SKKN Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và ứng dụng

t

SÁNG
KIẾN
KINH
SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
Đề tài:
“PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY CHO HỌC SINH THƠNG QUA BÀI
TỐN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG”

Năm học: 2021 - 2022
1


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƢỜNG THPT PHAN THÚC TRỰC

---------------------------

Đề tài:
“PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY CHO HỌC SINH THƠNG QUA
BÀI TỐN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG
DỤNG”

\

Họ và tên: Phan Bá Giáp; Trần Văn Kiên.
Đơn vị: Trƣờng THPT Phan Thúc Trực
Điện thoại: 0987507024
Năm học: 2021 - 2022

2


MỤC LỤC
Phần II. Đặt vấn đề

Trang 1

1 Lý do chọn đề tài.

Trang 1

2. Mục đích nghiên cứu.

Trang 1

3. Đối tượng nghiên cứu.

Trang 2

4. Kế hoạch nghiên cứu.

Trang 2

5. Phương pháp nghiên cứu.

Trang 2

6. Đóng góp của đề tài.

Trang 3

Phần II. Nội dung

Trang 4

I. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng.

Trang 4

II. Kết quả đạt được và kinh nghiệm rút ra.

Trang 4

III. Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả.

Trang 4

IV. Cơ sở lý luận.

Trang 4

1. Năng lực toán học

Trang 4

2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực tốn học
cho học sinh.

Trang 6

3. Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh thực
hiện được.

Trang 6

4. Đánh giá kết quả giáo dục mơn tốn.

Trang 8

5. Các kiến thức liên quan được sử dụng trong đề tài.
V. Nội dung đề tài.

Trang 9
Trang 11

1. Bài tốn tìm số hạng tổng quát của dãy số dựa vào các
hệ thức cơ bản của phương pháp quy nạp toán học.

Trang 12

2. Bài tốn tìm số hạng tổng qt của dãy số bằng cách
quy về cấp số cộng và cấp số nhân.

Trang 17

3


3. Ứng dụng của bài tốn tìm số hạng tổng quát của dãy

số vào các bài toán về dãy số.

Trang 30

4. Hệ thống bài tập tự ôn luyện

Trang 31

Kết quả nghiên cứu

Trang 34

C. Kết luận

Trang 34

I. Những kết luận

Trang 34

II. Những kiến nghị, đề xuất.

Trang 35

Danh mục tài liệu tham khảo

Trang 36

4

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, “năng lực là thuộc tính
cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và q trình học tập,
rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và
các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành
cơng một hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện
cụ thể”. Trong q trình cơng tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích
cực tơi ln tự hỏi làm thế nào để nâng cao chất lượng dạy và học. Bản thân
nhận thấy rằng phải làm cho học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động
khám phá những điều chưa biết. Để có một bài giảng thu hút được học sinh,
giúp học sinh phát triển năng lực tốn học địi hỏi mỗi giáo viên phải tìm tịi,
cập nhật các phương pháp, kĩ thuật dạy học mới phù hợp với từng đối tượng
học sinh. Dạy học dựa trên phát triển năng lực là chìa khóa để nâng cao chất
lượng dạy và học. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú
trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các
em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với
đặc điểm cá nhân. Thơng qua dạy học nội dung tìm số hạng tổng quát của dãy
số và các bài toán ứng dụng, học sinh cần hình thành và phát triển được năng
lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính tốn. Năng lực tốn
học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận tốn học;
năng lực mơ hình hóa tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực
giao tiếp tốn học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn. Các bài
tốn tìm số hạng tổng qt của dãy số và các bài toán ứng dụng là những bài
tốn gây nhiều khó khăn cho học sinh trong quá trình vận dụng kiến thức để
giải quyết. Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu cho sáng kiến kinh nghiệm của
mình: “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH THƠNG
QUA BÀI TỐN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG
DỤNG”.

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Tìm những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận bài tốn tìm
số hạng tổng qt của dãy số và các bài toán ứng dụng.
Phát triển năng lực toán học cho học sinh như: Năng lực tư duy và lập
luận tốn học; năng lực mơ hình hóa tốn học; năng lực giải quyết vấn đề
toán học; năng lực giao tiếp tốn học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện
5


học toán. Đặc biệt, đối với học sinh lớp 11 có thêm một tài liệu tham khảo tốt
để luyện thi học sinh giỏi toán.
3. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU.
Học sinh lớp 11 THPT.
Giáo viên giảng dạy mơn tốn bậc THPT.
4. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU.
Quá trình giảng dạy được áp dụng cho các lớp và đối tượng học sinh khác
nhau để hoàn thiện dần. Từ đó tìm kiếm thêm các khó khăn, sai lầm mà học
sinh thường gặp. Trao đổi chuyên môn cùng q Thầy, Cơ mơn Tốn trong
tổ, ngồi trường và trên các diễn đàn toán học. Đề tài được thực hiện trong
năm học 2021-2022 với kế hoạch cụ thể như
5. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ các nguồn liên quan đến bài tốn tìm số hạng
tổng quát của dãy, phương pháp dạy học theo phát triển năng lực. Trao đổi
với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện. Giảng dạy tại các lớp 11
trường THPT Phan Thúc Trực. Phối hợp với giáo viên mơn Tốn trường
THPT trong huyện Yên Thành để dạy thử nghiệm tại các lớp 11.
Đề tài được thực hiện trong năm học 2021 – 2022 với kế hoạch cụ thể như
TT

Thời gian

Nội dung công việc
Chọn đề tài,

Sản phẩm

1

20/9/2021 đến
20/10/2021

Đăng ký đề tài
SKKN

2

21/10/2021 đến Viết đề cương nghiên cứu
21/12/2021

Trình xét duyệt
bản đề cương
SKKN

2

22/12/2021
đến 15/1/2022

Đọc tài liệu lý thuyết, viết
cơ sở lý luận

Tập hợp tài liệu

3

16/1/2021 đến
30/1/20127

Trao đổi với đồng nghiệp,
đề xuất sáng kiến

Tập hợp ý kiến
đóng góp của
đồng nghiệp

4

1/2/2022 đến
30/2/2022

Dạy thử nghiệm tại các lớp
11A, 11A1 và 11A2 trường
THPT Phan Thúc Trực

Thống kê kết quả
thử nghiệm

6

5

1/3/2022 đến
– 15/4/202022

Hồn thiện đề tài

Đề tài chính thức

6. ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI.
- Về mặt lí luận: Góp phần làm sáng tỏ cách dạy học theo định hướng
và phát triển năng lực cho học sinh.
- Về mặt thực tiễn:
+ Đưa ra hệ thống lý thuyết cùng các dạng liên quan đến số hạng tổng
quát của dãy số nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh.
+ Thông qua giải quyết các bài toán theo các mức độ từ đơn giản đến
phức tạp, từ thấp đến cao, từ cụ thể đến trừu tượng, từ các nội dung đơn lẻ
đến tích hợp, từ cụ thể đến trừu tượng, khái quát hóa và sáng tạo các bài tốn
mới theo trình tự từ dễ đến khó học sinh có cơ hội phát triển năng lực giải
quyết vấn đề; năng lực khái quát hóa; năng lực tương tự hóa và năng lực sáng
tạo.
+ Đáp ứng yêu cầu đổi mới trong giáo dục hiện nay; là tài liệu để học
sinh và giáo viên tham khảo cho kỳ THPT.

7


PHẦN II: NỘI DUNG
I. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƢỚC KHI ÁP DỤNG.
Trường THPT Phan Thúc Trực đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn

về kinh tế, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được
quan tâm từ các bậc học dưới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về mơn Tốn của
các học sinh hầu hết tập trung ở mức độ trung bình và khá. Khi chưa áp dụng
những nghiên cứu trong đề tài để dạy học nâng cao năng lực giải quyết bài tập
tìm số hạng tổng quát của dãy số và các bài toán liên quan, các em thường thụ
động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức
được giáo viên cung cấp hoặc làm mẫu, các em chưa ý thức được việc tìm tịi,
sáng tạo cũng như tạo niềm vui, sự hứng khởi trong khám phá, giải toán. Kết
quả khảo sát học sinh ở một số lớp và giáo viên Toán THPT trên địa bàn
huyện Yên Thành về nội dung tìm số hạng tổng quát của dãy số và các bài
tốn liên quan chỉ có khoảng 10% học sinh hứng thú với bài toán dạng này.
II. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƢỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA.
Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho thấy.
Có trên 80% các em học sinh có hứng thú với bài học và 50% trong số đó biết
cách tìm tịi, xây dựng những bài toán tương tự, bài toán mới.
III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ.
Đề tài là tài liệu tham khảo cho các lớp chọn, các đội tuyển học sinh giỏi
THPT. Đề tài có thể áp dụng để phát triển thêm những lớp bài toán khác cho
giáo viên Toán ở trường THPT. Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mơ
hình sách tham khảo cho học sinh và giáo viên phục vụ học tập và giảng dạy
mơn tốn.
IV. CƠ SỞ LÝ LUẬN.
1. Năng lực tốn học.
Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính
cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và q trình học tập,
rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và
các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành
cơng một hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện
cụ thể”. Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức, vận
dụng và giải thích tốn học trong nhiều ngữ cảnh. Năng lực tốn học phổ

thông là 4 khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trị của kiến thức tốn học trong
8


cuộc sống; vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết các vấn đề
của thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh
hoạt; là khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái qt hóa, trao đổi thơng
tin hiệu quả thơng qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề tốn học
trong các tình huống, hồn cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến
thức và hoạt động. Năng lực tốn học phổ thơng khơng đồng nhất với khả
năng tiếp nhận nội dung của chương trình tốn trong nhà trường phổ thông
truyền thống, mà điều cần nhấn mạnh đó là kiến thức tốn học được học, vận
dụng và phát triển như thế nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận,
lập luận, khái qt hóa và phát hiện được tri thức toán học ẩn dấu bên trong
các tình huống, các sự kiện.
1.1. Năng lực tƣ duy và lập luận.
Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái
hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề,
5 xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng
vào thực tiễn. Năng lực lập luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa
vào những tiền đề cho trước, sử dụng ngơn ngữ tốn học, bằng phương pháp
luận để đưa ra kết luận đúng.
1.2. Năng lực mơ hình hóa tốn học.
Năng lực mơ hình hóa tốn học là khả năng cá nhân về phiên dịch các
vấn đề thực tiễn thông qua phương tiện ngôn ngữ viết sang ngôn ngữ biểu
tượng, kí hiệu, bảng biểu, đồ thị…
1.3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học.
Năng lực giải quyết vấn đề là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các
quá trình nhận thức, hành động và thái độ, động cơ, xúc cảm để giải quyết các
tình huống mà ở đó khơng có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thơng thường.

1.4. Năng lực giao tiếp tốn học.
Năng lực giao tiếp toán học là khả năng cá nhân sử dụng ngơn ngữ
tốn học để tiếp nhận, chuyển tải các ý tưởng, kiến thức, đưa ra lập luận,
chứng minh, phản ánh, thảo luận trong quá trình giao tiếp để đạt được mục
tiêu dạy học.
1.5. Năng lực sử dụng công cụ, phƣơng tiện học toán.

9


Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện dạy học toán là khả năng của
cá nhân hiểu, biết sử dụng, bảo quản các công cụ, phương tiện khoa học để
đạt được mục tiêu dạy học.
2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh
2.1. Phƣơng pháp dạy học phải phù hợp với tiến trình nhận thức của
học sinh.
Phương pháp dạy học phải đi từ cụ thể đến trừu tượng; từ dễ đến khó;
khơng chỉ coi trọng tính logic của khoa học tốn học mà cần chú ý cách
tiếp cận dựa trên vốn kinh nghiệm và sự trải nghiệm của học sinh.
2.2. Quán triệt tinh thần “lấy ngƣời học làm trung tâm”.
Phương pháp dạy học phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chú ý
nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá
nhân học sinh; tổ chức quá trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó
học sinh được tham gia tìm tịi, phát hiện, suy luận giải quyết vấn đề.
2.3. Linh hoạt trong việc vận dụng các phƣơng pháp kỹ thuật dạy
học tích cực.
Kết hợp được nhuần nhuyễn, sáng tạo kĩ thuật dạy học tích cực với
việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học truyền thống; kết hợp
các hoạt động dạy học trong lớp học với hoạt động thực hành trải
nghiệm, vận dụng 6 kiến thức toán học vào thực tiễn. Cấu trúc bài học

bảo đảm tỉ lệ cân đối, hài hòa giữa kiến thức cốt lõi, kiến thức vận dụng
và các thành phần khác.
2.4. Sử dụng đƣợc các phƣơng tiện, thiết bị dạy học.
Sử dụng đủ và hiệu quả các phương tiện, thiết bị dạy học tối thiểu theo
quy định đối với mơn Tốn; có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm
phù hợp với nội dung học và các đối tượng học sinh; tăng cường sử dụng
công nghệ thông tin và các phương tiện, thiết bị dạy học hiện đại một
cách phù hợp và hiệu quả.
3. Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh thực hiện đƣợc.
TT Thành tố của năng
lực mơn tốn
1

Các tiêu chí, chỉ báo

Năng lực tư duy và - Thực hiện được các thao tác tư duy: So sánh,
lập luận tốn học
phân tích, tổng hợp; đặc biệt hóa, khái quát hóa;
10


tương tự; quy nạp, diễn dịch.
- Biết đặt và trả lời câu hỏi; biết chỉ ra chứng cứ, lí
lẽ và lập luận hợp lí trước khi kết luận.
- Giải thích và điều chỉnh cách thực giải quyết vấn
đề về phương tiện tốn học
2

Năng lực mơ hình - Sử dụng được các phép tốn và cơng thức để mơ
hóa tốn học

tả các tình huống đặt ra trong thực tế.
- Giải quyết các vấn đề tốn học trong mơ hình
được thiết lập.
- Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh
thực tế và cải tiến mơ hình nếu có cách giải không
phù hợp.

3

Năng lực giải quyết - Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết
vấn đề toán học
bằng toán học.
- Đề xuất, lựa chọn cách thức, giải pháp giải quyết
vấn đề bằng các kiến thức, kĩ năng toán học tương
thích.
- Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho
vấn đề tương tự.

4

Năng lực giao tiếp - Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thơng
tốn học
tin cần thiết được trình bày dạng văn bản tốn
học.
- Trình bày, diễn đạt các ý tưởng giải pháp toán
học khi tương tác với người khác.
- Sử dụng được ngôn ngữ tốn học kết hợp với
ngơn ngữ thơng thường để trình bày, giải thích và
đánh giá các ý tưởng khi thảo luận với người
khác.

5

Năng lực sử dụng - Biết gọi tên, tác dụng, quy cách sử dụng, cách
công cụ, phương thức bảo quản, các phương tiện khoa học cơng
tiện học tốn
nghệ phục vụ cho việc học toán.
- Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và
11


phương tiện khoa học cơng nghệ để tìm tịi và giải
quyết các vấn đề toán học phù hợp lứa tuổi
- Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của các công
cụ, phương tiện hỗ trợ để cách sử dụng hợp lý.
4. Đánh giá kết quả giáo dục mơn tốn.
4.1. Mục tiêu đánh giá.
Cung cấp thơng tin chính xác, kịp thời, có giá trị về sự phát triển
năng lực và sự tiến bộ của học sinh trên cơ sở yêu cầu cần đạt ở mỗi
lớp học, cấp học. Điều chỉnh các hoạt động dạy học, bảo đảm sự tiến bộ
của từng học sinh và nâng cao chất lượng giáo dục môn Tốn nói riêng
và chất lượng giáo dục nói chung.
4.2. Hình thức đánh giá.
Đánh giá quá trình (hay đánh giá thường xuyên) do giáo viên phụ
trách môn học tổ chức, kết hợp với đánh giá của giáo viên môn học
khác; của bản thân học sinh được đánh giá và của các học sinh khác
trong tổ, trong lớp hoặc đánh giá của cha mẹ học sinh; đi liền với tiến
trình hoạt động học tập của học sinh, tránh tình trạng tách rời giữa quá
trình dạy học và quá trình đánh giá, bảo đảm mục tiêu đánh giá vì sự
tiến bộ trong học tập của học sinh. Đánh giá định kì (hay đánh giá tổng

kết) có mục đích chính là đánh giá việc thực hiện các mục tiêu học tập.
Kết quả đánh giá định kì và đánh giá tổng kết được sử dụng để chứng
nhận cấp độ học tập, cơng nhận thành tích của học sinh. Đánh giá định
kì do cơ sở giáo dục tổ chức hoặc thơng qua các kì kiểm tra, đánh giá
quốc gia.
4.3. Phƣơng pháp đánh giá.
Quan sát, ghi lại quá trình thực hiện; Vấn đáp, trắc nghiệm khách
quan; Tự luận, kiểm tra viết; Bài tập thực hành; Các dự án/ sản phẩn
học tập; Thực hiện nhiệm vụ thực tiễn, …
4.4. Mức độ đánh giá.
Bốn mức độ đánh giá đường phát triển năng lực mơn tốn.
Mức 1: Nhận biết, nhắc lại.
Mức 2: Hiểu, trình bày, giải thích được theo cách hiểu cá nhân.
12


Mức 3: Vận dụng giải quyết những vấn đề quen thuộc, tương tự trong
học tập, trong cuộc sống.
Mức 4: Vận dụng giải quyết vấn đề mới hoặc đưa ra những phản hồi
hợp lý trong học tập, cuộc sống một cách linh hoạt.
5. Các kiến thức liên quan đƣợc sử dụng trong đề tài.
a) Phƣơng pháp quy nạp toán học
b) Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
* Dãy số  un  gọi là dãy số tăng nếu un  un1 ,

n 

* Dãy số  un  gọi là dãy số giảm nếu un  un1 ,
Vậy: Nếu un1  un  0, n 
Nếu un1  un  0, n 

*

*

n 

*

*

suy ra  un  là dãy số tăng

suy ra  un  là dãy số giảm

* Nếu tồn tại số M sao cho un  M ,
* Nếu tồn tại số m sao cho un  m ,

n 
n 

*

*

thì  un  bị chặn trên

thì  un  bị chặn dưới

* Nếu dãy số  un  bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn

c) Cấp số cộng
* Dãy số  un  là cấp số cộng  un1  un  d với n 

*

, trong đó

d là số khơng đổi gọi là cơng sai của cấp số cộng.
* Nếu dãy số  un  là cấp số cộng thì un  u1   n  1 d
* Nếu dãy số  un  là cấp số cộng thì tổng

Sn  u1  u2  ...  un 

n
 u1  un 
2

d) Cấp số nhân
* Dãy số  un  là cấp số nhân  un1  un .q với n 

*

, trong đó q

là số khơng đổi gọi là cơng bội của cấp số nhân.
* Nếu dãy số  un  là cấp số nhân thì un  u1.q

n1

* Nếu dãy số  un  là cấp số nhân vơi q  1, q  0 thì tổng

13


1  qn
Sn  u1  u2  ...  un  u1.
1 q
e) Một số định lí về giới hạn
- Nếu q  1 thì lim q  0
n

- Nếu q  1 thì lim q  
n

- Nếu các dãy số an  bn  cn , n 

*

và lim an  lim cn  L thì

lim bn  L
- Nếu dãy số  un  tăng và bị chặn trên thì  un  có giới hạn
Nếu dãy số  un  giảm và bị chặn dưới thì  un  có giới hạn.
f) Một số các hệ thức cơ bản chứng minh đƣợc bằng phƣơng pháp
quy nạp tốn học.
n 

*

ta ln có các đẳng thức sau:

1  2  3  ...  n 

n  n  1
2

12  22  32  ...  n 2 

n  n  1 2n  1
6

 n  n  1 
1  2  3  ...  n  

2


3

3

3

(1)
(2)

2

3

1

1.2  2.3  3.4  ...  n  n  1  n  n  1 n  2 
3
1
1
1
1
n


 ... 

1.3 3.5 5.7
 2n  1 2n  1 2n  1

(3)

(4)
(5)

14


V. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
Trong chương trình học và thi các cấp độ, chúng ta thường gặp các bài
tập tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức dạng truy hồi, ví dụ:
Bài tốn 1. (Bài 2.5 Trang 206 sách Bài tập đại số và giải tích 11 cơ bản)
u1  5

Cho dãy số (un ) xác định bởi 
un1  un  3n  2; n  1

Tìm cơng thức số hạng tổng qt
Bài tốn 2. (Ví dụ 3 trang 116 sách Bài tập đại số và giải tích 11 cơ bản)
Dãy số (un ) cho như sau:

u1  2004; u2  2005


2un  un1
;n  2
un1 
3
a, Lập dãy (vn ) với vn  un1  un . Chứng minh rằng (vn ) là một cấp số nhân.
b. Lập cơng thức tính un theo n
Bài toán 3: (câu 2.b Đề thi HSG tỉnh Nghệ An bảng A năm 2015-2016)

u1  1

Cho dãy số (un ) xác định bởi 
3
n4


u
(
u
); n  *
1
n


n

2
n 2  3n  2
Xác định công thức tổng quát của un theo n .
Trong q trình giảng dạy, trao đổi chun mơn với đồng nghiệp,
tương tác với học sinh ở nội dung tìm số hạng tổng quát của dãy số và các bài
tốn liên quan, nhiều giáo viên gặp khó khăn khi diễn đạt, lập luận, giải thích
để học sinh hiểu; phần lớn học sinh lớp 11 không biết định hướng cách làm và
thụ động trong tiếp thu kiến thức từ giải thích của giáo viên, bạn bè.
Trong đề tài này việc phát triển năng lực toán học dựa trên nguyên tắc
của quá trình nhận thức qua các giai đoạn từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp
đến cao, từ cụ thể đến trừu tượng, từ hình thức bên ngồi đến bản chất bên
trong.
Sau đây là một số các bài toán, lớp các bài tốn thực hiện các bước
phân tích, suy luận, tương tự hóa, đặc biệt hóa và tổng quát hóa từ đó giúp
học sinh phát triển được năng lực tốn học.
15


1. Bài tốn tìm số hạng tổng qt của dãy số dựa vào các hệ thức cơ bản
của phƣơng pháp quy nạp toán học.
Các bước thực hiện:
Bước 1: Biểu diễn lần lượt u2 , u3 , u4 ...un qua các số hạng liền trước nó
Bước 2: Cộng các biểu thức thu được từ Bước 1 và giản ước, ta thu được một
biểu thức chứa quan hệ giữa u1 và un .
Bước 3: Dựa vào các hệ thức cơ bản của phương pháp quy nạp tốn học để
tính kết quả thu được.
Ví dụ 1.1. (Bài 2.5 Trang 206 sách Bài tập đại số và giải tích 11 cơ bản)
u1  5


Cho dãy số (un ) xác định bởi 
un 1  un  3n  2; n  1

Tìm cơng thức số hạng tổng quát
Hƣớng dẫn giải
Theo đề bài suy ra ;

u1  5
u2  u1  3.1  2
u3  u2  3.2  2

u4  u3  3.3  2
…

…

un  un 1  3. n  1  2

Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
un  5  3 1  2  ...   n  1   2(n  1)

Ta ln có 1  2  ...   n  1 

 un  5 

 n  1 n
2

(1) là đẳng thức đã biết

 n  1 (3n  4)
2

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  5 

 n  1 (3n  4)
2

Ví dụ 1.2. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi
dưới đây
16


u1  3


3
un 1  un  2n ; n  1

Hƣớng dẫn giải
Theo đề bài suy ra ;

u1  3
u2  u1  2.13

u3  u2  2.23
u4  u3  2.33

…

…

un  un1  2. n  1

3

Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
3
un  3  2 13  23  ...   n  1 



 n  n  1 
Với đẳng thức đã biết 13  23  ...  n3  
 (3)
2


2

  n  1 n 
 1  2  ...   n  1  

2 

3

n2  n  1
 un  3 

4

2

3

3

2

n2  n  1
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  3 
4

2

Ví dụ 1.3. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi
u1  1


un
dưới đây 
u

;n  1
n

1

n

u


1
3
2


n

Hƣớng dẫn giải
Từ công thức truy hồi suy ra

1
1
  3n  2; n  1
un1 un

Từ đó ta có
17


1
1
u1
1 1
  3.1  2
u2 u1
1 1
  3.2  2

u3 u2
1 1
  3.3  2
u4 u3
…

…

1
1

 3 n  1  2
un un1
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được

1
 1  3 1  2  ...   n  1  2  n  1
un


1
 n  1 n  2 n  1  3n2  n  2
1 3
 
un
2
2

 un 

2
3n  n  2
2

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un 

2
3n  n  2
2

Ví dụ 1.4. Tìm số hạn tổng qt của các dãy số cho bởi công thức truy hồi
u1  1


dưới đây

2
2

un1  un  n  1; n  1
Hƣớng dẫn giải
Từ công thức truy hồi suy ra un21  un2  n2  1; n  1
Từ đó ta có
u12  1

u22  u12  12  1
u32  u22  22  1
18

u42  u32  32  1

…

…

un2  un21   n  1  1
2

Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
un2  12  22  32  ...   n  1  n
2

Với đẳng thức đã biết 12  22  32  ...  n2 
 12  22  32  ...   n  1 
2

Nên un2 

 un 

n  n  1 2n  1
(2)
6

 n  1 n  2n  1
6

 n  1 n  2n  1  n  1 n
6

6

 2n

2

 3n  7 

1
6n  2n2  3n  7 
6

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un 

1
6n  2n2  3n  7 
6

Ví dụ 1.5. Tìm số hạn tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi
dưới đây
u1  1; u2  2


un 1  2un  un 1  1; n  2

Hƣớng dẫn giải
Từ công thức truy hồi suy ra

u1  1

u2  2
u3  2u2  u1  1

u4  2u3  u2  1
...

...

un  2un1  un2  1
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được

u1  un  un1  2  n  1
19


 un  un1  n (*)
Từ đề bài và (*) ta lại suy ra

u1  1
u2  u1  1
u3  u2  2

u4  u3  3
…

…

un  un1  n  1
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
un  1  1  2  3  ...   n  1  1  (1  2  3  ...   n  1)

1

 n  1 n  1
2

n
2

2

 n  2

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un 

1 2
 n  n  2
2

Nhận xét: Ở các bài toán trên hầu như chúng ta đang xét về các dãy số có
cơng thức truy hồi được cho dưới dạng “quan hệ 1-1 giữa un và un1 ” nên việc
áp dụng phương pháp cộng đa thức để đưa về quan hệ giữa un và u1 là tương
đối dễ dàng. Nhưng với các bài tốn tìm cơng thức tổng quát của dãy số,
không phải lúc nào cũng có cơng thức truy hồi được cho dưới dạng “quan hệ
1-1 giữa un và un1 ” đẹp như vậy. Ví dụ:
u1  
“Bài toán 1. Cho dãy số  un  xác định bởi công thức: 
un  a1un 1  b1 ; n  2

(Trong đó  , a1 , b1 là các hằng số)

Tìm số hạng tổng quát của dãy số.”
Để nghiên cứu sâu hơn về việc tìm hướng giải của các bài toán như trên, phần
tiếp theo của SKKN xin được đề cập tới một số lớp các bài toán được xây
dựng trên kiến thức của cấp số cộng, cấp số nhân, đồng thời thực hiện các
bước phân tích, suy luận, tương tự hóa, đặc biệt hóa và tổng quát hóa từ đó
giúp học sinh phát triển được năng lực toán học.

20


2. Bài tốn tìm số hạng tổng qt của dãy số bằng cách quy về cấp số
cộng và cấp số nhân.
Đầu tiên có thể cho học sinh làm quen với cơ bản để học sinh nắm vững về
định nghĩa và tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân
u1  9
Ví dụ 2.1. Cho dãy số  un  xác định bởi công thức: 
un  un 1  3; n  2

Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Hƣớng dẫn giải:
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra  un  là một cấp số cộng có u1  9 và cơng
sai d  3 nên số hạng tổng quát là un  u1   n  1 d  un  9  3  n  1
Vậy un  3n  6

u1  16

Ví dụ 2.2. Cho dãy số  un  xác định bởi cơng thức: 
1

u

un ; n  1
1
n


2
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Hƣớng dẫn giải:
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra  un  là một cấp số nhân có u1  16 và
cơng bội q 

1
nên số hạng tổng quát là un  25n .
2

Vậy un  25n
Nhận xét: Với ví dụ 2.2 ở trên, học sinh có thể thấy rõ sự liên hệ giữa un1 , un
1
là un 1  un và dễ dàng nhìn nhận thấy đó chính là cơng thức truy hồi của
2
cấp số nhân. Ta sẽ tiến hành mở rộng bài toán trên bằng việc “giấu đi” sự
liên hệ là công thức truy hồi của cấp số nhân giữa un1 , un , và sự liên hệ đó

chỉ có được khi tiến hành biến đổi để đưa dãy ban đầu về thành dãy số (vn )
mới.
u1  2
Ví dụ 2.3. Cho dãy số  un  xác định bởi công thức: 
un  5un 1  6; n  2

Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số

Hƣớng dẫn giải:
21


Ta xét un  a  5  un 1  a   un  5un 1  4a
Két hợp với đề bài  4a  6  a 
Vậy un  5un1  6  un 
Đặt vn  un 

3
2

3
3

 5  un1  
2
2


3
3 7
 v1  u1   và vn  5vn1
2
2 2

Suy ra dãy số  vn  là cấp số nhân có v1 

7
, công bội q  5

2

7
3 7
3
 vn  v1.q n1  vn  .5n1  un  vn   .5n1 
2
2 2
2
7
3
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  .5n1 
2
2

Nhận xét: Trong bài tốn trên ta đã đi tìm số a thỏa mãn un  a  5  un 1  a 
nhằm mục đích đưa ví dụ 2.3 về thành dạng bài tốn đã biết của ví dụ 2.2, khi
3
đó dãy số (vn ) với vn  un  đóng vai trị như un trong ví dụ 2.2.
2
Tổng qt hóa bài tốn ví dụ 2.3 ta thu được bài toán như sau.
u1  
Bài toán 2.1. Cho dãy số  un  xác định bởi công thức: 
un  a1un 1  b1 ; n  2

(Trong đó  , a1 , b1 là các hằng số)
Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Định hướng tìm lời giải:
* Nếu q  1 ta được bài toán rất đơn giản như đã trình bày trong bài tập 1.
* Nếu q  1 ta phải tìm một số c1 sao cho phương trình

un 1  a1un  b1  un 1  c1  q un  c1 

Đặt vn  un  c1
Khi đó việc tìm un sẽ trở thành tìm vn trong đó dãy số  vn  là một cấp số
nhân

22


Ta sẽ tiếp tục mở rộng bài toán theo hướng thay thế b1 thành một đa thức
f (n) của n trong ví dụ tiếp theo.

Ví dụ 2.4. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bới công thức truy
hồi

u1  1

un 1  3un  4n  2; n  1

Hƣớng dẫn giải:
Xét đa thức g  n   an  b sao cho un1  g  n  1  3 un  g  n  
 un 1  a  n  1  b  3un  an  b 
 un 1  3un  2an  2b  a

Mà un1  3un  4n  2 nên ta phải có
 2a  4
a  2
2an  2b  a  4n  2  

2b  a  2 b  0

Do đó un 1  2  n  1  3un  2n 
Đặt vn  un  2n  v1  u1  2  3 và vn1  3vn
Suy ra  vn  là cấp số nhân có v1  3 , công bội q  3
 vn  v1.q n1  vn  3.3n1  3n mà vn  un  2n  un  3n  2n

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  3n  2n
Ví dụ 2.5. Tìm số hạng tổng qt của các dãy số  un  cho bới công thức
u1  5

2
un 1  9un  8n  14n  1; n  1

Hƣớng dẫn giải:
Xét đa thức g  n   an 2  bn  c sao cho un1  g  n  1  9 un  g  n  

 un1  a  n  1  b  n  1  c  9 un  an2  bn  c 
2

 un 1  9un  8an 2   8b  2a  n  8c  b  a

Mà un1  9un  8n 2  14n  1 nên ta phải có
8an 2   8b  2a  n  8c  b  a  8n 2  14n  1

23


8a  8

8an 2   8b  2a  n  8c  b  a  8n 2  14n  1  8b  2a  14

8c  b  a  1


 a  1; b  2; c 

1
1
suy ra g  n   n 2  2n 
2
2

Do đó  un1   n  1  2  n  1 
2

Đặt vn  un  n 2  2n 

1
1

 9 un  n2  2n  
2
2


1
7 17
 v1  u1  
và vn1  9vn
2
2 2

Suy ra  vn  là cấp số nhân có v1 

17
, cơng bội q  9
2

17 n1 17 2 n2
.9  .3
mà
2
2
1
1  17
1

vn  un  n2  2n   un  vn   n 2  2n    .32 n2  n 2  2n 
2
2 2
2


 vn  v1.q n1  vn 

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un 

17 2 n2
1
.3  n 2  2n 
2

2

Nhận xét: Điểm mấu chốt của cả hai bài toán trên đều là đi tìm đa thức
g  n  thỏa mãn un  g  n   a un1  g  n  1  nhằm mục đích đưa dãy số un

về thành dãy số vn  un  g  n  , khi đó dãy số vn là một cấp số nhân có cơng

bội a và cách xử lý các bài tốn trên lúc đó sẽ tương tự như Bài toán 2.1.
Câu hỏi đặt ra: Đa thức g  n  xác định như thế nào?
Chú ý rằng: vn  avn1  ag (n  1)  g (n)  f (n) . Vì vậy để vn trở thành một
cấp số nhân thì ag (n  1)  g (n)  f (n)  0
Khi đó ta chỉ cần chọn g ( n) sao cho ag (n  1)  g (n)  f (n)  0, n  2
Hay f (n)  g (n)  ag (n  1), n  2
Từ hai ví dụ trên ta có bài tốn tổng qt như sau.
Bài tốn 2.2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un  cho bới:

u1  

un  aun1  f  n  ; n  2
Trong đó  ,a là các hằng số đã cho, f  n  là đa thức theo biến số n
24


Định hướng tìm lời giải:
* Nếu a  1 ta được bài tốn như đã trình bày trong phần I
* Nếu a  1 ta phải tìm một đa thức g  n  có bậc bằng bậc của f  n  sao cho
phương trình un  aun1  f  n   un  g  n   a un1  g  n  1 
Khi đó việc tìm un sẽ trở thành tìm vn  un  g  n  trong đó dãy số  vn  là một
cấp số nhân
Chú ý: Ta chọn g ( n) sao cho ag (n  1)  g (n)  f (n)  0, n  2

Hay f (n)  g (n)  ag (n  1), n  2
Từ hệ thức truy hồi un  g (n)  a un 1  g (n  1)   a 2 un 2  g (n  2)   ...
Suy ra un  u1  g (1)  a n 1  g (n). (*)
Nhận xét: Đây chính là dạng tổng qt của
Bài tốn 3: (câu 2.b Đề thi HSG tỉnh Nghệ An bảng A năm 2015-2016)

u1  1

Cho dãy số (un ) xác định bởi 
3
n4
un1  2 (un  n 2  3n  2 ); n  *
Xác định công thức tổng quát của un theo n .
Việc xử lý bài toán bây giờ trở thành khá đơn giản bằng cách phân tích như
sau.
Hƣớng dẫn giải:

3
n4
3
2
3
Với un1  (un  2
)  un1  (un 

)
2
n  3n  2
2
n  2 n 1

 2(un1 

3
3
3
3
3
)  3(un 
)  un1 
)
 (un 
n2
n 1
n2 2
n 1

Xét dãy số (vn ), vn  un 

3
, áp dụng kết quả (*) trên ta được
n 1

n 1

3
1 3
un 
   , n  *
n 1 2  2 
Ví dụ 2.6. Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un  cho bới:

u1  1

n
un  3un 1  2 ; n  2
25