Rèn luyện kỹ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp trung học phổ thông

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC





NGUYỄN THỊ THANH THUỶ



RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI CUỐI CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG


Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học
(Bộ môn Toán học)
Mã số : 60 14 10


LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC


Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. BÙI VĂN NGHỊ

HÀ NỘI - 2010

2
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy
PGS.TS Bùi Văn Nghị đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, kinh
nghiệm cho em trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này.
Em xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô Trường Đại học Giáo dục,
Đại học Quốc Gia Hà Nội, những người đã truyền đạt kiến thức quý báu
cho em trong thời gian học cao học vừa qua.
Em xin cảm ơn Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT
Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá
trình học tập, công tác và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Xin gửi lời biết ơn đến gia đình nhỏ của em, nơi đã cho em thêm niềm
tin và động lực để tập trung học tập và nghiên cứu.

Hải Phòng, ngày 10 tháng 12 năm 2010
Tác giả


Nguyễn Thị Thanh Thủy





3
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

1. BĐT
Bất đẳng thức
2. CM
Chứng minh
3. GT
Giả thiết
4. GTLN
Giá trị lớn nhất
5. GTNN
Giá trị nhỏ nhất
6. GV
Giáo viên
7. HS
Học sinh
8. KL
Kết luận
9. mp
Mặt phẳng
10. THPT
Trung học phổ thông
11. TXĐ
Tập xác định

4
MỤC LỤC

Trang
MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
1
2. Lịch sử nghiên cứu
1
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2
4. Đối tượng nghiên cứu
2
5. Mẫu khảo sát
2
6. Vấn đề nghiên cứu
3
7. Giả thuyết khoa học
3
9. Cấu trúc luận văn
3
Chƣơng 1: KĨ NĂNG GIẢI TOÁN
4
1.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán
4

1.1.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán
4
1.1.2. Điều kiện để có kĩ năng
4
1.1.3. Các mức độ của kĩ năng giải toán
5
1.2. Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
5
1.2.1. Mục tiêu dạy học môn toán
5
1.2.2. Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT
6
1.3. Giải bài tập toán học
6
1.3.1. Vai trò của bài tập toán học
6
1.3.2. Ý nghĩa của việc giải bài toán theo nhiều cách
7
1.4. Những tri thức liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN của
biểu thức

8
1.4.1. Những phương pháp thông thường tìm GTLN, GTNN của
biểu thức chỉ chứa một biến số

8
1.4.2. Những phương pháp thường dùng trong bài toán tìm GTLN,
GTNN của biểu thức

8

1.4.3. Những bất đẳng thức thường dùng trong bài toán tìm GTLN,


5
GTNN
8
1.4.4. Mối liên quan giữa bài toán chứng minh BĐT và bài toán tìm
GTLN, GTNN của biểu thức

10
1.5. Một số đặc điểm về phong cách học tập của học sinh khá,giỏi
11
1.6. Định hướng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học
sinh

11
1.6.1. Quy trình hình thành kĩ năng
11
1.6.2. Những yêu cầu đối với giáo viên trong việc hình thành kĩ
năng giải toán cho học sinh

12
1.7. Tóm tt chương 1
13
Chƣơng 2: GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHO
HỌC SINH


14

2.1. Dạng tìm GTLN, GTNN của hàm số
14
2.2. Dạng biểu thức chỉ chứa một biến
17
2.3. Dạng biểu thức chứa hai biến
29
2.4. Dạng biểu thức có từ ba biến số trở lên
54
2.5. Dạng biểu thức lượng giác
82
2.6. Dạng hình học
93
2.7. Tóm tt chương 2
95
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
97
3.1. Mục đích, tô
̉
chư
́
c thư
̣
c nghiê
̣
m sư pha
̣
m
97
3.2. Giáo án thc nghiệm sư phạm
97

3.3. Đa
́
nh gia
́
kết qua
̉
thư
̣
c nghiê
̣
m sư pha
̣
m
112
3.4. Tóm tt chương 3
117
KẾT LUẬN
118
TÀI LIỆU THAM KHẢO
119


1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Theo Luật giáo dục Việt Nam năm 2005, mục tiêu giáo dục phổ thông
của chúng ta là “Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể
chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng
động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam Xã hội chủ
nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm cộng đồng, chuẩn bị cho học sinh

tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo
vệ Tổ quốc ”. Về phương pháp giáo dục, cần phải “Phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học,
lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”, “bồi dưỡng phương pháp tự học,
rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” [12, chương 1]
Môn Toán là môn học công cụ, giữ một vai trò hết sức quan trọng
trong chương trình THPT. Trong đó các bài toán về tìm giá trị lớn nhất,giá
trị nhỏ nhất là những bài toán yêu cầu cao ở học sinh về tư duy, về kĩ năng.
Song, đối với học sinh thì dạng toán này là một trong những dạng toán khó,
cần phải chú ý và có những biện pháp để rèn luyện kĩ năng giải dạng toán
này, góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề này.
Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: “Rèn luyện kĩ năng tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối
cấp THPT”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Hiện nay đã có một số công trình nghiên cứu gần gũi với đề tài này,
nhưng chủ yếu nghiên cứu về rèn luyện kĩ năng cho HS trong giải toán Hình
học. Một số trong những đề tài đó là: “Rèn luyện kĩ năng giải bài toán Hình
học không gian bằng phương pháp tọa độ ở trường THPT" - Luận văn thạc sĩ
của Thái Thị Anh Thư, ĐHSP HN, năm 2004; "Rèn luyện kĩ năng giải các

2
bài toán thiết diện của các hình không gian trong chương trình Hình học PT"
- luận văn thạc sĩ của Nguyễn Tiến Trung, ĐHSP HN, năm 2006, "Rèn luyện
kĩ năng giải toán về Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ
song song cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông ", luận văn thạc sĩ của
Nguyễn Thị Định, K3, ĐHGD - ĐHQG HN, năm 2010 v.v
Đề tài này khác những đề tài nói trên về chủ đề cần rèn luyện và đối
tượng học sinh. Đó là chủ đề tìm GTLN, GTNN và đối tượng là HS khá, giỏi

cuối cấp THPT.
Sở dĩ chúng tôi chọn đối tượng là HS khá, giỏi cuối cấp THPT, bởi vì,
có ở cuối cấp thì các em mới biết được nhiều phương pháp giải dạng toán
này. Hơn nữa, như chúng tôi đã trình bày ở trên, đây là dạng toán khó, nên
với HS khá, giỏi là phù hợp hơn.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
+ Mục đích nghiên cứu: Đề xuất một giải pháp nhằm rèn luyện có hiệu quả
kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho HS.
+ Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu hệ thống lí luận về kĩ năng giải toán, giải bài tập toán học.
- Nghiên cứu các dạng toán và các phương pháp tìm GTLN, GTNN.
- Nghiên cứu và đề xuất một giải pháp rèn luyện có hiệu quả kĩ năng tìm
GTLN, GTNN cho HS khá, giỏi cuối cấp THPT.
- Thc nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của
đề tài.
4. Đối tƣợng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: là quá trình dạy học tìm GTLN, GTNN ở trường THPT.
+ Phạm vi nghiên cứu: là các bài toán tìm GTLN, GTNN ở trường THPT.
+ Khách thể nghiên cứu: là HS khá, giỏi cuối cấp THPT.
5. Mẫu khảo sát
Một số lớp 12, trường THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng.

3
6. Vấn đề nghiên cứu
+ Các kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức?
+ Giải pháp rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức cho học
sinh khá, giỏi cuối cấp THPT?
7. Giả thuyết nghiên cứu
Giải pháp quan trọng cho việc nâng cao kĩ năng giải toán tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp Trung

học phổ thông là việc hệ thống hóa được các dạng toán, các kĩ năng tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức và có biện pháp thích hợp rèn
luyện cho học sinh.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận về rèn luyện kĩ năng
giải toán, về dạy học giải bài tập toán học.
+ Phương pháp điều tra quan sát: Sử dụng những mẫu phiếu điều tra về tình
hình dạy và học nội dung tìm GTLN, GTNN của một biểu thức, về kĩ năng
tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ở lớp cuối cấp THPT.
+ Phương pháp thc nghiệm sư phạm: Soạn và dạy thc nghiệm một số giáo
án về tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ở một số lớp chuyên, chọn cuối
cấp THPT, đánh giá kết quả thc nghiệm, đánh giá tính khả thi và hiệu qủa
của đề tài.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của
luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Kĩ năng giải toán
Chương 2. Giải pháp rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một
biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT
Chương 3. Thc nghiệm sư phạm


4

CHNG 1
K NNG GII TON
1.1. Quan nim v k nng, k nng gii toỏn
1.1.1. Quan nim v k nng, k nng gii toỏn
Tựy theo cỏc phng din nhỡn nhn khỏc nhau v k nng: xột v tõm
lớ, hnh vi, hay xột theo nng lc vn dng, hnh ng, hay xột theo phng

din giỏo dc, m cú nhng cỏch nh ngha khỏc nhau v k nng.
Theo giỏo trỡnh Tõm lớ hc i cng: K nng l nng lc s dng cỏc
d kin, cỏc tri thc hay khỏi nim ó cú, nng lc vn dng chỳng phỏt hin
nhng thuc tớnh bn cht ca cỏc s vt v gii quyt thnh cụng nhim v lớ
lun hay thc hnh xỏc nh; K nng l kh nng vn dng nhng kin thc
thu nhn c trong mt lnh vc no ú vo thc t; K nng l mt ngh
thut, l kh nng vn dng nhng hiu bit cú c bn t c mc
ớch ca mỡnh, k nng cũn cú th c trng nh ton b cỏc thúi quen nht
nh, k nng l kh nng lm vic cú phng phỏp. (dn theo [7])
Trong lun vn ny, chỳng tụi quan nim:
K nng l kh nng vn dng tri thc (khỏi nim, nh lớ, thut gii,
phng phỏp) gii quyt nhim v t ra. Nh vy, tri thc (bao gm c
tri thc s vt, tri thc phng phỏp) l c s ca k nng.
T quan nim v k nng, chỳng tụi quan nim v k nng gii toỏn
nh sau:
Trong Toỏn hc, k nng l kh nng gii cỏc bi toỏn, thc hin cỏc
chng minh cng nh phõn tớch cú phờ phỏn cỏc li gii v chng minh nhn
c. Kĩ năng giải bài tập toán của HS là khả năng sử dụng có mục đích,
sáng tạo những kiến thức toán học đã học để giải bài tập toán học.
1.1.2. iu kin cú k nng
Mun cú k nng v hnh ng no ú ch th cn phi:

5
- Cú kin thc hiu c mc ớch ca hnh ng, bit c iu kin,
cỏch thc i n kt qu, thc hin hnh ng.
- Tin hnh hnh ng ú vi yờu cu ca nú.
- t c kt qu phự hp vi mc ớch ó ra.
- Cú th hnh ng cú hiu qu trong nhng iu kin khỏc nhau.
- Cú th qua bt chc, rốn luyn hỡnh thnh k nng nhng phi tri qua
thi gian di.

1.1.3. Cỏc mc ca k nng gii toỏn
Kĩ năng giải bài tập toán học cú th chia thnh ba mức độ khác nhau:
- Biết làm: vận dụng c lí thuyết để giải những bài tập cơ bản, hình thành
các thao tác cơ bản nh-: viết các đại l-ợng theo ngôn ngữ toán học, viết
chính xác công thức, kí hiệu, tính giá trị dựa vào công thức; nắm đ-ợc quy
trình giải một dng toán nào đó t-ơng tự nh- bi mẫu.
- Thành thạo: giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bi toỏn theo cách giải ó bit,
trong nhng hon cnh mi, iu kin mi tng t nh- bài ó bit; giải
c những bài tập tổng hợp, phức tạp, đa dạng.
- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: -a ra đ-ợc những cách giải ngắn gọn, cỏch
chuyn húa vn khộo lộo, cỏch gii quyt vn độc đáo.
1.2. Nhim v rốn luyn k nng gii toỏn cho hc sinh
1.2.1. Mc tiờu dy hc mụn toỏn
Mc tiờu dy hc mụn Toỏn nm trong mc tiờu giỏo dc núi chung
"Mc tiờu giỏo dc ph thụng l giỳp hc sinh phỏt trin ton din v
o c, trớ tu, th cht, thm m v cỏc k nng c bn, phỏt trin nng lc
cỏ nhõn, tớnh nng ng v sỏng to, hỡnh thnh nhõn cỏch con ngi Vit
Nam XHCN, xõy dng t cỏch v trỏch nhim cụng dõn; chun b cho hc
sinh tip tc hc lờn hoc i vo cuc sng lao ng, tham gia xõy dng v
bo v T quc" (Theo [12]).
Mc tiờu dy hc mụn Toỏn l:

6
- Trang b cho HS nhng tri thc, k nng, phng phỏp toỏn hc ph thụng,
c bn, thit thc.
- Gúp phn phỏt trin nng lc trớ tu, bi dng phm cht trớ tu cho HS.
- Gúp phn hỡnh thnh v phỏt trin cỏc phm cht, phong cỏch lao ng
khoa hc, bit hp tỏc lao ng, cú ý chớ v thúi quen t hc thng xuyờn.
- To c s HS tip tc hc C, H, TCCN, hc ngh hoc i vo cuc
sng lao ng.

Cỏc mc tiờu th hin s ton din, thng nht v cú quan h mt thit,
h tr, b sung cho nhau: tri thc l c s thc hin cỏc mc tiờu khỏc;
trong cỏc mc tiờu thỡ mc tiờu phỏt trin trớ tu l quan trng nht; thụng
qua hot ng m rốn luyn k nng, cng c tri thc.
1.2.2. Yờu cu rốn luyn k nng gii toỏn cho hc sinh trng THPT
Vic rốn luyn k nng gii toỏn nhm t c cỏc yờu cu cn thit sau:
+ Giỳp hc sinh hỡnh thnh v nm vng nhng mch kin thc c bn trong
chng trỡnh.
+ Giỳp hc sinh phỏt trin cỏc nng lc trớ tu. C th l phỏt trin:
- T duy lụgic v ngụn ng chớnh xỏc.
- Kh nng suy oỏn, t duy tru tng v trớ tng tng trong khụng gian.
- Nhng thao tỏc t duy nh phõn tớch, tng hp khỏi quỏt húa
- Cỏc phm cht trớ tu nh t duy c lp, t duy linh hot v sỏng to.
1.3. Gii bài tập toán học
1.3.1. Vai trũ ca bi tp toỏn hc
Theo [11] bài tập có vai trò quan trọng trong bộ môn toán. Thông qua
việc giải bài tập học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm
cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lớ những hoạt động toán học
phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động
trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Những bài tập cũng thể hiện

7
những khả năng khác nhau h-ớng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học
môn toán: Hình thành, củng cố tri thức kĩ năng kĩ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình dạy học, kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn ; phát
triển năng lực trí tuệ ; Bồi d-ỡng thế giới quan duy vật bin chng Thụng
qua bi tp, giỏo viờn cú th hoàn chỉnh hay bổ sung những tri thức nào đó đã
đ-ợc trình bày trong phần lý thuyết. iu quan trng hn c l thụng qua bi
tp giỏo viờn s rốn luyn cỏc k nng gii toỏn cho hc sinh.
Cần đặt cho học sinh câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần

biết sử dụng những câu hỏi này nh- công cụ kích thích sự tìm tòi, phát hiện
để thực hiện từng b-ớc của ph-ơng pháp chung giải toán.
1.3.2.í ngha ca vic gii bi toỏn theo nhiu cỏch
Việc đi sâu vào tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán có
vai trò to lớn trong việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, rèn luyện trí thông
minh, óc sáng tạo cho học sinh. Có thể thấy rõ điều đó trong các tác dụng sau:
- Những cách giải khác nhau của một bài toán góp phần hình thành và củng
cố cho học sinh về tính chất của các phép tính số học, về quan hệ giữa các
phép tính số học.
- Trong quá trình tìm ra những cách giải khác nhau, học sinh có dịp suy nghĩ
đến những khía cạnh khác nhau của bài toán, từ đó sẽ hiểu sâu hơn về các mối
quan hệ trong bài toán đó, nắm vững và củng cố các kiến thức có liên quan.
- Việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp học sinh có dịp so sánh các
cách giải đó, chọn ra đ-ợc cách hay hơn và tích luỹ đ-ợc nhiều kinh nghiệm
để giải toán.
- Việc tìm ra nhiều cách giải cũng góp phần rèn luyện đức tính kiên trì, tiết
kiệm, vì từ nhiều cách giải ấy học sinh có thể chọn ra đ-ợc con đ-ờng ngắn
nhất để đi tới đích, không vội bằng lòng với việc tìm ra con đ-ờng đầu tiên.
- Quá trình tìm tòi những cách giải khác nhau của bài toán cũng là quá trình rèn
luyện trí thông minh, óc sáng tạo và khả năng suy nghĩ linh hoạt cho học sinh.

8
1.4. Những tri thức liên quan đến bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
1.4.1. Những phương pháp thông thường tìm GTLN, GTNN của biểu thức
chỉ chứa một biến số
+ Da vào bất đẳng thức
+ Da vào khảo sát hàm số
+ Tìm tập giá trị
Giả sử cần tìm GTLN, GTNN của biểu thức

()y f x
với
x
thuộc tập
số
D
, ta tìm các giá trị của
y
làm cho phương trình
( ) 0f x y
có nghiệm
x

thuộc
D
. Từ tập giá trị này ta chỉ ra được GTLN, GTNN của biểu thức.
1.4.2. Những phương pháp thường dùng trong bài toán tìm GTLN, GTNN
của biểu thức
+ Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
+ Phương pháp khảo sát hàm số
+ Phương pháp Hình học hóa
+ Phương pháp Lượng giác hóa
1.4.3. Những bất đẳng thức thường dùng trong bài toán tìm GTLN, GTNN
1.4.3.1. Những bất đẳng thức cơ bản có trong SGK:
BĐT tam giác:
Với 3 điểm bất kỳ
;;A B C
ta có:

AB AC BC

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
A
thuộc đoạn
BC


AB AC BC
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc
B
thuộc đoạn
AC

hoặc
C
thuộc đoạn
AB
.
BĐT lượng giác:

sin 1; cos 1 .
  
  

*
: sin sin ; s s
nn
n co co
   
    

22
tan cot 2 ; tan cot 2
2
k

    
     

BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối:

9
Với hai số thc bất kì
;ab
ta có:
; a b a b a b a b     
.
Dấu
""
xảy ra
0ab

1.4.3.2. Những BĐT mở rộng
BĐT Cô-si :

 
1 2 1 2
1
0 1; :
n

i n n
x i n x x x x x x
n
      
.
Dấu
""
xảy ra
; 1; ,
ij
x x i j n i j    

BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski :
Cho
2n
số thc
; ( 1; )
ii
a x i n
,ta có:

 
  
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2

n n n n
a x a x a x a a a x x x         
.

Dấu
""
xảy ra
: . 1;
ii
t x t a i n     

BĐT Trê-bư-sép :
Cho hai dãy số cùng tăng ( hoặc cùng giảm ):
1 2 1 2
;
nn
a a a x x x     

Ta có:
    
1 2 1 2 1 1 2 2

n n n n
a a a x x x n a x a x a x         
.
Dấu
""
xảy ra
12
12


n
n

a a a
x x x
  



  


Trong chương trình phổ thông:
- Ta chỉ được sử dụng BĐT Cô-si và BĐT Bu-nhia-côp-ski (đối với
2n 
hoặc
3n 
).
- Khi cần dùng BĐT Trê-bư-sep (đối với
2n
hoặc
3n
) , ta phải
chứng minh lại trước khi dùng.
1.4.3.3. Một số hệ quả của BĐT Cô-si

 
2
1 2 1 2
1 1 1
0 1, ;

i

nn
n
x i n
x x x x x x
      
  


 
    
 
1 2 1 2
0 1, ; 1 1 1 1
n
n
i n n
x i n x x x x x x       


10

 
12
12
1 1 1
0 1, ;
1 1 1
1
i
n

n
n
n
x i n
x x x
x x x
      
  


Dấu
""
xảy ra
; 1; ,
ij
x x i j n i j    

1.4.3.4. Một số hệ quả của BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski

   
22
2222
dbcadcba 
. Dấu "=" xảy ra
ad bc


 
0,,
2

222



 cba
cba
zyx
c
z
b
y
a
x
. Dấu "=" xảy ra


c
z
b
y
a
x


1.4.4. Mối liên quan giữa bài toán chứng minh BĐT và bài toán tìm
GTLN, GTNN của biểu thức
- Các phương pháp chứng minh BĐT là các phương pháp chủ yếu sử dụng
trong bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức và ngược lại.
- Về cơ bản hai dạng toán này có thể chuyển hóa cho nhau. Tuy nhiên cũng
có những điểm khác nhau: Có thể tìm GTLN, GTNN theo những cách khác

nhau (tìm tập giá trị, khảo sát hàm số), trong đó có cách sử dụng BĐT.
Ngược lại, có những cách chứng minh BĐT không liên quan gì đến bài toán
tìm GTLN, GTNN, như BĐT: 1 +
1
1

3
1
2
1
 n
n
(với n > 2).

- Về yêu cầu: Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức thì bt buộc phải chỉ
ra đẳng thức xảy ra khi nào, còn bài toán chứng minh BĐT không nhất thiết
phải làm điều đó.
Ví dụ: CM:
2
1 0 aa  

và Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 
2
1a 
.
- Bài toán chứng minh BĐT là bài toán có thể đưa về bài toán so sánh một
biểu thức với một số đã biết (chứng minh
ab
tức là so sánh

 
ab
với số
0
),
còn trong bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức, ta phải so sánh biểu
thức đó với một số chưa biết mà ta phải tìm. Nếu d đoán được số là GTLN,
GTNN của biểu thức thì bài toán sẽ trở thành bài toán chứng minh BĐT. Tuy
nhiên, như đã trình bày ở trên: bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức thì

11
bt buộc phải chỉ ra đẳng thức xảy ra khi nào, còn bài toán chứng minh BĐT
không nhất thiết phải làm điều đó.
1.5. Một số đặc điểm về phong cách học tập của học sinh khá, giỏi
Những HS khá, giỏi thường có một số đặc điểm chung về phong cách
học tập như sau:
+ Thể hiện rõ những đặc điểm của tư duy toán học.
Theo Viện sĩ B.V. Gờ-nhe-den-cô (1964), những đặc điểm của tư duy toán
học (theo[17]) là :
- Năng lc nhìn thấy s không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được s
thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh
- S cô đọng
- S chính xác của các kí hiệu
- Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận
- Thói quen lí lẽ đầy đủ về lôgic.
+ Thể hiện được những nét độc đáo của tư duy toán học.
Theo A.Ia. Khin-chin (1961), những nét độc đáo của tư duy toán học, là:
- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế
- Khuynh hướng tìm con đường ngn nhất dẫn đến mục đích
- Phân chia rành mạch các bước suy luận

- Sử dụng chính xác các kí hiệu
- Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận.
+ Thường ngại tính toán, không thích làm đi làm lại những điều đã biết nếu
không có gì mới.
HS khá giỏi thường suy nghĩ nhanh và hiệu quả, nhưng thường ngại
tính toán cụ thể, không thích lặp đi lặp lại những kiểu làm nhàm chán.
1.6. Định hƣớng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
1.6.1. Quy trình hình thành kĩ năng
Theo chúng tôi, quy trình hình thành kĩ năng giải toán nói chung, kĩ
năng tìm GTLN, GTNN cho HS gồm ba bước sau:

12
Bc 1: Hng dn HS gii mt s bi toỏn mu trờn lp, cú phõn tớch
phng phỏp suy ngh, tỡm li gii, lu ý cho HS nhng im cn thit.
Bc 2: HS t rốn luyn k nng gii toỏn theo h thng bi toỏn cú ch
nh ca giỏo viờn, giỏo viờn phõn tớch, khc phc nhng khú khn, thiu
sút cho HS.
Bc 3: Rốn luyn k nng gii toỏn mc cao hn, tng hp hn.
1.6.2. Nhng yờu cu i vi giỏo viờn trong vic hỡnh thnh k nng gii
toỏn cho hc sinh
Để hình thành kĩ năng giải bài tập toán học cho HS, giáo viên cần thực
hiện tốt các vấn đề sau:
- Xác định từng kĩ năng cụ thể trong hệ thống kĩ năng giải bài tập toán học
cho HS THPT và mức độ của nó ở mỗi lớp học, cấp học t-ơng ứng.
- Xác định hệ thống bài tập toán học t-ơng ứng chủ yếu để HS luyện tập kĩ
năng giải các bài tập cơ bản, bài tập tổng hợp.
- Xây dựng sơ đồ định h-ớng khái quát, các thut toỏn giải mỗi dng, loại bài
tập
- H-ớng dẫn học sinh hoạt động tìm kiếm lời giải, bài tập mẫu và bài tập
t-ơng tự nhằm giúp HS nắm đ-ợc sơ đồ định h-ớng giải bài tập toán học nói

chung và mỗi bài tập cụ thể nói riêng.
- Sử dụng hệ thống bài tập sau mỗi bài, mỗi ch-ơng để giúp HS luyện tập
theo mẫu, không theo mẫu, th-ờng xuyên và theo nhiều hình thức giải
khác nhau.
- Chỳ ý n tớnh h thng ca cỏc k nng. Cú nhng dng k nng khỏc
nhau: Kĩ năng vn dng ỳng lí thuyết, kĩ năng tính toán, kĩ năng thực hành
các phép biến đổi Nhng cỏc kĩ năng ny không ng c lp m nm
trong mt h thng. Các kĩ năng có mối liên hệ chặt chẽ vi nhau, kĩ năng
này là cơ sở hình thành kĩ năng kia và ng-ợc lại việc hình thành kĩ năng sau
lại củng cố rèn luyện kĩ năng tr-ớc đó

13
1.7. Tóm tắt chƣơng 1
Chương này trình bày một số vấn đề thuộc về lí luận liên quan đến kĩ
năng giải toán nói chung và kĩ năng tìm GTLN, GTNN của biểu thức nói
riêng. Những vấn đề đó là: Quan niệm về kĩ năng và kĩ năng giải toán; Điều
kiện để có kĩ năng; Các mức độ của kĩ năng giải toán; Nhiệm vụ rèn luyện kĩ
năng giải toán cho HS ở trường THPT; Vai trò của bài tập toán học.
Chương này cũng tóm tt những tri thức liên quan đến bài toán tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, gồm: Những phương pháp thông
thường tìm GTLN, GTNN của biểu thức; Những phương pháp thường dùng
trong bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức; Mối liên quan giữa bài toán
chứng minh BĐT và bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
Da trên những căn cứ lí luận trên, đồng thời căn cứ vào những đặc
điểm về phong cách học tập của học sinh khá, giỏi, chúng tôi xác định
phương hướng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS sẽ trình bày
trong chương 2, thông qua quy trình ba bước hình thành kĩ năng giải toán nói
chung, kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho HS và những yêu cầu đối với giáo
viên trong việc hình thành kĩ năng giải toán cho HS.

14
CHƢƠNG 2
GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHO HỌC SINH
Trong chương trình này chúng tôi trình bày việc rèn luyện kĩ năng
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh theo từng
dạng khác nhau. Trong mỗi dạng sẽ sử dụng một số phương pháp như đã xác
định ở mục 1.4 chương 1.
Chúng tôi trình bày theo cấu trúc như vậy một mặt để thuận lợi cho
việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh theo từng bài, mặt khác mỗi dạng có thể
có nhiều phương pháp giải khác nhau. Mỗi phần nhỏ sẽ được trình bày theo
ba bước như đã xác định ở mục 1.6 chương 1.
2.1. Dạng tìm GTLN, GTNN của hàm số
Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN của
 
32
32f x x x   
trên mỗi tập hợp
D

cho dưới đây:
a.
 
1;4D 
b.



1;4D 
c.


1;4D 
d.
 
1;4D 

Lời giải:
a. TXĐ:
 
, 1;4 ,R D R D
là khoảng đóng.
 
 
 
 
2
' 3 6
0 1;4
'0
2 1;4
f x x x
x
fx
x
  









 
       
 
   
 
       
 
   
1;4
1;4
max max 1 , 2 , 4 max 4;6; 14 6 2
min min 1 , 2 , 4 min 4;6; 14 14 4
x
x
f x f f f f
f x f f f f


    
     

b, c, d.
TXĐ:


 

 
1;4 ; 1;4 ; 1;4D 
- là khoảng không đóng.
   
2
0
' 3 6 ; ' 0
2
x
f x x x f x
x


    





15
Bảng biến thiên:
x




1

3



4




 
'fx



+
0








 
fx

4


6






14






+KL:


 


 
 
 

1;4 1;4 1;4
max 6 2 ,max 6 2 ,max 6 2
x x x
fff
  
     

b.
   


 
1;4
4
1 4 lim 14 min
x
x
f f x f x



     

c.
   


   
1;4
1

4 14 lim 4 min 14 4
x
x
f f x f x f



       

d.
 
 
1;4
min
x
fx



Ví dụ 2. Tìm GTLN, GTNN của
2
2
3
2
x
y
xx




Lời giải:
Cách 1: Da vào định nghĩa tập giá trị của hàm số.
Cách 2: TXĐ:

;
lim 1
x
y


lim
x
y


;
 
2
2
2
1
23
' ; ' 0
3
2
x
xx
yy
x

xx


  
  





t




3


1




'( )ft




0
+

0




()ft


1



6
7


2



1


16
+KL:
   
6
max 2 1 ;min 3
7
y y y y    

Ví dụ 3. Xét
2
3
1
x
y
x



. Tìm GTLN, GTNN của y:
a. Trên
 
0;1

b. Trên TXĐ
c. Trên

 
 
0;1 , 0;1 0;1

Lời giải:
a. Tính
 
 
22
1 3 1
' , ' 0 0;1

3
11
x
y y x
xx

    


 
   
 
 
   
 
 
0;1
0;1
11
max max 0 , 1 , max 3;2 2;10 10
33
1
min min 0 , 1 , min 3;2 2;10 2 2 1
3
x
x
y y y y y
y y y y y




   
   
   

   



   





b. TXĐ:
DR
(do
2
10xx  
); c.Tập khảo sát là các khoảng không đóng.

lim 1; lim 1
xx
yy
 
  
;
 
22

1 3 1
' , ' 0
3
11
x
y y x
xx

   

.
x




0


1
3


1




'y

+

+
0








y





1



3



10

2
2





1

+KL: b.
1
min ,max 10
3
y y y

  



c. Trên

 
 
0;1 , 0;1 0;1
:
1
max 10
3

xD
yy







17
Trên


 


 
0;1
0
0;1 : 1 2 2 3 lim min 2 2 1
x
x
y y y y



     

Trên


  


0;1
1
0;1 : 0 2 2 lim min
x
x
y y y



   

Lưu ý: Khi xét GTLN, GTNN của hàm số
()fx
trên một tập
D
ta cần chú ý
xem tập hợp
D
đóng hay không đóng:
- Trường hợp 1:
D
không đóng thì lập bảng biến thiên của hàm số
()fx
trên tập hợp
D
.Da vào bảng biến thiên đó kết luận.
- Trường hợp 2:

[ ; ]D a b
và hàm số
()fx
liên tục trên khoảng đóng
[ ; ]ab
thì có thể không cần lập bảng biến thiên của hàm số: chỉ cần tìm tập
hợp điểm tới hạn thuộc đoạn
[ ; ]ab
của hàm số. GTLN (GTNN) của hàm số
trên đoạn
[ ; ]ab
bằng GTLN (GTNN) trong tập hợp các giá trị của hàm số tại
;;ab
các điểm tới hạn thuộc đoạn
[ ; ]ab
.
2.2. Dạng biểu thức chỉ chứa một biến
Nếu biểu thức chỉ chứa một biến số thì đương nhiên ta có thể sử dụng
phương pháp khảo sát hàm số như ở mục 2.1 trên. Tuy nhiên, không phải
hàm số nào cũng dễ dàng khảo sát được, nên mục này chủ yếu sẽ trình bày
những phương pháp khác ngoài phương pháp khảo sát hàm số.
2.2.1. Sử dụng các bất đẳng thức đã biết
Ví dụ 4. Tìm GTNN của hàm số
21
1
y
xx


trên khoảng

(0;1)

Lời giải:
Cách 1:Xét biểu thức phụ
21
22
1
xx
z
xx



(Theo BĐT Cô-si)
Dấu bằng xảy ra
 
21
1
21
0;1
xx
xx
x
x





   







18
Có
2 1 2 1
33
11
xx
y z y z
x x x x

   
        
   

   

Vậy
 
0;1
min 3 2 2 2 1
x
yx

    

Cách 2: Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski ta có:

   
 
 
22
22
2
2 1 2 1
1 . 1
11
21
1 2 1 3 2 2
1
3 2 2
x x x x
x x x x
xx
xx
y

     


     
     





     


       



  

+Dấu
""
xảy ra
 
1
21
21
1
0;1
xx
x
xx
x





   








+KL:
 
 
0;1
min 3 2 2 2 1
x
yy

   

2.2.2. Xét biểu thức có liên quan
Ví dụ 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
24y x x   
.
Lời giải:
Xét
  
 
2
2 2 2 4 , 2;4y x x x    
.Có
 
0 2;4yx  

Có

  
2
24
0 2 4 1 2 4 2 2
2
xx
x x y y
  
          

  
 
 
2 4 0
2
2
4
2;4
24
23
2;4
xx
x
y
x
x
xx
yx
x
  





  









   





19
KL:
2
min 2 , max 2 2
4
x
y y x
x



    




2.2.3. Đặt ẩn phụ
2.2.3.1. Một số hàm đa thức thường gặp
Ví dụ 6. Xét
  
22
44y x x x  

a, Tìm GTNN của y.
b, Tìm GTLN, GTNN của y trên
 
0;3

Lời giải:
a. Đặt
 
2
2
2 1 1 , 0t x x x t x      
.

    


 
2

0;
1 9 10 9
min min
y t t t t f t
y f t

      


t




0


5




'( )ft







0

+

()ft







16







   
0;
min 16 5f t f

  
.KL:
 
2
15
min 16 1 5

15
x
yx
x


     





b. Đặt
 
2
1tx
. Tìm điều kiện
t
với


0;3x
, thấy
 
0;4t 

x



0


1


3



t




1




0



4



20

 
 
 
2
0;4
0;4
10 9
min min ( );max max ( );
t
t
y t t f t
y f t y f t


   


Xét
( ):ft
TXĐ:

;
 
0;4
 
;
 
0;4
là khoảng đóng

   
 
' 2 10, ' 0 5 0;4f t t f t t     

 
       
 
       
0;4
0;4
max max (0); (4) max 9; 15 9 0
min min (0); (4) min 9; 15 15 4
t
t
f t f f f
f t f f f


     
     

+KL:


 


2
0;3
14

min 15 3
0;3
x
x
yx
x




    




;


 


2
0;3
10
max 9 1
0;3
x
x
yx
x





   





2.2.3.2. Hàm chứa biểu thức mũ
Ví dụ 7. Tìm GTNN của hàm số:
       
22
2 3 2 3 3 2 3 2 3
x x x x
y

       



Sai lầm: (học sinh dễ mc phải)
Đặt
   
2 3 2 3
xx
t    

   

22
2
2
2
2 3 2 3 2
3 17 17
32
2 4 4
xx
t
y t t t t
    

         



Dấu
""
xảy ra
3
2
t
. KL:
17
min
4
y



Phân tích: Phải chú ý tìm điều kiện của
t
và chuyển sang bài toán mới tìm
GTNN của hàm số biến
t
trong điều kiện của
t