Ôn HSG Vật lí 8 PHẦN cơ học

PHẦN CƠ HỌC
Chương I: DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CƠ HỌC – VẬN TỐC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Chuyển động cơ học:
- Định nghĩa: Chuyển động cơ học của một vật là sự thay đổi vị trí của vật đó so với vật
khác được chọn làm mốc theo thời gian.
- Quĩ đạo: Quĩ đạo của chuyển động cơ là tập hợp các vị trí của vật khi chuyển động tạo
ra.
- Các dạng chuyển động: Chuyển động thẳng; chuyển động cong; chuyển động tròn.
2. Vận tốc:
- Vận tốc là 1 đại lượng vật lý đặc trưng cho mức độ nhanh hay chậm của chuyển động
và được xác định bằng độ dài quãng đường đi được trong 1 đơn vị thời gian.
s
s
v=
⇒ s = v.t ; t =
t
v
3. Chuyển động đều và chuyển động không đều:
- Chuyển động đều là chuyển động mà vận tốc có độ lớn khơng đổi theo thời gian.
- Chuyển động không đều là chuyển động mà vận tốc có độ lớn ln thay đổi theo thời
gian.
- Trong chuyển động không đều, vận tốc của vật luôn thay đổi. Vận tốc của vật trên một
quãng đường nhất định được giọi là vân tốc trung bình trên qng đường đó:
vtb =

s s1 + s2 + ... + sn
=
t t1 + t2 + ... + tn

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Chủ đề 1: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỀU
I. Hệ vật chuyển động gặp nhau hoặc cách nhau một đoạn S:
1. Các vật xuất phát vào cùng một thời điểm:
Bài toán tổng quát: Hai vật cùng xuất phát từ 2 địa điểm A và B cách nhau một đoạn S.
Biết vận tốc của vật đi từ A là v1; vận tốc của vật đi từ B là v2 (v1> v2).
a) Hãy xác định vị trí và thời điểm 2 vật gặp nhau.
b) Hãy xác định vị trí và thời điểm 2 vật cách nhau một đoạn S.
Giải:
- Gọi S1; v1; t1 lần lượt là quãng đường, vận tốc và thời gian của vật đi từ A
- Gọi S2; v2; t2 lần lượt là quãng đường, vận tốc và thời gian của vật đi từ B
*TH1: Chuyển động cùng chiều từ A tới B
a) Để 2 vật gặp nhau :
- Ta có: S1= S+S2; t= t1 =t2
S1
- Áp dụng cơng thức tính vận tốc ta có :
s
v1 = 1 ⇒ s1 = v1t1 = v1t ;
t1
A
B
C

.

s
v2 = 2 ⇒ s2 = v2t 2 = v2t
t2

.

.

S2

1


S

- Mà S1= S+S2=> S= S1-S2 =v1t-v2t= (v1-v2)t ⇒ t = v − v
1
2
S

- Vậy sau thời gian t = v − v thì 2 vật gặp nhau. Vị trí gặp nhau cách A một khoảng
1
2
S1 =

v1
S
v1 − v2

b) Để 2 vật cách nhau một đoạn S.
*Trước khi gặp nhau cách nhau 1 đoạn S: *Sau khi gặp nhau cách nhau 1 đoạn S:

A

.

.

M

S1

Ta có:

B

.

S

.

S2

N
A

.

.

B

N

.

.

S − ∆S
v1 − v2

Tương tự:

S1 = S + S2 + ∆S ⇔ S1 − S 2 = S + ∆S

⇔ ( v1 − v2 ) t = S + ∆S ⇒ t =

* TH2: Chuyển động ngược chiều:
a) Khi gặp nhau:
- Ta có: S= S1 +S2; t= t1 =t2 .
- Áp dụng cơng thức tính vận tốc ta có :
v1 =

s1
⇒ s1 = v1t1 = v1t ;
t1

⇒t =

S
v1 + v2

v2 =

M

S

S1

S1 + ∆S = S 2 + S ⇔ S1 − S 2 = S − ∆S
⇔ ( v1 − v2 ) t = S − ∆S ⇒ t =

S2

A

S1

.

C

S + ∆S
v1 − v2

S2

.

.

B

s2

⇒ s2 = v2t2 = v2t - Mà S= S1 +S2 =v1t+v2t= (v1+v2)t
t2

S

- Vậy sau thời gian t = v + v thì 2 vật gặp nhau. Vị trí gặp nhau cách A một khoảng
1
2
S1 =

v1
S
v1 + v2

b) Để 2 vật cách nhau một đoạn S.
*Trước khi gặp nhau cách nhau 1 đoạn S:

A

.

Ta có:

S1
M

.

∆S

.

S2

N

S1 + ∆S + S 2 = S ⇔ S1 + S 2 = S − ∆S

⇔ ( v1 + v2 ) t = S − ∆S ⇒ t =

S − ∆S
v1 + v2

.

B

*Sau khi gặp nhau cách nhau 1 đoạn S:

A

.

S1
N

.

∆S

.

S2

M

.

B

Tương tự: Ra có: AM + MB = AB

⇔ S1 + S 2 − ∆S = S ⇔ S1 + S2 = S + ∆S
⇔ ( v1 + v2 ) t = S + ∆S ⇒ t =

S + ∆S
v1 + v2
2


Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Hai người xuất phát cùng một lúc từ 2 địa điểm A và B cách nhau 60km. Người
thứ nhất đi xe máy từ A đến B với vận tốc v 1=30km/h. Người thứ hai đi xe đạp từ B ngược
về A với vận tốc v2=10km/h. Coi chuyển động của hai người là chuyện động đều.
a. Hỏi sau bao lâu hai người gặp nhau? Xác định chỗ gặp nhau đó?
b. Hỏi sau bao lâu hai người cách nhau 20km.
*TH1: Chuyển động cùng chiều từ A tới B
a) Để 2 vật gặp nhau tại C:
- Ta có: S1= S+S2; t= t1 =t2
- Áp dụng cơng thức tính vận tốc ta có :

v1 =

A

S1

.

B

.

.

C

S2

s1
s
⇒ s1 = v1t1 = v1t = 30t ; v2 = 2 ⇒ s2 = v2t2 = v2t = 10t
t1
t2

- Mà S1= S+S2=> S= S1-S2 =30t-10t= 20t ⇒ t =

S 60
=
= 3h
20 20

- Vậy sau thời gian t = 3h thì 2 vật gặp nhau. Vị trí gặp nhau cách A một khoảng
S1 = v1t = 30.3 = 90km

b) Để 2 vật cách nhau một đoạn S.
Ta có:

A

.

.

M

S1

B

.

S

.

N

S2

S1 + ∆S = S 2 + S ⇔ S1 − S 2 = S − ∆S

⇔ ( v1 − v2 ) t = S − ∆S ⇒ t =

S − ∆S 60 − 20
- Vậy sau thời gian t = 2h thì 2 vật cách nhau
=
= 2h
v1 − v2 30 − 10

1 đoạn 20km
* TH2: Chuyển động ngược chiều:
a) Khi gặp nhau tại C:
- Ta có: S= S1 +S2; t= t1 =t2 .
A
- Áp dụng công thức tính vận tốc ta có :
s
s
v1 = 1 ⇒ s1 = v1t1 = 30t ; v2 = 2 ⇒ s2 = v2t 2 = 10t
t1
t2
- Mà S= S1 +S2 =30t+10t= 40t ⇒ t =

.

S1
C

.

S2

.

B

S 60
=
= 1,5h
40 40

- Vậy sau thời gian t = 1,5h thì 2 vật gặp nhau. Vị trí gặp nhau cách A một khoảng
S1 = 30t = 30.1,5 = 45km

b) Để 2 vật cách nhau một đoạn S=20km.
* Trước khi gặp nhau cách nhau 1 đoạn * Sau khi gặp nhau cách nhau 1 đoạn
S:
S:

A

.

Ta có:

S1
M

.

∆S

.

N

S2

.

B

3


S1 + ∆S + S 2 = S ⇔ S1 + S 2 = S − ∆S
⇔ ( v1 + v2 ) t = S − ∆S ⇒ t =

S − ∆S 60 − 20
=
= 1h
v1 + v2 30 + 10

- Vậy sau thời gian t = 1h thì 2 vật cách
nhau 1 đoạn 20km trước khi gặp nhau.

A

.

S1
N

.

Tương tự:

.

∆S

S2

.

B

M

AM + MB = AB
⇔ S1 + S 2 − ∆S = S ⇔ S1 + S 2 = S + ∆S
⇔ ( v1 + v2 ) t = S + ∆S

S + ∆S 60 + 20
=
= 2h
v1 + v2 30 + 10
- Vậy sau thời gian t = 2h thì 2 vật cách
⇒t =

nhau 1 đoạn 20km sau khi gặp nhau.
Ví dụ 2: Hai người xuất phát cùng một lúc từ 2 địa điểm A và B cách nhau 40km và đi

theo cùng một chiều từ A đến B. Người thứ nhất đi xe máy từ A với vận tốc v 1=30km/h.
Người thứ hai đi xe đạp từ B với vận tốc v2=10km/h. Coi chuyển động của hai người là
chuyện động đều.
a. Hỏi sau bao lâu hai người gặp nhau? Xác định chỗ gặp nhau đó?
b. Hỏi sau bao lâu hai người cách nhau 10km.
*TH1: Chuyển động cùng chiều từ A tới B
a) Để 2 vật gặp nhau tại C:
- Ta có: S1= S+S2; t= t1 =t2
- Áp dụng cơng thức tính vận tốc ta có :
v1 =

A

S1

.

B

.

.
S2

C

s1
s
⇒ s1 = v1t1 = v1t = 30t ; v2 = 2 ⇒ s2 = v2t 2 = v2t = 10t
t1

t2

- Mà S1= S+S2=> S= S1-S2 =30t-10t= 20t ⇒ t =
- Vậy sau thời gian t = 2h thì 2 vật gặp nhau.
Vị trí gặp nhau cách A một khoảng
S1 = v1t = 30.2 = 60km

b) Để 2 vật cách nhau một đoạn S=10km.
Ta có:

S 40
=
= 2h
20 20

A

.

S1

.

M

B

.

S

S2

.

N

S1 + ∆S = S 2 + S ⇔ S1 − S 2 = S − ∆S

S − ∆S 60 − 10
=
= 2,5h
v1 − v2 30 − 10
- Vậy sau thời gian t = 2,5h thì 2 vật cách nhau 1 đoạn 10km.
⇔ ( v1 − v2 ) t = S − ∆S ⇒ t =

Ví dụ 3: Một người đi xe đạp với vận tốc v 1=8km/h và một người đi bộ với vận tốc
v2=4km/h khởi hành cùng một lúc ở cùng một nơi và chuyển động ngược chiều nhau. Sau
khi đi được 30 phút, người đi xe đạp dừng lại nghỉ 30 phút rồi quay trở lại đuổi theo người
đi bộ với vận tốc như cũ. Hỏi kể từ lúc khởi hành sau bao lâu người đi xe đạp đuổi kịp
người đi bộ.
4


- Quãng đường người đi xe đạp đi trong thời gian t1=30′=0,5h là:
S’1=v1.t1=8.0,5=4km
- Quãng đường người đi bộ đi trong 1h (do người đi xe đạp có nghỉ 30'):
S’2=v2.t2=4.1=4km
- Khoảng cách 2 người sau khi khởi hành 1h là: S=S’1+S’2=8km
- Kể từ lúc này xem như 2 chuyển động
S1

cùng chiều đuổi nhau. Gọi vị trí gặp nhau
là C.
- Ta có: S1= S+S2; t= t1 =t2
O
A
B
- Áp dụng cơng thức tính vận tốc ta có :

.

.

.

.

S2

C

s1
s
⇒ s1 = v1t1 = 8t ; v2 = 2 ⇒ s2 = v2t 2 = 4t
t1
t2
- Mà S1= S+S2=> S= S1-S2 =8t-4t=4t
- Thời gian kể từ lúc quay lại cho đến khi gặp nhau là
v1 =

t=

S 8
= = 2h
4 4

- Vậy sau T=0,5+0,5+2=3h kể từ lúc khởi hành người đi xe đạp đuổi kịp người đi bộ.
Vị trí gặp nhau cách vị trí gặp nhau lần 1 là:
OC = OB + BC = S’2 + S2 = 4 + v2.t = 6 + 4.2 = 14km
Ví dụ 4: Hai anh em Bình và An muốn đến thăm bà cách nhà mình 16km. Nhưng chỉ có
một chiếc xe khơng đèo được. Vận tốc của Bình khi đi bộ và khi đi xe đạp lần lượt là v 1 =
4km/h, v2 = 10km/h. Còn An là v3 = 5km/h, v4 = 12km/h. Hỏi hai anh em có thể thay nhau
dùng xe như thế nào để xuất phát cùng một lúc và đến nơi cùng lúc.
Tóm tắt:
Vận tốc của Bình khi đi bộ và xe đạp lần lượt là v1 = 4km/h, v2 = 10km/h
Vận tốc của An khi đi bộ và xe đạp lần lượt là v3 = 5km/h, v4 = 12km/h
Quãng đường s = 16km
Hỏi 2 anh em thay nhau dùng xe như thế nào?
Gọi S1 là qng đường đi bộ của Bình, nó cũng chính là quãng đường đi xe đạp
của An. Khi đó (16 – S1) là quãng đường đi xe đạp của Bình, nó cũng chính là qng
đường đi bộ của An. Gọi t là thời gian kể từ khi hai anh em xuất phát đến khi đến nhà
bà
S1 16 − S1
+
4
10
16 − S1 S1
+
+ Thời gian đi bộ và đi xe đạp của An là: t An = t1' + t2' =
5
12

+ Thời gian đi bộ và đi xe đạp của Bình là: t Binh = t1 + t2 =

+ Vì 2 bạn xuất phát cùng một lúc và đến nơi cùng lúc nên theo đề ra ta có:
tAn= tBinh

S1 16 − S1 16 − S1 S1
+
=
+
⇒ S1 = 6km
4
10
5
12

Vậy Bình đi bộ 6km, rồi đi xe đạp 10km. Cịn An thì ngược lại
5


Ví dụ 5: Người thứ nhất khởi hành từ A đến B với vận tốc 8km/h. Cùng lúc đó người
thứ 2 và thứ 3 cùng khởi hành từ B về A với vận tốc lần lượt là 4km/h và 15km/h. Khi
người thứ 3 gặp người thứ nhất thì ngay lập tức quay lại chuyển động về phía người thứ 2.
Khi gặp người thứ 2 cũng lập tức quay lại chuyển động về phía người thứ nhất và q
trình cứ thế tiếp diễn cho đến lúc ba người ở cùng một nơi. Hỏi kể từ lúc khởi hành cho
đến khi 3 người ở cùng 1 nơi thì người thứ ba đã đi được quãng đường bằng bao nhiêu?
Biết chiều dài quãng đường AB là 48km.
Tóm tắt:
v1 = 8km/h;
v2 = 4km/h;

v3 = 15km/h
Tính s3 = ?
- Vì ba người xuất phát cùng một lúc nên khi gặp nhau thì thời gian đi được đều
bằng nhau và bằng t.
+ Khi cả ba người gặp nhau thì người thứ nhất và người thứ 2 đã đi được quãng
đường lần lượt là: s1 = v1.t = 8t và s2 = v2.t = 4t
+ Khi cả ba người gặp nhau thì: S1+S2 = S => 8t + 4t = 48 ⇒ t = 4h
+ Vì người thứ 3 đi liên tục không nghỉ nên tổng quãng đường người thứ 3 đi là:
s3 = v3.t = 15.4 = 60km.

6


2. Các vật xuất phát vào các thời điểm khác nhau:
- Khi 2 vật xuất phát vào các thời điểm khác nhau. Để đơn giản ta chọn mốc thời gian
gắn với vật xuất phát đầu tiên.
- Giả sử thời gian chuyển động của vật xuất phát trước là t 1=t. Khi đó vật xuất phát thứ
2 (Sau vật đầu tiên thời gian là t0) sẽ có thời gian là t2=t-t0
* Bài toán: Xét hai vật xuất phát từ 2 địa điểm A và B cách nhau một đoạn S. Biết vận
tốc của vật đi từ A là v 1; vận tốc của vật đi từ B là v 2 (v1> v2). Vật từ A xuất phát trước, sau
đó một khoảng thời gian t0 vật từ B xuất phát.
a) Hãy xác định vị trí và thời điểm 2 vật gặp nhau.
b) Hãy xác định vị trí và thời điểm 2 vật cách nhau một đoạn S.
Giải:
* TH1: Chuyển động cùng chiều từ A tới B
a) Khi gặp nhau:
- Gọi thời gian vật xuất phát từ A cho tới lúc gặp nhau là t 1. Khi đó vật xuất phát từ B sẽ có
thời gian là t2=t1-t0
S1
- Vì chúng gặp nhau tại C nên ta có:

S1 − S 2 = S ⇔ v1t1 − v2t2 = S

⇔ v1t1 − v2 ( t1 − t0 ) = S ⇔ v1t1 − v2t1 + v2t0 = S

A

.

B

.

.

C

S2

S − v2t0
⇔ ( v1 − v2 ) t1 = S − v2t0 ⇒ t1 =
v1 − v2

Vậy sau thời gian t1 kể từ lúc vật tại A xuất phát thì 2 vật gặp nhau. Vị trí gặp nhau cách A
 S − v2t0 
 S − v2t0

− t0 ÷
÷ và cách B một đoạn: S 2 = v2t2 = v2 ( t1 − t0 ) = v1 
 v1 − v2 
 v1 − v2



một đoạn S1 = v1t1 = v1 

b) Khi 2 vật cách nhau một đoạn S:
- Gọi thời gian vật xuất phát từ A cho tới lúc cách nhau đoạn S là t1. Khi đó vật xuất
phát từ B sẽ có thời gian là t2=t1-t0
*Trước khi gặp nhau cách nhau 1 đoạn S: *Sau khi gặp nhau cách nhau 1 đoạn S:

A

.

Ta có:

S1

.

M

B

.

S
S2

S1 + ∆S = S 2 + S ⇔ S1 − S 2 = S − ∆S
⇔ v1t1 − v2t 2 = S − ∆S

.

N

A

.

.

B

N

.

.

M

S

S1

Tương tự:

S1 = S + S 2 + ∆S ⇔ S1 − S 2 = S + ∆S

⇔ v1t1 − v2 ( t1 − t0 ) = S − ∆S

⇔ v1t1 − v2t2 = S + ∆S

⇔ v1t1 − v2t1 + v2t0 = S − ∆S

⇔ v1t1 − v2 ( t1 − t0 ) = S + ∆S

⇔ ( v1 − v2 ) t1 = S − ∆S − v2t0
⇒ t1 =

S2

⇔ v1t1 − v2t1 + v2t0 = S + ∆S

S − ∆S − v2t0
v1 − v2

⇔ ( v1 − v2 ) t1 = S + ∆S − v2t0
⇒ t1 =

* TH2: Chuyển động ngược chiều
a) Khi gặp nhau:
A

.

S + ∆S − v2t0
v1 − v2
S1
C

.

S2

.

B

7


- Gọi thời gian vật xuất phát từ A cho tới lúc gặp nhau là t 1. Khi đó vật xuất phát từ B sẽ có
thời gian là t2=t1-t0
- Vì chúng gặp nhau tại C nên ta có:
S1 + S 2 = S ⇔ v1t1 + v2t 2 = S

⇔ v1t1 + v2 ( t1 − t0 ) = S ⇔ v1t1 + v2t1 − v2t0 = S
⇔ ( v1 + v2 ) t1 = S + v2t0 ⇒ t1 =

S + v2t0
v1 + v2

Vậy sau thời gian t1 kể từ lúc vật tại A xuất phát thì 2 vật gặp nhau. Vị trí gặp nhau cách A
 S + v2t0 
 S + v2t0

− t0 ÷
÷ và cách B một đoạn: S 2 = v2t2 = v2 ( t1 − t0 ) = v1 
 v1 + v2 

 v1 + v2


một đoạn S1 = v1t1 = v1 

b) Khi 2 vật cách nhau một đoạn S:
- Gọi thời gian vật xuất phát từ A cho tới lúc cách nhau đoạn S là t1. Khi đó vật xuất
phát từ B sẽ có thời gian là t2=t1-t0
Trước khi gặp nhau

A

.

S1
M

.

∆S

.

N

Sau khi gặp nhau
S2

.

B

S1 + ∆S + S2 = S ⇔ S1 + S 2 = S − ∆S
⇔ v1t1 + v2t2 = S − ∆S

⇔ v1t1 + v2 ( t1 − t0 ) = S − ∆S
⇔ v1t1 + v2t1 − v2t0 = S − ∆S

⇔ ( v1 + v2 ) t1 = S − ∆S + v2t0
S − ∆S + v2t0
⇒ t1 =
v1 + v2

A

.

S1
N

.

∆S

.

S2

M

.

B

Ta có: AM + MB = AB
S1 + S2 − ∆S = S ⇔ S1 + S 2 = S + ∆S
⇔ v1t1 + v2t2 = S + ∆S

⇔ v1t1 + v2 ( t1 − t0 ) = S + ∆S
⇔ v1t1 + v2t1 − v2t0 = S + ∆S

⇔ ( v1 + v2 ) t1 = S + ∆S + v2t0

S + ∆S + v2t0
v1 + v2
Ví dụ 6: Lúc 7h một người đi bộ từ A đến B với vận tốc 4km/h. Lúc 9h một người đi
xe đạp từ A đuổi theo với vận tốc 12km/h.
a) Tính thời điểm và vị trí họ gặp nhau?
b) Lúc mấy giờ họ cách nhau 2km?
Tóm tắt:
t1 = t (h); t2 = (t – 2) (h)
v1 = 4km/h; v2 = 12km/h
a) Thời điểm gặp nhau ?
b) Khi cách nhau 2km là mấy giờ ?
Hướng dẫn:
a) Gọi t (h) là thời gian gặp nhau của hai người (kể từ lúc người đi bộ xuất phát).
Vậy thời gian của người đi xe đạp là (t – 2) (h).
+ Quãng đường mà người đi bộ đi được là: s1 = v1t = 4t
+ Quãng đường mà người đi xe đạp đi được là: s2 = v2(t – 2) = 12t – 24
+ Khi người đi bộ và người đi xe đặp gặp nhau thì:

⇒ t1 =

8


s1 = s 2 ⇒ 4 t = 12t − 24 ⇒ t = 3h
+ Vậy khi hai người gặp nhau là lúc 10 giờ
+ Vị trí gặp nhau cách A là: x = s1 = 4t = 12km
b) Lúc mấy giờ họ cách nhau 2km
TH1: Họ cách nhau 2 km trước khi gặp nhau
Gọi t (h) là thời gian kể từ khi người đi bộ xuất phát cho đến khi hai người cách
nhau 2km (trước khi gặp nhau). Vậy thời gian của người đi xe đạp khi đó là (t – 2) (h)

A

M

N

+ Quãng đường mà người đi bộ đi đưuọc là: s1 = v1t = 4t
+ Quãng đường mà người đi xe đạp đi được là: s2 = v2(t – 2) = 12t – 24
+ Ta có: s1 − s 2 = 2 ⇔ 4t − (12 t − 24 ) = 2 ⇒ t = 2,75h = 2 giờ 45 phút
+ Sau 2 giờ 45 phút thì người đi xe đạp cách người đi bộ 2 km. Vậy lúc 9 giờ 45
phút thì hai người cách nhau 2km
TH2: Họ cách nhau 2 km sau khi đã gặp nhau
Gọi t (h) là thời gian kể từ khi người đi bộ xuất phát cho đến khi hai người cách
nhau 2km (sau khi gặp nhau). Vậy thời gian của người đi xe đạp khi đó là (t – 2) (h)

A

M

N

+ Quãng đường mà người đi bộ đi được là: s1 = v1t = 4t
+ Quãng đường mà người đi xe đạp đi được là: s2 = v2(t – 2) = 12t – 24
+ Ta có: s2 – s1 = 2 (12t – 24 ) – 4t = 2 8t = 26 t = 3,25h = 3 giờ 15 phút
Sau 3 giờ 15 phút thì người đi xe đạp cách người đi bộ 2 km. Vậy lúc 10 giờ 15 phút
thì hai người cách nhau 2km.

9


II. Bài toán đến chậm, đến sớm hơn so với thời gian dự định.
- Gọi t1 là thời gian dự định; t2 là thời gian thực tế.
+ Nếu đến chậm hơn so với dự định một khoảng thời gian ∆t thì ∆t = t1 − t2
+ Nếu đến sớm hơn so với dự định một khoảng thời gian ∆t thì ∆t = t2 − t1
* Bài toán 1: Xét một vật dự định chuyển động trên đoạn đường AB=S với vận tốc v1.
a) Nếu tăng vận tốc lên tới v2 (với v2>v1) thì sẽ đến sớm hơn so với dự định một khoảng
là ∆t . Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi hết quãng đường đó?
b) Nếu giảm vận tốc xuống cịn v2 (với v2khoảng là ∆t . Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi hết quãng đường đó?
Giải:
S

( 1)

- Gọi thời gian dự định đi hết quãng đường AB là t1: ⇒ t1 = v

1

S

- Thời gian vật đi với vận tốc v2 (với v2>v1) là t2: ⇒ t2 = v

( 2)

2

a) Vì vật đến sớm hơn so với dự định một khoảng ∆t :
⇒ ∆t = t1 − t2 ⇒

1 1
S S
∆t
− = ∆t ⇔ S  − ÷ = ∆t ⇒ AB = S =
1 1
v1 v2
 v1 v2 
−
v1 v2


S 1  ∆t
- Thời gian dự định là: t1 = =  1 1
v1 v1  −
v v
2
 1


÷
÷
÷
÷


b) Vì vật đến muộn hơn so với dự định một khoảng ∆t :
⇒ ∆t = t2 − t1 ⇒

1 1
S S
∆t
− = ∆t ⇔ S  − ÷ = ∆t ⇒ AB = S =
1 1
v2 v1
 v2 v1 
−
v2 v1


S 1  ∆t
- Thời gian dự định là: t1 = =  1 1
v1 v1  −
v v
1
 2


÷

÷
÷
÷


* Bài toán 2: Xét một vật chuyển động trên đoạn đường AB=S.
a) Khi đi được đoạn đường S1 (với S1v2>v1) thì sẽ đến sớm hơn hơn so với dự định một khoảng ∆t . Tính quãng đường AB và
thời gian dự định đi hết quãng đường đó?
b) Khi đi được đoạn đường S1 (với S1(với v2và thời gian dự định đi hết quãng đường đó?
Giải:
S

- Gọi thời gian dự định đi hết quãng đường AB là tdđ: ⇒ tdđ = v ( 1)
1
a) Khi đi được đoạn đường S1 (với S1S

1
S1 là t1: ⇒ t1 = v ( 1)
1

10


S − S1

S

2
- Thời gian đi đoạn còn lại S2=S-S1 là t2: ⇒ t2 = v = v
2
2

S

S

S

S − S1

1
2
1
- Thời gian đi thực tế là tttế: ⇒ ttte = t1 + t2 = v + v = v + v
1
2
1
2
- Vì vật đến sớm hơn so với dự định 1 khoảng ∆t :

S  S1 S − S1 
S S1 S − S1
− +
÷ ⇔ ∆t = − −
v1  v1
v2 

v1 v1
v2
1 1
S − S1 S − S1
∆t
∆t
⇔ ∆t =
−
= ( S − S1 )  − ÷ ⇔ S − S1 =
⇒ AB = S = S1 +
1 1
1 1
v1
v2
 v1 v2 
−
−
v1 v2
v1 v2

⇒ ∆t = tdđ − ttte ⇔ ∆t =




S 1
∆t ÷
- Thời gian dự định là: ⇒ tdđ = =  S1 + 1 1 ÷
v1 v1 
− ÷


v
v2 ÷
1


b) Vật đến muộn hơn so với dự định 1 khoảng ∆t :
S
- Thời gian dự định: ⇒ tdđ = v
1
S1
- Thời gian đi đoạn S1: ⇒ t1 = v
1
S 2 S − S1
- Thời gian đi đoạn S2: ⇒ t2 = v = v
2
2
S1 S 2 S1 S − S1
- Thời gian đi thực tế: ⇒ ttte = t1 + t2 = v + v = v + v
1
2
1
2
- Vì vật đến muộn hơn so với dự định 1 khoảng ∆t :
 S S − S1  S
S1 S − S1 S
⇒ ∆t = ttte − tdđ ⇔ ∆t =  1 +
−
÷− ⇔ ∆t = +
v2  v1

v1
v2
v1
 v1
⇔ ∆t =

1 1
S1 − S S1 − S
∆t
∆t
−
= ( S1 − S )  − ÷⇔ S1 − S =
⇒ AB = S = S1 −
1 1
1 1
v1
v2
 v1 v2 
−
−
v1 v2
v1 v2

- Thời gian dự định: ⇒ tdđ


S 1
∆t
= =  S1 −
1

1
v1 v1 
−

v1 v2



÷
÷
÷
÷


Ví dụ: Một người dự định đi bộ trên một quãng đường với vận tốc không đổi 5km/h.
Nhưng đi đến đúng nửa đường thì nhờ được một bạn đèo xe đạp và đi tiếp với vận tốc
không đổi 12 km/h do đó đến sớm hơn dự định 28 phút. Hỏi nếu người ấy đi bộ hết toàn
bộ qng đường thì hết bao nhiêu lâu.
Tóm tắt:
Nửa đường đầu đi với v1 = 5 km/h
Nửa còn lại đi với v2 = 12 km/h
Thời gian dự định là t1. Đến sớm hơn 28 phút.
Tính t1=?
11


Hướng dẫn
Gọi chiều dài mỗi nửa quãng đường là s (km). Thời gian dự định đi là t 1 (h) và thời
gian đi thực tế là t2 (h).
28

t1 − t2 =
(1)
+ Theo bài ra ta có:
60
2s
+ Thời gian t1 đi theo dự định: t1 =
(2)
5
s s
+ Thời gian đi thực tế là: t2 = +
(3)
5 12
+ Thay (2) và (3) vào (1) ta có:
2s  s s  28
−  + ÷=
⇒ s = 4km
5  5 12  60
+ Thời gian đi bộ hết quãng đường: t1 =

2s 8
= = 1, 6h = 1 giờ 36 phút
5 5

Vậy nếu người đó đi bộ hết tồn bộ qng đường thì hết thời gian là 1 giờ 36 phút.

12


III. Bài tốn vật chuyển động có phương vng góc nhau:
A. Phương pháp:

- Vẽ hình, biểu diễn vị trí đầu và cuối của các chuyển động.
- Tính quãng đường của các chuyển động theo thời gian t.
- Dựa vào hình vẽ để tính (Chủ yếu dựa vào định lý Pitago trong tam giác vng)
*Chú ý: Tìm Max, Min của hàm số: y = ax 2 + bx + c
Ta có:

b 
b
b2
b2 

y = ax 2 + bx + c = a  x 2 + x ÷+ c = a  x 2 + 2 x
+ 2 − 2 ÷+ c
a 
2a 4a
4a 


2
2
2

b 
b2 
b  b2
b  4ac − b 2


= a  x +
−

+
c
=
a
x
+
−
+
c
⇒
y
=
a
x
+

÷

÷

÷ +
2a  4a 2 
2a  4a
2a 
4a



b
4ac − b 2

- Nếu a>0 => yMin =
Đạt được khi và chỉ khi: x = −
2a
4a
2
b
4ac − b
- Nếu a<0 => yMax =
Đạt được khi và chỉ khi: x = −
2a
4a

B. Bài toán tổng quát:
Trong hệ tọa độ xOy, có 2 vật nhỏ A và B chuyển động
thẳng đều. Lúc bắt đầu chuyển động vật A ở O và vật B
thuộc Oy cách A một đoạn AB=S. Biết vận tốc của vật
A là vA=v1 chuyển động theo hướng Ox; vận tốc của
vật B là vB=v2 chuyển động theo hướng Oy.
a) Tìm thời điểm để 2 vật cách nhau một đoạn d.
b) Tìm thời điểm để khoảng cách 2 vật là nhỏ nhất.
Tìm khoảng cách nhỏ nhất đó.
Giải
a) t=? để 2 vật cách nhau một đoạn d.
- Quãng đường vật A đi được sau thời gian t:
AA1=S1=v1t
- Quãng đường vật B đi được sau thời gian t:
BB1=S2=v2t
- Khoảng cách 2 vật sau thời gian t:
A1B1=d
- Theo Pitago ta có:

A1 B12 = AA12 + AB12 ⇔ d 2 = S12 + ( S − S2 )

.B
S2

.B
A
O

1

d

.

.
S1

A1

2

⇔ d 2 = S12 + S 2 − 2S .S 2 + S 22
⇔ S12 + S 22 − 2 S .S 2 + S 2 − d 2 = 0
⇔ ( v1t ) + ( v2t ) − 2S .v2t + S 2 − d 2 = 0
2

(

2

)

⇔ v12 + v22 t 2 − 2 Sv2 .t + S 2 − d 2 = 0

( *)

- Giải phương trình (*) ẩn t ta sẽ tìm được t. Giá trị t chính là thời điểm để 2 vật cách nhau
1 đoạn d.
b) t=? để khoảng cách 2 vật là nhỏ nhất.
2
2
2
2
2
- Từ PT (*) ta có: ⇔ d = ( v1 + v2 ) t − 2Sv2 .t + S
13


2
2
2
2
2
Đặt y = ( v1 + v2 ) t − 2Sv2 .t + S ⇒ d = y ⇔ d = y
Vậy để d đạt Min => y đạt Min.
2
2
2
2

Xét hàm số: y = ( v1 + v2 ) t − 2Sv2 .t + S
2
2

 Sv2   Sv2  
Sv2
2
y = v + v t − 2Sv2 .t + S = v + v t − 2.t 2 2 +  2 2 ÷ −  2 2 ÷  + S 2
v1 + v2  v1 + v2   v1 + v2  



(

2
1

2
2

)

2

2

(

2
1

2
2

)

2

2


Sv2 
S 2 v22
Sv2 
v22 
2
2
2 
2
= v + v  t − 2 2 ÷ − 2 2 + S = v1 + v2  t − 2 2 ÷ + S  1 − 2 2 ÷
 v1 + v2  v1 + v2
 v1 + v2 
 v1 + v2 

(

2
1

2

2

)

(

2

)

2


 v2 + v2 − v2 

Sv 
Sv 
S 2v 2
= v + v  t − 2 2 2 ÷ + S 2  1 2 2 2 2 ÷ = v12 + v22  t − 2 2 2 ÷ + 2 1 2
 v1 + v2 
 v1 + v2 
 v1 + v2  v1 + v2
S 2v 2
S 2v 2
⇒ y ≥ 2 1 2 ⇒ yMin = 2 1 2
v1 + v2
v1 + v2
Sv2
Đạt được khi và chỉ khi : t = v 2 + v 2
1

2
y

(

2
1

2
2

)

(

)

C. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ xOy (hình bên), có 2 vật nhỏ A và
B chuyển động thẳng đều. Lúc bắt đầu chuyển động vật A ở O
O và vật B thuộc Oy cách A một đoạn AB=S=100m. Biết
A
vận tốc của vật A là vA=v1 =6m/s chuyển động theo hướng
Ox; vận tốc của vật B là vB=v2 =2m/s chuyển động theo
hướng Oy.
a) Sau bao lâu kể từ khi bắt đầu chuyển động, hai vật A
và B lại cách nhau 100m.
b) Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật A và B.
Giải:
a) t=? để 2 vật cách nhau một đoạn d.

- Quãng đường vật A đi được sau thời gian t:
AA1=S1=v1t=6t
- Quãng đường vật B đi được sau thời gian t:
O
BB1=S2=v2t=2t
A
- Khoảng cách 2 vật sau thời gian t:
A1B1=d
- Theo Pitago ta có:
B

.v

1

x
V2

.B
y

.

A1 B12 = AA12 + AB12 ⇔ d 2 = S12 + ( S − S2 )

2

.

(*)

⇔ 1002 = ( 100 − 2t ) + 36t 2 ⇒ 40t 2 − 400t = 0 ⇒ t = 10 s
2

.

A1
d

x

1

.B

- Vậy sau thời gian t=2s thì 2 vật cách nhau 100m
b) t=? để khoảng cách 2 vật là nhỏ nhất.
- Từ PT (*) ta có: ⇔ d 2 = 40t 2 − 400t + 1002 ⇒ d = 40t 2 − 400t + 1002
Đặt y = 40t 2 − 400t + 1002 ⇒ d = y
Vậy để d đạt Min => y đạt Min.
2
Xét hàm số: y = 40t 2 − 400t + 1002 = 40 ( t − 5 ) + 9000 ≥ 9000 =>Min y=9000 đạt được khi t=5s
Vậy: d Min = y = 9000 = 30 10
14


Ví dụ 2: Hai ơ tơ qua ngã tư cùng một lúc theo đường vng góc với nhau. Vận tốc của ô
tô thứ nhất và thứ hai lần lượt là v1 = 8m/s và v2 = 6m/s. Coi chuyển động của mỗi xe là
thẳng đều. Lúc xe 2 cách ngã tư 120 m thì hai xe cách nhau bao nhiêu mét?
Hướng dẫn:

Khi xe 2 cách ngã tư 120m thì thời gian chuyển động là:
s2 = v2t  ⇒ t =

s2 120
=
= 20( s )
v2
6

Trong thời gian đó xe 1 đã chạy được quãng đường là:
1

x

s2

v2
v1

1

s1

s = v t=8.20=160(m)
Vậy khoảng cách giữa hai xe khi đó là:
∆x = s12 + s22 = 1202 + 160 2 = 200(m)

Ví dụ 3: Có hai bố con bơi thi trên bể bơi hình chữ nhật có
chiều dài AB = 50m và chiều rộng BC = 30m. Họ qui ước là chỉ
được bơi theo mép bể. Bố xuất phát từ M với MA = 10m và bơi

về B với vận tốc không đổi v1 = 4m/s. Con xuất phát từ N với
NB = 18 m và bơi về C với vận tốc không đổi v 2 = 3m/s (hình
bên). Cả hai xuất phát cùng lúc
a) Tìm khoảng cách giữa hai người sau khi xuất phát 2s.
b) Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai người (trước khi
chạm thành bể dối diện)

C

D

N
A

B

M

Hướng dẫn:
1

a) Sau khi xuất phát được t = 2s hai người cách vị trí xuất phát là:
1

1 1

s = v .t = 8 m
2

C

D

2 1

s = v .t = 6 m
+ Khi đó người bố cách B là: ∆x1 = MB − s1 = 32m
+ Khi đó người con cách B là: ∆ x2 = NB + s2 = 24m
Khoảng cách giữa hai bố con lúc này là:
∆h = ∆x + ∆x = 32 + 24 = 40(m)
2
1

2
2

2

2

N1

A

N

M
v1

M1

v2
B

 s11 = v1t1 = 4t
b) Sau khi xuất phát được t(s) hai người cách vị trí xuất phát là 
s22 = v2t2 = 3t
+ Khi đó người bố cách B là: ∆x11 = MB − s11 = 40 − 4t
+ Khi đó người con cách B là: ∆ x22 = NB + s22 = 18 + 3t
Khoảng cách giữa hai bố con:
d 2 = ∆ x 211 + ∆ x 2 21 ⇔ d 2 = 25t 2 − 212t + 1924 ⇒ 25t 2 − 212t + 1924 − d 2 = 0 (*)
15


Ta có: ∆ ' = 1062 − 25(1924 − d 2 )
Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm:
∆ ' ≥ 0 ⇔ 1062 − 25(1924 − d 2 ) ≥ 0 ⇒ d > 38, 4 m ⇒ d min = 38, 4m

B

C

D

Ví dụ 4: Có hai xe cùng xuất phát từ A và chuyển động đều.
Xe thứ nhất chuyển động theo hướng ABCD với vận tốc v 1 =
40 km/h. Ở tại mỗi địa điểm B và C xe đều nghỉ 15 phút. Hỏi:
a) Xe thứ hai chuyển động theo hướng ACD phải đi với A
vận tốc v2 bằng bao nhiêu để có thể gặp xe thứ nhất tại C.
b) Nếu xe thứ hai nghỉ tại C với thời gian 30 phút thì

phải đi với vận tốc là bao nhiêu để về D cùng lúc với xe thứ nhất? Biết AB = CD = 30 km,
BC = 40 km.
Hướng dẫn:
a) Ta có: AC 2 = AB 2 + BC 2 = 302 + 402 = 2500 ⇒ AC = 50km
AB 30 3
=
= h
+ Thời gian xe 1 đi đoạn AB là: t1 =
v1 40 4
1
+ Thời gian xe 1 nghỉ tại B, C là: 15 phut = h
4
BC 40
=
= 1h
+ Thời gian xe 1 đi đoạn BC là: t2 =
v2
40
+ Trường hợp 1: xe 2 gặp xe 1 vừa tới C:
AC
50
v2 =
=
= 25km / h
+ Vận tốc xe 2 phải đi
1
3 1
t1 + + t2
+ +1
4

4 4
+ Trường hợp 2: xe 2 gặp xe 1 lúc xe 1 bắt đầu rời khỏi C:
AC
50
v '2 =
=
= 22,22km / h
+ Vận tốc xe 2 phải đi:
1
1 3 1
1
t1 + + t2 +
+ +1+
4
4 4 4
4
+ Vậy để gặp xe 1 tại C thì xe 2 phải đi với vận tốc: 22,22 ≤ v2 ≤ 25
1
1
b) Thời gian xe 1 đi hết quãng đường ABCD là: t3 = t1 + + t2 + + t1 = 3h
4
4
+ Để xe 2 về D cùng lúc với xe 1 thì thời gian xe 2 phải đi trên quãng đường
1
ACD là: t4 = t3 − = 2,5h
2
AC + CD 50 + 30
=
= 32km / h
+ Vận tốc xe 2 khi đó là: v '' =

t4
2,5

16


Chủ đề 2. DẠNG TỐN VẬN TỐC TRUNG BÌNH
A- Tóm tắt lý thuyết:
Xét 1 vật chuyển động trên đoạn đường S. Người ta chia S ra thành n chặng đường
nhỏ S1; S2;...;Sn. Gọi v1; v2;...;vn và t1; t2;...;tn lần lượt là vận tốc và thời gian đi trên n chặng
nhỏ đó. Khi đó vận tốc trung bình trên cả chặng đường S được tính theo cơng thức:
vTB =

S1 + S 2 + ... + S n
=
t1 + t2 + ... + tn

∑S ( i∈ N )
∑t
i

*

i

*Chú ý: - Tìm mối liên hệ giữa các quãng đường nhỏ S1; S2;...;Sn với quãng đường lớn S.
- Tìm mối liên hệ giữa các thời gian khi đi trên các đoạn nhỏ với tổng thời gian đi cả
chặng đường.
B- Bài tập áp dụng:
Dạng 1. Đề cho biết S và t sử dụng trực tiếp cơng thức:

+ Bước 1: Từ đề tính tổng qng đường S và thời gian t
+ Bước 2: Áp dụng công thức v tb =

s
t

Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động đi qua 6 điểm liên tiếp theo thứ tự A, B, C, D,
E, F. Biết quãng đường và thời gian giữa hai điểm liên tiếp nhau được cho như bảng sau:
Tên quãng đường
AB
BC
CD
DE
EF
Chiều dài quãng đường s (m)
0,05
0,15
0,25
0,3
0,3
Thời gian chuyển động t (s)
3,0
3,0
3,0
3,0
3,0
Hãy tính vận tộc trung bình của chất điểm khi nó chuyển động trên:
a) Đoạn đường từ A đến C
b) Đoạn đường từ A đến D
c) Đoạn đường từ A đến E

d) Đoạn đường từ A đến F
e) Cho nhận xét về vận tốc trung bình của chất điểm trên các quãng đường.
Hướng dẫn:
a) Vận tốc trung bình của chất điểm trên đoạn AC:
v AC =

AC AB + BC 0,05 + 0,15 1
=
=
= (m / s)
t AC t AB + t BC
3+3
30

b) Vận tốc trung bình của chất điểm trên đoạn AD:
v AD =

AD AB + BC + CD 0, 05 + 0,15 + 0, 25 1
=
=
=
(m / s)
t AD
t AB + t BC + t CD
3+3+3
20

c) Vận tốc trung bình của chất điểm trên đoạn AE:
v AE =

AE AB + BC + CD + DE 0,05 + 0,15 + 0, 25 + 0,3 1
=
=
= (m / s)
t AE
t AB + t BC + t CD + t DE
3+3+3+3
16

d) Vận tốc trung bình của chất điểm trên đoạn AF:
v AF =

AF AB + BC + CD + DE + EF 0,05 + 0,15 + 0, 25 + 0,3 + 0,3
7
=
=
=
(m / s)
t AF
t AB + t BC + t CD + t DE + t EF
3+3+3+3+3
100

e) Vận tốc trung bình của chất điểm trên các đoạn đường khác nhau là khác nhau
Ví dụ 2: Một người đi xe đạp đã đi s1 = 4km với vận tốc v1 = 16km / h , sau đó người
ấy dừng lại để sửa xe trong t 2 = 15 phút rồi đi tiếp s3 = 8km với vận tốc v3 = 8km / h . Tính
vận tốc trung bình của người ấy trên tất cả quãng đường đã đi.
Tóm tắt:
17

s1 = 4km;s 2 = 0;s 3 = 8km
v1 = 16km / h
v3 = 8km / h

Tính vtb = ?
Hướng dẫn:
+ Thời gian người đó đi trong đoạn đường 4km đầu: t1 =

s1
4
=
= 0, 25h
v1 16

+ Khi sửa xe người đó khơng đi nên s 2 = 0 nhưng thời gian sửa xe là:
t2 = 15ph = 0,25h
+ Thời gian người đó đi trong đoạn đường 8km sau: t 3 =

s3 8
= = 1h
v3 8

+ Vậy vận tốc trung bình trên toàn bộ quãng đường là:
v tb =

s1 + s 2 + s3
4 + 0 +8
=
= 8km / h

t1 + t 2 + t 3 0, 25 + 0, 25 + 1

Dạng 2: Bài toán chia quãng đường - Cho biết vận tốc trên từng phần quãng đường.
Bài toán 1: (Chia quãng đường làm 2 đoạn bằng nhau)
Xét 1 vật chuyển động trên đoạn đường S. Nửa đoạn đường đầu vật chuyển động
với vận tốc v1; Nửa đoạn đường sau vật chuyển động với vận tốc v 2. Tính vận tốc trung
bình của vật trên cả đoạn đường.
Giải:
S; vTB; t
- Gọi S1; v1; t1 lần lượt là quãng đường, vận tốc và thời
gian của vật đi trên nửa đoạn đường đầu.
S2
S1
- Gọi S2; v2; t2 lần lượt là quãng đường, vận tốc và thời
gian của vật đi trên nửa đoạn đường cịn lại.

.

- Ta có: S1 = S2 =

.

.

S
2

- Theo cơng thức tính vận tốc:
S1
S

S 
⇒ t1 = 1 =
t1
v1 2v1 
S
S
S1 1 
+
=  + ÷
 ⇒ t1 + t2 =
S
S
S 
2v1 2v2 2  v1 v2 
v2 = 2 ⇒ t2 = 2 =
t2
v2 2v2 
v1 =

- Áp dụng cơng thức tính vận tốc trung bình:
vTB =

S1 + S 2
S
2
2
=
=
⇒ vTB =
1 1

t1 + t2
S1 1  1 + 1
+
 + ÷ v v
v1 v2
2  v1 v2 
1
2

Bài toán 2: (Chia quãng đường làm 3 đoạn bằng nhau)
Xét 1 vật chuyển động trên đoạn đường S.
vận tốc v1;

1
đoạn đường đầu vật chuyển động với
3

1
đoạn đường tiếp theo vật chuyển động với vận tốc v 2. Cuối cùng vật chuyển
3

động với vận tốc v3. Tính vận tốc trung bình của vật trên cả đoạn đường.
Giải:

.

S1

.

S; vTB; t
S2

.

18

S3

.


- Gọi S1; v1; t1 lần lượt là quãng đường, vận tốc và thời gian của vật đi trên

1
đoạn đường
3

đầu.
- Gọi S2; v2; t2 lần lượt là quãng đường, vận tốc và thời gian của vật đi trên

1
đoạn đường
3

tiếp theo.
- Gọi S3; v3; t3 lần lượt là quãng đường, vận tốc và thời gian của vật đi trên

1
đoạn đường

3

cuối cùng
- Ta có: S1 = S2 = S3 =

S
3

- Theo cơng thức tính vận tốc:
S1
S
S 
⇒ t1 = 1 =

t1
v1 3v1 
S
S
S 
S
S
S
S1 1 1
v2 = 2 ⇒ t 2 = 2 =
+
+
=  + + ÷
 ⇒ t1 + t 2 + t3 =
t2
v2 3v2 

3v1 3v2 3v3 3  v1 v2 v3 
S
S
S 
v3 = 3 ⇒ t3 = 3 =

t3
v3 3v3 
v1 =

- Áp dụng cơng thức tính vận tốc trung bình:
vTB =

S1 + S 2 + S3
S
3
3
=
=
⇒ vTB =
1
1
1
1
1
1
t1 + t2 + t3
S1 1 1
+
+

+
+
+
+

÷
v1 v2 v3
3  v1 v2 v3  v1 v2 v3
vTB =

*Tổng quát với n đoạn bằng nhau: S1; S2;...;Sn

n
1 1
1
+ + ... +
v1 v2
vn

Bài toán 3: (Chia quãng đường làm các đoạn khơng bằng nhau)
Ví dụ 1: Xét 1 vật chuyển động trên đoạn đường S.

1
đoạn đường đầu vật chuyển động
3

với vận tốc v1. Quãng đường còn lại vật chuyển động với vận tốc v 2. Tính vận tốc trung
bình của vật trên cả đoạn đường.
Giải:
- Gọi S1; v1; t1 lần lượt là quãng đường,

S; vTB; t
1
vận tốc và thời gian của vật đi trên
3

đoạn đường đầu.
- Gọi S2; v2; t2 lần lượt là quãng đường,
vận tốc và thời gian của vật đi trên
S
3

- Ta có: S1 = ; S2 =

.

S1

.

.

S2

2
đoạn đường tiếp theo.
3

2S
3

- Theo cơng thức tính vận tốc:
S1
S
S 
⇒ t1 = 1 =
t1
v1 3v1 
S
2S S  1 2 
+
=  + ÷
 ⇒ t1 + t2 =
S2
S2 2S 
3v1 3v2 3  v1 v2 
v2 =
⇒ t2 =
=
t2
v2 3v2 
v1 =

19


- Áp dụng cơng thức tính vận tốc trung bình:
vTB =

S1 + S 2
S

3
3
=
=
⇒ vTB =
1 2
t1 + t2
S1 2 1 + 2
+
 + ÷ v v
v
v2
3  v1 v2 
1
2
1

Ví dụ 2: Xét 1 vật chuyển động trên đoạn đường S.

2
đoạn đường đầu vật chuyển động
3

với vận tốc v1. Quãng đường còn lại vật chuyển động với vận tốc v 2. Tính vận tốc trung
bình của vật trên cả đoạn đường.
Giải:
S; vTB; t
- Gọi S1; v1; t1 lần lượt là quãng đường, vận
tốc và thời gian của vật đi trên

2
đoạn
3

.

.

S1

đường đầu.

- Gọi S2; v2; t2 lần lượt là quãng đường, vận tốc và thời gian của vật đi trên

S2
1
đoạn đường
3

tiếp theo.
- Ta có: S1 =

2S
S
; S2 =
3
3

- Theo cơng thức tính vận tốc:
S1

S
2S 
⇒ t1 = 1 =
t1
v1 3v1 
2S
S
S2 1 
+
=  + ÷
 ⇒ t1 + t2 =
S
S
S 
3v1 3v2 3  v1 v2 
v2 = 2 ⇒ t2 = 2 =
t2
v2 3v2 
v1 =

- Áp dụng cơng thức tính vận tốc trung bình:
vTB =

S1 + S 2
S
3
3
=
=
⇒ vTB =

2 1
t1 + t2
S2 1  2+ 1
+
 + ÷ v v
v1 v2
3  v1 v2 
1
2

*Cách giải tổng qt bài tốn chia qng đường.
- Tìm mối liên hệ giữa các đoạn đường nhỏ S1; S2;...;Sn với đoạn đường lớn S.
- Lập công thức liên hệ giữa các thời gian đi trên các đoạn nhỏ t 1; t2;...; tn theo các vận
tốc trên từng đoạn nhỏ và quãng đường lớn.
- Tính tổng các thời gian trên các đoạn nhỏ.
- Thay vào cơng thức tính vận tốc trung bình => Kết quả cần tìm.
Dạng 3: Bài tốn chia thời gian - Cho biết vận tốc trong từng khoảng thời gian.
Bài toán 1: (Chia thời gian thành 2 khoảng bằng nhau)
Xét 1 vật chuyển động trên đoạn đường S. Nửa khoảng thời gian đầu vật chuyển
động với vận tốc v1; Nửa khoảng thời gian cuối vật chuyển động với vận tốc v 2. Tính vận
tốc trung bình của vật trên cả đoạn đường.
Giải:
S; vTB; t
- Gọi S1; v1; t1 lần lượt là quãng đường, vận tốc và
thời gian của vật đi trên nửa khoảng thời gian đầu.
t2
t1
- Gọi S2; v2; t2 lần lượt là quãng đường, vận tốc và
thời gian của vật đi trên nửa khoảng thời gian còn lại.

.

- Ta có: t1 = t2 =

.

.

t
2

20

.


- Theo cơng thức tính vận tốc:
S1
t 
⇒ S1 = v1t1 = v1
t1
2 
t
 ⇒ s1 + s2 = ( v1 + v2 )
S
t
2
v2 = 2 ⇒ S 2 = v2t 2 = v2 
t2
2 

v1 =

- Áp dụng công thức tính vận tốc trung bình:
t
v +v
S + S2 2 ( 1 2 ) v1 + v2
v +v
vTB = 1
=
=
⇒ vTB = 1 2
t1 + t2
t
2
2

Bài toán 2: (Chia thời gian thành 3 khoảng bằng nhau)
1
khoảng thời gian đầu vật chuyển động với
3

Xét 1 vật chuyển động trên đoạn đường S.
vận tốc v1;

1
khoảng thời gian tiếp theo vật chuyển động với vận tốc v 2. Cuối cùng vật
3

chuyển động với vận tốc v3. Tính vận tốc trung bình của vật trên cả đoạn đường.
Giải:

S; vTB; t
- Gọi S1; v1; t1 lần lượt là quãng đường,
vận tốc và thời gian của vật đi trên

1
3

.

khoảng thời gian đầu.

t1

.

t2

.

- Gọi S2; v2; t2 lần lượt là quãng đường, vận tốc và thời gian của vật đi trên

t3

.

1
khoảng thời
3

gian tiếp theo.

- Gọi S3; v3; t3 lần lượt là quãng đường, vận tốc và thời gian của vật đi trên khoảng thời
gian còn lại.
- Ta có: t1 = t2 = t3 =

t
3

- Theo cơng thức tính vận tốc:
S1
t 
⇒ S1 = v1t1 = v1 
t1
3 
S
t
t
v2 = 2 ⇒ S 2 = v2t 2 = v2  ⇒ s1 + s2 + s3 = ( v1 + v2 + v3 )
t2
3
3
S
t 
v3 = 3 ⇒ S3 = v3t3 = v3 
t3
3
v1 =

- Áp dụng công thức tính vận tốc trung bình:
t
v +v +v

S1 + S2 + S3 3 ( 1 2 3 ) v1 + v2 + v3
v +v +v
vTB =
=
=
⇒ vTB = 1 2 3
t1 + t2 + t3
t
3
3

*Tổng quát với n khoảng thời gian bằng nhau: vTB =

v1 + v2 + ... + vn
n

Bài tốn 3: (Chia thời gian thành các khoảng khơng bằng nhau)
21


Ví dụ 1: Xét 1 vật chuyển động trên đoạn đường S.
động với vận tốc v1;

1
khoảng thời gian đầu vật chuyển
3

2
khoảng thời gian tiếp theo vật chuyển động với vận tốc v 2. Tính
3

vận tốc trung bình của vật trên cả đoạn đường.
Giải:
- Gọi S1; v1; t1 lần lượt là quãng đường, vận
tốc và thời gian của vật đi trong

1
khoảng
3

.

.

t1

S; vTB; t

.
t

2
thời gian đầu.
- Gọi S2; v2; t2 lần lượt là quãng đường, vận tốc và thời gian của vật đi trong khoảng thời
gian tiếp theo.

t
3

- Ta có: t1 = ; t2 =

2t
3

- Theo cơng thức tính vận tốc:


t

 ⇒ s1 + s2 = ( v1 + 2v2 )
s
2t
3
v2 = 2 ⇒ s2 = v2t 2 = v2 
t2
3 
v1 =

s1
t
⇒ s1 = v1t1 = v1
t1
3

- Áp dụng công thức tính vận tốc trung bình:
t
v + 2v2 )
S1 + S 2 3 ( 1
v + 2v2
v + 2v2

vTB =
=
= 1
⇒ vTB = 1
t1 + t2
t
3
3

Ví dụ 2: Xét 1 vật chuyển động trên đoạn đường S.
động với vận tốc v1;

2
khoảng thời gian đầu vật chuyển
3

1
khoảng thời gian tiếp theo vật chuyển động với vận tốc v 2. Tính
3

vận tốc trung bình của vật trên cả đoạn đường.
Giải:
- Gọi S1; v1; t1 lần lượt là quãng đường,
2
vận tốc và thời gian của vật đi trong
3

.

S; vTB; t

t1
khoảng thời gian đầu.
- Gọi S2; v2; t2 lần lượt là quãng đường,
vận tốc và thời gian của vật đi trong khoảng thời gian tiếp theo.

- Ta có: t1 =

.

t2

.

2t
t
; t2 =
3
3

- Theo cơng thức tính vận tốc:
s1
2t 
⇒ s1 = v1t1 = v1 
t1
3 
t
 ⇒ s1 + s2 = ( 2v1 + v2 )
s
t

3
v2 = 2 ⇒ s2 = v2t 2 = v2 
t2
3 
v1 =

- Áp dụng cơng thức tính vận tốc trung bình:

22


t
2v + v
S1 + S 2 3 ( 1 2 ) 2v1 + v2
2v + v
vTB =
=
=
⇒ vTB = 1 2
t1 + t2
t
3
3

*Cách giải tổng quát bài toán chia thời gian.
- Tìm mối liên hệ giữa các khoảng thời gian nhỏ t1; t2;...;tn với tổng thời gian t.
- Lập công thức liên hệ giữa các quãng đường đi trên các đoạn nhỏ S 1; S2;...; Sn theo
các vận tốc trên từng đoạn nhỏ và tổng thời gian t.
- Tính tổng các quãng đường trên các đoạn nhỏ.
- Thay vào công thức tính vận tốc trung bình => Kết quả cần tìm.

23


Dạng 3: Bài toán kết hợp chia cả quãng đường và thời gian:
Bài 1: Chia quãng đường trước (chia bằng nhau):
Xét 1 vật chuyển động trên đoạn đường S. Nửa đoạn đường đầu vật chuyển động
với vận tốc v1; Nửa đoạn đường còn lại vật chuyển động làm hai giai đoạn: Nửa thời gian
đầu vật chuyển động với vận tốc v2. Cuối cùng vật chuyển động với vận tốc v 3. Tính vận
tốc trung bình của vật trên cả đoạn đường.
Giải:
S; vTB; t
Cách 1:
- Gọi S1; v1; t1 lần lượt là quãng đường,
B
C
t3
vận tốc và thời gian của vật đi trên nửa A
t2
S1
đoạn đường đầu. (AC)
S23
- Gọi S2; v2; t2 lần lượt là quãng đường,
vận tốc và thời gian của vật đi trên nửa
thời gian đầu đoạn đường còn lại. (CB)
- Gọi S2; v2; t2 lần lượt là quãng đường, vận tốc và thời gian của vật đi trên nửa thời gian
cuối cùng trên đoạn đường còn lại. (CB)

.

.

.

.

S

 S1 = S 23 = 2
- Ta có: 
t = t = t23
 2 3 2

- Theo cơng thức tính vận tốc:
t 
S2
⇒ S2 = v2t2 = v2 23 
t2
2
t23
 ⇒ s2 + s3 = ( v2 + v3 )
S
t
2
v3 = 3 ⇒ S3 = v3t3 = v3 23 
t3
2 
v2 =

- Áp dụng cơng thức tính vận tốc trung bình:

t23
( v2 + v3 ) v + v
S 2 + S3
v +v
1
2
v23 =
= 2
= 2 3 ⇒ v23 = 2 3 ⇒
=
t 2 + t3
t23
2
2
v23 v2 + v3

- Ta lại có:
v1 =



S1 1 

 ⇒ t2 + t23 =  +
÷
S 
2  v1 v23 
=
2v23 

S1
S
S
⇒ t1 = 1 =
t1
v1 2v1

v23 =

S 23
S
⇒ t23 = 23
t23
v23

- Áp dụng công thức tính vận tốc trung bình:
vTB =

S1 + S 23
S
2
2
2
=
=
=
⇒ vTB =
1
2
1

2
t1 + t23
S1 1  1 + 1
+
+
 +
÷ v v
v1 v2 + v3
v1 v2 + v3
2  v1 v23 
1
23

Cách 2: (hay dùng)
S
2

- Ta có: S1 = S 2 + S 2 = ; t2 = t3
- Theo công thức tính vận tốc:

24


v1 =

S1
S
S
⇒ t1 = 1 =
t1

v1 2v1

v2 =

S2
S
⇒ t2 = 2
t2
v2

S3
S
⇒ t3 = 3
t3
v3
S 2 S3 S 2 + S 3
S
S
Vì: t2 = t3 ⇒ v = v = v + v = 2 ( v + v ) ⇒ t2 = t3 = 2 ( v + v )
2
3
2
3
2
3
2
3
v3 =

- Áp dụng cơng thức tính vận tốc trung bình:

vTB =

S1 + S2 + S3
S
2
2
=
=
⇒ vTB =
S
S
S
1
2
1
2
t1 + t2 + t3
+
+
+
+
2v1 2 ( v2 + v3 ) 2 ( v2 + v3 ) v1 v2 + v3
v1 v2 + v3

Bài 2: Chia quãng đường trước (chia không bằng nhau):
Xét 1 vật chuyển động trên đoạn đường S.

1
đoạn đường đầu vật chuyển động với
3

vận tốc v1; Đoạn đường còn lai vật chuyển động làm hai giai đoạn: Nửa thời gian đầu vật
chuyển động với vận tốc v2. Cuối cùng vật chuyển động với vận tốc v3. Tính vận tốc trung
bình của vật trên cả đoạn đường.
Giải:
S; vTB; t
Cách 1:
- Ta có: t2 = t3 =

t23
2

- Theo cơng thức tính vận tốc:

.A

t 
S2
⇒ S 2 = v2t 2 = v2 23 
t2
2
t23
 ⇒ s2 + s3 = ( v2 + v3 )
S
t
2
v3 = 3 ⇒ S3 = v3t3 = v3 23 
t3
2 
t23

( v2 + v3 ) v + v
S 2 + S3
1
2
2
⇒ v23 =
=
= 2 3⇒
=
t 2 + t3
t23
2
v23 v2 + v3
S
2S
- Ta lại có: S1 = ; S23 =
3
3
v2 =

.

.

S1

C

t2

t3

S23

- Mà:
v1 =



S1 2 

 ⇒ t2 + t23 =  +
÷
2S 
3  v1 v23 
=
3v23 

S1
S
S
⇒ t1 = 1 =
t1
v1 3v1

v23 =

S 23
S
⇒ t23 = 23

t23
v23

- Áp dụng công thức tính vận tốc trung bình:
vTB =

.

B

S1 + S23
S
3
3
3
3
=
=
⇒ vTB =
=
⇒ vTB =
1 2
1
4
1
4
t1 + t23
S1 2  1 + 2
+
+

+
 +
÷ v v
v1 v23 v1 v2 + v3
v1 v2 + v3
3  v1 v23 
1
23

Cách 2: (Hay dùng)
25