Luận văn thạc sĩ VNU UEd rèn luyện kỹ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THANH THUỶ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI CUỐI CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học
(Bộ mơn Tốn học)
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. BÙI VĂN NGHỊ

HÀ NỘI - 2010

1

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy
PGS.TS Bùi Văn Nghị đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, kinh
nghiệm cho em trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này.
Em xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô Trường Đại học Giáo dục,

Đại học Quốc Gia Hà Nội, những người đã truyền đạt kiến thức quý báu
cho em trong thời gian học cao học vừa qua.
Em xin cảm ơn Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT
Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong q
trình học tập, cơng tác và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Xin gửi lời biết ơn đến gia đình nhỏ của em, nơi đã cho em thêm niềm
tin và động lực để tập trung học tập và nghiên cứu.

Hải Phòng, ngày 10 tháng 12 năm 2010
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Thủy

2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

1. BĐT

Bất đẳng thức

2. CM

Chứng minh

3. GT

Giả thiết

4. GTLN

Giá trị lớn nhất

5. GTNN

Giá trị nhỏ nhất

6. GV

Giáo viên

7. HS

Học sinh

8. KL

Kết luận

9. mp

Mặt phẳng

10. THPT

Trung học phổ thông

11. TXĐ

Tập xác định

3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài ...................................................................................... 1
2. Lịch sử nghiên cứu .................................................................................. 1
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................... 2
4. Đối tượng nghiên cứu.............................................................................. 2
5. Mẫu khảo sát ........................................................................................... 2
6. Vấn đề nghiên cứu................................................................................... 3
7. Giả thuyết khoa học ................................................................................ 3
9. Cấu trúc luận văn .................................................................................... 3
Chƣơng 1: KĨ NĂNG GIẢI TOÁN ......................................................... 4
1.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán ............................................. 4
1.1.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán........................................... 4
1.1.2. Điều kiện để có kĩ năng ..................................................................... 4
1.1.3. Các mức độ của kĩ năng giải toán ..................................................... 5
1.2. Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ............................. 5
1.2.1. Mục tiêu dạy học mơn tốn ............................................................... 5
1.2.2. u cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT .........6
1.3. Giải bài tập toán học ........................................................................... 6
1.3.1. Vai trị của bài tập tốn học .............................................................. 6

1.3.2. Ý nghĩa của việc giải bài toán theo nhiều cách ................................ 7
1.4. Những tri thức liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN của
biểu thức ...................................................................................................... 8
1.4.1. Những phương pháp thơng thường tìm GTLN, GTNN của
biểu thức chỉ chứa một biến số ................................................................... 8
1.4.2. Những phương pháp thường dùng trong bài tốn tìm GTLN,
GTNN của biểu thức ................................................................................... 8
1.4.3. Những bất đẳng thức thường dùng trong bài tốn tìm GTLN,

4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


GTNN .......................................................................................................... 8
1.4.4. Mối liên quan giữa bài toán chứng minh BĐT và bài tốn tìm
GTLN, GTNN của biểu thức ......................................................................10
1.5. Một số đặc điểm về phong cách học tập của học sinh khá,giỏi ...........11
1.6. Định hướng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học
sinh ..............................................................................................................11
1.6.1. Quy trình hình thành kĩ năng ............................................................11
1.6.2. Những yêu cầu đối với giáo viên trong việc hình thành kĩ
năng giải tốn cho học sinh .........................................................................12
1.7. Tóm tắt chương 1 .................................................................................13
Chƣơng 2: GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHO
HỌC SINH .................................................................................................14
2.1. Dạng tìm GTLN, GTNN của hàm số ...................................................14
2.2. Dạng biểu thức chỉ chứa một biến .......................................................17
2.3. Dạng biểu thức chứa hai biến...............................................................29

2.4. Dạng biểu thức có từ ba biến số trở lên .............................................54
2.5. Dạng biểu thức lượng giác ...................................................................82
2.6. Dạng hình học ......................................................................................93
2.7. Tóm tắt chương 2 .................................................................................95
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................97
3.1. Mục đích, tở chức thực nghiê ̣m sư pha ̣m .............................................97
3.2. Giáo án thực nghiệm sư phạm .............................................................97
3.3. Đánh giá kế t quả thực nghiê ̣m sư pha ̣m ...............................................112
3.4. Tóm tắt chương 3 .................................................................................117
KẾT LUẬN ................................................................................................118
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................119

5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Theo Luật giáo dục Việt Nam năm 2005, mục tiêu giáo dục phổ thông
của chúng ta là “Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể
chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng
động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam Xã hội chủ
nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm cộng đồng, chuẩn bị cho học sinh
tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo
vệ Tổ quốc ”. Về phương pháp giáo dục, cần phải “Phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học,
lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”, “bồi dưỡng phương pháp tự học,
rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” [12, chương 1]

Môn Tốn là mơn học cơng cụ, giữ một vai trị hết sức quan trọng
trong chương trình THPT. Trong đó các bài tốn về tìm giá trị lớn nhất,giá
trị nhỏ nhất là những bài toán yêu cầu cao ở học sinh về tư duy, về kĩ năng.
Song, đối với học sinh thì dạng tốn này là một trong những dạng tốn khó,
cần phải chú ý và có những biện pháp để rèn luyện kĩ năng giải dạng tốn
này, góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề này.
Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: “Rèn luyện kĩ năng tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối
cấp THPT”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Hiện nay đã có một số cơng trình nghiên cứu gần gũi với đề tài này,
nhưng chủ yếu nghiên cứu về rèn luyện kĩ năng cho HS trong giải tốn Hình
học. Một số trong những đề tài đó là: “Rèn luyện kĩ năng giải bài tốn Hình
học khơng gian bằng phương pháp tọa độ ở trường THPT" - Luận văn thạc sĩ
của Thái Thị Anh Thư, ĐHSP HN, năm 2004; "Rèn luyện kĩ năng giải các

1

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


bài tốn thiết diện của các hình khơng gian trong chương trình Hình học PT"
- luận văn thạc sĩ của Nguyễn Tiến Trung, ĐHSP HN, năm 2006, "Rèn luyện
kĩ năng giải tốn về Đường thẳng và mặt phẳng trong khơng gian, Quan hệ
song song cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông ", luận văn thạc sĩ của
Nguyễn Thị Định, K3, ĐHGD - ĐHQG HN, năm 2010 v.v....
Đề tài này khác những đề tài nói trên về chủ đề cần rèn luyện và đối
tượng học sinh. Đó là chủ đề tìm GTLN, GTNN và đối tượng là HS khá, giỏi
cuối cấp THPT.
Sở dĩ chúng tôi chọn đối tượng là HS khá, giỏi cuối cấp THPT, bởi vì,

có ở cuối cấp thì các em mới biết được nhiều phương pháp giải dạng tốn
này. Hơn nữa, như chúng tơi đã trình bày ở trên, đây là dạng tốn khó, nên
với HS khá, giỏi là phù hợp hơn.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
+ Mục đích nghiên cứu: Đề xuất một giải pháp nhằm rèn luyện có hiệu quả
kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho HS.
+ Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu hệ thống lí luận về kĩ năng giải tốn, giải bài tập toán học.
- Nghiên cứu các dạng toán và các phương pháp tìm GTLN, GTNN.
- Nghiên cứu và đề xuất một giải pháp rèn luyện có hiệu quả kĩ năng tìm
GTLN, GTNN cho HS khá, giỏi cuối cấp THPT.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của
đề tài.
4. Đối tƣợng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: là quá trình dạy học tìm GTLN, GTNN ở trường THPT.
+ Phạm vi nghiên cứu: là các bài tốn tìm GTLN, GTNN ở trường THPT.
+ Khách thể nghiên cứu: là HS khá, giỏi cuối cấp THPT.
5. Mẫu khảo sát
Một số lớp 12, trường THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng.

2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


6. Vấn đề nghiên cứu
+ Các kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức?
+ Giải pháp rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức cho học
sinh khá, giỏi cuối cấp THPT?
7. Giả thuyết nghiên cứu

Giải pháp quan trọng cho việc nâng cao kĩ năng giải toán tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp Trung
học phổ thơng là việc hệ thống hóa được các dạng tốn, các kĩ năng tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức và có biện pháp thích hợp rèn
luyện cho học sinh.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận về rèn luyện kĩ năng
giải toán, về dạy học giải bài tập toán học.
+ Phương pháp điều tra quan sát: Sử dụng những mẫu phiếu điều tra về tình
hình dạy và học nội dung tìm GTLN, GTNN của một biểu thức, về kĩ năng
tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ở lớp cuối cấp THPT.
+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Soạn và dạy thực nghiệm một số giáo
án về tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ở một số lớp chuyên, chọn cuối
cấp THPT, đánh giá kết quả thực nghiệm, đánh giá tính khả thi và hiệu qủa
của đề tài.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của
luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Kĩ năng giải toán
Chương 2. Giải pháp rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một
biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


CHƢƠNG 1
KĨ NĂNG GIẢI TOÁN

1.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán
1.1.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải tốn
Tùy theo các phương diện nhìn nhận khác nhau về kĩ năng: xét về tâm
lí, hành vi, hay xét theo năng lực vận dụng, hành động, hay xét theo phương
diện giáo dục, mà có những cách định nghĩa khác nhau về kĩ năng.
Theo giáo trình Tâm lí học đại cương: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các
dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện
những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí
luận hay thực hành xác định”; “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức
thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”; “ Kĩ năng là một nghệ
thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục
đích của mình, kĩ năng cịn có thể đặc trưng như tồn bộ các thói quen nhất
định, kĩ năng là khả năng làm việc có phương pháp”. (dẫn theo [7])
Trong luận văn này, chúng tôi quan niệm:
Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức (khái niệm, định lí, thuật giải,
phương pháp) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Như vậy, tri thức (bao gồm cả
tri thức sự vật, tri thức phương pháp) là cơ sở của kĩ năng.
Từ quan niệm về kĩ năng, chúng tôi quan niệm về kĩ năng giải toán
như sau:
Trong Toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các
chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chng minh nhn
c. Kĩ năng giải bài tập toán của HS là khả năng sử dụng có mục đích,
sáng tạo những kiến thức toán học đà học để giải bài tËp to¸n häc.
1.1.2. Điều kiện để có kĩ năng
Muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần phải:

4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

- Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện,
cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động.
- Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó.
- Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đã đề ra.
- Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.
- Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhưng phải trải qua
thời gian đủ di.
1.1.3. Cỏc mc ca k nng gii toỏn
Kĩ năng giải bài tập toán học cú th chia thnh ba mức độ khác nhau:
- Biết làm: vận dụng c lí thuyết để giải những bài tập cơ bản, hình thành
các thao tác cơ bản nh-: viết các đại l-ợng theo ngôn ngữ toán học, viết
chính xác công thức, kí hiệu, tính giá trị dựa vào công thức; nắm đ-ợc quy
trình giải một dng toán nào đó t-ơng tự nh- bi mẫu.
- Thành thạo: giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bi toỏn theo cách giải ó bit,
trong nhng hon cnh mi, iu kin mi tng t nh- bài ó bit; giải
c những bài tập tổng hợp, phức tạp, đa dạng.
- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: -a ra đ-ợc những cách giải ngắn gọn, cỏch
chuyn húa vn khộo lộo, cỏch gii quyt vn độc đáo.
1.2. Nhim v rốn luyn kĩ năng giải toán cho học sinh
1.2.1. Mục tiêu dạy học mơn tốn
Mục tiêu dạy học mơn Tốn nằm trong mục tiêu giáo dục nói chung
"Mục tiêu giáo dục phổ thơng là giúp học sinh phát triển tồn diện về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực
cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt
Nam XHCN, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học
sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và
bảo vệ Tổ quốc" (Theo [12]).
Mục tiêu dạy học môn Toán là:

5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


- Trang bị cho HS những tri thức, kĩ năng, phương pháp tốn học phổ thơng,
cơ bản, thiết thực.
- Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho HS.
- Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động
khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên.
- Tạo cơ sở để HS tiếp tục học CĐ, ĐH, TCCN, học nghề hoặc đi vào cuộc
sống lao động.
Các mục tiêu thể hiện sự toàn diện, thống nhất và có quan hệ mật thiết,
hỗ trợ, bổ sung cho nhau: tri thức là cơ sở để thực hiện các mục tiêu khác;
trong các mục tiêu thì mục tiêu phát triển trí tuệ là quan trọng nhất; thông
qua hoạt động mà rèn luyện kĩ năng, củng cố tri thức.
1.2.2. Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT
Việc rèn luyện kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:
+ Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản trong
chương trình.
+ Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ. Cụ thể là phát triển:
- Tư duy lơgic và ngơn ngữ chính xác.
- Khả năng suy đốn, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng trong không gian.
- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp khái qt hóa ....
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hot v sỏng to.
1.3. Gii bài tập toán häc
1.3.1. Vai trị của bài tập tốn học
Theo [11] bµi tập có vai trò quan trọng trong bộ môn toán. Thông qua
việc giải bài tập học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm
cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lớ

những hoạt động toán học

phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động
trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Những bài tập cũng thể hiện

6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


những khả năng khác nhau h-ớng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học
môn toán: Hình thành, củng cố tri thức kĩ năng kĩ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình dạy học, kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn ; phát
triển năng lực trí tuệ ; Båi d-ìng thÕ giíi quan duy vËt biện chứng.... Thơng
qua bài tập, giáo viên có thể hoµn chØnh hay bổ sung những tri thức nào đó đÃ
đ-ợc trình bày trong phÇn lý thuyÕt. Điều quan trọng hơn cả là thông qua bài
tập giáo viên sẽ rèn luyện các kĩ nng gii toỏn cho hc sinh.
Cần đặt cho học sinh câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần
biết sử dụng những câu hỏi này nh- công cụ kích thích sự tìm tòi, phát hiện
để thực hiện từng b-ớc của ph-ơng pháp chung giải toán.
1.3.2.í ngha ca vic gii bi toỏn theo nhiu cỏch
Việc đi sâu vào tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán có
vai trò to lớn trong việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, rèn luyện trí thông
minh, óc sáng tạo cho học sinh. Có thể thấy rõ điều đó trong các tác dụng sau:
- Những cách giải khác nhau của một bài toán góp phần hình thành và củng
cố cho häc sinh vỊ tÝnh chÊt cđa c¸c phÐp tÝnh số học, về quan hệ giữa các
phép tính số học.
- Trong quá trình tìm ra những cách giải khác nhau, học sinh có dịp suy nghĩ
đến những khía cạnh khác nhau của bài toán, từ đó sẽ hiểu sâu hơn về các mối

quan hệ trong bài toán đó, nắm vững và củng cố các kiến thức có liên quan.
- Việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp học sinh có dịp so sánh các
cách giải đó, chọn ra đ-ợc cách hay hơn và tích luỹ đ-ợc nhiều kinh nghiệm
để giải toán.
- Việc tìm ra nhiều cách giải cũng góp phần rèn luyện đức tính kiên trì, tiết
kiệm, vì từ nhiều cách giải ấy học sinh có thể chọn ra đ-ợc con đ-ờng ngắn
nhất để đi tới đích, không vội bằng lòng với việc tìm ra con đ-ờng đầu tiên.
- Quá trình tìm tòi những cách giải khác nhau của bài toán cũng là quá trình rèn
luyện trí thông minh, óc sáng tạo và khả năng suy nghĩ linh ho¹t cho häc sinh.

7

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


1.4. Những tri thức liên quan đến bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
1.4.1. Những phương pháp thơng thường tìm GTLN, GTNN của biểu thức
chỉ chứa một biến số
+ Dựa vào bất đẳng thức
+ Dựa vào khảo sát hàm số
+ Tìm tập giá trị
Giả sử cần tìm GTLN, GTNN của biểu thức y  f ( x) với x thuộc tập
số D , ta tìm các giá trị của y làm cho phương trình f ( x)  y  0 có nghiệm x
thuộc D . Từ tập giá trị này ta chỉ ra được GTLN, GTNN của biểu thức.
1.4.2. Những phương pháp thường dùng trong bài tốn tìm GTLN, GTNN
của biểu thức
+ Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
+ Phương pháp khảo sát hàm số
+ Phương pháp Hình học hóa

+ Phương pháp Lượng giác hóa
1.4.3. Những bất đẳng thức thường dùng trong bài tốn tìm GTLN, GTNN
1.4.3.1. Những bất đẳng thức cơ bản có trong SGK:
BĐT tam giác:
Với 3 điểm bất kỳ A; B; C ta có:
AB  AC  BC . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn BC

AB  AC  BC . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc B thuộc đoạn AC

hoặc C thuộc đoạn AB .
BĐT lượng giác:
sin   1; cos   1 .  n   * : sin n   sin  ; co sn   co s 
tan   cot   2 ; tan 2   cot 2   2   k


2

BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối:

8

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Với hai số thực bất kì a; b ta có: a  b  a  b ; a  b  a  b .
Dấu "  " xảy ra  ab  0
1.4.3.2. Những BĐT mở rộng
BĐT Cô-si :
xi  0 i  1; n :

1
 x1  x2  ...  xn   n x1x2...xn .
n

Dấu "  " xảy ra  xi  x j i; j  1; n, i  j
BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski :
Cho 2n số thực ai ; xi (i  1; n) ,ta có:

 a1x1  a2 x2  ...  an xn 

2

  a12  a2 2  ...  an 2  x12  x2 2  ...  xn 2  .

Dấu "  " xảy ra  t   : xi  t.ai i  1; n
BĐT Trê-bư-sép :
Cho hai dãy số cùng tăng ( hoặc cùng giảm ):
a1  a2  ...  an ; x1  x2  ...  xn

Ta có:  a1  a2  ...  an  x1  x2  ...  xn   n  a1x1  a2 x2  ...  an xn  .
 a  a  ...  a

n
Dấu "  " xảy ra   1 2
 x1  x2  ...  xn

Trong chương trình phổ thơng:
- Ta chỉ được sử dụng BĐT Cô-si và BĐT Bu-nhia-côp-ski (đối với
n  2 hoặc n  3 ).

- Khi cần dùng BĐT Trê-bư-sep (đối với n  2 hoặc n  3 ) , ta phải
chứng minh lại trước khi dùng.
1.4.3.3. Một số hệ quả của BĐT Cô-si









xi  0 i  1, n ;

1 1
1
n2
  ...  
x1 x2
xn x1  x2  ...  xn



xi  0 i  1, n ; 1  x1 1  x2  ... 1  xn   1  n x1 x2 ...xn



n

9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add






xi  0 i  1, n ;

1
1
1
n

 ... 

n
1  x1 1  x2
1  xn 1  x1 x2 xn

Dấu "  " xảy ra  xi  x j i; j  1; n, i  j
1.4.3.4. Một số hệ quả của BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski
a 2  b2  c 2  d 2 

a  c2  b  d 2 . Dấu "=" xảy ra

x 2 y 2 z 2 x  y  z 

 

a
b
c
abc

2

 ad  bc

a, b, c  0 . Dấu "=" xảy ra 

x y z
 
a b c

1.4.4. Mối liên quan giữa bài toán chứng minh BĐT và bài tốn tìm
GTLN, GTNN của biểu thức
- Các phương pháp chứng minh BĐT là các phương pháp chủ yếu sử dụng
trong bài tốn tìm GTLN, GTNN của biểu thức và ngược lại.
- Về cơ bản hai dạng tốn này có thể chuyển hóa cho nhau. Tuy nhiên cũng
có những điểm khác nhau: Có thể tìm GTLN, GTNN theo những cách khác
nhau (tìm tập giá trị, khảo sát hàm số), trong đó có cách sử dụng BĐT.
Ngược lại, có những cách chứng minh BĐT khơng liên quan gì đến bài tốn
tìm GTLN, GTNN, như BĐT: 1 +

1
1
1

 ... 

 n  1 (với n > 2).
2
3
n

- Về u cầu: Bài tốn tìm GTLN, GTNN của biểu thức thì bắt buộc phải chỉ
ra đẳng thức xảy ra khi nào, cịn bài tốn chứng minh BĐT khơng nhất thiết
phải làm điều đó.
Ví dụ: CM: a2  1  0 a   và Tìm GTLN, GTNN của biểu thức  a 2  1 .
- Bài tốn chứng minh BĐT là bài tốn có thể đưa về bài toán so sánh một
biểu thức với một số đã biết (chứng minh a  b tức là so sánh  a  b  với số 0 ),
cịn trong bài tốn tìm GTLN, GTNN của biểu thức, ta phải so sánh biểu
thức đó với một số chưa biết mà ta phải tìm. Nếu dự đốn được số là GTLN,
GTNN của biểu thức thì bài tốn sẽ trở thành bài toán chứng minh BĐT. Tuy
nhiên, như đã trình bày ở trên: bài tốn tìm GTLN, GTNN của biểu thức thì

10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


bắt buộc phải chỉ ra đẳng thức xảy ra khi nào, cịn bài tốn chứng minh BĐT
khơng nhất thiết phải làm điều đó.
1.5. Một số đặc điểm về phong cách học tập của học sinh khá, giỏi
Những HS khá, giỏi thường có một số đặc điểm chung về phong cách
học tập như sau:
+ Thể hiện rõ những đặc điểm của tư duy tốn học.
Theo Viện sĩ B.V. Gờ-nhe-den-cơ (1964), những đặc điểm của tư duy toán
học (theo[17]) là :
- Năng lực nhìn thấy sự khơng rõ ràng của q trình suy luận, thấy được sự

thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh
- Sự cơ đọng
- Sự chính xác của các kí hiệu
- Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận
- Thói quen lí lẽ đầy đủ về lơgic.
+ Thể hiện được những nét độc đáo của tư duy toán học.
Theo A.Ia. Khin-chin (1961), những nét độc đáo của tư duy toán học, là:
- Suy luận theo sơ đồ lơgic chiếm ưu thế
- Khuynh hướng tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích
- Phân chia rành mạch các bước suy luận
- Sử dụng chính xác các kí hiệu
- Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận.
+ Thường ngại tính tốn, khơng thích làm đi làm lại những điều đã biết nếu
khơng có gì mới.
HS khá giỏi thường suy nghĩ nhanh và hiệu quả, nhưng thường ngại
tính tốn cụ thể, khơng thích lặp đi lặp lại những kiểu làm nhàm chán.
1.6. Định hƣớng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải tốn cho học sinh
1.6.1. Quy trình hình thành kĩ năng
Theo chúng tơi, quy trình hình thành kĩ năng giải tốn nói chung, kĩ
năng tìm GTLN, GTNN cho HS gồm ba bước sau:

11

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bước 1: Hướng dẫn HS giải một số bài toán mẫu ở trên lớp, có phân tích
phương pháp suy nghĩ, tìm lời giải, lưu ý cho HS những điểm cần thiết.
Bước 2: HS tự rèn luyện kĩ năng giải toán theo hệ thống bài tốn có chủ
định của giáo viên, giáo viên phân tích, khắc phục những khó khăn, thiếu

sót cho HS.
Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải toán ở mức độ cao hơn, tổng hợp hơn.
1.6.2. Những yêu cầu đối với giáo viên trong việc hình thành kĩ năng gii
toỏn cho hc sinh
Để hình thành kĩ năng giải bài tập toán học cho HS, giáo viên cần thực
hiện tốt các vấn đề sau:
- Xác định từng kĩ năng cụ thể trong hệ thống kĩ năng giải bài tập toán học
cho HS THPT và mức độ của nó ở mỗi lớp học, cấp học t-ơng ứng.
- Xác định hệ thống bài tập toán học t-ơng ứng chủ yếu để HS luyện tập kĩ
năng giải các bài tập cơ bản, bài tập tổng hợp.
- Xây dựng sơ đồ định h-ớng khái quát, các thut toỏn giải mỗi dng, loại bài
tập
- H-ớng dẫn học sinh hoạt động tìm kiếm lời giải, bài tập mẫu và bài tập
t-ơng tự nhằm giúp HS nắm đ-ợc sơ đồ định h-ớng giải bài tập toán học nói
chung và mỗi bài tập cụ thể nói riêng.
- Sử dụng hệ thống bài tập sau mỗi bài, mỗi ch-ơng ®Ĩ gióp HS lun tËp
theo mÉu, kh«ng theo mÉu, th-êng xuyên và theo nhiều hình thức giải
khác nhau.
- Chỳ ý đến tính hệ thống của các kĩ năng. Có những dng k nng khỏc
nhau: Kĩ năng vn dng ỳng lí thuyết, kĩ năng tính toán, kĩ năng thực hành
các phép biến đổi... Nhng cỏc kĩ năng ny không ng c lp m nm
trong mt h thng. Các kĩ năng có mối liên hệ chặt chẽ vi nhau, kĩ năng
này là cơ sở hình thành kĩ năng kia và ng-ợc lại việc hình thành kĩ năng sau
lại củng cố rèn luyện kĩ năng tr-ớc đó....

12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

1.7. Tóm tắt chƣơng 1
Chương này trình bày một số vấn đề thuộc về lí luận liên quan đến kĩ
năng giải tốn nói chung và kĩ năng tìm GTLN, GTNN của biểu thức nói
riêng. Những vấn đề đó là: Quan niệm về kĩ năng và kĩ năng giải toán; Điều
kiện để có kĩ năng; Các mức độ của kĩ năng giải toán; Nhiệm vụ rèn luyện kĩ
năng giải toán cho HS ở trường THPT; Vai trị của bài tập tốn học.
Chương này cũng tóm tắt những tri thức liên quan đến bài tốn tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, gồm: Những phương pháp thơng
thường tìm GTLN, GTNN của biểu thức; Những phương pháp thường dùng
trong bài tốn tìm GTLN, GTNN của biểu thức; Mối liên quan giữa bài tốn
chứng minh BĐT và bài tốn tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
Dựa trên những căn cứ lí luận trên, đồng thời căn cứ vào những đặc
điểm về phong cách học tập của học sinh khá, giỏi, chúng tôi xác định
phương hướng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải tốn cho HS sẽ trình bày
trong chương 2, thơng qua quy trình ba bước hình thành kĩ năng giải tốn nói
chung, kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho HS và những yêu cầu đối với giáo
viên trong việc hình thành kĩ năng giải toán cho HS.

13

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


CHƢƠNG 2
GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHO HỌC SINH
Trong chương trình này chúng tơi trình bày việc rèn luyện kĩ năng
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh theo từng
dạng khác nhau. Trong mỗi dạng sẽ sử dụng một số phương pháp như đã xác
định ở mục 1.4 chương 1.

Chúng tôi trình bày theo cấu trúc như vậy một mặt để thuận lợi cho
việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh theo từng bài, mặt khác mỗi dạng có thể
có nhiều phương pháp giải khác nhau. Mỗi phần nhỏ sẽ được trình bày theo
ba bước như đã xác định ở mục 1.6 chương 1.
2.1. Dạng tìm GTLN, GTNN của hàm số
Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN của f  x    x3  3x 2  2 trên mỗi tập hợp D
cho dưới đây:
a. D  1;4

b. D  1;4 

c. D  1;4

d. D  1;4 

Lời giải:
a. TXĐ: R, D  1;4  R, D là khoảng đóng.
f '  x   3x 2  6 x
 x  0  1;4
f ' x   0  
 x  2  1;4

max f  x   max  f 1 , f  2  , f  4    max  4;6; 14   6  f  2 
x1;4

min f  x   min  f 1 , f  2  , f  4    min  4;6; 14   14  f  4 

x1;4

b, c, d.

TXĐ: D  1;4  ; 1;4; 1;4  - là khoảng khơng đóng.
x  0
f '  x   3x 2  6 x; f '  x   0  
x  2

14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bảng biến thiên:



x

3

1

f ' x 

+



4



0
6

f  x
14

4

+KL: max  6  f  2  ,max  6  f  2  ,max  6  f  2 
x1;4 

x1;4

x1;4 

b. f 1  4  lim f  x   14   min f  x 
x1;4 

x4

c. f  4   14  lim f  x   4  min f  x   14  f  4 
x1;4

x1

d.  min f  x 
x1;4 

x2  3
Ví dụ 2. Tìm GTLN, GTNN của y  2

x x2

Lời giải:
Cách 1: Dựa vào định nghĩa tập giá trị của hàm số.
y  1  lim y ; y ' 
Cách 2: TXĐ:  ; xlim

x 

t



3



f '(t )

x  1
; y'  0  
 x  3
 x2  x  2
 x2  2 x  3
2



1

0

+

1

0



2

f (t )

1

6
7

15

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


+KL: max y  2  y 1 ;min y 
x3

Ví dụ 3. Xét y 

x 1

2

6
 y  3
7

. Tìm GTLN, GTNN của y:

a.

Trên  0;1

b.

Trên TXĐ

c.

Trên  0;1, 0;1 0;1

Lời giải:
a. Tính y ' 

x

1  3x

2

 1

1
, y '  0  x   0;1
3
x2  1


 1 
1
max y  max  y  0  , y 1 , y     max 3;2 2;10  10  y  
x 0;1
 3 
 3







 1 
min y  min  y  0  , y 1 , y     min 3;2 2;10  2 2  y 1
x 0;1
 3 






b. TXĐ: D  R (do x2  1  0x ); c.Tập khảo sát là các khoảng khơng đóng.
lim y  1; lim y  1 ; y ' 

x

x

x

2

 1

1
, y'  0  x  .
3
x2  1
1
3

0



y'

x

1  3x

+

+

0

1






10
y

3

2 2
1

1

1
+KL: b.  min y,max y  10  y  
 3
1
c. Trên  0;1, 0;1 0;1 : max y  10  y  
xD
3

16

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Trên  0;1 : y 1  2 2  3  lim y  min y  2 2  y 1
x0

x 0;1

Trên 0;1 : y  0   2 2  lim y   min y
x0;1

x1

Lưu ý: Khi xét GTLN, GTNN của hàm số f ( x) trên một tập D ta cần chú ý
xem tập hợp D đóng hay khơng đóng:
- Trường hợp 1: D khơng đóng thì lập bảng biến thiên của hàm số
f ( x) trên tập hợp D .Dựa vào bảng biến thiên đó kết luận.

- Trường hợp 2: D  [a; b] và hàm số f ( x) liên tục trên khoảng đóng

[a; b] thì có thể khơng cần lập bảng biến thiên của hàm số: chỉ cần tìm tập
hợp điểm tới hạn thuộc đoạn [a; b] của hàm số. GTLN (GTNN) của hàm số
trên đoạn [a; b] bằng GTLN (GTNN) trong tập hợp các giá trị của hàm số tại

a; b; các điểm tới hạn thuộc đoạn [a; b] .
2.2. Dạng biểu thức chỉ chứa một biến
Nếu biểu thức chỉ chứa một biến số thì đương nhiên ta có thể sử dụng

phương pháp khảo sát hàm số như ở mục 2.1 trên. Tuy nhiên, không phải
hàm số nào cũng dễ dàng khảo sát được, nên mục này chủ yếu sẽ trình bày
những phương pháp khác ngồi phương pháp khảo sát hàm số.
2.2.1. Sử dụng các bất đẳng thức đã biết
Ví dụ 4. Tìm GTNN của hàm số y 

2
1
 trên khoảng (0;1)
1 x x

Lời giải:
Cách 1:Xét biểu thức phụ z 

2x 1  x

 2 2 (Theo BĐT Cô-si)
1 x
x

 2x 1  x


x  x  2 1
Dấu bằng xảy ra  1  x
 x   0;1


17

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


1   2x 1  x 
 2
Có y  z  
 

  3 y  z  3
x 
1 x x  1 x

Vậy min y  3  2 2  x  2  1
x 0;1

Cách 2: Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski ta có:
2
2

2
2

2   1  
2
1




1


x

x
. 1 x 
x
 
 


x
 1  x   x   
 1 x



2
1
 2

  1  x  x   2  1  3  2 2
1 x x 



  





 y  3 2 2

 1 x


 2
+Dấu "  " xảy ra  
 1 x
 x   0;1

+KL: min y  3  2 2  y
x 0;1



x
1
 x  2 1
x



2 1

2.2.2. Xét biểu thức có liên quan
Ví dụ 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x  2  4  x .
Lời giải:
Xét y 2  2  2
Có 0 

 x  2 4  x  , x 2;4 .Có

 x  2 4  x  

y  0 x   2;4 

x24 x
 1  2  y2  4  2  y  2
2

 x  2  4  x   0
x  2
y 2

x  4
 x   2;4
x  2  4  x
y2
 x3
x

2;4




18

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

x  2
KL: min y  2  
, max y  2  x  2
x

4


2.2.3. Đặt ẩn phụ
2.2.3.1. Một số hàm đa thức thường gặp
Ví dụ 6. Xét y   x 2  4 x  x 2  4 
a, Tìm GTNN của y.
b, Tìm GTLN, GTNN của y trên  0;3
Lời giải:
a. Đặt t  x 2  2 x  1   x  1 , t  0x .
2

y   t  1 t  9   t 2  10t  9  f  t 
min y  min f  t 
0; 

t




f '(t )



5

0



+

0

f (t )

16

x 1 5
2
min f  t   16  f  5 .KL: min y  16   x  1  5  
0; 
 x  1  5

b. Đặt t   x  1 . Tìm điều kiện t với x   0;3 , thấy t  0; 4
2

x



0

3

1



t
1

4
0

19

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


y  t 2  10t  9  f  t 
min y  min f (t );max y  max f (t );
t0;4

t0;4

Xét f (t ) : TXĐ:  ;  0; 4   ;  0; 4 là khoảng đóng
f '  t   2t  10, f '  t   0  t  5 0;4
 max f  t   max  f (0); f (4)   max  9; 15   9  f  0 
t 0;4

min f  t   min  f (0); f (4)   min  9; 15   15  f  4 

t 0;4

2

 x  1  4
 x  3;
+KL: min y  15  
x 0;3
x

0;3

  
2

 x  1  0
max y  9  
 x 1
x 0;3
x

0;3





2.2.3.2. Hàm chứa biểu thức mũ
Ví dụ 7. Tìm GTNN của hàm số:



y  2 3

  2  3
2x

2x



 3 2  3


   2  3  
x

x

Sai lầm: (học sinh dễ mắc phải)



Đặt t  2  3



2 3

 
2x

 
x

 2 3

 2 3



2x



x

 t2  2
2

17
 3  17
 y  t  3t  2   t      t
4
4
 2
2

Dấu "  " xảy ra  t 

3
17
. KL: min y 
2
4

Phân tích: Phải chú ý tìm điều kiện của t và chuyển sang bài tốn mới tìm
GTNN của hàm số biến t trong điều kiện của t

20

LUAN VAN CHAT LUONG download : add