Luận văn thạc sĩ HUS hệ động lực cho mô hình động học rừng với điều kiện biên hỗn hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

ĐINH THỊ THU

HỆ ĐỘNG LỰC CHO MƠ HÌNH
ĐỘNG HỌC RỪNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Ngành: Tốn Giải tích

Người hướng dẫn: TS. Lê Huy Chuẩn

Hà Nội - 2017

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


LUAN VAN CHAT LUONG download : add


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

ĐINH THỊ THU

HỆ ĐỘNG LỰC CHO MƠ HÌNH
ĐỘNG HỌC RỪNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Huy Chuẩn

Hà Nội - 2017

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hồn thành
luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ giáo trong
khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội
đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực
hiện luận văn.
Hà Nội, ngày 02 tháng 10 năm 2017
Học viên

Đinh Thị Thu

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Mục lục
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Những không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Không gian Holder có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
7
7

1.2. Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1. Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2. Hàm mũ của toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3. Hàm lũy thừa của toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4. Xấp xỉ Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1. Cặp không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Bộ ba không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12
13

1.4. Toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên hỗn hợp . . . . . . . . . . . . .

16

1.5. Phương trình tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Chương 2. Mơ hình động học rừng với điều kiên biên hỗn hợp . . . . . . . .

21

2.1. Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2. Tính khơng âm của nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3. Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3.1. Ước lượng tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Sự tồn tại nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Tính liên tục theo điều kiện ban đầu của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
32
33
35

2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


LỜI MỞ ĐẦU
Vào năm 1972, D. B. Botkin trong [2] đã đưa ra mơ hình tốn học cơ sở đầu
tiên về sự phát triển của rừng. Trong đó, Botkin đã nghiên cứu một khu vực khoảng
(100m3 tới 300m3 ) rừng và đưa ra phương trình phát triển cho mỗi cây cùng với sự
tương tác giữa các cây trong khu vực. Tiếp theo vào năm 1983, hai tác giả M.Ya.
Antonovsky và M. D. Korzukhin trong [1] đã đưa ra mơ hình tốn học về rừng
trong đó quan tâm tới mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi. Mơ hình đó sau
này vào năm 1994 đã được các tác giả Yu A. Kuznetsov, M. Ya. Antonovsky, V. N.
Biktashev và A. Aponina trong [4] phát triển thành mơ hình động học rừng theo
cấu trúc tuổi của cây có xét đến sự hình thành và khuếch tán của hạt. Mơ hình động
học rừng do Kuznetsov đưa ra có dạng:

∂u



= β δ w − γ(v)u − f u
trong Ω × (0, ∞),


∂t



 ∂v
= f u − hv
trong Ω × (0, ∞),
(0.1)
∂t

∂
w


= d∆w − β w + αv
trong Ω × (0, ∞),



∂t

 u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x) trong Ω,
0

0

0

trong đó u và v là mật độ cây non và cây già , w là mật độ của hạt trong khơng khí.
Phương trình thứ nhất và thứ hai mô tả sự phát triển của cây; phương trình thứ ba
mơ tả động học của hạt; δ là tỉ lệ nảy mầm của hạt; γ(v) là tỉ lệ chết của cây non; f
là tốc độ phát triển của cây non; h là tỉ lệ chết của cây già; αvà β là tốc độ tạo hạt
của cây già và tỉ lệ lắng đọng của hạt; d là hằng số khuếch tán của hạt.
Mơ hình trên trong trường hợp w thỏa mãn điều kiện biên Neumann đã được
các tác giả Chuan, Tsujikawa, Yagi nghiên cứu. Phương pháp được sử dụng là cơng
cụ nửa nhóm giải tích để nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm tồn cục và tính ổn định
của nghiệm dừng. Các tác giả trên đã chứng minh được sự tồn tại của nghiệm toàn
cục, xây dựng hệ động lực và nghiên cứu sự ổn định của nghiệm dừng thuần nhất.
Sử dụng các kĩ thuật tương tự như trong trường hợp điều kiện biên Neumann, các
tác giả Shirai, Chuan, Yagi đã nghiên cứu mơ hình trên với điều kiện biên Dirichlet
và thu được các kết quả tương tự.
Trong luận văn này, vấn đề được đặt ra là nghiên cứu mơ hình động học rừng với
điều kiện biên hỗn hợp. Tức là biên Γ của Ω được chia làm 2 phần ΓN và ΓD . Đây là
điều kiện biên tổng quát xuất phát từ các điều kiện tự nhiên. Khó khăn gặp phải là
toán tử quạt sinh ra bởi toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên hỗn hợp khơng có
3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


được các tính chất tốt như trong trường hợp điều kiện biên Neumann hoặc Dirichlet.
Do đó bằng cách tiếp cận giống như trong trường hợp điều kiện biên Neumann và
Dirichlet tác giả biến đổi hệ ban đầu về phương trình tiến hóa dạng Parabolic bằng
cách xây dựng tốn tử quạt là sự kết hợp giữa toán tử Laplace với điều kiện biên hỗn
hợp. Từ đó chỉ ra sự tồn tại của nghiệm toàn cục và xây dựng hệ động lực cho mơ

hình ban đầu.
Nội dung của luận văn là trình bày một số kết quả nghiên cứu mơ hình động học
rừng (0.1) với điều kiện biên hỗn hợp. Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương:
• Chương 1 của luận văn gồm những khái niệm và kết quả trong giải tích hàm
liên quan đến khơng gian Holder, khơng gian Sobolev, tốn tử quạt, phương
trình vi phân tuyến tính cấp một trong khơng gian Banach, phương trình tiến
hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, các định lý và kết quả
cơ bản liên quan tới luận văn. Chương này được trình bày dựa trên tài liệu
[6].
• Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Ở chương này tác giả nghiên cứu
bài toán (0.1) với điều kiện biên hỗn hợp. Cụ thể tác giả chỉ ra sự tồn tại duy
nhất nghiệm không âm của nghiệm địa phương và sự tồn tại nghiệm toàn
cục. Cuối cùng xây dựng tập hút cho hệ động lực sinh bởi (0.1).
Do thời gian thực hiện luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên khi làm
luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự
góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm
ơn!
Hà Nội, ngày 12 tháng 08 năm 2017
Học viên

Đinh Thị Thu

4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


BẢNG KÍ HIỆU
Dưới đây là một số kí hiệu thường xuyên sử dụng trong luận văn:

C(Ω) := { f : Ω → C liên tục trong Ω}.
Cm (Ω) := { f : Ω → C : Dα f ∈ C(Ω), ∀α : |α| ≤ m} với m ≥ 1.
L(X,Y ) : { f : X → Y thỏa mãn f tuyến tính liên tục}.
| f (x)| p dx < ∞} với p ≥ 1.

L p (Ω) := { f : Ω → C đo được sao cho
Ω

L p,loc (Ω) := { f ∈ L p (Ω ),

∀Ωcompact ⊂ Ω}.

5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, ta đi xây dựng cơ sở lý thuyết nhằm tiếp cận bài toán mơ
hình động học rừng với điều kiện biên hỗn hợp. Cụ thể, ta hệ thống lại các kiến thức
về một số khơng gian hàm, tốn tử quạt, đồng thời nhắc lại các kết quả của phương
trình vi phân tuyến tính cấp một trong khơng gian Banach, phương trình tiến hóa
tuyến tính.

1.1.

Những khơng gian hàm cơ bản

1.1.1.

Khơng gian Holder

Cho Ω ⊂ R là một tập mở và 0 < γ ≤ 1.
Định nghĩa 1.1. Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục Holder bậc γ nếu tồn tại
hằng số C > 0 sao cho
|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ ,

x, y ∈ Ω.

Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz. Kí hiệu không gian các hàm liên
tục Holder bậc γ là C0,γ (Ω).
b) Nửa chuẩn Holder bậc gamma của u ∈ C0,γ (Ω) là
[u]C0,γ (Ω) := sup

x=y
x,y∈Ω

|u(x) − u(y)|
.
|x − y|γ

6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Định nghĩa 1.2. Không gian Holder Ck,γ (Ω) là không gian các hàm u : Ω → R sao
cho các đạo hàm riêng cấp k của nó bị chặn và liên tục Holder bậc γ với chuẩn xác

định như sau:
u

Ck,γ (Ω)

:=

∑

Dα u

C(Ω) +

|α|≤k

1.1.2.

∑ [Dα u]C0,γ (Ω) .

|α|=k

Khơng gian Holder có trọng

Cho X là không gian Banach với chuẩn . , [a, b] ⊂ R, với hai số mũ 0 < σ <
β ≤ 1, ta định nghĩa không gian hàm Holder liên tục có trọng Fβ ,σ ((a, b]; X) như
sau:
Định nghĩa 1.3. Không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) bao gồm các hàm liên tục F : (a, b] →
X (hay F : [a, b] → X ) khi 0 < β < 1 (khi β = 1) thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) Với β < 1, (t − a)1−β F(t) có giới hạn khi t → a.
(2) F là hàm liên tục Holder với số mũ σ và với trọng (s − a)1−β +σ , cụ thể là

(s − a)1−β +σ F(t) − F(s)
sup
(t − s)σ
a≤s(s − a)1−β +σ F(t) − F(s)
= sup sup
< ∞.
(t − s)σ
a≤t≤b a≤s
(1.1)

(s − a)1−β +σ F(t) − F(s)
→ 0.
(t − s)σ
a≤s
(1.2)

(3) Khi t → a,
ωF (t) = sup

Không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) được trang bị chuẩn
F

F β ,σ

1−β

= sup (t − a)

a≤t≤b

(s − a)1−β +σ F(t) − F(s)
F(t) + sup
. (1.3)
(t − s)σ
a≤s
Với chuẩn trên, không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) trở thành một không gian Banach.
Phần dưới đây, ta nhắc lại một số kết quả đã biết trong không gian Sobolev.

1.1.3.

Không gian Sobolev

Để định nghĩa lớp các không gian Sobolev ta nhắc lại khái niệm đạo hàm yếu
của một hàm trong không gian L1,loc (Ω).
7

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Định nghĩa 1.4. Xét hàm u ∈ L1,loc (Ω), ta nói rằng hàm v ∈ L1,loc (Ω) là đạo hàm
yếu của u theo biến x j , kí hiệu v = D j u, nếu
vϕdx = −
Ω

u
Ω

∂ϕ
dx,
∂xj

với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω). Tương tự, đạo hàm cấp α của u được kí hiệu bởi Dα u là hàm
thuộc khơng gian L1,loc (Ω) thỏa mãn
Dα uϕdx = (−1)|α|
Ω

uDα ϕdx,
Ω

với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω).
Định nghĩa 1.5. Không gian W k,p (Ω) là không gian hàm được xác định như sau
W k,p (Ω) := {u ∈ L p (Ω) : Dα u ∈ L p (Ω), ∀0 ≤ |α| ≤ k},
với chuẩn
u

W k,p

=

Dα u

∑

p
Lp

1

p

.

0≤|α|≤k

Trong trường hợp p = 2, kí hiệu W k,2 (Ω) là không gian H k (Ω). Không gian H k (Ω)
là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng và chuẩn được xác định như sau
< u, v >H k =

(Dα u, Dα v)L2 .

∑
0≤|α|≤k

1/2

u

Hk

=

Dα u

∑

2
L2

.

0≤α≤k
o

Định nghĩa 1.6. Không gian H k (Ω) là bao đóng của khơng gian C0∞ (Ω) trong
H k (Ω).
Định lý 1.1. (Định lý nhúng Sobolev) Cho Ω là một miền bị chặn có biên thuộc lớp
Ck trong Rn và giả sử u ∈ H k (Ω). Khi đó
n
i) Nếu k < thì u ∈ L2n/(n−2k) (Ω) và tồn tại hằng số C sao cho
2
u L2n/(n−2k) (Ω) ≤ C u H k (Ω) .
n
ii) Nếu k = thì u ∈ L p (Ω) (1 ≤ p ≤ ∞) và với mỗi p tồn tại một hằng số
2
C = C(p) sao cho
u L p (Ω) ≤ C u H k (Ω) .
8

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


iii) Nếu k > j +

n
thì u ∈ C j (Ω) và tồn tại hằng số C sao cho
2
u

1.2.

Toán tử quạt

1.2.1.

Toán tử quạt

C j (Ω)

≤C u

H k (Ω) .

Định nghĩa 1.7. Cho X,Y là hai không gian Banach, A : D(A) ⊂ X → Y , trong đó
D(A) là miền xác định của tốn tử A.
• Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X.
• Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X ×Y thì A được gọi là tốn tử đóng,
tức là:
GA = {(x, y) : x ∈ D(A), y = Ax} là tập đóng.
Định nghĩa 1.8. Cho A là tốn tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong khơng
gian Banach X. Khi đó ta có các định nghĩa sau:
• Tập giải ρ(A) = {λ ∈ C : (λ − A)−1 ∈ L(X)}.
• Nếu λ ∈ ρ(A) thì R(λ ) = (λ − A)−1 được gọi là giải thức.
• Tập phổ của A là σ (A) = C\ρ(A).
Định nghĩa 1.9. Cho X là một không gian Banach với chuẩn . . Giả sử A là một
tốn tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong X và phổ của A chứa trong một miền
quạt mở, cụ thể là
σ (A) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |arg λ | < ω} ,

0 < ω ≤ π,

(1.4)

đồng thời với mỗi giá trị chính quy λ của A, ta có ước lượng sau
(λ − A)−1 ≤

M
,
|λ |

λ∈
/ Σω ,

(1.5)

với hằng số M ≥ 1. Khi đó tốn tử A được gọi là tốn tử quạt trên X.
Ký hiệu ωA là góc nhỏ nhất thỏa mãn (1.4) và (1.5). Khi đó, ωA được gọi là góc
của tốn tử quạt A.

9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


1.2.2.

Hàm mũ của toán tử quạt

Trong luận văn này, ta ln xét A là một tốn tử quạt trong khơng gian Banach

X với góc 0 ≤ ωA < π2 và ω là góc sao cho ωA < ω < π2 . Khi đó ta có
σ (A) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |arg λ | < ω} ,
và
(λ − A)−1 ≤

M
,
|λ |

(1.6)

λ∈
/ Σω .

(1.7)

Tốn tử −A sinh ra nửa nhóm giải tích e−zA trên X (xem [6, Chương 2]), được
xác định bởi cơng thức tích phân sau
e−zA =

1
2πi

e−zλ (λ − A)−1 dλ ,

z ∈ Σ π −ω ,
2

Γ

trong đó Γ là một đường cong vô hạn nằm trong ρ(A) và bao quanh σ (A) theo định
hướng ngược chiều kim đồng hồ. Tích phân này hội tụ trong L(X).
Hàm e−tA là hàm hạn chế của e−zA trên (0, ∞), được xác định bởi công thức
e−tA =

1
2πi

e−tλ (λ − A)−1 dλ ,

0 < t < ∞.

Γ

Họ các toán tử e−tA được gọi là hàm mũ sinh bởi −A.
Mệnh đề 1.1 ([6], Mệnh đề 2.5). Với mỗi φ sao cho 0 < φ <
mũ dương δφ > 0 và một hằng số Cφ > 0 sao cho

π
2

− ω, tồn tại một số

e−zA ≤ Cφ e−δφ |z| , z ∈ Σφ − {0} .
Phần tiếp theo trình bày về lũy thừa của tốn tử quạt.

1.2.3.

Hàm lũy thừa của toán tử quạt

Với mỗi số phức z sao cho Rez > 0, ta định nghĩa
A−z =

1
2πi

λ −z (λ − A)−1 dλ ,
Γ

trong đó Γ là đường cong bao quanh σ (A) theo định hướng ngược chiều kim đồng
hồ nằm trong (C\(∞, 0]) ∩ ρ(A). Khi đó A−z là một hàm giải tích với Rez > 0 và
hàm này nhận giá trị trong L(X).
10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Định nghĩa At với t ∈ R như sau:
a) Khi t = 0, A0 ≡ I.
b) Khi −∞ < t ≤ 0, At ∈ L(X).
c) Khi t > 0, At = (A−t )−1 là khả nghịch và D(At ) trù mật trong X. Hơn nữa,
với 0 < t1 ≤ t2 thì D(At2 ) ⊂ D(At1 ). Ngồi ra, D(At ) có thể được xác định bằng
cách nội suy khơng gian, cụ thể như sau:
D(As ) = [D(As1 ), D(As2 )]θ
với 0 ≤ θ ≤ 1 và s = s1 (1 − θ ) + s2 θ . Ta có các tính chất sau của tốn tử lũy thừa
và tốn tử mũ:
Với mỗi 0 < φ < π2 , khi z → 0 với z ∈ Σφ − {0}, A−z hội tụ mạnh tới 1 trong X
(xem [6, Định lý 2.21]).
Đặc biệt, với 0 < θ < 1, Aθ là một tốn tử quạt của X với góc quạt ≤ θ ωA . Hơn
nữa Aθ thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng sau

Aθ U ≤ C AU

θ

U

1−θ

U ∈ D(A)

,

trong đó C là hằng số phụ thuộc θ .
Ta có
1
Aθ e−tA = e−tA Aθ =
λ θ e−tλ (λ − A)−1 dλ
2πi Γ
π
trong đó ωA < ω < . Ta có đánh giá chuẩn của Aθ e−tA như sau
2
Aθ e−tA ≤ Ct −θ ,

0 < t < ∞, 0 < θ < ∞.

Hơn nữa
A−z < ∞.

sup

(1.8)

|arg z|<φ ,0<|z|<1

Cho 0 < θ ≤ 1, ta có
t

e−tA − 1 A−θ ≤
0

A1−θ e−τA dτ ≤ Cθ

t
0

τ θ −1 dτ ≤ Cθ t θ ,

0 < t < ∞.
(1.9)

Mặt khác, với mọi 0 < θ ≤ 1, khi t → 0,
t θ Aθ e−tA

hội tụ mạnh tới 0 trên X.

(1.10)

Đồng thời, với mỗi 0 < θ ≤ 1, khi t → 0 thì
t −θ e−tA − 1 A−θ

hội tụ mạnh tới 0 trong X .

(1.11)

11

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Định lý 1.2 ([6], Định lý 2.27). Cho 0 < β ≤ 1 và U0 ∈ D(Aβ ). Khi đó, với mọi σ
sao cho 0 < σ < β ≤ 1 và mọi 0 < T < ∞, ta có
Ae−tAU0 ∈ Fβ ,σ ((0, T ] ; X)
và ước lượng
Ae−tAU0

1.2.4.

F β ,σ ((0,T ];X)

≤ CT Aβ U0

X

.

Xấp xỉ Yosida

Định nghĩa 1.10. Cho A là một toán tử quạt của X với góc ωA . Ta xác định dãy An
của các tốn tử tuyến tính bị chặn trên X bởi cơng thức
An = A(1 + n−1 A)−1 = n − n2 (n + A)−1 , n = 1, 2, 3, ...

Dãy {An }n=1,2,3,... được gọi là Xấp xỉ Yosida của A.
Giả sử An là xấp xỉ Yosida của A. Khi đó An là các tốn tử quạt, đồng thời ta có
ước lượng
Aθn e−tAn ≤ Ct −θ ,
0 < t < ∞,
0 < θ < ∞.
(1.12)
và
Aθn e−tAn → Aθ e−tA

trong L(X) 0 < t < ∞,

0 < θ < ∞.

(1.13)

1.3.

Toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính

1.3.1.

Cặp khơng gian liên hợp

Cho X, X ∗ là hai không gian Banach trên C với chuẩn tương ứng là . X và
. X ∗ . Ánh xạ nhận giá trị phức ., . xác định trên khơng gian tích X × X ∗ được gọi
là dạng nửa song tuyến tính nếu ., . thỏa mãn
i. αu1 + β u2 , v = α u1 , v + β u2 , v , α, β ∈ C; u1 , u2 ∈ X; v ∈ X ∗ ,
ii. u, αv1 + β v2 = α u, v1 + β u, v2 , α, β ∈ C; u ∈ X; v1 , v2 ∈ X ∗ .
Hơn nữa, dạng nửa song tuyến tính ., . trên X × X ∗ được gọi là tích đối ngẫu nếu

nó thỏa mãn
i) | U, Φ | ≤ U

Φ ,

với mọi

U ∈ X, Φ ∈ X ∗ ,
12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


ii)

U = sup

iii)

Φ = sup

Φ ≤1 |
U ≤1 |

U, Φ |,

với mọi

U ∈ X,

U, Φ |,

với mọi

Φ ∈ X ∗.

Khi đó {X, X ∗ } được gọi là một cặp khơng gian liên hợp với tích đối ngẫu là ., . .
Cho X, X ∗ là cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu ., . . Với mỗi G ∈ X ∗ ,
., G là hàm tuyến tính liên tục trên X. Kí hiệu X là khơng gian gồm các phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên X, ta xét tương ứng
J : X∗
G

→X
→ JG

được xác định bởi
(JG)(F) = F, G ,

∀ F ∈ X.

(1.14)

Ta có
JG
G

X

= sup (JG)(F) = sup | F, G | ≤ G

X∗

= sup | F, G | = sup (JG)(F) ≤ JG

F X ≤1

X∗ ,

G ∈ X ∗,

,

G ∈ X∗

F X ≤1

F X ≤1

F X ≤1

X

Do đó J là phép nhúng bảo tồn chuẩn từ X ∗ vào X . Khi đó ta có kết quả sau
Định lý 1.3 ([6], Định lý 1.17). Cho X là không gian Banach phản xạ và X, X ∗ là
cặp khơng gian liên hợp với tích đối ngẫu ., . . Khi đó phép nhúng J : X ∗ → X
được xác định bởi (1.14) là một đẳng cấu. Do đó với mỗi Φ ∈ X thì tồn tại duy nhất
G ∈ X ∗ sao cho
Φ X = G X∗
và

Φ(F) = F, G

1.3.2.

∀F ∈ X.

Bộ ba không gian

Xét (Z, ((., .))), (X, (., .)) là hai không gian Hilbert thỏa mãn Z nhúng liên tục
và trù mật trong X.
Định nghĩa 1.11. Giả sử tồn tại không gian Banach Z ∗ thỏa mãn các điều kiện sau
i) Z ⊂ X ⊂ Z ∗ nhúng liên tục và trù mật.
13

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


ii) (Z, Z ∗ ) là cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu ., .

Z,Z ∗ .

iii) Tích đối ngẫu trên thỏa mãn tính chất z, x = (z, x) với mọi z ∈ Z, x ∈ X. Khi
đó ba khơng gian Z ⊂ X ⊂ Z ∗ được gọi là bộ ba không gian.
Cho Z ⊂ X ⊂ Z ∗ là một bộ ba không gian. Giả sử a : Z × Z → C là dạng nửa
song tuyến tính, tức là a thỏa mãn các điều kiện sau
i) a(αu1 + β u2 , v) = αa(u1 , v) + β a(u2 , v),

α, β ∈ C; u1 , u2 , v ∈ Z,

ii) a(u, αv1 + β v2 ) = αa(u, v1 ) + β a(u, v2 ),

α, β ∈ C; u, v1 , v2 ∈ Z.

Hơn nữa giả sử a(., .) liên tục, tức là tồn tại số M ≥ 0 sao cho
|a(u, v)| ≤ M u

v ,

∀u, v ∈ Z,

(1.15)

với mỗi u ∈ Z ta có a(u, .) là hàm tuyến tính liên tục trên Z. Do đó theo Định lý 1.3
thì tồn tại duy nhất Φ ∈ Z ∗ sao cho
a(u, v) = v, Φ

∀v ∈ Z

Z×Z ∗

nghĩa là
∀v ∈ Z.

a(u, v) = Φ, v
Khi đó ánh xạ
A:

Z
u

→ Z∗
→Φ

là một tốn tử tuyến tính và A được gọi là tốn tử tuyến tính liên kết với dạng nửa
song tuyến tính a(u, v). Khi đó
a(u, v) = Au, v ,

u, v ∈ Z

(1.16)

Mặt khác, ta có
Au

Z∗

= sup | Au, v | = sup |a(u, v)| ≤ sup M u
v ≤1

v ≤1

v =M u

Z

v ≤1

nên tốn tử A liên tục và A ≤ M.
Ta nói a(., .) thỏa mãn điều kiện bức nếu
Rea(u, u) ≥ δ u 2 ,

u ∈ Z.

(1.17)

trong đó δ > 0 là hằng số.
14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Định lý 1.4 ([6], Định lý 1.24). Cho dạng nửa song tuyến tính a(u, v) thỏa mãn
điều kiện (1.15), (1.17) và A là toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính a(u, v).
Khi đó A là một đẳng cấu từ Z vào Z ∗ và là một toán tử tuyến tính đóng, xác định
trù mật trong Z ∗ .
Xét hạn chế của A trên X, Z, ký hiệu là A|X , A|Z được xác định như sau:
D(A|X ) = {u ∈ Z, Au ∈ X}
A|X u = Au,
và
D(A|Z ) = {u ∈ Z, Au ∈ Z}
A|Z u = Au.
Ta có tốn tử A, A|X , A|Z là các tốn tử tuyến tính, đóng và xác định trù mật trong
Z ∗ , X, Z.
Với mỗi Reλ ≤ 0 ta có dạng nửa song tuyến tính
a(u, v) − λ (u, v),

u, v ∈ Z

là liên tục và thỏa mãn điều kiện bức trên Z. Do đó, A − λ là một phép đẳng cấu từ
Z vào Z ∗ . Với Reλ ≤ 0 ta có một số ước lượng liên quan đến tập giải (λ − A)−1 như

sau
|λ | (λ − A)−1 Φ ∗ ≤ (Mδ −1 + 1) Φ ∗ , Φ ∈ Z ∗ ,
|λ ||(λ − A)−1 F| ≤ (Mδ −1 + 1) F ,

F ∈ X,

|λ | (λ − A)−1U ≤ (Mδ −1 + 1) U ,

U ∈ Z.

Từ các ước lượng này ta có kết quả sau
Định lý 1.5 ([6], Định lý 2.1). Cho a(u, v) là một dạng nửa song tuyến tính trên
Z thỏa mãn điều kiện (1.15), (1.17). Khi đó, tốn tử A liên kết với dạng nửa song
tuyến tính a(u, v) và các hạn chế A|X , A|Z là các toán tử tuyến tính thỏa mãn điều
M+δ
π
. Tức là các tốn tử A, A|X , A|Z là
kiện (1.4), (1.5) với góc ω = và hằng số
2
δ
π
toán tử quạt trên Z ∗ , X, Z với các góc phổ nhỏ hơn .
2

15

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


1.4.

Toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên hỗn
hợp

Cho Ω ⊂ Rn là một miền bị chặn với biên Lipschitz. Giả sử biên ∂ Ω chia thành
ΓD và ΓN thỏa mãn ∂ Ω = ΓD ∪ ΓN , ΓD ∩ ΓN = 0/ và ΓD là tập mở khác rỗng của ∂ Ω.
Đặt
Z

0
= HD1 (Ω) = {u

∈ H 1 (Ω) : u = 0

trên ΓD }.

Xét bộ ba không gian Z ⊂ L2 (Ω) ⊂ Z∗ và dạng nửa song tuyến tính trên Z là
a : Z × Z → C xác định bởi
n

a(u, v) =

ai j (x)Di uD j vdx +

∑

c(x)uvdx,

u, v ∈ Z.

(1.18)

Ω

i, j=1 Ω

Trong đó ai j (1 ≤ i, j ≤ n) là các hàm nhận giá trị thực trong Ω thỏa mãn điều kiện
ai j ∈ L∞ (Ω),

1 ≤ i, j ≤ n,

(1.19)

n

∑

ai j ζi ζ j ≥ δ |ζ |2 ,

(ζ ∈ Rn , δ > 0),

(1.20)

i, j=1

và c(x) là hàm giá trị thực trong Ω thỏa mãn
c(x) ∈ L∞ (Rn ) và c(x) ≥ c0 > 0 hầu khắp nơi trên Ω.

(1.21)

Ta có a(u, v) là dạng nửa song tuyến tính liên tục trên Z. Gọi A là toán tử liên kết
với dạng nửa song tuyến tính a(u, v), khi đó A thỏa mãn
Au, v = a(u, v).
Do đó, A là tốn tử xác định bởi
Au = −

n

∑

D j [ai j (x)Di u] + c(x)u.

(1.22)

i, j=1

với miền xác định D(A) trù mật trong Z ∗ . Hơn nữa nếu u ∈ D(A) thì
u = 0 trên ΓD

và

∂u
= 0 trên ΓN .
∂ νA

16

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Định lý 1.6 ([6],Định lý 2.5). Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz. Giả sử ta
có các giả thiết (1.19), (1.17), (1.21). Khi đó tốn tử A liên kết với dạng (1.18) và
π
các hạn chế A|L2 (Ω) , A| 0
thỏa mãn (1.4), (1.5) với góc ω = và hằng số M
2
HD1 (Ω)
được xác định bởi ai j L∞ , c L∞ , δ , c0 . Tức là các toán tử A, A|L2 (Ω) , A| 0
là
toán tử quạt trong

0
HD1 (Ω)

HD1 (Ω)

∗

0

, L2 (Ω), HD1 (Ω) với các góc phổ nhỏ hơn

π
.
2

0
HD1 (Ω)

Chú ý 1.1. Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz. Khi Z =

thì điều
kiện bức (1.17) có được nhờ sử dụng tính dương của hàm c(x). Từ bất đẳng thức
0

Poincare ta có u L2 ≤ C ∇u L2 với mọi u ∈ HD1 (Ω). Do đó từ (1.20) và điều kiện
c(x) ≥ 0 ta thu được điều kiện (1.17).
Hơn nữa, ta cịn có kết quả sau:
Định lý 1.7 ([6], Định lý 2.10). Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz được tách
như sau ∂ Ω = ΓD ∪ ΓN , ΓD ∩ ΓN = 0/ và ΓD là tập mở khác rỗng của ∂ Ω. Giả sử ta
có các giả thiết (1.19), (1.17), (1.21) và hai điều kiện sau:
|B(x0 , R) ∩ ΓD | ≥ γ.Rn−1 , ∀x0 ∈ ΓD ,

(1.23)

|B(x0 , R) ∩ Ω| ≥ γ.Rn , ∀x0 ∈ ΓN , B(x0 , R) ∩ ΓD = 0,
/

(1.24)

trong đó γ là hằng số, B(x0 , R) là hình cầu mở tâm x0 ∈ ∂ Ω bán kính R > 0. Khi
đó, tồn tại p > 2 sao cho hạn chế A|L2 của tốn tử liên kết với dạng (1.18) trong
0
HD1 (Ω)

có miền xác định thỏa mãn
D(A|L2 ) ⊂ Wp1 (Ω).

Hơn nữa ta có ước lượng
u

Wp1 (Ω)

≤ C( A|L2 u

L2

+ u

L2 ).

Trong bài tốn này ta xét dạng nửa song tuyến tính với ai j = δi j ; c(x) = 0. Ta có
a(u, v) =

∇u∇vdx

(u, v

0
∈ HD1 ).

Ω

Khi đó, tốn tử liên kết với a(u, v) là
n

Au = − ∑ D2i u = −∆u.
i=1

17

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Ta có A là tốn tử quạt trên HD−1 (Ω) . Đặt Λ = A|L2 . Khi đó, miền xác định của
toán tử Λ1/2 trùng với Z (xem [6, Định lý 2.34]), tức là
D(Λ

1/2

Hơn nữa, với

0
) = HD1 .

1
< η < 1 thì
2

D(Λη ) = [D(Λ1/2 ), D(Λ)]2η−1
⊂ [H 1 (Ω),Wp1 (Ω)]2η−1
⊂ [L p (Ω),Wp1 (Ω)]2η−1 = [Wp0 (Ω),Wp1 (Ω)]2η−1 = Wp2η−1 .
Theo Định lý nhúng Sobolev ta thấy nếu 2η − 1 >

1 1
2
↔ η > + thì ta có
p
p 2

D(Λη ) ⊂ Wp2η−1 ⊂ C(Ω) ⊂ L∞ (Ω)

1.5.

Phương trình tiến hóa

Phương trình tiến hóa tuyến tính
Ta xét bài toán giá trị ban đầu

 dU
+ AU = F(t),
dt
 U(0) = U

0
(1.25)

0

trong khơng gian Banach X. Trong đó 0 < T < ∞ là thời gian cho trước, A là một
tốn tử quạt trong X với góc ωA < π2 . Hàm F ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X) với 0 < σ < β ≤ 1.
Giá trị ban đầu U0 được lấy trong X.
Định lý 1.8 ([6], Định lý 3.4). Cho A thỏa mãn (1.6) và (1.7). Với mỗi hàm F ∈
Fβ ,σ ((0, T ]; X), với 0 < σ < β ≤ 1 và với bất kỳ giá trị ban đầu U0 ∈ X, luôn tồn
tại duy nhất một nghiệm U của (1.25) nằm trong không gian hàm
U ∈ C([0, T ] ; X) ∩ C((0, T ]; D(A)) ∩ C1 ((0, T ]; X)

(1.26)

và thỏa mãn ước lượng

U(t) + t

dU
(t) + t AU(t) ≤ C( U0 + F
dt

F β ,σ ),

0 ≤ t ≤ T. (1.27)

18

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Hơn thế nữa, nghiệm U được xác định theo công thức
t

U(t) = e−tAU0 +

e−(t−τ)A F(τ)dτ,

0 ≤ t ≤ T.

(1.28)

0

Khi giá trị ban đầu U0 thuộc D(Aβ ), ta có thể chứng minh được tính chất tốt
hơn của nghiệm.

Định lý 1.9 ([6], Định lý 3.5). Cho F ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X) với 0 < σ < β ≤ 1, và cho
U0 ∈ D(Aβ ). Khi đó, nghiệm U của (1.25) có các tính chất sau:
Aβ U ∈ C((0, T ]; X),

(1.29)

dU
, AU ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X),
dt

(1.30)

với các ước lượng
Aβ U
dU
dt

C

≤C

+ AU
F β ,σ

F β ,σ

Aβ U0 + F
≤C

F β ,σ

Aβ U0 + F

,

(1.31)
F β ,σ

.

(1.32)

Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính
Cho X là một khơng gian Banach với chuẩn . . Ta xét bài toán Cauchy cho
phương trình nửa tuyến tính như sau

 dU
+ AU = F(U) + G(t),
0 < t ≤ T,
(1.33)
dt
 U(0) = U ,
0

trong X. Trong đó, A là một tốn tử quạt trên X thỏa mãn (1.6) và (1.7), F là một
toán tử phi tuyến đi từ D(Aη ) vào X, với
0 ≤ η < 1.

(1.34)

Giả sử rằng F thỏa mãn điều kiện Lipschitz
F(U) − F(V ) ≤ ϕ( U + V ) [ Aη (U −V ) + ( Aη U + Aη V ) (U −V ) ] ,
(1.35)
η
trong đó U,V ∈ D(A ) và ϕ(.) là một hàm liên tục tăng. Từ (1.35), ta suy ra F thỏa
mãn ước lượng sau
F(U) ≤ ψ( U )( Aη U + 1),

U ∈ D(Aη ),

(1.36)

19

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


với ψ(ξ ) = F(0) +ϕ(ξ )(ξ +1). Hàm G(t) được cho trong không gian Fβ ,σ ((0, T ]; X),
0 < σ < β.
Định lý 1.10 ([6], Định lý 4.4). Cho A là toán tử quạt thỏa mãn (1.6), (1.7) và F
thỏa mãn (1.35), (1.34). Khi đó, với mỗi hàm G ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X), 0 < σ < β ≤
1 − η, và bất kỳ U0 ∈ X, (1.33) có duy nhất một nghiệm địa phương U thuộc không
gian hàm
U ∈ C([0, TG,U0 ]; X) ∩C1 ((0, TG,U0 ]; X),
trong đó TG,U0 > 0 chỉ phụ thuộc vào G
lượng
U(t) + t

F β ,σ

AU ∈ C((0, TG,U0 ]; X),

và U0 . Hơn nữa, U thỏa mãn ước

dU
(t) + t AU(t) ≤ CG,U0 ,
dt

với hằng số CG,U0 > 0 phụ thuộc vào G

F β ,σ

(1.37)

0 ≤ t ≤ TG,U0 ,

(1.38)

và U0 .

20

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Chương 2

Mơ hình động học rừng với
điều kiên biên hỗn hợp
Trong chương này ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương, nghiệm tồn

cục của bài tốn mơ hình động học rừng với điều kiện biên hỗn hợp. Phần cuối
chương ta kiểm tra tính liên tục của nghiệm và xây dựng hệ động lực cho mơ hình
này.
Xét mơ hình động lực rừng với điều kiện biên hỗn hợp

∂u


= β δ w − γ(v)u − f u
trong Ω × (0, ∞),



∂t


∂v


= f u − hv
trong Ω × (0, ∞),



∂t

 ∂w
= d∆w − β w + αv
trong Ω × (0, ∞), (2.1)
∂t




u=v=w=0
trên ΓD × (0.∞),




∂w


=0
trên ΓN × (0.∞),



∂n

 u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x) trong
Ω,
0

0

0

trong đó Ω là khu vực rừng có thể phát triển và Ω ⊂ R2 là một miền bị chặn với biên
Lipschitz. Giả sử biên ∂ Ω chia thành ΓD và ΓN thỏa mãn ∂ Ω = ΓD ∪ ΓN , ΓD ∩ ΓN =
0/ và ΓD là tập mở khác rỗng của ∂ Ω. Các hàm u(x,t) và v(x,t) lần lượt là mật độ

cây non và mật độ cây trưởng thành vị trí x ∈ Ω và tại thời điểm t ∈ [0, ∞). Hàm
w(x,t) là mật độ hạt trong khơng khí tại x ∈ Ω và tại t ∈ [0, ∞). Phương trình đầu
tiên thể hiện sự phát triển của các cây non; phương trình thứ hai thể hiện sự phát
21

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


triển của các cây trưởng thành; phương trình thứ ba thể hiện sự khuếch tán của các
hạt trong khơng khí; d > 0 là hằng số khuếch tán của hạt, và α > 0 và β > 0 lần
lượt là tỉ lệ hạt được tạo ra và số hạt rơi xuống đất. Trong khi đó, 0 < δ ≤ 1 là tỉ lệ
hạt nảy mầm, γ(v) > 0 là tỉ lệ chết của cây non, phụ thuộc vào tỉ lệ cây trưởng thành
v, f > 0 là tỉ lệ cây non phát triển thành cây trưởng thành, và h > 0 là tỉ lệ chết của
cây trưởng thành. Hàm γ(v) xác định bởi γ(v) = a(v − b)2 + c, với a > 0, b > 0 và
c > 0. Hàm w là mật độ hạt trong khơng khí, được xác định trên toàn Ω. Các hàm
giá trị ban đầu không âm u0 (x) ≥ 0, v0 ≥ 0 và w0 ≥ 0 được lấy trong Ω.

2.1.

Nghiệm địa phương

Trước tiên, ta xét khơng gian nền của bài tốn (2.1)
X = (u, v, w)t : u ∈ L∞ (Ω), v ∈ L∞ (Ω) và w ∈ L2 (Ω)

(2.2)

và không gian giá trị ban đầu
K = (u, v, w)t

với 0 ≤ u, v ∈ L∞ (Ω); 0 < w ∈ L2 (Ω) .

Ta viết lại (2.1) thành bài toán Cauchy của một phương trình tiến hóa

 dU
+ AU = F(U),
0dt
 U(0) = U ,

(2.3)

0

trong X. Ở đây A là toán tử tuyến tính trên X xác định bởi A = diag { f , h, Λ},
D(A) = (u, v, w)t : u ∈ L∞ (Ω), v ∈ L∞ (Ω) và w ∈ D(Λ) ,
trong đó Λ là tốn tử liên kết với −d∆ + β trong L2 (Ω) với điều kiện biên hỗn hợp
(xem mục 1.4). Theo Định lý 1.7 tồn tại p > 2 mà D(Λ) ⊂ Wp1 (Ω).
Toán tử phi tuyến F : D(Aη ) → X được xác định bởi


β δ w − γ(v)u


U = t (u, v, w) ∈ D(Aη ),
F(U) = 
fu
,
αv
trong đó η là số mũ cố định thỏa mãn
D (Aη ) =

t

1 1
+ < η < 1 và
p 2

(u, v, w) : u, v ∈ L∞ (Ω) và w ∈ D(Λη ) .
22

LUAN VAN CHAT LUONG download : add