Sáng kiến kinh nghiệm THPT một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT

Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
An Giang, ngày 20 tháng 2 năm 2019.

BÁO CÁO
Kết quả thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC
SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN.
I.

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH CỦA TÁC
GIẢ: Họ và tên: Lê Quốc Sang
Ngày tháng năm sinh: 09/08/1982
Nơi thường trú: Thị trấn Phú Mỹ, Phú Tân, An Giang
Đơn vị công tác: Trường trung học phổ thông Chu Văn An
Chức vụ hiện nay: Tổ trưởng tổ Tốn, Bí thư Chi bộ KHTN 2
Lĩnh vực cơng tác: chun mơn Tốn

II. SƠ LƯỢC ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH ĐƠN VỊ:
1.

Đặc điểm tình hình:
BI

Trường THPT Chu Văn An được thành lập từ năm 1975, tiền thân là trường cấp
Phú Tân, trải qua hơn 4 thập kỷ đội ngũ cán bộ, giáo viên, viên chức ngày càng lớn
mạnh. Nhìn chung, bộ máy tổ chức của trường THPT Chu Văn An ổn định, các tổ
chuyên môn đoàn kết, gương mẫu làm tốt nhiệm vụ được giao. Trường học nhiều
năm liền được đánh giá “hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ”.
Thành tích đạt được năm học 2017-2018 như sau:


Chất lượng văn hóa:
 Học

lực:
Giỏi: 304 học sinh, tỉ lệ: 23,68%
Khá: 708 học sinh, tỉ lệ: 55,14%
Trung bình: 244 học sinh, tỉ lệ: 19%
Yếu: 06 học sinh, tỉ lệ: 2,18%

 Hạnh

kiểm:
Tốt: 1265 học sinh, tỉ lệ: 98,52%
Khá: 18 học sinh, tỉ lệ: 1,4%
Trung bình: 1 học sinh, tỉ lệ: 0,08%

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 1

Trường THPT Chu Văn An




Giáo viên: Lê Quốc Sang

Chất lượng học sinh giỏi cấp tỉnh:
 Học

sinh giỏi các môn văn hóa cấp tỉnh: 21 giải

 Học

sinh thi máy tính bỏ túi cấp tỉnh: 07 cấp tỉnh

Chất lượng hoạt động các cuộc thi:
 Tham

gia nhiều cuộc thi của Sở, Huyện tổ chức rất tích cực, đạt hiệu quả.

Tổ chức các Câu lạc bộ:Tốn, Ngữ văn, Tiếng Anh, … rất thành cơng, học sinh
được giáo viên hướng dẫn tận tình, tham gia nhiều bài viết, nhiều tiết mục sáng
tạo, phát hiện học sinh có nhiều tiềm năng triển vọng.
2. Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH
GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN.
Lĩnh vực sáng kiến: Tốn học.


3.
BI.

MỤC ĐÍCH U CẦU CỦA SÁNG KIẾN:

1. Thực trạng và sự cần thiết phải áp dụng giải pháp, sáng kiến:
Dãy số, hàm số là một vấn đề cơ bản và nền tảng của giải tích, là một lĩnh vực rất
khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của tốn học. Có rất nhiều bài tốn về
dãy số như tìm số hạng tổng quát của dãy, chứng minh các tính chất của dãy, tính tổng
các số hạng của dãy, tìm giới hạn của dãy,….trong đó bài tốn tìm giới hạn dãy thường
xuất hiện nhiều nhất trong các kì thi học sinh giỏi, các kỳ thi Olympic.
Những năm gần đây, các bài toán về dãy số rất ít xuất hiện trong các đề thi trung
học phổ thông quốc gia nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này. Tài liệu
tham khảo về dãy số cũng rất ít, hoặc có thì nội dung đề cập q cao so với trình độ của
học sinh phổ thơng khơng chuyên hiện nay. Do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu
sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh có ý định ơn thi học sinh giỏi rất khó tìm cho
mình một tài liệu tham khảo phù hợp.
Học sinh khối 11 trung học phổ thông không chuyên, đặc biệt là học sinh trường
THPT Chu Văn An khơng có điều kiện để học hỏi, trao đổi kinh nghiệm thông qua các kỳ
thi Olympic 30/4, các kỷ yếu, ....do các trường chuyên tổ chức. Thực tế hiện nay, các
em chủ yếu học tập các bài toán dãy số trong sách giáo khoa và trong sách bài tập, do đó
khi gặp các bài toán dãy số trong các kỳ thi học sinh giỏi, các em thường lúng túng,
khơng tìm được lời giải.
Bài viết này không phải tất cả các vấn đề về giới hạn của dãy số được đề cập mà
bài viết chỉ đề cập đến một số bài tốn tìm giới hạn của dãy gặp nhiều trong các kì thi.
Bài viết này khơng phải là một giáo trình, tài liệu về dãy số mà đúng hơn đó là sự cóp
nhặt, những ghi nhận của bản thân trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, đơi
khi nó mang tính chủ quan.
Rất mong quý thầy, cô, các bạn đọc giả xem đây như là một tài liệu mở và tiếp tục

triển khai, ghi nhận và góp ý cho những cái chưa hay, chưa chính xác.
Phần nội dung chính của giải pháp, sáng kiến là xoay quanh một số bài toán tìm:


Giới hạn dãy số bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số đó.



Giới hạn của dãy số dạng: un 1

f un

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 2
Trường THPT Chu Văn An
Giáo viên: Lê Quốc Sang


n

 Giới hạn của tổng thường gặp: lim H xi
i 1

Giới hạn của các dãy số sinh bởi nghiệm của phương trình.


2.

Nội dung sáng kiến:

2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề:
2.1.1. Các định nghĩa:
1) Dãy số tăng, dãy số giảm.
Dãy số un được gọi là dãy số tăng nếu u

u

n

Dãy số un được gọi là dãy số giảm nếu u

n 1,

u

n

n

n 1,

n

*

*

2) Dãy số bị chặn.
Dãy số un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u

n

Dãy số un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u

n

M,n

*

m,n

*

Dãy số un được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới .
3) Cấp số cộng.
*

Dãy số un được gọi là cấp số cộng nếu un 1 un d , n , trong đó d là số không
đổi, gọi là công sai của cấp số cộng.
Nếu dãy số un là cấp số cộng thì un

u1

n

1d,n

2.

Nếu dãy số un là cấp số cộng thì tổng
S n u1

u 2 ...

n
2 u1 un

un

4) Cấp số nhân.
*

Dãy số un đươc gọi là cấp số nhân nếu un 1 un.q , n , trong đó q là số khơng
đổi, gọi là cơng bội của cấp số nhân.
Nếu dãy số un là cấp số nhân thì u

n

u1.q

n 1

, n 2 Nếu

dãy số un là cấp số nhân với q 1, q 0 thì tổng
n

1

S

n

u

1

q

u

2

... u

n

u.
1

1 q

2.1.2. Các định lý:
1)

Định lý 1. Nếu lim un a thì lim u n a

2)

Định lý 2. Nếu q 1 thì lim q

n

0

Một số bài tốn giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 3
Trường THPT Chu Văn An
Giáo viên: Lê Quốc Sang


3) Định lý 3. Cho dãy un

xác định bởi công thức truy hồi un 1 f (un ), trong đó
f (x) là hàm số liên tục. Khi đó, nếu un
a thì a là nghiệm của phương trình
f (x ) x .
Định lý 4. Cho dãy số un với u1 a là một số thực cho trước và un 1
Khi đó
4)

a)

Nếu f (x) là hàm số đồng biến và x 1 x2 thì un là dãy số tăng.

b)

Nếu f (x) là hàm số đồng biến và x 1 x2 thì un là dãy số giảm.

Định lí 5. Cho dãy số (un ) với u1 a là một số thực cho trước và un 1
Khi đó
5)

a)

b)

f (un ).

f (un ).

Nếu f (x) là hàm số nghịch biến và x 1 x2 thì u2n là dãy số tăng và u2n 1 là
dãy số giảm.
Nếu f (x) là hàm số nghịch biến và x 1 x2 thì u2n là dãy số giảm và

u2n 1 là dãy số tăng.
6)

Nguyên lý kẹp. Cho ba dãy số un , vn , wn sao cho:
n
n

0

lim u
n

7)

0

u

v

n

wn

n

, n ,n

n

lim w
n

a

lim
n

v a
n

n

Tiêu chuẩn hội tụ (Tiêu chuẩn Weierstrass)

a)

Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.

b)

Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.

Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
8) Định lý LAGRANGE. Nếu f (x) là hàm số liên tục trên đoạn a ; b , có đạo hàm
c)

trong khoảng a ; b thì tồn tại c a ; b sao cho
f (b ) f (a) hay f (b ) f (a ) f '(c )(b a)
b a
2.2. Các dạng toán thường gặp:
f '(c )

2.2.1. Giới hạn dãy số bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số đó.
Trong dạng này, chủ yếu là áp dụng các công thức về định nghĩa cấp số cộng,
cấp số nhân, công thức về tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, cấp số nhân và đặt dãy
số phụ.
u

Bài toán 1: Cho dãy số un

xác định bởi:

u
n 1

1

2
u

2n 3, n 1

.

n

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
4

Trang


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

un

Tính giới hạn L lim

u

n1

Bài giải
u1 2

Theo đề suy ra:

u 2 u1 2.1 3
u 3 u2 2.2 3
…
un

…
un 1 2 n

1

3

Cộng theo vế n đẳng thức trên ta được
u

n

2

21 2

...

u

n

2 n 1n 3n 1 n

un 1 un 2n 3 n
un

L lim

u

n

2

1
2

3n

1

4n 5

2n 2
2

lim

n 1

n
4n 5
lim
2
n
2n 2

1

4

5

n
2

n
1
2

n
1 n
u 1

2

2

1

Bài toán 2: Cho dãy số un

Tính giới hạn L

un

xác định bởi:

un 1

1

;n 1

.

3n 2 un

limun

Bài giải
Từ công thức truy hồi suy ra

u

1
n 1

1 3n 2; n 1

un

Từ đó ta có
1 1
u1
1
1

1

u
3.12
1

2

3.22 u 3 u2

u

1

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 5


Trường THPT Chu Văn An

1

Giáo viên: Lê Quốc Sang

1 3.3 2
u3

u4

…

…

1

u

1

3n 1 2

n1
un
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được

1

u

1 3 1 2 ... n 1

2n 1

n
n 1n

1 3

32
n

2n 1

1
un

2

n 2
2

2

un

2

3n

Vậy L lim un

n 2

0
u

1

Bài toán 3. Cho dãy số un

2
u

xác định bởi:

n

un

1

.

1

,n

2

2
Tính giới hạn L limun

Bài giải
un 1 1

Ta có un

2un

un 1 1 2 un 1 un 1 1

2
Đặt vu

1. Ta được: 2v

n

n

v

1
u

2

n

n 1
1, n

n

1

1
2

1

n 1

1

(v ) là một cấp số

n

1 1 và cơng bội q

1

n

n 1

n

nhân có số hạng đầu v u

Suy ra v

v

1v
2 n

2

2
n1

1

Vậy L lim u

lim

2

n

11

u

Bài toán 4. Cho dãy số (u

n

) xác định như sau:

u
n

1

2, u
5
2
5u
6u , n 1 (1)
2

n 1

n


Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 6
Trường THPT Chu Văn An
Giáo viên: Lê Quốc Sang
u

Tính giới hạn L lim

n

n

3

Bài giải
Từ đẳng thức (1), ta có: un 2 2un 1 3 un 1 2un Đặt v
n

u n 1 2u n , n 1.

Khi đó: un 2 2un 1 3 un 1 2un v n 1 3.v n (vn ) là một cấp số nhân có cơng
bội q 3 và số hạng đầu v1 u 2 2u1 1
Suy ra v

n 1

v1.q

n

3

n 1

,n

1.

Mặt khác, cũng từ đẳng thức (1), ta có: un 2 3un 1 2 un 1 3un
Đặt w n

u n 1 3u n , n 1.

Khi đó: un 2 3un 1 2 un 1 3un

w n 1 2.w n

(wn ) là một cấp số

nhân có cơng bội q 2 và số hạng đầu w1 u 2 3u11
Suy ra w

n 1 n 1

2

w 1.q

n

, n 1.

u
n 1

2u
n

3

3u

Ta có hệ phương trình

2n

n 1

n 1

1

u 3

2

u

1
3

n

Vậy L lim

n
n1

n1

2

n

lim

n

3

,n 1

n

u

n

n 1

lim

3

1

1 2

3

3 3

n1

1
3

Bài toán 5. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức:
u

1

1; u

2

2
.

*

n .u

2).u n 1 2(n 1).u n, n

(3n
n 2

(1)

u

n

Tính giới hạn L lim

n

n.2

Bài giải
Từ đẳng thức (1):
n .un 2 (3n

2).un 1 2(n

1).un

n un 2

u

n 2

un 1

u

n 1

2.

2(n

1) u n 1 un

u

u

n 1

n


n 1
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

n
Trang 7


Trường THPT Chu Văn An

u
Đặt v

Giáo viên: Lê Quốc Sang

u

n 1

n

, ta được: v

n

n

2v

(v ) là một cấp số nhân có cơng
n

n 1

n

bội q 2 và số hạng đầu v1 u 2 u1 1
Suy ra v

2

n

n 1

,n 1

u n .2

Khi đó: u

n 1

u u 1.2

n 1
n
1
u 2 2.2 3.22 ... (n 1).2n

2

0

n
,n 1

1

2.2

3.2

2

... (n 1).2

1

n
2u 4 2.2

2

3.2

3

... (n 2).2

n 2

(n 1).2

n 1

n

2u n

u n (n

un (n 1).2
u

L lim

n

lim
n

n .2

n 1

1).2
(2

n 1

n 1

(n 2).2

2

2

2) (n

n 1

2

n

n .2

2.2.2. Giới hạn của dãy số dạng un 1

f un

2

2

3

2).2
lim

n 2

...

2

n 1

2

n 2


1 n 2

1

.

2

1

n 1

n

n.2

2
1

u

Bài toán 6. Cho dãy số thực (u

n

)

xác định bởi

u

1
un 1

n

2
un

1

,n 2

(1)

.

1

Tính giới hạn L limun
Bài giải
Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh được u n
bị chặn dưới.

0, n 1, vậy dãy (un )

Từ hệ thức (1), ta suy ra được:
, un 1 un

n

u3

un

*

u

2

1 un

n

0 , vậy dãy (un ) là dãy số

n

1

u2

n

giảm.
Do (un ) giảm và bị chặn dưới nên theo Tiêu chuẩn Weierstrass nó có giới hạn.
Giả sử lim un a thì a 0
Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n
a

a

a2

a

1

ta có:

0

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 8
Trường THPT Chu Văn An
Giáo viên: Lê Quốc Sang

Vậy L lim un

0
1

u

Bài toán 7. Cho dãy số thực (un )

1
1

xác định bởi

u

n

2019
u

2n

1

un

.
,n 2

(1)

1

Tính giới hạn L limun
Bài giải
Bằng phép quy nạp tốn học, ta chứng minh được u n

0, n 1. Mặt khác, ta

lại có:
2019

1
u

n

2

u n 1

1

u

2

2019
.2. u

n1

.

n 1

2019

u

, vậy dãy (u

n

) bị chặn dưới.

n 1

Từ hệ thức (1), ta suy ra được:
*

n,u

n 1

u

1
n

2

u

2019
n

u

2

u

2019 un

n

2u

0

, vậy dãy (u

n

) là


n

n

dãy số giảm.
Do (un ) giảm và bị chặn dưới nên theo Tiêu chuẩn Weierstrass nó có giới hạn.
Giả sử lim un a thì a 2019
Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n
a

1

a

2

Vậy L lim un

2019

a

ta có:

2019

a
2019
x

Bài tốn 8. Cho dãy số thực xn

0

2019
1

xác định bởi:
x

1

n

,n

4 3x

.

n

Tính giới hạn L lim xn
Bài giải
Xét hàm số f x

1
'
4 3x , ta có f x

3

0 suy ra f

4 3x

Tính tốn trực tiếp ta có x 2 x3 , do đó dãy xn n

2

là hàm tăng.

2

tăng.

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

(1)

Trang 9


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Dễ dàng chứng minh bằng qui nạp ta được x

1 , với mọi n 1.
3

n

Từ (1) và (2) suy ra dãy có giới hạn.

1 và a là nghiệm của phương trình
3

Gọi a là giới hạn của dãy thì a
a fa
Vậy L lim x

n

(2)

1
43a

a

1
3

a

1 .
3
u

2019

1

u
Bài toán 9. Cho dãy số thực un xác định bởi:

3

u

n1

n

,n

.

*
(1)

2

un 1
Tính giới hạn L

limun .

Bài giải
Bằng quy nạp chứng minh được u

3, n

n

Giả sử rằng un có giới hạn là a thì a

3 và a là nghiệm của phương trình

a

3

2

1 a
a

2

3

a

Ta có:

3

f '(x )

x2

x

a

3

a

Xét hàm số f (x)

a2

2

a
a

1

2

a

3a
2

2

2

2a
1

3a 3

1 trên 3;
1
3

2

a 3 0

3
3 15

a

2

, thì un 1

f '(x )

x2 1

1

1 , x
2 2

Xét hiệu sau đây và kết hợp với định lý Lagrange ta suy ra:

f (un ) và f (a ) a

3;


Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 10

Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

un 1 a

f (u n ) f (a )
u

n

f '(cn ) u n a

n

n

= f '(c )

n

(c

a

;
a

n

u

n

c a;u

)

n

1

1

u

un a

<

2

22
1
u

Như thế ta có: 0

n 1

1

a

<...<

a

2

2

n

n

1
u

2

1

a

mà

lim

n 1

a

u

22

1

0

a

n

un 1 a 0

nên lim
n

lim

un 1 a 0

n

u

lim

lim

n

n

u

n

Vậy dãy số un có giới hạn hữu hạn khi nvà

3 15
2

lim un

n

Bài toán 10. Khảo sát sự hội tụ của dãy số thực an
,n

1

a a 0, a

cho bởi
*

.

n 1

1 an

1

Bài giải
Chứng minh bằng qui nạp ta được an
Với f x

1

f

Xét g x

1

f

0;1

x , x 0;1 thì a n 1

x

1

f

1

f an

1 x
x

1
và f

'

x

1 x

2

0

0;1 , g x là hàm tăng.
,x

2 x

Đối với dãy a2n 1 ta có
g

a 2n 1

f f a 2n 1

f a 2n 2

a 2 n 3 a2 n 1 1

Từ (1) và (2) suy ra dãy a2n 1 đơn điệu và bị chặn trên 0;1 nên a2n 1 đến
k , tương tự dãy a2n cũng hội tụ đến l .
Do k và l là nghiệm dương duy nhất của phương trình g x
k

l

5 1

.

2

x hay

(1)


5

Vậy lima
n

1

2

(2)


hội tụ
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 11
Trường THPT Chu Văn An
Giáo viên: Lê Quốc Sang

1

x

xn

Bài toán 11. Cho dãy số

x

xác định bởi

Tìm tất cả các giá trị a để dãy xn

a
3

.

2

3x n 7x n 5x n, n 1

n 1

có giới hạn hữu hạn.

Bài giải
Nếu dãy có giới hạn là k thì k là nghiệm của phương trình
3k

3

7k

2

Xét hàm số f x 3x
xn 1

3

7x

2

2

9x

14 x 5

Ta có f x

x x 3x
0

5x . Khi đó dãy đã cho có dạng

f x n , n*.

'

f

9x 1

3

7x

4
3

5k k k 0; k 1;k

2

x

5
9

4x x x 1 3x 4 , suy ra x 1 x 0 f x 0 x 0 x

x 0 1 3x0 4
Ta có bảng biến thiên sau

Trường hợp 1. a

0.

Từ bảng biến thiên suy ra xn
Giả sử lim x

n

0 và x 1

b khi đó b 0;1;

x0 ; do f tăng nên xn là dãy giảm.

4

và b a , do a 0 nên không tồn tại b.

3

Suy ra dãy khơng có giới hạn khi a 0 .
Trường hợp 2. a 0 .
Khi đó dãy xn là dãy hằng và lim xn
Trường hợp 3. a

4

0


3
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 12
Trường THPT Chu Văn An
Giáo viên: Lê Quốc Sang

4
;và

Từ bảng biến thiên suy ra xn

x

1

x0 và do f

tăng nên xn là dãy

3
tăng. Nếu tồn tại giới hạn của dãy là b

khi đó b 0;1;

khơng tồn tại b . Suy ra dãy khơng có giới hạn khi a

4

4

3

3

và b a , do a

nên

4
3

.

4
3

Trường hợp 4. a

4

3

Khi đó dãy xn là dãy hằng và lim xn
4
Trường hợp 5. a 0;

3
4
Từ bảng biến thiên suy ra x

0;

n

và

3
x

n 1

1

x

n

x

4

(do xn

2

1

3
x

n

n

1

xn 1

1 3xn 1
1 ).

nên

0;

3
Bằng phương pháp qui nạp ta thu được x n 1 1 a 1
là 1.

1

3 , suy ra xn có giới hạn

n

2.2.3. Giới hạn của tổng thường gặp

i1

H xi
n

Cho dãy số x n
H

fx n 1,n

2 . Để tính giới hạn của
i 1

H xi (trong đó

xi là biểu thức theo các số hạng của dãy đã cho) ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1. Chỉ ra rằng lim xn
n

Bước 2. Tính

i1

H xi
n

Bước 3. Tìm lim

H xi


i 1

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 13
Trường THPT Chu Văn An
Giáo viên: Lê Quốc Sang

1

x

Bài toán 12. Cho dãy số xn thoả mãn

x
x

x2
x

1

x

Tìm L lim

2

.
2

1

2019x n x n , n 1

n 1

xn

...

x

3

.

n 1

Bài giải
Bước 1. (có thể sử dụng định nghĩa hoặc tính chất dãy đơn điệu)
Ta có x
dương

xn

n 1

2019x n

2

nên dãy xn là dãy tăng và là dãy

0 n 1,2,...

Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là a thì a 2019a

2

a a 0 (vơ lý).

Vậy lim xn
Bước 2.
xk
x

2
Ta có x

Suy ra

k 1

2019x

xk

k

x1
x

x2
x

2

3
x

1

xk

1
1
2019 x 1

x

x

1
k 1

1
xn

1

n 1
x

2

x

x

Vậy L lim

k 1

xn

...

1
1
2019

2

xn
...

x

1
2019

n1

3

1
x

1

2
Bài toán 13. Cho dãy số xn xác định bởi

x

.

2

x

n 1

4x

n 1

n

x

n 1
,n 2

2
n

1

Chứng minh rằng dãy yn với yn

2
i 1

có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

xi

Bài giải
Nhận thấy x n 0, n

1.

Ta có
xn x

n 1

x 2 4x
n 1

n 1

x

n 1

x

2
x
n 1

n 1

0, n 2


x

Do đó dãy xn

2
n 1

4x

n 1

x

n 1

là dãy tăng.

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 14


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang
2

a

4a a

Giả sử lim x n a suy ra a 0 và a

a

0 (vơ lí)

2

Vậy lim xn.
x

2

4x

n 1

xn

n 1

1

,
n 2,3,...

Từ x n
2

x

x

2

1x

n

1

n
n

1

1

,n 2

1

xn

n 1

1

x

...

x

x

x

x1
1

1 1 1

6

n

1

1

1

2

i

2

1

1

2

i 1

Vậy yn

x

2
xn

n

Suy ra y

1

n1

1

x

2

x

3

n 1

x

2

,n 2

x 1 x nxnx1

có giới hạn hữu hạn và lim yn

6.

2.2.4. Giới hạn của các dãy sinh bởi phương trình
1

Bài tốn 14. Xét phương trình

x 1

1 ...

1 ...

1

2

2

k x 1

4x 1

n x 1

1
2

trong đó n là số nguyên dương.
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất
nghiệm trong 1; và ký hiệu nghiệm đó là xn .
lim x

2) Chứng minh rằng

4
n

n

Bài giải
1)

Chứng minh với mỗi số ngun dương n, phương trình có duy nhất nghiệm
trong 1;
1

1

...

x 1
(1)

(1) f (x)
n

1
n x 1

1 với

2

Xét phương trình
x 1;

1 ...

1
2

2

k x 1

4x 1

1

1 ...

x 1 4x 1

Khảo sát tính đơn điệu của fn(x) trên 1; Dễ
thấy rằng f (x) liên tục trên 1;

1
2

k x 1

2

...

1
2

n x 1

0 (2)


Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 15

Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Do
1

'

f (x )
n

x 1

4

2

2

4x 1

nên fn(x) nghịch biến trên x

k

...

2

2

2

k x 1

1;

...

2

n2

0, x 1;

nx1
(3)

.

Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên 1;
lim

f (x)

n

(4)

x 1

Do fn (x) liên tục trên 1;và

lim

1

f (x)

2

n

x

Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất
nghiệm trong 1; .
2) Ký hiệu nghiệm đó là xn .Chứng minh rằng lim xn

4

n

So sánh fn (xn ) và fn(4), ta có
1
2

f (4)
n

1
2

1 ...

2

1

2 14 1

2
2k

1

1

1

1

1

1

1

...

3 3 5

2

1
2 2n 1

...

1
2

1

2n

1

2k 1 2k

1

...

1

1

1

2n 1 2n 1

0

Do fn (xn ) 0

nên fn (x n ) fn(4).

Do fn(x) nghịch biến trên 1; và fn (x n ) fn(4)nên theo định nghĩa tính đơn
điệu suy ra xn 4
Lại tiếp tục đánh giá x n . Áp dụng định lý Lagrange cho f (x n ) trên x n ; 4, ta suy
n
ra với mỗi số n nguyên dương, tồn tại cn

xn ;4

sao cho
1

'

'

fn 4 fn (x n ) fn (cn )(4 x n ) fn (cn )

2 2n

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

1 4 xn

Trang 16


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

Mặt khác
1

'

f (c )
n

n

c 1

4

c

4 0 c1
n

kc

2

2 2n 1 4 x

n

1

9

2

nc

n

1

x 4

9

n

xn

2
n

2

1

1 ) nên

cn 1

9

42

Tóm lại ta ln có:

1

2

9
2

n

1

n

...

1
2

n

n

2

4c 1

2

n

(Do 1 x

k

...

9

2

9

2 2n 1

4 với mỗi số nguyên dương n
(5)

2n 1

Từ (5) và theo nguyên lý kẹp ta suy ra được

lim
n

1

1

1

xn

...

4.

1

...
2

1

0

2

x k
Bài tốn 15. Xét phương trình 2
xn
x
x 1
x 4
trong đó n là số nguyên dương.
1) Chứng minh rằng với mỗi số ngun dương n , phương trình trên có duy nhất
nghiệm trong 0;1 và ký hiệu nghiệm đó là xn .
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim xn
n

Bài giải
1)

Chứng minh với mỗi số nguyên dương n , phương trình có duy nhất nghiệm
trong 0;1
Xét phương trình 1
2
x
0;1
x
1

Đặt f (x)
n

1
x 1

1 ...
x 4

1 ...
2
x k

1 0 với
2
x n
(1)

1

1

2x x 1

x4

1

...

x k

2

...

1
2

x n

Khảo sát tính đơn điệu của fn(x) trên 0;1
Do
2

'

1

1
...

fn(x )

2x

2

x1

2

2 2

x k

...

1

0, x 0;1
2 2

x n


Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

Trang 17


Trường THPT Chu Văn An

Giáo viên: Lê Quốc Sang

(2)

nên fn(x) nghịch biến trên 0;1 .
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên 0;1
f (x)

lim

Do fn (x) liên tục trên

n

x 0

0;1 và

(3)

f (x)

lim

n

x 1

Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy
nhất nghiệm trong 0;1 .
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim xn
n

Khảo sát tính đơn điệu và bị chặn của xn
Với mỗi số nguyên dương n ta có:
f

n 1

(x )
n

1

2x
n

1
x

1

1

...

xn k

1 xn 4

n

1
xn

2

xn

n 1

xn

2

Mặt khác limn f (x)và f

n 1

1

n 1

(x) nghịch biến trên

1

n

1

fn 1(x n )

fn (x n )

1

...

2

2

xn

n

1

0 (do 0 xn 1)

0;
x n nên suy ra

duy nhất nghiệm trên 0;xn , gọi nghiệm duy nhất này là

x 0

phương trình fn 1(x) 0 có
xn 1 . Do 0;xn

0;1

nên 0 x n 1 xn .

Dãy xn là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn
lim xn .
n

Bài tốn 16. Xét phương trình x
n 3.
1)

n

x

2

x

1

0 trong đó n là số nguyên dương và

Chứng minh rằng với mỗi số ngun dương n 2 , phương trình trên có một
nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là xn .
lim xn

2) Tìm
n

Bài giải
1)

Chứng minh với mỗi số nguyên dương n 2 , phương trình có duy nhất

nghiệm
Xét phương trình x

n

x

2

x

1

0

suy ra phương trình chỉ có nghiệm x 1.

x

n

x

2

x

1

1 x

0, n

2
(1)

2