phuong phap chung minh phan chung

CHUYÊN ĐỀ 9 – PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
Giả sử ta phải chứng minh một mệnh đề có dạng P  Q , với P được gọi là giả thiết, Q là
kết luận. Ta tiến hành như sau:
- Giả sử Q sai.
- Từ Q sai và từ P, dùng lập luận, suy diễn để dẫn tới một điều vơ lí.
Phương pháp này gọi là phương pháp chứng minh phản chứng.
Chú ý: Ta có có thể dùng phương pháp phản chứng để chứng minh ngun lí Dirichlet. Do đó
với nhiều bài tốn ta có thể chứng minh bằng ngun lí Dirichlet (Được trình bày trong Chuyên
đề 10) hoặc phương pháp chứng minh phản chứng
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN QUA CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Một lớp học có 43 em, gồm các em họ Nguyễn, họ Phạm và họ Trần. Chứng minh rằng
có ít nhất 19 em họ Nguyễn hoặc ít nhất 14 em họ Phạm hoặc ít nhất 12 em họ Trần.
Ví dụ 2. Cho 441 số nguyên dương a1 ; a2 ; a3 ;...;a 441 thỏa mãn
1
1
1
1
+
+
+ ... +
= 41
a1
a2
a3
a441
Chứng minh rằng trong 441 số đã cho có ít nhất hai số bằng nhau.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng trong 2007 số khác nhau tùy ý được lấy ra từ tập
A = 1; 2;3;...; 20062007  có ít nhất hai số x, y thỏa mãn: 0  2007 x − 2007 y  1
(Vòng 2, THPT Chuyên – TP.Hà Nội, năm học 2006 - 20017)
Ví dụ 4. Cho 7 số thực đều lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. Chứng minh rằng ln tìm được ba số là

độ dài ba cạnh của của một tam giác
Ví dụ 5. Cho tập hợp A = 0;1; 2;...;9 .Chứng minh rằng mỗi tập con B gồm 5 phần tử của tập
hợp A thì trong tổng x + y với x, y khác nhau của tập hợp B ln tồn tại ít nhất hai tổng có chữ
số hàng đơn vị như nhau.
(Vòng 2, THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa, năm học 2011 - 2012)
Ví dụ 6. Trên mặt phẳng Oxy, A ( x; y ) được gọi là điểm nguyên nếu x, y  . Giả sử A1 A2 A3 ... An
là n – giác lồi có tất cả các đỉnh là điểm nguyên. Biết rằng miền đa giác đó (bao gồm các điểm
thuộc miền trong và thuộc cạnh) khơng chứa bất kì điểm ngun nào ngồi các đỉnh. Chứng
minh rằng n  4 .
(Vịng 2, Lớp Toán đặc biệt – Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội năm học 1994
- 1995)
Ví dụ 7. Các đỉnh của một thập giác đều được gán bởi các số tự nhiên 1, 2, 3, …, 10 một cách
tùy ý (Các đỉnh khác nhau được gán bởi các số khác nhau). Chứng minh rằng luôn tồn tại ba đỉnh
liên tiếp mà tổng các số được gán khơng nhỏ hơn 17.
Ví dụ 8. Cho đa giác lồi n cạnh ( n  4 ) trong đó tất cả các đường chéo bằng nhau. Tìm giá trị
lớn nhất của n.
(Vòng 2, THPT Chuyên – tỉnh Hà Tây (cũ) năm học 2008 - 2009)
Ví dụ 9. Chứng minh rằng một tam giác có hai đường phân giác bằng nhau thì tam giác đó là
tam giác cân.