Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ: Phần 2 - Trần Mạnh Tường
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.47 MB, 60 trang )
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
X. PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Bài 1.
2 2 2 2 x 6 3 6 3 6 3 6 x .
3
[Tính đơn điệu của hàm số]
Đ
x 2
Lời giải
N ậ xé
Đ
f x 2 x; g x 3 6 x
f f f f x g g g g x .
Do f x
1
1
0; g x
0 f x , g x ồng biến trên 2; .
2
3
2 2 x
3 6 x
Với x 2 thì f x g x 2
f f x f g x g g x 2
f f f f x f g g g x g g g g x 2
f f f x f g g x g g g x 2
VT VP
Với 2 x 2 thì f x g x 2 lập luậ
Nhận th y x 2 là nghiệm củ
x 2 là nghiệm duy nh t củ
Bài 2:
Bài 3:
Bài 4:
.
.
x 3 2x 1 4 x
Lời giải
1
Đ x
2
x 3 4 2 x 1 4 x3 0
P
Dễ th y khi x
VT
VT là à
ồng biến.
Pt có nghiệm duy nh t x 1 .
5
x 3x 1 4 2 x 1
Lời giải
5
x 3x 1 4 2 x 1 0
P
3
4
(
x 1 là nghiệm )
2 x 1 5x 2 5x 2 2 x 1
Lời giải
5
2 x 1 2 x 1 5 5x 2 5x 2
P
f t
f t ồng biến.
Xét f t 5 t t nhận th y khi t
5
5
2 x 1 5x 2 x
Bài 5:
ta có VT VP .
1
( lo i ) vô nghiệm.
3
2x 2x 1 x 3 1 x 3
Lời giải
1
Đ ều kiện: x .
2
2 x 1
P
Hàm số f t t t
Trần Mạnh Tường
2x 1
x 3 1 1 x 3
ồng biến 2 x 1 x 3 1 .......
/>
50
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
Bài 6.
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
G
x2 2 x 7 x 3 2 1 8x 1 1 8x
Lời giải
Đ ều kiện: x
1
8
ới x 3 x 3 1 1 8x
2
P
Hàm số f t t 2 t
2
1 1 8x
ồng biến trên kho ng 0; nên x 3 1 1 8 x , gi
ợc x 1; x 3 t / m
Bài 7.
G
x 3 y 3 y y 3 x3 x
ệ
5
5
x y 2
1
2
Lời giải
1 x 3 x3 x y 3 y 3 y . Hàm số f t t 3 t 3 t
Thế x y vào 2
Bài 8.
G
ồng biến trên
nên x y .
ợc x y 1 .
1
2
x5 3 y y 5 3 x
ệ
x 1 3 y 2 3
Lời giải
Đ ều kiện: x 1
1 x5 3 x y 5 3
y . Hàm số f t t 5 3 t
Thế x y vào 2
ợc
ồng biến trên
nên x y .
x 1 3 x 2 3 * .
Vế trái của * là hàm số ồng biến trên kho ng 1;
ệm duy nh t
x 2 t / m y 2
Bài 9.
G
4 x 4 y y x xy 2
ệ 2
2
x y 2
1
2
Lời giải
Đ ều kiện: x 0; y 0 .
Thế 2 x 2 y 2 vào 1
Bài 10.
ợc
4
x 4 y y x xy x 2 y 2 x3 4 x y 3 4 y
Hàm số f t t 3 4 t
ồng biến trên
Thế x y vào 2
ợc x y 1 (t/m) ho c x y 1 ( lo i).
G
x3 x 2 y 1 2 y 1
ệ
x 2 2 y 1 1 0
nên x y .
1
2
Lời giải
Trần Mạnh Tường
/>
51
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
1
Đ ều kiện: y .
2
1 x3 x 2 y 1
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
2 y 1 2 y 1 . Hàm số
f t t 3 t
ồng biến trên
0;
nên
x 2 y 1 .
Thế x 2 y 1 vào 2
ợc x 1 y 0 t / m .
4
4
x 1 x 1 y 2 y 1
Bài 11: Giải hệ phƣơng trình:
2
2
x 2x y 1 y 6y 1 0 2
Lời giải
Điều kiện: x 1
1
4
x 1
4
2 4 x 1 y4 2 y
Hàm số f t f 4 2 t đồng biến t 0
4 x 1 y x y4 1 và y 0
Thế vào 2 y y 1 y6 y 5 3y3 3y 9 0
0
y 0 hoặc y 1
3
2y y 2x 1 x 3 1 x 1
Bài 12: Giải hệ phƣơng trình:
2
y 2y 1 4 x 4 2
Lời giải
Điều kiện: 4 x 4
Đặt 1 x t 1 x t 2 ; t 0
Khi đó: 2x 1 x 2t 2t 3
1 2y3 y 2t 3 t y t y
1 x y 2 1 x;y 0
Thế vào 2 , ta có:
1 x 3 2x 4 x 4
3 2x 3
1 x 2
x 4 1 0
x 3.... 0
x 3...
Bài 13.
3
2
3
2
x 3x 2 y 3 y
2
3 x 2 y 8 y
[pp hàm số] Gi i hệ
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
Hãy l a chọn biế
ổ
Nhận xét gì về tập giá trị của (x - 1) và của
Trần Mạnh Tường
(1)
(2)
ệ về d ng f ( x) f ( y ) .
y3 ?
/>
52
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
Hàm số
ệu trên tậ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
ợc xét không ?
Lời giải
y3 3 y 2 0
2
x 2
Đ ều kiện : y 8 y 0
(*)
y
0
x 2 0
Ta có :
(1) x3 3x 2 y y 3 ( x 1)3 3( x 1)
3
y 3 3
y3
(1')
[1; )
f '(t ) 3t 2 3 0, t 1 f(t) là hàm số ồng biến trên kho ng (1; )
Xét hàm số f (t ) t 3t trên tập
3
(1') f ( x 1) f
K
( ),
y 3 x 1 y 3 x 1 y 3 kết hợp vớ
2
ợc :
2
(1')
x 2 x 1 y 3
x 2 x 2 y
2
2
9( x 2) y 8 y (2')
3 x 2 y 8 y
2
Thế ( ') à ( '),
ợc :
9 x 18 x 2 2 x 2 8 x 2 2 x 2
2
x 4 4 x 3 8 x 2 17 x 6 0
( x 3)( x 3 x 2 5 x 2) 0
x 3 0
x 3
3
x 3 y 1(Tm)
2
2
x
x
5
x
2
0
x
(
x
1)
4
x
(
x
2)
0(VN)
x 3
Vậy hệ có nghiệm duy nh t :
y 1
Bài 14.
[pp hàm số] Gi i hệ
8 x 3 2 x 1 y 4 y 3 0 (1)
2
3
2
4 x 8 x 2 y y 2 y 3 0 (2)
Lời giải
Đ ều kiện : x
1
2
(1) 4(2 x 1) 1 2 x 1 y 4 y 3 4
3
2 x 1 2 x 1 4 y 3 y (1')
[0; )
f '(t ) 12t 1 0, t 0 Hàm số f(t) ồng biến trên kho ng (0; )
Xét hàm số : f (t ) 4t t trên tập
3
2
K
(1') f
Trần Mạnh Tường
2 x 1 f ( y) 2 x 1 y y 2 1 2 x thế à
( ),
/>
ợc :
53
y
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
2
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
1 4 y 2 1 2 y 3 y 2 2 y 3 0
2
y 0
y 1
4
3
2
y 2 y y 2 y 0 y ( y 1)(y 1)(y 2) 0
y 2
y 1
1
Khi y 0 x (thỏ ã
ều kiện)
2
Khi y 1 x 1 (thỏ ã
ều kiện)
5
ều kiện)
Khi y 2 x (thỏ ã
2
Khi y 1 x 1 (thỏ ã
ều kiện)
Bài 15.
1
2
5
2
là ( x; y) (1; 1);(1; 1); ;0 ; ; 2
Vậy tập nghiệm của hệ
[pp hàm số] Gi i hệ
2
2
2
2
3x 3 y 8 ( y x)( y xy x 6) (1)
(2)
( x y 13)( 3 y 14 x 1) 5
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
Hãy l a chọn biế ổ
ệ về d ng f ( x) f ( y ) .
Nhận xét gì về tập giá trị của (x + 1) và của (y - 1) ?
Hàm số
ệu trên tậ
ợc xét không ?
Lời giải
x 1
x 1 0
Đ ều kiện :
14 (*)
y
3 y 14 0
3
3
3
Ta có : (1) x 1 3 x 1 y 1 3 y 1 (1')
Xét hàm số f (t ) t 3t f '(t ) 3t 3 0, t R
Hàm số f(t) ồng biến trên R
(1') f ( x 1) f ( y 1) x 1 y 1
K
3
2
y x 2 thế à
( ),
ợc :
(2 x 11)( 3x 8 x 1) 5 (3)
5
11
3x 8 x 1
0 (4) (Do x
không là nghiệm của (3)
2 x 11
2
5
8 11 11
Xét hàm số g ( x) 3x 8 x 1
trên D ; ;
2 x 11
3 2 2
3
1
10
g '( x)
2
2 3x 8 2 x 1 2 x 11
6 x 17
10
8 11 11
0, x ; ;
2
2 (3x 8)( x 1)(3 x 1 3 x 8) 2 x 11
3 2 2
8 11
11
Hàm số g(x) ồng biến trên ; và ;
3 2 2
Trần Mạnh Tường
/>
54
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
8 11 (4) g ( x) g (3) x 3 y 5
(thỏ ã
ều kiện (*))
:
3 2
11
-Khi x ; : (4) g ( x) g (8) x 8 y 10 (thỏ ã
ều kiện (*))
2
x 3 x 8
Vậy hệ
ệm :
;
y
5
y 10
1 3x 4
2
x
3
y
1
y
(1)
y
x
1
Bài 16. [pp hàm số] Gi i hệ
9 y 2 3 7 x 2 y 2 2 y 3 (2)
- Khi x ;
Lời giải
x 1
x 1 0
Đ ều kiện :
2 (*)
9 y 2 0 y
9
1
1
2
Ta có : (1) y 3 y ( x 1)
3 x 1 (1')
y
x 1
1
2
Xét hàm số f (t ) t 3t trên kho ng (0; )
t
2
2t 1 t 1
1
f '(t ) 2t 2 3
0, t (0; )
t
t2
Hàm số f(t) ồng biến trên (0; )
(1') f ( y) f
K
x 1 y x 1 x 1 y 2 thế à
( ),
ợc :
9 y 2 3 7 y2 2 y 5 2 y 3
9 y 2 ( y 2) 3 7 y 2 2 y 5 ( y 1) 0
y2 5 y 6
( y 1)( y 2 5 y 6)
0
9 y 2 ( y 2) ( y 1) 2 ( y 1) 3 7 y 2 2 y 5 ( 3 7 y 2 2 y 5) 2
( y 2 5 y 6).h( x) 0
1
y 1
0 với
2
2
2
2
3
3
9
y
2
(
y
2)
( y 1) ( y 1) 7 y 2 y 5 ( 7 y 2 y 5)
y 2
2
y nên y 2 5 y 6 0
9
y 3
-Khi y 2 x 3 (thỏ ã
ều kiện (*))
-Khi y 3 x 8 (thỏ ã
ều kiện (*))
x 3 x 8
Vậy nghiệm của hệ
là
;
y 2 y 3
Vì h(x)
Bài 17.
[pp hàm số] Gi i hệ
Trần Mạnh Tường
/>
55
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
5 16.4 x 2 y 5 16 x 2 y .7 2 y x 2
(1)
3
x 17 x 10 y 17 2 x 2 4 4 y 11 (2)
2
2
2
Lời giải
Đ t t x 2y
2
( )
ng
2 t
5 4
5 42t
5 16.4 5 16 .7
2t
(3)
7 2 t
7
x
x
1 4
Xét hàm số f x 5. f ( x) là hàm số nghịch biến trên R
7 7
2
P
( )
ng f (t 2) f (2t ) t 2 2t t 2 x 2 y 2
t
2t
t
K
( )
ng
x3 5x 2 17 x 7 2 x 2 4 2 x 2 7
x 2 x 2 x 2 2 x2 7 2 x2 7 2 x2 7 2 x2 7
3
2
Xét hàm số f (t ) t t t trên kho ng 0;
3
2
f '(t ) 3t 2 2t 1 0, t 0 f(t) là hàm số ồng biến trên kho ng 0;
P
f x 2 f
Suy ra : Hệ
Bài 18.
ng
x 1
2 x 2 7 x 2 2 x2 7
x 3
1 7
p nghiệm (x;y) là: 1;
, 3; .
2 2
[pp hàm số] Gi i hệ
2
2
2
4 1 2 x y 1 3x 2 1 2 x y 1 x
3
2
4
2
3
2
2 x y x x x 2 x y 4 y 1
Đ ều kiện : 1 x 1
Ta th y ( x; y) (0; a), a R là nghiệm của hệ
Khi x 0 , ta có :
Lời giải
ã
2 x 3 y x 2 x 4 x 2 2 x 3 y 4 y2 1 2 y 2 y 4 y2 1
.
1 1
x x
1
1 (*)
x2
Xét hàm số : f (t ) t t t 1
2
f '(t ) 1 t 1
2
t2
t2 1
0, t . Hàm số f(t) ồng biến
1
1
thế à
(*) f 2 y f 2 y
x
x
4 1 x 1 3x 2 1 x 1 x 2
a 1 x 0
2
2
Đ t
ta có : 3x x 1 2( x 1) 1 2a b 1
b 1 x 0
D
P
ị
l i của hệ ta có :
ở thành :
Trần Mạnh Tường
/>
56
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
2a b
2a2 b2 ab 4a 2b 0 2a b a b 2 0
a b 2
3
5
Với 2a b , ta có : 2 1 x 1 x x y
5
6
Với a b 2 , ta có : 1 x 1 x 2 x 0 (lo i)
3 5
Vậy nghiệm của hệ
là ( x; y) ; ; 0; a | a R
5 6
Bài 19.
x 3 4 x 2 y 4 5 y (1)
2
2
x 2 x( y 2) y 8 y 4 0 (2)
[pp hàm số] Gi i hệ
Lời giải
Đ ều kiện : x 2
Ta có : (1)
( x 2) 5 4 x 2 y 4 5 y (1')
4
Xét hàm số f (t ) t t 5 trên 0;
f '(t ) 1
K
f
4
2t 3
0, t 0
Hàm số f(t) ồng biến trên (0; )
t 5
x 2 f ( y) 4 x 2 y x y 4 2 thế à
4
( ),
ợc :
/>
57
2
y 0
4 y y4 y y y7 2 y4 y 4 0 7
4
y 2 y y 4 0 (3)
Với y 0 x 2 (thỏ ã
ều kiện)
Gi i (3): Xét hàm số g ( y ) y 2 y y 4 trên 0;
7
4
g '( y ) 7 y 6 8 y 3 1 0, y 0
Hàm số g(y) ồng biến trên (0; )
L i có : (3) g ( y ) g (1) y 1 x 3 (thỏ ã
ều kiện)
x 2 x 3
Vậy nghiệm của hệ
là
;
y 0 y 1
Bài 20.
[pp hàm số] Gi i hệ
20 6 x 17 5 y 3x 6 x 3 y 5 y 0 (1)
2
(2)
2 2 x y 5 3 3x 2 y 11 x 6 x 13
x 6
y 5
Đ ều kiện :
(*)
2
x
y
5
0
3x 2 y 11 0
(1) 20 3x 6 x 17 3 y 5 y
3 6 x 2 6 x 3 5 y 2 5 y
Lời giải
3
Xét hàm số f t 3t 2 t trên tập 0;
Trần Mạnh Tường
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
3t 2
0, t 0 Hàm số f(t) ồng biến trên 0;
2 t
(3) f 6 x f 5 y 6 x 5 y y x 1 thế à
K
4
2 3x 4 3 5 x 9 x 2 6 x 13 (Đ ều kiện : x )
3
f 't 3 t
2
3x 4 x 2 3
2 x x 1
3x 4 x 2
ợc :
5 x 9 x 3 x 2 x
3x x 1
( ),
5 x 9 x 3
x2 x
2
3
x x 1
1 0
3x 4 x 2
5 x 9 x 3
2
3
x 1
(vì
1 1 với mọi x thuộ TXĐ)
3x 4 x 2
5 x 9 x 3
x 0
x 0 y 1 (thỏa mãn hệ
Với x 1 y 2 (thỏa mãn hệ
)
Với
Bài 21.
x x 2 1 3 y (1)
2
x
y y 1 3 (2)
[pp hàm số] Gi i hệ
Trừ theo vế
x
x; y 0; 1 ; 1; 2
là
Vậy nghiệm của hệ
)
( )
( ),
Lời giải
ợc :
x 2 1 y y 2 1 3 y 3x x x 2 1 3x y y 2 1 3 y (3)
Xét hàm số f (t ) t t 1 3 trên R
2
t
f '(t ) 1
K
t
3t ln 3 0, t R Hàm số f(t) ồng biến trên R.
t 1
(3) f ( x) f ( y ) x y thế à
2
x x 2 1 3x 1 3x
Xét hàm số g ( x ) 3
g '( x) 3x
x
x2 1 x
( ),
ợc :
(4)
x 2 1 x trên R
1
x 2 1 x ln 3
0 , do
x2 1
x 2 1 x 0 và
x2 1 1
Hàm số g(x) ồng biến trên R.
(4) g ( x) g (0) x 0 y 0
x 0
Vậy hệ
ệm duy nh t :
y 0
K
Bài 22: Gi
Trần Mạnh Tường
3x 2 6 x 3x 2 12 0.
Lời giải
/>
58
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
2
Đ ều kiện: x 6
3
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
2
Xét hàm số f x 3 x 2 6 x 3 x 2 12 với x ;6
3
3
2
2
f ' x
6 x 0, x ;6 .
2 3x 2 2 6 x
3
2
Suy ra hàm số f x 3 x 2 6 x 3 x 2 12 ồng biến trên kho ng ;6
3
2
Ta có: f 2 3.2 2 6 2 3.2 12 2 2 12 12 0 x 2 là nghiệm duy nh t củ
Từ cách gi i trên, ta nhận th
trình có một nghiệm bằng 2 nên có thể ù
í
cách gi i sau.
3x 2 6 x
3x 2 6 x
3 x
ể
ề
4 0
3x 2 6 x
4 x 2
4
3 x 2 x 2 0 x 2
3 x 2 0 x 2
3x 2 6 x
3x 2 6 x
3x 2 6 x 3x 2 12 0
Cách khác:
2
x 4 x 4 2 x 2 16 10 0.
Lời giải
Bài 23: . Gi
Đ ều kiện: x 4
Xét hàm số f x x 4 x 4 2 x 2 16 10 với x 4
f x
1
1
2x
0, x 4
2 x4 2 x4
x 2 16
Suy ra: f x x 4 x 4 2 x 2 16 10 ồng biến trên 4;
f 5 5 4 5 4 2 52 16 10 3 1 2.3 10 0
x 5 là nghiệm duy nh t củ
3 x 3 4 x 3 x 3 1 3 x .
Lời giải
Bài 24: . Gi
Xét f t t 3 t 1 với t t
Có f (t ) 1
1
3 (t 1)2
3
Ta có * f
R.
0 t 1 f t
– x f ( 3 x ). Luôn có
- Nếu 3 – x x 4
a
*
ồng biến trên hai kho ng ( ; 1) và ( 1; ) .
3 x 0 1 x 3 nên:
mà f t ồng biến trên ( 1; ) thì:
x 3
3 x 0
(1) 3 x 3 x 2
x 1 x 1 (thỏa mãn a ).
x 7 x 6 0 x 16
- Nếu 3 x 1 4 x 0 3 4 x 0 . VT * 1 VT * 0 (vơ lí).
Vậy x 1 là nghiệm củ
.
2
9 x 28 x 21 x 1
Bài 25: Gi
*
Ý tưởng: Ta xây d ng hàm f (t ) mt 2 nt Để ý rằng h ng tử x 1 ở vế ph i có bậc th p nh
ứng với nt trong f t ,
n 1 . Ta nhìn nhận 9x 2
ới 2 khía c nh 9 x 2 9.x 2 thì m 9
nhìn nhận 9 x 2 (3x) 2 thì m 1 . N
ậy m=9 ho c m=1.
Trần Mạnh Tường
/>
59
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
Nếu m 9 f (t ) 9t 2 t .
*
Cầ
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
về d ng: 9( x u)2 x u 9( x 1) x 1
9 x2 x(18u 8) u 2 u 9 x 1
10
18u u 28 u
ợc: 2
lo i
9
u u 9 21
u {4; 3}
Đồng nh t hệ số
Nếu m 1 f (t ) t 2 t
* về d
Cầ
ng (3x u)2 3x u ( x 1) x 1
9 x2 x(6u 2) u 2 u 1 x 1 .
6u 2 28
u 5
ợc 2
u u 1 21
Đồng nh t hệ số
Đế
lẽ Bài
ã
ợc gi i quyế ,
ậ
“
”
ị
ở
í
ớc:
*
9 x 30 x 25 3x 5 x 1 x 1
f (3x 5) f ( x 1) ** với f (t ) t 2 t
2
f (t ) t 2 t chỉ
Lƣu ý rằng
x 1 0
N
1
1
ồng biến trên ( ; ) và nghịch biến trên (; ) ,
2
2
a
1
2
ậy ta chỉ có f (3x 5) f ( x 1) 3x 5 x 1 khi 3 x 5
3
thì sao? L
ể ý rằng hàm số bậ
ũ
2
hệ số bậc cao nh t là 9 , ta chỉ mới xét
t 3x u nên bây giờ ta sẽ xét t=u-3x
Cầ
* về d ng (u 3x)2 u 3x x 1 x 1
Còn 1 x
ủ
1
3
x
2
2
,
là (t ) 2 t 2 . Ở trên , d a vào
6u 4 28
u4
9 x2 x(6u 4) u 2 u 1 x 1 . Đồng nh t hệ số 2
u u 1 21
3
1
Kiểm tra l i: Có x 4 3 x
ọn u 4
2
2
Đế
Bài mới th c s
ợc gi i quyết.
Lời giải
Đ ều kiện: x 1
3
1
Nếu x 3 x 5
2
2
2
Ta có * (3x 5) 3x 5 x 1 x 1
f (3x 5) f ( x 1) với f (t ) t 2 t
1
3x 5 x 1 ((do f t ồng biến trên ( ; ) )
2
5
x
3x 5 0
3
x 2 (thỏ ĐKXĐ)
2
(3x 5) x 1 x {2; 13}
9
3
1
Nếu 1 x 4 3 x **
2
2
2
* (4 3x) 4 3x x 1 x 1
Trần Mạnh Tường
/>
60
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
f (4 3x) f ( x 1) với f (t ) t 2 t
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
1
4 3 x x 1 ( do f t ồng biến trên ( ; ) và ** )
2
4
x 3
4 3x 0
2
(4 3 x) x 1 x { 25 13 }
18
v
25 13
}
18
ể gi i Bài trên bằ
Vậy * có tập nghiệm S {2;
Lƣu ý: T
ũ
t x 1 3 y 5 ể
x 2x 8
x 1
x2 2x 3
2
Bài 26: Gi
ề hệ ối xứng lo i 2.
x2 2 .
Lần 3 – THPT Phú Riềng 2016
Lời giải
ĐK x 2
Pt
x 2
2 x4
x 2 x 3
x 2 x 4 x 1 x 2
x2 2x 3
x22
x 2 2 x 1 x 2x 3
x 2 2 x 2 2 x 1 2 x 1
(1) x 4
x 1
1
x22
2
2
2
2
(2)
Xét pt t 2 t 2 2 có pt f ' t 3t 2 4t 2 0t
Vậ f( ) ồng biến trên
x 1
3 13
x 2 f x 1 x 2 x 1 2
x
2
x 3x 1 0
3 13
Vậy pt có nghiệm: x = 2, x
2
D
( ) f
x3 4 x 2 5 x 6 3 7 x 2 9 x 4 là:
Bài 27: Tổng các nghiệm củ
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Đáp án: A
x3 4 x 2 5 x 6 y
3
y 3 y x 1 x 1
Đ t y 7 x 9 x 4 , ta có hệ : 2
3
7 x 9 x 4 y
Xét hàm số : f t t 3 t f t 3t 2 1 là à
ệ
.
3
2
f y f x 1 y x 1
Từ
D
x 5
x 1 7 x 9 x 4 x 4 x 6 x 5 0 1 5
x
2
3
3
2
2
là : 4
Vậy tổng các nghiệm củ
Bài 28: Nghiệm nhỏ nh t củ
3
6 x 5 x3 5 x 5 có d ng
ab c
với a, b
2
. K
a b c là:
Trần Mạnh Tường
/>
61
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
A. 5 .
B. 20 .
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
C. 21 .
D. 23 .
Lời giải
Đáp án: C
Ta có 3 6 x 5 x3 5 x 5 6 x 5 3 6 x 5 x3 x (*)
Xét hàm số f t t 3 t trên . Ta có f t 3t 2 1 0, t
Từ
*
f
3
. Suy ra f t t 3 t ồng biến trên
.
6x 5 f x
3 6 x 5 x x3 6 x 5 0
x 1 x 2 x 5 0
x 1
x 1 21
2
1 21
.
2
a 1
1 21
D
ệm nhỏ nh t x
b 1 a b c 21
2
c 21
Nhận xét: Có thể gi i Bài à
ớng sau:
3
6 x 5 x3 5 x 5 3 6 x 5 1 x3 5 x 4
6 x 1
x 1 x 2 x 4
2
3
3
6 x 5 6 x 5 1
ệm là x 1; x
Vậ
x 1
6
x2 x 4
2
3
3 6 x 5 6 x 5 1
V
ề t ra là gi
Vì vậy ta sẽ ù
í
Bài 29: Tổng các củ
ò l i sẽ r t phức t p.
ệu của hàm số
x3 3x 2 2 x 1 3 2 x 1 là:
B. 3 .
A. 3 .
C. 5 .
D. 23 .
Lời giải
Đáp án: B
Cách 1:
Ta có
x3 3x 2 2 x 1 3 2 x 1
( x 1)3 ( x 1) (2 x 1) 3 2 x 1
Xét hàm f x t 3 t trên
.
f x 3t 2 1 0 f t ồng biến trên
Ta có: f x 1 f ( 3 2 x 1) x 1 3 2 x 1
x3 3x 2 x 0
x x 2 3x 1 0
Trần Mạnh Tường
/>
62
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
x 0
3 5
x
2
x 3 5
2
là 0
Vậy tổng các nghiệm củ
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
3 5 3 5
3
2
2
Cách 2:
x3 3x 2 2 x y
Đ t 2 x 1 y 1 . Ta có hệ sau: 3
2
y 3 y 3 y 2 x
L y 2 pt trừ cho nhau ta có:
x3 y 3 3( x 2 y 2 ) 4( x y ) 0
3
( x y )( x 2 xy y 2 3x 3 y 4) 0
y 3
3
( x y) ( x )2 ( y 1)2 1 0
2 2
4
x y
Vậy : 3 2 x 1 x 1 x 3 3 x 2 x 0 x( x 2 3x 1) 0
x 0
3 5
x
2
x 3 5
2
3 5 3 5
;
}.
2
2
8 x 3 2 x x 2 x 1 có tập ngiệm S a; b . K
là S {0;
Vậy tập nghiệm củ
Bài 30: Gi i b
A.
7 7
.
8
B.
7 7
.
8
C.
7 17
.
8
D.
a b là:
7 17
.
8
Lời giải
Đáp án: D
Đề
x 1.
ệ
2 x
3
2 x x 1 1 x 1
2 x 2 x x 1 x 1 x 1
3
2x 2x
3
f 2x f
Xé
à
3
x 1 x 1
x 1
1
ố f t t 3 t trên
f t 3t 2 1 0, t
Trần Mạnh Tường
ớ
là f t t 3 t .
à
.
f t ồ
ế
2
/>
63
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
Từ 1 , 2 f 2 x f x 1 2 x x 1 hay
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
x 1 2x
2 x 0
x 1 0
2
2 x 0
x 1 4x
1 x 0 0 x
1 x
Vậ
ậ
ệ
1 17
.
8
1 17
7 17
là S 1;
.
a b
8
8
ủ
8 x3 2 x x 2 x 1
Bài 31: Gi i b
a, b, c
1 17
8
a
a
có tập ngiệm S ;c với
tối gi n
b
b
a b c là:
.K
A. 10 .
B. 9 .
D. 11 .
C. 8 .
Lời giải
Đáp án: A
x
1
.
2
Đề
ệ
K
,
Vớ
2x 1 3 0 x 5 2 : l
1
x2 x6
2x 1 3 4
2
ú .
Vớ x 5 :
Xé
à
ố f x
x2 x6
1
1
f ' x
2 x2 2 x6
f x l
2x 1 3 l
2x 1 3
5;
ế
ụ
5; .
x2 x6
0; x 5
2x 1
à
f 7 4 .
2 f x f 7 x 7 .
D
Kế
ồ
ợ
ớ
ề
, ậ
ệ
1
là S ;7 .
2
a 1
Vậy b 2 a b c 10
c 7
Bài tập luyện tập
1) x3 6 3 x 6
Trần Mạnh Tường
/>
64
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
2) 5 x 3x 1 8x2 16x 24
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
3) 2x 1 5x 2 5x 2 2x 1
3
4)
3
3
x2 1 5 2x2 2 3 x2 2 5 x 3
5) x 2x
1
1
x
x
x
6) 4x 3 x x 1 2x 1 0
x3 2x 3 y 1 . 3y 1
7)
2x 3 3y 2 2
3y3 2y 3x 2 x 8 2 x
8)
5 4x 3y 1 3
x x 2 x 4 y 1 y 3 y 5
9)
2
2
x y x y 44
x3 12y x 2 8y3 8y
10)
2
3
x 8y 2y 5x
x3 3x 2 2 y3 3y2
11)
2
3 x 2 y 8y
XI. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG TRỊN
ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1. Tìm điều kiện của số thực a để phƣơng trình sau có hai nghiệm phân biệt:
x x2 a 2 x .
(2.4)
Lời gi i
Điều kiện: x x 2 0 0 x 1.
Đặt y x x 2 0.
Phƣơng trình (2.4) trở thành:
2 x y a
2 x y a
2
1
1
2
2
2
x y x 0 x y
2
4
y 0
y 0
Trong m t phẳng tọ
( ) à ( ) là
Trần Mạnh Tường
ộ,
(1)
(2)
(3)
( ) là
ử
1
ờng trịn có tâm I ;0 ,
2
ờng thẳng : 2x y a ,
1
bán kính R , thuộc phần y 0.
2
/>
65
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
( .4)
Số nghiệm củ
í
( .4)
ể
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
là ố
ểm củ
ờng thẳng và nử
ờng thẳng cắt nử
ệm phân biệ
ờng tròn I , R . Do
ờng tròn I , R . K
1 a 1
1
1
2
2 5
d I ,
a 2a 0
.
2a
2
2 5
4
2
a 2
a 2
a 2
ệm phân biệt khi 2 a
( .4)
Vậ
2 5
.
2
m x m x 11 1 .
Bài 2: Gi i và biện luận theo m
Nếu m 0
Nếu m 0
Nếu m 0 .
ệm.
ệm duy nh t x 0 .
u m x 0
Đ t
.
v m x 0
K
u 2 v 2 2m
2 .
1 u v m
u , v 0
Nghiêm của hệ 2
í
là
ểm củ
ờng thẳng d u v m với cung AB củ
ờng
tròn C u 2 v 2 2m .
D
2
có nghiệm
OH d (O, ( D)) R ) Với R 2m là bán kính củ
ờng trịn C )
2m m
m
2m m
2m .
2
2
2
2m m 2 4m 2 m 4 .
Lú
u 2 m u 2m .
2
2u 2 2mu m 2 2m 0 2u 2 2mu m 2 2m 0 .
u1,2
Trần Mạnh Tường
m 4m m 2
.
2
/>
66
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
m 4m m 2
x1,2 u m
2
2
1,2
Vậy x1,2
2
m.
m 4m m 2
.
2
1
Nếu m 0
có nghiệm duy nh t x 0 .
1
Nếu 2 m 4
m 4
Nếu
0 m 2
có nghiệm x1,2
1
m 4m m 2
.
2
vô nghiệm.
a x a x 2 1 .
Lời giải
Bài 3: Gi i và biện luận theo a b
Ta chỉ xét a 0 (vì nếu a 0 thì biểu thức
a x
)
y
2 B
2a
H
x
2a
O
u a x
Đ t
v a x
A 2
u v 2
PT 1 u 2 v 2 2a
u , v 0
2 .
ểm M u; v thỏa mãn
Từ
C : u 2 v 2 2a
2 M u; v thuộc
phầ
ờng tròn
chứa trong tam giác OAB . D
ếu
2a 2 a 2 : B
ếu
2a 2 0 a 1 : B
1
vơ nghiệm.
1
có nghiệm thỏa mãn 0 u a x 2a
0 a x 2a 0 x a 2 .
Trần Mạnh Tường
/>
67
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
2 2a 2 1 a 2 :
ếu
B
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
1 có nghiệm thỏa mãn
0 u a x u
1
.
u u a x 2a
2
(với u1 ; u2 u1 u2 là các nghiệm củ
u 2 2 u 2a . (Đã
2
ử v )).
u 2 2 u 2a
2
Gi
u 1 a 1
Có 1
vì vậy
u2 1 a 1
0 a x u 1 a 1
a x a 2 a 1
1
u 1 a 1 a x 2a
u2 1 a 1 a x 2a
2
a x a 2 a 1
4 a 1 x a 2 .
a 2 a 1 a x 2a
Vậy
a 0
a 2 : B
0 a 1: B
1
1
1
1 a 2: B
Bài 4:
vơ nghiệm.
có nghiệm 0 x a 2
có nghiệm 4 a 1 x a 2
x y a
1 với a là tham số
x
y
xy
a
)X
ịnh a ể hệ có nghiệm.
b)Gi i và biện luận theo a .
Lời giải
u v a
u v a
u x , u 0
2 2
2 2 2a a 2
Đ t
ệ u v uv a u v
3
y
y
,
v
0
u , v 0
u , v 0
Cho hệ
(vì uv
u v
2
u 2 v2
2
a2 u 2 v2
2
C 2 .
).
y
a
B
H
(a≥0)
Δ
O
Trần Mạnh Tường
A a
x
/>
68
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
a 0
2a a 2
Vì vậy hệ 1 có nghiệm
(với R
là bán kính củ
ờng trịn
3
OH d O , R
R
a
2
2
2
R2 a2 2R2
R
2a a 3a 2 2a a
C ) 2
2
a 0
a 0
a 0
a 0
a 0
a 0
.
2 a 3a 4 2a a 0
1 a 4
a 1
1 a 4
b) Theo kết qu câu (a)
u 0 x 0
.
a 0 : Hệ 2 có nghiệm duy nh t
v 0
y 0
2
1 a 4 : Ta có u 2 a u 2 2a a (Đã ử v ).
3
6u 2 6au 3a 2 2a 3a 2 3u 2 3au a 2 a 0
3a 12a 3a 2
và v1,2 a u1,2 u2,1 .
6
x 0
Vậy khi a 0 hệ 1 có nghiệm duy nh t
.
y 0
u1,2
2
x u1,2
Khi 1 a 4 hệ 1 có hai nghiệm
.
2
y u2,1
a 4
Khi
hệ 1 vô nghiệm.
0 a 1
Bài 5:
X
2
2
x y 1 k
ệm duy nh t
2
2
y x 1 k
Lời giải
ịnh k ể hệ
y
-1
J
O
I
x
-1
0 : Dễ th y rằng hệ ã
Với k
phẳng tọ ộ Oxy .
1; 0 có bán kính R2
ịnh hình trịn C 2 tâm J
ệ ã
R1
Trần Mạnh Tường
R2
IJ
ờng hợp k
ệm, vì vậy ta chỉ xé
ịnh hình trịng C 1 tâm I 0; 1 có bán kính R1
D
1
2
k
k
ệm duy nh t
C 1 và C 2 tiếp xúc ngoài với nhau
2 k
k
2
0 Xét trong m t
1
2
/>
69
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
XII. PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG GIÁC HÓA
Bài 1.
x3 3x x 2
[Lƣợng giác hóa] G
Lời giải
Đ ều kiện x 2
Nếu x 2 ta có x3 3x x x x 2 4 x x 2 . S
ệ .
Nếu 2 x 2
Đ t x 2cos 0 . K
8cos3 6 cos 2 cos 2
2 cos 3 2 cos
cos 3 cos
2
2
k 4
5
k
k 4
7
Do 0 nên 0;
4
4
4
4
;
x 0; x 2 cos
; x 2 cos
5
7
5
7
ệm cos x 2 cos 2 x cos x. 2 cos 2 x m .
Lời giải:
Bài 2: Định m ể b
u 2 cos 2 x
.K
Đ t
v
cos
x
u 2 v 2 2
u v uv m
2
u v u 2 v2
2 2
(1) u v 2
u v
m.
2
1 u 2
1 u 2
u 2 v 2 2
u 2 v 2 2
2
(u v) 2
u v
m (u v) 2 2(u v) 2(m 1) 0 .
2
1 u 2
1 u 2
Trần Mạnh Tường
/>
70
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
u 2 v 2 2(C )
u v 1 2m 3 D1
1 u 2
2
2
u v 2(C )
u v 1 2m 3 D
2
1 u 2
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
Rõ ràng D 2 khơng cắt cung ABC .
1
D
có nghiệm D1 cắt cung ABC .
0 1 2m 3 2 .
1 2m 3 3 .
1 m 3 .
XI. PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ CĨ THAM SỐ
1. Phƣơng pháp chung
a. Bài toán 1. T
B ớ
. Độ lậ (
B ớ
. Lậ
B ớ
. D
ắ
ồ
ị à
f x; m 0
ể
)
ỏ
ế
à
ủ
ế
ế
ốx à
ệ
D
f x A m .
ề
à
ố f x trên D.
x
ị
ị ủ
ố
ể
ờ
ẳ
y A m ằ
ố y f x .
B ớ 4. Kế l ậ
ị ầ
ủ
f x A m
ể
ệ
D.
Lƣu ý:
Nế
à
ố y f x
GTLN à GTNN
D
ị
ầ
là
ỏ
ã
min f x A m max f x .
D
Trần Mạnh Tường
D
/>
71
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ
Nế à
ầ
ố ể
ế
ểx
ị
ờ
ẳ
ệ.
b. Bài toán 2. T
. Độ lậ (
B ớ
. Lậ
B ớ
. D
f x; m 0
)
ỏ
ế
à
ế
ốx à
ố f x trên D.
x
ị
là
D
f x A m
là
y A m , ứ là A m min f x
D
ố
ố
D
f x A m .
ể
ệ
ồ
ầ
ồ
ị ằ
ồ
ầ
ồ
ị ằ
khi max f x .
ờ
D
khi min f x .
ớ
ờ
D
f x A m
ể
ệ
f x A m
ị ủ
y A m , ứ là A m max f x
c. Bài toán 3. T
f x; m 0
ề
à
f x A m
Vớ
ẳ
ế
ủ
Vớ
ẳ
y A m ằ
ể
B ớ
TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE
ệ
ệ,
ỉ ầ
à
ắ ồ ị à ố y f x
ể
f x A m
ệ
ú
x D
?
B
f x A m
ệ
ú
x D min f x A m .
B
f x A m
ệ
ú
x D max f x A m .
D
D
Lƣu ý:
C
à
à
l
K
ổ
ế , ầ
2. Các ví dụ
Bài 1: T
ệ
.
, ệ
ế
ề
ệ
ủ
ế
ầ
ế
ổ
ể
ề
ớ.
ệm th c phân biệt : 2 x 1 x m
Lời giải
ể
Đ ều kiện: x 1
P
ã
ới 2 x 1 x m
Xét hàm số f x 2 x 1 x . Ta có f x
f x 0 1 x 1 0 x 0
1
1 x 1
1
x 1
x 1
B ng biến thiên
D a vào b ng biế
Trần Mạnh Tường
ã
ệm th c phân biệt khi 1 m 2 .
/>
72
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
3
3
1 x 1 x m có nghiệm.
Bài 2: Tìm m ể
Lời giải
3
3
Xét hàm số f x 1 x 1 x trên
.
Ta có f x
f x 0
1
3 3 1 x
1
3 3 1 x
lim f x lim
x
x
3
1
3 3 1 x
1
3 3 1 x
2
, x 1
2
0 x0
1 x 3 1 x lim
x
3
1 x 3 x 1
2
lim
1 x
lim f x 0 .
x
x 3
T
2
2
2
x 1
3
2
3
x 1
2
0
B ng biến thiên:
Vậ
ã
ệm khi và chỉ khi 0 m 2 .
Bài 3: Chứng minh rằng m 0 ,
x 2 2 x 8 m( x 2) (K B -2007)
l
ệm th c phân biệt:
Lời giải
Do m 0 nên x 2
2
(1) ( x 2)( x 4) m( x 2) ( x 2)( x 4) m( x 2)
x 2
( x 2) ( x 2)( x 4) 2 m 0 3
2
x 6 x 32 m 0(*)
Yêu cầu Bài quy về chứ
(*)
ột nghiệm trong (2; )
3
2
Biế ổi (*) m x 6 x 32 .
Xét hàm số f ( x) x3 6 x 2 32 với x 2 .
Ta có f ' ( x) 3x 2 12 x 0, x 2
và
lim f ( x)
x
B ng biến thiên:
+
Từ b ng biến thiên suy ra m 0
Vậ
ã
ú
Trần Mạnh Tường
(*)
ú
ột nghiệm x 2 .
ệm th c phân biệt m 0 .
/>
73
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ
TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE
Nhận xét: Sau khi tìm được điều kiện x 2 việc khảo sát hàm số f ( x ) ở trên là rất dễ dàng chủ yếu là
dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số f ( x ) .
ể
ệm duy nh t
Bài 4: T
1
3 1 x 2 2 x3 2 x 2 1 m trên ;1
2
Lời giải
1
Xét hàm số f x 3 1 x 2 2 x3 2 x 2 1 trên ;1 .
2
2
3
3x
3x 4 x
3x 4
x
Ta có f ' ( x)
2
1 x2
x3 2 x 2 1
x3 2 x 2 1
1 x
1
Xét hàm số g x x3 2 x 2 1
trên ;1 . Ta có g x 3x 2 4 x 0 x 0
2
1
D a vào b ng biến thiên ta th y g ( x) 1, x ;1
2
1
5
1
và x ;1 ta có 3( ) 4 3 x 4 3.1 4 3 x 4 7 .
2
2
2
3
3x 4
1
0, x ;1
Suy ra
2
3
2
2
1 x
x 2x 1
f x 0 x 0
D
B ng biến thiên:
ệm duy nh t khi 4 m
Vậ
3 3 22
ho c m 1 .
2
Nhận xét :
3
3x 4
x
là khâu quyết
2
3
2
1 x
x 2x 1
x 2x 1
1 x
định đến việc xét dấu của đạo hàm, mở đường cho việc sử dụng tính chất của hàm số .
Bài 5: Tìm m ể
ú
ệm th c phân biệt
4
4
2 x 2 x 2 6 x 2 6 x m K A 2008 .
Việc sử dụng kỹ năng biến đổi từ
3x
2
3x 2 4 x
3
2
Lời giải
Đ ều kiện 0 x 6
Xét hàm số f x 4 2 x 2 x 2 4 6 x 2 6 x trên 0;6 . Ta có
1 1
1
1 1
3
3
2 x
2 4 2x
4
6 x
6
x
3
3
2
2
1 1 1 1 1
4
2 2 x 4 6 x 4 2 x 4 6 x
f x
Trần Mạnh Tường
/>
74
