Giáo án giải tích lớp 12 chuyên đề 3 bài 3 ứng dụng của tích phân

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm vững cơng thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối trịn xoay.
+ Ghi nhớ các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip.
+ Nắm được định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính tích phân.
 Kĩ năng
+ Hiểu rõ các ứng dụng của tích phân để vận dụng vào việc tính diện tích hình phẳng và thể tích
của các vật thể, cũng như vật thể trịn xoay.
+ Lập được phương trình đường thẳng, parabol, đường trịn và elip để xử lí các bài tốn liên
quan.
+ Tính được diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối trịn xoay trong các trường hợp
cụ thể.

TOANMATH.com

Trang 1


A. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
Diện tích hình phẳng

H 

giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b , trục hoành và hai đường
thẳng x  a , x  b (với a  b ) được xác định theo công thức:

b

S   f  x  dx
a

Chú ý
Nếu f  x  không đổi dấu trên đoạn  a; b thì
b

S   f  x  dx 
a

b



Phần tơ màu đen chính là diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

f  x  dx

y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b , trục

a

• Nếu phương trình f  x   0 có nghiệm duy nhất x  c thuộc hoành và hai đường thẳng x  a , x  b
(với a  b ).
khoảng  a; b  thì
Đặc biệt:
b

c

b

a

a

c

S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx



c

b

a

c

 f  x  dx   f  x  dx

• Nếu phương trình f  x   0 có hai nghiệm c1  c2 thuộc

•

Nếu

f  x   0 , x   a; b

b

b

a

a

thì

S   f  x  dx   f  x  dx

•

Nếu

f  x  0 ,

b

b

a

a

x   a; b

thì

S   f  x  dx    f  x  dx

khoảng  a; b  thì
b

c1

a

c

S   f  x  dx 



f  x  dx 

c2



f  x  dx 

c1

b

 f  x  dx

c2

Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Diện tích hình phẳng

 C1  :

H 

giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

y  f  x  ,  C2  : y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b và

hai đường thẳng x  a , x  b (với a  b ) được xác định theo
công thức:
b

S   f  x   g  x  dx
a

Phần gạch chéo trong hình là hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

 C1  :

y  f  x  ;  C2  : y  g  x 

liên tục trên đoạn  a; b và hai đường

TOANMATH.com

Trang 2


thẳng x  a , x  b (với a  b ).
Đặc biệt:
° Nếu f  x   g  x  , x   a; b (đồ thị

Chú ý
• Nếu phương trình f  x   g  x  vô nghiệm trên khoảng

 a; b  thì

b

 C1 

b

S   f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx .
a

a

b

có: S   f  x   g  x  dx
a

• Nếu phương trình f  x   g  x  có nghiệm duy nhất x  c
c

b

a

c

thuộc  a; b  thì S   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx



nằm phía trên đồ thị  C2  ) thì ta

c

b

a

c

  f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx

b

   f  x   g  x  dx
a

• Nếu f  x   g  x  , x   a; b (đồ thị

 C1 

nằm phía dưới đồ thị  C2  ) thì ta
b

• Nếu phương trình f  x   g  x  có hai nghiệm c1  c2 thuộc có: S   f  x   g  x  dx
a

khoảng  a; b  thì

b

b

c1

a

c

S   f  x  dx 



    f  x   g  x   dx

  f  x   g  x   dx

c2

  f  x   g  x  dx 

c1

a

b

  f  x   g  x   dx

c2

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

TOANMATH.com

Trang 3


Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
Diện tích hình phẳng

H 

giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b , trục hoành và hai đường
thẳng x  a , x  b (với a  b ) được xác định theo công thức:

b

S   f  x  dx
a

Ứng dụng tích phân để tính
diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

y  f  x  ,  C2  : y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b và
hai đường thẳng x  a , x  b (với a  b ) được xác định theo

 C1  :

b

công thức: S   f  x   g  x  dx
a

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng
Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị bởi một đường cong
Phương pháp giải
 C  : y  f  x 

Ox : y  0
Xét hình phẳng  H  : 
x  a

 x  b  a  b


Ví dụ: Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

Khi đó diện tích hình phẳng  H  là:

Hướng dẫn giải

b

S   f  x  dx
a

hàm số  C  : y 
Tính S.

Hồnh độ giao điểm của

và trục hồnh là

3 x  1
1
0 x
x 1
3

Do đó diện tích hình phẳng là
0

S

3x  1
1 x  1 dx 



3

0



4 

  3  x  1  dx



1
3

0

  3 x  4 ln x  1 


TOANMATH.com

C 

nghiệm của phương trình:

Trong loại 1 này, nếu thiếu cận a hoặc b thì ta đi
tìm bằng cách giải phương trình f  x   0 .

3 x  1
và hai trục tọa độ là S.
x 1

1
3

4
 4 ln  1
3

Trang 4


Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x  2   1 , trục hoành và hai đường thẳng
2

x  1 , x  2 bằng
A.

2
3

B.

3
2

C.

1
3

D.

7
3

Hướng dẫn giải
2

2

Ta có S    x  2   1 dx   x 2  4 x  3 dx
2

1

1

2

x

Vì phương trình x 2  4 x  3 khơng có nghiệm trên 1; 2  nên S 

2

 4 x  3 dx 

1

2
3

Chọn A.
Lưu ý: Các phần tính tích phân, học sinh có thể sử dụng máy tính
bỏ túi để kiểm tra kết quả.
Ví dụ 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  3 , x  2 (như hình vẽ
1

bên). Đặt a 



3

2

f  x  dx , b   f  x  dx .
1

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. S  a  b .

B. S  a  b .

C. S  a  b .

D. S  b  a .

Hướng dẫn giải
Ta có S 

1

2

1

2

3

1

3

1

 f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx  a  b

Chọn D.
Ví dụ 3: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới han bởi các đường y 

ln x
, y  0 , x  1 , x  e . Mệnh
x2

đề nào dưới đây đúng?
e

ln x
dx .
x2
1

A. S   

e

ln x
dx .
x2
1

B. S  

e

2

 ln x 
C. S    2  dx .
x 
1

e

2

 ln x 
D. S     2  dx .
x 
1

Hướng dẫn giải
Diện tích hình phẳng giới han bởi các đường y 
e

S
1

ln x
, y  0 , x  1 , x  e là:
x2

e

ln x
ln x

ln x
dx   2 dx vì 2  0 , x  1; e 
2
x
x
x
1

Chọn B.
TOANMATH.com

Trang 5


Ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  ln x , y  1 và đường thẳng x  1 bằng
B. e  2 .

A. e 2 .

D. e  2 .

C. 2e.

Hướng dẫn giải
Ta có ln x  1  x  e .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  ln x , y  1 và đường thẳng x  1 là:
e

S   ln x  1 dx 
1

e

  ln x  1 dx
1

e

e

e

1

1

1

 x  ln x  1   dx  1  x

e2

Chọn D.
Ví dụ 5*: Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e x ,
trục hoành và các đường thẳng x  1 , x  1 . Với k   1;1 , đường
thẳng x  k chia hình phẳng  H  thành hai hình phẳng có diện tích
lần lượt là S1 và S 2 (như hình vẽ bên). Giá trị k để S1  S2 là
A. 2 ln 2  1 .

 1

B. 2 ln  e    1 .
e


1

C. ln  e    ln 2 .
e


D. ln 2 .

Hướng dẫn giải
Vì e x  0 với mọi x   nên ta có
k

S1   e x dx  e x
1

k

1

1

 ek  e1 và S 2   e x dx  e x
k

1

 e  ek
k

1
1 1
S1  S2  e k  e 1  e  e k  2ek  e   e k   e  
e
2
e
1
1
1

 k  ln  e    ln  e    ln 2
2
e
e


Chọn C.
Chú ý: a x  b  x  log a b
Ví dụ 6*: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị trên  2;6 như
hình vẽ bên. Biết các miền A, B, x  2 có diện tích lần lượt là
32; 2; 3.
2

Tích phân

  f  2 x  2   1 dx

bằng

2

A.

45
.
2

B. 41.

C. 37.

D.

41
.
2

Hướng dẫn giải
TOANMATH.com

Trang 6


2

  f  2 x  2   1 dx 

Ta có

2

2

 f  2 x  2  dx  4

2

2

Xét I1 

 f  2 x  2  dx .

2

Đặt t  2 x  2  dt  2 dx  dx 

dt
2

Đổi cận: x  2  t  2 ; x  2  t  6 .
6

Suy ra I1 

1
f  t  dt .

2 2

Gọi x1 ; x2 là các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x 
với trực hoành  2  x1  x2  6  . Ta có
x
x2
6
1 1
I1    f  t  df   f  t  df   f  t  df
2  2
x1
x2
1
33
  32  2  3 
2
2
2

Vậy

  f  2 x  2   1 dx  I

1

4

2

 1

   S A  S B  SC 
 2


33
41
4
2
2

Chọn D.
Ví dụ 7*: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm số y  f   x  như
hình bên.
Đặt g  x   2 f  x    x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2

A. g  3  g  3  g 1 .
B. g  3  g  3  g 1 .
C. g 1  g  3  g  3 .
D. g 1  g  3  g  3 .
Hướng dẫn giải
Ta có g   x   2 f   x   2  x  1

g   x   0  f   x   x  1 . Đây là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số f   x  và
đường thẳng d: y  x  1 .
x 1
Dựa vào đồ thị ta thấy: g   x   0  f   x   x  1  
 x  3

Bảng biến thiên:

TOANMATH.com

Trang 7




x

–3

g  x 

–

0

1
+

0



g  x



3

–

0

+



g 1
g  3

g  3

Suy ra g  3  g 1 và g  3  g 1
Gọi S1 , S 2 lần lượt là diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f   x  , đường thẳng d:
y  x  1 trên các đoạn  3;1 và 1;3 ta có:

+) Trên đoạn  3;1 ta có f   x   x  1 nên S1 

1



g   x  dx 

3

3

+) Trên đoạn 1;3 ta có f   x   x  1 nên S 2   g   x  dx 

1

1

1
 f   x    x  1  dx .
2 3 
3

1
 x  1 f   x   dx .
2 1 

Dựa vào đồ thị ta thấy S1  S2 nên ta có:
g  x

1

3

  g  x   g 1  g  3   g  3   g 1  g  3  g  3 .

3

1

Vậy g 1  g  3  g  3 .
Chọn D.
Lưu ý:
- Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f   x  và đường thẳng d: y  x  1 chính là nghiệm của

phương trình g   x   0 .
- Lập bảng biến thịên ta thấy g 1 lớn hơn g  3 . Ta chỉ cần so sánh g  3 và g  3 .
- So sánh diện tích dựa vào đồ thị.
Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Phương pháp giải

 C1  : y  f  x 

 C  : y  g  x 
Xét hình phẳng  H  :  2
x  a
x  b  a  b


Ví dụ: Tính diện tích phần gạch chéo trên hình vẽ
sau.

Khi đó diện tích hình phẳng  H  là:
b

S   f  x   g  x  dx
a

TOANMATH.com

Trang 8


Trong loại 2 này, nếu thiếu cận a hoặc b thì ta đi
tìm bằng cách giải phương trình f  x   g  x  .

Lưu ý: Kĩ năng phá dấu giá trị tuyệt đối, quan
sát hình vẽ để xác định diện tích.

Hướng dẫn giải
Từ đồ thị ta thấy
 x 2  3  x 2  2 x  1 x   1; 2

Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong
2

hình vẽ là S     x 2  3   x 2  2 x  1  dx
1

2



  2 x

2

 2 x  4  dx

1

 2 3


x  x2  4x 
 3




2

1

3
2

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y  x 3  3x , y  x . Tính S.
A. S  4 .

B. S  8 .

C. S  2 .

D. S  0 .

Hướng dẫn giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị là

 x  2
x3  3x  x  x 3  4 x  0  
x  0
0

Vậy S 

 x

3

 4 x  dx 

2

2

x

3

 4 x  dx  4  4  8 .

0

Chọn B.
Ví dụ 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường my  x 2 , mx  y 2 (với m  0 ). Tìm giá trị
của m để S  3 .
A. m  1 .
TOANMATH.com

B. m  2 .

C. m  3 .

D. m  4 .
Trang 9

Hướng dẫn giải
Vì m  0 nên từ my  x 2 ta suy y 

x2
 0;
m

Từ mx  y 2 nên x  0 và y  mx .
Xét phương trình

x  0
x2
 mx  x 4  m3 x  
m
x  m

Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
m

S   mx 
0

m

x2
x2 
dx    mx   dx
m

m
0

2 m
x3 
 
.x x 

3m 
 3

m


0

Yêu cầu bài toán S  3 

1 2 1 2
m  m
3
3

1 2
m  3  m 2  9  m  3 (vì m  0 ).
3

Chọn C.
Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm y  x2 và y 

2x
là S  a  b ln 2 với a,
x 1

b là những số hữu tỷ. Giá trị của a  b là
1
A.  .
3

B. 2.

2
C.  .
3

D. 1.

Hướng dẫn giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của  C1  : y  x2 và  C2  : y 

2x
là
x 1

x  0
2x
3
2
x 
 x  1  x  x  2 x  0   x  1

x 1
 x  2
2

TOANMATH.com

Trang 10