BỘ TÀI LIỆU ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 11 FULL HỌC KÌ II

Header Page 1 of 145.

QUẢ BẠN GẶT ĐƯỢC NGÀY MAI QUYẾT
ĐỊNH BỞI NHÂN BẠN GIEO HÔM NAY

Hệ thống bài tập đa dạng.
Phân dạng rõ ràng.
Hơn 700 câu trắc nghiệm.

Footer Page 1 of 145.


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page 2 of 145.

CHUYÊN ĐỀ .
GIỚI HẠN - HÀM SỐ LIÊN TỤC

Footer Page 2 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 2


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Page CỦA
3 of 145.
I.Header
GIỚI HẠN

DÃY SỐ
Giới hạn hữu hạn

Giới hạn vô cực

1. Giới hạn đặc biệt:

1. Giới hạn đặc biệt:

1
1
 0 ; lim k  0 (k 
n  n
n  n
lim



lim n  

)

n 

n 

2. Định lí:

2. Định lí :

a) Nếu lim un   thì lim

a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
 lim (un + vn) = a + b
 lim (un.vn) = a.b

thì

b) Nếu un  0, n và lim un= a

thì

c) Nếu un  vn ,n và lim vn = 0
thì lim un = 0


un
= 
vn


nếu a.vn  0
neáu a.vn  0


lim(un.vn) = 


neáu a  0
neáu a  0

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ định:

d) Nếu lim un = a thì lim un  a

0 
,
,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ
0 

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u1
1 q

lim

d) Nếu lim un = +, lim vn = a

un  a

S = u1 + u1q + u1q2 + … =

un
=0
vn

c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0

un a


(nếu b  0)
vn b

thì a  0 và lim

1
0
un

b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim

 lim (un – vn) = a – b

 lim

)

lim q n   (q  1)

lim C  C

lim q  0 ( q  1) ;
n



lim nk   (k 

 q  1

định.

LƯU Ý:
1.

Định lí kẹp: Nếu un  vn ,n và lim vn = 0

thì

lim un = 0

2. Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
 Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của
tử và của mẫu.
 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng
dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
3. Một số tổng thường gặp
Footer Page 3 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 3


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page 4 of 145.n n  1
 .
S1  1  2  3  ...  n 
2

S2  12  22  32  ...  n2 

n2  n  1
S3  1  2  3  ...  n 
.
4
2

3

S5 

A.

3

3

n  n  1 2n  1
.
6

S4  1.2  2.3  3.4  ...   n  1 .n 

3

1
1
1

n

 ... 

.
1.2 2.3
n(n  1) n  1

n(n  1)(n  1)
3

S6  1  3  5...   2n  1  n2 .

BÀI TẬP TỰ LUẬN

DẠNG 1:


Giới hạn các giới hạn sau:


1)

2n 2  n  3
3n 2  2n  1

2) lim

2n  1
3

n  4n 2  3

3) lim

3n3  2n 2  n
n3  4

n4
(n  1)(2  n)( n 2  1)

5) lim

1  3n
4  3n

6) lim

4.3n  7 n 1
2.5n  7 n

lim

4) lim

7) lim

4n 1  6n  2
5n  8n

10) lim

4n 2  1  2 n  1

8) lim

n2  3  n  4

9) lim

n 2  4n  1  n

n2  2  n

n 2  3 1  n6
n4  1  n2

DẠNG 2:    Giới hạn các giới hạn sau:
1) lim





n 2  2n  n  1



4) lim 1  n2  n4  3n  1

2) lim





n2  n  n2  2

5) lim  n2  3n  n2  1 



3) lim



3



2n  n 3  n  1

6) lim  3 n3  3n2  n 

DẠNG 3: GIỚI HẠN DÃY SỐ

 1

1
1


 ... 
1) lim 

(2n 1)(2 n 1) 
 1.3 3.5

 1

1
1

 ... 
2) lim 

n( n  2) 
 1.3 2.4

1 
1
1


3) lim 1  2 1  2  ... 1  2 
 2  3 
 n 

4) lim

1  2  22  ...  2 n
1  3  32  ...  3n



1
1
1
5) lim 

 ... 

n n  1  (n  1) n 
1 2  2 1 2 3  3 2
u  0; u2  1
6) Cho dãy số (un) được xác định bởi:  1
2un  2  un 1  un , (n  1)

Footer Page 4 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 4


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page 5 of 145.
1
a) Chứng minh rằng: un+1 =  un  1 , n  1.
2
b) Đặt vn = un –

2
. Giới hạn vn theo n. Từ đó tìm lim un.
3

DẠNG 4: CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Giới hạn tổng các CSN sau:
1) 2  2  1 

1 1 1
2) 3  1    ...
3 9 27

1 1
 ...
2 2

3)

1 1 1 1 1
    ...
2 4 8 16 32

Viết các số sau dưới dạng phân số
1)1,(01).

2)2,(17).

3)3,020202020..

4)4,115115115….

5)3,666666..

6)1,(23).

7)2,(03).

8)4,(11).

1
C.  .
2

1
D.  .
3

C. 2.

D. .

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu [1]
A. 1.

Giới hạn lim
B.

Câu [2]

Giới hạn lim

2n  1
bằng:
2  3n
2
.
3
2n 2  3n  1
bằng:
2  3n  n 2

2
B.  .
3

A. 1.
Câu [3]

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
n

3
A. lim 2 n  0. B. lim    0.
 

Câu [4]
A. 0.

B.

Câu [5]

1
A. .
3

n

 0.

 
D. lim  
3

n

 0.

1  3 n2  n
bằng:
n
2
.
3

C. .

D. 1.

1
C.  .
4

D.

2
C.  .
3

D. 1.

n 3  2n  1
Giới hạn lim 2
bằng:
3n  4n3  2

2
B.  .
3

Câu [6]
A. 0.

Giới hạn lim

2
C. lim  
3

Giới hạn lim

1
.
2

4n  1
bằng:
n 2  6n

B. 4.

Footer Page 5 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 5


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page 6 of 145.
1  2n 2
Câu [7]
Giới hạn lim
bằng:
3n  2

2
B.  .
3

A. .

Câu [8]

B.

Câu [9]

Giới hạn lim

1
A. .
2

B.

Câu [10]

Giới hạn lim

A. .
Câu [11]

D. .

C. 0.

D. .

C. 0.

D. .

2n  3
bằng:
n 1

Giới hạn lim

A. 2.

1
C.  .
2

2.

n2  n  1
bằng:
3 n  2n  1

1
.
3
n. 3 n3  1  n n
2n n 2  1  1

bằng:

B. 0.

C.

1
.
2

D. 1.

Với a là số thực dương. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng:

A. lim an  0  a  1.

B. lim an    a  1.

C. lim an  0  a  1. D. lim an    a  1.
Câu [12]
A. .

Câu [13]
A. .
Câu [14]
A. .
Câu [15]
A. .
Câu [16]

Giới hạn lim





n2  n  1  n2  1 bằng:

B. 0.

Giới hạn lim

n  3 n3  1
n2  1  n

B.
Giới hạn lim

1
D.  .
2

C.

1
.
2

D. 1.

2n  3n
bằng:

4n

1
.
2

C. 0.

D.

3
.
4

2
.
3

D.

4
.
3

22 n  3
bằng:
1  3n

B. 0.
Giới hạn lim

1
.
2

bằng:

B. 0.
Giới hạn lim

C.

C.

3n 1  4n 1
bằng:
3n  2  22 n  4

Footer Page 6 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 6


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header
1 Page 7 of 145. 4
A.  .
B. .

7
9
Câu [17]

1
C.  .
4

n

A. S 

2
5
C. lim    lim   .
3
6

5
B. lim    0
4

Cấp số nhân lùi vô hạn 5, 5,1,

5
.
1 5

Câu [19]

B. S 

1 5
.
5

C. S 

5
.
1 5

B. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn, u1 

2
1
,q 
, cộng thêm 1.
100
100

C. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn, u1  2, q 

1
.
100

D. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn, u1  2, q 

1

, cộng thêm 1.
100

A. .
Câu [23]
A. .
Câu [24]
A. .
Câu [25]

B. S  65535.

C. S  262143.

D. S  87381.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn -3; 0,3; -0,03; 0,003… là:

10
.
3

Câu [22]

1 5
.
5

Tổng S = 1 + 4 + 16 +…65536 bằng:

A. S  21845.

A. S  

D. S 

Số thập phân vơ hạn tuần hồn 1,0202020202…. chính xác bằng:

2
1
,q 
.
100
100

Câu [21]

1
 3
D. lim    lim   .
 3
2

1
,... Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:
5

A. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn, u1 

Câu [20]

13
.
75

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. lim10 n  0 .

Câu [18]

D.

B. S  

30
.
11

C. S 

10
.
3

D. S 

30
.
11

 1
1
1 
 ... 
Giới hạn lim  
 bằng:
1.2
2.3
n
n

1




B. 0.

C. 1.

D. 2.

2n  1 
 1 3 5
Giới hạn lim  2  2  2  ...  2  bằng:
n 
n n n
B. 0.

C. 1.

D. 3.

 1
1
1 
Giới hạn lim 

 ... 
 bằng:
2
n2  2
n2  n 
 n 1

B. 0.

C. 1.

D. 3.

Chọn câu đúng trong các câu sau:

2n 2  4
lim Pagen 7 of 145.
0.
A.Footer
n

B. lim

Fb: 01636 920 986 : ,

2n 2  4
 .
nn
Trang 7


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page
8 of 145.
2n 2  4
C. lim
 2.
nn

2n 2  4
D. lim
 2.
nn

Footer Page 8 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 8

Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

of 145.
II.Header
GIỚI Page
HẠN9CỦA
HÀM SỐ
Giới hạn hữu hạn

Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực

1. Giới hạn đặc biệt:

1. Giới hạn đặc biệt:

lim x  x0 ;

lim c  c (c: hằng số)

x  x0

 neáu k chaün
lim x k   ; lim x k  
x 
x 
 nếu k lẻ

x  x0

2. Định lí:

x  x0

x 

x  x0

thì: lim  f ( x )  g( x )  L  M
x  x0

lim  f ( x )  g( x )  L  M

x  x0

x  x0

f (x)  L

1
 
x

x  x0

0 neáu lim g( x )  
x  x0
f ( x ) 
lim
  neáu lim g( x )  0 vaø L.g( x )  0
x  x0 g( x ) 
x  x0


g( x )  0 vaø L.g( x )  0
 neáu xlim
 x0


c) Nếu lim f ( x )  L thì lim f ( x )  L
x  x0

0

 nếu L và lim g( x ) cùng dấu

x  x0
lim f ( x )g( x )  
g( x ) trái dấu
x  x0
 nếu L và xlim
 x0


b) Nếu f(x)  0 và lim f ( x )  L

x  x0

1
1
 lim  
x x 0 x

x 0

xk

Nếu lim f ( x )  L  0 và lim g( x )   thì:

f ( x) L

(nếu M  0)
g( x ) M

thì L  0 và lim

lim

lim

c

2. Định lí:

x  x0

x  x0

1
  ;
x

x 0

lim  f ( x ).g( x )  L.M

x 

lim

x 0

x  x0

lim

lim

lim c  c ;

a) Nếu lim f ( x )  L và lim g( x )  M

x  x0

3. Giới hạn một bên:
lim f ( x )  L 

x  x0

* Khi Giới hạn giới hạn có một trong các dạng vơ

 lim  f ( x )  lim  f ( x )  L

định:

x  x0

x  x0

0 
, ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng
0 

vơ định.

A.

BÀI TẬP TỰ LUẬN

DẠNG 1: GIỚI HẠN KHƠNG VÔ ĐỊNH

1)

2

1 x  x  x
x 0
1 x
lim

4) lim

x 1

3

x 1
x4  x  3

2) lim

x 1

5) lim

x 2

3x  1  x
x 1



sin  x  

4
3) lim

x
x

x2  x  1
x 1

6) lim

2

2

x 1

x2  2x  3
x 1

0
DẠNG
VÔ9ĐỊNH
Footer2:
Page
of 145.DẠNG 0
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 9


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header 3Page2 10 of 145.
x  x  x 1
1) lim
x 1 x 2  3 x  2
4) lim

2) lim

x 1

x 3  5x 2  3x  9

x 3

x 4  8x 2  9

(1  x )(1  2 x)(1  3 x)  1
x 0
x

x 2

13) lim

x 2

16) lim

4x 1  3
x2  4

19) lim

x 0

1) lim

x 

4) lim

x 

14) lim

x 7 3

x 1

1 x 1

17) lim

x 1

20) lim

x 1

4x  4  2

.

2 x  2  3x  1
x 1
x  3  2x

x 2  3x

x 3

1 x  3 1 x
x

DẠNG 3: VÔ ĐỊNH DẠNG

x  x 2  ...  x n  n
x 1
x 1
3

3

8x  11  x  7
x 2  3x  2

x 2

6) lim

xm 1

x 1

8) lim

x 1 3

x 2 2

x 0 3 1 

(1  x )2

11) lim

x3  1

x 1

x  5x 5  4 x 6

x 1

x5  1

3) lim

x3  2 x2  x

5) lim

7) lim

10) lim

x4 1

xn 1

9) lim

x 2

x 4  16
x3  2 x2

12) lim

x 0

1  x2  1
x

x2  1  1

15) lim

x 0

x 2  16  4
x  9  x  16  7
x

18) lim

x 0

2 1 x  3 8  x
x 0
x

21) lim


; . 0


x2  1
2x2  x  1

x2  2x  3  4x  1
4x2  1  2  x

2) lim

x 

5) lim

2x2  x  1
x 2

4x2  2x  1  2  x
9 x 2  3x  2 x

x 

3) lim

x 

6) lim

x 

2x2  1
x 3  3x 2  2
x x 1
x2  x  1

DẠNG 4: VÔ ĐỊNH DẠNG  - 
1) lim  x 2  x  x 
x  


2) lim  2 x  1  4 x 2  4 x  3 
x  


3
3) lim  x 2  1  x 3  1 
x  





4) lim  x  x  x  x 
x  


5) lim

x 

 3 2x 1  3 2x  1

 1
3 

7) lim 

x 1  1  x 1  x 3 

6) lim

x 

 3 3x 3  1 

x2  2





1

1

8) lim 

2
2
x 2  x  3 x  2 x  5 x  6 

Footer Page 10 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 10


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page 11 of 145.
9)

lim 

x

x 

12) lim

x 

15) lim

x 0

3



2

1  x

x2  x  3  x

2

10) lim ( x  x  x  1)

11) lim

5x  3 1  x
x 
1 x

14) lim

x  

x 



13) lim

x 

x2  1  x
5  2x
x 2  2 x  3x
4x2  1  x  2

x 1  1 x
x

DẠNG 5: GIỚI HẠN MỘT BÊN
1) lim
x 2

4) lim
x 2

x  15
x 2

x2  4
x 2

2 x 2  3x  2
7) lim 
x2
x 2

2) lim
x 2

5) lim
x 2

2 x



8) lim
x 1

x  15
x 2

2

2 x  5x  2
x 1
x 2  3x  4

3) lim
x 3

6) lim
x 2



1  3x  2 x 2
x 3
2 x
2

2 x  5x  2

3x3  4 x  1
9) lim 
x 1
x 1

10) Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
 1 x 1
khi x  0

 3 1 x 1
a) f ( x )  
taïi x  0
3
khi x  0

2

 9  x2

b) f ( x )   x  3 khi x  3

1  x khi x  3

 x2  2x

3

c) f ( x )   8  x
4
 x  16
 x  2

 x 2  3x  2
khi x  1

2
d) f ( x )   x  1
taïi x  1
 x
khi x  1
 2

khi x  2

taïi x  2

khi x  2

taïi x  3

11) Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra::
 x3  1


a) f ( x )   x  1 khi x  1

mx  2 khi x  1

taïi x  1

 1
3

khi x  1

taïi x  1
b) f ( x )   x  1 x 3  1
m2 x 2  3mx  3 khi x  1


x  m
khi x  0
 x  3m
khi x  1

c) f ( x )   x 2  100 x  3
taïi x  0 d) f ( x )   2
taïi x  1
x

x

m


3
khi
x


1
khi
x

0


x 3


B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Footer Page 11 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 11


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header
12cho
of 145.
Sử
dụng Page

đề sau
câu [1], [2], [3]
2 x  1, x  0
Cho hàm số f  x    2
.
 x  3 x, x  0

Câu [1]
A.1

Giới hạn lim f  x  bằng:
x 0

B.0

Câu [2]
A.1

A.1

A.1

A.1

A.1

Cho hàm số f  x  

2x 1
x

A.1

A. 3.

Cho hàm số f  x  

A. .
Câu [10]
A. .

1
2

x
x

D.1/2

. Giới hạn lim f  x  bằng:
x 0

C.-1

D. Không tồn tại.

 x  3a, x  0
Cho hàm số f  x    2
. Với giá trị nào của a thì hàm số có giới hạn khi x tiến đến 0:
 x  a  2, x  0

C.2

D.3

 x  3a, x  0
Cho hàm số f  x    2
. Với giá trị nào của a thì hàm số có giới hạn khi x tiến đến 0:
 x  a  2, x  0

C.2

D.3

3x 2  2 x  1
bằng:
x 2
x2  2

Giới hạn lim

3
.
2

B.

Câu [9]

x

C.2

B.0

Câu [8]

D.Không tồn tại.

. Giới hạn lim f  x  bằng:

B.0

Câu [7]

C.3

x 0

B.0

Câu [6]

D.-3

Giới hạn lim f  x  bằng:

B.0

Câu [5]

C.3

x 0

B.0

Câu [4]

D.-3

Giới hạn lim f  x  bằng:
B.0

Câu [3]

C.3

Giới hạn lim
x 2



C.

9
.
4

D. .



2 x 2  2 x  1  3x bằng:

B. 0.

5  6.

C. 5.

D.

C. 1.

D. 3.

x 2  3x  2
Giới hạn lim
bằng:
x 1
x 1

B. 1.

x2  9
Câu [11] Giới hạn lim
bằng:
x 3 x  3
Footer Page 12 of 145.

Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 12


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page 13 of 145.
A. .
B. 6.
Câu [12]

x 3

B. 0.

Câu [13]
A. lim
x 1

B. lim
x 1

1 2x
 
x 1

B. 4.
Giới hạn lim
x 1

x 2

B.

Giới hạn lim

x 2

A. 2.

B.

Giới hạn lim
x 3

A.1.

1
.
2

1
.
2

x 1  2
x 6 3

Cho hàm số f  x  

n

A.2.

1
C.  .
2

D. .

C.

2.

D.

1
.
2

C.

2.

D.

1
.
2

x2  2  2
bằng:
x 2 2

bằng:
C.2/3.

n

Cho hàm số f  x  
B.3/2.

D.3.

x 1
. Trong các dãy số sau, dãy nào thỏa lim f  xn   1 :
x 
x 1

3
1
A.  xn  : xn    . B.  xn  : xn    .
2
4

Câu [20]

D. 0.

x2 2

bằng:
2x  2

B.3/2.

Câu [19]

C. 1.

x 1
bằng:
x  3x  2

Giới hạn lim

A. 2.

Câu [18]

1 2x
 
x 1 x  1

D. lim

2

B. .

Câu [17]

1 2x
 
x 1 x  1

C. lim

x2  6 x  5
bằng:
x 1 x 3  2 x 2  1

A. 1.

Câu [16]

D. 6.

Giới hạn lim

A. .
Câu [15]

C. 1.

Trong các câu sau, câu nào đúng

1 2x
 
x 1

Câu [14]

D. 6.

x2  9
bằng:
x 3

Giới hạn lim

A. .

1
C.  .
3

C.  xn  : xn  3n.

D.  xn  : xn  nn .

2x2  x 1
, với dãy (xn) bất kì thỏa lim xn  1 , thì lim f  xn  bằng:
n 
x 1

C.3.

D. .

Footer Page 13 of 145.

Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 13


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header
14 of 145.
III.
HÀMPage
SỐ LIÊN
TỤC
1. Hàm số liên tục tại một điểm:

y = f(x) liên tục tại x0  lim f ( x )  f ( x0 )
x  x0

 Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x0).
B2: Tính lim f ( x ) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim  f ( x ) , lim  f ( x ) )
x  x0

x  x0

x  x0

B3: So sánh lim f ( x ) với f(x0) và rút ra kết luận.
x  x0

2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và lim f ( x )  f (a), lim f ( x )  f (b)
x a

x b

4.  Hàm số đa thức liên tục trên R.
 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
 Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
 Hàm số y =

f (x)
liên tục tại x0 nếu g(x0)  0.
g( x )

6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm
c (a; b).
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f ( x ) , M = max f ( x ) . Khi đó với mọi T  (m; M) ln
 a;b
 a;b
tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = T.

A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu [1] Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
x 3

a) f ( x )   x  1


1

khi x  1 taïi x  1
khi x  1

 x 3 2
khi x  1

taïi x  1
b) f ( x )   x  1
1

khi x  1
 4

Footer Page 14 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 14


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page 15 of 145.2 3
 2  7 x  5x  x

khi x  2 taïi x  2
c) f ( x )   x 2  3x  2
1
khi x  2



1  cos x khi x  0
e) f ( x )  
 x  1 khi x  0

taïi x  0

 x 5
khi x  5

taïi x  5
d) f ( x )   2 x  1  3
( x  5)2  3 khi x  5

 x 1

f) f ( x )   2  x  1
2 x


khi x  1

taïi x  1

khi x  1

Câu [2] Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
 2
khi x  1

a) f ( x )   x
2mx  3 khi x  1

taïi x  1

 x3  x2  2 x  2

b) f ( x )  
x 1
3x  m

m
khi x  0
 x 2  x  6
c) f ( x )  
khi x  0, x  3
 x( x  3)
khi x  3
n

tại x  0 và x  3

 x2  x  2

d) f ( x )   x  2

m

taïi x  2

khi x  2

khi x  1 taïi x  1
khi x  1

khi x  2

Câu [3] Xét Giới hạn liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
 x3  x  2
 3
a) f ( x )   x  1
4
 3
 x2  4

c) f ( x )   x  2

4

khi x  1
khi x  1

khi x  2
khi x  2

 x 2  3x  4

b) f ( x )  5
2 x  1
 x2  2


d) f ( x )   x  2
2 2


khi x  2
khi x  2
khi x  2

khi x  2
khi x  2

Câu [4] Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
 x2  x  2

a) f ( x )   x  2

m

khi x  2
khi x  2

 x3  x2  2 x  2

c) f ( x )  
x 1

3
x


m


khi x  1
khi x  1

x2  x

b) f ( x )  2
mx  1

khi x  1
khi x  1
khi x  1

 2
d) f ( x )   x
2mx  3

khi x  1
khi x  1

Câu [5] Xét Giới hạn liên tục của hàm số:
Footer Page 15 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 15


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page 16 of 145.
1  x

a) f ( x )   x 2  2 x  3

 2x  6
 12  6 x

c) f ( x )   x 2  7 x  10

2

trên R

1  cos x
khi x  0

2
b) f ( x )   sin x
tại x = 0
1

khi x  0
 4

trên R

 x 2
khi x  0

d) f ( x )  
tại x = 0
1  x khi x  0

khi x  3
khi x  3

khi x  2
khi x  2

Câu [6] Tìm a để hàm số liên tục trên R:

2a 2
a) f ( x)

x3

1
x2 2x
x 1

 x2  x  2

c) f ( x )   x  2

a

2

khi x

1

khi x

1

khi x  2
khi x  2

 x2  1

b) f ( x )   x  1

x  a

khi x  1
khi x  1

 x2  4x  3

d) f ( x )   x  1

ax  2

khi x  1
khi x  1

Câu [7] Chứng minh rằng phương trình:
a) x 3  6 x 2  9x  1  0 có 3 nghiệm phân biệt.

b) m( x  1)3 ( x 2  4)  x 4  3  0 ln có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
c) (m2  1) x 4 – x 3 –1  0 ln có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng  1; 2  với mọi m.
d) x3  mx 2  1  0 ln có 1 nghiệm dương.
e) x 4  3x 2  5x –6  0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
Câu [8] Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thực thoả mãn:

a
b
c

  0 . Chứng minh rằng phương trình:
m  2 m 1 m

f ( x )  ax 2  bx  c  0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

 m 1 
c2
HD: Xét 2 trường hợp c = 0; c  0. Với c  0 thì f (0). f 
0

m(m  2)
 m2

Câu [9]

Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) x3  3x  1  0

b) x 3  6 x 2  9x  1  0

c) 2 x  6 3 1  x  3

Câu [10] Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm:
a) x 5  3x  3  0
Footer Page 16 of 145.

b) x 5  x  1  0

Fb: 01636 920 986 : ,

c) x 4  x3  3x 2  x  1  0
Trang 16


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page 17 of 145.
Câu [11] Chứng minh rằng phương trình: x 5  5x 3  4 x  1  0 có 5 nghiệm trên (–2; 2).
Câu [12] Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
b) x 4  mx 2  2mx  2  0

a) m( x  1)3 ( x  2)  2 x  3  0

c) a( x  b)( x  c)  b( x  c)( x  a)  c( x  a)( x  b)  0 d) (1  m2 )( x  1)3  x 2  x  3  0
e) cos x  m cos2 x  0

f) m(2 cos x  2)  2sin 5 x  1

Câu [13] Chứng minh các phương trình sau ln có nghiệm:

a) ax 2  bx  c  0 với 2a + 3b + 6c = 0

b) ax 2  bx  c  0 với a + 2b + 5c = 0

c) x 3  ax 2  bx  c  0

 1
Câu [14] Chứng minh rằng phương trình: ax 2  bx  c  0 ln có nghiệm x   0;  với a  0, 2a+6b+19c=0.
 3
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu [1]

Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Hàm số y  x 3  5x 2  1 liên tục trên
C. Hàm số y  cos x liên tục trên
Câu [2]

D. Hàm số y  x 2  2 x  2 liên tục trên

.

x 1
liên tục trên  ;2    2;   .
2x  4

C. Hàm số y   x 2  x 4  1 liên tục trên

.



D. Hàm số y 

.



B. Hàm số y  tan x 2  1 liên tục trên

x
liên tục trên
cos2 x

 x 2  x, x  1
Cho hàm số y  
. Với giá trị nào của m thì hàm số trên liên tục trên
2m  1, x  1

A.0.

B.1 hoặc 0.

Câu [4]

1
liên tục trên  ;2.
x

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hàm số y 

Câu [3]

B. Hàm số y  2  x 

.

C.-1.

.

.

:

D.-1/2.

Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Hàm số y 

x2
liên tục trên  ;1 va 1;   .
x 1

B.Hàm số y  sin3  x     x liên tục trên

C. Hàm số y 

x
liên tục trên
x 2

D.Hàm số y 

2

.

1
x 1

.

liên tục trên 1;   .

Footer Page 17 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 17


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page 18 of 145. 2 x  1
Câu [5]
Cho hàm số y 
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng:

3 x
A. Hàm số liên tục trên  ;3   3;   .

2
B. lim y  .
x 
3

C. lim y  .

D. lim y  1.
x 3

x 3

Câu [6]

 x 2  m,
x 1

Cho hàm số y   x  1
. Với giá trị nào của m thì hàm số trên liên tục trên
,x 1

 2  x 1

A.3.

B.-2.

Câu [7]

B. lim y  lim y  0.
x 0

x 0

C. Hàm số liên tục tại x = 0.

x 0

B. lim y 

.

x 2

x 0

Cho hàm số y 

2x

5  x 

1
.
10

1

D. f 1  .
5

C. Hàm số không xác định tại x = 0.

3x  1

. Nhận xét nào dưới đây là sai:

 1

A. Hàm số liên tục trên   ;   .
 3


B. Hàm số liên tục tại x = 10.

C. lim y  0.

D. Hàm số liên tục tại x = 1.

x 

Câu [10]

D. lim y  0.

1
,x  2
 5x

Cho hàm số y  
. Nhận xét nào dưới đây là sai:
x

2

,x  2
 x 3  2 x  4

A. Hàm số liên tục trên

Câu [9]

D.-1.

x
. Nhận xét nào dưới đây là đúng:
x

Cho hàm số y 

A. lim y  0.

Câu [8]

C.1.

:

Cho hàm số y 

2
. Nhận xét nào dưới đây là sai:
x 1

A. Hàm số nghịch biến trên  ;1 , 1;   .
B. Hàm số liên tục trên từng khoảng xác định.
C. lim y  , lim y  .
x 1

x 1

D.Vì hàm số nghịch biến nên f  0   f  x   f  2  , với mọi x   0;2  .

Footer Page 18 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 18


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header
PageSỐ
19 of
ĐỀ
ƠN TẬP
1 –145.
ƠN TẬP CHƯƠNG 4 ĐS
PHẦN 1: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

A.

n2  1

Giới hạn lim

[1]

2n2  n  1

1
.
2

B. 0.
2n  5n1

Giới hạn lim

[2]

1  5n

A.2.

C. .



Giới hạn lim

D.1.

bằng:

B.5.

[3]

C.

2
.
5

D. .



n2  n  n bằng:

A. 0.

B. 1.

1
D.  .
2

C. .

 1
1
1 

 ... 
Giới hạn lim 
 bằng:
n(n  1) 
 1.2 2.3

[4]

A.

bằng:

5
.
4

B.

Giới hạn lim

[5]



3
.
2

C. 1.

D.

4
.
3



3

n2  2n  n3  2n2 bằng:

A.0.

B.

5
.
3

C. 1,67.

D. .

[6] Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) .
x  xo

x  xo

B. lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) .

x  xo

x  xo

C. lim f ( x)  g ( x)  lim [f ( x)  g ( x)] .
x  xo

x 1 x 5

A.0.
[8]

A.

[9]

x3  2 x  1
 2x 1

x2

x 2 2 x

1
.
2

2

 5x  2

x 1

x  xo

C.1.

D. .

C. .

1
D.  .
3

bằng:

B. 0.

Giới hạn lim

x  xo

bằng:

B.2.
Giới hạn lim

x  xo

D. lim f ( x)  g ( x)  lim [f ( x)  g ( x)] .

x  xo

Giới hạn lim

[7]

x  xo

3

5  x3  x2  7
x2  1

11
A.Footer
B.  5.
 .Page 19 of 145.
24

bằng:

C. 

Fb: 01636 920 986 : ,

7
.
16

D. .
Trang 19


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page 20 of 145.
x 3  3x  2
[10] Giới hạn lim
bằng:
x 1 x 4  4 x  3
A. .

B.

1
.
2

2
.
3

C. 1.

D.

C. .

D. .

2 x 2  5x  3
[11] Giới hạn lim 
bằng:
x 3
x 3
A. 0.

B. 2.

[12] Giới hạn lim

x 

1
A.  .
2





x 2  x  x 2  1 bằng:
B. .

[13] Giới hạn lim

3

x 0

A. .

x 

A.0.

1
.
2

1
.
2

3
.
4

D.

2

.
3

C.

2 x 3  3x 2  4 x  1
x 4  5x 3  2 x 2  x  3

bằng:
C. .

B.2.

[15]

D.

1 x  3 1 x
bằng:
x
B.

[14] Giới hạn lim

C. 0.

D. .

Trong các giới hạn sau, giới hạn nào không tồn tại:

A. lim
x 1

x 1
.
x2

x 1
.
2 x

B. lim
x 1

[16] Giới hạn lim

x 

A. 1.

x
2

x 1  x 1

C. lim

x 1

1

C.  .
2

2
3 x

x 1

x 1
.
2 x

D.

1
.
2

. Chọn kết quả đúng:

A. Hàm số liên tục tại mọi x  3 .
[18] Cho hàm số f  x  

D. lim

bằng:

B. 1.

[17] Cho hàm số f  x  

x 1
.
x  2

1
x2  2x  3

B. lim f  x   0
x 

C. lim f  x   0
x 

D. lim f  x   .

. Chọn kết quả sai:

A. lim f  x    lim f  x  .

B. lim f  x   0.

C. Hàm số liên tục tại mọi x  3, x  1 .

D. lim f  x   lim  f  x  .

x 3

x 3

x 1

x 

x 3

x 1

Footer Page 20 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 20


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page 21 of 145.

 x 2  3x

,
[19] Cho hàm số f  x    x  3
ax  1,

A.0.

x 3

. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên

:

x3

B.-1.

C.-1/3.

D.3.

ax  2, x  1
[20] Cho hàm số f  x    2
. Kết quả nào sau đây là sai:
 x  3x, x  1

A. Hàm số liên tục với mọi x   ;1 .
C. Tập xác định của hàm số là: D 

1

[21] Cho hàm số f  x  

x 5

A. lim f  x   lim f  x  .


x 5

x 5

[22] Cho hàm số f  x  

B. Hàm số liên tục với mọi x  1;   .

.

D. Hàm số liên tục tại x = 1 khi a = -4.

. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
B. lim f  x   1.

C. lim f  x   0.

x 6

x 

D. lim f  x   f  6  .
x 6

2x2
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
x

A. Vì lim f  x   lim f  x  nên f(x) liên tục tại x = 0.


x 0

B. Vì f  x  

x 0

2x2
 2 x , nên f(x) là hàm đồng biến trên
x



 



, do đó f 10100000000  f 101000000000 .



 



10
9
2x2
 2 x  0 , nên hàm số nghịch biến trên  ; 0  , do đó f 1010  f 1010 .
C. Với x < 0, f  x  
x

D. Với x > 0, f  x  



  

10
9
2x2
 2 x , nên hàm số đồng biến trên  0;   , do đó f 1010  f 1010 .
x

1 1
1
[23] Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 5   
 ... bằng:
5 25 125

A.

25
.
4

B. 6.

C. 4.

D.

25

.
6

[24] Cho 3 số hạng đầu của một CSN lùi vô hạn là 1, x 2, 2  3x. Tổng của CSN lùi vô hạn này là:
A. 2.

[25]

B.

1
.
3

C.

2  2.

D. 1  2

Cho phương trình 2x 4  5x 2  x  1  0. Khẳng định nào đúng:

A. Phương trình khơng có nghiệm trong khoảng (-1;1).
B. Phương trình khơng có nghiệm trong khoảng (-2;0).
C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2;1).
Footer Page 21 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 21

Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Page
22cóofít145.
D.Header
Phương
trình
nhất một nghiệm trong khoảng (0;2).
PHẦN 2: BÀI TẬP TỰ LUẬN
1.Tính các giới hạn sau: a) lim
x 1

x 2  3x
x2  4x  5

b) lim
x 2

x  2  3 3x  2
x2

3
 1
 3 ,x 1

2. Cho hàm số f ( x)   x  1 x  1
. Tìm m để hàm số liên tục trên R.
m2  2m  2, x  1


3. Viết số sau dưới dạng phân số: 1,123123123123.....
4. CMR ptr sau ln có nghiệm với mọi m: cos x 1  2m cos x   m  m 3 sin 2 x

Footer Page 22 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 22


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page 23 of 145.

ĐỀ ƠN TẬP SỐ 2 – ÔN TẬP CHƯƠNG 4 ĐS

PHẦN 1: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

A.

2n 4  n2  3

lim

[1]
2
.
3

B. 0.

lim

[2]

bằng:

2n2  3n3  1

1  2.3n  7n
5n  2.7n

A. 0.

C. .

D. -1.

bằng:
B. .

C.

1
.
5

1
D.  .
2

Khẳng định nào sau đây là đúng?

[3]

A. lim 3 f ( x)  g ( x)  lim [ 3 f ( x)  3 f ( x)] .

B. lim 3 f ( x)  g ( x)  3 lim f ( x)  3 lim g ( x) .

C. lim 3 f ( x)  g ( x)  3 lim [f ( x)  g ( x)] .

D. lim 3 f ( x)  g ( x)  lim 3 f ( x)  lim 3 g ( x) .

x  xo

x  xo

x  xo

1
x
2

8x 2  1
6 x 2  5x  1

A. .
lim

[5]

A.

x 1

x 3 2

3
.
2

x  10

A. 2.

1
2

2

n 2  n 4

A. .

lim

[8]

A.

1

.
6

C.

1
.
5

D.

4
.
3

C.

4
.
3

D. .

C.-∞.

D.+∞.

1
.
2

D. .

bằng :

B.-2.

lim

[7]

2
.
3

x  x2  x

x  

x  xo

bằng:

B.

[6] Giới hạn lim

x  xo

x  xo

bằng:

B. .
2x  7  3

x  xo

x  xo

x  xo

lim

[4]

x  xo

bằng:

B.0.

1  2  3  ...  n
3n2
B.

C.
bằng:

1

.
3

C.0.

D.

1
.
2

Footer Page 23 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 23


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page 24 of 145.
x 8 3
[9] Tính lim
bằng phương pháp nào là ngắn và đúng nhất:
x 1
x 2



A. Nhân cả tử và mẫu với



x 8 3 .

B. Thay x = 1 vào.

C. Chia cả tử và mẫu cho x.

D. Chia cả tử và mẫu cho

x.

1 4x  3 1 6x
[10] lim
bằng:
x 0
x
A.2.

B.4.

C.0.

D.1.

2  5x
bằng:
x  2 x  1
lim

[11]

5
2

B.  .

A. .
lim

[12]

8  2x  2

x 2

x2



A.0.
lim

x 



D.1.

3  1.

3  1.

C.

D. .



x 2  2 x  x bằng:

A. .

B.0.

x 2

[14] lim

5
.
2

bằng:

B.

[13]

C.

x 2 3 

x7

C.-1.

D. .

C.6.

D.-6.

bằng:

A.1.

B.0.

[15] lim 1  2 x  3 bằng:
x 2

x 4

A.

3
.
2

B.

[16] lim

x 0

A.

1
.
3

3

1  x2 1
x2

4
.
3

C.

2
.
3

D.

1

.
3

C.

1
.
2

D.-1.

bằng:
B. 1.

[17] Cho hàm số f  x   4  x 2 . Chọn câu sai trong các câu dưới đây:
A. Hàm số liên tục trên  2;2  .

B. Hàm số liên tục tại x  1.

C. Hàm số liên tục tại x  2.

D. f  x   0, x   2;2  và hàm số liên tục trên  2;2  nên phương trình f(x) = 0 khơng có nghiệm thuộc

 2;2  .
Footer Page 24 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 24

Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986

Header Page 25 of 145.
[18] Một CSN lùi vơ hạn có tổng là S  4 và số hạng đầu u1  2. CSN đó có công bội là:
A. 3 .
4
[19] Tổng S  1 
A.  9

10

C.  3 .
4

B.  1 .
2

D. 1 .
2

1
1
1
1



 ... bằng:
10 102 103 104

.

B.  10 .
9

C.  10

x

[20] Cho hàm số f  x  

 x  1

3 x

11

D.  11 .
10

.

. Chọn câu sai:

A. Hàm số không liên tục tại x = 1 và x = 3.

B. Hàm số liên tục tại x = 2.

C. Hàm số liên tục trên  ;1 và 1;3 .
1

1
10
D. Vì f    
, f  2   2  f   . f  2   0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
5
2
2

 2x  x2

,
x0
[21] Cho hàm số f  x    x
. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên
a x  1  1, x  0

A.2.

B.1.

C.3.


2

[22] Cho hàm số f  x    x  x  1,
2

ax  1,

A.-1.

[23] Cho hàm số f  x  
A. lim  f  x   .
x 

1
3

C.2.

:

D.-1.

x  0 . Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên
x0

B.1.

1 
 ;2  .
2 

D.

:

.

2 x
. Câu nào dưới đây là sai:
3x  1

B. lim  f  x   .
x 

1
3

2
C. lim f  x   .
x 
3

1
D. lim f  x    .
x 
3

[24] Xét phương trình cos x  x  0 1 . Phát biểu nào dưới đây là sai:
A.Vì f  0,7 . f  0,8  0 nên phương trình (1) có 1 nghiệm thuộc  0,7;0,8  .
B. f  x   cos x  x là hàm liên tục trên

.

C. Phương trình (1) có nghiệm.

D. Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc  0;   .
[25] Vào khoảng thế kỷ thứ 6, Ấn Độ là một quốc gia rộng lớn và phát triển, có nền Tốn học rất phát triển. Các

nhà thông thái Ấn Độ đã phát minh ra một trò chơi gọi là “Saturanga” ( ngày nay được biết đến với tên gọi Cờ
vua). Người phát minh ra Saturanga muốn được ban thưởng bằng cách “ ô thứ 1 đặt 1 hạt thóc, ơ thứ 2 đặt 2 hạt,
ô thứ 3 đặt 6 hạt, cứ thế nhân đôi lên đến ơ 64”. Nếu ban thưởng theo cách đó thì phải trả hết tất cả bao nhiêu hạt
Footer Page 25 of 145.
Fb: 01636 920 986 : ,

Trang 25