Sáng kiến rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 7 trường THCS Nguyễn Chích thông qua bài toán dãy tỷ số bằng nhau

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ

PHỊNG GD&ĐT HUYỆN ĐÔNG SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG
TẠO CHO HỌC SINH LỚP 7 TRƯỜNG THCS NGUYỄN
CHÍCH THƠNG QUA BÀI TỐN DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Minh Hải
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị cơng tác: Trường THCS Nguyễn Chích
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HOÁ NĂM 2020
1


MỤC LỤC
Mục
I

II

III

Nội dung
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

Trang
2
3
1. Lí do chọn đề tài.
3
2. Mục đích nghiên cứu
3
3. Đối tượng nghiên cứu.
3
4. Phương pháp nghiên cứu
4
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
4
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
4
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
5
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
7
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
18
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
19
1. Kết luận
19
2. Kiến nghị.
19
TÀI LIỆU THAM KHẢO
20

Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng
20
SKKN Ngành GD huyện đánh giá đạt từ loại C

2


I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài .
Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo được xác định là một
trong những mục tiêu quan trọng của giáo dục. Theo chương trình giáo dục phổ
thơng – Chương trình tổng thể, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là một
trong mười năng lực cốt lõi cần phải bồi dưỡng và phát triển cho người học.
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong mơn Tốn là khả năng huy
động, tổng hợp kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân nhằm giải quyết
một nhiệm vụ học tập mơn Tốn, trong đó có biểu hiện của sự sáng tạo. Sự sáng
tạo trong quá trình giải quyết vấn đề được biểu hiện trong một bước nào đó, có
thể là một cách hiểu mới về vấn đề, hoặc một sự cải tiến mới cho vấn đề, hoặc
một sự cải tiến mới trong cách thực hiện giải quyết vấn đề, hoặc một cách nhìn
nhận đánh giá mới, một sự cải tiến.
Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh trong q
trình giải tốn không chỉ giúp học sinh nắm vững và biết vận dụng các bài tốn
cơ bản mà cịn phải biết cách phát triển nó thành những bài tốn mới, có tầm suy
luận cao hơn nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh. Khơi dậy khả năng
tự lập, chủ động, sáng tạo của học sinh. Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tế. Tác động đến tình cảm, đem lại niềm say mê và hứng thú cho học
sinh.
2. Mục đích nghiên cứu:
Thơng qua việc tìm hiểu, nghiên cứu và áp dụng đề tài để rèn luyện năng
lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh trong khi giải bài toán dãy tỉ số

bằng nhau của chương trình đại số lớp 7.
Từ đó bồi dưỡng và phát huy năng lực tự học toán cho học sinh, giúp các
em nắm chắc kiến thức một cách chủ động, sáng tạo. Tạo niềm vui, hứng thú
học tập cho các em. Bước đầu hình thành thói quen lao động tích cực sáng tạo,
khoa học của con người lao động trong thời đại mới. Kích thích và khơi dậy
lịng say mê nghiên cứu khoa học.
Ngồi ra mục đích nghiên cứu của đề tài còn định hướng cho học sinh biết
khai thác các bài tốn cùng dạng và giúp các em có thể giải các bài toán tương
tự nhằm phát huy khả năng sáng tạo của học sinh theo hướng tích cực hóa các
hoạt động, từ đó rèn luyện cho các em khả năng tự học, tự tin hơn và u thích
bộ mơn toán hơn
3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài tập trung nghiên cứu các bài tốn thuộc phạm vi chương trình mơn
Tốn lớp 7 phù hợp với các đối tượng học sinh khá, giỏi của trường THCS
Nguyễn Chích trong khi giải các bài toán liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
3


thơng qua một số bài tốn điển hình tại các giờ học luyện tập, ôn tập, bồi
dưỡng học sinh giỏi.
4. Phương pháp nghiên cứu
Xuất phát từ phạm vi nghiên cứu và chủ đề lựa chọn, tơi có sử dụng một
số phương pháp:
- Quan sát, điều tra, nghiên cứu tài liệu và phân tích tổng hợp lí thuyết.
- Trị chuyện, trao đổi với học sinh, đồng nghiệp.
- Phân tích, tổng hợp kết quả nhận thức của học sinh.
- Phương pháp thực nghiệm.
- Nghiên cứu tài liệu tham khảo.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Tất cả mọi dạng tốn đều địi hỏi HS nắm vững kiến thức cơ bản. Phân tích
quan hệ giữa các kiến thức đó và vận dụng phù hợp, linh hoạt vào các tình
huống giải tốn cụ thể.
Để rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thơng
qua việc giải bài tốn dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7, cần phát huy tính tích cực,
tự giác, thói quen nghiên cứu khoa học cho học sinh, giúp học sinh khai thác
nhìn nhận một vấn đề trên nhiều khía cạnh khác nhau.
Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo của học sinh là rèn
luyện khả năng tự khám phá, tự phát hiện, tự tìm đến kiến thức mới thơng qua
các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức hoặc trao đổi với bạn bè.
Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo của học sinh còn thể
hiện ở việc rèn khả năng nhận biết các tình huống có vấn đề và giải quyết được
các tình huống ấy. Qua đó tự đánh giá được nhận thức của mình về một nội
dung, một kiến thức hay một lĩnh vực nào đó. Người học không chỉ biết làm
theo, sao chép những cái đúng mà phải nghiên cứu tìm ra cái đúng, đồng thời
vận dụng được cái đúng một cách sáng tạo vào các tình huống học tập khác.
Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo của học sinh là rèn luyện
các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa vấn
đề và khả năng giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn, độc đáo. Một học sinh có
năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo tốt sẽ có nhiều kết quả cao trong học tập,
khả năng thích ứng nhanh với cuộc sống đầy biến động. Rèn luyện kỹ năng giải
quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh là giúp học sinh có khả năng:
- Nhận ra ý tưởng mới: Biết xác định và làm rõ thông tin, ý tưởng mới; biết phân
tích, tóm tắt những thơng tin liên quan từ nhiều nguồn khác nhau.
- Phát hiện và làm rõ vấn đề: Phân tích được tình huống trong học tập; phát hiện
và nêu được tình huống có vấn đề trong học tập.
4


- Hình thành và triển khai ý tưởng mới: Phát hiện yếu tố mới, tích cực trong

những ý kiến của người khác, hình thành ý tưởng dựa trên các nguồn thơng tin
đã có, đề xuất giải pháp cải tiến hay thay thế các giải pháp giải pháp khơng cịn
phù hợp; so sánh và bình luận được về các gải pháp đề xuất.
- Đề xuất lựa chọn các giải pháp: Xác định được và biết tìm hiểu các thơng tin
liên quan đến vấn đề; đề xuất được giải pháp giải quyết vấn đề.
- Thiết kế và tổ chức hoạt động: Lập được kế hoạch hoạt động với mục tiêu, nội
dung, hình thức hoạt động phù hợp. Biết phân công phù hợp cho các thành viên
tham gia hoạt động. Đánh giá được sự phù hợp hay không phù hợp của kế
hoạch, giải pháp.
- Tư duy độc lập: Biết đặt các câu hỏi khác nhau về một sự vật hiện tượng, vấn
đề. Biết chú ý, lắng nghe và tiếp nhận thông tin, ý tưởng với sự cân nhắc, chọn
lọc. Biết quan tâm tới các chứng cứ khi nhìn nhận đánh giá sự vật, hiện tượng.
Biết đánh giá vấn đề, tình huống dưới những góc nhìn khác nhau.
Chính vì vậy việc rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học
sinh là rất cần thiết trong q trình dạy học. Thơng qua bài toán dãy tỉ số bằng
nhau, giáo viên sẽ tạo cơ hội cho học sinh được rèn luyện, phát triển năng lực
giải quyết vấn đề và sáng tạo thể hiện ở từng bước thực hiện. Học sinh sẽ học
cách tiếp cận vấn đề, hiểu đúng vấn đề, biết diễn đạt vấn đề bằng ngơn ngữ tốn
học thích hợp. Biểu hiện của sự sáng tạo của mỗi cá nhân sẽ được thể hiện ở mỗi
bước, thể hiện ở cách giải quyết ngắn gọn, độc đáo và khả năng khái quát hóa.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Với học sinh:
Trước khi sử dụng SKKN vào bồi dưỡng học sinh lớp 7A của trường
THCS Nguyễn Chích, tơi đã dạy HS bài "Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau" (1
tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập, 3 tiết dạy thêm)
Kiểm tra 45 học sinh với thời gian 20 phút bao gồm các nội dung câu hỏi:
Câu 1. (4 điểm) Cho

x
y

và 3x - 2y = - 8. Tìm x, y ?

2
5

Câu 2. (4 điểm) Cho 5x = 2y; 3y = 5z và x + y + z = 30.Tìm x, y, z ?
Câu 3. ( 2 điểm) Cho

a c b
a3  c3  b3 a
  . Chứng minh rằng: 3

c b d
c  b3  d 3 d

Kết quả làm bài của các em đạt được như sau:
Điểm
9 – 10 8 – dưới 9 7 - dưới 8 6 – dưới 7 5 –dưới 6 Dưới 5
0
5
8
10
7
15
Số lượng
(0%)
(11,1%)
(17,8%)
(22,2%)
(15,6%) (33,3%)

(tỉ lệ)
Qua kết quả bài làm của học sinh, tôi rút ra một thực tế: 100% học sinh
giải rất tốt bài toán dãy tỉ số bằng nhau (câu 1); nhưng còn thụ động một chiều
theo kiến thức đã học. Vì vậy khi gặp bài tốn (câu 2) đã có nhiều học sinh
5


khơng thể giải được vì các em khơng biết cách chuyển từ dãy các tích bằng nhau
sang dãy tỉ số bằng nhau để sử dụng tính chất của dăy tỉ số bằng nhau trong tính
tốn. Đặc biệt câu 3, đối tượng học tốt thì khơng đủ thời gian (do 2 câu trên
chưa có cách làm hay), cịn những em khác thì khơng biết áp dụng, khơng biết
sử dụng kiến thức của dãy tỉ số bằng nhau như thế nào để chứng minh được bài
toán; nhiều em chưa thể định hướng được cách giải loại tốn này, vì vậy các em
thiếu tự tin khi gặp dạng toán chứng minh dãy tỉ số bằng nhau.
2.2. Với giáo viên
Để bảo đảm tiến trình lên lớp, truyền tải đủ kiến thức cơ bản nhưng
không quá cứng nhắc, giáo viên luôn trăn trở phải làm như thế nào để học sinh
cảm nhận và chấp nhận kiến thức đó một cách dễ dàng, tránh sự học như “vẹt” ở
học sinh. Nếu một chủ đề mới, một dạng toán mới mà học sinh chưa hiểu, chưa
nắm vấn đề thấu đáo, chưa làm chủ được kiến thức và cách giải quyết tình
huống tương tự, cảm thấy bế tắc khi gặp tình huống có vấn đề, học sinh sẽ càng
chán chường, học cũng như khơng, dẫn đến tình trạng học đối phó, làm bài tập
cho có làm. Trong quá trình dạy - học sự tương tác giữa thầy – trị đóng vai trị
quan trọng rất lớn trong nền giáo dục hiện nay, cũng là vấn đề cơ bản dẫn đến
việc có hay khơng hứng thú với mơn học này.
Nhằm giúp học sinh có kỹ năng thành thạo và vận dụng tính chất của dãy
tỉ số bằng nhau vào giải quyết vấn đề và sáng tạo trong mỗi tình huống cụ thể
thì người giáo viên cần phải nghiên cứu suy nghĩ, tìm tịi phương pháp thích
hợp: Đưa ra các câu hỏi đào sâu những vấn đề lí thuyết, tập dượt cho học sinh
quy trình giải bài tốn thực tế. Học sinh từ chỗ hiểu được, trình bày lại cách tính

các số hạng chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau đơn giản đến chỗ biết cách suy
nghĩ tìm ra cách giải các bài tốn khó hơn, phức tạp hơn. Giúp học sinh nêu
được những điểm mấu chốt của từng bài toán, thấy được mối liên hệ giữa các dữ
kiện của bài tốn với tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và tìm ra cách giải quyết
một số vấn đề thực tế. Để làm được điều này đòi hỏi GV phải đầu tư nhiều thời
gian và cơng sức, phải có năng lực sư phạm tốt mới suy nghĩ để tạo ra được
nhiều tình huống gợi vấn đề và hướng dẫn tìm tịi để phát hiện và giải quyết vấn
đề.Việc tổ chức tiết học hoặc một phần của tiết học theo phương pháp phát hiện
và giải quyết vấn đề đòi hỏi phải có nhiều thời gian hơn so với các phương pháp
thông thường.
Để giải quyết được các thực trạng chung của học sinh và giáo viên như đã
nêu ở trên, tôi mạnh dạn trình bày sáng kiến kinh nghiệm: "Rèn luyện năng lực
giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 7 trường THCS Nguyễn Chích
thơng qua bài tốn dãy tỉ số bằng nhau."

6


3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề .
3.1. Giúp HS nắm vững kiến thức cơ bản
* Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
a c
a c
ac a  c
( b  d; b  -d )

  

b d
b d b  d b d

* Tính chất trên cịn được mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau.
Tổng quát:

a c e
a c e
ace
a c  e
 
   

 ...
b d
f
b d
f b  d  f b d  f

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
* Chú ý:
Nếu có n tỉ số bằng nhau (n  2):

a1 a 2 a3
a


 ....  n thì
b1 b2 b3
bn

a1 a2 a3

a
a  a 2  a3  ...  an
a  a 2  a3  ...  an


 ....  n  1
 1
b1 b2 b3
bn
b1  b2  b3  ...  bn
b1  b2  b3  ......  bn

( nếu đặt dấu "-" trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu "-" trước số
hạng dưới của tỉ số đó).
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ
số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong
đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các
dữ kiện của bài toán.
3.2. Tập dượt cho học sinh quy trình giải bài tốn dãy tỉ số bằng nhau.
Trước mỗi bài toán cụ thể, GV cần tập cho học sinh quy trình giải bài tốn
theo các bước:
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn (Phát hiện hoặc
thâm nhập vấn đề)
Sử dụng tỉ số, tỉ lệ thức, đẳng thức, dãy tỉ số bằng nhau....để mơ tả các tình
huống đặt ra trong bài toán cụ thể.
- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề
- Giải thích và chính xác hóa tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn
đề được đặt ra
- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập (Tìm

giải pháp)
Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức thiết lập ra dãy tỉ số bằng nhau, sử dụng
tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để thành lập các tỉ số mới bằng tỉ số đã cho....
Tìm cách giải quyết vấn đề, thường được thực hiện theo các bước sau:
- Phân tích vấn đề: làm rõ mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm (dựa
vào những tri thức đã học, liên tưởng tới kiến thức thích hợp)

7


- Hướng dẫn HS tìm chiến lược giải quyết vấn đề thông qua đề xuất và
thực hiện hướng giải quyết vấn đề. Cần thu thập, tổ chức dữ liệu, huy động tri
thức; sử dụng những phương pháp, kĩ thuật nhận thức, tìm đốn suy luận như
hướng đích, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, chuyển qua những trường hợp suy
biến, tương tự hóa, khái quát hóa, xem xét những mối liên hệ phụ thuộc, suy
xuôi, suy ngược tiến, suy ngược lùi,... Phương hướng đề xuất có thể được điều
chỉnh khi cần thiết. Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn
đề là hình thành được một giải pháp.
- Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp: Nếu giải pháp đúng thì kết thúc
ngay, nếu khơng đúng thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm được
giải pháp đúng. Sau khi đã tìm ra một giải pháp, có thể tiếp tục tìm thêm những
giải pháp khác, so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lí nhất
Bước 3. Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể, sáng tạo lời giải
nếu cách giải quyết vấn đề cũ không cịn phù hợp.(Trình bày giải pháp,
nghiên cứu sâu giải pháp)
-HS trình bày lại tồn bộ từ việc phát biểu vấn đề tới giải pháp. Nếu vấn
đề là một đề bài cho sẵn thì có thể khơng cần phát biểu lại vấn đề
- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả
- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa,
lật ngược vấn đề,... và giải quyết nếu có thể

Việc tập dượt cho học sinh quy trình giải bài tốn dãy tỉ số bằng nhau sẽ
tạo cơ hội cho học sinh được rèn luyện, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và
sáng tạo thông qua từng bước thực hiện. Học sinh sẽ học cách tiếp cận vấn đề,
hiểu đúng vấn đề, biết diễn đạt vấn đề bằng ngơn ngữ tốn học thích hợp, thực
hiện giải quyết vấn đề, dựa vào thực tế và kinh nghiệm của bản thân để đánh giá
lựa chọn cách giải quyết phù hợp với thực tiễn.
3.3. Bài tập áp dụng và hướng dẫn khai thác
Dạng 1: Tìm các số hạng chưa biết của dãy tỉ số bằng nhau
Cách giải:
Cách 1.
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn: Xác định dãy tỉ
số bằng nhau
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập: Áp
dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau lập ra tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho và
có giá trị đã biết.
Bước 3. Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể: Từ dãy tỉ số
bằng nhau viết ra các tỉ lệ thức và tìm các số hạng chưa biết của dãy tỉ số bằng
nhau.
8


Cách 2.
Bước 1: Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn: Xác định dãy tỉ
số bằng nhau
Bước 2: Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập: Đặt
giá trị của dãy tỉ số bằng nhau đó là một số k  0 . Biểu diễn các số hạng chưa
biết trong dãy tỉ số bằng nhau theo giá trị k
Bước 3. Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài tốn cụ thể: Tính giá trị
của k, từ đó tính được các số hạng chưa biết của dãy tỉ số bằng nhau.
Bài toán 1: Cho

x
y
và 3x - 2y = - 8. Tìm x, y ?

2
5

* Hướng dẫn học sinh:
Cách 1.
Bước 1: (Xác định mô hình tốn học của vấn đề thực tiễn)
? Bài tốn cho biết gì? yêu cầu gì?
(Cho dãy 2 tỉ số bằng nhau, tìm số hạng trên của mỗi dãy tỉ số khi số hạng dưới
của chúng đã biết)
Bước 2: (Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập)
? Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau hãy lập ra tỉ số mới bằng các tỉ số
đã cho và có giá trị đã biết ?
x y
3x 2 y 3x  2 y  8
 



2
2 5
6 10
6 10
4

Bước 3: (Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể)

? Từ dãy tỉ số bằng nhau viết ra các tỉ lệ thức và tìm các số hạng chưa biết theo
yêu cầu của bài toán?
x
y
 2  x  2.2  4 ;
 2  y  2.5  10
2
5

Cách 2.
Bước 1: (Xác định mô hình tốn học của vấn đề thực tiễn)
? Bài tốn cho biết gì? yêu cầu gì?
Bước 2: (Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập)
? Đặt giá trị của dãy tỉ số bằng nhau đó là một số k  0 . Biểu diễn các số hạng
chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau theo giá trị k ?
Đặt

x
y
= k ( k  0 )  x = 2k; y = 5k

2
5

Bước 3. (Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể):
? Hãy tính giá trị của k ? Suy ra số hạng chưa biết theo u cầu của bài tốn?
Vì 3x – 2y = -8  3.(2k) – 2.(5k) = -8  6k – 10k = -8  -4k = -8
 k = (-8) : (-4)  k = 2
Khi k = 2  x = 2.2 = 4; y = 5.2 = 10
9

Bài giải
Cách 1.
Ta có: x  y  3 x  2 y .Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau suy ra:
2
5
6
10
3x 2 y
3x  2 y  8



 2 ( vì 3x – 2y = -8 )
6 10
6  10
4
x
y
Từ đó:  2  x  2.2  4 ;  2  y  2.5  10 . Vậy x = 2, y = 10
2
5

Cách 2.
Đặt

x
y
= k ( k  0 )  x = 2k; y = 5k


2
5

Vì 3x – 2y = -8  3.(2k) – 2.(5k) = -8  6k – 10k = -8  -4k = -8
 k = (-8) : (-4)  k = 2
Khi k = 2  x = 2.2 = 4; y = 5.2 = 10. Vậy x = 2, y = 10
Bài toán 2. Cho 5x = 2y; 3y = 5z và x + y + z = 30.Tìm x, y, z ?
* Hướng dẫn học sinh:
Cách 1.
Bước 1: (Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn)
? Bài toán đã cho biết dãy tỉ số bằng nhau chưa? Làm thế nào để thành lập được
dãy tỉ số bằng nhau?
Dựa vào tính chất của tỉ lệ thức, thành lập các tỉ lệ thức từ các đẳng thức
đã cho của các tích: 5x = 2y 

x y

2 5

(1) ; 3y = 5z 

Từ (1) và (2) suy ra dãy tỉ số bằng nhau:

y z

5 3

(2)

x y z
  .
2 5 3

Bước 2: (Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập).
? Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau hãy lập ra tỉ số mới bằng các tỉ số
đã cho và có giá trị đã biết ?


x y z x  y  z 30
  

 3 ( Vì x + y + z = 30)
2 5 3 2  5  3 10

Bước 3:(Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể)
? Từ dãy tỉ số bằng nhau viết ra các tỉ lệ thức và tìm các số hạng chưa biết theo
yêu cầu của bài tốn?
Ta có:

x
y
 3  x  6;
 3  y  15 ;
2
5

z
3 z 9
3

Cách 2.
Bước 1: (Xác định mô hình tốn học của vấn đề thực tiễn)
? Bài tốn đã cho biết dãy tỉ số bằng nhau chưa? Làm thế nào để thành lập được
dãy tỉ số bằng nhau?
? Dựa vào tính chất của tỉ lệ thức, thành lập các tỉ lệ thức từ các đẳng thức đã
cho của các tích ?
10


Từ 5x = 2y 

x y

2 5

y z

( 2)
5 3
x y z
  .
2 5 3

(1) ; 3y = 5z 

Từ (1) và (2) suy ra dãy tỉ số bằng nhau:

Bước 2: (Giải quyết các vấn đề toán học trong mơ hình được thiết lập)
? Đặt giá trị của dãy tỉ số bằng nhau đó là một số k  0 . Biểu diễn các số hạng

chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau theo giá trị k ?
Đặt:

x y z
  k
2 5 3

( k  0)

 x = 2k; y = 5k; z = 3k

Bước 3. (Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể)
? Hãy tính giá trị của k ? Suy ra số hạng chưa biết theo u cầu của bài tốn?
Vì x + y + z = 30  2k + 5k + 3k = 30  10k = 30  k = 3
Khi k = 3  x = 2.3 = 6; y = 5.3 = 15; z = 3.3 = 9
Bài giải.
x y
y
z

(1) ; 3y = 5z  
(2)
2 5
5 3
x y z
Từ (1) và (2)    . Áp dụng tính chất cảu dãy tỉ số bằng nhau:
2 5 3
x y z x  y  z 30
   


 3 ( Vì x + y + z = 30)
2 5 3 2  5  3 10

Cách 1. Từ 5x = 2y 

Ta có:

x
 3  x  6;
2

y
 3  y  15 ;
5

z
3 z 9
3

Vậy: x = 6; y = 15; z = 9
x y
y z

(1) ; 3y = 5z  
(2)
2 5
5 3
x y z
Từ (1) và (2)   
2 5 3

x y z
Đặt:
   k ( k  0)  x = 2k; y = 5k; z = 3k
2 5 3
Vì x + y + z = 30  2k + 5k + 3k = 30  10k = 30  k = 3

Cách 2. Từ 5x = 2y 

Khi k = 3  x = 2.3 = 6; y = 5.3 = 15; z = 3.3 = 9. Vậy: x = 6; y = 15; z = 9
x
y
và x2 + y2 = 261. Tìm x, y ?

2
5
x
y
Hướng dẫn học sinh: a. Cho  và x2 + y2 = 261. Tìm x, y ?
2
5

Bài tốn 3: Cho

* Sai lầm thường gặp: Học sinh khi giải dạng bài tập này thường áp dụng sai
tính chất của dãy tỉ số bằng nhau như sau:
x y x 2  y 2 261
 

 9  x  2.9  18; y  5.9  45
2 5 2 2  52

29

GV cần khẳng định khơng có tính chất trên, và hướng dẫn học sinh hướng
GQVĐ như sau:
11


Cách 1.
Bước 1: (Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn)
? Sử dụng dãy tỉ số bằng nhau đã cho của bài toán để thiết lập được tỉ số mới
bằng các tỉ số đã cho được không?
(Không thể thành lập tỉ số bằng dãy tỉ số đã cho bởi số hạng trên của dãy tỉ số đã
cho là x và y nhưng dữ kiện thứ hai của bài toán là x2 + y2 = 261)
? Vậy từ dãy tỉ số bằng nhau đã cho có thể suy ra dãy tỉ số bằng nhau nào để có
thể giải được bài tốn ? (Gợi ý: sử dụng tính chất của đẳng thức: a = b  an = bn)
Từ

x2 y 2
x
y



2 5
4
25

Bước 2: (Giải quyết các vấn đề toán học trong mơ hình được thiết lập)
? Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau lập ra tỉ số mới bằng các tỉ số đã
cho và có giá trị đã biết .



x 2 y 2 x 2  y 2 261
2
2



 9 ( vì x + y = 261)
4
25
4  25
29

Bước 3. (Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài tốn cụ thể): ? Tìm các số hạng
chưa biết của dãy tỉ số bằng nhau như thế nào?.
x2
y2
 9  x 2  36  x   6 ;
 9  y 2  225  y   15
4
25

Cách 2.
Bước 1: (Xác định mơ hình toán học của vấn đề thực tiễn)
?Bài toán cho biết gì? yêu cầu gì?
Bước 2: (Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập)
? Đặt giá trị của dãy tỉ số bằng nhau đó là một số k  0 . Biểu diễn các số hạng
chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau theo giá trị k?
Đặt:

x
y
= k ( k  0)  x = 2k; y = 5k

2 5

Bước 3. (Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài tốn cụ thể)
? Tính giá trị của k, từ đó tính được các số hạng chưa biết của dãy tỉ số bằng
nhau?
Vì x2 + y2 = 261  4k2 + 25k2 = 261  29k2 = 261  k2 = 9  k =  3
* Nếu k = 3  x = 2.3 = 6; y = 5 . 3 = 15
* Nếu k = -3  x = 2.(-3) = -6; y = 5 . (-3) = -15
Bài giải. Cách 1. a. Từ

x2 y2
x
y



2
5
4
25

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:


x 2 y 2 x 2  y 2 261

2
2



 9 ( vì x + y = 261)
4
25
4  25
29

Ta có:

x2
y2
 9  x 2  36  x   6 ;
 9  y 2  225  y   15
4
25

12


Vậy x = 6, y = 15 hoặc x = -6, y = -15
Cách 2.
a. Đặt: x  y = k ( k  0)  x = 2k; y = 5k
2

2

5

2

Vì x + y = 261  4k2 + 25k2 = 261  29k2 = 261  k2 = 9  k =  3
* Nếu k = 3  x = 2.3 = 6; y = 5 . 3 = 15
* Nếu k = -3  x = 2.(-3) = -6; y = 5 . (-3) = -15
Vậy x = 6, y = 15 hoặc x = -6, y = -15
Bài tốn 4: Cho

x
y
và xy = 360. Tìm x, y ?

2
5

* Hướng dẫn học sinh: * Sai lầm thường gặp:
Học sinh khi giải dạng bài tập này thường áp dụng sai tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau như sau:
x y xy 360
 

 36  x  2.36  72; y  5.36 180
2 5 2.5 10

GV cần khẳng định khơng có tính chất trên, và u cầu học sinh phải tìm hướng
giải quyết vấn đề theo cách khác (phát huy sự sáng tạo của học sinh)
Bài giải
2

Cách 1. Từ

2

x y xy 360
x
y
x  y

      . 

 36 (Vì xy = 360)
2 5 10 10
2 5
 2  5

2

x
x
Ta có:    36    6  x  12
2
2
2

y
 y
   36    6  y   30
5

5

Vậy x = 12, y = 30 hoặc x = -12, y = -30
x
y
= k ( k  0)  x = 2k; y = 5k

2 5
Vì xy = 360.  (2k)(5k) = 360  10k2 = 360  k2 = 36  k =  6

Cách 2. Đặt:

* Nếu k = 6  x = 2.6 = 12; y = 5 . 6 = 30
* Nếu k = -6  x = 2.(-6) = -12; y = 5 . (-6) = -30
Vậy x = 12, y = 30 hoặc x = -12, y = -30
Bài toán 5: a. Cho 5x = 2y; 3y = 5z và x2 + y2 + z2 = 152. Tìm x, y, z ?
b. Cho 15x = 6y = 10z và xyz = 240.Tìm x, y, z ?
* Hướng dẫn học sinh:
? Từ các đẳng thức đã cho thành lập dãy tỉ số bằng nhau bằng cách nào?
HD: a. Thành lập các tỉ lệ thức, suy ra dãy tỉ số bằng nhau:
x y
y z

(1) ; 3y = 5z  
2 5
5 3
x y z
Từ (1) và (2)   
2 5 3

Từ 5x = 2y 

( 2)

13


b. Từ: 15x = 6y = 10z , Tìm BCNN (15,6,10) = 30
Chia các tích cho BCNN vừa tìm 15x = 6y = 10z 

15x 6 y 10 z
x y z


  
30 30 30
2 5 3

? Từ dãy tỉ số bằng nhau vừa thành lập, có vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau để viết tỉ số bằng dãy đã cho được không? Cần phải làm thế nào để tính
được các số hạng chưa biết?
x2 y2 z2
sau đó áp dụng tính chất dãy tỉ số


4
25 9

HD: a. suy ra dãy tỉ số bằng nhau
bằng nhau ta có

x 2 y 2 z 2 x 2  y 2  z 2 152




4
4
25 9
4  25  9
38
3

3

3

xyz 240
x y z
x
 y  z
 
        

8
2.5.3 30
2 5 3
2
 5 3

b. Từ

? Lên bảng hoàn thành lời giải?
Bài giải.
x y

(1) ;
2 5
x y z
Từ (1) và (2)   
2 5 3

a. Từ 5x = 2y 

3y = 5z 

y z

5 3

(2)



x2 y2 z2
. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:


4
25 9



x 2 y 2 z 2 x 2  y 2  z 2 152




4
4
25 9
4  25  9
38

x2
 4  x 2  16  x   4
4

Ta có:

y2
 4  y 2  100  y   10
25
z2
 4  z 2  36  z   6
9

Vậy x = 4, y = 10, z = 6 hoặc x = -10, y = -10, z = -6
b. Từ 15x = 6y = 10z 
3

3

15 x 6 y 10 z
x y z


  
30
30 30
2 5 3

3

xyz 240
x
 y  z
        

 8 (Vì xyz = 240)
2.5.3 30
2
 5 3
3

x
x
Ta có:    8   2  x  4
2
 2

3

y
y
   8   2  y 10
5
5
3

z
z
   8   2  z  6 .Vậy x = 4, y = 10, z = 6
3
 3

(Cách 2 học sinh tự trình bày)
14


Dạng 2: Từ dãy tỉ số bằng nhau, chứng minh một dãy tỉ số bằng nhau khác.
Cách chứng minh:
Cách 1.
Bước 1: (Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn)Xác định dãy tỉ số
bằng nhau
Bước 2: (Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập) Áp dụng
tính chất của dãy tỉ số bằng nhau lập ra các tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho tùy
vào từng yêu cầu của bài
Bước 3. (Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể)Từ dãy tỉ số bằng
nhau vừa lập viết ra dãy tỉ số mới theo yêu cầu cần chứng minh.
Cách 2.

Bước 1: (Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn)Xác định dãy tỉ số
bằng nhau
Bước 2: (Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập) Đặt giá
trị của dãy tỉ số bằng nhau đó là một số k  0 , biểu diễn các số hạng trên (hoặc
các số hạng dưới) của các tỉ số bằng nhau theo k và theo số hạng còn lại
Bước 3: (Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài tốn cụ thể) Tính giá trị của
mỗi tỉ số trong dãy tỉ số cần chứng minh theo k, ta được dãy các tỉ số có cùng
giá trị. Từ đó suy ra dãy tỉ số bằng nhau theo yêu cầu cần chứng minh.
a2  c2
ac
a c

 . Chứng minh rằng: 2
2
b d
b d
bd

Bài toán 6: Cho

* Hướng dẫn học sinh:
Cách 1.
Bước 1: (Xác định mơ hình tốn học của vấn đề thực tiễn)
? Bài tốn cho biết gì? u cầu gì?
Bước 2: (Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình được thiết lập)
? Từ dãy tỉ số bằng nhau đã cho có thể áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
để thành lập ra các tỉ số mới bằng nhau theo yêu cầu của bài toán không?
? Cần thành lập ra dãy tỉ số bằng nhau nào từ dãy tỉ số đã cho? (vận dụng ví dụ 3
và 4 để thành lập dãy tỉ số bằng nhau mới)
2

Từ

2

a c
a c
a
c

      .
b d
b
d
b d
 
 

Bước 3. (Thể hiện và đánh giá lời giải trong bài toán cụ thể)
? Từ dãy tỉ số bằng nhau vừa lập viết ra thêm tỉ số mới bằng các tỉ số đó theo
yêu cầu cần chứng minh
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a2 c2 a2  c2
ac
 2  2

2
2
b
d

b d
bd

15


Chứng minh:
Cách 1.
2

2

a 2 c 2 ac
a c
a
c
a c
a. Từ:         . Suy ra: 2  2 
b d
b d
b
d
bd
b
d

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Từ (1) và (2) suy ra:

(1)

a2 c2 a2  c2

 2
(2)
b2 d 2
b d2

a2  c2
ac

2
2
b d
bd

Cách 2.
a. Đặt

a c
 = k ( Với k  0 )
b d

Ta có:

a2  c2
kb  kd   k 2 b 2  d 2  k 2

b2  d 2
b2  d 2

b2  d 2
2

a = kb ; c = kd



2

Từ (1) và (2) suy ra
Bài toán 7: Cho



(1) ;

ac kb.kd

 k 2 ( 2)
bd
bd

a2  c2
ac

2
2
b d
bd

a3  c3  b3 a
a c b

  . Chứng minh rằng: 3
c b d
c  b3  d 3 d
3

Cách 1. Từ:



3

3

a c b
a c b
a
c
b
 
        . .
c b d
c b d
c
b
d 

a 3 c 3 b3 a




(1)
c3 b3 d 3 d

Suy ra:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a 3 c3 b3 a 3  c3  b3



(2)
c3 b3 d 3 c3  b3  d 3

Từ (1) và (2) suy ra:

a3  c3  b3 a

c3  b3  d 3 d

Cách 2.
Đặt

a c b
= k ( Với k  0 )  b = kd ; c = kb = k2d; a = kc = k3d
 
c b d

Ta có:

a k 3d

 k3
d
d

(1)

   
 
3

3





a 3  c 3  b 3 k 3 d  k 2 d  kd 
k 9 d 3  k 6 d 3  k 3 d 3 k 3 d 3 k 6  k 3 1


 3 6 3
 k 3 ( 2)
3
3
3
3

6 3
3 3
3
3
2
3
c b d
k d k d  d
d k  k 1
k d  kd   d

Từ (1) và (2) suy ra

3





a3  c3  b3 a

c3  b3  d 3 d

3.4. Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác:
(Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo)
Bài tập: Tìm các số x, y, z biết:
16


6

9
18
x  y  z và –x + y + z = -120
11
2
5
x
7 y 5
2.  ;  và 2x + 5y – 2z = 100
y 20 z 8

1.

3.

12 x  15 y 20 z 12 x 15 y  20 z
và x + y + z = 48


7
9
11

Hướng dẫn:
1. BCNN(6,9,18) = 18; Chia các tích cho 18
x

33
x



33


2.

y z
 . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
4 5
y z  x  y  z  120
 

 5 Suy ra x = 165; y = 20; z = 25
4 5  33  4  5  24

x
7
x
y
  
y 20 7 20

y 5 20
y
z
 


z 8 32
20 32

x
y
z
2 x 5 y 2 z 2 x  5 y  2 z 100
Suy ra:   




2
7 20 32
14 100 64 14  100  64 50

Vậy x = 14; y = 40; z = 64
3.

12 x 15 y 20 z 12 x 15 y  20 z 12 x  15 y  20 z  12 x  15 y  20 z 0



 0
7
9
11
7  9 11
27

Vậy:

12x

–

15y

=

0

 12 x 15 y 

x y
 (1) ;
5 4

20z

-12x

=

0

x z
 ( 2)
5 3
x y z x  y  z 48
Từ (1); (2) suy ra:   
  4 .Suy ra: x = 20, y = 16, z = 12
5 4 3 5  4  3 12

 12 x  20 z 

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi hồn thành được SKKN này, bản thân tơi đã tích lũy được nhiều
cách tổ chức cho học sinh giải những dạng tốn khó về dãy tỉ số bằng nhau, rút
ra được phương pháp rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học
sinh khi gặp từng dạng bài, từ đó giúp học sinh có thể vận dụng kiến thức tốn
học tìm tịi giải quyết từng tình huống một cách sáng tạo, hiệu quả.
Trong quá trình giảng dạy, tơi có thêm kinh nghiệm hướng dẫn học sinh
nhận biết các dạng tốn và phân tích kiến thức liên quan, tìm tịi cách giải, từ đó
đã góp phần nâng cao được chất lượng dạy học, tạo hứng thú học tập cho học
sinh, phát huy được tính tích cực chủ động của học sinh đồng thời tăng cường và
rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong học tập.
Thông qua hệ thống bài tập tôi đã giới thiệu, khi áp dụng vào giảng dạy cho
học sinh, chỉ sau một buổi ôn luyện (3 tiết) khi học sinh gặp được các tinh huống
17


“Có vấn đề” liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau học sinh đều tìm cách giải quyết
vấn đề đó một cách nhanh chóng. Ngồi ra việc áp dụng SKKN này trong giảng
dạy đã giúp xây dựng cho học sinh thói quen lập luận, trình bày lời giải, tìm lời
giải ngắn gọn, khoa học nhất, phát huy óc độc lập, sáng tạo của học sinh. Sau
mỗi tiết học, học sinh có thể hồn thiện kiến thức và phát hiện được kiến thức
mới cần tìm hiểu, nghiên cứu.
Kết thúc chuyên đề, tôi đã kiểm tra đánh giá định kỳ để rút kinh nghiệm và
đánh giá mũi nhọn, chất lượng bài làm của học sinh đã nâng lên rõ rệt.
Kiểm tra 45 học sinh đội tuyển trong thời gian 20 phút với 3 câu hỏi:
Câu 1. (4 điểm) Tìm x, y, z biết: 5x = 8y = 20z và x- y – z = 3
Câu 2. (4 điểm) Tìm x, y, z biết:

x
y z
  và xyz = 20
12 9 5

Câu 3. (2 điểm) Cho b2 = ac. Chứng minh:

a 2  b2 a

b2  c2
c

Kết quả làm bài của các em đạt được như sau:
Điểm
9 – 10
8-9
7- 8
6 -7
5-6
Dưới 5
Số lượng
4
10
11
14
6
0
(8,9%)
(22,2%)

(31,2%)
( %) (13,3%) ( 0%)
(tỉ lệ)
Như vậy là tỉ lệ học sinh biết giải bài toán dãy tỉ số bằng nhau của học
sinh lớp 7A đã tăng lên rất nhiều, đa phần các em đã biết thành lập các dãy tỉ số
bằng nhau từ các điều kiện đã cho của mỗi bài toán, các em đều xác định cách
giải cũng như biết lập luận đúng để tìm số hạng chưa biết của dãy tỉ số bằng
nhau hoặc chứng minh dãy tỉ số bằng nhau. Nhiều em đã tự tin khi gặp dạng
toán dãy tỉ số bằng nhau trong các đề thi HSG toán 7.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm này đã góp phần tích cực vào việc rèn luyện tư duy
phê phán, tư duy sáng tạo cho HS. Trên cơ sở sử dụng vốn kiến thức và kinh
nghiệm đã có HS sẽ xem xét, đánh giá, thấy được vấn đề cần giải quyết. Hệ
thống bài tập phát triển được khả năng tìm tịi, xem xét dưới nhiều góc độ khác
nhau. Trong khi phát hiện và giải quyết vấn đề, HS sẽ huy động được tri thức và
khả năng cá nhân, khả năng hợp tác, trao đổi, thảo luận với bạn bè để tìm ra
cách giải quyết vấn đề tốt nhất. Qua đó HS được lĩnh hội tri thức, kĩ năng và
phương pháp nhận thức.
Hệ thống bài tập, các vấn đề, tình huống đưa ra để HS xử lí, giải quyết đều
thoả mãn các yêu cầu sau:Phù hợp với chủ đề bài học; Phù hợp với trình độ
nhận thức của HS. Vấn đề, tình huống chứa đựng những mâu thuẫn cần giải
quyết, gợi ra cho HS nhiều hướng suy nghĩ, nhiều cách giải quyết vấn đề.
18


Khi sử dụng SKKN trong giảng dạy, học sinh được rèn luyện các thao tác tư
duy: Lật ngược vấn đề; Xét tương tự; Khái quát hóa; Khai thác kiến thức cũ, đặt
vấn đề dẫn đến kiến thức mới; Giải bài tập mà chưa biết thuật giải trực tiếp; Tìm
sai lầm trong lời giải; Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm,

2. Kiến nghị
Qua thực tế giảng dạy và rút kinh nghiệm bước đầu, tơi có kiến nghị và đề
xuất với các cấp quản lí giáo dục nói chung và BGH Trường THCS Nguyễn
Chích nói riêng như sau: Luôn quan tâm và tạo điều kiện hơn nữa cho giáo viên
trong tổ thường xuyên được trao đổi, rút kinh nghiệm dạy các chun đề khó
trong q trình dạy học bồi dưỡng HSG và áp dụng, thử nghiệm các PPDH mới
bằng nhiều hình thức.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 09 tháng 3 năm 2020
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
Người viết SKKN

Nguyễn Thị Minh Hải

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách Bài tập toán 7 tập 1 - Tôn Thân (Chủ biên) – Phạm Gia Đức
Dạng bài tập: Chứng tỏ một phân số là phân số tối giản
2. Sách Các dạng toán và phương pháp giải tốn 7 tập 1 - Tơn Thân (Chủ
biên) – Vũ Hữu Bình – Nguyễn Vũ Thanh – Bùi Văn Tuyên
3. Sách Các chuyên đề chọn lọc toán 7 tập 1 - Tôn Thân (Chủ biên) – – Bùi
Văn Tuyên
4. Sách Nâng cao và phát triển toán 7 tập 1 – Vũ Hữu Bình
5. Sách Tài liệu chun tốn trung học cơ sở toán 7 tập một: Số học – Vũ
Hữu Bình (Chủ biên) – Nguyễn Tam Sơn
6. Sách Tốn nâng cao và các chuyên đề toán 7 – Vũ Dương Thụy (Chủ biên)

– Nguyễn Ngọc Đạm

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Minh Hải
Chức vụ: Giáo viên. Đơn vị công tác:Trường THCS Nguyễn Chích

TT
1.

2.

3.

Tên đề tài SKKN
Giúp HS khá giỏi lớp 9
trường THCS Nguyễn Chích
áp dụng định lí Vi ét trong
giải toán
Rèn luyện kỹ năng giải bài
toán bằng cách lập phương
tŕnh thông qua tiết 53 – 54:
luyện tập đại số lớp 8 cho học
sinh trường THCS Nguyễn
Chích
Một số bài tốn phân số tối
giản dạy học sinh đội tuyển
toán 6 trường THCS Nguyễn

Chích năm học 2018 – 2019.

Cấp đánh giá
xếp loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

(A, B, hoặc C)

Huyện

A

2013

Huyện

B

2016

Huyện

A

2019

Tỉnh

B

2019
20


21