Bài giảng môn giải tích A3: Tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt pptx

Bài giảng bổ sung mơn Giải tích A3: Tích phân Bội,
Tích phân Đường, Tích phân Mặt

Huỳnh Quang Vũ
Current address: Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc
gia Thành phố Hồ Chí Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Thành phố Hồ Chí
Minh. Email:
z
S
v

r
r
t
y

U
u

ψ
V
x

s


TÓM TẮT NỘI DUNG. Đây là tập bài giảng bổ sung cho mơn Giải tích A3 (TTH024).
Đây là mơn bắt buộc cho tất cả các sinh viên Khoa Toán-Tin vào học kì thứ 3.
Tập bài giảng này khơng thay thế giáo trình. Giáo trình chính tương đương
với quyển sách của Stewart [Ste08]. Mục đích của tập bài giảng này là cung cấp tài
liệu đọc thêm, sâu hơn, nhưng vẫn sát với nội dung mơn học.

Những phần có đánh dấu * là tương đối khó hơn.
Đây là một bản thảo, sẽ được tiếp tục sửa chữa. Bản mới nhất có trên trang
web />Ngày 7 tháng 9 năm 2011


Mục lục
Chương 1.

Tích phân bội

1

1.1.

Tích phân trên hình hộp

1

1.2.

Sự khả tích

5

1.3.

Định lí Fubini

12

1.4.

Tích phân trên tập tổng qt

15

1.5.

Cơng thức đổi biến

23

Chương 2.

Tích phân đường

33

2.1.

Tích phân đường

33

2.2.

Định lí cơ bản của tích phân đường

42

2.3.

Định lí Green

45

Chương 3.

Tích phân mặt

49

3.1.

Tích phân mặt

49

3.2.

Định lí Stokes

56

3.3.

Định lí Gauss-Ostrogradsky

59

3.4.

* Định lí Stokes tổng quát

63

3.5.

Ứng dụng của Định lí Stokes

69

Tài liệu tham khảo

73

Chỉ mục

75

iii


iv

Mục lục

Điều duy nhất tơi có thể nói là bạn phải làm việc gắng sức và đó là điều chúng ta thực
hiện. Bạn làm việc và làm việc, suy nghĩ và suy nghĩ. Khơng có cơng thức nào khác.
Mikhail Gromov, 2009.

Chương 1

Tích phân bội
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu tích phân Riemann trong khơng
gian nhiều chiều.
Trong mơn học này, khi ta nói đến khơng gian Rn thì ta dùng chuẩn và khoảng
2
2
2
cách Euclid, cụ thể nếu x = ( x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn thì || x || = ( x1 + x2 + · · · + xn )1/2 .

1.1. Tích phân trên hình hộp
Tích phân trên khơng gian nhiều chiều là sự phát triển tương tự của tích phân
một chiều. Do đó các ý chính đã quen thuộc và khơng khó. Người đọc có thể xem
lại phần tích phân một chiều để dễ theo dõi hơn.
1.1.1. Chia nhỏ hình hộp. Một khoảng (interval) là một tập con của R có dạng

[ a, b] với a < b.
Một hình hộp n-chiều (rectangle) là một tập con của Rn có dạng [ a1 , b1 ] ×
[ a2 , b2 ] × · · · × [ an , bn ].
1.1.1. Định nghĩa. Thể tích (volume) của hình hộp I = [ a1 , b1 ] × [ a2 , b2 ] × · · · ×

[ an , bn ] được định nghĩa là số thực | I | = (b1 − a1 )(b2 − a2 ) · · · (bn − an ).
Khi số chiều n = 1 ta thường thay từ thể tích bằng chiều dài (length). Khi
n = 2 ta thường dùng từ diện tích (area).
Một phép chia (hay phân hoạch) (partition) của một khoảng [ a, b] là một tập
con hữu hạn của khoảng [ a, b] mà chứa cả a và b.
Ta thường đặt tên các phần tử của một phép chia là x0 , x1 , . . . , xn với

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.
Mỗi khoảng [ xi−1 , xi ] là một khoảng con (subinterval) của khoảng [ a, b] tương ứng
với phép chia.
n
Một phép chia của hình hộp I = ∏i=1 [ ai , bi ] là một tích của các phép chia của
khoảng các khoảng [ ai , bi ]. Cụ thể nếu mỗi Pi là một phép chia của khoảng [ ai , bi ]
n
thì P = ∏i=1 Pi là một phép chia của hình hộp I.
Một hình hộp con (subrectangle) là một tích các khoảng con của các cạnh của
n
hình hộp ban đầu. Cụ thể một hình hộp con của hình hộp I có dạng ∏i=1 Ti trong

đó Ti là một khoảng con của khoảng [ ai , bi ] ứng với phép chia Pi .
1.1.2. Ví dụ. Tập P = {0, 1 , 1} là một phép chia của khoảng [0, 1]. Đối với hình
2
hộp [0, 1]2 thì Q = P × P = {(0, 0), (0, 1 ), (0, 1), ( 1 , 0), ( 1 , 1 ), ( 1 , 1)} là một phép
2
2
2 2
2
chia. Hình hộp [0, 1 ] × [ 1 , 1] là một hình hộp con ứng với phép chia Q.
2
2
1


2

1. Tích phân bội

Cho P và P là hai phép chia của hình hộp I. Nếu P ⊂ P thì ta nói P là mịn
hơn (finer) P.
1.1.3. Ví dụ. P = {0, 1 , 1} là một phép chia của khoảng [0, 1], và {0, 1 , 1 , 1} là một
2
3 2
phép chia mịn hơn P.
1.1.2. Ý của tích phân trên hình hộp. Ý của tích phân Riemann đã quen thuộc,
ta chỉ nhắc lại dưới đây.
Cho I là một hình hộp, và f : I → R. Ta muốn tính tổng giá trị của hàm f trên
hình hộp I. Ta sẽ chia nhỏ hình hộp I bằng những hình hộp con. Trên mỗi hình
hộp con đó ta xấp xỉ giá trị của hàm f bằng một hàm hằng. Nếu như hàm f liên
tục thì lượng biến thiên của giá trị của f sẽ nếu như kích thước của hình hộp con
là “nhỏ”, do đó sự xấp xỉ bằng hàm hằng sẽ là “tốt”. Nếu ta cho số hình hộp con
tăng lên vơ hạn thì ta sẽ được giá trị đúng của tổng.

Sau đây là một cách giải thích hình học. Giả sử thêm hàm f là không âm, ta
muốn tìm "thể tích" của khối bên dưới đồ thị của hàm f bên trên hình hộp I. Ta sẽ
xấp xỉ khối đó bằng những hình hộp với đáy là một hình hộp con của I và chiều
cao là một giá trị của f trong hình hộp con đó. Khi ta cho số hình hộp tăng lên vơ
hạn thì sẽ được giá trị đúng của thể tích.
Cụ thể hơn, với một phép chia P của I, thành lập tổng Riemann

∑ f (xR )| R|
R

ở đây tổng được lấy trên tất cả các hình hộp con R của P, và x R là một điểm bất kì
trong R.
“Giới hạn” của tổng Riemann khi phép chia “mịn hơn và mịn hơn” sẽ là tích
phân của hàm f trên I, kí hiệu là
Vậy

I

I

f.

f là tổng giá trị của hàm f trên miền I.1

1.1.3. Định nghĩa tích phân trên hình hộp. Để làm chính xác ý tưởng trên ta
cần làm rõ quá trình giới hạn. Có thể làm được việc này, nhưng chúng ta sẽ khơng
đi vào chi tiết hơn. Thay vào đó chúng ta sẽ dùng một cách trình bày khác của Jean
Gaston Darboux. Ý tưởng của cách trình bày này có lẽ khơng dễ hiểu bằng cách
của Riemann những nó có phần đơn giản hơn về kỹ thuật.
Cho hình hộp I trong Rn . Cho hàm f : I → R bị chặn.
1Kí hiệu

do Gottfried Leibniz đặt ra. Nó đại diện cho chữ cái "s" trong chữ Latin "summa" (tổng).


1.1. Tích phân trên hình hộp

3

Cho phép chia P của hình hộp I. Gọi
L( f , P) =

∑(inf f )| R|,
R
R

trong đó tổng được lấy trên tất cả các hình hộp con ứng với phép chia P, là tổng
dưới (lower sum), hay xấp xỉ dưới.
Tương tự,
U ( f , P) =

∑(sup f )| R|,
R

R

được gọi là tổng trên (upper sum), hay xấp xỉ trên.
1.1.4. Bổ đề. Nếu phép chia P là mịn hơn phép chia P thì
L ( f , P ) ≥ L ( f , P ),
và
U ( f , P ) ≤ U ( f , P ).
CHỨNG MINH. Mỗi hình hộp con R của P nằm trong một hình hộp con R của
P. Ta có infR f ≥ infR f . Vì thế

∑

(inf f )| R | ≥

R ⊂R R

∑

(inf f )| R | = inf f

R ⊂R

R

R

∑

R ⊂R

| R | = (inf f )| R|.
R

Lấy tổng hai vế của bất đẳng thức trên theo tất cả hình hộp con R của P ta được
L ( f , P ) ≥ L ( f , P ).
n
n
n
Nếu P = ∏i=1 Pi và P = ∏i=1 Pi là hai phép chia của hình hộp I = ∏i=1 [ ai , bi ]
n
thì ∏i=1 ( Pi ∪ Pi ) cũng là một phép chia của I, mịn hơn cả P và P , được gọi là mịn

hóa chung (common refinement) của P và P .
1.1.5. Bổ đề (Xấp xỉ dưới ≤ xấp xỉ trên). Nếu P và P là hai phép chia bất kì của
cùng một hình hộp thì L( f , P) ≤ U ( f , P ).
CHỨNG MINH. Lấy phép chia mịn hóa chung P của P và P . Khi đó L( f , P) ≤
L ( f , P ) ≤ U ( f , P ) ≤ U ( f , P ).
Một hệ quả của kết quả trên là chặn trên nhỏ nhất của các xấp xỉ dưới supP L( f , P)
và chặn dưới lớn nhất của các xấp xỉ trên infP U ( f , P) tồn tại, và supP L( f , P) ≤
infP U ( f , P).
1.1.6. Định nghĩa (Tích phân Riemann). Cho hình hộp I. Một hàm f : I → R là

khả tích (integrable) nếu f bị chặn và supP L( f , P) = infP U ( f , P).
Nếu f khả tích thì tích phân (integral) của f được định nghĩa là số thực
supP L( f , P) = infP U ( f , P), và được kí hiệu là
1.1.7. Ví dụ. Nếu c là hằng số thì

I

I

f.

c = c | I |.

Khi số chiều n = 1 ta có tích phân của hàm một biến quen thuộc từ trung học,
thường được viết là

b
a

f ( x ) dx. Khi n = 2 ta có tích phân bội hai (double integral)


4

1. Tích phân bội

thường được viết là

I

thường được viết là

f ( x, y) dA. Khi n = 3 ta có tích phân bội ba (triple integral),
I

f ( x, y, z) dV. Hiện giờ dx, dA và dV chỉ là kí hiệu để chỉ

loại tích phân.
1.1.4. Tính chất của tích phân. Những tính chất quen thuộc sau có thể được
chứng minh dễ dàng từ 1.2.1, giống như trường hợp hàm một biến.
1.1.8. Mệnh đề. Giả sử f và g khả tích trên hình hộp I, và c là một số thực, khi đó:
(1) f + g khả tích và

I( f

+ g) =
I f.
f ≤ I g.

(2) c f khả tích và
(3) Nếu f ≤ g thì

I

I

f+

I

g.

I cf = c

Bài tập.
1.1.9. Giả sử f liên tục trên hình hộp I và f ( x ) ≥ 0 trên I. Chứng minh rằng nếu
thì f = 0 trên I.
1.1.10. Điều sau đây là đúng hay sai, giải thích:
[0,1]×[1,4]

( x2 +

√

y) sin( xy2 ) dA = 10.

I

f =0


1.2. Sự khả tích

5

1.2. Sự khả tích
1.2.1. Mệnh đề. Cho f bị chặn trên hình hộp I. Khi đó f là khả tích trên I nếu và chỉ

> 0 có phép chia P của I sao cho U ( f , P) − L( f , P) = ∑ R (supR f −
infR f )| R| < .

nếu với mọi

CHỨNG MINH. (⇒) Cho f khả tích. Cho

> 0, có phép chia P và P sao cho

L( f , P) > − +

I

f

và
U( f , P ) < +

I

f

Lấy P là mịn hóa chung của P và P . Khi đó
U ( f , P ) − L( f , P ) ≤ U ( f , P ) − L( f , P) < 2
(⇐) Giả sử với

> 0 cho trước bất kì có phép chia P sao cho U ( f , P) −
với
mọi >0. Do đó infP U ( f , P) = supP L( f , P).
L( f , P) < . Bất đẳng thức này dẫn tới 0 ≤ infP U ( f , P) − sup L( f , P) <

Sau đây là một điều kiện đủ đơn giản quen thuộc cho sự khả tích, rất thường

được dùng:
1.2.2. Định lí (liên tục thì khả tích). Một hàm liên tục trên một hình hộp thì khả
tích trên đó.
CHỨNG MINH. Ta sẽ dùng các kết quả sau trong Giải tích 2 (bạn đọc nên xem
lại):
(1) Một tập con của Rn là compắc khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.
(2) Một hàm thực (tức một hàm vào R) liên tục trên một tập con compắc của
Rn thì bị chặn trên đó.
(3) Một hàm thực liên tục trên một tập con compắc của Rn thì liên tục đều
trên đó.
Bây giờ cho f là một hàm liên tục trên hình chữ hộp I. Khi đó f liên tục đều trên
I, do đó cho trước

> 0, có δ > 0 sao cho || x − y|| < δ ⇒ f ( x ) − f (y) < .

Lấy một phép chia P của I sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong một
hình hộp con của P là nhỏ hơn δ. Điều này khơng khó: nếu chiều dài cạnh lớn nhất
trong tất cả các hình hộp con của P khơng q δ thì chiều dài của một đường chéo
√
của một hình hộp con khơng q nδ.
Với phép chia P, cho hai điểm x, y bất kỳ thuộc về một hình hộp con R thì
f ( x ) − f (y) < . Suy ra supR f − infR f ≤ . Vì thế
U ( f , P) − L( f , P) =

∑(sup f − inf f )| R| ≤ ∑| R| =
R
R

Theo tiêu chuẩn 1.2.1 ta có kết quả.

R

R

|I|


6

1. Tích phân bội

1.2.3. Ví dụ. Cho f : [0, 1] → R,
x=

1,

f (x) =


0,

x=

1
2
1
2

Nếu ta lấy phép phân chia P của [0, 1] sao cho chiều dài của các khoảng con
nhỏ hơn

thì sai khác giữa U ( f , P) và L( f , P) nhỏ hơn . Vì thế hàm f khả tích.

1
Chú ý rằng f khơng liên tục tại 2 .

1.2.4. Ví dụ. Cho f : [0, 1] → R,
x∈Q

0,

f (x) =


1,

x∈Q
/

Với bất kì phép chia P nào của khoảng [0, 1] ta có L( f , P) = 0 and U ( f , P) = 1. Do
đó f khơng khả tích. Chú ý rằng f khơng liên tục tại bất kì điểm nào.
1.2.1. Tập có thể tích khơng.
1.2.5. Định nghĩa. Một tập con C của Rn được gọi là có thể tích khơng (of content
zero) (cịn gọi là khơng đáng kể - negligible) nếu với mọi số

> 0 có một họ các
.
Nói cách khác, một tập con
nếu ta có thể phủ
(cover) tập đó bằng hữu hạn hình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn số dương cho

trước bất kì.
m
m
i =1 Ui ⊃ C và ∑i =1 |Ui | <
của Rn là có thể tích khơng

hình hộp {U1 , U2 , . . . , Um } sao cho

1.2.6. Ví dụ. Dễ thấy tập hợp gồm một điểm trong Rn có thể tích khơng. Mở rộng
hơn một chút, một tập con hữu hạn của Rn có thể tích khơng.
Một tập vơ hạn cũng có thể có thể tích khơng, ví dụ như cạnh của một hình
chữ nhật trong R2 . Về sau ta sẽ thấy nhiều tập khác có thể tích khơng. Vì vậy điều
kiện đủ sau là một kết quả mạnh:
1.2.7. Định lí (liên tục trừ ra tập thể tích khơng thì khả tích). Một hàm thực bị
chặn trên một hình hộp và liên tục trên đó trừ ra một tập có thể tích khơng thì khả
tích trên đó.
CHỨNG MINH. Gọi f là một hàm thực bị chặn trên hình hộp I, do đó có số thực
M sao cho | f ( x )| ≤ M với mọi x ∈ I. Cho C là tập hợp các điểm thuộc I mà tại đó
hàm f khơng liên tục. Giả thiết rằng C có thể tích khơng. Cho

> 0, có một họ các

hình hộp U phủ C và có tổng thể tích nhỏ hơn . Mở rộng mỗi hình hộp thuộc U
thành một hình hộp mới có kích thước lớn hơn, để được một họ mới các hình hộp
U phủ C với tổng thể tích nhỏ hơn 2 . Có thể giả sử mỗi hình hộp Ui thuộc U là
một tập con của I, bằng cách thay Ui bằng Ui ∩ I nếu cần.
Gọi P là phép chia của I nhận được bằng cách lấy tọa độ đỉnh của các hình
hộp thuộc U làm các điểm chia trên các cạnh của I.
Chú ý rằng một hình hộp con của P mà không phải là tập con của một hình
hộp thuộc U thì sẽ rời khỏi C. Gọi T là hội của các hình hộp con như vậy. Khi đó

f liên tục trên T.


1.2. Sự khả tích

7

Bây giờ ta làm tương tự như ở 1.2.2. Vì T là compắc nên f liên tục đều trên
T, do đó ta có thể lấy được một phép chia P mịn hơn P với kích thước các hình
hộp con đủ nhỏ sao cho với bất kì hình hộp con R của P mà là tập con của T ta có
supR f − infR f < . Khi đó với P ta có

∑ (sup f − inf f )| R| < ∑ | R| ≤
R
R

R⊂ T

|I|

R⊂ T

Nếu hình hộp con R của P không phải là tập con của T thì R là tập con của
một hình hộp thuộc họ U , do đó

∑ (sup f − inf f )| R| ≤ ∑
R

R T

R

R T

2M| R| = 2M

∑ | R| < 2M2

.

R T

Kết hợp hai đánh giá trên ta có U ( f , P ) − L( f , P ) < (| I | + 4M ) . Từ đó ta kết
luận hàm f khả tích.
1.2.2. Điều kiện cần và đủ cho sự khả tích. Trong phần này chúng ta sẽ trả lời
hoàn chỉnh vấn đề khả tích. Phần này khó hơn những phần trước, nếu người đọc
thấy q khó hoặc khơng có đủ thời gian thì chỉ cần nắm được phát biểu kết quả.
Kết quả chính của phần này nằm trong 1.2.8 và 1.2.10.
1.2.8. Định nghĩa (độ đo không). Một tập con C của Rn là có độ đo khơng (of

> 0 có một họ các hình hộp {U1 , U2 , . . . , Un , . . . }
sao cho
⊃ C và
< .2
Nói cách khác, một tập con của Rn là có độ đo khơng nếu ta có thể phủ tập đó
bằng một họ đếm được hình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn số dương cho trước bất
kì.
measure zero) nếu với mọi số
∞
i =1 Ui

∑∞ 1 |Un |
n=

1.2.9. Ví dụ. Một tập có thể tích khơng thì có độ đo khơng.
Một mệnh đề P( x ) thường được gọi là đúng hầu khắp (almost everywhere)
nếu nó đúng với mọi x trừ ra một tập có độ đo khơng.
1.2.10. Định lí (khả tích=bị chặn+liên tục hầu khắp). Một hàm thực bị chặn trên
một hình hộp là khả tích trên hình hộp đó khi và chỉ khi tập hợp những điểm tại
đó hàm khơng liên tục có độ đo khơng.
Nói cách khác, một hàm bị chặn là khả tích trên một hình hộp khi và chỉ khi
nó liên tục hầu khắp trên đó.
1.2.11. Ví dụ. Sau đây là một ví dụ kinh điển của một hàm khả tích có tập hợp các
điểm khơng liên tục có độ đo khơng nhưng khơng có thể tích khơng.
Cho f : [0, 1] → R,
x = q , p, q ∈ Z, q > 0, gcd( p, q) = 1

0,

f (x) =


1,

x∈Q
/

q

p

2Chữ "độ đo" ở đây chỉ độ đo Lebesgue. Lí thuyết tích phân Lebesgue được phát triển sau lí thuyết tích

phân Riemann.


8

1. Tích phân bội

Rõ ràng f khơng liên tục tại các số hữu tỉ. Mặt khác có thể chứng minh là f liên
tục tại các số vô tỉ (Bài tập 1.2.20). Tập hợp các số hữu tỉ trong khoảng [0, 1] có độ
đo khơng nhưng khơng có thể tích khơng (Bài tập 1.2.21).
Hóa ra hàm f khả tích. Thực vậy, cho

> 0, gọi C là tập hợp các số hữu tỉ x
trong [0, 1] sao cho nếu x = ở dạng tối giản thì 1 ≥ . Vì 0 ≤ p ≤ q ≤ 1 , nên tập
q
C là hữu hạn. Ta phủ C bằng một họ U gồm hữu hạn các khoảng con rời nhau của
khoảng [0, 1] có tổng chiều dài nhỏ hơn . Các điểm đầu mút của các khoảng này
sinh ra một phép chia P của khoảng [0, 1]. Ta có ∑ R∈U (supR f )| R| ≤ ∑ R∈U | R| < .
p
Trong khi đó nếu số x = q ở dạng tối giản không thuộc C thì 1 < , do đó
q
∑ R/U (supR f )| R| < ∑ R/U | R| ≤ . Vậy U ( f , P) < 2 . Từ đây ta kết luận f khả
∈
∈
tích, hơn nữa [0,1] f = 0.
p
q

Định lí sau nói rằng giá trị của một hàm bị chặn trên một tập có thể tích khơng
khơng ảnh hưởng đến tích phân.
1.2.12. Định lí. Giả sử f và g là hàm bị chặn trên một hình hộp I và f ( x ) = g( x )
trên I trừ ra một tập con có thể tích khơng. Nếu f khả tích trên I thì g cũng khả
tích trên I, và

I

f =

I

g.

Để chứng minh định lí này chúng ta cần bổ đề sau đây:
1.2.13. Bổ đề.

(1) Nếu một tập con của Rn có thể tích khơng thì bao đóng của

nó cũng có thể tích khơng.
(2) Hội của một tập con của Rn có độ đo khơng và một tập con của Rn có thể
tích khơng là một tập có độ đo khơng.
Có thể chứng minh bổ đề này một cách dễ dàng từ các định nghĩa.
CHỨNG MINH 1.2.12. Gọi C là tập hợp các điểm tại đó f khơng liên tục. Theo
giải thiết C có độ đo khơng. Gọi D là tập các điểm tại đó g( x ) = f ( x ), thì D có thể
tích khơng, do đó theo 1.2.13 bao đóng D của D cũng có thể tích khơng.
Nếu một điểm x0 khơng thuộc D thì có một lân cận của x0 mà trên đó f ( x ) =
g( x ). Vì lí do này g liên tục tại x0 khi và chỉ khi f liên tục tại x0 . Vậy tập hợp các
điểm tại đó hàm g khơng liên tục là một tập con của tập C ∪ D. Theo 1.2.13 tập

C ∪ D có độ đo khơng. Vậy g khả tích.
Giờ ta chứng minh

I

f =

trên D. Ta chỉ cần chứng minh

I
I

g. Đặt h = g − f thì h khả tích, và h( x ) = 0 trừ ra
h = 0.

Lấy một phép chia P của I bất kì và xét một hình hộp con R của P bất kì. Vì D
có thể tích khơng trong khi R có thể tích khác khơng nên D khơng thể chứa R. Do
đó có điểm x trong R không thuộc D, và h( x ) = 0.
Từ quan sát trên ta suy ra L(h, P) ≤ 0 và U (h, P) ≥ 0. Vì h khả tích nên ta phải
có

I

h = 0.

1.2.3. * Chứng minh Định lí 1.2.10.


1.2. Sự khả tích

9

1.2.14. Bổ đề. Trong Định nghĩa 1.2.5 và 1.2.8, hình hộp đóng có thể được thay
bằng hình hộp mở, chính xác hơn, giả thiết phủ bằng một họ các hình hộp có thể
được thay bởi giả thiết phủ bằng một họ phần trong của các hình hộp.
CHỨNG MINH. Cho

> 0. Ta cần chứng minh rằng nếu có một phủ của A
∞
bằng các hình hộp đóng U1 , U2 , . . . sao cho ∑i=1 |Ui | < thì có phủ của A bằng
∞
phần trong của các hình hộp V1 , V2 , . . . sao cho ∑i=1 |Vi | < .
∞
Giả sử ∑i=1 |Ui | = δ < . Lấy δ sao cho 0 < δ < − δ. Với mỗi hình hộp
Ui lấy hình hộp Vi có cùng tâm với Ui nhưng lớn hơn một chút, cụ thể là sao cho
δ
|Ui | < |Vi | < |Ui | + 2i .
Khi đó họ các phần trong của các hình hộp V1 , V2 , . . . phủ A và
∞

∞

∑ |Vi | < ∑ |Ui |

i =1

∞

δ

∑ 2i

+

i =1

= δ+δ < .

i =1

1.2.15. Bổ đề. Một tập compắc có độ đo khơng thì có thể tích khơng.
CHỨNG MINH. Giả sử A là compắc và có độ đo khơng. Cho

> 0. Theo 1.2.14

có một phủ của A bởi một họ đếm được các phần trong của các hình hộp sao cho
tổng thể tích của các hình hộp đó nhỏ hơn . Vì A compắc nên từ phủ mở trên có
một phủ con hữu hạn. Suy ra A có thể tích khơng.
Cho f là một hàm bị chặn trên miền xác định là một tập con D của Rn , và cho
x ∈ D. Định nghĩa dao động (oscillation) của f tại x là số thực
o ( f , x ) = inf ( sup

δ>0 B( x,δ)∩ D

f − inf

B( x,δ)∩

f ) = lim ( sup

δ→0 B( x,δ)∩ D

f−

inf

B( x,δ)∩ D

f)

1.2.16. Bổ đề. Hàm f liên tục tại x khi và chỉ khi o ( f , x ) = 0.
CHỨNG MINH. (⇒) Giả sử o ( f , x ) = 0. Cho trước

> 0, có δ > 0 sao cho
supB( x,δ) f − infB( x,δ) f < . Suy ra f (y) − f ( x ) < và f ( x ) − f (y) < , vì thế
| f (y) − f ( x )| < với mọi y ∈ B( x, δ) ∩ D. Vậy f liên tục tại x.
(⇐) Giả sử f liên tục tại x. Cho số dương , có δ > 0 sao cho | f (y) − f ( x )| <
với mọi y ∈ B( x, δ). Vì vậy với y, z ∈ B( x, δ) ta có | f (y) − f (z)| < 2 . Suy ra
supB( x,δ) f − infB( x,δ) f ≤ 2 . Vậy o ( f , x ) = 0.
1.2.17. Bổ đề. Với mọi

> 0, tập { x ∈ D | o ( f , x ) ≥ } là tập đóng trong D.

CHỨNG MINH. Ta sẽ chứng minh rằng A = { x ∈ D | o ( f , x ) <

} là tập
mở trong D. Giả sử x ∈ A. Có δ > 0 sao cho supB( x,δ) f − infB( x,δ) f < . Lấy y ∈
B( x, δ) ∩ D. Lấy δ > 0 sao cho B(y, δ ) ⊂ B( x, δ). Khi đó supB(y,δ ) f − infB(y,δ ) f <
supB( x,δ) f − infB( x,δ) f < . Điều này dẫn tới y ∈ A.
CHỨNG MINH PHẦN ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỦA 1.2.10. Phần này được phát triển từ chứng

minh của 1.2.7, dùng kĩ thuật trong 1.2.11.


10

1. Tích phân bội

Giả sử | f ( x )| ≤ M với mọi x trong hình hộp I. Gọi C là tập các điểm trong I
tại đó f khơng liên tục. Giả sử C có độ đo khơng, ta sẽ chứng minh rằng f khả tích
trên I bằng cách dùng 1.2.1.

> 0. Đặt C = { x ∈ I | o ( f , x ) ≥ }. Khi đó C là một tập
compắc trong
và là tập con của C. Do 1.2.15 và 1.2.14có một họ U các hình hộp
U1 , U2 , . . . , Um (có thể giả sử mỗi hình hộp này là tập con của I) sao cho C được
Cho trước

Rn

phủ bởi họ các phần trong của các Ui , nghĩa là C ⊂
Đặt T = I \

m
i =1

◦

m
i =1

◦

m
Ui , và ∑i=1 |Ui | < .

Ui . Khi đó T rời khỏi C . Với mỗi x ∈ T ta có o ( f , x ) <

. Có hình hộp R x là lân cận của x trong I sao cho supRx f − infRx f <

. Họ

◦
{Rx

| x ∈ T } là một phủ mở của tập compắc T, do đó có một phủ con hữu hạn
{ Ri | i = 1, 2, . . . , k}.
Các hình hộp Ri và Uj , 1 ≤ i ≤ k và 1 ≤ j ≤ m sinh ra một phép chia nhỏ P
của I (tạo ra từ các tọa độ đỉnh của các hình hộp).
Với mỗi hình hộp con R của P nằm trong T ta có R ⊂ Ri với i nào đó, và vì thế
supR f − infR f < . Do đó

∑ (sup f − inf f )| R| < ∑ | R| <
R

R⊂ T

R

|I|

R⊂ T

Nếu hình hộp con R của P khơng chứa trong T thì R ⊂ Ui với i nào đó. Khi đó

∑ (sup f − inf f )| R| < ∑
R

R T

R

R T

n

2M | R| = 2M

∑ | R| = 2M ∑ |Ui | < 2M

R T

i =1

Từ hai đánh giá trên ta có U ( f , P) − L( f , P) < (| I | + 2M ) . Ta kết luận hàm f khả
tích.
1.2.18. Bổ đề. Hội của một họ đếm được các tập có thể tích khơng là một tập có độ
đo khơng.
Tổng qt hơn, hội của một họ đếm được các tập có độ đo khơng là một tập
có độ đo khơng. Có thể chứng minh điều này bằng cách hoàn toàn tương tự như
trong chứng minh dưới đây.

CHỨNG MINH. Giả sử Ai , i ∈ Z+ là một tập có thể tích khơng. Đặt A =

∞
i =1

Ai .

> 0. Với mỗi i có một họ hữu hạn các hình hộp {Ui,j | 1 ≤ j ≤ ni } phủ
Ai và
< 2i .
Bây giờ ta liệt kê các tập Ui,j theo thứ tự
Cho

ni
∑ j=1 |Ui,j |

U1,1 , U1,2 , . . . , U1,n1 , U2,1 , U2,2 , . . . , U2,n2 , U3,1 , . . .
∞
Đây là một phủ đếm được của A có tổng diện tích nhỏ hơn ∑i=1

2i

= . Vậy A có

độ đo khơng.
1.2.19. Bổ đề. Biên của một hình hộp có thể tích khơng.
CHỨNG MINH. Do 1.2.18 ta chỉ cần chứng minh mỗi mặt của một hình hộp
n-chiều có thể tích khơng trong Rn . Mỗi mặt của hình hộp là một tập hợp D các

1.2. Sự khả tích

11

điểm có dạng ( x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xn ) với a j ≤ x j ≤ b j cho j = i và xi = c. Cho trước

> 0. Lấy hình hộp R phủ D có cạnh ở chiều thứ i đủ bé, cụ thể R gồm các điểm
có dạng ( x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xn ) với a j ≤ x j ≤ b j cho j = i và c − δ ≤ xi ≤ c + δ. Khi
đó | R| = δ ∏ j =i (b j − a j ) < nếu δ đủ nhỏ.
CHỨNG MINH PHẦN ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA 1.2.10. Giả sử | f ( x )| ≤ M với mọi x
trong hình hộp I và f khả tích trên I. Gọi C là tập các điểm trong I tại đó f liên tục.
Đặt C1/m = { x ∈ I | o ( f , x ) ≥ 1/m}. Khi đó C =

∞
m=1 C1/m .

Ta sẽ chứng minh

mỗi tập C1/m có thể tích khơng, và do đó theo 1.2.18 tập C có độ đo khơng.
Cho

> 0. Vì f khả tích nên có phép chia P của I sao cho U ( f , P) − L( f , P) <

.
Gọi S là tập các hình hộp con của P mà phần trong có phần giao khác rỗng với
C1/m .
Nếu R ∈ S thì có x ∈ C1/m nằm trong một quả cầu chứa trong R. Do đó
supR f − infR f ≥ o ( f , x ) ≥ 1/m. Vậy

>

∑ (sup f − inf f )| R| ≥ ∑
R

R∈S

R

R∈S

1
| R |.
m

Vậy ta được

∑ | R| < m

.

R∈S

Gọi T là hội của biên của các hình hộp con của P. Ta có C1/m ⊂ T ∪ (

R∈S

R ).

Theo 1.2.19 tập T có thể tích khơng. Có một phủ Q của T bằng hữu hạn các hình
hộp sao cho tổng thể tích của các hình hộp này nhỏ hơn . Do đó C1/m được phủ

bởi họ S ∪ Q với tổng thể tích nhỏ hơn (m + 1) . Ta kết luận C1/m có thể tích
khơng.
Bài tập.
1.2.20. Hàm được định nghĩa trong Ví dụ 1.2.11 liên tục tại các số vơ tỉ.
p

n
Hướng dẫn: Giả sử x ∈ [0, 1] là một số vô tỉ và { qn }n∈Z+ là một dãy các số hữu tỉ hội tụ về x. Nếu

dãy {qn }n∈Z+ khơng tiến ra vơ cùng thì sẽ có một số thực M sao cho với mọi k ∈ Z+ có nk > k sao cho
qnk < M. Dãy {qnk }k∈Z+ bị chặn, nên có dãy con {qnk }l ∈Z+ hội tụ về một số nguyên c.
l

1.2.21. Tập hợp các số hữu tỉ trong khoảng [0, 1] có độ đo khơng nhưng khơng có thể tích
khơng.
Hướng dẫn: Tập hợp các số hữu tỉ là đếm được. Dùng 1.2.13.

1.2.22. Nếu f khả tích thì | f | khả tích và

I

f ≤

I | f |.


12

1. Tích phân bội

1.3. Định lí Fubini
Định lí Fubini Theorem là cơng cụ chính để tính tích phân bội.
Sau đây là một dạng thường dùng của định lí Fubini trong khơng gian hai
chiều.
1.3.1. Định lí (Định lí Fubini trong khơng gian hai chiều). Cho f liên tục trên
hình chữ nhật [ a, b] × [c, d]. Khi đó
[ a,b]×[c,d]

f ( x, y) dA =

[ a,b]

[c,d]

f ( x, y) dy dx =

[c,d]

[ a,b]

f ( x, y) dx dy

Các tích phân bên vế phải của đẳng thức trên được gọi là các tích phân lặp.
Ta có cách giải thích hình học như sau. Giả sử f > 0. Khi đó

[ a,b]×[c,d]

f là

"thể tích" của khối bên dưới mặt z = f ( x, y) bên trên hình chữ nhật [ a, b] × [c, d].

Đặt I ( x ) =

[c,d]

f ( x, y) dy. Khi đó I ( x0 ) là diện tích của mặt cắt (cross-section) của

khối bởi mặt phẳng x = x0 . Vậy định lí Fubini nói rằng thể tích của khối bằng tổng
diện tích các mặt cắt song song.
Có thể giải tích điều này bằng cách xấp xỉ thể tích của khối như sau. Chia
khoảng [ a, b] thành những khoảng con. Ứng với những khoảng con này, khối được
cắt thành những mảnh bởi những mặt cắt song song. Vì chiều dài mỗi khoảng con
là nhỏ, ta có thể xấp xỉ thể tích của mỗi mảnh bởi diện tích một mặt cắt nhân với
chiều dài của khoảng con.
Có thể giải thích cơng thức Fubini theo cách định lượng như sau: tổng giá trị
của hàm trên hình hộp bằng tổng giá trị trên các mặt cắt.
Cũng có thể giải thích bằng xấp xỉ theo tổng Riemann như sau. Giả sử a =
x0 < x1 < · · · < xm = b là một phân hoạch của khoảng [ a, b] và c = y0 < y1 <

· · · < yn = d là một phân hoạch của khoảng [c, d]. Khi đó ta có thể xấp xỉ như sau,
∗
ở đây xi∗ là điểm đại diện bất kì thuộc khoảng con ∆xi và yi là điểm bất kì thuộc
∆yi :
m

[ a,b]

[c,d]

f ( x, y) dy dx

≈

∑

[c,d]

i =1
m

=

n

i =1

=

f ( x, y) dy |∆xi |

j =1

∑ ∑ f (xi∗ , y∗ )|∆y j |
j

|∆xi |

∑ f (xi∗ , y∗ )|∆xi ||∆y j |
j
i,j

≈
[ a,b]×[c,d]

f ( x, y) dA

Sau đây là một dạng tổng quát của định lí Fubini.
1.3.2. Định lí (Định lí Fubini). Cho A là một hình hộp trong Rm và B là một hình
hộp trong Rn . Cho f khả tích trên hình hộp A × B trong Rm+n . Giả sử với mỗi


1.3. Định lí Fubini

x ∈ A tích phân

B

13

f ( x, y) dy tồn tại. Khi đó

B

f =

A

B

f ( x, y) dy dx

Các giả thiết về hàm f sẽ được thỏa mãn nếu f liên tục, do đó ta có dạng
thường dùng sau:
1.3.3. Hệ quả. Cho A là một hình hộp trong Rm và B là một hình hộp trong Rn .
Cho f liên tục trên hình hộp A × B trong Rm+n . Khi đó
B

f =

A

B

f ( x, y) dy dx =

B

A

f ( x, y) dx dy

Hệ quả trong trường hợp 3 chiều là:
1.3.4. Hệ quả. Cho f liên tục trên hình hộp [ a, b] × [c, d] × [e, f ]. Khi đó
[ a,b]×[c,d]×[e, f ]

f ( x, y, z) dV =

[ a,b]

[c,d]

[e, f ]

f ( x, y, z) dz dy dx

Và tương tự cho năm trường hợp còn lại.
CHỨNG MINH 1.3.2. Chứng minh này đơn giản là một cách viết chính xác cách
giải thích bằng xấp xỉ với tổng Riemann ở trên.
Gọi P là một phép chia bất kì của hình hộp A × B. Khi đó P là tích của một
phép chia PA của A và một phép chia PB của B.
Đối với tổng dưới, ta có:
L(

B

f ( x, y) dy, PA ) =

∑[xinfA
∈R

B

RA

f ( x, y) dy]| R A |

≥ ∑( inf

∑[ inf

≥ ∑( inf

∑[

R A x ∈ R A R B y∈ R B

inf

f ( x, y)]| R B |)| R A |

R A x∈R A RB R A ×RB

= ∑(∑[ inf

R A RB R A ×RB

=
=

f ( x, y)]| R B |)| R A |

f ( x, y)]| R B |)| R A |

∑

inf

f ( x, y)| R A || R B |

∑

inf

f ( x, y)| R A × R B | = L( f , P)

R A ×RB R A ×RB
R A ×RB R A ×RB

Tương tự, thay inf bởi sup ta được U (

B

f ( x, y) dy, PA ) ≤ U ( f , P). Từ đây ta

có ngay định lí.
Bài tập.
1.3.5. Cho f : R2 → R. Giả sử

∂2 f
∂x∂y ( x, y )

và

∂2 f
∂y∂x ( x, y )

liên tục.

(a) Trên hình chữ nhật [ a, b] × [c, d], dùng định lí Fubini, hãy chứng tỏ
∂2 f
dA =

[ a,b]×[c,d] ∂x∂y
(b) Dùng phần (a), chứng tỏ

∂2 f
∂x∂y

=

∂2 f
∂y∂x .

∂2 f
dA.
[ a,b]×[c,d] ∂y∂x


14

1. Tích phân bội

Đây là một chứng minh dùng tích phân bội của một định lí quen thuộc trong Giải tích
2, đơi khi được gọi là Định lí Clairaut.


1.4. Tích phân trên tập tổng quát

15

1.4. Tích phân trên tập tổng quát
Bây giờ ta phát triển lí thuyết tích phân trên tập tổng quát hơn hình hộp.

Chúng ta chỉ xét các tập con của Rn . Để ngắn gọn hơn ta sẽ dùng từ miền
(region) để chỉ một tập con của Rn . Hơn nữa chúng ta chỉ xét những miền bị chặn.
Nhớ lại rằng trong Giải tích 1 để xét tích phân trên khoảng khơng bị chặn (hoặc
tích phân của những hàm không bị chặn) ta đã phải dùng đến giới hạn và do đó
có khái niệm tích phân suy rộng.
Giả sử rằng D là một miền bị chặn, và f : D → R. Vì D bị chặn nên có hình
hộp I chứa D.
Mở rộng hàm f lên hình hộp I thành hàm F : I → R xác định bởi

 f ( x ), x ∈ D
F(x) =
0,
x∈D
/
Ta định nghĩa một cách tự nhiên:
1.4.1. Định nghĩa. Tích phân của f trên D được định nghĩa là tích phân của F trên
I.
Ta nhận thấy ngay định nghĩa này khơng mâu thuẫn với định nghĩa đã có khi
D là một hình hộp. Một điều kiện cần để tích phân của f trên D được định nghĩa
là f phải bị chặn trên D.
Định nghĩa tích phân của f trên D cần phải khơng phụ thuộc vào cách chọn
hình hộp I.
1.4.2. Bổ đề. Tích phân

D

f khơng phụ thuộc vào cách chọn hình hộp I.

CHỨNG MINH. Giả sử F1 là mở rộng của f lên I1 ⊃ D, bằng khơng ngồi D và
F2 là mở rộng của f lên I2 ⊃ D, bằng khơng ngồi D. Ta cần chứng minh điều sau:

nếu F1 khả tích trên I1 thì F2 khả tích trên I2 , và khi đó

I1

F1 =

I2

F2 .

Đặt I3 = I1 ∩ I2 , ta chứng minh điều sau là đủ: F1 khả tích trên I1 khi và chỉ
khi F3 khả tích trên I3 , và khi đó

I1

F1 =

I3

F3 .

Đặt F1 xác định trên I1 sao cho F1 trùng với F1 trừ ra trên biên của I3 , nơi mà
F1 được định nghĩa là bằng khơng. Vì F1 chỉ khác F1 trên một tập có thể tích khơng
nên theo 1.2.12 F1 khả tích khi và chỉ khi F1 khả tích, và khi đó

I1

F1 =

I1

F1 .

Một phép chia bất kì P của I3 sinh ra một phép chia P của I1 bằng cách thêm
vào tọa độ các đỉnh của I1 . Bất kì một hình hộp con nào của P cũng là một hình
hộp con của P , từ đó U ( F3 , P) = U ( F1 , P ) và L( F3 , P) = L( F1 , P ) (ở chỗ này có
dùng giả thiết F1 bằng không trên biên của I3 ). Do tiêu chuẩn 1.2.1 ta kết luận nếu
F3 khả tích thì F1 khả tích, và khi đó

I1

F1 =

I3

F3 .

Mặt khác, một phép chia bất kì cho trước P của I1 sinh ra một phép chia P
của I1 mịn hơn P bằng cách thêm vào tọa độ các đỉnh của I3 . Hạn chế P lên I3 ta
được một phép chia P của I3 . Giống như đoạn vừa rồi ta có U ( F3 , P) = U ( F1 , P )
và L( F3 , P) = L( F1 , P ). Do đó nếu F1 khả tích thì F3 khả tích và khi đó tích phân
của chúng bằng nhau.


16

1. Tích phân bội

1.4.1. Thể tích của miền tổng quát. Ta định nghĩa thể tích thơng qua tích phân.
1.4.3. Định nghĩa. Cho D là một tập con bị chặn của Rn . Thể tích (n chiều) của D

được định nghĩa là giá trị của tích phân

D

1.

Ta thường thay từ thể tích (volume) bằng từ diện tích (area) khi số chiều n = 2
và bằng từ chiều dài (length) khi n = 1. Ta thường kí hiệu thể tích của D bằng | D |.
Từ ý của tích phân, ta có thể thấy ý của thể tích, đó là xấp xỉ trong và xấp xỉ
ngoài miền đã cho bằng hội của những hình hộp thích hợp.

HÌNH 1.4.1. Xấp xỉ ngồi và xấp xỉ trong diện tích của một hình trịn.
1.4.4. Định lí. Một tập con bị chặn của Rn có thể tích khi và chỉ khi biên của nó có
thể tích khơng.
Để chứng minh định lí này ta cần bổ đề sau:
1.4.5. Bổ đề. Biên của một tập con bị chặn của Rn có độ đo khơng khi và chỉ khi
nó có thể tích khơng.
CHỨNG MINH. Biên của một tập con của Rn ln là một tập đóng. Vì tập đã
cho là bị chặn nên biên của nó cũng bị chặn, và do đó biên là compắc. Theo 1.2.15
ta có kết quả.
Giờ ta có thể chứng minh định lí.
CHỨNG MINH 1.4.4. Cho D là miền bị chặn trong Rn , lấy một hình hộp I chứa
D và lấy hàm F bằng 1 trên D và bằng 0 ngoài D. Tập hợp các điểm khơng liên tục
của F là chính tập biên của D. Vậy F khả tích khi và chỉ khi biên của D có độ đo
khơng, và điều này xảy ra khi và chỉ khi nó có thể tích khơng.
1.4.2. Sự khả tích. Tích phân
Theo 1.2.10 ta biết tích phân

I

D

f tồn tại nếu và chỉ nếu tích phân

I

F tồn tại.

F tồn tại khi và chỉ khi F liên tục hầu khắp trên I.

Tập điểm tại đó F khơng liên tục gồm những điểm trên D mà f không liên tục
và có thể một số điểm khác trên biên của D.


1.4. Tích phân trên tập tổng quát

17

1.4.6. Định lí. Cho D là tập con bị chặn của Rn với biên ∂D có thể tích khơng. Khi
đó f khả tích trên D khi và chỉ khi f bị chặn và liên tục hầu khắp trên D.
CHỨNG MINH. Cho C là tập những điểm tại đó f khơng liên tục. Cho I là một
hình hộp chứa D và cho F là mở rộng của f lên I, bằng khơng ngồi D. Gọi E là
tập điểm tại đó F khơng liên tục.
Như đã nói ở trên, ta có C ⊂ E ⊂ (C ∪ ∂D ).
Nếu C có độ đo khơng thì C ∪ ∂D có độ đo khơng, vì theo giả thiết ∂D có thể
tích khơng. Điều này dẫn đến E có độ đo khơng, do đó F khả tích.
Ngược lại, nếu F khả tích thì E có độ đo khơng, do đó C có độ đo khơng.
Từ kết quả về điều kiện khả tích ta có nhu cầu biết thêm ví dụ tập có thể tích
khơng. Dưới đây là một kết quả đơn giản nhưng được dùng rất thường xuyên
trong môn này.

1.4.7. Mệnh đề. Đồ thị của một hàm liên tục trên một miền đóng bị chặn trên Rn
có thể tích không trên Rn+1 .
CHỨNG MINH. Cho f liên tục trên miền đóng, bị chặn D ⊂ Rn . Đặt D vào bên
trong một hình hộp I rồi phân hoạch I. Gọi S là họ các hình hộp con của I mà
có phần giao khác rỗng với D. Vì D compắc nên f liên tục đều trên D, do đó cho
trước

> 0 ta có thể phân hoạch sao cho trên mỗi hình hộp con R thuộc họ S thì
supR f − infR f < .

a

b

HÌNH 1.4.2. Đồ thị của hàm liên tục có thể tích khơng: Minh họa
cho trường hợp hàm xác định trên khoảng đóng.
Khi đó đồ thị {( x, f ( x )) | x ∈ D } ⊂ Rn+1 được phủ bằng họ các hình hộp có
dạng R × [infR f , supR f ] với R ∈ S. Tổng thể tích của các hình hộp này nhỏ hơn

| I |.
1.4.8. Ví dụ. Do kết quả này và 1.2.18, trên mặt phẳng một đoạn thẳng có diện tích
khơng, một đường trịn có diện tích khơng (và do đó hình trịn có diện tích), biên
của một hình bình hành có diện tích khơng . . . Trong khơng gian ba chiều thì mặt
cầu có thể tích khơng (và do đó quả cầu có thể tích).


18

1. Tích phân bội

1.4.3. Tính chất của tích phân. Một số kết quả trong phần này đòi hỏi những
điều kiện về sự khả tích. Người đọc có thể giả sử mọi thứ trong các công thức đều
được xác định để có phát biểu đơn giản hơn.
Tương tự như kết quả cho hình hộp 1.2.12, ta có:
1.4.9. Định lí. Cho D là tập bị chặn trong Rn . Giả sử f và g bị chặn trên D, và
f ( x ) = g( x ) trừ ra một tập có thể tích khơng. Nếu f khả tích thì g cũng khả tích và
khi đó

D

f =

D

g.

CHỨNG MINH. Lấy một hình hộp I chứa D. Gọi F và G là các mở rộng của f
và g lên I, bằng khơng ngồi D. Khi đó F ( x ) = G ( x ) trên I trừ ra một tập có thể
tích khơng. Nếu f khả tích trên D thì theo định nghĩa F khả tích trên I. Theo 1.2.12
ta có kết quả.
1.4.10. Định lí. Cho D1 và D2 là hai tập con bị chặn của Rn . Giả sử D1 ∩ D2 có thể
tích khơng. Nếu f khả tích trên D1 và trên D2 thì f khả tích trên D1 ∪ D2 , và khi
đó
D1 ∪ D2

f =

D1

f+

D2

f

Định lí này cho phép ta tính tích phân trên một miền bằng cách chia miền đó
thành những miền đơn giản hơn.
1.4.11. Ví dụ. Trong định lí trên lấy f = 1, ta có kết quả: Nếu biên của D1 và biên
của D2 có thể tích khơng, và D1 ∩ D2 có thể tích khơng, thì | D1 ∪ D2 | = | D1 | + | D2 |.
Chẳng hạn khi tính diện tích một hình ta vẫn thường chia hình đó thành
những hình đơn giản hơn bằng những đoạn thẳng hay đoạn cong, rồi cộng các
diện tích lại.
CHỨNG MINH. Đặt f 1 xác định trên D = D1 ∪ D2 sao cho f 1 = f trên D1 và
f 1 = 0 trên D \ D1 . Tương tự, đặt f 2 xác định trên D sao cho f 2 = f trên D2
và f 2 = 0 trên D \ D2 . Có thể kiểm dễ dàng là f 1 và f 2 khả tích trên D. Ta có
f 1 + f 2 = f trên D \ ( D1 ∩ D2 ). Do 1.4.9 ta có f khả tích trên D và
D

f =

D

( f1 + f2 ) =

D

f1 +

D

f2 =

D1

f+

D2

f.

1.4.4. Định lí Fubini cho miền phẳng đơn giản. Phương pháp cơ bản để tính
tích phân trên miền tổng quát cũng là dùng định lí Fubini. Việc áp dụng định lí
Fubini sẽ dễ dàng hơn đối với những miền "đơn giản".
Một tập con của R2 được gọi là một miền đơn theo chiều đứng (vertically
simple region) nếu nó có dạng {( x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, f ( x ) ≤ y ≤ g( x )}. Đây
là miền bao bởi hai đường thẳng đứng và hai đồ thị, một trong hai ln nằm trên
cái cịn lại. Một đường thẳng đứng nếu cắt miền thì phần giao là một đoạn thẳng.
Một tập con của R2 được gọi là một miền đơn theo chiều ngang (vertically
simple region) nếu nó có dạng {( x, y) ∈ R2 | a ≤ y ≤ b, f (y) ≤ x ≤ g(y)}.


1.4. Tích phân trên tập tổng quát

19

1.4.12. Định lí (Định lí Fubini cho miền phẳng đơn giản). Cho miền đơn giản
theo chiều đứng D = {( x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, g( x ) ≤ y ≤ h( x )}. Giả sử g và h
bị chặn trên [ a, b]. Giả sử f khả tích trên D, và giả sử với mỗi x ∈ [ a, b] tích phân
h( x )
g( x )

f ( x, y) dy tồn tại. Khi đó
h( x )

b
D

f ( x, y) dA =

f ( x, y) dy dx

g( x )

a

Lưu ý rằng tất cả những giả thiết của định lí về sự khả tích sẽ được thỏa mãn
nếu f , g và h liên tục.
CHỨNG MINH. Lấy một hình chữ nhật I = [ a, b] × [c, d] chứa D. Gọi F là mở
rộng của f bằng khơng ngồi D. Theo định nghĩa f khả tích trên D nếu và chỉ nếu
F khả tích trên I, và khi đó D f = I F.
h( x )
g( x )

Theo giả thiết,

f ( x, y) dy =

{ x }×[c,d]

F ( x, y) dy tồn tại. Áp dụng Định lí

Fubini 1.3.2 cho F, ta có
b
I

F=

d

a

c

h( x )

b

F ( x, y) dy dx =

g( x )

a

f ( x, y) dy dx

1.4.5. Định lí Fubini cho miền đơn giản ba chiều. Hoàn toàn tương tự trường
hợp hai chiều ta có thể nói về miền đơn giản ba chiều.
Để đơn giản dưới đây ta chỉ phát biểu kết quả cho trường hợp miền bên dưới
một đồ thị (tức một khối đơn giản theo chiều trục z).
1.4.13. Định lí. Cho z = g( x, y) là một hàm bị chặn, không âm, xác định trên miền

phẳng bị chặn D. Gọi E là miền dưới đồ thị của g bên trên mặt phẳng Oxy, tức
E = {( x, y, z) ∈ R3 | ( x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ g( x, y)}.
Giả sử f khả tích trên E. Giả sử với mỗi ( x, y) ∈ D tích phân

g( x,y)
0

f ( x, y, z) dz

tồn tại. Khi đó
g( x,y)
E

f ( x, y, z) dV =

D

f ( x, y, z) dz dA

0

CHỨNG MINH. Đặt D trong một hình chữ nhật I. Vì g bị chặn trên D nên có
một khoảng [0, a] sao cho hình hộp I × [0, a] chứa E.
Bây giờ ta làm giống như trong trường hợp miền đơn giản phẳng. Lấy mở
rộng F của f lên I × [0, a] sao cho F bằng khơng ngồi E. Nếu điểm ( x, y) ∈ D
/
thì hàm F có giá trị 0 trên khoảng {( x, y)} × [0, a]. Ngược lại nếu ( x, y) ∈ D thì
{( x,y)}× I

F ( x, y, z) dz =

g( x,y)
0

f ( x, y, z) dz.

Áp dụng định lí Fubini cho F ta có
I ×[0,a]

F ( x, y, z) dV =

I

[0,a]

F ( x, y, z) dz dA

=
D

[0,a]

F ( x, y, z) dz dA

g( x,y)

=
D

0

f ( x, y, z) dz dA


20

1. Tích phân bội

1.4.14. Mệnh đề. Các giả thiết của Định lí 1.4.13 được thỏa nếu f và g liên tục,
miền D đóng với biên có diện tích khơng.
CHỨNG MINH. Ta chỉ cần kiểm là biên của E có thể tích khơng trong R3 . Biên
của E là hội của đồ thị của hàm g, miền D, và mặt bên hông của E. Mặt bên hông
của E là một tập con của tập ∂D × [0, a], trong đó ∂D là biên của D, và [0, a] là một
khoảng sao cho hình hộp D × [0, a] chứa E, như trong chứng minh của 1.4.13. Vì
∂D có diện tích khơng trong R2 ta có thể phủ nó bằng hữu hạn hình chữ nhật với
tổng diện tích nhỏ hơn

> 0. Lấy tích của mỗi hình chữ nhật đó với khoảng [0, a]
ta được một phủ của ∂D × [0, a] bởi các hình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn a. Vậy
mặt bên hơng của E có thể tích khơng trong R3 .
Theo 1.4.7 đồ thị của g có thể tích khơng trong R3 . Miền phẳng bị chặn D có
thể tích khơng trong R3 .
Hệ quả sau đây là một kết quả mà ta đã chờ đợi, thường được dùng trong tính
tốn cụ thể:
1.4.15. Hệ quả. Cho z = g( x, y) là một hàm bị chặn, không âm, xác định trên miền
phẳng bị chặn D. Gọi E là miền dưới đồ thị của g bên trên mặt phẳng Oxy. Nếu g
khả tích trên D và miền E có thể tích thì thể tích đó bằng tích phân của g trên D:

| E| =

E

1 dV =

D

g( x, y) dA

Công thức trên sẽ đúng nếu g liên tục và D là miền đóng với biên có diện tích
khơng. Đây là trường hợp thường gặp.
Bài tập.
1.4.16. Tính diện tích miền bao bởi các đường cong x = y2 , y − x = 3, y = −3, y = 2.
1.4.17. Tính tích phân
R

√
( x − y2 ) dA

trong đó R là miền bao bởi các đường cong y = x2 , x = y4 .
1.4.18. Tính thể tích của khối bao bởi mặt z = 4 − x2 − y2 và mặt phẳng xOy.
1.4.19. Tính tích phân
R

x 2 + y2

trong đó R là miền bao bởi hai đường cong x2 + y2 = 4 and x2 + y2 = 9.
1.4.20. Cho tích phân lặp
1
0

1
x

e x/y dy

dx.

(a) Viết lại tích phân trên dưới dạng một tích phân bội.
(b) Tính tích phân trên bằng cách đổi thứ tự tích phân lặp.
1.4.21. Tính tích phân

D

y dA trong đó D là miền trong góc phần tư thứ nhất, nằm bên

trên đường hyperbola xy = 1, bên trên đường thẳng y = x, bên dưới đường thẳng y = 2.


1.4. Tích phân trên tập tổng quát

21

1.4.22. Gọi E là khối được bao bởi các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 2y + z = 4. Hãy
tích tính phân
E

y dV.

1.4.23. Tính tích phân
E

y dV

trong đó E là khối tứ diện với 4 đỉnh (0, 0, 0), (1, 0, 0), (2, 1, 0) và (0, 0, 1).
1.4.24. Gọi E là khối được bao phía trên bởi mặt cầu x2 + y2 + z2 = 2 và được bao phía
dưới bởi mặt paraboloid z = x2 + y2 .
(a) Chứng tỏ phần giao của hai mặt trên là một đường trịn.
(b) Tính thể tích của khối E.
1.4.25. Tìm thể tích của khối bị chặn trên bởi mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4 và bị chặn dưới bởi
mặt nón z2 = 3x2 + 3y2 .
1.4.26. Một tập con bị chặn của Rn có thể tích khơng (of content zero) khi và chỉ khi nó có
thể tích và thể tích đó bằng khơng. Như vậy thể tích khơng chính là có thể tích bằng khơng!
1.4.27. Kết quả 1.4.7 có cịn đúng khơng nếu bỏ đi yêu cầu miền xác định của hàm là tập
đóng?
1.4.28. Nếu f : [ a, b] → R khả tích thì đồ thị của f có diện tích khơng.
Điều ngược lại có đúng khơng?
1.4.29. Tích phân của một hàm bị chặn trên một tập có thể tích khơng thì bằng không.
Hướng dẫn: Dùng 1.2.12.

1.4.30. Cho D và E là hai tập con của Rn , trong đó E có thể tích khơng. Giả sử f bị chặn
trên D và E, và f khả tích trên D. Khi đó f khả tích trên D ∪ E và
D∪E

f =

D

f

Kết quả này nói rằng thêm một tập có thể tích khơng thì tích phân không thay đổi.

Hướng dẫn: Dùng 1.4.10 và 1.4.29.

1.4.31. (a) Chứng tỏ rằng thể tích của khối bao bởi mặt x2 + (y − z − 3)2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1
bằng với thể tích của khối bao bởi mặt x2 + y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1.

1
0.8
0.6

-3
-2

0.4

-1

0.2
0 -1

0
1
0

1

2

3

2

4

5 3

HÌNH 1.4.3. Mặt x2 + y2 = 1 (trái) và mặt x2 + (y − z − 3)2 = 1 (phải).