DIGITAL COMMUNICATION WEEK 5 TRANSLATE

(continue)
e) Biến Chi-Square
- Nếu {Xi, i = 1, ..., n} là iid (independent and identically distributed) là biến Gaussian
với giá trị trung bình bằng 0 cùng phương sai σ2. Từ đó ta xác định được cơng thức
chung:

- Và X là biến ngẫu nhiên với n độ tự do. Hàm mật độ xác suất của biến này được biểu
diễn bằng:

(2.3-21)
- Khi mà

là hàm gamma được xác định bởi

(2.3-22)
- Hàm gamma có các cực đơn tại x = 0, -1, -2, -3,… và thỏa mãn được các đặc tính được
viết dưới đây. Ta có thể coi hàm gamma là nói chung của khái niệm giai thừa (factorial).

(2.3-23)
Khi mà n chẵn, ví dụ n = 2m, thì hàm khối xác suất (CDF) của biến ngẫu nhiên X^2 với n
độ tự do được rút gọn ở dạng sau:


(2.3-24)
Giá trị trung bình và phương sai của biến ngẫu nhiên

với n độ tự do:

Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên đó là

(2.3-26)

Nếu biến ngẫu nhiên

với 2 bậc tự do, PDF:

Đây là PDF của một biến ngẫu nhiên hàm mũ có giá trị trung bình là
Biến ngẫu nhiên 2 là trường hợp đặc biệt của biến ngẫu nhiên Gamma. PDF của biến
ngẫu nhiên Gamma:

Với :

và:


Biến ngẫu nhiên Noncentral Chi-Square
Được định nghĩa tương tự như biến ngẫu nhiên
độc lập với phương sai chung

trong đó Xi là những Gaussian

nhưng ký hiệu là mi . PDF có dạng:

Iα(x) : Hàm Bessel biến đổi loại một và bậc α:

Với x > 1:

n = 2m, CDF của biến ngẫu nhiên:

Qm (a, b): generalized Marcum Q function được định nghĩa:

Phương sai và trung bình của biến ngẫu nhiên

:

Phương trình đặc trưng:

Biến ngẫu nhiên Rayleigh
Nếu X1 và X2 là 2 biến ngẫu nhiên iid, mỗi biến được phân phối

:

là biến ngẫu nhiên Rayleigh - là căn bậc 2 của biến ngẫu nhiên 2 với hai bậc tự do. PDF
được định nghĩa:


Thời điểm thứ n của biến ngẫu nhiên Rayleigh được cho bởi:

và hàm đặc trưng có dạng:

CDF của biến ngẫu nhiên Rayleigh:

Trường hợp tổng quát của biến ngẫu nhiên Rayleigh thu được bằng cách: có n biến n iid
Gaussian bằng 0 {Xi,1 ≤ i ≤ n}, trong đó mỗi Xi có một phân phối
:

Với n = 2m, ta có CDF:

Thời điểm thứ k của Rayleigh dạng tổng quát đối với bất kỳ giá trị nguyên nào của n
(chẵn hoặc lẻ) được cho bởi:

Biến ngẫu nhiên Ricean