
M  M Ec  M Ed
M Em  Ex  
 sin 2  Ev
iE E
2iE E
iE E
Gọi f E là nhiễu tác động lên kênh tà, do chuyển động của phương tiện và lực
ma sát gây ra.
(18)
1
fE 
 M Ev  M Ec  M Ed 
iEE
Phương trình (17) được viết lại:
(19)
J  J Ey  2

J
M Em  Ex   Ez
 sin 2  f E
iEE
2iEE
3.2. Phương trình động lực học kênh phương vị
Véc-tơ động lượng cơ hệ kênh phương vị được tính bằng tổng động lượng của
kênh phương vị và động lượng của kênh tà quy về trục quay phương vị.
(20a)
A
H  A J A  ET 1 E J E

iE E M Em  J Ex 

A





Tương tự như kênh tà, tính được:

Ex J Ex
Ax J Ax  




A
H  Ay J Ay   Ey J Ey cos  Ez J Ez sin  

 Az J Az   Ey J Ey sin  Ez J Ez cos 

(20b)

Véc-tơ mô-men tổng tác động lên kênh phương vị:
(21)
d AH A
A
M
   AH
dt
Mô-men ngoại lực tác động lên trục quay góc phương vị tương ứng với hàng
thứ ba của véc-tơ A M , đặt là M Az :
(22)
d AH
M Az 
 A  A H
z
dt z





Tính tích có hướng A  A H , tính vi phân bậc nhất của AH sau đó thay vào
(22), có được:
M Az   Az J Az   Ey J Ey sin  Ey J Ey cos

  Ez J Ez cos  Ez J Ez sin
 Ax Ay J Ay  Ey J Ey cos  Ez J Ez sin 

(23a)

 Ay Ax J Ax  Ex J Ex 

74

Vũ Quốc Huy, “Phương trình Euler-Lagrange của đài quan sát … phương tiện cơ động.”


Nghiên cứu khoa học công nghệ

Thay Ey , Ez từ (5) vào (13a), tính được:
M Az   Az J Az   Ay cos    Aysin   Az sin    Az cos  J Ey sin
  Ay cos    Az sin    J Ey cos
  Az cos    Az  sin    Ay sin    Aycos  J Ez cos
  Az cos    Ay sin    J Ez sin
 Ax Ay J Ay  Ey J Ey cos  Ez J Ez sin 
 Ay Ax J Ax  Ex J Ex 

M Az   Az J Az
1
1

   Ay J Ey sin2   Ay J Ey sin 2   Az J Ey sin 2   Az  J Ey sin2 
2
2

1



   Ay J Ey cos 2   Az  J Ey sin 2 
2


1
1


   Az J Ez cos 2   Az  J Ez sin 2   Ay J Ez sin 2   Ay J Ez cos 2 
2
2


1

   Az  J Ez sin2   Ay J Ez sin 2 
2

 Ax Ay J Ay  Ey J Ey cos  Ez J Ez sin   Ay Ax J Ax  Ex J Ex 
M Az   Az J Az   Az J Ey sin 2   Az J Ez cos 2 
  Az  J Ey  J Ez  sin2  Ay Ax J Ax  Ex J Ex 
1
  Ay  J Ey  J Ez  sin2   Ay  J Ey  J Ez 
2
 Ax Ay J Ay  Ey J Ey cos  Ez J Ez sin 

(23b)

Thay Az từ (4) vào (13b):

   J  J  sin2
M Az   J Az  J Ey sin 2  J Ez cos 2    
Ez
Ey
 Bz  J Ez  J Ey  sin2   J Az  J Ey sin 2  J Ez cos 2   Bz
1
  Ay  J Ez  J Ey  sin2   Ay  J Ez  J Ey 
2
 Ax Ay J Ay  Ey J Ey cos  Ez J Ez sin 

(24)

 Ay Ax J Ax  Ex J Ex 

Đặt:

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san TĐH, 04 - 2019

75


Kỹ thuật điều khiển & Tự động hóa

(24a)

J Az  J Az  J Ey sin 2  J Ez cos2
M Ad  Bz  J Ez  J Ey  sin2   J Az  J Ey sin 2  J Ez cos 2   Bz
1
  Ay  J Ez  J Ey  sin2   Ay  J Ez  J Ey 
2

 Ax Ay J Ay  Ey J Ey cos  Ez J Ez sin 

(24b)

 Ay Ax J Ax  Ex J Ex 
Thay (24a) và (24b) vào (24):
 sin2  M
M Az  J Az    J Ez  J Ey  
Ad

(25)

Trong (24a), M Ad chính là nhiễu do chuyển động của phương tiện tạo ra.
Mô-men ngoại lực M Az bao gồm mô-men sinh ra từ CCCH M Aw , mô-men ma
sát nhớt M Av , mô-men ma sát Coulomb M Ac .
Gọi tỉ số truyền và hiệu suất truyền mô-men tương ứng là iA ,  A . Gọi mô-men
đầu trục động cơ là M Am . Mô-men sinh ra từ CCCH tác động lên kênh phương vị:
(26)
M Aw  iA A M Am
Tổng mô-men ngoại lực tác động lên trục phương vị là:
M Az  M Aw   M Av  M Ac 

(27)

Thay (26) vào (27):
M Az  iA A M Am   M Av  M Ac 

(28)

Mô-men sinh ra từ CCCH chính là tổng mơ-men ngoại lực tác động lên kênh

phương vị. Cân bằng (25) và (28):
(29)
J Az
M  M Ac  M Ad
1 
M Am    
  J Ez  J Ey  sin 2  Av
iA A
iA A
iA A
Gọi f A là nhiễu tác động lên kênh phương vị, do chuyển động của phương tiện
và lực ma sát gây ra.
(30)
1
fA 
 M Av  M Ac  M Ad 
iA A
Phương trình (29) được viết lại:
J Az
J  J Ey 
M Am 
  Ez
 sin 2  f A
iA A
iA A

(31)

Như vậy phương trình động lực học cơ hệ quay/quét của ĐQS có dạng (19),
(31). Nhiễu tác động lên kênh tà và kênh phương vị có dạng (18), (30). Động lực

học cơ hệ ĐQS dưới dạng phương trình Euler-Lagrange như sau:
(32)
u  D( q ) q  C ( q , q ) q  d
u   M Am

76

T

M Em  ; q   

T

  ; d   fA

T

fE 

(32a)

Vũ Quốc Huy, “Phương trình Euler-Lagrange của đài quan sát … phương tiện cơ động.”