Đại số tuyến tính - Bài 1: Ma trận pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (237.96 KB, 32 trang )
BÀI 1
Ω α Φ
ϕ ∞ ϖ
¥ ξ δ
∑
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
§1: Ma Trận
Định nghĩa: Ma trận cỡ mxn là một bảng gồm
m.n số thực (phức) được viết thành m hàng
và n cột như sau:
a11
a
21
A=
...
am1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... am n
Kí hiệu: A = [aij]mxn
Tập hợp tất cả các ma trận cỡ mxn được ký
hiệu Mmxn
§1: Ma Trận
∑
a11
a
21
...
ai1
...
am1
a12
a22
...
... a1 j
... a2 j
... ...
...
...
...
ai 2 ... aij
aij
... ... ...
am 2 ... amj
...
...
...
Cột thứ 2 Cột thứ j
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
Hàng thứ nhất
a1n
a11 a22 a33 … gọi là đường
a2 n chéo chính
...
Hàng thứ i
ain
...
mn: gọi là cấp của ma trận
am n
aij: Phần tử nằm ở hàng i cột j
∑
§1: Ma Trận
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
Ví dụ:
1 0
A=
− 3 1.5
a21
2
5
2x3
2 8 − 6
2 9 0
B=
0 − 7 − 2
3x3
đường chéo chính
∑
§1: Ma Trận
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
* Khi m = n (số hàng = số cột) ta nói A là ma trận
vuông cấp n.
Tập hợp tất cả các ma trận vng cấp n được ký
hiệu Mn.
Ma trận vng cấp 3
Ví dụ:
0 7 8
1 3
− 2 7 ; 4 − 2 0
5 0 2
Ma trận vuông cấp 2
∑
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
1. Ma trận khơng: aij = 0, ∀ i, j.
(tất cả các phần tử đều = 0)
Ví dụ:
0 0 0
O=
0 0 0
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
∑
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
2. Ma trận chéo: là ma trận vng có:
aij = 0, ∀i ≠ j.
(các phần tử ngồi đường chéo chính = 0)
Ví dụ:
2 0 0
0 4 0
0 0 9
a11
0
...
0
0
a22
...
0
0
... 0
... ...
... ann
...
∑
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
3. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có:
aii = 1, ∀i = 1, 2,..., n.
Ký hiệu: I, In.
Ví dụ:
1
1 0 0
0
1 0
I2 =
, I 3 = 0 1 0 , I n =
..
0 1
0 0 1
0
0
1
..
0
...
...
...
...
0
0
..
1
∑
§1: Ma Trận
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
Các ma trận đặc biệt:
4. Ma trận tam giác: là ma trận vng có
aij = 0, ∀i > j.(tam giác trên)
aij = 0, ∀i < j. (tam giác dưới)
Ví dụ: 1 2 5 4
2 0 0 0
0 3 −1 0
0 0 2 6
0 0 0 9
MT tam giác trên
7 1 0 0
0 8 2 0
2 9 1 5
MT tam giác dưới
∑
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
5. Ma trận cột:là ma trận có n=1.
Ma trận cột có dạng:
a11
a
21 := [ a ]
i m
..
am1
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
∑
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
6. Ma trận hàng: là ma trận có m=1.
Ma trận hàng có dạng:
[ a11 a12 ... a1n ]
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
∑
§1: Ma Trận
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
Các ma trận đặc biệt:
7. Ma trận bằng nhau:
A = aij
m× n
= bij
m× n
= B ⇔ aij = bij , ∀i, j.
8. Ma trận chuyển vị: cho ma trận A=[aij]mxn,
ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu AT
và xác định AT=[bij]nxm với bij=aji với mọi
i,j.
(chuyển hàng thành cột)
∑
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
§1: Ma Trận
Dạng của ma trận chuyển vị:
a11
a
21
A=
..
am1
a12
a22
..
am 2
... a1n
a11
a
... a2 n
→ AT = 12
..
... ..
... am n
a1n
m ×n
a21
a22
..
a2 n
Ví dụ:
1 6
1 2 5
A=
→ AT = 2 7
6 7 9 2×3
5 9 3×2
... am1
... am 2
... ..
... an m
n× m
∑
§1: Ma Trận
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
* Khi A = AT thì A được gọi là ma trận đối xứng.
Ví dụ:
1 2 3
2 0 5
T
A= A =
3 5 −1
∑
§1: Ma Trận
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
* Khi A = -AT thì A được gọi là ma trận phản đối
xứng.
Ví dụ:
0 1 4
0 −1 −4
A = −1 0 −3 → AT = 1 0 3
−4 3 0
4 −3 0
A = − AT
∑
§1: Ma Trận
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
Các ma trận đặc biệt:
11. Đa thức của ma trận:
Cho đa thức Pn ( x) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + an
và ma trân vuông A = [ aij ]n
Pn ( A) = a0 An + a1 An −1 + ... + an I n
Khi đó:
(trong đó I n là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trân A)
∑
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
§1: Ma Trận
Ví dụ:
Cho P2 ( x) = x 2 − 3x + 5
1 2
và ma trận A =
0 −3
Khi đó:
P2 ( A) = A2 − 3 A + 5I 2
2
1 2
1 2
1 0
=
− 3 0 −3 + 5 0 1
0 −3
∑
§1: Ma Trận
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
Các phép tốn trên ma trận:
1. Phép cộng hai ma trận:
aij + bij = aij + bij
m × n m× n
m× n
(cộng theo từng vị trí tương ứng)
1+ 0=1
Ví dụ:
2+3=5
1 5
1 2 0 3
2
1
−3 5 + 2 −4 = -1 1
4 −2 1 5 5 3
∑
§1: Ma Trận
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
Các tính chất: Giả sử A,B,C,O là các ma
trận cùng cấp, khi đó:
i) A + B = B + A
ii ) A + O = A + O = A
iii ) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
∑
§1: Ma Trận
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
Các phép tốn trên ma trận:
2. Phép nhân một số với một ma trận:
λ aij m×n = λ.aij m×n , λ ∈ R.
(các phần tử của ma trận đều được nhân cho λ )
2.(-2)=-4
-4
Ví dụ:
2.3=6
6
3 −2 0
-2
0 2.0=0
7 4 5 =
2
2
14
8 10
0 −2 1 0 -4 2
∑
§1: Ma Trận
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
Các tính chất: ∀α , β ∈ R, ∀A, B là hai ma trận
cùng cấp, khi đó
i) α ( A + B) = α A + α B
ii ) (α + β ) A = α A + β A
iii ) α ( β A) = (αβ ) A
iv) 1A = A
Sinh viên tự kiểm tra.
∑
§1: Ma Trận
Chú ý:
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
A − B = A + (−1) B
1 3 6 5 1 3
6 5
4 5 − 1 3 = 4 5 + (−1) 1 3
1 3 −6 −5 −5 −2
=
+ −1 −3 = 3 2
4 5
Nhận xét: trừ 2 ma trận là trừ theo vị trí tương ứng
∑
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
§1: Ma Trận
Các phép tốn trên ma trận:
3. Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận Am× p ; B p×n ,
Khi đó ma trận Am× p B p×n = [cij ]m×n gọi là tích của
hai ma trận A, B. Trong đó:
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + aip bpj , ∀i = 1, m; j = 1, n.
ai1
ai 2
b1 j
b2 j
aip
bpj
Hàng thứ i của ma trận A.
Cột thứ j của ma trận B.
Như vậy cij = hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng
với cột thứ j của ma trận B rồi cộng lại.
∑
§1: Ma Trận
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
Ví dụ: Nhân hai ma trận sau: 2
3 2 1 0 =3.2+2.0+1.(-1)=5
5
13
=13
-1
3. 2 1
1
3 +2 +1 1 2
0 −1 4 .3 0 =
3
−2 3 0 3×3 .4 −1 3×2
3×2
4
số cột của A= số hàng = B
của
Chú ý: hàng 1 nhân cột 2 viết vào vị trí c12
∑
ín h
yến T
ố Tu
Đại S
§1: Ma Trận
Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:
Cột 1
Hàng 2
=0.1+(-1).3+4.4=13
13
3 2 1 1 2
13 5
0 −1 4 3 0 =
−2 3 0 3×3 4 −1 3×2 7 -4 3×2
Hàng 2
=0.2+1.0+4.(-1)=-4
-4
Cột 2
