SKKN Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác bài toán đạo hàm của hàm hợp

tgrg
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài
“PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH THƠNG QUA
VIỆC KHAI THÁC BÀI TỐN ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP”
Lĩnh vực: Toán học
Đồng Tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu - Trường THPT Diễn Châu 4
Hồ Thị Thúy - Trường THPT Diễn Châu 4
Tổ: Toán – Tin
SĐT: 0914 909 171 – 0389 376 260

Nghệ An, tháng 4 năm 2022


MỤC LỤC

MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
PHẦN I. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
1.2.Mục đích và nhiệm vụ của đề tài
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Giới hạn của đề tài
1.5. Phương pháp nghiên cứu

1.6. Tính mới và những đóng góp của đề tài
1.7. Bố cục của đề tài

1
1
1
1
1
1
2
2

PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI

3

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

3

1.1. Cơ sở lí luận.

3

1.1.1. Khái niệm năng lực tư duy

3

1.1.2. Phát triển năng lực tư duy cho học sinh

4

1.1.3. Thực trạng của học sinh khi học và giải các bài toán về đạo

4

hàm của hàm hợp.
1.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài.

4

1.3. Mục đích yêu cầu xây dựng các phương pháp giải các bài toán

5

về đạo hàm của hàm hợp.
Chương 2. CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG VỀ ĐẠO HÀM CỦA

5

HÀM HỢP.
2.1. Một số kiến thức cơ bản

5

2.1.1. Tính đơn điệu của hàm số

5

2.1.2. Cực trị của hàm số
2.1.3. Hàm hợp
2.2. PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP.
Dạng 1:Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị,

bảng biến thiên hàm số f’(x).

5
6
6


Dạng 2: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết
đồ thị, bảng biến thiên của đồ thị hàm số f’(x).
Dạng 3:Tìm cực trị của hàm số f[u(x)] khi biết đồ thị, bảng biến thiên
của hàm số f’(x).
Dạng 4:Tìm cực trị của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết đồ thị,bảng
biến thiên của hàm số f’(x).
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

11

3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm

37

3.2. Đối tượng thực nghiệm
3.3. Tiến hành thực nghiệm
3.4. Kết quả thực nghiệm.

37
37
44

PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

48
48

1. Kết luận.
1. 2. Kiến nghị.

20
28
37

48

TÀI LIỆU THAM KHẢO

49

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GV

Giáo viên

HS

Học sinh

SGK

Sách giáo khoa

GD&ĐT

Giáo dục và Đào tạo

THPT

Trung học phổ thông

TNTHPTQG

Tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia

THPTQG

Trung học phổ thông quốc gia

SL

Số lượng


PHẦN I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
- Xuất phát từ yêu cầu thực tiễn đổi mới phương pháp dạy học và tiếp cận
chương trình giáo dục phổ thơng 2018.
- Xuất phát từ mục tiêu chương trình giáo dục phổ thông 2018 về phát triển
năng lực người học.
- Trong mơn giải tích đạo hàm là một cơng cụ mạnh để giải quyết nhiều bài toán.
Giữa hàm số f  x  và đạo hàm của y  f '  x  có nhiều mối liên hệ chặt chẽ. Điển
hình là sự đồng biến nghịch biến, cực trị. Đạo hàm của một hàm số ngoài việc biểu

diễn dưới dạng các cơng thức thì nó cịn được biểu diễn dưới dạng đồ thị. Việc đưa
vào đồ thị của f '  x  để tìm ra tính chất của hàm số f  x  cho ta những bài toán hay.
- Trong các đề thi hiện nay xuất hiện nhiều bài tốn có giả thiết là cho đồ thị
của hàm số f '  x  và yêu cầu chỉ ra các tính chất về sự biến thiên cũng như cực trị
và một số tính chất khác của hàm số f  x  . Chính vì vậy tơi chọn đề tài từ thực trạng
thi trung học phổ thông quốc gia theo định hướng phát triển năng lực tự học và vận
dụng kiến thức vào bài toán ứng dụng về đạo hàm của hàm hợp thường xuyên xuất
hiện trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia trong những năm gần đây.
Vì tính quan trọng và ứng dụng của đồ thị hàm đạo hàm nên tôi thấy cần có
một hệ lý thuyết, phương pháp và phân dạng bài tập đối với loại tốn này. Do đó tơi
chọn đề tài ‘Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thơng qua việc khai thác
bài tốn đạo hàm của hàm hợp’’.
1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo.
- Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số y  f '  x  với các vấn đề
của hàm số y  f  x  . Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao
trong các kì thi, đặc biệt là kì thi TN THPT QG 2021-2022.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán về khoảng đơn điệu, cực trị, các bài toán chứa tham số liên quan đến
đồ thị hàm đạo hàm trong chương trình SGK 12, đề thi TN THPT QG, đề thi thử của
Sở GD& ĐT Nghệ An và một số trường trên toàn quốc từ 2018 đến nay, để giải
quyết các dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số y  f '  x  .
1.4. Giới hạn của đề tài
Trình bày một cách hệ thống, khoa học các dạng tốn liên quan đến đồ thị hàm
ẩn với các ví dụ minh họa, cùng lời giải chi tiết.
1.5. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Phương pháp điều tra
1

- Phương pháp chuyên gia
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
1.6. Tính mới và những đóng góp của đề tài.
Đề tài xây dựng các dạng, nhận dạng, phân dạng, nêu dạng tổng quát xây dựng
phương pháp giải và rèn luyện kĩ năng giải dạng toán “ Đồ thị hàm ẩn”. Qua đó học
sinh có thể giải được, giải đúng, giải nhanh dạng toán trong các đề thi THPT QUỐC
GIA, đồng thời bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy cho học sinh một số hoạt
động tự học và vận dụng kiến thức qua chủ đề học tập phù THPT – một trong những
năng lực quan trọng cần đạt trong chương trình giáo dục phổ thơng mới hiện nay.
1.7. Bố cục của đề tài
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày
trong 3 chương.
Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Các bài toán ứng dụng về đạo hàm của hàm hợp
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

2


PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lí luận.
1.1.1 Khái niệm năng lực tư duy
Năng lực tư duy là một khả năng, một phẩm chất tâm sinh lý của óc người,
vừa như là cái tự nhiên bẩm sinh, “sẵn có”, vừa như là sản phẩm của lịch sử, hơn
nữa là sản phẩm của lịch sử phát triển xã hội. Cái vốn có tự nhiên ấy thơng qua rèn
luyện trong thực tiễn mới trở nên một sức mạnh thật sự có hiệu quả của con người
và xã hội.
Năng lực tư duy là sản phẩm của quá trình phát triển ngày càng cao yếu tố tự

nhiên, lịch sử của con người và nhân loại. Nói cách khác, năng lực tư duy ngày càng
được nâng cao theo sự phát triển của con người và lịch sử. Nhưng đó khơng phải là
một q trình tự phát, mà là cả một quá trình tự giác. Nghĩa là con người tự giác rèn
luyện, nâng cao năng lực tư duy của mình.
Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa,
khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận – giải quyết vấn đề, xử lý tình huống trong quá
trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn. Cần phải nhận
thức rằng hoạt động của tư duy không thể tách rời yếu tố cảm xúc, ý chí ở tầng vô
thức và hữu thức. Cảm xúc không phải là tri thức, nhưng lại là một yếu tố cần thiết
cấu thành và là mơi trường xúc tác của q trình tư duy.
Năng lực tư duy của con người như bao gồm cả yếu tố bẩm sinh. Thực tế đã
chứng minh, yếu tố bẩm sinh có vai trị rất quan trọng nhưng chỉ ở dạng khả năng,
có thể rèn luyện nâng cao, phát huy được, vì nếu khơng có tác nhân xã hội thì sẽ mai
một dần. Theo chủ tịch Hồ Chí Minh, “năng lực của người khơng phải hồn tồn do
tự nhiên mà có, mà một phần lớn do cơng tác tập luyện mà có”.
Năng lực tư duy xét về mặt tinh thần, trí tuệ, mặt bản chất xã hội, phải được
đổi mới, rèn luyện, bổ sung không ngừng. Tuy nhiên, tùy theo từng bộ phận cấu
thành của tư duy mà có sự rèn luyện, đổi mới khác nhau ít hoặc nhiều trên cơ sở các
quy luật của tư duy và quy luật của tồn tại. Mác đã nói, tri thức là phương thức tồn
tại của ý thức, rèn luyện và phát triển năng lực tư duy trước hết là nâng cao trình độ
tri thức, để tạo nền cho năng lực tư duy.
Năng lực tư duy không chỉ là năng lực tư duy hình thức mà chủ yếu là năng
lực tư duy biện chứng. Do đó, để phát triển năng lực tư duy, phải bồi dưỡng và phát
triển tính biện chứng của tư duy (khả năng nhận ra và thống nhất các mặt đối lập,
mối liên hệ và sự chuyển hóa giữa các khái niệm, phạm trù; năng lực trừu tượng hóa,
khái quát hóa, suy luận, theo quy luật biện chứng tồn tại). Nâng cao năng lực tư duy
không phải là mục đích tự thân mà là để giải quyết thành công những vấn đề thực
tiễn.
3

Thế kỷ XXI, kỷ nguyên của khoa học công nghệ, của trí tuệ, của thực tiễn đa
dạng, ln biến đổi nhanh chóng và thơng tin, chất xám, khoa học ngày càng có vai
trị quan trọng trong cuộc thử thách, cạnh tranh về trí tuệ. Năng lực tư duy đã trở
thành một năng lực cơ bản nhất cần có ở mỗi con người. Vì vậy việc nâng cao năng
lực tư duy là vấn đề quan trọng trong chiến lược phát triển con người ở nước ta.
1.1.2 Phát triển năng lực tư duy cho học sinh
Phát triển năng lực tư duy thực chất là hình thành và phát triển năng lực nhận
thức, năng lực suy nghĩ linh hoạt, sáng tạo cho học sinh mà bước đầu là giải các “bài
toán” nhận thức, vận dụng vào bài toán “thực tiễn” một cách chủ động và độc lập ở
các mức độ khác nhau.
Hình thành và phát triển năng lực nhận thức được thực hiện thường xuyên, liên
tục, thống nhất, có hệ thống – điều này đặc biệt quan trọng đối với HS.
Hình thành và phát triển năng lực nhận thức được thực hiện từ việc rèn luyện
năng lực quan sát, phát triển trí nhớ và tưởng tượng, trau dồi ngôn ngữ, nắm vững
các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo, phương pháp nhận thức – những yếu tố này ảnh
hưởng lớn tới sự phát triển năng lực nhận thức.
1.1.3. Thực trạng của học sinh khi học và giải các bài toán về đạo hàm của hàm
hợp.
- Chủ đề đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình tốn giải
tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này giúp học sinh hiểu rõ hơn các tính chất hàm
số, trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị. Nhìn chung khi học vấn
đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi) thường gặp những khó khăn, sai
lầm sau:
- Các bài tốn đều liên quan đến cho đồ thị, bảng biến thiên, công thức của hàm số
f '  x  từ đó học sinh tìm ra các tính chất của hàm số f  x  hoặc các điểm cực trị,...
- Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập cịn ít “chưa đủ” để
giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng.
- Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác khó hiểu.
- Kiến thức đồ thị như: Các phép tịnh tiến, đối xứng học sinh còn chưa thành thạo,

học sinh còn yếu trong kỹ năng đọc đồ thị hàm số.
1.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài.
Để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài về việc rèn luyện kỹ năng tự học cho học
sinh THPT cũng như thực trạng xây dựng và tổ chức hình thức dạy học theo chủ đề
“Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thơng qua việc khai thác bài tốn đạo hàm
của hàm hợp’’. Phiếu điều tra thăm dò ý kiến giáo viên đối với 20 giáo viên trực tiếp
giảng dạy môn toán 12 ở các trường THPT lân cận trên địa bàn năm 2020 - 2021 và
thu đươc kết quả như sau: Số giáo viên không thường xuyên thiết kế chủ đề dạy học
là 18 GV (90%) và số giáo viên rất ít thiết kế chủ đề dạy học là 2 GV (10%), số giáo
4


viên chưa từng thiết kế chủ đề dạy học là không. Số giáo viên cho rằng việc thiết kế
chủ đề dạy học mơn tốn rất cần thiết là 13 GV (65%), cần thiết là 7 GV (35%),
không cần thiết là không. Như vậy hầu hết các giáo viên đã quan tâm sử dụng đến
công tác đổi mới phương pháp dạy học tích cực. Đồng thời giáo viên nhận thấy được
sự cần thiết của việc thiết kế dạy học theo chủ đề. Trong thực tế việc dạy học theo
chủ đề không được thực hiện thường xuyên. Về thực tiễn thiết kế bài dạy ơn tập cực
trị theo phương pháp có 13 (65%), đang dạy theo trình tự bài tập sách giáo khoa có
7 GV (35%). Thiết kế bài dạy theo chủ đề: “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh
thông qua việc khai thác bài toán đạo hàm của hàm hợp’’.
1.3. Mục đích yêu cầu xây dựng các phương pháp giải các bài toán về đạo hàm
của hàm hợp.
- Xây dựng các phương pháp tính đơn giản, hiệu quả hơn.
- Giảm bớt mức độ trừu tượng của lớp bài toán.
- Hình thành các bài tốn tương tự, các bài tốn mới.
Chương 2. CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG VỀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP.
2.1. Một số kiến thức cơ bản
2.1.1. Tính đơn điệu của hàm số
Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

* Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến (tăng) trên K
* Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến (giảm) trên K
2.1.2. Cực trị của hàm số
Định lí: Giả sử hàm số : y  f (x) liên tục trên khoảng K  ( x0  h; x0  h) và
có đạo hàm trên K hoặc K \  x0  , với h  0 .
* Nếu f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0 ; x0  h)
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f (x) .
* Nếu f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0 ; x0  h)
thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f (x) .
2.1.3. Hàm hợp:
* Định nghĩa: Giả sử u = g(x) là hàm số của x, xác định trên (a;b) và lấy giá trị
trên khoảng (c;d); y = f(u) là hàm số của u, xác định trên (c;d) và lấy giá trị trên
Khi đó ta lập một hàm số xác định trên (a;b) và lấy giá trị trên R theo quy tắc sau:
x

f ( g ( x))

Ta gọi hàm y =f(g(x)) là hàm hợp của y = f(u) với u = g(x)
* Đạo hàm của hàm hợp :
5


Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u 'x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại
'
'
u là y 'u thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là : yx '  yu .ux
2.2. PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP.
Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị, bảng biến
thiên hàm số f’(x).
Phương pháp giải:

Cách 1:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u  x  . f  u  x   .
Bước 2: Sử dụng đồ thị của f   x  , lập bảng xét dấu của g   x  .
Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 2:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u  x  . f  u  x   .
Bước 2: Hàm số g  x  đồng biến  g   x   0 ; (Hàm số g  x  nghịch biến
 g   x   0 ) (*)
Bước 3: Giải bất phương trình * (dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ) từ đó kết luận
khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài toán 1: Cho hàm số y  f  x  . Biết f  x  có đạo hàm là f   x  trên
và hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y  f  x  chỉ có hai điểm cực trị.

y

B. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng 1;3  .
C. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  ;2  .
D. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  4;  .

4

O

1

2 3

5

x

Học sinh sẽ gặp một số khó khăn sau:
- Hiểu nhầm đây là đồ thị hàm số y  f  x 
- Thiếu kỹ năng đọc đồ thị, mà đây lại là đồ thị hàm số y  f '  x  .
Phân tích bài toán:
Cách 1: - Dựa vào đồ thị hàm số, lập bảng biến thiên của đồ thị hàm số
6


-Từ bảng biến thiên kết luận tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  .
* x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm phía trên trục
hồnh thì trong khoảng đó hàm số f(x) đồng biến (tăng).
* x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm phía dưới trục
hồnh thì trong khoảng đó hàm số f(x) nghịch biến (giảm)
Bài toán 2: Cho hàm số y  f  x  . Biết đồ thị hàm số y  f   x  có đồ thị như hình
vẽ bên





Hàm số g  x   f 2x  3x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
1 1
A.  ;  .
3 2




1
B.  ;    .
2

1
C.   ;  .
3







Học sinh thường gặp khó khăn khi giải bài toán này là:

1
D.  2;  .


2

- Khó khăn trong việc tìm được các khoảng để g ' ( x)  0, g ' ( x)  0
- Khó khăn trong việc xét dấu của hàm số g ' ( x)
Phân tích bài tốn:
Ở bài này u cầu của bài tốn lúc này khơng đơn thuần là kết luận tính đồng biến
nghịch biến của hàm số y  f  x  khi biết đồ thị của hàm số y  f '  x  . mà kết luận
tính đồng biến của hàm hợp y  g (u) với u=u(x) là biểu thức bậc 2 với biến x, để
phát huy năng lực cho học sinh giáo viên nên hướng học sinh giải theo nhiều cách

khác nhau và đặc biệt trong các bài tốn trắc nghiệm thì phương pháp thử cũng được
học sinh sử dụng
Lời giải



Cách 1. Ta có g   x    2  6 x  . f  2 x  3x2


7


2  6x  0

1
g   x   0   2  6 x  . f  2 x  3x 2  0   2 x  3x 2  1  x 
3

2 2
2
x
3
x







Bảng xét dấu của g   x 






1

Từ bảng trên ta có hàm số g  x   f 2x  3x2 đồng biến trên khoảng   ; 
3

Cách 2: g   x    2  6 x  . f  2 x  3x2



Hàm số đồng biến khi và chỉ khi:





g  x   0   2  6x . f  2x  3x2  0
2  6 x  0
2  6 x  0


 
2


f 2 x  3x  0
f  2 x  3x 2  0




1

x

2  6 x  0
3
1


Trường hợp 1. 
 
 x
2
2

f 2 x  3x  0   2 x  3x  1
3


  2 x  3x 2  2














1

2  6 x  0

x  3
hệ vô nghiệm
Trường hợp 2.  
2 0
f
x
x

2
3

1  2 x  3x 2  2










1

Vậy hàm số g  x   f 2x  3x2 đồng biến trên khoảng   ; 
3


Cách 3: sử dụng phương pháp thử



  x    2  6 x  . f  2 x  3x 2
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g∈



1

Bước 2: Thử đáp án B: chọn x  1  ;   sau đó thay vào hàm số
2

g   x    2  6 x  . f  2 x  3x 2





Ta được: g ' (1)  4. f ' (1)  0 (vì dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f ' (1)  0 )
8


1

Vì vậy trong khoảng  ;    hàm số nghịch biến
 2

Tương tự, thử đáp án C
1
Chọn x  1 (; ) sau đó thay vào hàm số: g   x    2  6 x  . f  2 x  3x2
3
Ta được: g ' (1)  8. f ' (5)  0 (vì dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f ' (1)  0 )
1

Vì vậy, trong khoảng   ;  hàm số đồng biến. Ta chọn đáp án C
3

Tương tự, với các đáp án A và D





Nhận xét: Qua bài tốn 2 học sinh cũng đã có cái nhìn, hình thành cách làm
bài tốn. Tuy nhiên, đây là bài tốn khó đối với học sinh, các em rất khó khăn trong
việc sử dụng các phương pháp khác để giải bài tốn này, vì vậy việc phát triển năng

lực tư duy cho học sinh là một việc làm rất cần thiết của giáo viên. Từ đó, hình thành
ở học sinh tư duy linh hoạt trong giải toán, để học sinh có khả năng tư duy trước các
bài tốn ở mức độ vận dụng cao.
Bài toán 3: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và bảng xét dấu của hàm số y=f’(x)
như hình bên. Hỏi hàm số g  x   f  x  1 nghịch biến trên khoảng nào trong các
khoảng sau?

A.  0; 2 

B.  3;0 

C. 1; 4 

D.  1;1

Nhận xét: Dạng chuyển từ hàm y=f(x) sang hàm f ( x  1) rất dễ mắc sai lầm
đó là: Chuyển từ y=f(x) sang f ( x ) (lấy đối xứng trước), rồi tịnh tiến sang trái
1 đơn vị (tịnh tiến sau).
Lời giải
 f  x  1 , x  0

Ta có: g  x   f  x  1  

 f   x  1 , x  0

Nhận xét: Hàm g  x   f  x  1 là hàm chẵn, có đồ thị đối xứng nhau qua trục
tung.
+) Ta có BBT của hàm số y  f ( x)

9

+) B1: Chuyển từ hàm số y=f(x) sang hàm số y  f  x  1 (tịnh tiến đồ thị sang
trái 1 đơn vị)

+) B2: Chuyển từ hàm số y  f  x  1 sang hàm số y  f  x  1 bằng cách
giữ nguyên phần x  0 , phần x  0 được lấy đối xứng với phần x  0 qua Oy .
(lấy đối xứng qua Oy)

Bài tập tương tự
Câu 1. (Chuyên Thái Nguyên -2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x 
trên



. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y  f '  x  . Hàm số g  x   f x  x2



nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

10


3
A.   ;   .
 2



3
B.  ;  .


2

1
C.  ;   .
2



1
D.  ;  .


2

Câu 2. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y  f  x  có
bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số g  x   f  3  2 x  đồng biến trên khoảng nào sau đây
B.  ; 5 .
C. 1; 2  .
D.  2;7  .
A.  3;   .
Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết đồ
thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x).
Phương pháp giải:
Cách 1:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u  x  . f  u  x    v  x  .
Bước 2: Sử dụng đồ thị của f   x  , lập bảng xét dấu của g   x  .
Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 2:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u  x  . f  u  x    v  x  .
Bước 2: Hàm số g  x  đồng biến  g   x   0 ; (Hàm số g  x  nghịch biến
 g   x   0 ) (*)

Bước 3: Giải bất phương trình * (dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ) từ đó kết
luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 3: (Trắc nghiệm)
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u  x  . f  u  x    v  x  .
Bước 2: Hàm số g  x  đồng biến trên K  g   x   0, x  K ; (Hàm số g  x 
nghịch biến trên K  g   x   0, x  K ) (*)
Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào g   x  để loại các phương
án sai.

11


Bài toán 4: (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu của đạo
hàm như sau
x

f  x




1

0

2
0





3
0

4
0






Hàm số y  3 f  x  2   x3  3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
B.  1;0  .
C.  0; 2  .
D. 1;   .
A.  ; 1 .
Phân tích bài tốn
Đây là bài tốn Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số kết hợp giữa hàm hợp
và tổng.
Hàm số y là tổng của hàm 3 f ( x  2) và f ( x)   x3  3x
Cách 1: Hàm số y là tổng của hàm 3 f ( x  2) và f ( x)   x3  3x

Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số g(x). Giải bất phương trình y '  0 tìm tập
nghiệm
Cách 2: hướng học sinh sử dụng phương pháp trắc nghiệm
Lời giải:





Cách 1: Ta có: y  3  f   x  2   x2  3 


Với x   1;0   x  2  1;2   f   x  2   0 , lại có x2  3  0  y  0; x   1;0 
Vậy hàm số y  3 f  x  2   x3  3x đồng biến trên khoảng  1;0  .
Cách 2:
+) Ta xét x  1;2   1;    x  2   3;4   f   x  2   0; x2  3  0
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2  nên loại hai phương án A, D.
+) Tương tự ta xét
x   ; 2   x  2   ;0   f   x  2   0; x2  3  0  y  0; x   ; 2 
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2  nên loại hai phương án B.
Bài toán 5: (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số f  x  . Hàm số
y  f '  x  có đồ thị như hình bên. Hàm số g  x   f 1  2 x   x2  x nghịch biến
trên khoảng nào dưới đây ?
y
1
–2

O

4

x

–2

12


3
A. 1;  .
2


1
B.  0;  .
2







C.  2; 1 .

D.  2;3 .

Phân tích bài tốn
Đây là bài tốn xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số kết hợp giữa hàm hợp
và tổng.
Hàm số g(x) là tổng của hàm f (1  2 x) và f 2 ( x)  x 2  x

Lời giải
Cách 1: Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số g(x). Đề bài yêu cầu tìm khoảng
nghịch biến biến tức là giải bất phương trình g’(x) <0. Tức là tìm giá trị của x
tương ứng với phần đồ thị f’(x) nằm trên đường thẳng y = 

x
2

Ta có : g  x   f 1  2 x   x2  x  g '  x   2 f ' 1  2 x   2 x 1
Đặt t  1  2 x  g   x   2 f   t   t
g ' x   0  f 't   

t
2

Vẽ đường thẳng y  

x
và đồ thị hàm số f '  x  trên cùng một hệ trục
2

 2  t  0
t
Hàm số g  x  nghịch biến  g '  x   0  f '  t     
2 t  4
3
1
x

1  2 x  2  1  2 x  0  2

2
.
Như vậy f  1  2 x  


2
4
1
2
x



3

 x
2


1 3
Vậy hàm số g  x   f 1 2x   x2  x nghịch biến trên các khoảng  ;  và
2 2
3

 ;  2  .



13

 3 1 3
Mà 1;    ;  nên hàm số g  x   f 1  2 x   x2  x nghịch biến trên khoảng
 2 2 2
 3
1; 2  .


Bài toán 6: (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số đa thức f  x  có
đạo hàm trên . Biết f  0   0 và đồ thị hàm số y  f   x  như hình sau.

Hàm số g  x   4 f  x   x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
C.  ; 2  .
D.  2; 0  .
Lời giải
2
Xét hàm số h  x   4 f  x   x trên R.
Vì f  x  là hàm số đa thức nên h  x  cũng là hàm số đa thức và h  0   4 f  0   0 .
1
Ta có h  x   4 f   x   2 x . Do đó h  x   0  f   x    x .
2
A.  4;   .

B.  0; 4  .

1
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y  f   x  và đường thẳng y   x , ta
2

có h  x   0  x 2;0;4

Suy ra bảng biến thiên của hàm số h  x  như sau:

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số g  x   h  x  như sau:

14


Bài tập tương tự và nâng cao:
Câu 1. (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số f   x  có đồ thị như hình bên. Hàm
9
số g  x   f  3x  1  9 x3  x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
2

A.  1;1 .

B.  2;0  .

C.  ;0  .

D. 1;   .

Câu 2. (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x 
như hình vẽ.

Hàm số g  x   f  e x  2   2020 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
3
A.  1;  .


2

B.  1; 2  .

C.  0;   .

3
D.  ; 2  .
2




Câu 3. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số f  x  có đồ thị hàm số
f   x  như hình vẽ.

15


Hàm số y  f  cos x   x2  x đồng biến trên khoảng
A.  2;1 .

B.  0;1 .

C. 1; 2  .

D.  1; 0  .

Bài toán 7: Cho hàm số đa thức bậc bốn f ( x) . Đồ thị hàm số y  f   3  2 x  được
cho như hình sau:

Hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng
A.  ; 1 .

B.  5;   .

C.  1;1 .

D. 1;5 .

Phân tích:
Đây là dạng tốn cho biết đồ thị của hàm số có liên quan đến hàm số f   x  , yêu cầu
tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  f ( x) .
Phương pháp giải chung của dạng toán này là từ đồ thị xác định được dấu của hàm
số f   x  , từ đó suy ra kết luận.
Đối với bài toán đã cho ta có các cách giải như sau:
Lời giải
Cách 1: Xác định công thức của f   x  .
Dựa vào đồ thị ta có f   3  2 x   a.x. x 1 . x  2  , với a  0 .
3t
. Khi đó
2
3t  3t   3t
a

 1 . 
 2     t  1 t  3  t  5 
.
f   t   a.
2  2
8

 2

a
 f   x     x  1 x  3  x  5  , với a  0 .
8
Bảng xét dấu của f   x  như sau

Đặt t  3  2 x  x 

Vậy hàm số y  f ( x) nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  3;5  .
16


Cách 2: Đổi biến tìm dấu của f   x 
3t
. Khi đó
Đặt t  3  2 x  x 
2

 1  x  0

Ta có f   t   0  f '  3  2 x   0  

3  x  5

Suy ra f   x   0  

 x  1

x  2

3t

 1  2  0
3  t  5
.


3  t  2
t  1
 2

.

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  3;5  .
Nhận xét:
Đề bài cho đồ thị hàm số y  f '  3  2 x  nên sẽ gây lúng túng ban đầu đối với học
sinh khá trở xuống. Đối với bài tốn này thì cách 1 là đơn giản và ngắn gọn nhất.
Tuy nhiên, đối với bài toán khác nếu chỉ cho đồ thị mà không cho dạng của hàm số
thì cách 1 lại khơng làm được. Khi đó phải sử dụng đến cách 2.
Bài toán 8: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f '  2 x  1 như hình vẽ. Hàm

1
1
số g  x   f  x   x2  x . Đồng biến trên khoảng nào sau đây?
4
2
A.  ; 3 .

B.  3; 0  .

C. 1; 4  .

D.  4;   .

Lời giải
1
1
Ta có g  x   f  x   x2  x
4
2
1
1
g'  x   f '  x   x 
2
2
1
1
g'  x   0  f '  x   x  1
2
2
x

2
t

1
Đặt
,
17

1
1
2t 1 

2
2
 f '  2t  1  t  1 .
Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  2 x  1

phương trình 1  f '  2t 1 

 t  2
 x  3

phương trình có các nghiệm f '  2t  1  t  1  t  0   x  1
t  2
 x  5

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng  3;1 và  5;  .
Bài toán 9: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x  1 x 1 x  4  ; x  . Có
 2 x

 m  đồng biến trên
bao nhiêu số nguyên m  2020 để hàm số g  x   f 
 1 x


 2;    .
B. 2019 .

A. 2018 .

C. 2020 .

D. 2021

Lời giải
Ta có: g   x   

2 x

 
 m.
f
2  1 x

 x  1
3

Hàm số g  x  đồng biến trên  2;     g  x   0; x   2;   
3
 2 x


 m   0; x   2;   
f 
2


 x  1  1  x
 2 x

 f 
 m   0; x   2;   
 1 x

 x  1
Ta có: f   x   0   x  1 x  1 x  4   0  
1  x  4
2  x
 1  x  m  1; x   2;   
2 x


Do đó: f  
 m   0; x   2;     
 1 x

1  2  x  m  4; x   2;   
 1  x

1
 2
18


Hàm số h  x  

2 x
 m ; x  2;    có bảng biến thiên:
1 x

Căn cứ bảng biến thiên suy ra: Điều kiện  2  khơng có nghiệm m thỏa mãn.
Điều kiện 1  m  1  m  1 ,kết hợp điều kiện m  2020 suy ra có 2019 giá
trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B
Nhận xét: Có thể mở rộng bài tốn đã nêu như sau:
Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x  1 x  1 x  4  ; x  .Có bao nhiêu
2 x

số nguyên m  2020 để hàm số g  x   f 
 h  m   đồng biến trên  2;   
 1 x


Bài tập tương tự và nâng cao:
Câu 1. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên
f   x 1  x3  2 x2  3x . Hàm số





y  f x2  x đồng biến trên khoảng nào

B.  0;   .

A.  ; 1 .

thỏa mãn

 1
 2

Câu 2. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp 3 liên tục trên
2

3

f  x  . f   x   x  x 1  x  4  với x 








D.   ;   .

C.  1; 0  .

và thỏa mãn
2

và g  x    f   x    2 f  x  . f   x  .

Hàm số h  x   g x2  2x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  ;1 .

B.  2;   .

C.  0;1 .

Câu 3. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x  1

2

D. 1; 2  .

 x2  2mx 1 với

x  có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g  x   f  2 x  1 đồng biến trên
khoảng  3;5  ?
B. 2
C. 4
D. 6
A. 3

19


Dạng 3. Tìm cực trị của hàm số f[u(x)] khi biết đồ thị, bảng biến thiên
của hàm số f’(x).
Phương pháp
Bước 1. Tính đạo hàm y '  u '. f '  u 
u '  0

Bước 2. Giải phương trình y '  0  

 f '  u   0

Bước 3.Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà y ' không xác định.
Kết luận
Bài toán 10. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị





như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g  x   f x3  3x2 là

A.5.

B. 3.

C. 7.

D. 11.

Học sinh thường gặp khó khăn khi giải bài tốn này là:



- Cịn lúng túng khi tính đạo hàm của hàm số g  x   f x3  3x2



- Dễ nhầm lẫn với ví dụ trước là bài toán cho đồ thị hàm số y  f  x  và cho đồ thị

hàm số y  f '  x  dẫn đến lập bảng biến thiên sai.
Phân tích bài tốn
-

Đây là bài tốn tìm cực trị của hàm hợp khi cho đồ thị hàm số y=f(x).

- Từ đồ thị hàm số y=f(x) lập bảng biến thiên f’(x).



- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x   f x3  3x2



- Từ bảng biến thiên f’(x) suy ra nghiệm của phương trình g(x)’=0
- Tìm các nghiệm bội lẻ của u’(x)=0, u(x)=a, u(x)=b,…
Lời giải
20


Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y  f  x  như sau







 

Ta có g  x   f x3  3x2  g  x   3x2  6x . f  x3  3x2



x  0

 x  2
 2

3
x

6
x

0
Cho g   x   0  
  x3  3x 2  a; a  0 (1)
3
2
 3
 f  x  3x  0
2

 x  3x  b; 0  b  4 (2)
 3
2
(3)
 x  3x  c; c  4





Cách 1: Xét hàm số h  x   x3  3x2  h  x   3x2  6 x .
x  0
Cho h  x   0  
 x  2
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Phương trình (1) có một nghiệm.
Phương trình (2) có ba nghiệm.
Phương trình (3) có một nghiệm.
Và các nghiệm này khơng trùng nhau.
Như vậy phương trình g   x   0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.





Vậy hàm số g  x   f x3  3x2 có 7 cực trị.
Cách 2:
Ta có đồ thị của hàm h  x   x3  3x2 như sau

21


Từ đồ thị ta thấy:
Đường thẳng y=a cắt đồ thị hàm số y=h(x) tại 1 điểm.

Đường thẳng y=b cắt đồ thị hàm số y=h(x) tại 3 điểm.
Đường thẳng y=c cắt đồ thị hàm số y=h(x) tại 1 điểm.





Vậy hàm số g  x   f x3  3x2 có 7 cực trị.
Nếu thay giả thiết bài toán 10 như sau:
Bài toán 11. Cho hàm số bậc bốn y  f '  x  có đồ thị như hình bên. Số điểm cực





trị của hàm số g  x   f x3  3x2 là

A.4.

B. 6.

C. 7.

D. 11.

Học sinh thường gặp khó khăn khi giải bài tốn này là:
- Dễ nhầm lẫn là bài toán cho đồ thị hàm số y  f  x  và cho đồ thị hàm số
y  f '  x .
- Khơng chú ý đến nghiệm bội chẵn của phương trình g '  x   0
Lời giải







 

Ta có g  x   f x3  3x2  g   x   3x2  6x . f  x3  3x2



3x 2  6 x  0
g x   0  
 f  x3  3 x 2  0






22