TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 11 HỌC KỲ I NĂM HỌC 2022 2023

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY


TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 11
NĂM HỌC 2022 - 2023

Họ và tên: .......................................
Lớp: ...............................................

Tài liệu lưu hành nội bộ
1



Mục lục
CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ......................................................................... 5
BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ..................................................................................... 5
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ....................................................... 7
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP .......................................... 10
ÔN TẬP CHƯƠNG I .................................................................................................... 13

CHƯƠNG II: ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ ................................... 14
BÀI 1. QUY TẮC ĐẾM ................................................................................................ 14
BÀI 2. HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP .................................................................... 16
BÀI 3. NHỊ THỨC NEWTON....................................................................................... 19
BÀI 4. BIẾN CỐ ........................................................................................................... 21
BÀI 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ .............................................................................. 23

CHƯƠNG III: DÃY SỐ, CẤP SÓ CỘNG, CÁP SỐ NHÂN ........................................ 25
BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC ......................................................... 25

BÀI 2. DÃY SỐ............................................................................................................. 27
BÀI 3. CẤP SỐ CỘNG ................................................................................................. 30
BÀI 4. CẤP SỐ NHÂN ................................................................................................. 33

CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH – PHÉP ĐỒNG DẠNG .............................................. 35
BÀI 1. PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP TỊNH TIẾN ........................................................ 35
BÀI 5. PHÉP QUAY ..................................................................................................... 38
BÀI 6. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH – HAI HÌNH BẰNG NHAU. ..................... 42
BÀI 7. PHÉP VỊ TỰ ...................................................................................................... 45
BÀI 8. PHÉP ĐỒNG DẠNG ......................................................................................... 47

CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN HỆ SONG SONG ............................................................................................ 49
BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ................................... 49
BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ............................................................... 53
BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG. ........................................ 55
BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ..................................................................... 58
BÀI 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH
KHƠNG GIAN. ........................................................................................................... 62

3



CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM
I. HÀM SỐ y  sin x VÀ y  cos x
Hàm số y  sin x
- Tập xác định:

 1;1
- Tập giá trị:
- Là hàm số lẻ
- Hàm số tuần hoàn chu kì T  2
- Đồng biến trên mỗi khoảng

 

   k 2 ;  k 2 
2
 2

- Nghịch biến trên mỗi khoảng
3


 k 2 
  k 2 ;
2
2

- Đồ thị là đường hình sin

II. HÀM SỐ y  tan x VÀ y  cot x
Hàm số y  tan x


- Tập xác định: \   k 
2


- Tập giá trị:
- Là hàm số lẻ
- Hàm số tuần hồn chu kì T  
- Đồng biến trên mỗi khoảng xác định
- Đồ thị:

-

Hàm số y  cos x
Tập xác định:
 1;1
Tập giá trị:
Là hàm số chẵn
Hàm số tuần hồn chu kì T  2
Đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ; k 2 

- Nghịch biến trên mỗi khoảng  k 2 ;   k 2 

- Đồ thị là đường hình sin

Hàm số y  cot x
- Tập xác định:
-

\ k 

Tập giá trị:
Là hàm số lẻ
Hàm số tuần hoàn chu kì T  
Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

Đồ thị:

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Câu 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1  cos x

a) y =
b) y = tan  x  
sin x
3




c) y = cot  x  
6


5


1 x

3

d) y = cot  2 x  
e) y = sin
f) y =
1 x

2 cos x
4


cot x

g) y = tan  2 x  
h) y =
i) y  tan 2 x  cot 3x
cos x  1
4

sin x
3sin x
j) y 
k) y = tan x + cot x
l) y =
2  cos x
cos x
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = 3 – 2 sin x
b) y = 2 + 3 cosx
c) y= 4sinx +3

d) y= - 3sin( x  )
e) y = 5sin 2 x  3
f) y = 5  2cos2 x
3
1  4 cos 2 x
g) y  3  2sin 2 3x

h) y=
i) y= 3 – 4 sin2xcos2x
3
2
j) y = 2 sin x – cos 2x
k) y= 2 cos x  1
l) y= 4  5 sin x
2 

2
m) y  sin 4 x  cos4 x
n) y  sin x  sin  x 
 o) y  cos x  sin x
3 



BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM
I. PHƯƠNG TRÌNH sin x  m
+ Nếu m  1 thì phương trình vơ nghiệm.
+ Nếu m  1 : gọi  là một nghiệm của phương trình.

 x    k 2
sin x  m  
, k
 x      k 2
Đặc biệt:
1. sin x  0  x  k 


 k 2
2

3. sin x  1  x    k 2
2
2. sin x  1  x 

Nhận xét:

  

1. Trên   ;  phương trình có nghiệm duy nhất, kí hiệu là arcsin m
 2 2
 x  arcsin m  k2
sin x  m  
, kZ
 x    arcsin m  k2
2. Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức
 x  a 0  k3600
s inx  sin a 0  
, kZ
0
0
0
 x  180  a  k360
3. Một vài lưu ý
sin u   sin v  sin u  sin(v)




sin u  cos v  sin u  sin   v 
2

 
sin u   cos v  sin u  sin  v  

2
II. PHƯƠNG TRÌNH cos x  m
+ Nếu m  1 thì phương trình vơ nghiệm.
+ Nếu m  1 : gọi  là một nghiệm của phương trình.

 x    k 2
cos x  m  
, k
 x    k 2
Đặc biệt:


 k
2
2. cos x  1  x  k 2
3. cosx  1  x    k 2
1. cosx  0  x 

Nhận xét:
1. Trên  0; , phương trình có nghiệm duy nhất, kí hiệu arccos m
cos x  m  x   arccos m  k2 , k 

2. Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức cosx  cosa0  x  a0  k3600 , k  Z

7


3. Một vài lưu ý

cos u   cos v  cos u  cos(  v)



cos u  sin v  cos u  cos   v 
2



cos u   sin v  cos u  cos   v 
2

II. PHƯƠNG TRÌNH tan x  m

Điều kiện: x   k , k 
2
Gọi  là một nghiệm của phương trình.
tan x  m  x    k , k 
Nhận xét:

  
;  phương trình có nghiệm duy nhất, kí hiệu là arctanm
 2 2

1. Trên  

tan x  m  x  arctan m  k , k 
0
0
0
2. Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng cơng thức tanx  tan a  x  a  k180
3. Một vài lưu ý

, k Z .

tan u   tan v  tan u  tan(v)



tan u  cot v  tan u  tan   v 
2



tan u   cot v  tan u  tan   v 
2

II. PHƯƠNG TRÌNH cot x  m
Điều kiện: x  k , k 
Gọi  là một nghiệm của phương trình.
cot x  m  x    k , k 
Nhận xét:
1. Trên  0;  phương trình có nghiệm duy nhất, kí hiệu arccot m
cot x  m  x  arc cot m  k , k 

2. Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức cotx  cot a0  x  a0  k1800 , k  Z
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng toán liên quan đến giải phương trình lượng giác cơ bản
Câu 1. Giải các phương trình sau:



a) sin x  sin(2 x  )
4
d) cot(3x  1)  cot 4
g) tan x  

1
3


3
j) sin(  3x) 
5
5
Câu 2. Giải các phương trình sau:
1
a) sin 2 x  ( 180o  x  240o )
2



b) cos( x  )  cos3x
3

1
e) sin 2 x  
2
2
h) cos 3x 
2
k) cot x=2


2
c) tan(2 x  )  tan
3
5
f) cot(3x  10o )  1
i)cos 5x= -3
l) tan(2x+3)= 

2
5

3

b) sin( x  ) 
( 0  x  2 )
2
4


c) cos2 x 

1
( 180o  x  240o )
2

3

3
(  x 
)
2
2
2
1
f) tan x  
(   x  3 )
3
d)cos 2x =

e) tan 2 x  1 ( 15o  x  245o )



h) cot (4 x  ) =1( 0  x  2 )
5
PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG CƠ BẢN, DẠNG TÍCH.
Câu 1. Giải các phương trình sau:
1
1
a) cos 2 2 x 
b) sin 2 2 x 

4
2
1
x 1
c) sin 2 x   0
d) cot 2 
4
2 3
3
e) 4cos2 x  3  0
f) sin 2 x 
4
x 
x 

g) cos 2x tan x = 0
h)  cot  1 tan  1  0
3 
2 

o
i) sin 3x cot x = 0
j) tan (x – 30 ) cos (2x – 150o) = 0
Câu 2. Giải các phương trình sau:
g) cot (3x – 45o) = -1 ( 180o  x  180o )

a) sin 3x – cos 5x = 0

b) sin 3x = cos 2x

c) sin x + cos 2x = 0

d) cos 4x + cos 3x = 0

e) sin 2x+ cos x = 0

f) tan 3x + tan x = 0





g) cos  2 x    cos  x    0
3
6





h) tan 3x + tan  2 x    0
4


i) sin 6x + sin 4x = 0
Câu 3. Giải các phương trình sau:
a) sinx + sin3x + sin5x = 0
c) sin x  sin 2 x  sin 3x  0

j) tan (3x + 2) - cot 2x = 0

e) cos 2 x  cos 8x  cos 6 x  1  0
g) cos x  cos 2 x  sin 3x

b) cos x  cos 2 x  sin x  sin 2 x
d) sin x  sin 2x  sin 3x  sin 4x  0
3
f) sin 2 x  sin 2 3x  sin 2 5 x 
2
h)cos7x + sin8x = cos3x – sin2x

9


BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Phương trình bậc 2 theo một hàm số lượng giác.
Phương pháp giải

a sin 2 u  b sin u  c  0  a  0  . Đặt t  sin u ,điều kiện 1  t  1

a cos2 u  b cos u  c  0  a  0  . Đặt t  cos u ,điều kiện 1  t  1
a tan 2 u  b tan u  c  0 . Đặt t  tan u , điều kiện cos u  0

a cot 2 u  b cot u  c  0  a  0  . Đặt t  cot u ,điều kiện sin u  0
Câu 1. Giải các phương trình sau:
a) 2 sinx –

b) 2 cos(2 x  500 )  3  0

2 =0



c) 2sin  5 x    1  0
3




d) 2cos  3x    1  0
4


e) cot( x  300 )  3  0

f) 3 tan 2x – 3 = 0

Câu 2. Giải các phương trình sau:
a) 2cos2 x  3cos x  1  0

b) 2 tan 2 x  3tan x  1  0

c) 2sin 2 x  sin x  1  0

d) 8cos2 x  2sin x  7  0

e) cos2 x  sin x  1  0

f) sin 2

x
x
 2cos  2  0
2
2
2
h) 2cos x  cos 2 x  2
j) 7 sin x + cos 2x = 6
l) tan x + cot x = 2
n) 5tan x  2cot x  3  0
p) 2cos 2 x  3sin x 1  0

g) sin x – cos 2x – 2 = 0
i) cos2 x  3sin x  2  0
k) tan2 4 x  tan 4 x  2  0
m) tan x – 2 cot x + 1 = 0
o) 2sin 2 x - 3sin x  1  0

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
1. Đinh nghĩa: Là phương trình có dạng: a.sin x  b.cos x  c (1) ; với a, b, c 
Hoặc a.sin x  b.cos x  c ; a.cos x  b.sin x  c
2. Cách giải:
* Điều kiện để phương trình có nghiệm : a 2  b2  c2
 Chia hai vế phương trình (1) cho
a
a 2  b2



Đặt

a
a 2  b2

 cos  ;

sin x 
b
a 2  b2

(*)  sin x.cos   cos x.sin  
 sin  x    

c
a 2  b2

a 2  b2 , ta được
a
a 2  b2

cos x 

c
a 2  b2

(*)

 sin  với   0, 2 
c
a 2  b2

: Phương trình lượng giác cơ bản.

và a2  b2  0 .


Hoặc đặt

a
a b
2

2

 sin  ;

b
a  b2
2

Thì (*)  sin x.sin   cos x.cos  

 cos  với   0, 2 

c
a b
2

2

 cos  x    

c
a  b2
2

Câu 1. Giải các phương trình sau:
b) cos x  3 sin x  1
d) cos x  3 sin x  2
f) 3 cos3x  sin 3x  1  0

a) 3 cos x  sin x  2
c) 3 cos x  sin x  2
e) 3 cos 7 x  sin 7 x  2
x
x
g) 2 sin  cos  2
2
2

h) 2sin x  5cos x  5



6
i) cos(2 x  )  sin(2 x  ) 
3
3
2
k) 5 sin x  2 cos x  4

Câu 2. Giải các phương trình sau:

1
j) sin x  (3  3 cos x )
3
l)5 cos 2x + 12 sin 2x – 13 = 0

a) cos 7 x  sin 5x  3 (cos 5x  sin 7 x)

b) 3 sin 3x  3 cos 9 x  1  4 sin 3 3x

3(1  cos 2 x)
 cos x
2sin x

e) sin(  x)  sin(  x)  1
2

d) sin 2 x  sin 2 x 

c)

1
2

f) cos2 x  3 sin 2 x  1  sin 2 x



g) 4(sin 4 x  cos4 x)  3 sin 4 x  2

h) sin(  3x)  sin 3x  1
2

i) cos 7 x cos5x  3 sin 2 x  1  sin 5 x sin 7 x
PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
1. Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng :
a.sin 2 x  b.sin x.cos x  c.cos 2 x  d ,  a 2  c 2  0 
2. Cách giải:
Cách 1:
* Xét cos x  0  x 


2

 k , k 

có là nghiệm của phương trình hay khơng.



 k , k 
2
Chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x , ta được phương trình a tan 2 x  b tan x  c  d (1  tan 2 x)
Cách 2:
1  cos 2 x
1  cos 2 x
Sử dụng công thức hạ bậc: sin 2 x 
; cos 2 x 
2

2
(1)  b sin 2 x  (c  a) cos 2 x  2d  a  c : phương trình bậc nhât đối với sin x và cos x .
Câu 1. Giải các phương trình sau:
a) 2sin 2 x  7sin x.cos x  cos2 x  4
b) 3sin 2 2 x  sin 2 x.cos 2 x  4cos 2 2 x  2
x
x 1
c) sin 2  sin x  2cos 2 
2
2 2
Câu 2. Giải các phương trình sau:

* Xét cos x  0  x 

11


2sin 2 x  sin x cos x  3cos2 x  0
4 cos 2 x  3 sin x cos x  sin 2 x  3
4 sin 2 x  2 sin 2 x  3 cos 2 x  1
3sin 2 x  4sin x cos x  5cos2 x  2
1
i) sin 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x 
2

b) 4cos2x + sinx.cosx + 3sin2x – 3 = 0
d) 2 sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x  2
f) cos 2 x  sin 2 x  5 sin 2 x  2
h) 4 cos 2 x  3 sin x cos x  3 sin 2 x  1

k) 25sin 2 x  15sin 2 x  9cos2 x  25

l)

a)
c)
e)
g)

m) sin 2 x  3sin x cos x  1  0

j) 6sin 2 x  sin x cos x  cos2 x  2
1
cos x
2
n) 4sin x  3 3 sin 2 x  2cos2 x  4
3 sin x  cos x 


ÔN TẬP CHƯƠNG I
Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số
a) y

2017
.
sin x

b) y

1 sin x

.
cos x 1

1

c) y

sin x

d) y

.
2

1
sin x

cos x

e) y

tan x

cot x

f) y

tan 3x

.

1
sin x

1
cos x

cot x.

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
a) y 3sin 2 x 1
2 sin x

b) y

2

3

c) y 5 4 sin 2 x cos 2 x
d) y

sin x

cos x

2 sin 2016 x

e) y

2017

Câu 3. Giải các phương trình
a) sin

2x
3

0

3

3
2

b) sin 2 x 400
c) sin 2 x
d)

2 cos 2 x
1 sin 2 x

1
2

3
0

e) sin x 1 sin x
f) sin 5x

2

3 cos5x

g) 3 cos x

2sin7 x

sin x

2

0

2

h) 2sin2 x 3sin x 1 0
i) 4 sin 2 2 x 2 1 2 sin 2 x
j) 2 sin 2

x
4

3cos

x
4

2 sin 2 x.

2

0

0

13


CHƯƠNG II: ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
BÀI 1. QUY TẮC ĐẾM
A. LÝ THUYẾT:
1. Quy tắc cộng
a) Định nghĩa: Xét một công việc H .
Giả sử H có k phương án H1 , H 2 ,..., H k thực hiện cơng việc H . Nếu có m1 cách thực hiện
phương án H1 , có m2 cách thực hiện phương án H 2 ,.., có mk cách thực hiện phương án H k và
mỗi cách thực hiện phương án H i khơng trùng với bất kì cách thực hiện phương án H j
( i  j; i, j 1, 2,..., k ) thì có m1  m2  ...  mk cách thực hiện công việc H .
b) Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập A1 , A2 ,..., An đơi một rời nhau. Khi đó: A1  A2  ...  An  A1  A2  ...  An
2. Quy tắc nhân.
a) Định nghĩa: Giả sử một công việc H bao gồm k công đoạn H1 , H 2 ,..., H k . Công đoạn H1 có
m1 cách thực hiện, cơng đoạn H 2 có m2 cách thực hiện,…, cơng đoạn H k có mk cách thực hiện.
Khi đó cơng việc H có thể thực hiện theo m1.m2 ...mk cách.
b) Công thức quy tắc nhân
Nếu các tập A1 , A2 ,..., An đôi một rời nhau. Khi đó:

A1  A2  ...  An  A1 . A2 ..... An .
Chú ý:

3. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng; quy tắc nhân
+ Để đếm số cách thực hiện một công việc H nào đó theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem cơng
việc H đó có bao nhiêu phương án thực hiện? Mỗi phương án có bao nhiêu cách chọn?
+ Để đếm số cách thực hiện công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích cơng việc H được chia
làm các giai đoạn H1 , H 2 ,..., H n và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn H i ( i  1, 2,..., n ).
+ Từ định nghĩa của quy tắc cộng và quy tắc nhân trên, ta thấy rằng:


-

Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta khơng thể hồn thành được cơng việc (khơng có kết quả)
thì lúc đó ta cần phải sử dụng quy tắc nhân.
Nếu bỏ 1 phương án nào đó mà ta vẫn có thể hồn thành được cơng việc (có kết quả) thì lúc
đó ta sử dụng quy tắc cộng.
B. CÁC DẠNG TỐN TỰ LUẬN

Câu 1. Bạn cần mua một áo sơ mi cỡ 30 hoặc 32. Áo cỡ 30 có 3 màu khác nhau, áo cỡ 32 có 4 màu
khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu cách lựa chọn ?
Câu 2. Có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 11 cuốn sách Văn khác nhau và 7 cuốn sách anh văn khác
nhau. Một học sinh được chọn một quyển sách trong các quyển sách trên. Hỏi có bao nhiêu cách lựa
chọn.
Câu 3. Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 8 cuốn sách Hóa lên một kệ
sách sao cho các cuốn sách cùng một mơn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác
nhau .
Câu 4. Có bao nhiêu cách xếp 4 người A,B,C,D lên 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể chứa 4 người.
Câu 5. Trong một giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vịng trịn. Cứ hai đội
thì gặp nhau đúng một lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra .
Câu 6. Từ thành phố A có 10 con đường đi đến thành phố B, từ thành phố A có 9 con đường đi đến
thành phố C, từ B đến D có 6 con đường, từ C đến D có 11 con đường và khơng có con đường nào

nối trực tiếp B với C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D.
Câu 7. Hội đồng quản trị của cơng ty X gồm 10 người. Hỏi có bao nhiêu cách bầu ra ba người vào
ba vị trí chủ tịch, phó chủ tịch và thư kí, biết khả năng mỗi người là như nhau.
Câu 8. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho:
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ?
b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề nhau?
c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi kề nhau?
Câu 9. Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ
ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau:
a) Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau.
b) Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau.
Câu 10. Cho các chữ số 1, 2, 3,..., 9. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đơi một
khác nhau.
Câu 11. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là:
a) Số chẵn
b) Số lẻ
c) Số chia hết cho 5
Câu 12. Cho tập A  1,2,3,4,5,6,7,8
a) Có bao nhiêu tập con của A chứa số 2 mà không chứa số 3
b) Tức các chữ số thuộc tập A, lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số không bắt đầu
bởi 123.

15


BÀI 2. HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP
A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1. Hốn vị: Cho tập hợp A có n phần tử  n  1 . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của
tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số các hốn vị của tập hợp có n phần tử được

kí hiệu là Pn
Định lí 1: Pn  n(n  1)...2.1  n! với Pn là số các hốn vị.
Chú ý:
+ Có n! cách xếp n người vào n ghế xếp thành một dãy.





+ Có n  1 ! cách xếp n người vào n ghế xếp quanh một bàn trịn nếu khơng có sự phân biệt giữa
các ghế.
2. Chỉnh hợp: Cho tập A gồm n phần tử  n  1 . Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau tử n
phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chinht hợp chập k
của n phần tử đã cho.
n!
Định lý 2: Ank  n  n  1 ...  n  k  1 
với Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử
 n  k !

1  k  n  .
3. Tổ hợp: Giả sử tập A có n phần tử  n  1 . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử đã cho.
Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử có kí hiệu là Cnk .
QUY ƯỚC
0!  1
Định lý 3: Cnk 

Cn0  An0  1

Ank n  n  1 ...  n  k  1

n!


k!
k!
k ! n  k !

Định lý 4 (hai tính chất cơ bản của số Cnk )
a) Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0  k  n . Khi đó Cnk  Cnnk .
b) Hằng đẳng thức Pascal: Cho số nguyên dương n và số nguyên dương k với 1  k  n . Khi đó
Cnk1  Cnk  Cnk 1 .
B. BÀI TẬP
Vấn đề 1: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp





Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt thuộc tập 1;2;3;4;5 ?
Câu 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 hành khách:
a) Vào 5 ghế xếp thành một dãy.
b) Vào 5 ghế xung quanh một bàn trịn, nếu khơng có sự phân biệt giữa các ghế này.
Câu 3. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác 0 được thành lập từ hai trong năm
điểm trên?
Câu 4. Tổ 1 gồm 10 em, bầu ra 3 cán sự gồm một tổ trưởng, một tổ phó, một thư kí (khơng kiêm
nhiệm) Hỏi có bao nhiêu cách.
Câu 5. Một tổ trực gồm 8 nam và 6 nữ. Giáo viên muốn chọn ra 5 học sinh trực. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn nếu nhóm này có ít nhất một nữ sinh.

Câu 6. Có 30 câu hỏi gồm 15 dễ, 10 trung bình, 5 khó, sắp xếp thành các đề, mỗi đề có 5 câu đủ ba
loại, số câu dễ khơng ít hơn hai. Hỏi lập được bao nhiêu đề?
Câu 7. Có bao nhiêu cách chia một lớp 40 học sinh thành 4 tổ sao cho mỗi tổ có 10 học sinh?
Câu 8. Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, theo cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ
41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Câu 9. Một trung tâm tuyển sinh đại học có 5 cổng. Có bao nhiêu cách chọn để một thí sinh bắt
buộc vào một cổng và ra một cổng khác.
Câu 10. Có 4 con đường nối liền thành phố A và thành phố B, 2 con đường nối liền thành phố B và
C, 3 con đường nối liền thành phố C và D. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?
b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A?
Câu 11. Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các số trên, có thể lập được bao nhiêu:
a) Số có 5 chữ số
b) Số có 5 chữ số khác nhau
c) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau
d) Số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
e) Số gồm 4 chữ số và nhỏ hơn 5000.
Câu 12. Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số mà cả hai đều là số chẵn?
Câu 13. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau?
Câu 14. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 6 chữ số khác nhau?
Câu 15. Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai
điểm trong các điểm đó?
Câu 16. Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được
bao nhiêu tam giác?
Câu 17. Từ tập A  0,1, 2,3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Câu 18. Một tập thể gồm 6 nam và 8 nữ. Có bao nhiêu cách chọn chọn 1 tổ cơng tác gồm:
a) 6 người
b) 6 người trong đó có 1 nhóm trưởng
c) 6 người, trong đó có 1 đội trưởng và 1 đội phó
d) 6 người trong đó có cả nam lẫn nữ

e) 6 người sao cho có đúng 3 nam
f) 6 người sao cho có ít nhất 2 nữ
Câu 19. Một cái hộp có 5 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Từ cái hộp trên, có bao
nhiêu cách chọn ra:
a) 6 quả cầu
b) 6 quả cầu trong đó có đúng 2 quả cầu trắng
c) 6 quả cầu trong đó có ít nhất 3 quả cầu trắng.
d) 4 quả cầu có đủ 3 màu.
Câu 20. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 chiếc ghế được kê thành hàng ngang,
sao cho:
a) Nam và nữ ngồi xen kẽ.
b) Các bạn nam ngồi liền kề.
Câu 21. Một bình đựng 12 viên bi, trong đó có 7 bi vàng và 5 bi đỏ. Lấy ra 5 viên bi. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn nếu:
a) Bốc tùy ý.
b) Có 2 bi đỏ, 3 bi vàng.
c) Có nhiều nhất hai bi đỏ.
d) Có ít nhất 3 bi đỏ.
Câu 22. Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song
với nhau và năm đường thẳng vng góc với bốn đường thẳng song song đó?
Câu 23. Một lớp có 25 em học sinh nam và 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn:

17


a) 1 ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quỹ và 4 uỷ viên
b) 1 ban văn nghệ gồm 5 em trong đó có đúng 2 em nữ
c) Một đội trực sao đỏ gồm 5 em sao cho có ít nhất 3 em nam
d) Một đội trực nhật gồm 4 em sao cho có nhiều nhất là 2 em nữ
Câu 24. Có bao nhiêu cách chọn một lớp trưởng, một lớp phó, một thủ quỹ từ một lớp có 40 em?

Câu 25. Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Từ các số trên, có thể lập được bao nhiêu số:
a) Số gồm 4 chữ số khác nhau
b) Số lẻ gồm 5 chữ số khác nhau
c) Số chẵn gồm 4 số khác nhau
Vấn đề 2: Phương trình đại số, tổ hợp
Giải các phương trình sau:
9
8
A10
a)
x  Ax  9 Ax
b)

2Cn2

c)

Px A  72  6( A  2Px )

d)

Cnn21  Cnn 2 

1

3 An2

2
x

20

0

2
x

e)

5 2
A
2 n
2 Ax2  Cxx 1  23x

f)

2(Cx2  Cx3 )  3x 2  5x

g)

Ax21  C1x  79

h)

C1x  6Cx2  9 x 2  20 x


BÀI 3. NHỊ THỨC NEWTON
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM
1. Công thức nhị thức Newton

Khai triển  a  b  được cho bởi công thức sau:
n

Với a, b là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có

 a  b

n

n

  Cnk a nk bk  Cn0 a n  Cn1a n 1b  ...  Cnk a n k b k  ...  Cnnb n . 1
k 0

Quy ước a0  b0  1
Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton).
Trong biểu thức ở VP của công thức (1)
a) Số các hạng tử là n  1 .
b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đén 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng
tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
2. Hệ quả
Với a  b  1, thì ta có 2n  Cn0  Cn1  ...  Cnn .
Với a  1; b  1 , ta có 0  Cn0  Cn1  ...   1 Cnk  ...   1 Cnn
k

n

3. Các dạng khai triển cơ bản nhị thức Newton





 x  1  Cn0 xn  Cn1 xn1  Cn2 xn2  ...  Cnk xnk  ...  Cnn1x  Cnn
n
1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...  Cnk xk  ...  Cnn1xn1  Cnn xn
n
k
n 1
n
 x 1  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...   1 Cnk xk  ...   1 Cnn1xn1   1 Cnn xn
n

 Cnk  Cnnk
 Cnk  Cnk 1  C k 1,  n  1
n1
 k.Cnk 


n  n  1!
k.n !

 nCnk11
 n  k !k!  n  k ! k  1!

n  n  1!
1
k.n !
1
Cnk 



Cnk11
k 1
 k  1 n  k !k !  n  1 n  k ! k  1! n  1

4. Tam giác Pascal.

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật sau: Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất
ghi hai số 1. Nếu biết hàng thứ n  n  1 thì hàng thứ n+1tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai

19


số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1
ở đầu và cuối hàng.
Một số công thức cần lưu ý

x 

m n

 x m.n , x m .x n  x mn

xm
 x mn ,
xn

m

n

xm  x n , xn 

1
xn

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước
Phương pháp chung:
- Xác định số hạng tổng quát của khai triển T k 1Cnk a nk bk (số hạng thứ k  1 ).
- Từ T k 1 kết hợp với u cầu bài tốn ta thiết lập một phương trình (thơng thường theo biến k ).
- Giải phương trình để tìm kết quả.
Câu 1. Xác định hệ số của x 25 . y10 trong khai triển  x3  xy 

15

Câu 2. Trong khai triển  x  y  , xác định hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 .
11

Câu 3. Xác định hệ số của x 6 trong khai triển  2  3x  .
10

Câu 4. Xác định hệ số của số hạng chính giữa của khai triển  3x  2 y 

4

10

3 


Câu 5. Trong khai triển  2 3 x 
 ,  x  0  , hãy xác định số hạng không chứa x .
x

1

Câu 6. Xác địn số hạng thứ 5 trong khai triển  a 2   .
b

10

1 

Câu 7. Trong khai triển  2x3  2  , hãy tìm số hạng khơng phụ thuộc vào x ?
x 

n

 1

Câu 8. Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức  2  x3  , biết rằng: Cn1  Cn3  13n ,
x

n ,n  2 , x  0
n

1

Câu 9. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  x 2  3  biết n là số nguyên dương thỏa mãn

x 

1
3
Cn  Cn  13n.


BÀI 4. BIẾN CỐ
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM
I. PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ KHÔNG GIAN MẪU
1. Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử): là một phép thử mà ta khơng đốn trước được kết
quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
2. Khơng gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xẩy ra của một phép thử được gọi là không gian
mẫu của phép thử đó và ký hiệu là  .
Ví dụ: Khi ta tung một đồng xu có 2 mặt, ta hồn tồn khơng biết trước được kết quả của nó, tuy
nhiên ta lại biết chắc chắn rằng đồng xu rơi xuống sẽ ở một trong 2 trạng thái: sấp (S) hoặc ngửa
(N).
Không gian mẫu của phép thử là   S ; N 
II. BIẾN CỐ
1. Một biến cố A (còn gọi là sự kiện A ) liên quan tới phép thử T là biến cố mà việc xẩy ra hay
khơng xẩy ra của nó cịn tùy thuộc vào kết quả của T .
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho biến cố A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A .
2. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu bởi  A . Để đơn giản, ta có thể dùng chính chữ
A để kí hiệu tập hợp các kết quả thuận lợi cho A .
Khi đó ta cũng nói biến cố A được mơ tả bởi tập A .
3. Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xẩy ra khi thực hiện hiện phép thử T . Biến cố chắc chắn được
mô tả bởi tập  và được ký hiệu là  .
4. Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xẩy ra khi thực hiện phép thử T . Biến cố không thể
được mô tả bởi tập  .
5. Các phép toán trên biến cố

* Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A , kí hiệu là A . Giả sử A và B là hai biến cố
liên quan đến một phép thử. Ta có:
* Tập A  B được gọi là hợp của các biến cố A và B .
* Tập A  B được gọi là giao của các biến cố A và B .
* Nếu A  B   thì ta nói A và B xung khắc.

6. Bảng đọc ngơn ngữ biến cố.
Kí hiệu

Ngơn ngữ biến cố

A

A là biến cố

A

A là biến cố không

A

A là biến cố chắc chắn

C  A B

C là biến cố “ A hoặc
B”

21

C  A B

C là biến cố “ A và
B”

A B  

A và B xung khắc

BA

A và B đối nhau

B. BÀI TẬP
Dạng 1 : Mô tả biến cố, không gian mẫu
Câu 1. Xác định không gian mẫu của phép thử : « Gieo một con súc sắc ». Xác định biến cố A:
« Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ »
Câu 2. Hãy mô tả không gian mẫu  khi tung ba đồng xu
Câu 3. Hãy mô tả không gian mẫu khi thực hiện phép thử : Lấy ngẫu nhiên từng quả cầu đánh số
1 ;2 ;3 ra và xếp thành một hàng ngang để được một số có ba chữ số.
Câu 4. Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ 1 đến 10 . Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Gọi A là biến cố để
tổng số của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8 . Tính số phần tử của biến cố A
Câu 5. Gieo con súc sắc hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6
chấm. Liệt kê các phần tử của biến cố A .


BÀI 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM
I. Phép thử và biến cố.

1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:
 Kết quả của nó khơng đốn trước được;
 Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.
Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T . Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử
được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ  (đọc là ô-mê-ga).
2. Biến cố
Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc
vào kết quả của T .
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là kết quả thuận lợi cho A .
Tập hơp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là  A hoặc n( A) .
 Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T , kí hiệu là  .
 Biến cố khơng thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T , kí hiệu là  .

II. Tính chất : Giả sử  là không gian mẫu, A và B là các biến cố.
  \ A  A được gọi là biến cố đối của biến cố A.
 A  B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra.
 A  B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra. A  B còn được viết là AB.

 Nếu AB   , ta nói A và B xung khắc.
III. Định nghĩa cổ điển của xác suất:

Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu  là một tập hữu hạn. Giả sử A là một
biến cố được mô ta bằng  A   . Xác suất của biến cố A , kí hiệu bởi P( A) , được cho bởi cơng
thức
P( A) 

A




Số kết quả thuận lợi cho A
.
Số kết quả có thể xảy ra

Chú ý:
 0  P( A)  1.
 P()  1, P()  0

B. BÀI TẬP
Dạng: Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển
Phương pháp giải  Tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng công thức :
P( A) 

A

.

Câu 1. Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5
viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ.
Câu 2. Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2
người được chọn đều là nữ.

23


Câu 3. Trong trị chơi “Chiếc nón kì diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong 7 vị
trí với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt
dừng lại ở ba vị trí khác nhau.

Câu 4. Một túi đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất để cả hai bi đều đỏ.
Câu 5. Một tổ học sinh có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho hai
người được chọn đều là nữ.
Câu 6. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện mặt có số chấm chia
hết cho 3 .
Câu 7. Một lơ hàng có 20 sản phẩm, trong đó 4 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó.
Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có khơng q 1 phế phẩm.
Câu 8. Trên giá sách có 4 quyển sách tốn, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3
quyển sách. Tính xác suất để trong ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là toán.
Câu 9. Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố: “ Hiệu số chấm
xuất hiện trên 2 con xúc sắc bằng 1 ”.
Câu 10. Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính
xác suất để 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt.
Câu 11. Gọi ngẫu nhiên 4 học sinh trong 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Tính xác suất để 4 học
sinh được gọi có cả nam và nữ.
Câu 12. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Tìm số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.
Câu 13. Có 2 hộp chứa bi. Hộp thứ nhất có 4 bi đỏ, 3 bi trắng. Hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 4 bi trắng.
Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi. Tính xác suất để 2 bi cùng màu.
Câu 14. Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất 4
thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.
Câu 15. Một sọt Cam có 10trái trong đó có 4 trái hư. Lấy ngẫu nhiên ra 4 trái
a) Tính xác suất để lấy được 3trái hư.
b) Tính xác suất để lấy được 1trái hư
c) Tính xác suất để lấy được ít nhất 1trái hư.
Câu 16. Một hộp gồm 10 viên bi trắng, 8 viên bi đỏ, 7 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi.
a) Tính xác suất để thu được 3 viên bi cùng màu.
b) Tính xác suất để thu được 3 viên bi khác màu.
c) Tính xác suất để có ít nhất 1 bi xanh.
Câu 17. Một lớp 20 học sinh trong đó có 12 bạn nam và 8 bạn nữ. Cô giáo chủ nhiệm chọn ngẫu

nhiên ra 3 bạn đi trực thư viện.
a) Tính xác suất để cả 3 bạn đó đều là nam.
b) Tính xác suất để có ít nhất 1 bạn nữ.
Câu 18. Một lớp 20 học sinh trong đó có 12 bạn nam và 8 bạn nữ. Cô giáo chủ nhiệm chọn ngẫu
nhiên ra 3 bạn Một cái hộp chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộp
đó. Tính xác suất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh.
Câu 19. Một lớp có 35 đồn viên trong đó có 15 nam và 20 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 đoàn viên
trong lớp để tham dự hội trại 26 tháng 3 . Tính xác suất để trong 3 đồn viên được chọn có cả nam
và nữ.


CHƯƠNG III: DÃY SỐ, CẤP SÓ CỘNG, CÁP SỐ NHÂN
BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
1. Phương pháp quy nạp toán học: Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên
*
n
là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm như sau:
Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n 1.
Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n k 1 (gọi là giả thiết quy nạp),
chứng minh rằng nó cũng đúng với n k 1.
Đó là phương pháp quy nạp tốn học, hay cịn gọi tắt là phương pháp quy nạp.
Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n 1 nên theo kết quả ở
bước 2, nó cũng đúng với n 1 1 2. Vì nó đúng với n 2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng
với n 2 1 3,... Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên
n

*

.

2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n
thì:
Bước 1. ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p;
Bước 2. giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n
đúng với n

k

k

p ( p là một số tự nhiên)

p và phải chứng minh rằng nó cũng

1.

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng: Ứng dụng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n)  Q(n) (hoặc P(n)  Q(n) ) đúng với
n  n0 , n0 

ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính P(n0 ), Q(n0 ) rồi chứng minh P(n0 )  Q(n0 )
Bước 2: Giả sử P( k)  Q( k); k  , k  n0 , ta cần chứng minh

P( k  1)  Q( k  1) .
Câu 1. Chứng mình với mọi số tự nhiên n  1 ta ln có: 1  2  3  ...  n 

n(n  1)
.
2

Câu 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên n  1 ta luôn có: 1  3  5  ...  2n  1  n2 .
Câu 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 , ta luôn có
n(n  1)(2n  1)
6
1 2
n 3 2n  3
b)
 2  ...  n  
3 3
4 4.3n
3
Câu 4. Chứng minh các đẳng thức sau

a)

12  22  ...  (n  1)2  n2 

a) 1.2  2.3  ...  n(n  1) 
b)

n  n  1 n  2 
3

với n  1

1

1
1
1
n


 ... 

1.5 5.9 9.13
 4n  3 4n  1 4n  1

25