SKKN Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán về góc trong Hình học không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:

GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH THƠNG QUA KHAI THÁC
BÀI TỐN VỀ GĨC TRONG
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

LĨNH VỰC: TỐN HỌC


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRƯỜNG TỘ HƯNG NGUYÊN
----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:

GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC
BÀI TỐN VỀ GĨC TRONG
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

LĨNH VỰC: TỐN HỌC

Tác giả:

Nguyễn Văn Hậu - 0814271188
Trần Đình Hồng - 0852630715
Năm thực hiện: 2022

Hưng Nguyên, tháng 4 năm 2022


MỤC LỤC
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ....................................................................................... 1
1.1. Lý do chọn đề tài.......................................................................................... 1
1.2. Tổng quan và tính mới của đề tài ................................................................. 1
PHẦN II. NỘI DUNG .......................................................................................... 3
2.1. Cơ sở lý luận ................................................................................................ 3
2.1.1. Tư duy ................................................................................................... 3
2.1.2. Tư duy sáng tạo ..................................................................................... 3
2.1.3. Một số đặc trưng của tư duy sáng tạo ..................................................... 3
2.2. Cơ sở thực tiễn ............................................................................................. 3
2.2.1. Thực trạng phát triển tư duy, tư duy sáng tạo cho học sinh trung
học phổ thông ................................................................................................. 3
2.2.2. Năng lực học, giải tốn tính các loại góc trong trong hình học
khơng gian ở trường trung học phổ thơng hiện nay .......................................... 4
2.3. Cơ sở lí thuyết về góc trong hình học khơng gian......................................... 4
2.3.1. Tích vơ hướng của hai vectơ .................................................................. 4
2.3.2. Các cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian .............. 4
2.3.3. Góc giữa hai đường thẳng và mặt phẳng ................................................ 5
2.3.4. Góc giữa hai mặt phẳng ......................................................................... 5
2.4. Giải pháp thực hiện ...................................................................................... 6
2.4.1. Rèn luyện và phát triển tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo thơng
qua khai thác bài tốn về góc trong hình học khơng gian ................................. 6
2.4.2. Rèn luyện tính nhuần nhuyễn cho học sinh thơng qua giải bài tốn
về góc trong hình học khơng gian bằng nhiều cách khác nhau ....................... 27
2.4.3. Hướng dẫn học sinh phân tích bài tốn, tìm ra phương thức giải
quyết sáng tạo, độc đáo.................................................................................. 42
2.4.4. Thực nghiệm sư phạm ......................................................................... 47

PHẦN III. KẾT LUẬN ...................................................................................... 50
3.1. Kết luận ..................................................................................................... 50
3.2. Hướng phát triển của đề tài ........................................................................ 50
3.3. Bài học kinh nghiệm .................................................................................. 50
3.3.1. Đối với giáo viên ................................................................................. 50
3.3.2. Đối với học sinh................................................................................... 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
TT

Từ viết tắt

Từ đầy đủ

1

GV

Giáo viên

2

HS

Học sinh

3

QG

Quốc gia

4

SKKN

Sáng kiến kinh nghiệm

5

TDST

Tư duy sáng tạo

6

THPT

Trung học phổ thông


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lý do chọn đề tài
Mục tiêu chung của giáo dục phổ thông 2018 và bộ mơn Tốn nói riêng là
giúp học sinh phát triển tồn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ
năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành
nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa... Theo đó, chương trình giáo dục

phổ thơng bảo đảm phát triển phẩm chất và năng lực người học thông qua nội dung
giáo dục với những kiến thức, kỹ năng cơ bản; chú trọng thực hành, vận dụng kiến
thức, kỹ năng đã học để giải quyết vấn đề trong học tập và đời sống. Điều đó địi
hỏi học sinh khơng chỉ cần phải tích cực chủ động tiếp thu lĩnh hội kiến thức mới
mà còn phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức đã học biết kết nối những kiến thức
cũ để chiếm lĩnh kiến thức mới. Vì lẽ đó việc đổi mới phương pháp dạy học trong
dạy học mơn Tốn càng trở nên quan trọng bức thiết và đó cũng chính là nhiệm vụ
của những người giáo viên dạy Toán.
Thực tế cho thấy có nhiều giáo viên vẫn nặng nề về truyền thụ kiến thức,
chưa hoặc ít sử dụng các phương pháp dạy học tích cực. Phần lớn học sinh mới chỉ
giải quyết trực tiếp các bài tập mà chưa khai thác được tiềm năng của bài tập đó.
Học sinh mới chỉ giải quyết vấn đề một cách rời rạc hầu như chưa xâu chuỗi chúng
lại với nhau thành một hệ thống kiến thức lớn hơn. Do đó chưa phát triển được tư
duy sáng tạo cho học sinh. Vì vậy việc bồi dưỡng, rèn luyện các thao tác tư duy là
việc làm rất quan trọng với học sinh phổ thông. Điều này giúp học sinh tích lũy
được nhiều kiến thức, phát hiện vấn đề nhanh và giải quyết vấn đề có tính lơgic.
Qua đó từng bước hình thành và phát triển tư duy sáng tạo cho người học.
Trong chương trình mơn Tốn trung học phổ thơng, Hình học khơng gian là
một trong những chủ đề khó nhưng lại ln có mặt trong các kỳ thi Học sinh giỏi
cũng như THPT QG. Không những thế mà đây là các bài tốn hay, có nhiều cách
giải độc đáo, nếu giải được sẽ tạo ra nhiều hứng thú cho người học. Đặc biệt bài
toán xác định và tính các loại góc trong hình học khơng gian lại gây nhiều khó
khăn và lúng túng cho học sinh THPT. Để học tốt chủ đề này HS ngoài việc nắm
vững hệ thống kiến thức cơ bản thì cần có thêm nhiều kỹ năng giải tốn, có tư duy
sáng tạo. Ngược lại học sinh học tốt mơn tốn nói chung chủ đề hình học khơng
gian nói riêng thì sẽ góp phần phát triển năng lực tư duy sáng tạo. Vì vậy, trong
quá trình dạy học chủ đề này GV nếu biết cách khai thác và sáng tạo ra các bài
tốn về góc trong hình học khơng gian từ các bài tập đơn giản thì khơng những
giúp cho HS học tập có hiệu quả mà cịn tạo hứng thú học tập góp phần quan trọng
trong việc rèn luyện và bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho các em.

Với những lí do trên, tơi lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh thông qua khai thác bài tốn về góc trong Hình học khơng gian”.
1.2. Tổng quan và tính mới của đề tài
Thứ nhất, đề tài đã trình bày cơ sở lí luận và thực tiễn về vấn đề phát triển
1


năng lực tư duy cho học sinh thông qua khai thác và sáng tạo bài tốn xác định và
tính các loại góc trong hình học khơng gian.
Thứ hai, đề tài đã xây dựng được lớp bài toán và các định hướng xử lý bài
tốn về xác định và tính các loại góc trong hình học khơng gian
Thứ ba, đề tài đã xây dựng lớp các bài toán về ứng dụng bài tốn liên quan
đến góc để xử lý các bài tốn hình học khơng gian.
Thứ tư, đề tài góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn, nâng cao
kết quả kì thi THPT Quốc gia.

2


PHẦN II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
2.1.1. Tư duy
“Tư duy là một q trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong
hiện thực khách quan mà trước đó chủ thể nhận thức chưa biết”. [1]
2.1.2. Tư duy sáng tạo
Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy có tính linh hoạt, độc lập và tính phê
phán, đặc trưng bởi sự sản sinh ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết
vấn đề cao. Ý tưởng mới được thể hiện ở chỗ phát hiện ra vấn đề mới, tìm hướng
đi mới, cách giải quyết vấn đề mới và tạo ra kết quả mới. [5].

2.1.3. Một số đặc trưng của tư duy sáng tạo
- Tính mềm dẻo: Biết chuyển hướng khi gặp trở ngại khó khăn, biết quy lạ
về quen. Vận dụng linh hoạt các thao tác tư duy cơ bản, các kinh nghiệm, kỹ năng
đã có vào giải tốn.
- Tính nhuần nhuyễn: Biết xét bài tốn dưới nhiều góc độ, từ đó đề xuất
được nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán và lựa chọn được nhiều cách giải
tối ưu.
- Tính độc đáo: Biết tìm ra những phương thức giải quyết lạ, độc đáo để cải
tiến những cách giải đã có để trở nên tối ưu hơn.
2.2. Cơ sở thực tiễn
2.2.1. Thực trạng phát triển tư duy, tư duy sáng tạo cho học sinh trung học
phổ thơng
Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy mơn Tốn, giao lưu chuyên môn với
nhiều trường bạn tôi thấy vấn đề phát triển tư duy tốn học cho học sinh cịn nhiều
hạn chế. Nó xảy ra ở cả phương pháp giảng dạy của giáo viên và cách học tập của
học sinh.
Về giáo viên:
Trong quá trình dạy học luyện tập ở trường phổ thơng, vẫn cịn nhiều GV chỉ
chữa bài tập đơn lẻ cho học sinh, hoặc chỉ ra bài tập mang tính áp dụng, rập khn,
máy móc về cách giải chưa thực sự chú trọng để khai thác, phát triển và sáng tạo ra
bài tốn mới. Do đó khơng phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo, khó hình
thành và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh.
Về học sinh:
Học sinh THPT cịn ngại học Tốn, yếu Toán là do kiến thức bị hổng từ các
cấp dưới, hơn nữa chưa chịu khó suy nghĩ, ít tư duy trong quá trình học tập;
3


Học sinh vẫn cịn thụ động, thiếu tích cực, máy móc, thiếu độc lập, ít sáng
tạo của bản thân;

Rất nhiều học sinh chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù
hợp vào các hoạt động học tập để lĩnh hội kiến thức mới nên kết quả học tập vẫn
chưa cao;
Đa số học sinh khi học tập giải bài tập Toán, chỉ quan tâm đến kết quả bài
toán đúng hay sai, hoặc là hài lịng với lời giải của mình; ít tìm tịi lời giải khác,
khơng khai thác để phát triển bài toán, sáng tạo ra bài toán mới nên khơng phát huy
được nhiều tính tích cực, độc lập và sáng tạo của bản thân.
2.2.2. Năng lực học, giải toán tính các loại góc trong trong hình học khơng gian
ở trường trung học phổ thông hiện nay
Qua bài kiểm tra 15 phút ở ba lớp - Trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng
Nguyên năm học 2020 - 2021.
Kết quả:
Lớp

Tốt

Khá

Trung bình

Yếu

12A1

22,5%

24,5%

43,8%

9,2%

12A2

5,4%

15,6%

58,8%

20,2%

12 C

4,8%

15,2%

58,9%

21,1%

2.3. Cơ sở lí thuyết về góc trong hình học khơng gian
2.3.1. Tích vơ hướng của hai vectơ


Cho a và b là hai vectơ trong không gian
  
 
a.b  a . b .cos a ,b .

 

2.3.2. Các cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian
Cách 1
Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta lấy điểm O bất kì, sau đó dựng
hai đường thẳng a  và b cùng đi qua O đồng thời a //a, b // b .

 
Khi đó a,b   a ,b .

4


Cách 2

 
Tìm hai vectơ chỉ phương u1, u2 lần lượt của hai đường thẳng a, b . Khi đó góc
 
u1 . u2
giữa hai đường thẳng xác định bởi cos a
,b    .
u1 . u2

 


Nhận xét: 0  a,b   90.
2.3.3. Góc giữa hai đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng   .

a) Nếu đường thẳng d vng góc với mặt phẳng   thì ta nói góc giữa chúng
bằng 90 .

b) Nếu đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng   thì góc giữa chúng
bằng góc giữa đường thẳng d và hình chiếu vng góc của đường thẳng d trên mặt
phẳng   .
Nhận xét:






Với   d,() A là điểm tuỳ ý trên đường thẳng d , H là hình chiếu của A trên

  , d    O

ta có:
sin  



 ;cos  OH

d A,  
AO

OA

2.3.4. Góc giữa hai mặt phẳng

a. Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai
mặt phẳng đó.

5


Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng đó
bằng 0 .
b. Diện tích hình chiếu của một đa giác

Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng   có diện tích S và đa giác H  là

hình chiếu vng góc của H trên mặt phẳng   . Khi đó diện tích S  của H  được
tính theo cơng thức:
S   S cos 

Với  là góc giữa   và   .
Nhận xét: Khi đó cos  

S
S

2.4. Giải pháp thực hiện
Để phát triển phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh, trong quá
trình dạy học luyện tập hoặc dạy học bài tập tốn, giáo viên ln chú trọng định
hướng để học sinh được rèn luyện các thao tác tư duy, tìm tịi nhiều cách giải cho
một bài toán, khai thác và phát triển để sáng tạo ra nhiều bài toán mới và chọn
được phương pháp giải tối ưu, độc đáo từ bài tốn đã cho.
Trong phạm vi đề tài, tơi lựa chọn một số biện pháp sau đây thông qua khai

thác các bài tốn về góc trong hình học khơng gian.
2.4.1. Rèn luyện và phát triển tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo thơng qua khai
thác bài tốn về góc trong hình học khơng gian
Từ cơ sở lí luận, theo tơi, giáo viên (GV) có thể rèn tính mềm dẻo của TDST
cho HS theo quy trình giải tốn gồm 3 bước sau:
- Bước 1: Phân tích tìm lời giải bài tốn (xét xem bài toán thuộc dạng nào? Chọn
lựa, huy động kiến thức thích hợp để tìm lời giải)
- Bước 2: Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học để trình bày lời giải bài tốn
- Bước 3: Khai thác bài toán dựa trên:
+ Sự linh hoạt khi chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí
tuệ khác;

6


+ Sử dụng các thao tác tư duy: Tương tự, đặc biệt hóa, khái qt hóa để khai
thác bài tốn theo các hướng sau:
Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự;
Hướng 2: Khái qt hóa bài tốn;
Hướng 3: Thay đổi giả thiết để có bài tốn mới và nghiên cứu các ứng dụng
của bài tốn.
Trong đề tài này, tơi đưa ra ba kiểu bài toán và định hướng cho HS khai thác
các bài tốn đó tương ứng với ba loại góc trong khơng gian được trình bày trong
SGK Hình học lớp 11 hiện hành. Đó là góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng.

Bài tốn 1. Cho hình thoi ABCD có BAD  60, AB  2a. Gọi H là
trung điểm AB . Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ABCD  tại H
lấy điểm S thay đổi khác H , đặt x  SH (x  0) , gọi  là góc giữa SC và

SAD  . Tính sin  .
- Bước 1: Phân tích tìm lời giải bài tốn
Đây là bài tốn thuộc dạng tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong
không gian
Với các kiến thức đã học thì GV có thể định hướng cho HS dễ dàng sử dụng
cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng qua khoảng cách từ điểm đến mặt
phẳng như sau.
Góc giữa đường thẳng d với mặt phẳng (P)
được tính theo cơng thức:





d M , P 

sin  

d(M,(P))

MI

Trong đó :

I

I là giao điểm của d với mặt phẳng (P)
M là điểm trên đường thẳng d khác I

d

M

φ

O

P

Cụ thể:
* Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD )
* sin  





d C , SAD 
SC

- Bước 2: Sử dụng các kiến thức, kĩ năng tốn học để trình bày lời giải bài toán
7


Lời giải
S

C

N

K

d(C,(SAD))
B

C

H

S
D

M

A

φ

SAD

* Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD )





Ta có d H , SAD   HN . Mà













BC / /AD  d C , SAD   d B, SAD   2d H , SAD 

Đặt x  SH (x  0) . Tam giác SHM vuông tại H và HN là đường cao nên
HN 

sin  

SH .HM

SM





3ax
2

3a  4x

d C , SAD 
SC

2



2 3ax
2

2

2 3ax



 d C , SAD  

2

2

(4x  3a )(x  7a )



2

3a  4x

2

.

2 3ax
4

4

2 2

4x  21a  31a x

.

- Bước 3: Khai thác bài toán
Sử dụng các thao tác tư duy: Tương tự, đặc biệt hóa, khái qt hóa để khai
thác bài tốn theo các hướng sau:
Hướng 1: Đặc biệt hoá bài toán.
Rõ ràng các hướng có thể khai thác là đặc biệt hình chóp đã cho như cho đáy
là hình vng, hình chữ nhật; ta cho độ dài cạnh x  SH (x  0) là một giá trị cụ
thể nào đó; hay ta làm ngược lại là cho góc u cầu tính khoảng cách, diện tích, thể
tích; hoặc có thể u cầu tích góc giữa đường thẳng với mặt phẳng khác…
Như vậy ta đã có một kho các bài tốn về góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng với các mức độ từ nhận biết, thông hiểu và vận dụng với cách giải tương tự
là nhờ khoảng cách hoặc đơn giản hơn nếu dễ dàng xác định được góc của nó.
Chẳng hạn như:
8


Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD có BAD  60, AB  2a. Gọi H là trung
điểm AB . Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ABCD  tại H lấy
điểm S sao cho SH  a , gọi  là góc giữa SC và SAD  . Tính tan  .

Hướng 2: Khai thác kết quả của bài toán:
Căn cứ vào kết quả của bài toán ta dễ dàng đánh giá được
2 3ax

sin  

 sin  

4x 4  21a 4  31a 2x 2

2 3ax
2 2

2 2

4 21.a x  31.a x

Dấu đẳng thức xảy ra khi x 

4

12

 sin  

4 21  31

.

21
.a .
4

Vậy  lớn nhất khi và chỉ khi sin  lớn nhất khi và chỉ khi SH 

4

Do đó ta có thể tạo ra bài tốn mới như sau:

21
.a.
4


Ví dụ 2. Cho hình thoi ABCD có BAD  60, AB  2a. Gọi H là trung
điểm AB . Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ABCD  tại H lấy
điểm S thay đổi khác H . Tính theo a độ dài của SH để góc giữa SC và SAD 
có số đo lớn nhất.
(Đây chính là đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Nghệ An năm học 2015 -2016)
Lời giải vắn tắt
Đặt x  SH (x  0) . Theo Ví dụ 1 ta có sin  

Do đó sin  

2 3ax
2 2

2 2

4 21.a x  31.a x

Dấu đẳng thức xảy ra khi x 

4

 sin  

2 3ax
4x 4  21a 4  31a 2x 2

12
4 21  31

.

21
.a .
4

Vậy  lớn nhất khi và chỉ khi sin  lớn nhất khi và chỉ khi SH 

4

21

.a.
4
9



Ví dụ 3. Cho hình thoi ABCD có BAD  60, AB  2a. Gọi H là trung
điểm AB . Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ABCD  tại H lấy
điểm S thay đổi khác H . Tính thể tích của khối chóp S .ABCD khi góc giữa SC
và SAD  có số đo lớn nhất.
Lời giải vắn tắt
Theo Ví dụ 2. Ta có  lớn nhất khi và chỉ khi sin  lớn nhất khi và chỉ khi
Ta có SH 

4

21
.a , S ABCD  2a 2 3 .
4

1
1
21
2
189
VS .ABCD  SH .SABCD  2a 2 3. 4 .a  .a 3 4
.
3
3
4

3
4
Bài toán 2. Cho hình chóp tam giác S .ABC . Có SA  a, BC  b . Gọi
V , d lần lượt là thể tích của khối chóp S .ABC và khoảng cách giữa SA và BC .
Gọi  là góc giữa SA và BC . Tính sin  theo V , a, b và d .
- Bước 1: Phân tích tìm lời giải bài tốn
Đây là bài tốn thuộc dạng tính góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian.
GV có thể gợi ý cho HS thơng qua định nghĩa về góc giữa hai đường thẳng
trong khơng gian để xác định góc giữa chúng. Khi đã xác định được góc thì việc
tính tốn trở nên rất dễ dàng.
Dựng hình bình hành SABD . Khi đó góc giữa SA và BC bằng hoặc bù với
.
góc DBC
Vì SD / /AB do đó VS .ABC  VD.ABC  VE .BCD .
- Bước 2: Sử dụng các kiến thức, kĩ năng tốn học để trình bày lời giải bài toán
Lời giải
S
D
E
d

C

A
F

B

Bằng hoặc bù với φ

10


Dựng hình bình hành SABD . Khi đó góc giữa SA và BC bằng hoặc bù với góc
.
DBC
Vì SD / /AB nên VS .ABC  VD.ABC , SA / /BD  VA.BCD  VE .BCD .





Do đó ta có V  VE .BCD . Mà d SA, BC   d E , BCD   d

1
1
1
S BCD  BD.BC sin   SABC
.
sin   a.b.sin  .
2
2
2
1
1
Suy ra V  VE .BCD  d E, BCD  .SBCD  a.b.d sin 
3
6





Do đó

sin  

6V
a.b.d

- Bước 3: Khai thác bài toán
Sử dụng các thao tác tư duy: Tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa để khai
thác bài toán theo các hướng sau:
Nhận xét. Từ kết quả của bài tốn ta thấy có một hệ thức liên hệ giữa các
6V
1
hay V  a.b.d sin  . Do đó chúng ta có thể
đại lượng rất đẹp là sin  
a.b.d
6
khai thác bài toán theo các hướng sau:
Hướng 1. Đặc biệt hoá bài toán.
Thứ nhất. Ta cho tất cả các cạnh của hình chóp trong giả thiết đều bằng
nhau và bằng a . Khi đó ta sẽ có kết quả cho một tứ diện đều cạnh a như sau:
S
a

E
a 2
2

C

A
F
B

* Ta dễ dàng tính được d 

a 2
2

11


* Góc giữa SA và BC bằng 90
1
a 2
a3 2
* Do đó V  a.a.
sin 90 
6
2
12

Kết quả 1. Thể tích cho tứ diện đều cạnh a là: V 

a3 2
12

GV có thể gợi ý HS đề xuất các bài toán mới theo các ý tưởng sau:
1) Một tứ diện đều nếu biết độ dài cạnh thì ta sẽ tính ngay được thể tích của
nó nhờ Kết quả 1.
2) Một tứ diện đều nếu biết độ dài cạnh thì ta sẽ tính được khoảng cách từ
đỉnh đến mặt phẳng đáy của nó thơng qua thể tích nhờ Kết quả 1.
3) Một số hình đa diện ta có thể phân chia được thành các hình chóp trong
đó có thể tạo được hình tứ diện đều sau đó áp dụng Kết quả 1.
Và cịn nhiều bài tốn khác liên quan đến hình tứ diện đều đều khi biết một
số dữ kiện.
Ví dụ 4. Cho khối tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a 2 . Thể tích
khối tứ diện bằng
A.

2a 3 3
.
3

B.

2a 3
.
3

C.

a3 3
.
3

D.

a3
.
3

Lời giải

 

3
2
a3
Áp dụng Kết quả 1 ta có thể tích khối tứ diện là V 
.
.a 2 
12
3
Ví dụ 5. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a , M là trung điểm BC .
Thể tích V của khối chóp M .ABC bằng bao nhiêu?

3a 3
A. V 
.
24

a3
B. V  .
2

2a 3

C. V 
.
12

2a 3
D. V 
.
24

Lời giải
D

M

A

C

B

12


1
1 a3 2 a3 2
Ta có VM .ABC  VABCD  .
.

2
2 12

24
Ví dụ 6. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi M , N lần lượt là

trung điểm các cạnh AD, BD. Lấy điểm không đổi P trên cạnh AB (khác A, B ).
Thể tích khối chóp PMNC bằng
A.

9 2
.
16

B.

8 3
.
3

C. 3 3 .

D.

27 2
.
12

A
P

M

N

B

D

C

1
Ta có VPCMN  VDPMN  VMCND  VABCD
4
3
3 2
27 2
1 27 2
9 2
Mặt khác VABCD 
nên VMCND  .


12
12
4 12
16
Ví dụ 7. Cho tứ diện S .ABC có SA  1 , SB  2 , SC  3 và
  BSC
  CSA
  60 . Tính thể tích khối tứ diện S .ABC .
ASB
A.

2
.
12

2
.
2
Lời giải

B.

C.

3
.
2

D.

2.

S
60°
1

1

60°

C'

1
2

A

B'
C

1

B

VS .AB C 
6 2
2
SB  SC  1 1 1


    VS .ABC  6VS .AB C  

.
2 3 6
12
2
VS .ABC
SB SC
13

Một cách tương tự ta có ví dụ sau
  BSC
  CSA
  600 ,
Ví dụ 8. Cho khối chóp S .ABC có ASB
SA  a, SB  2a, SC  4a . Tính thể tích khối chóp S .ABC theo a .

A.

2 2a 3
.
3

2a 3
.
3

B.

C.

4 2a 3
.
3

D.

8 2a 3
.

3

Lời giải
S
a

°
60° 60

C'

a

a

3a

B'

A

C

a

B

Ta có VS .AEF 

2a 3

.
12

VS .AEF
2 2a 3
SA SE SF
1
.

.
.
  VS .ABC  8VS .AEF 
3
8
VS .ABC
SA SB SC

Ví dụ 9. Cho khối tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a 2 . Khoảng cách

từ A đến mặt phẳng BCD  là
A.

a 3
.
6

B.

2a
.

3

C.

a 3
.
3

D.

2a 3
.
3

Lời giải
Áp dụng Kết quả 1 ta có thể tích khối tứ diện là V 
Diện tích của tam giác BCD là S BCD

 

2
.a 2
12

3



a3
.

3

a2 3

2

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD  là:





d A, BCD  

3V
S BCD

a3
3  2a 3

3
a2 3
2
3.

14


Qua các ví dụ trên ta thấy Kết quả 1. quả thật là rất hiệu quả trong việc giải
các bài toán liên quan đến tứ diện đều. Điều này là phù hợp với việc thi trắc

nghiệm của kỳ thi TN THPT QG đang áp dụng hiện nay.
Thứ hai. Ta cho các cạnh đối của hình chóp trong giả thiết bằng nhau theo
ba kích thước là a, b, c . Khi đó ta sẽ có kết quả cho một tứ diện gần đều như sau:
S

E

a

b
c
c

A

C

b
B

a

F

* Ta tính d  EF
SC 2  SB 2 BC 2 SA2 b 2  c 2  a 2
EF  SF  SE 




2
4
4
2
2

2

2

d 

b2  c2  a 2
2

* Tính sin 
    
   
.
 SA. SC  SB  SASC
Ta có SABC
.
 SASB
.







SA2  SC 2  AC 2 SA2  SB 2  AB 2 c 2  b 2


2
2
2

Do đó
cos 

 
SA.BC
SA.BC



c2  b2



a2

a

2

2

c 2  b 2 


 sin   1  cos   1  
 a 2 
2



 b2  c2 a 2  c2  b2



a2

* Do đó
1
b2  c2  a 2
V  a.a.
.
6
2

a

2



 b2  c2 a 2  c2  b2



a2

15


2
12



a

2





 b2  c2 a 2  c2  b2 b2  c2  a 2



Kết quả 2. Tứ diện gần đều có kích thước các cặp cạnh đối diện lần lượt là
a,b và c có thể tích bằng:
2
12

V 

a

2





 b2  c2 a 2  c2  b2 b2  c2  a 2



GV có thể gợi ý HS đề xuất các bài toán mới theo các ý tưởng sau:
1) Một tứ diện gần đều nếu biết độ dài các cặp cạnh đối thì ta sẽ tính ngay
được thể tích của nó nhờ Kết quả 2.
2) Một tứ diện gần đều nếu biết độ dài các cặp cạnh đối thì ta sẽ tính được
khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy của nó thơng qua thể tích nhờ Kết quả 2.
3) Một số hình đa diện ta có thể phân chia được thành các hình chóp trong đó
có thể tạo được hình tứ diện đều sau đó áp dụng Kết quả 2.
4) Khai thác kết quả 2. Ta có:
3



a

2





 b 2  c2 a 2  c2  b2 b2  c2  a 2



a 2  b2  c2  a 2  c2  b2  b2  c2  a 2
3

a 2  b2  c2

3







 a 2  b2  c2 a 2  c2  b2 b2  c2  a 2

a







3 a 2  b2  c2



9

2





a


2

 b2  c2

V 

3

27









 b2  c2 a 2  c2  b2 b2  c2  a 2

a 2  b2  c2



6 a 2  b2  c2

a2  b2  c2

108

Nếu ta cho tổng a 2  b 2  c 2  P khơng đổi khi đó ta có
6P P
108
Do đó ta có lớp các bài tốn về Max của thể tích khối tứ diện đều.
V 

Và cịn nhiều bài tốn khác liên quan đến hình tứ diện gần đều khi biết một số
dữ kiện.
Ví dụ 10. Tính thể tích V của khối chóp S .ABC có độ dài các cạnh
SA  BC  5, SB  AC  6, SC  AB  7 .
16


A. V  2 95 .

B. V 

35 2
.
2

C. V 

35
.
2

D. V  2 105 .

Lời giải
S
7
5
6

A

C

B

.
Áp dụng Kết quả 2. Ta có

2
52  62  72 52  72  62 7 2  62  52

12
 2 95
Ví dụ 11. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  4 , AC  BD  5 ,
AD  BC  6 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD  .



V 

A.

7
.
2

B.



3 6
.
7

C.

1

4

2

3 2
.
5

D.





3 42
.
7



 52  62 42  52  62 42  52  62 

6 2
* Tính diện tích tam giác SBD

S BCD  p p  4p  5p  6 

Ta có d A, BCD 



Lời giải

* Tính thể tích tứ diện ABCD
Áp dụng Kết quả 2. Ta có

V 



15 6
.
4

15 7
4

15 6
3.
3VA.BCD
4  3 42 .


7
S BCD
15 7
4

Ví dụ 12. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a và AC  a 2 . Gọi M , N
lần lượt là trung điểm của AB và CD . Biết MN  a và MN là đoạn vng góc
chung của AB và CD . Tính thể tích tứ diện ABCD .
A.

a3 6
.
3

B.

a3 3
.
2

C.

a3 3
.
3

D.

a3 6
.
2

17


Lời giải vắn tắt
A

M

B

D
N
C

Áp dụng Kết quả 2. Ta có
VABCD 
2 
2
2



2a 2  2a 2  a 2  2a 2  a 2  2a 2 2a 2  a 2  2a 2 




6 2 

 

1

 

 

a3 3

3
Ví dụ 13. Cho hình tứ diện SABC có độ dài các cạnh SA  BC  x ,
SB  AC  y , SC  AB  z thỏa mãn x 2  y 2  z 2  27 . Tính giá trị lớn nhất
của thể tích khối tứ diện SABC .


A.

9 2
.
2

B.

9
.
4

C.

9 2
.
4

D.

9
.
2

Lời giải
S
z

x
y

A

C

B

Thể tích khối tứ diện V 

2
12

y

Mà x 2  y 2  z 2  27 nên V 

2







 z 2  x 2 z 2  x 2  y2 x 2  y2  z 2 .

2
12

27  2x 27  2y 27  2z  .
2

2

2

18


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương

27  2z  ta có
 27  2x  27  2y  27  2z 
 
 



27  2x  , 27  2y  ,
2

2

2

2

2

2

3









2
2
2
  27  2x 27  2y 27  2z
3


2
9 2
.
. 729  V 
 729  27  2x 2 27  2y 2 27  2z 2   V 
12

4
9 2
, đạt được khi x  y  z  3 tức là tứ diện đã cho là tứ diện đều
Vậy Vmax 
4
cạnh bằng 3.
Tổng quát ví dụ 13. Cho hình tứ diện SABC có độ dài các cạnh SA  BC  a ,
SB  AC  b , SC  AB  c thỏa mãn a 2  b 2  c 2  P , P  0 . Tính giá trị





lớn nhất của thể tích khối tứ diện SABC .
Lời giải

Áp dụng Kết quả 2.

2
a 2  b2  c2 a 2  c2  b2 b2  c2  a 2
12
Theo bất đẳng thức AM -GM ta có



V 

3

a

2













 b2  c2 a 2  c2  b2 b2  c2  a 2 

a 2  b 2  c2  a 2  c2  b2  b2  c2  a 2 a 2  b 2  c2

3
3







 a 2  b2  c2 a 2  c2  b2 b2  c2  a 2

a







3 a 2  b2  c2



9

2





a


2

 b2  c2

V 

3

27









 b2  c2 a 2  c2  b2 b2  c2  a 2

a 2  b2  c2



6 a 2  b2  c2

a2  b2  c2

108

P 6P
108
Hướng 2. Ta khai thác kết quả Bài toán 2 theo hướng tạo ra lớp các bài tốn
tìm yếu tố về góc, khoảng cách, thể tích… khi áp dụng cơng thức

Vậy VMax 

1
V  a.b.d sin  .
6

19


Ví dụ 14. Cho hình chóp S .ABC có SA  3a, BC  4a , Khoảng cách giữa SA
và BC bằng a 3 . Khi thể tích của hình chóp S .ABC là 3a 3 . Tính sin góc giữa
SA và BC .
A. 30 .
B. 45 .
C. 60 .
D. 90 .
Lời giải
S

3a

a 3

C

A

4a

B

Gọi  là góc giữa SA và BC .

Áp dụng kết quả Bài tốn 2 ta có
sin  

6VS .ABCD

SA.BC .d SA, BC 



6.3a 3
3a .4a .a 3



3
   60
2

Nhận xét. Đây là một hướng đi rất mới trong việc tính góc giữa hai đường thẳng
trong khơng gian. Ta gắn hai đường thẳng đó thơng qua hai đường thẳng đi qua hai
cạnh đối của một hình chóp tam giác và nhờ kết quả của bài tốn 2 để tính góc.
Việc làm này chắc chắn sẽ khơi dậy trong học sinh tính hứng thú trong giải tốn và
rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo cho các em.
Ví dụ 15. Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng


a , M là trung điểm của SA , N thoả mãn SN  2.NB .
a) Tính sin góc giữa BM và CN .
b) Tính khoảng cách giữa BM và CN .
Lời giải

S

M
N
C

A

B

20


a) Tính sin góc giữa BM và CN .
a 3
a2
a 1 a 7
2
Ta có BM 
, CN  a   2a. . 
2
9
3 2
3
  1    1   
a2


BM .CN  BA  BS  BS  BC   
 3

2
4

 
BM .CN
21
5 7
cos BM ,CN  

 sin BM ,CN  
BM .CN
14
14





b) Tính khoảng cách giữa BM và CN .

1
1
Ta có VBCMN  VMSBC  VS .ABC
3
6
Mà VS .ABC 
Do đó

1
2 3

a . Mặt khác VBCMN  .BM .CN .d BM ,CN .sin BM ,CN 
12
6

1
1 2 3
a 6
.BM .CN .d BM ,CN  .sin BM ,CN  
a  d BM ,CN  
6
6 12
15

Nhận xét. Đã có rất nhiều cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
trong khơng gian. Song đây có thể nói rằng là một cách rất độc đáo. Đó là thơng
qua góc giữa chúng và thể tích của khối chóp tam giác
Ví dụ 16. Cho hình hộp chữ nhật ABCD .A B C D  có AB  BC  a ,
AA  a 3 . Gọi I là giao điểm của AD  và A  D ; H là hình chiếu của I trên mặt
phẳng A B C D  ; K là hình chiếu của B lên mặt phẳng CA B  . Tính thể tích
của khối tứ diện IHBK .
a3 3
.
A.
4

a3 3
.
B.
6

a3 3
.
C.
16

a3 3
.
D.
8

Lời giải

H

A'
B'

C'

I

A
B

K

D'

D
C

21