Phương pháp chứng minh phản chứng và chứng minh loại dần trong toán phổ thông

Khóa luận tốt nghiệp

A.MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong các môn học thì Toán học có vị trí nổi bật, nó có nguồn gốc từ
thực tiễn, có mặt ở khắp mọi nơi và là chìa khoá trong hầu hết hoạt động
của con người, môn học này giúp chúng ta mở rộng kiến thức để bước
vào cuộc sống. Đặc biệt trong chương trình phổ thông, Toán là môn khoa
học công cụ giúp học sinh rèn luyện trí thông minh. Và để giúp học sinh
nắm vững “chìa khoá” là tri thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo để ứng dụng
Toán học vào cuộc sống thì các bài toán trong trường phổ thông chính là
một phương tiện hiệu quả và không thể thay thế. Việc giải quyết các bài
toán có thể coi là mục tiêu ban đầu của cấu trúc Toán học và là phần
không thể chia tách được của các hoạt động Toán học. Giải toán giúp học
sinh rèn luyện kĩ năng suy luận tư duy logic, khả năng sáng tạo, rèn luyện
tính kiên trì đồng thời giúp học sinh củng cố, tổng hợp được các kiến
thức.
Trong chương trình phổ thông học sinh gặp rất nhiều bài toán chứng
minh và cũng có nhiều phương pháp chứng minh để giải quyết các bài
toán này. Mỗi phương pháp đều có cái hay và thế mạnh riêng với mỗi
dạng bài. Trong khoá luận này tôi xin đề cập đến hai phương pháp chứng
minh rất hữu ích hay dùng trong lập luận Toán học với những bài toán
mà việc sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp đôi khi khó giải
quyết.
Với mong muốn giúp cho bản thân cũng như các bạn sinh viên có
được hệ thống một cách khoa học về hai phương pháp chứng minh hay
Bùi Thị Thu Hiền

1

Khóa luận tốt nghiệp

Bùi Thị Thu Hiền

2


sử dụng của chứng minh gián tiếp qua đó giúp cho việc đào sâu, mở rộng
kiến thức có ích. Từ đó có thể vận dụng hai phương pháp chứng minh
này phổ biến hơn khi giảng dạy các bài toán trong trường phổ thông. Đó
là lí do tôi chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN
CHỨNG VÀ CHỨNG MINH LOẠI DẦN TRONG TOÁN PHỔ
THÔNG”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tìm hiểu phương pháp chứng minh phản chứng và chứng minh loại
dần trong toán phổ thông thông qua một số bài toán. Nhận dạng một số
bài toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng và bài toán sử
dụng phương pháp chứng minh loại dần, từ đó góp phần nâng cao kỹ
năng giải toán và phát triển năng lực chứng minh toán học, nâng cao chất
lượng dạy và học.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về phương pháp chứng minh phản chứng và
chứng minh loại dần.
- Nghiên cứu một số bài toán sử dụng phương pháp chứng minh phản
chứng và phương pháp chứng minh loại dần.
- Vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng và loại dần vào giải
quyết một số bài toán.
4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán sử dụng phương pháp chứng minh
phản chứng và phương pháp chứng minh loại dần.

- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sử dụng phương pháp chứng minh
phản chứng và loại dần trong chương trình toán phổ thông.



5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. CẤU TRÚC KHOÁ LUẬN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì khoá
luận còn có hai chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận
Chương 2: Phương pháp chứng minh phản chứng và phương pháp
chứng minh loại dần trong toán phổ thông



B.NỘI DUNG
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. CHỨNG MINH TOÁN HỌC VÀ CÁC YÊU CẦU CỦA CHỨNG
MINH TOÁN HỌC
1.1.1. Thế nào là chứng minh
Định nghĩa: Giả sử G là tập hợp những mệnh đề toán học và  là một
mệnh đề toán học nào đó. Ta nói rằng  được chứng minh từ giả thiết G,
nếu tồn tại một dãy hữu hạn các mệnh đề toán học A1, A2,…, An (1) sao
cho các yêu cầu sau được thoả mãn.
a) An là .
b) Với mọi i, i=1, 2,…, n, A hoặc là một tiên đề hoặc là một định nghĩa
hoặc là một định lý hoặc là một phần tử của tập G được suy ra từ một
mệnh đề đứng trước nó trong dãy (1) nhờ vào một quy tắc hay một suy

luận logic.
Nói cách khác, quá trình suy diễn xác nhận tính chất thực hoặc bác bỏ
mệnh đề nào đó nhờ vào các mệnh đề đúng đã biết gọi là chứng minh.
1.1.2. Cấu trúc của một chứng minh
Mỗi chứng minh gồm 3 thành phần:
1) Luận đề là mệnh đề cần chứng minh.
2) Luận cứ là các mệnh đề mà dựa vào nó để suy ra mệnh đề phải chứng
minh.
3) Luận chứng là các quy tắc suy luận logic được dùng trong chứng
minh.



1.1.3. Yêu cầu của chứng minh
a) Yêu cầu logic của luận đề
Mệnh đề đứng sau của một chứng minh nhất thiết là mệnh đề cần chứng
minh An ≡ . Nghĩa là luận đề không được tráo đổi, không được thay thế
bằng mệnh đề không tương đương logic.
b) Yêu cầu logic của luận chứng
Việc rút ra một mệnh đề mới từ các mệnh đề trước đó trong quá trình
chứng minh phải theo các quy tắc suy diễn logic.
c) Yêu cầu logic của luận cứ
Mỗi mệnh đề trong chứng minh đều phải là một tiên đề, hoặc một định
nghĩa, hoặc một định lý, hoặc một mệnh đề trong giả thiết, hoặc một hệ
quả logic của mệnh đề đứng trước nó trong quá trình chứng minh được
rút ra nhờ một quy tắc suy luận logic, nghĩa là luận cứ phải là một mệnh
đề đúng.
1.2. CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
1.2.1. Định nghĩa
Phép chứng minh mệnh đề nào đó thông qua bác bỏ mệnh đề phủ định

của nó được gọi là phép chứng minh phản chứng. Nghĩa là để chứng
minh mệnh đề A ⇒ B, người ta bác bỏ mệnh đề A¯ ¯⇒¯ ¯ B¯ được gọi
là phép chứng minh mệnh đề A ⇒ B.
Mục tiêu
Mục tiêu của phép chứng minh phản chứng là bác bỏ mệnh đề phủ định
của mệnh đề cần chứng minh.



1.2.2. Sơ đồ của phép chứng minh phản chứng
((A¯ ¯ ⇒¯ ¯ ¯B¯)
⇒ X ) ¯X A ⇒ B
Với X là A¯, B¯, CC¯ , D¯ .
Trong đó C là một mệnh đề nào đó, D là một mệnh đề đúng đã biết.
1.2.3. Cơ sở của phép chứng minh phản chứng
Cơ sở của phép chứng minh phản chứng là luật bài trung: hai mệnh đề
X và X¯ không cùng sai. Khi bác bỏ mệnh đề X¯ nghĩa là tính chân
thực của X vì mệnh đề X chỉ có thể xảy ra hai khả năng hoặc đúng
hoặc sai còn X¯ tương ứng là hoặc sai hoặc đúng.
Các hình thức của chứng minh phản chứng
Việc bác bỏ mệnh đề phủ định của mệnh đề cần chứng minh A ⇒ B sau
đó dựa vào luật bài trung khẳng định A ⇒ B là đúng dựa vào chứng minh
mệnh đề sau đó coi là các hình thức của chứng minh phản chứng, đó là
các dạng của chứng minh phản chứng.
Dạng 1: AB¯ ⇒ A¯.
Dạng 2: AB¯ ⇒
CC¯. Dạng 3:
AB¯ ⇒ D¯ . Dạng
4: AB¯ ⇒ B.
Với C là mệnh đề nào đó.

D là mệnh đề đúng đã biết.
4 mệnh đề trên tương đương logic với nhau và tương đương với mệnh
đề A ⇒ B. Do đó để chứng minh mệnh đề ta chỉ cần chứng minh xảy ra 1
trong 4 mệnh đề trên.



Các bước của phép chứng minh phản chứng mệnh đề A ⇒ B
- Bước 1: (Giả sử) Phủ định mệnh đề A ⇒ B hay AB¯.
- Bước 2: (Tìm mâu thuẫn) Xuất phát từ giả thiết có: AB¯ qua quá
trình suy luận chứng minh rút ra điều mâu thuẫn (tìm mâu thuẫn):
Hoặc là trái với giả thiết A (dạng 1).
Hoặc là suy ra 2 điều trái ngược nhau (dạng 2).
Hoặc là suy ra điều mâu thuẫn với điều đúng đã biết (dạng 3)
Hoặc là suy ra chính kết luận (dạng 4).
- Bước 3: (Kết luận) Tìm mâu thuẫn khẳng định giả thiết AB¯
không
chính xác, sử dụng luật bài trung khẳng định tính chân thực của A ⇒ B.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng a  b  2 ab với  a ,  0 .
b
Chứng minh:
+ Bước 1: Giả sử  a ,
b

 0 ta có a  b  2 ab .

+ Bước 2: Tìm mâu thuẫn:
a,
b

 0 ta có: a  b  2 ab  (a  b)2  4ab
2

2

2

 a  2ab  b  0  (a  b)  0 (vô lí).
+ Bước 3: Do đó điều giả sử là sai.
Vậy ta có a  b  2 ab với  a ,  0 .
b
Ví dụ trên áp dụng dạng 3: AB¯ ⇒ D¯.
Trong đó A:  a ,  0 .
b


B: a  b  2 ab .
B¯: a  b  2 ab .
2
D: (a  b)  0.


2
D¯: (a  b)  0.

Ví dụ 2: Cho d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau. Trên d1 lấy hai điểm
phân biệt A, B. Trên d2 lấy hai điểm phân biệt C và D. Chứng minh rằng
AC và BD chéo nhau.
Chứng minh:
+Bước 1:

Giả sử AC và BD không chéo nhau.

d1

A

B

+Bước 2: Tìm mâu thuẫn:
Như vậy có một mặt phẳng (P)
chứa cả d1 và d2. Khi đó ta có

d2
P

C

D

d1 và d2 cùng nằm trên (P).
Điều này mâu thuẫn với giả thiết d1 và d2 chéo nhau.
+Bước 3: Kết luận:
Vậy AC và BD chéo nhau.
Ví dụ 2 này thuộc dạng 1: AB¯ ⇒ A¯.
Với A: Cho d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau. Trên d1 lấy hai điểm
phân biệt A, B. Trên d2 lấy hai điểm phân biệt C và D.
A¯: hai đường thẳng d1 , d2 đồng phẳng.
B: AC và BD chéo nhau.
B¯: AC và BD không chéo nhau.

1.3. CHỨNG MINH LOẠI DẦN
1.3.1. Định nghĩa
Nếu mệnh đề X chỉ có k khả năng xảy ra, phép chứng minh mệnh đề X
xảy ra với k khả năng thứ i thông qua bác bỏ k-1 khả năng còn lại được
gọi là phép chứng minh loại dần.
1.3.2. Sơ đồ của phép chứng minh loại dần
Nếu mệnh đề X có k khả năng xảy ra là: X1, X2,…, Xk.
Mệnh đề X không xảy ra với khả năng thứ j: X¯j.
Sơ đồ của phép chứng minh loại dần:
(X1 ⊻ X2 ⊻ … ⊻ Xk ) X¯1 ¯X2 … X¯i–1
X¯i+1 … X¯k Xi
Như vậy có 3 bước tiến hành chứng minh loại dần.
- Bước 1: Khẳng định chỉ có k khả năng xảy ra.
- Bước 2: Bác bỏ k-1 khả năng còn lại.
- Bước 3: Khẳng định X xảy ra ở khả năng thứ k.
1.3.3. Cơ sở logic của phép chứng minh loại dần
Cơ sở logic của phép chứng minh loại dần là tam đoạn luận lựa chọn,
tuân theo quy tắc ba bước phù hợp với các bước của phép chứng minh
loại dần và có sơ đồ:

(A ⊻
B)A¯
B

bước thực hiện tương ứng là:
- Bước 1: Chỉ có A hoặc B.
- Bước 2: Có A¯ (A).

hoặc

(A ⊻
B)A
B

. Với sơ đồ này thì các


- Bước 3: Kết luận có B (B¯).


Như vậy khi sử dụng phương pháp chứng minh loại dần phải chỉ ra mệnh
đề đó có đúng k khả năng xảy ra.
Ví dụ 1: Cho x  2  4 . Chứng minh rằng x là số vô tỉ.
3
3
Chứng
minh:
+ Bước 1: Có

x hữu tỉ hoặc vô tỉ.
+ Bước 2: Bác bỏ khả năng x là số hữu tỉ:
x  R , do đó

Từ x  3 2  4 suy ra x là nghiệm của phương trình x 3  6 x  6  0 .
3
Nếu x là số hữu tỉ thì x phải nguyên là là ước của 6, khi đó x có thể là
±1, ±2, ±3, ±6. Nhưng ±1, ±2, ±3, ±6 không là nghiệm của phương
trình

x  6x  6  0 . Vậy x không phải là số hữu tỉ.
3

+Bước 3: Kết luận:
Vậy x là số vô tỉ.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì nó phải là
hình bình hành.
Chứng minh:
+ Bước 1:
Giả sử tứ giác ABCD có tâm đối xứng I.
Qua phép đối xứng tâm I, tứ giác ABCD

chỉ có thể biến thành A, B, C hay D.

Bùi Thị Thu Hiền

B
I

biến thành chính nó nên đỉnh A

+ Bước 2:

A

CD

10

 Nếu đỉnh A biến thành chính nó thì A ≡ I. Khi đó tứ giác có hai
đỉnh đối xứng qua A. Điều này vô lí.

Bùi Thị Thu Hiền

11


 Nếu A biến thành B hoặc D thì tâm đối xứng thuộc cạnh AB hoặc
AD của tứ giác nên cũng suy ra điều vô lí.
+ Bước 3: Vậy A chỉ có thể biến thành đỉnh C.
Lí luận tương tự đỉnh B chỉ có thể biến thành đỉnh D. Khi đó tâm đối
xứng I là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên tứ giác ABCD
phải là hình bình hành.



KẾT LUẬN CHƯƠNG
Ở chương 1 tôi đã trình bày về cơ sở lí luận của hai phương pháp
chứng minh trong các phương pháp thuộc hệ thống các phương pháp chứng
minh gián tiếp là phương pháp chứng minh phản chứng và phương pháp
chứng minh loại dần. Đồng thời trong chương này để tiện cho việc giải một
bài toán có sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng, phương pháp
chứng minh loại dần tôi cũng đã trình bày các bước tiến hành từ đó nâng
cao hiệu quả giải toán.
Có thể nhận thấy trong phương pháp chứng minh loại dần, ở bước 2 là
bác bỏ k – 1 khả năng có thể xảy ra, nghĩa là ta giả sử có thể xảy ra k – 1
khả năng rồi dùng suy luận để chứng minh không thể xảy ra k – 1 khả năng
đó. Trong bước này có sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng, do

đó cần kéo léo lựa chọn và kết hợp hai phương pháp trên để có cách giải tối
ưu.



Chương 2
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG VÀ
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH LOẠI DẦN TRONG
TOÁN PHỔ THÔNG
2.1. MỘT SỐ BÀI TẬP SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
PHẢN CHỨNG
Chứng minh phản chứng có thể nói là một trong những vũ khí quan trọng
của toán học. Nó cho phép chúng ta chứng minh sự có thể và không có
thể của một tính chất nào đó, nó cho phép chúng ta biến thuận thành đảo,
biến đảo thành thuận, nó cho phép chúng ta lý luận trên những đối tượng
mà không rõ là có tồn tại hay không.
Những bài toán về khẳng định một hệ thức đúng, khẳng định nghiệm của
phương trình, hệ phương trình hoặc chứng minh một bất đẳng thức …
trong các phân môn đại số, hình học, số học người ta hay dùng phương
pháp chứng minh phản chứng.
* Tìm mệnh đề phủ định của điều cần chứng minh:
Trong các bài toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng ở bước
một là muốn phủ định lại kết luận như vậy phải tạo ra mệnh đề phủ định
của điều cần chứng minh. Đây cũng là vấn đề mang tính logic của các
mệnh đề. Trong các phát biểu toán học thường tồn tại những dạng mệnh
đề sau: