QUAN điểm DUY vật BIỆN CHỨNG về đối TƯỢNG của TOÁN học

QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG VỀ ĐỐI TƯỢNG CỦA TỐN
HỌC

Do đặc tính trừu tượng của tốn h ọc, nhất là đối với toán học hiện đại toán học được xem là khoa h ọc về các cấu trúc trừu tượng, mà vấn đề
đối tượng của tốn học ln gây nên sự chú ý của các trường phái tri ết
học. Cũng từ đó hình thành các quan ni ệm khác nhau v ề bản chất của
tri thức toán h ọc. Việc xem xét đối tượng của toán học trên lập trường
duy vật biện chứng sẽ giúp chúng ta có cách nhìn đúng đ ắn về bản chất
của tốn học, vai trị của tốn học trong sự phát triển của khoa học,
công ngh ệ hiện đại, đồng thời tránh sa vào nh ững quan ni ệm duy tâm v ề
bản chất của tốn học hiện đại nói riêng và của khoa học cơng ngh ệ
hiện đại nói chung.
Trong tốn học, vấn đề mối quan hệ giữa tư duy và tồn tại được thể hiện
thành vấn đề mối quan hệ giữa tri thức toán học và hiện thực khách quan.
Việc giải quyết vấn đề này cũng chia làm hai trư ờng phái đối lập nhau.
Những người duy vật cho rằng những khái ni ệm và lý thuy ết toán học là sự
phản ánh những thuộc tính và nh ững quan hệ của thế giới khách quan. Trái
lại, những người duy tâm cho r ằng những tri thức toán học, hoặc những tư
tưởng được sáng t ạo một cách thuần tuý bởi tư duy con người, hoặc những
tư tưởng tiên nghiệm, có trước kinh nghi ệm, tức là tri th ức toán học biểu
thị như cái có trước, cái thứ nhất, cịn t ự nhiên là cái thứ hai.
Cách tiếp cận một cách khoa học về đối tượng của tốn học, trong đó có
các trừu tượng tốn học, sẽ khơng chỉ cho chúng ta l ời giải duy vật về bản
chất của các tri thức tốn học, mà cịn cả sự phân tích có tính ch ất biện
chứng về q trình phát tri ển của tốn học.
Trong việc tìm hi ểu đối tượng của toán học, hai vấn đề cần được quan tâm
hàng đầu là khách th ể nào trong hi ện thực là đối tượng của toán học và toán
học phản ánh đối tượng ấy như thế nào?
1. Toán h ọc phản ánh khía cạnh nào của hiện thực

Các khoa học khác nghiên cứu các hình thức vận động riêng biệt của vật
chất (như cơ học, hoá học...) hay m ột số hình thức vận động quan h ệ qua
lại (như lý hoá, hoá sinh...) Toán h ọc khơng nghiên cứu một hình thức vận
động riêng biệt nào của vật chất, mà nghiên c ứu một số khía cạnh của hiện
thực có quan hệ với tất cả các hình th ức vận động của vật chất. Như
Ph.Ăngghen đã vi ết "Tốn học thuần t có đối tượng của mình là các hình
thức khơng gian và các quan h ệ số lượng của thế giới hiện thực"([1]).
Như vậy, đặc trưng của toán học với tư cách một khoa học là ở chỗ, nó
phân tách nh ững quan h ệ số lượng và những hình thức khơng gian t ồn tại ở
tất cả mọi đối tượng và hiện tượng, và xem chúng là đ ối tượng khách th ể
nghiên cứu của mình. Quan niệm tốn học như là khoa h ọc về các quan hệ
số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực đem l ại cho
chúng ta khả năng hi ểu biết một cách đúng đ ắn nội dung khách quan c ủa
đối tượng toán học cũng như khuynh hướng phát triển chung của toán học.
Vấn đề là ở chỗ, do cách hi ểu hạn hẹp về quan hệ số lượng và các hình thức
khơng gian theo quan ni ệm siêu hình nên vi ệc lý giải về đối tượng hiện
thực của toán học cũng gây nên khơng ít tranh cãi. Quan ni ệm biện chứng
đã cho phép chúng ta có cách hi ểu đầy đủ hơn, sâu s ắn hơn về quan hệ số
lượng và các hình th ức khơng gian.
Cho đến giữa thế kỷ XIX, quan hệ số lượng vẫn được hiểu một cách hết sức
hẹp. Người ta hiểu số lượng là một đại lượng. Vì mỗi đại lượng thơng qua
đơn vị được lựa chọn đều có thể được biểu thị bằng số, cho nên quan ni ệm
về số lượng được liên tưởng với khái ni ệm số. Tương ứng với điều đó, toán
học được xem như là khoa h ọc nghiên cứu các tính phụ thuộc khác nhau
giữa các đại lượng hay giữa các biểu thị bằng số của chúng. L ịch sử của
toán học chỉ ra rằng, cùng với sự phát tri ển của khoa học và thực tiễn xã
hội, phạm vi quan hệ số lượng và các hình th ức khơng gian đư ợc tốn học
nghiên cứu đã được mở rộng khơng ng ừng. Chẳng hạn, trong tốn học hiện
đại, đó là các cấu trúc tốn h ọc trừu tượng. Để thấy rõ hơn vấn đề đối
tượng của toán học, chúng ta cần tìm hi ểu nó thơng qua các giai đo ạn phát

triển cơ bản của toán học.


a) Thời kỳ hình thành, b ắt đầu từ thời cổ đại đến thế kỷ VII - VI trước công
nguyên. Những trung tâm lớn của thời kỳ này là Babilon, Ai C ập, Trung
Quốc, Ấn Độ. Thời kỳ này còn được gọi là thời kỳ tiền Hy Lạp. Đây là thời
kỳ hình thành những khái ni ệm đầu tiên của toán học, thời kỳ mà tri thức
toán học gắn liền với những nhu cầu của đời sống kinh t ế: sự trao đổi các
sản phẩm, sự đo đạc các thửa ruộng. Các khái ni ệm toán học - số và hình xuất phát trực tiếp từ những khách th ể hiện thực, tức là những vật thể cụ
thể, cảm tính. Vì vậy, ở thời kỳ này, các quan hệ số lượng và hình thức
khơng gian g ắn liền với các khách th ể cụ thể; cịn bản thân tốn học vẫn
chưa được xem là khoa học lý thuyết trừu tượng.
b) Thời kỳ thứ hai, từ thế kỷ VI trước công nguyên đ ến đầu thế kỷ XVII.
Đây là thời kỳ phát triển của toán học về các đại lượng bất biến. Từ thế kỷ
VI đến thế kỷ III trước công nguyên (thời kỳ Hy Lạp cổ đại), toán học đã
được xem như m ột khoa học lý thuyết trừu tượng.
Ở thời kỳ này, toán h ọc mở rộng sự trừu tượng hoá và khái quát hoá, mà
đối tượng nghiên cứu trực tiếp là số và hình. Từ việc nghiên cứu này, người
ta đã rút ra nh ững tính ch ất và các quan hệ giữa các số và các hình hình
học. Trên cơ sở số học và hình học, người ta cũng đã xây d ựng nên nh ững
môn lượng giác và đ ại số sơ cấp.
Thành tựu nổi bật của thời kỳ này - đánh dấu mức độ cao của sự hồn thiện
bộ máy lơgíc của tốn học - là việc sử dụng phương pháp tiền đề để xây
dựng hình học của Ơclít trên các đ ối tượng trừu tượng: điểm, đường, mặt
phẳng. Vì vậy, đến giai đoạn này, các quan h ệ số lượng và các hình thức
khơng gian đã đư ợc trừu tượng khỏi các khách thể cụ thể.
c) Thời kỳ thứ ba, từ thế kỷ XVIII đến giữa thế kỷ XIX. Đây là thời kỳ gắn
liền với sự mở rộng quan niệm về các quan hệ số lượng và các hình th ức
khơng gian. Khác với các thời kỳ trước chỉ nghiên cứu các đại lượng bất
biến, ở thời kỳ này, toán học đã chuyển sang nghiên c ứu tính phụ thuộc

giữa các đại lương bi ến thiên. Ví dụ, y = ax (y,x là các đ ại lượng biến
thiên). Cho nên, có th ể nói, đây là thời kỳ phát triển của toán học về các
đại lượng biến thiên, tức là toán học đã đi vào nghiên c ứu vận động và các
quá trình. Ngư ời đã tạo ra bước ngoặt đánh dấu sự phát triển của toán học


thời kỳ này là R. Đêcáctơ. Ph.Ăngghen đã nh ận xét: "Đại lượng khả biến
của Đêcáctơ đã đánh d ấu một bước ngoặt trong toán h ọc. Với đại lượng đó,
vận động và biện chứng đã đi vào tốn h ọc"(2). Ở đây, toán học vẫn được
xem là khoa học về các đại lượng (không biến đổi và biến đổi). Tuy nhiên,
ở giai đoạn này, các quan h ệ số lượng và các hình thức khơng gian đã
khơng chỉ tách khỏi những khách th ể trong hi ện thưc, mà còn tách kh ỏi cả
những đại lượng trừu tượng cụ thể (ví dụ, số và hình); hơn nữa, tốn học
đã chuyển từ việc nghiên cứu các đại lượng bất biến sang vi ệc nghiên cứu
các đại lượng khả biến.
d) Thời kỳ thứ tư, từ cuối thế kỷ XIX đến nay. Thời kỳ này được bắt đầu
bằng những phát minh c ủa N.I.Lôbasépxk i, dẫn đến việc xuất hiện các lý
thuyết hình học phi Ơclít. Nhờ đó, đối tượng của hình học được mở rộng
đáng kể: 1) Từ một hệ tiên đề và những khái ni ệm xuất phát, có th ể cho ta
những giải thích khác nhau nh ất và có th ể xem chúng như nh ững cấu trúc
trừu tượng nào đấy. 2) Số chiều của không gian cũng đư ợc mở rộng. Cùng
với không gian 3 chi ều thông thường, người ta xây dựng không gian tr ừu
tượng nhiều chiều, thậm chí vơ hạn chiều. Những khơng gian này được sử
dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học tự nhiên, cũng như trong
các lĩnh vực kinh t ế và xã hội học.
Thành tựu nổi bật thứ hai ở thời kỳ này là sự thay đổi căn bản trong các
nghiên cứu đại số. Nếu trước đây, đại số chỉ nghiên cứu các vấn đề gắn liền
với việc giải phương trình, thì bây gi ờ, nó nghiên cứu những toán tử đại số
khác nhau, đ ối tượng của đại số hiện đại là những cấu trúc trừu tượng khác
nhau nhất.

Cách tiếp cận trừu tượng như thế về đối tượng của đại số và hình h ọc được
biểu thị một cách đầy đủ nhất nhờ các phương ti ện của lý thuyết tập hợp và
gắn liền với nó là phương pháp tiên đ ề. Sự ra đời của lý thuyết tập hợp
không chỉ tạo ra những phương tiện mạnh mẽ cho việc lập luận tốn học,
mà cịn tạo ra khả năng mới cho sự phát triển của toán học.
Như vậy, đối với toán học hiện đại, đặc trưng quan trọng nhất là các cấu
trúc toán học trừu tư ợng. Cho nên, có th ể gọi tốn học thời kỳ này là khoa


học về các cấu trúc trừu tượng. Trên cơ s ở khái quát các thành t ựu của toán
học hiện đại, trường phái toán học Pháp mang tên Burbaki đã trình bày tồn
bộ các lý thuyết tốn học bằng những cấu trúc trừu tượng. Các cấu trúc này
phản ánh được các quan h ệ phong phú và đa d ạng về số lượng và hình thức
khơng gian của thế giới hiện thực thông qua các khách th ể trừu tượng, lý
tưởng, nhằm khám phá các quy lu ật mới và mở rộng lĩnh vực ứng dụng của
tốn học. Chính vì v ậy, trong giai đo ạn hiện đại, các quan hệ số lượng và
hình thức khơng gian đã được mở rộng một cách lý tưởng - đó là các cấu
trúc trừu tượng.
Qua việc xem xét lịch sử phát triển của tốn học, chúng ta thấy, khía cạnh
đặc thù của hiện thực mà toán học nghiên cứu là các quan h ệ số lượng và
các hình thức khơng gian với cách hi ểu rất rộng của chúng.
Tuy nhiên, đ ể phản ánh các khía c ạnh đó của hiện thực, tốn h ọc đã xây
dựng nên các khách th ể trừu tượng của mình. Những khách th ể trừu tượng
này mới chính là đ ối tượng trực tiếp của các lý thuy ết tốn học. Chính vì
vậy, để có thể hiểu thực chất của đối tượng của toán học, chúng ta khơng
thể khơng tìm hiểu các đặc điểm của sự trừu tượng tốn học.
2. Trừu tượng tốn học
Tính trừu tượng của các khái ni ệm toán học quy định thực chất của sự phản
ánh tốn học. Nó ln ln là m ối quan tâm của các nhà khoa học. Để hiểu

rõ thực chất của khái ni ệm và lý thuy ết toán học, cũng như đ ối tượng của
toán học, trước hết, chúng ta phải tìm hiểu bản chất của các trừu tượng toán
học.
Trong khoa học, trừu tượng được hiểu theo hai nghĩa: 1) Tr ừu tượng như là
phương pháp nghiên cứu các hiện tượng, như là thao tác tư duy mà thơng
qua đó, người ta tách bỏ các thuộc tính khơng căn b ản và tập trung vào các
thuộc tính căn b ản. 2) Trừu tượng như là kết quả của q trình tr ừu tượng
hố. Theo nghĩa này, các tr ừu tượng tốn học chính là đ ối tượng trực tiếp
của các lý thuyết toán học.
Đặc trưng của toán học được quy định bởi một loạt những đặc điểm quan
trọng của sự trừu tượng. Những đặc điểm này phân bi ệt trừu tuợng toán học


với sự trừu tượng trong các khoa h ọc khác. Có thể kể ra một số đặc trưng
quan trọng sau đây:
1. Sự trừu tượng toán học là sự trừu tượng "có sức mạnh lớn nhất". Chúng
ta biết rằng, các khái ni ệm toán học chỉ phản ánh đối tượng và quá trình,
cho nên các khái ni ệm này là hình ảnh phiến diện nhất của hiện thực. Để
tách ra những quan h ệ số lượng và các hình th ức khơng gian dưới dạng
thuần t, nhà tốn h ọc phải sử dụng sự trừu tượng "có sức mạnh lớn nhất".
Ở các khoa học khác, khi trừu tượng hoá, người ta vẫn giữ lại các thuộc
tính chất lượng cùng với quan hệ số lượng và hình th ức khơng gian của
chúng. Trái l ại, trong toán học, người ta phải vứt bỏ tất cả những đặc điểm
chất lượng, những thuộc tính riêng bi ệt của đối tượng và hiện tượng, chỉ
giữ lại quan hệ số lượng và hình thức khơng gian mà thôi.
Thực tiễn phát triển của khoa học cho thấy, ở chỗ mà nhà khoa h ọc kinh
nghiệm dừng lại, thì nghiên c ứu tốn học mới chỉ bắt đầu. So với q trình
trừu tượng hố trong khoa h ọc kinh nghiệm thì q trình trừu tượng hố
trong tốn h ọc đi xa hơn.
2. Sự trừu tượng toán học là sự trừu tượng được thực hiện thông qua một

loạt những mức độ kế tiếp nhau. Vì vậy, trong tốn h ọc xuất hiện sự trừu
tượng của trừu tượng. Chẳng hạn, khái ni ệm số. Lúc đầu, nó chưa được tách
khỏi những tập hợp để đếm và do vậy, nó bi ểu hiện như một danh số. Sau
đó, nó tách kh ỏi các tập cụ thể và biểu hiện như một khái niệm trừu tượng
(như là những con số cụ thể). Hai mức này ít phân biệt với sự trừu tượng
tương ứng trong khoa h ọc kinh nghi ệm. Nhưng toán học đi xa hơn: nếu ở
giai đoạn hai, khái niệm số còn gắn liền với số trừu tượng cụ thể như 1,
2.....15.....100.....thì sau đó, nó đư ợc trừu tượng khỏi giá trị cụ thể của số,
từ đó xuất hiện khái niệm số tự nhiên bất kỳ. Khái ni ệm này có ý nghĩa đ ặc
biệt đối với tốn học, vì nó cho chúng ta kh ả năng trừu tượng khỏi các số
cụ thể và đảm bảo có thể chứng minh các định lý dưới dạng tổng quát.
Tuy nhiên, s ự trừu tượng tốn học cịn đi xa hơn. Chẳng hạn, từ số tự
nhiên, chúng ta có s ố hữu tỷ, số thực, số phức....
Trong đại số, từ các công thức vật lý S =

(rơi tự do) và W =


(w là năng lượng; c là dung tích v ật dẫn; u là th ế hiệu cần nạp), toán học
tách khỏi nội dung cụ thể và nghiên cứu

hàm số: y =
Trong hình h ọc, từ hình học Ơclít, người ta đã xây dựng nên các hình học
phi Ơclít, rồi hình học Tơpơ.
3. Sự trừu tượng tốn học phần lớn được thực hiện với việc sử dụng các
khách thể lý tưởng. Chẳng hạn, các khái niệm "điểm", "đường", "m ặt
phẳng" của hình học Ơclít đã là nh ững khách thể lý tưởng, vì chúng đư ợc
tạo ra thơng qua s ự lý tưởng hố. Trong thực tế, khơng có đi ểm, đường, mặt
phẳng nào giống như sự biểu thị trong các khái ni ệm tương ứng nói trên.
Nếu sự lý tưởng hoá được hiểu rộng đến mức như là qu á trình tạo ra những

khái niệm biểu thị các thuộc tính của hiện thực bởi một sự biến dạng, hoặc
sự mô tả các thuộc tính khơng có ở thế giới hiện thực thì có th ể khẳng định
rằng, những khách th ể toán học lý tưởng, trừu tượng ấy là những khách th ể
xuất hiện trực tiếp do nhu cầu nội tại của các nghiên cứu toán học. Chẳng
hạn, số ảo (i).
4. Sự trừu tượng toán học là sự trừu tượng về tính thực hiện được. Có một
số khái niệm vơ hạn như sau: Trong th ế giới hiện thực, các đối tượng cũng
như các thuộc tính của chúng là vơ cùng, vô t ận. Song, để nhận thức được
các tập vơ hạn như vậy, tốn học đã sử dụng sự trừu tượng về tính thực
hiện được để xây dựng nên những khái ni ệm vơ hạn tốn học khác nhau.
Tốn học cũng đã sử dụng một số khái niệm vô hạn như: Vô hạn thực thể khả năng thực hiện được một cách thực tế với một số bước đủ lớn, qua đó
ta có thể nhận được kết quả gần đúng cần thiết cho mục đích của chúng
ta. Vơ hạn tiềm năng - khả năng thực hiện được một cách ti ềm năng. trong
một tập vô hạn, các phần tử không tồn tại một cách đồng thời, mà được xây
dựng dần theo các thuật toán xác định, sao cho vi ệc xây dựng xong ph ần tử
thứ n sẽ tạo điều kiện để xây dựng phần tử thứ nhất n + 1, và quá trình c ứ
tiếp tục diễn ra một cách khơng có giới hạn. Vơ hạn thực tại - khả năng
thực hiện được một cách tuyệt đối. Trong một tập vơ hạn, các phần tử tồn
tại bình đẳng và đồng thời (tức thời) với nhau.


Hai khái ni ệm vô hạn thực tại và vô hạn tiềm năng trở thành hai khái ni ệm
cơ bản đối với cơ sở của toán học. Chúng bổ sung cho nhau, th ống nhất với
nhau trong quá trình phát tri ển biện chứng của toán học.
5. Nhiều hệ thống trừu tượng toán học, khi xuất hiện trên cơ sở kinh
nghiệm và thực tiễn hay trong quá trình phát tri ển lơgíc thuần t khơng
địi hỏi phải tiếp tục hướng tới kinh nghi ệm. Trong toán học, nhiều khái
niệm được trừu tượng từ kinh nghiệm, như số tự nhiên, điểm, đường, mặt
phẳng,...song không nh ất thiết phải được kiểm tra kinh nghi ệm. Ngoài
ra, những khái ni ệm xuất hiện từ nhu cầu nội tại của tốn học, như hình

học Lôbaxépxki, số ảo, cũng không nh ất thiết phải được kiểm tra kinh
nghiệm trực tiếp.
Việc kiểm tra kinh nghi ệm các khái ni ệm, lý thuyết toán học này được thực
hiện một cách gián ti ếp - thông qua các lý thuy ết khoa học có sử dụng khái
niệm và lý thuy ết tốn học tương ứng.
Qua việc tìm hiểu những đặc điểm của trừu tượng toán học, chúng ta th ấy,
các trừu tượng toán học đi rất xa và nhi ều trừu tượng tốn học khơng xuất
phát từ những nhu cầu thực tế, từ những khách th ể hiện thực, mà t ừ nhu cầu
phát triển nội tại của tốn học. Từ đó, một vấn đề đặt ra là, ph ải chăng
những trừu tượng như th ế khơng có cơ s ở thực tế, khơng có nguồn gốc
khách quan? Sự thực khơng phải như vậy. Tìm hi ểu q trình xuất hiện các
trừu tượng tốn học, chúng ta th ấy chúng đều có nguồn gốc, cơ sở sâu xa từ
hiện thực khách quan. Ch ẳng hạn, để có số ảo (i), chúng ta ph ải có số thực;
để có số thực, phải có số hữu tỷ; để có số hữu tỷ, phải có số tự nhiên; để có
số tự nhiên, phải có nhu cầu trao đổi các sản vật trong thực tế. Như vậy, sự
ra đời của số ảo, suy cho cùng, có nguồn gốc khách quan - từ các khách thể
hiện thực. Cũng tương tự như vậy, để có hình học Lơbasépxki, phải có hình
thức học Ơclít; để có hình học Ơclít, phải có nhu cầu đo đạc các thửa
ruộng, mảnh đất. Từ đó cho thấy, sự ra đời của hình học Lơbasépxki có
nguồn gốc sâu xa từ các khách thể hiện thực.
Cùng với vấn đề trên là v ấn đề khả năng phản ánh hiện thực của các trừu
tượng toán học như thế nào? Thực tiễn phát tri ển toán học cho thấy, các
khái niệm, lý thuyết toán học, dù ra đời từ nhu cầu thực tiễn hay từ nhu cầu


nội tại của tốn học, càng trừu tượng thì chúng càng ph ản ánh hiện thực
khách quan một cách đầy đủ hơn, sâu sắc hơn. Chẳng hạn, hình học Rieman
- hình học cầu (ra đời từ hình học Ơclít - hình học phẳng), lại phản ánh
hình thức khơng gi an xác thực hơn hình h ọc Ơclít. Đúng như Lênin đã nh ận
xét: "Tư duy, khi ti ến lên từ cái cụ thể đến cái trừu tượng không xa - nếu

nó đúng - rời chân lý. Những sự trừu tượng về vật chất, về quy luật tự
nhiên, sự trừu tượng về giá trị, v.v.... tóm lại, tất cả những trừu tượng khoa
học (đúng đắn, nghiêm túc, không tu ỳ tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc
hơn, chính xác hơn, đ ầy đủ hơn" (3).
*
*

*

Qua sự phân tích v ề đối tuợng của tốn học, chúng ta có th ể đi đến một số
kết luận sau:
Một là, toán học là hình thức phản ánh rất khái quát, r ất trừu tượng về hiện
thực khách quan. Có tình hình ấy là vì tốn học khơng phản ánh một hình
thức vận động cụ thể nào của thế giới khách quan, mà chỉ phản ánh các
khía cạnh nhất định (các quan h ệ số lượng và hình thức khơng gian) có ở
tất cả các hình thức vận động. Cũng chính vì v ậy, sự phản ánh toán học tạo
thành một nội dung quan tr ọng của các hình th ức phản ánh khác. Thực tiễn
phát triển của khoa học đã chỉ ra rằng, tốn học trở thành cơng cụ nhận
thức duy lý của các khoa học cụ thể và việc sử dụng các cơng cụ tốn học
đã trở thành nhu cầu của mọi ngành khoa học. Với nghĩa này, C.Mác đã
khẳng định: để đánh giá mức độ phát tri ển của một ngành khoa h ọc nào đó,
cần phải tính đến mức độ sử dụng tốn học trong đó. Mặt khác, sự phát
triển của các ngành khoa h ọc cụ thể cũng tạo ra nhu cầu và cung cấp “tư
liệu” cho sự phát tri ển của toán học. Quan hệ giữa toán học và các khoa
học cụ thể là mối quan hệ biên chứng.
Hai là, ở bất kỳ trình độ nào, tốn học cũng luôn là kết quả của sự phản
ánh các quan h ệ số lượng và các hình thức khơng gian của các khách thể
hiện thực. Tuy nhiên, toán h ọc không ph ản ánh hiện thực một cách cứng
nhắc, siêu hình, mà ph ản ánh nó một cách sáng t ạo, mang bản chất biện
chứng sâu sắc. Để phản ánh quan hệ số lượng và hình thức khơng gian của

khách thể hiện thực, toán học đã sáng t ạo ra các khái niệm, lý thuy ết ngày
càng trừu tượng hơn - thơng qua sự trừu tượng tốn học. Nhờ những đặc
điểm riêng, sự trừu tượng toán học đi xa hơn r ất nhiều so với các khoa học
cụ thể và đã tạo ra những cơng cụ tốn học ngày càng phản ánh một cách
chính xác hơn, sâu s ắc hơn, đầy đủ hơn về hiện thực khách quan. Đi ều đó
thể hiện đặc trưng bi ện chứng của sự phản ánh toán học, cũng như con
đường biện chứng của sự phát triển toán học .
Ba là, toán học hiện đại ngày càng s ản sinh ra các khái ni ệm mới, lý thuyết
mới, trong đó có nhi ều khái niệm, lý thuy ết ra đời do nhu cầu nội tại của
sự phát triển tốn học nói riêng, của sự phát triển khoa học, cơng ngh ệ
nói chung. Tuy nhiên, khơng p hải vì thế mà cho rằng, các khái ni ệm toán
học là "sản phẩm thuần tuý của tư duy". Cần phải nhận thấy rằng, những
khái niệm này không ch ỉ có nguồn gốc sâu xa từ hiện thực khách quan,
không chỉ là kết qủa của sự phản ánh hiện thực khách quan, mà chúng còn
biểu hiện sâu sắc tính bi ện chứng của sự phản ánh tốn học - phản ánh một
cách sáng t ạo và là một q trình ngày càng đ ầy đủ hơn, chính xác hơn, sâu
sắc hơn.
Bước vào nền văn minh trí tuệ với những thành t ựu kỳ diệu của tin học
(trong đó tốn học đóng vai t rị quan trọng, đặc biệt là trong việc lập trình),
việc nắm vững phương pháp luận duy vật biện chứng cho phép chúng ta
vững vàng hơn trong vi ệc nhận biết giá trị của những thành qu ả của tốn
học nói riêng, của khoa học, cơng nghệ hiện đại nói chung và vận dụng
chúng một cách có hi ệu quả vào cơng cuộc xây dựng và phát triển đất nước
trong thời kỳ đẩy mạnh công nghi ệp hoá, hiện đại hoá.


(1) C.Mác và Ph.Ăngghen . Tồn tập, t.20. Nxb Chính trị Quốc gia, Hà Nội,
1995, tr.37.

(2) C.Mác và Ph.Ăngghen. Toàn

(3) V.I.Lênin. Tồn tập, t.29. Nxb

tập, t.20. Nxb Chính trị Quốc gia, Hà Tiến bộ, Mátxcơva, 1981, tr.179.
Nội 1994, tr. 756.