BÀI GIẢNG HÌNH HỌC 11
CHƯƠNG III : VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
BÀI 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1.Vectơ trong không gian
ĐỊNH NGHĨA VECTƠ
V
E
C
T
Ơ
2 VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
2 VECTƠ BẰNG NHAU
VEC TƠ-KHÔNG
PHÉP CỘNG CÁC VEC TƠ
CÁC
PHÉP
TOÁN
VECTƠ
PHÉP TRỪ HAI VECTƠ
PHÉP NHÂN VÉC TƠ
VỚI MỘT SỐ
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA
HAIVÉC TƠ
MỘT SỐ TÍNH CHẤT QUAN TRỌNG
• Qui tắc 3 điểm.
Với ba điểm A,B,C bất kì ln có:
• Qui tắc hình bình hành.
Nếu ABCD là hình bình hành thì:
uuur uuur uuur
AB + BC = AC
uuu
r uuu
r uuur
BC − BA = AC
uuur uuur uuur
AB + AD = AC
• Tính chất trung điểm đoạn thẳng:
uuu
r uuu
r r
GA + GB = 0
⇔
G là trung điểm đoạn thẳng AB
uuur 1 uuu
r uuu
r
Với O bất kì: OG = OA + OB
• Tính chất trọng tâm tam giác:
2
uuu
r uuu
r uuur r
GA + GB + GC = 0
G là trọng tâm ∆ ABC ⇔
uuur 1 uuur uuu
r uuur
Với O bất kì: OG
= (OA + OB + OC )
3
• Tính chất trọng tâm tứ diện.
uuu
r uuu
r uuur uuur r
0
G là trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GCu+uurGD =uu
r uuu
r uuur uuur
1 u
Với O bất kì: OG = 4 ( OA + OB + OC + OD )
(
)
• Chứng minh tính chất trọng tâm tứ diện.
G là trọng tâm tứ diện ABCD
uuu
r uuu
r uuur uuur r
GA + GB + GC + GD = 0
⇔
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
Với O bất kì: OG
= ( OA + OB + OC + OD )
4
A
•Nếu gọi P,Q lần lượt là trung điểm
của hai cạnh AB và CD thì:
GA + GB = 2GP
GC + GD = 2GQ
P
B
G
D
Q
Khi đó:
C
GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ 2GP + 2GQ = 0 ⇔ GP + GQ = 0
⇔ G là trung điểm đoạn thẳng PQ
⇔ G là trọng tâm của tứ diện ABCD
• Chứng minh tính chất trọng tâm tứ diện.
G là trọng tâm tứ diện ABCD
uuu
r uuu
r uuur uuur r
GA + GB + GC + GD = 0
⇔
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
Với O bất kì: OG
= ( OA + OB + OC + OD )
4
•Với điểm O bất kì ta có:
GA = OA − OG
GB = OB − OG
GC = OC − OG
GD = OD − OG
A
P
G
B
D
C
Bởi vậy:
Q
+ OA + OB + OC + OD = 0
GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ −4OG
1
⇔ OG =
4
(OA + OB + OC + OD)
2.Các véc tơ đồng phẳng
a
c
Định nghĩa:
Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba
đường thẳng chứa chúng cùng song
song với một mặt phẳng.
Nhận xét:
B
Nếu ta vẽ:
OA = a; OB = b; OC = c
α
C
b
A
b a
c
O
Thì: Ba véc tơ a , b, c đồng phẳng khi và chỉ khi
bốn điểm O,A,B,C cùng nằm trên một mặt phẳng
Ví dụ1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
Hãy xác định rõ ba véc tơ nào sau đây đồng
phẳng hoặc không đồng phẳng.
1)
2)
3)
4)
uuur uuuuruuuur
DA, DC , DD ' (Không đồng phẳng)
uuur uuuuruuuuur
DA, DC , D ' B ' (Đồng phẳng)
uuuu
r uuuuruuuur
BC ' , CB ' , D 'C ' (Không đồng phẳng)
uuur uuuuruuuu
r
AA ', CC ', DB ' ( đồng phẳng)
B
A
C
D
A’
D’
B’
C’
Định lí 1.
Cho ba vectơ a , b, c trong đó a , b
khơng cùng phương. Khi đó ba véc tơ
a , b, c
đồng phẳng nếu và chỉ nếu có các số k và l sao cho:
c = k a + lb
r
b
O
r
c
B
r
a
A
C
Định lí 2. Nếu ba vectơ a , b, c khơng đồng phẳng
thì với mọi vectơ xta đều có: x = k a + lb + mc
Trong đó bộ 3 số k,l, m là duy nhất.
Chứng minh:
C
c
Từ O vẽ
OA = a, OB = b, OC = c, OX = x
Vẽ XX’ song song (hoặc trùng)
với OC cắt mp(OAB) tại X’
Ta có: OX = OX ' + X ' X ( 1)
uuuuur
r
X ' X = mc ( 2 )
Vì
O
A
x
b
a
a, b, OX ' đồng phẳng, a, bkhông cùng phương
⇒ OX ' = k a + lb ( 3)
Từ (1),(2),(3) ta có:
x = OX = k a + lb + mc
X
X’
B
Chứng minh bộ ba số k,l,m là duy nhất.
Nếu còn có bộ ba số k’, l’ , m’ sao cho:
Thì:
'
'
'
x = k a+l b+m c
'
'
'
k a + lb + mc = k a + l b + m c
⇔ ( k − k ') a + (l − l ')b + ( m − m ')c = 0(*)
l ' − l m' − m
b+
c
Nếu k’ ≠ k thì (*) ⇔ a =
k −k'
k −k'
Suy ra a , b, c đồng phẳng ( trái với giả thiết)
Vậy: k’ = k
Chứng minh tương tự ta cũng có l’ = l, m’ = m
Vậy bộ ba số k, l, m là duy nhất.
Ví dụ 2.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnha. Gọi M, N lần lượt là
r r
uuu
r r uuur r uuuu
trung điểm của AD và BB’.Đặt
AB = a, AD = b, AA ' = c
uuuu
r uu'ur
a)Biểu diễn MN , A C theo a , b, c
b)Chứng minh: MN⊥A’C.
Giải: a) MN = MA + AB + BN
−1 r r 1 r
= b+a+ c
2 2
A ' C = A 'rA +rAB r+ BC
= −c + a + b
rM
b
D r
c
A
r
a
B
C
A’
D’
C’
rr
rr
rr
b)Ta có: a.b = 0, b.c = 0, c.a = 0
r r r
−1 r r 1 r
r2 r 2 1 r2
1
MN . A ' C = ( b + a + c) (−c + a + b) = − b + a − c
2
2
2
2
2
2
a
a
=−
+a 2 −
= 0 Như vậy: MN⊥A’C
2
2
N
B’
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1, 2, 4, 6, 7 (SGK trang 59)
Xin chân thành cảm ơn sự chú ý theo dõi của
các thầy giáo, cô giáo và các em học sinh!