Bài giảng xử lý số liệu trắc địa thái văn hòa

Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

KHOA QUẢN LÝ ĐẤT ĐAI & BẤT ĐỘNG SẢN
BỘ MƠN CƠNG NGHỆ ĐỊA CHÍNH

---***--BÀI GIẢNG

XỬ LÝ SỐ LIỆU TRẮC ĐỊA
GV: THÁI VĂN HỊA
BM: CƠNG NGHỆ ĐỊA CHÍNH
Email:

Tell: 0908670778 hoặc 0964027940
Website: />
Tp. Hồ Chí Minh - 2014

YÊU CẦU MÔN HỌC
I. Chuyên cần 10%
- Nghỉ 1 buổi học trừ 2 điểm chuyên cần.
- Nghỉ từ 3 buổi trở lên cấm thi cuối mơn học.
I. Hồn thành nội dung bài tập lớn 30%
- Bình sai lưới bằng phần mềm và làm trực tiếp.
II. Thi cuối kỳ 60%
- Đề mở (Khơng dùng máy Vi tính và điện thoại)
- Thời gian 60’.

GV: Thái Văn Hòa

1

Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

MỞ ĐẦU
1. Nhiệm vụ và nội dung môn học
+ Nhiệm vụ:
Nhiệm vụ của môn học là giảng dạy lý thuyết cơ
bản và phương pháp cơ bản của bình sai trắc địa, đặt
cơ sở tốt cho việc đi sâu học tập và nghiên cứu bình
sai trắc địa.

+ Nội dung môn học:
- Lý thuyết sai số ngẫu nhiên: Gồm các đặc tính của
sai số ngẫu nhiên và luật truyền sai số ngẫu nhiên; định
nghĩa trọng số, sai số trung phương và phương pháp xác
định trọng số.
- Khái niệm và xây dựng mơ hình hàm số và mơ hình
ngẫu nhiên của bình sai trắc địa, nguyên lý và phương
pháp bình phương nhỏ nhất.
- Các phương pháp cơ bản của bình sai trắc địa:
Phương pháp bình sai điều kiện; phương pháp bình sai
gián tiếp (tham số).

GV: Thái Văn Hịa

2

Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

2. Sơ lược lịch sử phát triển của bình sai trắc địa

Gauss (30/4/1777 – 23/2/1855)

3. Các đơn vị đo thường dùng trong trắc địa
a, Khoảng cách
km, m, dm, cm, mm.
b, Đo góc
Radian, độ, Grad.
Ký hiệu:
Radian: rad;
Độ: 0, phút: ', giây: ";
Grad: g, phút grad: c, giây grad: cc.
Tính chuyển giữa đơn vị Radian và Độ:
0 = 1800/ = 570 17' 44",81; ’ = 60. 0  3437,7468’

” = 3600.0  206265” (206264,806247096”)

GV: Thái Văn Hòa

3


Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

4. Sai số đo
+ Nguyên nhân của sai số:
- Máy đo
- Người đo
- Điều kiện ngoại cảnh
+ Phân loại sai số:
- Sai số ngẫu nhiên
- Sai số hệ thống

- Do máy, dụng cụ đo
Loại máy
TS02

GV: Thái Văn Hịa

Sai số đo góc () Sai số đo cạnh (mm)
7

2+2ppmxD

4


Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

- Do người đo

- Điều kiện ngoại cảnh

GV: Thái Văn Hòa

5


Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

-Khái niệm sai số ngẫu nhiên:
Trong điều kiện đo như nhau tiến hành đo một loạt,
nếu sai số biểu hiện có tính chất ngẫu nhiên về độ lớn và
dấu, tức từ sai số đơn lẻ mà xét, độ lớn và dấu của sai số
đó khơng có tính quy luật, nhưng từ tổng thể của số lượng
lớn sai số mà xét thì có quy luật thống kê nhất định, loại
sai số này gọi là sai số ngẫu nhiên.
- Khái niệm sai số hệ thống:
Trong điều kiện đo như nhau tiến hành đo một loạt,
nếu sai số biểu hiện có tính chất hệ thống về độ lớn và
dấu, hoặc biến đổi theo một quy luật nhất định, hoặc là một
hằng số thì loại sai số đó gọi là sai số hệ thống.

CHƯƠNG 1: TIÊU CHUẨN ĐỘ CHÍNH XÁC
VÀ LAN TRUYỀN SAI SỐ
1.1. Tính quy luật của sai số ngẫu nhiên
Giả thiết tiến hành đo n lần, các trị đo là , , … , ,
giả định trị thực của các đại lượng đo là , , … ,

vì các
trị đo đều có sai số, do đó giữa trị đo và trị thực tồn tại sai
lệch, giả thiết là
Δ =

(1-1)

Hoặc theo dạng ma trận:
Δ=

(1-2)

Hoặc biểu diễn qua kỳ vọng tốn:
=
Δ=

GV: Thái Văn Hịa

(1-3)

6


Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

Xét ví dụ:
Tại một khu đo, trong điều kiện như nhau, đã đo độc
lập toàn bộ các góc trong của 358 tam giác, vì các trị đo có

sai số nên tổng 3 góc trong của tam giác không bằng trị
thực 1800 . Dựa vào (1-1), sai số thực của tổng 3 góc trong
của các tam giác được tính theo cơng thức:
= 180

+

+

(i=1,2,..., 358)

Lấy khoảng chia sai số d là 0,20", sắp xếp dãy sai số
này theo dấu và độ lớn; thống kê số lượng vi sai số xuất
hiện trong mỗi khoảng, tần suất

(ở đây n = 358) của sự

kiện “sai số xuất hiện trong khoảng j”, kết quả ghi trong
bảng 1-1.

Bảng 1-1
Khoảng
sai số "

S/l

 có giá trị dương

T/s

Sl

vj

T/s

Ghi chú

vj

0,000,20

45

0,126

0,630

46

0,128 0,640 d=0,20";

0,200,40

40

0,112

0,560

41

0,115 0,575 Sai số có

0,400,60

33

0,092

0,460

33

0,092 0,460 giá trị bằng

0,600,80

23

0,064

0,320

21

0,059 0,295 giá trị bên

0,801,00

17

0,047

0,235

16

0,045 0,225 trái khoảng

1,001,20

13

0,036

0,180

13

0,036 0,180 chia được

1,201,40

6

0,017

0,085

5

0,014 0,070 tính vào

1,401,60

4

0,011

0,055

2

0,006 0,030 khoảng chia

>1,60

0

0

0

0

181

0,505

Tổng

GV: Thái Văn Hịa

 có giá trị âm

0

0

đó

177 0,495

7


Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

Từ bảng 1-1 có thể thấy, tình trạng phân bố sai số
có các tính chất sau đây:
- Trị tuyệt đối của sai số có một giá trị giới hạn nhất
định;
- Sai số có giá trị tuyệt đối nhỏ nhiều hơn sai số có
giá trị tuyệt đối lớn;
- Số lượng các sai số âm, dương có giá trị tuyệt đối
bằng nhau xấp xỉ như nhau.

Hình 1-1

Hình 1-2

GV: Thái Văn Hòa

8


Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

Đường cong phân bố xác suất sai số, hoặc đường
cong phân bố sai số.

Hình 1-3

Quy luật của sai số ngẫu nhiên:
1. Trong đ/kiện đo nhất định, giá trị tuyệt đối của sai
số có một giới hạn nhất định, nói cách khác, sai số vượt
quá một giới hạn nhất định, xác suất xuất hiện của nó
bằng khơng;
2. Xác suất xuất hiện sai số có trị tuyệt đối nhỏ lớn
hơn xác suất xuất hiện sai số có trị tuyệt đố lớn;
3. Xác suất xuất hiện sai số âm, dương có trị tuyệt
đối bằng nhau là như nhau;
4. Theo (1-3) có thể biết, kỳ vọng tốn của sai số
ngẫu nhiên bằng khơng, tức
=

=
= 0 (1-4)
Hoặc, trị trung bình lý thuyết của sai số ngẫu nhiên
bằng không.

GV: Thái Văn Hòa

9


Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

Mật độ xác suất của  là:

=

(1-5)

Trong đó:
 là sai số trung phương (trong tốn thống kê
thường gọi  là độ lệch chuẩn, trong trắc địa gọi là sai số
trung phương và thường ký hiệu là m). Trong công thức
trên, sau khi đã xác định , thì có thể vẽ đường cong phân
bố sai số tương ứng. Vì E()=0, nên đường cong nhận
trục tung có hoành độ bằng 0 làm trục đối xứng. Khi 
khác nhau, vị trí của đường cong khơng thay đổi, nhưng
hình dạng của đường cong phân bố có thay đổi. Từ những
nghiên cứu trên đây cho thấy, sai số ngẫu nhiên  là biến

ngẫu nhiên tuân theo phân bố N(0, 2).

ĐƯỜNG CONG PHÂN BỐ CHUẨN

GV: Thái Văn Hòa

10


Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

1.2. Tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác
Xét hai ví dụ trên:

Hình 1-1

Hình 1-2

1.2.1. Phương sai và sai số trung phương
Hàm mật độ xác suất của sai số  là
=

1

2
Từ định nghĩa của phương sai, ta biết
=

=

=

Do  chính là sai số trung phương
σ=

GV: Thái Văn Hòa

(1-6)

11


Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

Dựa vào định nghĩa của tích phân có thể viết
=

=

= lim
→

= lim
→

Thực tế, số lượng trị đo n luôn là hữu hạn, từ

số lượng hữu hạn của sai số thực của các trị đo
chỉ có thể tìm được giá trị ước lượng của phương
sai và sai số trung phương.
=
(1-7)
=±

Tính sai số trung phương một lần đo theo trị trung
bình ta có cơng thức:
=

[

]
1

Trong đó
=

+

+

+

(1-8)

=

GV: Thái Văn Hòa

12


Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

Tính sai số trung phương một lần đo theo trị trung
bình ta có cơng thức:
[

=

]
1

Trong đó
=

+

+

+

(1-8)

=

1.2.2. Các loại sai số khác
a, Sai số trung bình
Trong điều kiện đo nhất định, kỳ vọng toán của trị tuyệt
đối của một dãy sai số ngẫu nhiên độc lập gọi là sai số
trung bình. Giả thiết  biểu thị sai số trung bình, ta có
=

Δ

=

Hoặc viết dưới dạng:
= lim
→

Tức sai số trung bình là giá trị giới hạn của trị trung
bình của trị tuyệt đối của một dãy các sai số ngẫu nhiên
độc lập.

GV: Thái Văn Hòa

13


Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

Vì số lượng n các trị đo ln là hữu hạn, do đó trên
thực tế cũng chỉ có thể dùng trị ước lượng của  để đánh

giá độ chính xác, ký hiệu , nhưng vẫn gọi đơn giản là sai
số trung bình, thì

=

[| |]

(1-9)

Nếu tính theo trị trung bình ta có

=

[| |]

(1-10)

với =
Cơng thức quan hệ lý thuyết giữa sai số trung bình và
sai số trung phương.
=

;

=

(1-11)

b, Sai số xác suất
Xác suất sai số ngẫu nhiên  xuất hiện trong khoảng

(a,b) là

< ≤

=∫

Sai số xác suất  được định nghĩa là xác suất sai số
xuất hiện trong khoảng (-,+) bằng 1/2, tức
=

1
2

Cách tìm sai số xác suất gần đúng: sắp xếp giá trị
tuyệt đối độ lệch từ nhỏ tới lớn sau đó lấy giá trị  nằm
giữa chuỗi ( =
).
Quan hệ giữa sai số xác suất và sai số trung phương.
≈

GV: Thái Văn Hòa

;

≈

(1-12)

14

Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

c, Sai số giới hạn
Sai số trung phương không đại biểu cho độ lớn bé của
sai số cá biệt, mà đại biểu cho độ phân tán của phân bố
sai số.
Dựa vào bảng phân bố chuẩn tra được, trong một dãy
lớn các sai số của các trị đo cùng độ chính xác, xác suất
sai số xuất hiện trong khoảng (-, +), (-2, +2) và
(-3, +3) phân biệt là:
< < + ≈ 68,3%
2 < < +2 ≈ 95,5%
(1-13)
3 < < +3 ≈ 99,7%

Do đó, thường lấy 3 lần sai số trung phương làm sai
số giới hạn gh của sai số ngẫu nhiên và gọi là sai số giới
hạn, tức
gh = 3

(1-14)

Trong thực tiễn cũng lấy 2 làm sai số giới hạn, lấy trị
ước lượng của sai số trung phương thay cho , tức lấy
2 hoặc 3 làm sai số giới hạn. Đồng thời, (1-14) cũng
phản ánh quan hệ xác suất giữa sai số trung phương và
sai số thực.

Trong trắc địa, nếu một sai số nào đó vượt quá sai số
giới hạn thì xem là sai lầm, trị đo tương ứng cần loại bỏ
khơng dùng.

GV: Thái Văn Hịa

15


Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

d, Sai số tương đối
Đối với một số kết quả đo, có khi nếu chỉ dựa vào sai
số trung phương thì vẫn chưa thể hồn tồn kết luận được
kết quả đo tốt hay khơng.
Sai số trung phương tương đối là một tỷ số không đơn
vị, trong trắc địa thường biến đổi để tử số bằng 1, tức 1/N.
Đối với sai số thực và sai số giới hạn, có khi cũng
dùng sai số tương đối để biểu thị. Ví dụ, khi đo đường
chuyền kinh vĩ, quy phạm quy định sai số khép tương đối
không được vượt q 1/2.000, đó là sai số giới hạn tương
đối; cịn trong thực tế đo sinh ra sai số khép tương đối, đó
là sai số thực tương đối.
Sai số thực, sai số trung phương, sai số giới hạn đều
gọi là sai số tuyệt đối.

1.3. Luật truyền hiệp phương sai
1.3.1. Phương sai

Giả thiết có trị đo X và Y, định nghĩa hiệp phương
sai của chúng là
=

(1-15)

=
(1-16)
Trong thực tế, n luôn là hữu hạn, do đó cũng chỉ có
thể tìm được trị ước lượng của nó, ký hiệu là

=

GV: Thái Văn Hịa

(1-17)

16


Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

Nếu
= 0 biểu thị sai số giữa hai trị đo (hoặc hai
dãy trị đo) không ảnh hưởng lẫn nhau, hoặc nói cách khác,
sai số của chúng là không tương quan và gọi các trị đo này
là các trị đo không tương quan;
Nếu

≠ 0, biểu thị sai số của chúng là tương quan,
gọi các trị đo này là các trị đo tương quan.
Vì trong trắc địa các trị đo và sai số của các trị đo đều
là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân bố chuẩn, mà đối
với biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn, “không tương quan”
và “độc lập” là tương đương, do đó các trị đo không tương
quan cũng gọi là các trị đo độc lập, tương tự, các trị đo
tương quan cũng gọi là các trị đo khơng độc lập.

Giả thiết có n trị đo tương quan khơng cùng độ chính
xác Xi (i=1,2,...,n), kỳ vọng toán và phương sai của chúng
là
và
, hiệp phương sai giữa chúng là
(i ≠ j),
dùng ma trận để biểu thị là:
=

=

GV: Thái Văn Hòa

;

=

=

17

Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

Xét hai dãy trị đo
phân biệt là
và .

,

và

,

, kỳ vọng tốn của chúng

=

Ký hiệu

thì ma trận hiệp phương sai của Z là
=
trong đó DXX và DYY phân biệt là ma trận hiệp phương sai
của X và của Y.

DXY là ma trận hiệp phương sai tương hỗ của vector trị
đo X liên quan đến Y. Khi số chiều của X và Y là n = r = 1
(tức X, Y đều là một trị đo), ma trận hiệp phương sai tương
hỗ chính là hiệp phương sai của X liên quan đến Y.

=
=

(1-18)
=

(1-19)

Nếu DXY = 0, thì gọi X và Y là các vector trị đo độc lập
với nhau.

GV: Thái Văn Hòa

18


Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

1.3.2. Phương sai của hàm tuyến tính các trị đo
Giả thiết có trị đo , , kỳ vọng toán là
hiệp phương sai là
.

, ma trận

Giả thiết hàm số tuyến tính của X là
=

trong đó

+

(1-20)

=

Tìm phương sai DZZ của Z.
Trước tiên, tìm kỳ vọng của (1-20), ta được
=
+
=
+
Theo định nghĩa của phương sai, ta biết, phương sai
của Z là
=
=
Do đó:

=

=

(1-21)

Khi các phần tử Xi (i=1, 2, ..., n) trong vector độc lập
với nhau, hiệp phương sai
=

=

+

= 0, biểu thức trên có dạng:
+

+

(1-22)

Thường gọi các biểu thức (1-21), (1-22) là luật truyền
hiệp phương sai.

GV: Thái Văn Hòa

19


Xử lý số liệu trắc địa

03/2014

Ví dụ [1-3]
Giả thiết X là hàm của các trị đo độc lập L1, L2, L3

=

7

+

2
4
+
7
7

Biết sai số trung phương của L1, L2, L3 là 1=±3mm,
2=±2mm, 3=±1mm. Tính sai số trung phương của X.
Giải: Vì L1, L2, L3 là các trị đo độc lập, theo (1-32) ta có
1
2
4
=
+
+
7
7
7
1
4
16
=
9 + 4 + 1 = 0,84 (
)
49
49
49
= ±0,9

1.3.3. Ma trận hiệp phương sai của nhiều hàm tuyến tính
của các trị đo
Giả thiết có trị đo

,

, kỳ vọng tốn

và ma trận

hiệp phương sai DXX như (1-28), có t hàm số tuyến tính
của X:
=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

............................................................. (1-23)
=

+

+

+

+

Tìm phương sai của Z1, Z2, ..., Zt và hiệp phương
sai giữa chúng.

GV: Thái Văn Hòa

20