Giáo trình xử lý số liệu trắc địa phần 1 PGS TS đặng nam chinh (chủ biên)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI NGUYÊN VÀ MÔI TRƯỜNG HÀ NỘI
KHOA TRẮC ĐỊA-BẢN ĐỒ

GIÁO TRÌNH

XỬ LÝ SỐ LIỆU TRẮC ĐỊA

PGS.TS. Đặng Nam Chinh (Chủ biên)
ThS. Bùi Thị Hồng Thắm

Hà Nội, 2012


LỜI NĨI ĐẦU
Trong chương trình đào tạo kỹ sư trắc địa, sinh viên đã được học môn Lý
thuyết sai số là mơn học bắt buộc theo chương trình khung của ngành kỹ thuật
trắc địa - Bản đồ. Nội dung của môn học Lý thuyết sai số đã cung cấp cho sinh
viên những kiến thức cơ sở về sai số trong đo đạc, các tính chất của sai số đo và
các tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác kết quả đo. Cũng trong môn học này, sinh
viên đã được giới thiệu về nguyên lý số bình phương nhỏ nhất - một cơng cụ
tốn học quan trọng trong xử lý số liệu đo. Liên quan đến ứng dụng nguyên lý
số bình phương nhỏ nhất, môn học Lý thuyết sai số cũng đã cung cấp 2 phương
pháp bình sai cơ bản là phương pháp bình sai điều kiện và phương pháp bình
sai gián tiếp. Trong giáo trình này khơng đề cập nhiều đến phương pháp bình
sai điều kiện vì đã được trình bày trong môn học Lý thuyết sai số và trong
trong thực tế hiện nay phương pháp bình sai điều kiện cũng ít được sử dụng.
Như vậy, môn học Lý thuyết đã trang bị cho người học kiến thức cơ sở
(nền tảng) cho các môn học chuyên môn của ngành trắc địa. Nhờ những kiến
thức đó người học nắm bắt và giải quyết được những bài toán thường gặp trong
trắc địa như phân tích đánh giá kết quả đo, xử lý bình sai các mạng lưới trắc địa
đơn giản thường gặp trong thực tế.

Tiếp theo môn học Lý thuyết sai số, mỗi kỹ sư trắc địa cần được trang bị
thêm kiến thức về xử lý số liệu, nội dung này được giới thiệu trong môn học
Xử lý số liệu trắc địa. Mục đích của mơn học này là tiếp tục củng cố những
kiến thức lý thuyết đã học trong môn Lý thuyết sai số, vận dụng và mở rộng
thêm những kiến thức đó vào giải quyết một số bài tốn thường gặp trong trắc
địa như bình sai các mạng lưới trắc địa, xử lý các tập hợp dữ liệu đo phân bố
trong không gian hay các dữ liệu quan trắc theo chuỗi thời gian và nội suy dựa
vào các số liệu đo rời rạc, xác định các tham số của một hàm số theo phương
pháp xấp xỉ hàm dựa trên số liệu thực nghiệm. Đây là những bài toán được ứng
dụng trong lĩnh vực địa thống kê (Geostatistics).
Có thể thấy rằng, xử lý số liệu trắc địa không chỉ là vấn đề bình sai lưới
mà cịn gồm nhiều nội dung khác gắn với các môn học chuyên ngành thuộc
lĩnh vực trắc địa-bản đồ. Với cách tiếp cận đó, trong cuốn giáo trình này, ngồi
những nội dung liên quan tới bình sai lưới, chúng tơi trình bày thêm phương
pháp xấp xỉ hàm và một số thuật toán nội suy thường sử dụng. Nếu người học
nắm vững những kiến thức này, sẽ có thể giải quyết tốt các vấn đề liên quan
nằm trong các môn học chuyên ngành của trắc địa-bản đồ cũng như một số
nhiệm vụ khác thuộc lĩnh vực khoa học trái đất.
Trong thời gian gần đây, khái niệm về trị đo (hay trị quan trắc) liên quan
tới các đối tượng động đã được nói đến nhiều hơn. Cụ thể là các trị quan sát vệ
2


tinh nhân tạo phục vụ cho định vị GNSS, các kết quả quan sát mặt đất, mặt đại
dương bằng vệ tinh nhân tạo, kết quả quan trắc địa động hay quan trắc biến
dạng và chuyển dịch cơng trình ... đã được đề cập đến trong các tài liệu giáo
khoa. Từ thực tế đó, kỹ sư trắc địa cần được trang bị thêm về các dãy số liệu
quan trắc theo thời gian và các đặc trưng thống kê của chúng.
Trong thực tế, chúng ta có thể đồng thời quan trắc nhiều đối tượng hay
nhiều đại lượng khác nhau. Khi đó vấn đề xác định đặc tính tương quan giữa

các đối tượng hay đại lượng quan trắc có ý nghĩa trong xử lý và phân tích số
liệu. Trong giáo trình này, chúng tôi đặc biệt quan tâm tới phương pháp xấp xỉ
hàm, các thuật toán nội suy và các ứng dụng của chúng trong trắc địa địa hình,
trắc địa cao cấp và trắc địa cơng trình. Nếu nắm vững những kỹ năng này,
người kỹ sư trắc địa sẽ có thể vận dụng để giải quyết tốt những bài toán đa
dạng của thực tiễn.
Với tiêu chí nêu trên, chúng tơi biên soạn giáo trình này để giảng dạy
cho sinh viên năm thứ 3 hệ đại học của ngành trắc địa, sau khi sinh viên đã học
mơn Lý thuyết sai số. Giáo trình này được biên soạn dựa trên đề cương chi tiết
đã được thẩm định và thông qua ở bộ môn Trắc địa cơ sở.
Trong môn học này, sinh viên phải làm một số bài tập bắt buộc để củng
cố kiến thức lý thuyết và nắm vững các bước trong xử lý số liệu. Để hoàn thành
tốt các bài tập, sinh viên cần có kiến thức về tin học và kỹ năng lập trình máy
tính. Chính vì thế, mơn học này có thể giảng dạy song song (đồng thời) với
môn Tin học ứng dụng hay Kỹ thuật lập trình trong trắc địa.
Do lần đầu biên soạn, chắc chắn cuốn tài liệu này còn nhiều khiếm
khuyết về nội dung và hình thức. Chúng tơi mong nhận được nhiều ý kiến đóng
góp của bạn đọc để chúng tơi có cơ sở tiếp tục hồn thiện giáo trình này được
tốt hơn.
Xin trân trọng cảm ơn !
Các tác giả

3


Chương 1
BÌNH SAI TRONG TRẮC ĐỊA
1.1. TÍNH KIỂM TRA KẾT QUẢ ĐO
1.1.1. Trị đo thừa và ý nghĩa của chúng
Trong cơng tác trắc địa nói chung và trong cơng tác xây dựng các mạng

lưới trắc địa nói riêng, người ta không chỉ đo vừa đủ để nhận được yếu tố (giá
trị) cần xác định mà thường tiến hành đo thừa (hay đo dư). Khái niệm đo thừa
được xét gồm cả giá trị đo thừa và yếu tố đo thừa.
Giá trị đo thừa xuất hiện khi thực hiện nhiều lần đo cùng một đại lượng.
Ví dụ như khi đo góc, người ta thường đo nhiều lần (nhiều vòng đo).
Yếu tố đo thừa xuất hiện khi các yếu tố được đo trong mạng lưới trắc
địa vượt quá số lượng (yếu tố) cần thiết tối thiểu của mạng lưới đó. Thí dụ như
đo cả 3 góc trong một hình tam giác. Khái niệm yếu tố đo thừa chỉ được xét
đến trong một kết cấu hình học lưới, trong đó bao gồm nhiều yếu tố đo (đại
lượng đo) được ràng buộc với nhau bởi các mối quan hệ toán học.
Trong một số trường hợp người ta gọi chung khái niệm giá trị đo thừa và
yếu tố đo thừa đều là trị đo thừa (hay đại lượng đo thừa). Cần lưu ý tới một
đặc tính của trị đo là luôn kèm theo sai số đo, do đó sẽ nẩy sinh ra sai số khép
trong kết cấu hình học của mạng lưới.
Với cách tiếp cận về trị đo thừa nêu trên có thể nhận thấy rằng, trị đo
thừa và sai số đo chính là lý do cơ bản dẫn đến bài tốn (nhiệm vụ) bình sai
trong trắc địa.
Trong môn học Lý thuyết sai số đã giới thiệu về bình sai trực tiếp, đây
chính là xử lý số liệu đo khi có giá trị đo thừa. Trong mơn học đó cũng đã đề
cập đến bình sai lưới trắc địa theo phương pháp bình sai điều kiện và bình sai
gián tiếp, đó chính là giải quyết (xử lý) yếu tố đo thừa trong lưới trắc địa.
Dẫu là xử lý giá trị đo thừa hay yếu tố đo thừa, thơng thường người ta
vẫn áp dụng ngun lý số bình phương nhỏ nhất. Như đã nói ở trên, nếu như
khơng có trị đo thừa, sẽ khơng nẩy sinh bài tốn bình sai. Số lượng trị đo thừa
trong bài tốn bình sai lưới được gọi là bậc tự do (Degrees of Freedom), và
thường được ký hiệu là r.
rnt

trong đó: n là tổng số trị đo, t là số ẩn số trong lưới

4


Khi có trị đo thừa, lấy trung bình các giá trị đo cùng một đại lượng sẽ
nhận được giá trị (trung bình) với độ chính xác cao hơn độ chính xác của từng
trị đo. Công việc này được gọi là bình sai trạm máy, được thực hiện trước khi
bình sai lưới.
Các yếu tố đo thừa trong mạng lưới trắc địa giúp chúng ta có điều kiện
để kiểm tra và đánh giá chất lượng các giá trị đo trong mạng lưới, nhờ đó có thể
phát hiện và loại bỏ các sai số thơ trong q trình đo. Các điều kiện kiểm tra
lưới chính là các phương trình điều kiện sinh ra do yếu tố đo thừa trong lưới.
Nếu như khơng có trị đo thừa và yếu tố đo thừa thì khơng thể đánh giá
độ chính xác trị đo hay các yếu tố lưới từ các dữ liệu đo ngắm.
1.1.2. Độ chính xác và độ tin cậy
Độ chính xác (Accuracy or Precision) của một giá trị đo hay của một yếu
tố (đại lượng) nào đó được đặc trưng bởi sai số trung phương của nó. Sai số
trung phương càng nhỏ, độ chính xác của giá trị hay yếu tố đó càng cao và
ngược lại. Phương pháp tính sai số trung phương của trị đo theo dãy trị đo đã
được giới thiệu trong Lý thuyết sai số.
Độ tin cậy (Realbility) của một giá trị hay của một yếu tố (đại lượng) nào
đó là khả năng phát hiện sai số thô (do nhầm lẫn) của trị đo hay của yếu tố cần
xác định. Độ tin cậy liên quan trực tiếp đến trị đo thừa, cụ thể là liên quan đến
số lượng trị đo thừa và phân bố của yếu tố đo thừa trong một mạng lưới. Để
hiểu rõ vấn đề này, cần tìm hiểu thêm về ước lượng vững còn gọi là ước lượng
ổn định (Robust Estimation) [24].
Ví dụ: có 2 tam giác, tam giác thứ nhất có 3 góc được đo với sai số trung
phương đo góc là 30”, tam giác thứ hai có 2 góc được đo với sai số trung
phương là 1”. Như vậy có thể nói rằng, độ chính xác đo góc trong tam giác
thứ nhất thấp hơn tam giác thứ hai, nhưng ngược lại độ tin cậy của kết quả đo
trong tam giác thứ nhất lại cao hơn tam giác thứ hai.

Những dạng đồ hình lưới trắc địa có độ tin cậy thấp như dạng đường
chuyền treo, giao hội xác định điểm đo 2 góc hoặc đo 2 cạnh ...
Như vậy, trị đo thừa và yếu tố đo thừa vừa có tác dụng nâng cao độ
chính xác kết quả đo vừa có tác dụng nâng cao độ tin cậy của các yếu tố trong
mạng lưới trắc địa.
Ví dụ: Độ chính xác và độ tin cậy khi định vị GPS (3D) được nâng cao
khi số vệ tinh quan sát nhiều hơn 4. Trong giao hội thuận (2D), người ta bố trí
giao hội từ 3 điểm gốc cũng với mục đích nâng cao độ chính xác và độ tin cậy
của kết quả xác định tọa độ điểm giao hội.

5


1.1.3. Số liệu gốc và ảnh hưởng của sai số số liệu gốc
Số liệu gốc hay số liệu khởi tính của một mạng lưới trắc địa là những số
liệu cần để xác định vị trí kích thước và hướng của một mạng lưới (mặt bằng)
trong hệ quy chiếu. Số liệu gốc bao gồm số liệu gốc cần thiết (tối thiểu) và số
liệu gốc thừa. Đối với lưới mặt bằng, thông thường số liệu gốc là tọa độ x,y
của các điểm hạng cao, tuy nhiên cũng có thể coi chiều dài cạnh khởi đầu (của
lưới tam giác đo góc) được đo với độ chính xác cao là số liệu gốc.
Căn cứ vào số liệu gốc của mạng lưới trắc địa, có thể chia thành các
trường hợp sau:
1. Lưới có thừa số liệu gốc
2. Lưới có số liệu gốc vừa đủ
3. Lưới thiếu hoàn toàn hoặc thiếu một phần số liệu gốc
Theo nguyên tắc phân cấp hạng lưới trắc địa, các trị đo trong lưới cấp
cao có độ chính xác cao hơn lưới cấp thấp (độ chính xác hơn kém nhau khoảng
2 lần), vì vậy, trên thực tế khi bình sai các mạng lưới trắc địa, sai số số liệu gốc
được bỏ qua, tức là coi số liệu gốc là những đại lượng khơng có sai số. Tất
nhiên, về bản chất, số liệu gốc vẫn chứa sai số và nó có ảnh hưởng đến kết quả

bình sai lưới.
Trong trường hợp mạng lưới có số liệu gốc thừa, số liệu gốc thừa có tác
dụng kiểm tra kết quả đo, kiểm tra số liệu gốc, đồng thời được sử dụng để bình
sai ràng buộc (Constrained Adjustment) nhằm nhận được kết quả bình sai với
độ chính xác và độ tin cậy cao. Trong kết quả bình sai ràng buộc thường có
thêm ảnh hưởng của sai số số liệu gốc nếu như sai số số liệu gốc là đáng kể.
Trong trường hợp mạng lưới có số liệu gốc vừa đủ, mạng lưới sẽ được
bình sai theo phương pháp ràng buộc tối thiểu (Minimally Constrained
Adjustment). Lưới có số liệu gốc vừa đủ còn được gọi là lưới tự do không số
khuyết (d = 0).
Trong trường hợp mạng lưới thiếu hoàn toàn số liệu gốc hoặc thiếu một
phần số liệu gốc, mạng lưới sẽ được bình sai tự do (Free Adjustment), cũng có
nghĩa là chỉ ràng buộc bên trong (Inner Constraints). Trong trường hợp này gọi
là lưới tự do có số khuyết hay lưới có ma trận hệ phương trình chuẩn khuyết
hạng (d > 0) [16].
Trong kết quả đánh giá độ chính xác khi bình sai lưới tự do có số khuyết
và bình sai lưới với số liệu gốc vừa đủ (không số khuyết) không chịu ảnh
hưởng của sai số số liệu gốc mà chỉ thể hiện ảnh hưởng của sai số đo đạc.
1.1.4. Sai số khép giới hạn của các phương trình điều kiện
6


1.1.4.1. Cơ sở lý thuyết
Khi lập các phương trình điều kiện, chúng ta phải tính giá trị các số hạng
tự do wi, còn gọi là sai số khép các phương trình điều kiện. Độ lớn trị tuyệt đối
của các sai số khép phản ánh chất lượng đo trong lưới. Nếu trong các trị đo
không tồn tại sai số thô (sai lầm, sai số hệ thống lớn…) thì các sai số khép của
phương trình điều kiện mang tính chất của sai số ngẫu nhiên và có trị tuyệt đối
khơng vượt q một giới hạn nhất định. Có thể ước lượng được giá trị giới hạn
của trị tuyệt đối sai số khép để sự xuất hiện của sai số khép luôn nhỏ hơn nó

với xác suất định trước (thường là 95% hoặc lớn hơn). Giá trị giới hạn đó được
gọi là sai số khép giới hạn.
Việc kiểm tra trị đo trước khi bình sai nhờ sai số khép giới hạn nhằm
phát hiện để loại bỏ sai số thô. Đây là một công việc quan trọng cần được tiến
hành trước khi bình sai lưới để cơng tác bình sai cho kết quả chính xác và tin
cậy.
Như đã biết, sai số khép của phương trình điều kiện thực chất là sai số
thực của hàm các đại lượng đo, tuy nhiên trong một số dạng phương trình điều
kiện (như điều kiện chiều dài, góc định hướng, toạ độ) sai số của hàm không
chỉ chịu ảnh hưởng của sai số đo mà còn chịu ảnh hưởng của cả sai số số liệu
gốc (chiều dài khởi tính, góc định hướng khởi tính, toạ độ khởi tính). Để ước
lượng sai số khép giới hạn các phương trình điều kiện, trước hết phải tính sai số
trung phương của sai số khép, nếu biết sai số trung phương của các trị đo và sai
số số liệu gốc [2].
Xuất phát từ cơng thức tổng qt tính sai số khép wi của các phương
trình điều kiện
wi   i (l '1 , l ' 2 ,..., l ' n , G1 , G2 ,..., Gk ) i = 1, 2, …, r

(1.1.1)

trong đó: l1' .l '2 ...l 'n là các trị đo, G1, G2, …, Gk là số liệu gốc.
Ký hiệu m1, m2, …, mn là sai số trung phương của các trị đo,
m G1 , m G 2 ,...m G K là sai số trung phương của các số liệu gốc, sai số trung phương
của sai số khép wi được tính theo công thức sai số trung phương của hàm như
sau:
 w
m w2i    i

j 1  l j
n



2

 2 k  wi
 .m j   


j 1  G j
0

2

 2
 .mGj

0

(1.1.2)



w
Ký hiệu  i   aij . a ij chính là hệ số của phương trình điều kiện.
 l j  0

7

Như vậy sai số trung phương của sai số khép được viết dưới dạng:
n

k

2
wi

2
ij

2
j

2
m   a m   Aij2 mGj
j 1

(1.1.3)

j 1

trong đó:
 w
Aij   i
 G
j






0

Nếu các trị đo cùng độ chính xác m1 = m2 = … = mn = mo, thì đối với
phương trình điều kiện khơng có sự tham gia của sai số số liệu gốc, sai số trung
phương của sai số khép được tính theo cơng thức:
(1.1.4)

m Wi  m o [aa ]

Sai số trung phương sai số khép của phương trình điều kiện có sự tham
gia của số liệu gốc được tính theo cơng thức:



mwi  mo2 aa  A 2 mG2



(1.1.5)

Nếu wi mang tính chất của sai số ngẫu nhiên nó sẽ tuân theo quy luật
phân bố chuẩn, từ đó có thể tính được giá trị giới hạn của sai số khép để sự xuất
hiện sai số khép có trị tuyệt đối ln nhỏ hơn giá trị giới hạn đó với một xác
suất P biết trước. Giá trị giới hạn đó được tính theo cơng thức:

wi gh  t.mw

(1.1.6)

i

Với giá trị này, trị tuyệt đối của sai số khép sẽ thoả mãn bất đẳng thức
wi  wi  gh với xác suất P tính theo cơng thức:





P wi  t.mwi 

2



t

e



x2
2

dx

(1.1.7)

0

Một số giá trị của t và xác suất P tương ứng được trình bầy trong bảng 1.1.
Bảng 1.1. Sai số giới hạn và xác suất
t
2
2.5
3

Xác suất P
0.955
0.988
0.997

Thông thường người ta lấy t bằng 2 để tính sai số khép giới hạn, tức là:

8


(wi)gh = 2.mwi

(1.1.8)

Với giới hạn này xác suất để wi  (wi)gh là 0.955. Trong trường hợp nới
rộng hạn sai, người ta lấy t = 2.5, khi đó xác suất để wi  (wi)gh là 0.988.
Từ cơ sở nêu trên, cơng thức tổng qt dùng để tính sai số khép giới hạn
phương trình điều kiện như sau:

wi gh



 2 m02 aa   A 2 mG2



(1.1.9)

Đối với các phương trình điều kiện khơng có số liệu gốc tham gia sẽ
khơng có thành phần thứ hai trong dấu căn của biểu thức (1.1.9).
1.1.4.2. Sai số khép giới hạn các phương trình điều kiện trong lưới mặt bằng
Lưới mặt bằng là lưới 2 chiều (2D) gồm các lưới tam giác đo góc (hoặc
đo hướng), lưới tam giác đo cạnh, lưới tam giác đo góc - cạnh và lưới đường
chuyền đa giác. Trong phần này sẽ giới thiệu các cơng thức tính sai số khép
giới hạn cho một số dạng phương trình điều kiện thường gặp trong các mạng
lưới trắc địa mặt bằng.
Cần lưu ý rằng, khi so sánh sai số khép với sai số khép giới hạn, sai số
khép các phương trình điều kiện phải được tính theo các trị đo đã tính chuyển
lên mặt phẳng chiếu nhờ một vài số cải chính [5, 11], trong đó lưu ý tới số cải
chính vào chiều dài cạnh đo khi sử dụng phép chiếu UTM tính theo cơng thức:
Ym2
S  S  (m 0  1 
)S'
2
2R m
'

(1.1.10)

trong đó: S' là chiều dài đo, Ym là hồnh độ trung bình của cạnh đo, Rm là
bán kính trung bình của Trái đất ( Rm=6371km), m 0 là tỷ lệ chiều dài trên kinh

tuyến trung ương. Khi sử dụng múi chiếu UTM 6 o , giá trị mo = 0,9996, khi sử
dụng phép chiếu UTM 3o , giá trị mo = 0,9999.
Công thức (1.1.10) chỉ áp dụng cho chiều dài cạnh nhỏ hơn 10 km, nếu
chiều dài cạnh lớn hơn 10 km cần áp dụng công thức đầy đủ hơn.
Trong trường hợp cạnh đo trên vùng núi có độ cao (H) lớn, cần tính hiệu
chỉnh vào chiều dài số cải chính do độ cao theo cơng thức sau:
H  

H
S'
Rm

(1.1.11)

Ví dụ: H=100m, S’=300m, tính được  H  5mm .

9


Đối với các mạng lưới tam giác hạng cao (hạng I, II quốc gia) cần phải
tính đến các số cải chính vào hướng và góc đo ...
1. Phương trình điều kiện hình
Phương trình điều kiện hình có hệ số a = +1, khơng có sự tham gia của
số liệu gốc, do đó sai số khép giới hạn hình tam giác sẽ là:

wi gh

(1.1.12)

 2.m0 . 3

trong đó: mo là sai số trung phương đo góc.
Sai số khép hình đa giác n góc là:

wi gh

(1.1.13)

 2.m0 n

2. Phương trình điều kiện vịng
Hệ số aij trong phương trình điều kiện vịng bằng +1, do đó sai số khép
giới hạn của phương trình điều kiện vịng được tính:

w2 gh

(1.1.14)

 2.m0 n

trong đó n là số góc tham gia trong phương trình điều kiện vịng.
3. Phương trình điều kiện cực
Sai số khép giới hạn của phương trình được tính như sau:

wC gh

 2.m0

cot g

2

A  cot g 2 B



(1.1.15)

Nếu phương trình điều kiện cực được lập ở dạng logarit, sai số khép giới
hạn của phương trình được tính:

wC gh



 2.m0  A2   B2



(1.1.16)

4. Phương trình điều kiện góc định hướng
Khi tính sai số khép của phương trình điều kiện góc định hướng, có sự
tham gia của hai góc định hướng khởi tính là đ, c, do đó khi tính sai số khép
giới hạn cho phương trình điều kiện góc định hướng cần xét đến sai số của các
góc định hướng khởi tính. Ký hiệu m là sai số trung phương của các góc định
hướng khởi tính, sai số khép giới hạn của phương trình điều kiện góc định
hướng được tính:

w gh

 2. n.m02  2.m2

(1.1.17)

trong đó: n là số góc ngoặt tham gia vào việc tính chuyền góc định
hướng.
10


Ví dụ: Chuỗi tam giác hạng I gồm 15 hình tam giác, sai số trung phương
đo góc tam giác là 0.7”, hai đầu của chuỗi có các phương vị Laplace với sai số
trung phương 0.5”. Hãy tính sai số khép giới hạn của phương trình điều kiện
trong chuỗi.
Sử dụng cơng thức (1.1.17) ta có:

w gh

 2. 15.(0.7) 2  2.(0.5) 2  5.6

5. Phương trình điều kiện chiều dài
Trong phương trình điều kiện chiều dài có sự tham gia của hai chiều dài
khởi tính là SAB và SCD với sai số trung phương tương ứng là mAB và mCD.
Sai số khép giới hạn của phương trình điều kiện chiều dài là:

wS gh

2

2

S CD
.m02

2





2
. cot g 2 A  cot g 2 B  m AB
.

2
S CD
2
 mCD
2
S AB

(1.1.18)

Ví dụ: Tính sai số khép phương trình điều kiện chiều dài cho một chuỗi
tam giác hạng I gồm 15 tam giác đều. Hai cạnh khởi tính ở đầu chuỗi có chiều
dài 20 km và được đo với sai số trung phương là 0.03 m.
Tam giác đều có các góc A, B bằng 600, cot g 60 0  1 / 3 , sai số trung
phương đo góc tam giác hạng I là 0.7”. Áp dụng cơng thức (1.1.18) ta có:

wS gh

 2.

20000 2 x0.7 2
x15 x(2 / 3)  2.(0.03) 2  0.437 m
206265 2

Trên đây đã giới thiệu các công thức tính sai số khép giới hạn cho các
phương trình điều kiện thường gặp. Đối với các phương trình khác trong lưới
đo góc, đo cạnh hay đo góc - cạnh, cần áp dụng cơng thức tổng qt (1.1.9) và
(1.1.8) để tính sai số khép giới hạn.
Để tính sai số khép giới hạn của phương trình điều kiện toạ độ trong lưới
tam giác đo góc chúng ta có cơng thức:

w X gh

 2. m02 .a X a X   m2X

(1.1.19)

wY gh

 2. m02 .aY aY   m2Y

(1.1.20)

trong đó: aX, aY là hệ số của phương trình điều kiện toạ độ X và Y;
mX, mY là sai số trung phương gia số toạ độ của hai điểm khởi
tính được sử dụng để lập các phương trình điều kiện toạ độ.

11

Sai số khép giới hạn của phương trình điều kiện toạ độ trong lưới đường
chuyền hay lưới tam giác đo góc - cạnh được tính theo cơng thức sau:
(fx ) gh  2



(fy) gh  2



m S2 .Cos 2 

m S2 .Sin 2 

m 2

 " (Y
2

C

 Yi ) 2  m 2X



(1.1.21)

C

 X i ) 2  m 2Y



(1.1.22)

2
TH

(1.1.23)

m 2

 " (X
2

Sai số khép giới hạn vị trí điểm được tính:
(fs)gh  2.

m 2

  " D  m
m S2

2

2
i ,C

trong đó: mS là sai số trung phương đo chiều dài Si
 là góc định hướng của các cạnh tính chuyền toạ độ
XC, YC là toạ độ của điểm cuối gốc
Xi, Yi là toạ độ của các điểm đỉnh góc ngoặt trên đường tính
chuyền toạ độ.
D i ,C được tính theo cơng thức:

D i2,C  (X C  X i ) 2  (YC  Yi ) 2

(1.1.24)

m TH là sai số trung phương tương hỗ giữa điểm đầu và điểm cuối

tuyến được tính theo cơng thức:
2
m TH
 m 2X  m 2Y

(1.1.25)

1.1.4.3. Sai số khép giới hạn các phương trình điều kiện trong lưới độ cao
Trong mạng lưới độ cao có 2 dạng phương trình điều kiện là:
- Phương trình điều kiện lập trong các tuyến đo khép kín
- Phương trình điều kiện lập trong các tuyến đo từ mốc hạng cao này
đến mốc hạng cao khác.
Ví dụ: Cho mạng lưới độ cao như hình (1.1), trong đó có 9 đoạn đo (Z1,
Z2, Z3, Z4, Z5, Z6, Z7, Z8, Z9), 5 mốc cần xác định (R1, R2, R3, R4, R5) và 3
mốc gốc (MC-1, MC-2, MC-3) [2].
Mạng lưới độ cao trên có 4 phương trình điều kiện gồm: 2 phương trình
lập trong 2 vịng khép kín và 2 phương trình điều kiện lập từ mốc gốc này đến

mốc gốc khác.

12


Hình 1.1. Mạng lưới độ cao
1. Sai số khép giới hạn phương trình điều kiện trong vịng khép kín
Sai số khép phương trình điều kiện lập trong vịng khép kín được tính:
n

W   Zi

(1.1.26)

i 1

trong đó: Z i là hiệu độ cao đo của đoạn i trong vòng khép
n là số đoạn đo trong vịng khép
Từ (1.1.26) có thể dẫn đến cơng thức tính sai số trung phương của sai số
khép như sau:
m 2W  m o2 (L1  L 2  ...  L n )

(1.1.27)

trong đó: Li là chiều dài đoạn đo tính ở đơn vị km;
mo là sai số trung phương đo cao trên 1 km chiều dài.
Nếu lấy sai số giới hạn bằng 2 lần sai số trung phương, cơng thức tính sai
số khép giới hạn cho phương trình điều kiện trong vịng thủy chuẩn khép kín
như sau:
WGH  2.m o [L]

(1.1.28)

Như vậy, trong vịng khép kín, sai số số liệu gốc khơng ảnh hưởng đến
sai số khép phương trình điều kiện, do đó trong sai số khép giới hạn cũng
không cần xét đến ảnh hưởng này.
2. Sai số khép giới hạn phương trình điều kiện từ mốc gốc này đến mốc gốc
khác
Sai số khép của phương trình điều kiện lập trong tuyến đo từ mốc gốc
này đến mốc gốc khác được tính:

13


m

(1.1.29)

W  H DAU   Z i  H CUOI
i 1

trong đó: m là số đoạn đo trong tuyến thủy chuẩn
Zi là chênh cao đo đoạn i;
HDAU và HCUOI là độ cao tương ứng của mốc gốc đầu tuyến và mốc
gốc cuối tuyến.
Từ (1.1.29) ta có cơng thức tính sai số trung phương của sai số khép W:
m 2W  m o2 (L1  L 2  ....  L m )  m 2H

(1.1.30)

trong đó: mo là sai số trung phương đo cao trên 1 km chiều dài
Li là chiều dài đoạn đo tính ở đơn vị km;
m H là sai số trung phương hiệu độ cao của hai mốc gốc đầu

và cuối.
Từ công thức (1.1.30), công thức tính sai số khép giới hạn phương trình
điều kiện lập trong tuyến đo từ mốc gốc này đến mốc gốc khác như sau:
Wgh  2 m o2 [L]  m 2H

(1.1.31)

Nhận thấy rằng, trong cơng thức (1.1.31) có xét đến ảnh hưởng của sai
số số liệu gốc, đây chính là điểm khác biệt với cơng thức (1.1.28) xét cho
phương trình trong vịng khép kín.
Trong quy trình xây dựng lưới độ cao các cấp, người ta cho rằng có thể
bỏ qua sai số số liệu gốc, tức là không cần xét đến ảnh hưởng của sai số số liệu
gốc khi bình sai lưới cấp thấp. Như vậy cho cả hai trường hợp, cơng thức
chung để tính sai số khép giới hạn phương trình điều kiện trong lưới độ cao là
cơng thức (1.1.28):
(1.1.32)

Wgh  2.m o [L]

trong đó [L] là tổng chiều dài đoạn đo, đơn vị tính là km.
Đối với vùng núi, điều kiện đo đạc khó khăn, hạn sai cho các cấp hạng
lưới độ cao được quy định như sau:
Bảng 1.2. Quy định hạn sai trong các tuyến đo cao
TT
1
2

Cấp hạng
Hạng I

Vùng đồng bằng
2mm [L]

Vùng núi
3mm [L]

Hạng II

4mm [L]

5mm [L]

14


3

Hạng III

10mm [L]

12mm [L]

4

Hạng IV

20mm [L]

25mm [L]

1.1.4.4. Sai số khép giới hạn các phương trình điều kiện trong lưới GPS
Khi bình sai lưới GPS theo phương pháp điều kiện, trong lưới GPS sẽ có
hai dạng phương trình điều kiện là:
- Phương trình điều kiện lập cho các véc tơ cạnh trong hình khép kín.
- Phương trình điều kiện lập cho các véc tơ cạnh kết nối từ điểm gốc này
đến điểm gốc khác.
Sau đây ta xét cách tính sai số khép giới hạn cho phương trình điều kiện
lập theo hình khép kín được tạo bởi các cạnh độc lập.
Sai số khép phương trình điều kiện trong hình khép kín được tính:
n

WX   X i
i 1
n

(1.1.33)

WY   Yi
i 1
n

WZ   Z i
i 1

trong đó: X i , Yi , Z i là các gia số tọa độ không gian của véc tơ cạnh i

tham gia trong hình khép kín.
n là số lượng véc tơ cạnh trong hình khép kín.
Từ (1.1.33), cơng thức tính sai số trung phương tương ứng là:
n

m 2WX   m 2Xi
i 1
n

m 2WY   m 2Yi

(1.1.34)

i 1
n

m 2WZ   m 2Zi
i 1

Nếu lấy sai số giới hạn bằng 2 lần sai số trung phương, từ (1.1.34) có
cơng thức tính sai số khép giới hạn:
n

WX gh  2.  m 2x i
i 1

15


n

WY gh  2.  m 2Yi

(1.1.35)

i 1
n

WZ gh  2.  m 2Zi
i 1

Vấn đề là trước khi bình sai, xác định các sai số trung phương gia số tọa
độ của các véc tơ cạnh như thế nào ? Đây là vấn đề khơng đơn giản, tuy nhiên
có thể ước lượng một cách gần đúng các giá trị đó dựa vào tham số kỹ thuật
của máy thu GPS là độ chính xác đo chiều dài véc tơ cạnh được tính theo cơng
thức:
m 2D  a 2  (b.D) 2

(1.1.36)

Trong công thức trên D là chiều dài véc tơ cạnh tính ở đơn vị km.
Bỏ qua mối tương quan giữa các gia số tọa độ N và E trong hệ tọa độ
địa diện chân trời của khu đo, ta có thể viết:
m 2N  m 2E  m 2D

(1.1.37)

trong đó m N và m E là sai số trung phương của các gia số tọa độ mặt
bằng N (theo hướng Bắc) và E (theo hướng Đơng).
Thơng thường, độ chính xác hiệu độ cao trắc địa kém hơn độ chính xác

chiều dài D khoảng 2 lần, tức là:
m H  2.m D

hay

m 2H  4.m 2D

(1.1.38)

Sai số vị trí tương hỗ trong hệ không gian địa diện sẽ là:
m 2N  m 2E  m 2H  5.m 2D

(1.1.39)

Do tính chất trực giao của ma trận xoay R (dùng để tính chuyển các yếu
tố của véc tơ cạnh GPS từ hệ địa tâm sang hệ địa diện) cho nên sai số tương hỗ
trong hệ địa tâm và hệ địa diện là như nhau, như vậy có thể viết:
m 2X  m 2Y  m 2Z  m 2N  m 2E  m 2H  5.m 2D

(1.1.40)

Theo nguyên tắc đồng ảnh hưởng, coi sai số gia số tọa độ theo các trục
của hệ vng góc khơng gian địa tâm là như nhau, tức là:
m 2X  m 2Y  m 2Z  m 2
Như vậy, biểu thức (1.1.40) sẽ được viết:
3.m 2  5.m 2D  5[a 2  (b.D) 2 ]

(1.1.41)
(1.1.42)

Từ đó suy ra cơng thức:
16


5
m 2  [a 2  (b.D) 2 ]
3

(1.1.43)

Thay (1.1.43) vào (1.1.35) ta được:
n

WX gh  WY gh  WZ gh  2.  m 2

(1.1.44)

i 1

Hoặc viết ở dạng:
WX gh  WY gh  WZ gh  2.

5 n 2
 [a  (b.D i ) 2 ]
3 i 1

(1.1.45)

Sau khi biến đổi, ta được:
WX gh  WY gh  WZ gh  2.

5

n.a 2  (b) 2 [D 2 ]

3

(1.1.46)

Như vậy sai số khép giới hạn của vòng khép GPS phụ thuộc vào các
tham số a, b của máy, số lượng véc tơ cạnh (n) và tổng chiều dài véc tơ cạnh
[D] trong vòng khép.
Trong trường hợp các cạnh xấp xỉ nhau và bằng D, ta có cơng thức tính
sai số khép giới hạn các thành phần tọa độ như sau:
WX gh  WY gh  WZ gh  2.

5n
3

a 2  (b.D) 2

(1.1.47)

Từ đó lập được cơng thức tính sai số khép giới hạn tổng hợp:
W( X ,Y ,Z ) gh  2. 5.n a 2  ( b.D )2

(1.1.48)

Từ cơng thức (1.1.48), sẽ có cơng thức tính sai số khép tương đối giới
hạn như sau:

 W( X ,Y ,Z ) gh 
20.[ a 2  ( b.D )2 ]
1

 

TGH
n .D
 [ D] 

(1.1.49)

Theo công thức (1.1.48), ta tính cho một số trường hợp với các tham số
độ chính xác của máy thu là a = 5mm, b = 1 mm/km và áp dụng cho lưới GPS
cạnh ngắn (chiều dài cạnh D từ 0,1 km đến 5 km) là loại lưới thường gặp trong
công tác trắc địa cơng trình.
Bảng 1.3. Sai số khép giới hạn W( X ,Y ,Z ) gh cho vòng khép lưới GPS (mm)
n \ D
3

0,1 km 0,2 km 0,5 km 1,0 km 2,0 km 3,0 km 4,0 km 5,0 km
38.7
38.8
38.9
39.5
41.7
45.2
49.6
54.8
17

4
5
6

44.7
50.0
54.8

44.8
50.0
54.8

44.9
50.2
55.0

45.6
51.0
55.9

48.2
53.9
59.0

52.2
58.3
63.9

57.3
64.0
70.1

63.2
70.7
77.5

Sai số khép giới hạn ở bảng 1.3 được tính với giới hạn bằng 2 lần sai số
trung phương (xác suất 95,5%). Nếu lấy giới hạn bằng 3 lần sai số trung
phương (xác suất 99,7%) thì sai số khép giới hạn sẽ lớn hơn so với các giá trị
đã tính ở trong bảng 1.3.
1.1.5. Phát hiện sai số thô trong lưới đường chuyền
Lưới đường chuyền là dạng lưới thường sử dụng để lập các mạng lưới
khống chế tăng dày dựa vào các điểm tọa độ quốc gia, phục vụ cho cơng tác đo
vẽ bản đồ địa hình, bản đồ địa chính, ... Sai số thơ trong lưới đường chuyền có
thể là sai số trong q trình đo ngắm (đo góc ngoặt hay đo chiều dài cạnh, ...),
và cũng có thể do lỗi vào số liệu (từ bàn phím) để tính tốn bình sai lưới. Khi
có sai số thơ trong trị đo, các giá trị sai số khép của các phương trình điều kiện
sẽ vượt hạn sai. Vấn đề đặt ra ở đây là làm sao nhanh chóng phát hiện được góc
nào hay cạnh nào trong mạng lưới chứa sai số thô.
Trong phần này sẽ giới thiệu nguyên tắc xác định trị đo có sai số thơ
trong đường chuyền phù hợp gối giữa hai điểm cấp cao và hai góc định hướng
khởi tính (hình 1.2).

Hình 1.2. Đường chuyền phù hợp
Đối với đường chuyền phù hợp, sai số thơ có thể được phát hiện nếu chỉ
có một góc hay một cạnh chứa sai số thô. Nguyên tắc phát hiện như sau:
1.1.5.1. Nếu chỉ có một góc ngoặt chứa sai số thơ
Trong trường hợp đường chuyền phù hợp chỉ có 1 góc chứa sai số thơ,

thì sai số thơ sẽ được phát hiện nhờ sai số khép góc định hướng. Trong trường
hợp này sai số khép góc định hướng thường vượt hạn sai tính theo cơng thức
(1.1.17). Khơng những thế, nếu sai số thơ khá lớn, chúng ta cịn có thể chỉ ra
góc nào trong đường chuyền chứa sai số thô bằng cách tính tọa độ theo hai

18


chiều thuận và ngược, sau đó so sánh tọa độ tính theo chiều thuận và chiều
ngược với nhau. Sai lệch tọa độ theo hai chiều thuận và ngược được tính:
x i  X iT  X iN

(1.1.50)

y i  YiT  YiN

(1.1.51)

trong đó: X iT , YiT là tọa độ điểm i tính theo chiều thuận.
X iN , YiN là tọa độ điểm i tính theo chiều ngược.

Sai lệch vị trí của các điểm đường chuyền được tính:
Pi  (x i ) 2  (y i ) 2

(1.1.52)

Điểm nào có sai lệch vị trí P nhỏ nhất, thì góc tại chính điểm đó có
chứa sai số thơ. Tính chất này được mơ tả trên hình 1.3.

Hình 1.3. Sai số thơ trong góc đo

Trên hình 1.3. góc đo tại điểm 2 có chứa sai số thơ (có dấu +) làm cho
góc lớn lên.

Hình 1.4. Đường chuyền phù hợp

19


Ví dụ: Để minh họa cho phương pháp tính tốn kiểm tra lưới đường chuyền,
xét một đường chuyền phù hợp (hình 1.4), trong đó có một góc chứa sai số thơ
(sai số thơ là 1’). Nhiệm vụ là phải tìm góc chứa sai số thơ đó.
Tọa độ các điểm khởi tính cho trong bảng 1.4.
Bảng 1.4. Tọa độ các điểm khởi tính
╔════╤═════════╤════════════╤═════════════╗
║ TT │ KI HIEU │
X(m)
│
Y(m)
║
╟────┼─────────┼────────────┼─────────────╢
║ 1 │ GPS-01 │ 2317383.347│ 689989.373 ║
║ 2 │ GPS-02 │ 2316391.243│ 693430.108 ║
║ 3 │ GPS-03 │ 2316551.432│ 690108.033 ║
║ 4 │ GPS-04 │ 2317327.719│ 693276.198 ║
╚════╧═════════╧════════════╧═════════════╝

Trong lưới có 8 góc đo với sai số trung phương đo góc là m   5" .
Bảng 1.5 là giá trị các góc đo, trong đó đã chủ động cho góc tại trạm GT-04 sai
đi một giá trị là +1’.
Bảng 1.5. Giá trị góc đo

TT

TRAI

PHAI

GIUA

GOC DO

1
2
3
4
5
6
7
8

GPS-01
GPS-03
GT-01
GT-02
GT-03
GT-04
GT-05
GT-06

GT-01
GT-02

GT-03
GT-04
GT-05
GT-06
GPS-04
GPS-02

GPS-03
GT-01
GT-02
GT-03
GT-04
GT-05
GT-06
GPS-04

56
160
261
233
133
116
202
275

03
06
44
00
23

48
29
10

40.26
01.35
34.07
28.76
50.53
51.14
48.54
54.27

Đường chuyền có 7 cạnh đo với sai số trung phương đo cạnh là:
m D   a 2  (b.10 6 D) 2 , trong đó: a = 5mm, b = 3 mm/km. Trong bảng 1.6. là
giá trị chiều dài của các cạnh đường chuyền.
Bảng 1.6. Giá trị chiều dài cạnh
TT

DAU

CUOI

CHIEU DAI CANH(m)

1
2
3
4
5

6
7

GPS-03
GT-01
GT-02
GT-03
GT-04
GT-05
GT-06

GT-01
GT-02
GT-03
GT-04
GT-05
GT-06
GPS-04

698,045
749,757
583,362
473,837
497,869
546,472
748,980

20