Sự tồn tại nghiệm của mô hình chất bán dẫn với điều kiện biên hỗn hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
PHẠM THỊ LIỄU
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ
HÌNH CHẤT BÁN DẪN VỚI
ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY CHUẨN
HÀ NỘI, 2015
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Những không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Không gian H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính . . . . . . . 12
1.2.3 Toán tử quạt trong không gian L
2
. . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.4 Toán tử quạt trong không gian tích . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Mô hình chất bán dẫn 30
2.1 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Sự tồn tại nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Tính không âm của nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . 34
2.2 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Tập hút mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Kết Luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Mở đầu
Trong luận văn này, chúng ta sẽ nghiên cứu mô hình chất bán dẫn được nhà
Vật lý Shockley đưa ra vào năm 1950 để mô tả các dòng electron và lỗ trống
trong chất bán dẫn (xem [10]). Ý nghĩa Vật lý và chi tiết của mô hình này có
thể xem thêm trong tài liệu [6].
Cụ thể, mô hình của Shockley có dạng sau:









∂u
∂t
= a∆u − µ∇.[u∇χ] + f(1 − uv) + g(x) trong Ω ×(0, ∞),
∂v
∂t
= b∆v + ν∇.[v∇χ] + f (1 − uv) + g(x) trong Ω × (0, ∞),
0 = c∆χ − u + v + h(x), trong Ω × (0, ∞).
(1)
Trong đó, các hàm chưa biết u(x, t), v(x, t) là mật độ electron và mật độ lỗ trống
trong thiết bị chất bán dẫn Ω, tại thời điểm t ≥ 0. Số hạng a∆u, b∆v ký hiệu sự

tự khuếch tán của các electron và lỗ trống, trong đó a và b là hệ số khuếch tán
dương. Hàm χ đặc trưng cho điện thế tĩnh điện và được xác định bởi phương
trình Poisson, trong đó c > 0 là hằng số điện môi. Số hạng −µ∇.{u∇χ} và
ν∇.{v∇χ} ký hiệu sự khuếch tán của electron và lỗ trống phụ thuộc vào điện
thế χ, trong đó µ và ν là hệ số khuếch tán của electron và lỗ trống. Với các điều
kiện thích hợp thì các electron và lỗ trống được hình thành với tốc độ f ≥ 0 và
được kết hợp với tốc độ fuv. Các hàm g ≥ 0 và h là các hàm ngoại lực đã biết.
Luận văn bao gồm: phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài liệu
tham khảo.
Chương 1 gồm những khái niệm và kết quả trong Giải tích hàm liên quan
đến không gian H¨older, không gian Sobolev, toán tử quạt. Cuối cùng, chúng ta
trình bày chi tiết định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán tiến hóa nửa
tuyến tính để phục vụ cho nghiên cứu ở chương tiếp theo.
Chương 2 là nội dung chính của luận văn, ở chương này chúng ta sẽ nghiên
cứu bài toán (1) với điều kiện biên hỗn hợp. Cụ thể, trong Mục 2.1 chúng ta
sẽ chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính không âm của nghiệm địa phương.
Sự tồn tại của nghiệm toàn cục sẽ được trình bày trong Mục 2.2 dựa trên một
đánh giá tiên nghiệm. Cuối cùng, chúng ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận
nghiệm của phương trình này. Cụ thể, ở Mục 2.3 chúng ta sẽ xây dựng tập hút
mũ cho hệ động lực được xác định bởi phương trình (2.1). Tập hút mũ là khái
niệm được đưa ra bởi các nhà Toán học Eden, Foias, Nicolaenko, Temam - đó
3
Mở Đầu
là một tập bất biến dương chứa tập hút toàn cục, có số chiều fractal hữu hạn
và hút mọi quỹ đạo với tốc độ mũ. Những nghiên cứu chi tiết về tập hút mũ có
thể xem trong [2].
Các nội dung chính của luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo
[11], [5].
Trong luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những hạn chế và sai sót, tác
giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Thầy Cô và bạn đọc. Qua

đây tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Lê Huy Chuẩn,
người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành
luận văn này.
Hà Nội, 02 tháng 01 năm 2015
Tác giả
Phạm Thị Liễu
4
Bảng ký hiệu
R
n
=

x = (x
1
, x
2
, , x
n
) : x
i
∈ R, i = 1, n

R
n
+
=

x = (x
1
, x

2
, , x
n
) : x
i
∈ R, i = 1, n − 1, x
n
> 0

C([a, b]) := {f : [a, b] → R liên tục trong [a, b]}
C
m
([a, b]) =

f : [a, b] → R : D
α
f ∈ C
0
(Ω), ∀α : |α| ≤ m

C
m
0
([a, b]) := {f ∈ C
m
([a, b]) : giá của f compact trong [a, b]}
C
m,1
(Ω) := không gian các hàm khả vi liên tục m lần và đạo hàm cấp m
liên tục Lipschitz trên Ω

L(X, Y ) =

f : X → Y : f tuyến tính liên tục

L
p
(Ω) =

f : Ω → C :

Ω
|f(x)|
p
dx < +∞

, p ≥ 1
L
∞
(Ω) =

f đo được trên Ω : ess sup
Ω
|f| < +∞

với ess sup
Ω
|f| = inf {k : µ {x ∈ Ω : f(x) > k} = 0}, µ là độ đo Lebesgue trên Ω
L
p
loc

(Ω) =

f đo được trên Ω : f ∈ L
p
(Ω
′
), ∀Ω
′
compact
⊂ Ω

.
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả liên
quan đến không gian H¨older, không gian Sobolev, toán tử quạt thường được
sử dụng khi nghiên cứu các bài toán của phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Chứng minh chi tiết các kết quả này có thể xem trong [11, 9]. Và chúng ta sẽ
trình bày một số kết quả liên quan đến phương trình tiến hóa tuyến tính và nửa
tuyến tính được sử dụng trong chương sau của luận văn. Chúng ta sẽ đưa ra
định lý tồn tại nghiệm của hệ phương trính tiến hóa nửa tuyến tính và trình
bày chi tiết chứng minh của định lý. Những vấn đề khác liên quan đến phương
trình nửa tuyến tính này có thể xem trong [11, Chương 4].
1.1 Những không gian hàm cơ bản
1.1.1 Không gian H¨older
Cho Ω ⊂ R
n
là một tập mở và 0 < γ ≤ 1.
Định nghĩa 1.1. a) Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục H¨older bậc γ nếu

tồn tại hằng số C > 0 sao cho
|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|
γ
, x, y ∈ Ω.
Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz.
b) Cho u : Ω → R bị chặn và liên tục. Ta định nghĩa
∥u∥
C(Ω)
:= sup
x∈Ω
|u(x)|.
c) Nửa chuẩn H¨older bậc γ của u : Ω → R là
[u]
C
0,γ
(Ω)
:= sup
x̸=y
x,y∈Ω
|u(x) − u(y)|
|x − y|
γ
6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
và chuẩn H¨older bậc γ là
∥u∥
C
0,γ
(Ω)
:= ∥u∥

C(Ω)
+ [u]
C
0,γ
(Ω)
.
Định nghĩa 1.2. Không gian H¨older C
k,γ
(Ω) gồm tất cả các hàm số u ∈ C
k
(Ω),
mà chuẩn
∥u∥
C
k,γ
(Ω)
:=

|α|≤k
∥D
α
u∥
C(Ω)
+

|α|=k
[D
α
u]
C

0,γ
(Ω)
là hữu hạn.
Như vậy, không gian C
k ,γ
(Ω) gồm tất cả các hàm số u sao cho các đạo hàm riêng
cấp k của nó bị chặn và liên tục H¨older bậc γ.
Nhận xét: Không gian H¨older C
k,γ
(Ω) là không gian Banach với chuẩn ∥.∥
C
k,γ
(Ω)
.
Không gian hàm liên tục H¨older có trọng F
β,σ
((a, b]; X).
Cho (X, ∥.∥) là không gian Banach, với hai số mũ 0 < σ < β < 1 . Không gian
F
β,σ
((a, b]; X) gồm các hàm liên tục F (t) : (a, b] → X thỏa mãn ba tính chất sau:
(1) (t − a)
1−β
F (t) có giới hạn khi t → a.
(2) F là hàm liên tục H¨older với số mũ σ và trọng (s − a)
1−β+σ
, nghĩa là
sup
a≤s<t≤b
(s − a)

1−β+σ
∥F (t) − F (s)∥
(t − s)
σ
= sup
a≤t≤b
sup
a≤s<t
(s − a)
1−β+σ
∥F (t) − F (s)∥
(t − s)
σ
< ∞.
(3) Khi t → a thì
ω
F
(t) = sup
a≤s<t
(s − a)
1−β+σ
∥F (t) − F (s)∥
(t − s)
σ
→ 0
Không gian F
β,σ
((a, b]; X) cùng với chuẩn
∥F ∥
F

β,σ
= sup
a≤t≤b
(t − a)
1−β
∥F (t)∥ + sup
a≤s<t≤b
(s − a)
1−β+σ
∥F (t) − F (s)∥
(t − s)
σ
là một không gian Banach.
1.1.2 Không gian Sobolev
Không gian Sobolev là một lớp không gian được dùng rất nhiều trong quá
trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng. Để định nghĩa lớp không gian
này, trước tiên chúng ta tìm hiểu khái niệm "đạo hàm yếu" của một phần tử
thuộc không gian L
1
loc
(Ω).
7
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.3. Với một hàm u ∈ L
1
loc
(Ω), ta nói rằng v ∈ L
1
loc
(Ω) là đạo hàm

yếu của u ứng với biến x
j
, ký hiệu v = D
j
u, nếu

Ω
vϕ dx = −

Ω
u
∂ϕ
∂x
j
dx,
với mọi ϕ ∈ C
∞
0
(Ω). Bằng cách quy nạp, chúng ta cũng có thể định nghĩa đạo
hàm yếu cấp cao như sau: nếu u, v ∈ L
1
loc
(Ω) thì v được gọi là đạo hàm yếu cấp
α của u, viết là v = D
α
u, nếu

Ω
D
α

uϕ dx = (−1)
|α|

Ω
uD
α
ϕ dx,
với mọi ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
Định nghĩa 1.4. Không gian Sobolev được định nghĩa như sau
W
k,p
(Ω) =

u : D
α
u ∈ L
p
(Ω), với mọi 0 ≤ | α| ≤ k

,
với chuẩn
∥u∥
W
k,p
=




0≤|α|≤k
∥D
α
u∥
p
L
p


1/p
.
Không gian Sobolev W
k,p
(Ω) được định nghĩa như trên là không gian Banach
khả ly. Trường hợp p = 2, khi đó, H
k
(Ω) = W
k,2
(Ω) là không gian Hilbert với
tích vô hướng được trang bị như sau
⟨u, v⟩
H
k
=

0≤|α|≤k
(D
α
u, D

α
v)
L
2
.
Khi đó, chuẩn của H
k
(Ω) tương ứng với tích vô hướng được xác định bởi công
thức
∥u∥
H
k
=



0≤|α|≤k
∥D
α
u∥
2
L
2


1/2
.
Định nghĩa 1.5. Không gian
o
H

k
(Ω) là bao đóng của không gian C
∞
0
(Ω) trong
H
k
(Ω), ở đây C
∞
0
(Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn lần có giá compact
trong Ω.
Chuẩn của không gian
o
H
1
(Ω) là ∥u∥
o
H
1
=


Ω

|u|
2
+ |∇u|
2


dx

1/2
Định lý 1.1 (Định lý nhúng Sobolev). Cho Ω là một miền bị chặn có biên thuộc
lớp C
k
trong R
m
và giả sử u ∈ H
k
(Ω).
8
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
(i) Nếu k < m/2 thì u ∈ L
2m/(m−2k)
(Ω) và tồn tại một hằng số C sao cho
∥u∥
L
2m/(m−2k)
(Ω)
≤ C∥u∥
H
k
(Ω)
.
(ii) Nếu k = m/2 thì u ∈ L
p
(Ω) với 1 ≤ p < ∞ và với mỗi p tồn tại một hằng số
C = C(p) sao cho
∥u∥

L
p
(Ω)
≤ C∥u∥
H
k
(Ω)
.
(iii) Nếu k > j + (m/2) thì u ∈ C
j
(Ω) và tồn tại một hằng số C sao cho
∥u∥
C
j
(Ω)
≤ C∥u∥
H
k
(Ω)
.
Định lý 1.2 (Định lý compact Rellich-Kondrachov). Cho Ω là một miền bị chặn
có biên thuộc lớp C
1
. Khi đó H
1
(Ω) nhúng compact trong không gian L
2
(Ω).
1.2 Toán tử quạt
1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.6. Cho X, Y là hai không gian Banach, A : D(A) ⊂ X → Y . D(A)
được gọi là miền xác định của toán tử A.
• Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X.
• Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X × Y thì A được gọi là toán tử
đóng, tức là
G
A
= {(x, y) : x ∈ D(A), y = Ax} là tập đóng.
Định nghĩa 1.7. Cho A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trong
không gian Banach X. Kí hiệu
• Tập giải ρ(A) =

λ ∈ C : (λ − A)
−1
∈ L(X)

.
• Nếu λ ∈ ρ(A) thì R(λ) = (λ − A)
−1
được gọi là giải thức.
• Tập phổ của A là σ(A) = C\ρ(A).
Định nghĩa 1.8. Cho X là không gian Banach, A : X → X là toán tử tuyến
tính, đóng, xác định trù mật trên X. Giả sử rằng phổ của A nằm trong miền
hình quạt mở
Σ
ω
:= {λ ∈ C : |arg λ| < ω}, 0 < ω ≤ π, (1.1)
và giải thức thỏa mãn đánh giá
∥(λ − A)
−1

∥ ≤
M
|λ|
, λ ̸∈ Σ
ω
, (1.2)
trong đó hằng số M ≥ 1. Khi đó toán tử A được gọi là toán tử quạt trong X.
9
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Điều kiện (1.1) suy ra gốc O không thuộc σ(A), nghĩa là, A có nghịch đảo bị
chặn A
−1
trên X. Nếu |λ| < ∥A
−1
∥ thì λ ∈ ρ(A) và ta có
∥(λ − A)
−1
∥ ≤
∥A
−1
∥
1 − ∥A
−1
∥|λ|
, |λ| < ∥A
−1
∥. (1.3)
Với mỗi λ
0
= r

0
e
±iω
, r
0
> 0 thì

λ ∈ C : |λ − λ
0
| <
r
0
M

⊂ ρ(A)
với ước lượng
∥(λ − A)
−1
∥ ≤
M
r
0
− M|λ − λ
0
|
, |λ − λ
0
| <
r
0

M
.
Do inf{arg λ : |λ −λ
0
| <
r
0
M
} = sin
−1
1
M
nên với mỗi góc ω
′
thỏa mãn ω−sin
−1
1
M
<
ω
′
< ω, ta có bao hàm thức sau là đúng
σ(A) ⊂ Σ
ω
′
:= {λ ∈ C : |arg λ| < ω
′
} (1.4)
và giải thức thỏa mãn
∥(λ − A)

−1
∥ ≤
M
ω
′
|λ|
, λ ̸∈ Σ
ω
′
(1.5)
với hằng số M
ω
′
≥ M. Ví dụ có thể chọn M
ω
′
=
M cos(ω − ω
′
)
1 − M sin(ω − ω
′
)
. Vậy nếu
σ(A) ⊂ Σ
ω
thì tồn tại ω
′
< ω sao cho σ(A) ∈ Σ
ω

′
.
Định nghĩa 1.9. Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X. Kí hiệu
ω
A
= inf
ω
{σ(A) ⊂ Σ
ω
}
được gọi là góc của toán tử quạt A. Khi đó, với mọi góc ω thỏa mãn ω
A
< ω ≤ π
thì tồn tại M
ω
> 1 sao cho
(λ − A)
−1
≤
M
ω
|λ|
, ∀λ /∈ Σ
ω
.
Hàm mũ của toán tử quạt
Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X với góc 0 ≤ ω
A
<
π

2
và
thỏa mãn các điều kiện
σ(A) ⊂ Σ
ω
= {λ ∈ C : |arg λ| < ω}, ω
A
< ω <
π
2
, (1.6)
và
∥(λ − A)
−1
∥ ≤
M
ω
|λ|
, λ /∈ Σ
ω
, ω
A
< ω <
π
2
. (1.7)
10
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Ta định nghĩa họ các toán tử tuyến tính bị chặn e
−tA

bởi tích phân Dunford
trong L(X) như sau
e
−tA
=
1
2πi

Γ
e
−tλ
(λ − A)
−1
dλ, 0 < t < ∞, (1.8)
trong đó Γ là đường cong nằm trong ρ(A) bao quanh σ(A) theo chiều dương.
Chẳng hạn, ta có thể lấy Γ = Γ
−
∪ Γ
+
, trong đó Γ
+
: λ = re
iω
được định hướng
từ ∞e
iω
tới 0, Γ
−
: λ = re
−iω

được định hướng từ 0 tới ∞e
−iω
, 0 ≤ r < ∞. Vì
∥e
−tλ
(λ − A)
−1
∥ ≤ |e
−tλ
|∥(λ − A)
−1
∥ ≤ |e
−tλ
|
M
|λ|
,
trong đó λ = re
±
iω
= r(cos ω
±
i sin ω) nên
|e
−tλ
| = e
−tReλ
= e
−tr cos ω
.

Do ω ≤
π
2
nên cos ω > 0 , từ đó suy ra
∥e
−tλ
(λ − A)
−1
∥ ≤ e
−tr cos ω
M
|λ|
, λ = re
+
−
iω
.
Khi đó, tích phân (1.8) hội tụ trong L(X). Họ các toán tử e
−tA
được gọi là hàm
mũ sinh bởi −A và thỏa mãn tính chất sau
e
−tA
e
−t
′
A
= e
−t
′

A
e
−tA
= e
−(t+t
′
)A
, 0 < t, t
′
< ∞.
Hàm lũy thừa của toán tử quạt
Cho (X, ∥.∥) là một không gian Banach, A là một toán tử quạt trong X với
góc 0 ≤ ω
A
< π. Với mỗi số nguyên n ∈ Z, toán tử A
n
được định nghĩa, thật vậy,
khi n > 0 thì A
n
là một toán tử đóng, xác định trù mật trong X, khi n < 0 thì
A
n
= (A
−1
)
−n
= (A
−n
)
−1

là một toán tử bị chặn của X, và khi n = 0 thì A
0
= 1
(toán tử đồng nhất trên X). Tiếp theo chúng ta sẽ mở rộng định nghĩa này cho
số mũ thực x ∈ R bất kỳ.
Ký hiệu ω là một góc bất kỳ thỏa mãn ω
A
< ω < π. Với mỗi số phức z thỏa
mãn Re z > 0, ta định nghĩa A
−z
bởi tích phân Dunford trong L(X) như sau
A
−z
=
1
2πi

Γ
λ
−z
(λ − A)
−1
dλ, (1.9)
Trong đó, Γ là một đường cong bao quanh σ(A) theo chiều dương trong C −
(∞, 0] ∩ ρ(A). Ở đây, ta có thể lấy Γ = Γ
−
∪ Γ
0
∪ Γ
+

thỏa mãn
Γ
±
: λ = ρe
±iω
, δ ≤ ρ < ∞ và Γ
0
: λ = δe
iφ
, −ω ≤ φ ≤ ω, (1.10)
trong đó ω
A
< ω < π và 0 < δ < ∥A
−1
∥
−1
. Hơn nữa, Γ định hướng từ ∞e
iω
tới
δe
iω
, từ δe
iω
tới δe
−iω
và từ δe
−iω
tới ∞e
−iω
. Do

|λ
−z
| = |e
−z log λ
| = |e
−z(log ρ±iω)
| = e
±(Imz)ω
ρ
−Rez
, λ ∈ Γ
±
,
nên tích phân (1.9) hội tụ trong L(X).
Ta có một số tính chất của toán tử A
−z
như sau:
11
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
• Với mọi 0 < ϕ <
π
2
, khi z → 0 với z ∈ Σ
ϕ
− 0, A
−z
hội tụ mạnh tới 1 trong
X.
• Hàm A
−z

nhận giá trị trong L(X) là một nửa nhóm giải tích xác định trong
nửa mặt phẳng {z ∈ C : Re z > 0}.
• A
−z
là khả nghịch với mỗi Re z > 0 và nghịch đảo của nó A
z
là một toán
tử tuyến tính đơn trị của X và được định nghĩa là: A
z
= (A
−z
)
−1
, Re z > 0.
Do D(A
z
) trù mật trong X nên A
z
là một toán tử tuyến tính, đóng, xác
định trù mật trong X.
Như vậy, với mỗi số thực −∞ < x < ∞ thì toán tử mũ A
x
của A đã được định
nghĩa và thỏa mãn các tính chất sau.
(1) A
x
là toán tử bị chặn trên X với −∞ < x < 0, A
0
= 1 và A
x

là toán tử tuyến
tính, đóng, xác định trù mật của X với 0 < x < ∞.
(2) D(A
x
2
) ⊂ D(A
x
1
) với 0 ≤ x
1
< x
2
< ∞.
(3) A
x
A
x
′
= A
x
′
A
x
= A
x+x
′
với −∞ < x, x
′
< ∞.
Đặc biệt, với 0 < θ < 1, A

θ
là một toán tử quạt của X với góc ≤ θω
A
. Và A
θ
thỏa
mãn bất đẳng thức năng lượng sau
∥A
θ
U∥ ≤ C∥AU∥
θ
∥U∥
1−θ
, U ∈ D(A).
trong đó C > 0 là hằng số phụ thuộ c vào θ.
Ta có
A
θ
e
−tA
= e
−tA
A
θ
=
1
2πi

Γ
λ

θ
e
−tλ
(λ − A)
−1
dλ (1.11)
trong đó Γ là đường cong tích phân đượ c cho bởi (1.10) nhưng với ω
A
< ω <
π
2
.
Và ta có một số kết quả đánh giá chuẩn của A
θ
e
−tA
như sau:
∥A
θ
e
−tA
∥ ≤ Ct
−θ
, 0 < t < ∞, 0 < θ < ∞.
∥[e
−tA
− 1]A
−θ
∥ ≤ Ct
θ

, 0 < t < ∞, 0 < θ ≤ 1.
1.2.2 Toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính
Cặp không gian liên hợp
Cho X và Y là hai không gian Banach với chuẩn tương ứng là ∥.∥
X
và ∥.∥
Y
.
Hàm nhận giá trị phức ⟨., .⟩ xác định trên không gian tích X × Y được gọi là
dạng nửa song tuyến tính nếu ⟨., .⟩ thỏa mãn
i) ⟨αu
1
+ βu
2
, v⟩ = α ⟨u
1
, v⟩ + β ⟨u
2
, v⟩, α, β ∈ C; u
1
, u
2
∈ X; v ∈ Y,
ii) ⟨u, αv
1
+ βv
2
⟩ = α ⟨u, v
1
⟩ + β ⟨u, v

2
⟩, α, β ∈ C; u ∈ X; v
1
, v
2
∈ Y.
12
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Hơn nữa, dạng nửa song tuyến tính ⟨., .⟩ trên X × Y được gọi là tích đối ngẫu
nếu ⟨., .⟩ thỏa mãn
i) |⟨U, Φ⟩| ≤ ∥U∥∥Φ∥
∗
, U ∈ X, Φ ∈ Y,
ii) ∥U∥ = sup
∥Φ∥
∗
≤1
|⟨U, Φ⟩|, U ∈ X,
iii) ∥Φ∥
∗
= sup
∥U∥≤1
|⟨U, Φ⟩|, Φ ∈ Y,
Khi đó {X, Y } được gọi là một cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu là ⟨., .⟩.
Cho {X, X
∗
} là cặp không gian liên hợp với tích đỗi ngẫu ⟨., .⟩. Với mỗi
G ∈ X
∗
, hàm tuyến tính ⟨., G⟩ liên tục trên X. Với X

′
là không gian gồm các
phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X, ta xét tương ứng J : G → JG từ X
∗
vào
X
′
được xác định bởi
(JG)(F ) = ⟨F, G⟩, F ∈ X, G ∈ X
∗
(1.12)
Ta có
∥JG∥
X
′
= sup
∥F ∥
X
≤1
|(JG)(F )| = sup
∥F ∥
X
≤1
|⟨F, G⟩| ≤ ∥G∥
X
∗
, G ∈ X
∗
∥G∥
X

∗
= sup
∥F ∥
X
≤1
|⟨F, G⟩| = sup
∥F ∥
X
≤1
|(JG)(F )| ≤ ∥JG∥
X
′
, G ∈ X
∗
Do đó J là phép nhúng từ X
∗
vào J(X
∗
) ⊂ X
′
. Khi đó, ta có kết quả sau.
Định lý 1.3 ([11], Định lý 1.17). Cho X là không gian Banach tự liên hợp và
{X, X
∗
} là cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu ⟨., .⟩. Khi đó, phép nhúng
J : X
∗
→ X
′
được xác định bởi (1.12) là một đẳng cấu. Do đó, với mỗi Φ ∈ X

′
thì tồn tại duy nhất G ∈ X
∗
sao cho ∥Φ∥
X
′
= ∥G∥
X
∗
và Φ(F ) = ⟨F, G⟩ với mọi
F ∈ X.
Bộ ba không gian
Cho (Z, ((., .))), (X, (., .)) là hai không gian Hilbert với chuẩn tương ứng là
∥.∥, |.| thỏa mãn
i) Z ⊂ X và Z trù mật trong X.
ii) Z nhúng liên tục vào X, nghĩa là, tồn tại c > 0 sao cho |.|
X
≤ c∥.∥
Z
.
Định nghĩa 1.10. Nếu tồn tại không gian Banach Z
∗
, ∥.∥
∗
thỏa mãn các điều
kiện sau
i) Z ⊂ X ⊂ Z
∗
nhúng liên tục và trù mật.
ii) (Z, Z

∗
) là cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu ⟨., .⟩
Z,Z
∗
.
iii) ⟨., .⟩ thỏa mãn tính chất ⟨z, x⟩ = (z, x) với mọi z ∈ Z, x ∈ X ⊂ Z
∗
13
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Khi đó ba không gian Z ⊂ X ⊂ Z
∗
được gọi là bộ ba không gian.
Cho Z ⊂ X ⊂ Z
∗
là bộ ba không gian với các chuẩn tương ứng ∥.∥, |.|, ∥.∥
∗
và tích
đối ngẫu trên Z × Z
∗
là ⟨., .⟩
Z×Z
∗
: Z
∗
× Z → R xác định bởi (Φ, z) → ⟨z, Φ⟩
Z×Z
∗
.
Giả sử a : Z ×Z → C là một dạng nửa song tuyến tính, tức là, a thỏa mãn hai
điều kiện sau:

i) a(αu
1
+ βu
2
, v) = αa(u
1
, v) + βa(u
2
, v), α, β ∈ C; u
1
, u
2
, v ∈ Z,
ii) a(u, αv
1
+ βv
2
) = αa(u, v
1
) + βa(u, v
2
), α, β ∈ C; u, v
1
, v
2
∈ Z.
Ta có a(., .) liên tục nếu tồn tại M ≥ 0 sao cho
|a(u, v)| ≤ M∥u∥∥v∥, ∀u, v ∈ Z. (1.13)
Với mỗi u ∈ Z, a(u, .) là hàm tuyến tính liên tục trên Z. Do đó, theo Định lý 1.3,
tồn tại duy nhất Φ ∈ Z

∗
sao cho a(u, v) = ⟨v, Φ⟩
Z×Z
∗
với mọi v ∈ Z, nghĩa là,
a(u, v) = ⟨Φ, v⟩ với mọi v ∈ Z. Khi đó tương ứng A : Z → Z
∗
xác định bởi u → Φ
là một toán tử tuyến tính. Khi đó, toán tử A được gọi là toán tử tuyến tính liên
kết với dạng nửa song tuyến tính a(u, v). Do đó,
a(u, v) = ⟨Au, v⟩, u, v ∈ Z. (1.14)
Mặt khác, ta có
∥Au∥
Z
∗
= sup
∥v∥≤1
|⟨Au, v⟩| = sup
∥v∥≤1
|a(u, v)| ≤ sup
∥v∥≤1
M∥u∥∥v∥ = M∥u∥
Z
nên toán tử A liên tục và ∥A∥ ≤ M.
Ta nói a(., .) thỏa mãn điều kiện bức nếu
Rea(u, u) ≥ δ∥u∥
2
, u ∈ Z. (1.15)
trong đó δ > 0 là hằng số.
Định lý 1.4 ([11], Định lý 1.24). Cho dạng nửa song tuyến tính a(u, v) thỏa

mãn điều kiện (1.13), (1.15) và A là toán tử tuyến tính liên kết với a(u, v). Khi
đó, A là một đẳng cấu từ Z tới Z
∗
và là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù
mật trong Z
∗
.
Ta xét hạn chế của A trên X, Z, kí hiệu là A|
X
, A|
Z
, được xác định như sau.



D(A|
X
) = {u ∈ Z, Au ∈ X}
A|
X
u = Au



D(A|
Z
) = {u ∈ Z, Au ∈ Z}
A|
Z
u = Au

Ta có toán tử A, A|
X
, A|
Z
là các toán tử tuyến tính, đóng và xác định trù mật
trong Z
∗
, X, Z.
Với mỗi Reλ ≤ 0, xét dạng nửa song tuyến tính liên tục
a(u, v) − λ(u, v), u, v ∈ Z
14
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
thỏa mãn điều kiện liên tục và điều kiện bức trên Z. Do đó A − λ là một phép
đẳng cấu từ Z vào Z
∗
. Tiếp theo, ta thiết lập các ước lượng khác nhau liên quan
đến tập giải (λ − A)
−1
, Reλ ≤ 0.
Với U ∈ Z, ta có
δ∥U∥
2
≤ Re a(U, U) − Re λ|U|
2
= Re ⟨(A − λ)U, U⟩ ≤ ∥(A − λ)∥
∗
∥U∥.
Đặt Φ = (λ −A)U, ta có
∥(λ − A)
−1

Φ∥ ≤ δ
−1
∥Φ∥
∗
. (1.16)
Vì λ(λ − A)
−1
Φ = A(λ − A)
−1
Φ + Φ nên ta có ước lượng sau
|λ|∥(λ − A)
−1
Φ∥
∗
≤ ∥A∥
L(Z,Z
∗
)
∥(λ − A)
−1
Φ∥ + ∥Φ∥
∗
≤ (Mδ
−1
+ 1)∥Φ∥
∗
Do đó,
|λ|∥(λ − A)
−1
Φ∥

∗
≤ (Mδ
−1
+ 1)∥Φ∥
∗
, Φ ∈ Z
∗
Với U ∈ D(A
|X
), ta có với mỗi Re λ ≤ 0,
δ∥U∥
2
≤ Re a(U, U) − Re λ|U|
2
= Re ((A − λ)U, U ) ≤ |(A −λ)U||U|.
Từ
λ|U|
2
= a(U, U) + ((λ − A)U, U)
Suy ra
|λ||U|
2
≤ M∥U∥
2
+ |(λ − A)U||U| ≤ (Mδ
−1
+ 1)|(λ − A)U||U|.
Đặt F = (λ − A)U, ta thu được
|λ||(λ − A)
−1

F | ≤ (Mδ
−1
+ 1)|F |, F ∈ X
Với U ∈ Z. Ta có
λ(λ − A)
−1
U −(λ − A)
−1
AU = U
Suy ra
|λ|∥(λ − A)
−1
U∥ ≤ ∥(λ − A)
−1
∥
L(Z,Z
∗
)
∥A∥
L(Z,Z
∗
)
∥U∥+ ∥U∥.
Do đó, từ (1.16) ta có
|λ|∥(λ − A)
−1
U∥ ≤ (Mδ
−1
+ 1)∥U∥, U ∈ Z.
Tóm lại, với Re λ ≤ 0, ta có các ước lượng sau

|λ|∥(λ − A)
−1
Φ∥
∗
≤ (Mδ
−1
+ 1)∥Φ∥
∗
, Φ ∈ Z
∗
,
|λ||(λ − A)
−1
F | ≤ (Mδ
−1
+ 1)∥F ∥, F ∈ X,
|λ|∥(λ − A)
−1
U∥ ≤ (Mδ
−1
+ 1)∥U∥, U ∈ Z.
Từ các ước lượng này ta thu được kết quả sau.
Định lý 1.5 ([11], Định lý 2.1). Cho a(u, v) là một dạng nửa song tuyến tính
trên Z thỏa mãn điều kiện (1.13), (1.15). Khi đó, toán tử A liên kết với dạng
nửa song tuyến tính a(u, v) và các hạn chế A|
X
, A|
Z
là các toán tử tuyến tính
thỏa mãn điều kiện (1.1), (1.2) với góc ω =

π
2
và hằng số
M+δ
δ
, tức là, các toán
tử A, A|
X
, A|
Z
là toán tử quạt trên Z
∗
, X, Z với các góc phổ nhỏ hơn
π
2
.
15
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.2.3 Toán tử quạt trong không gian L
2
Xét Ω là miền trong R
n
, Z là không gian con đóng của H
1
(Ω) thỏa mãn
o
H
1
(Ω) ⊂ Z ⊂ H
1

(Ω). Xét dạng nửa song tuyến tính trên Z sau
a(u, v) =
n

i,j=1

Ω
a
ij
(x)D
i
uD
j
vdx +

Ω
c(x)uvdx, u, v ∈ Z (1.17)
trong đó a
ij
, 1 ≤ i, j ≤ n, là các hàm giá trị thực trong Ω thỏa mãn điều kiện
a
ij
∈ L
∞
(Ω), 1 ≤ i, j ≤ n, (1.18)
n

i,j=1
a
ij

ξ
i
ξ
j
≥ δ|ξ|
2
, ξ = (ξ
1
, , ξ
n
) ∈ R
n
, hầu khắp nơi trên Ω, (1.19)
với hằng số δ > 0, và c(x) là hàm giá trị thực trong Ω thỏa mãn
c ∈ L
∞
(R
n
) và c(x) ≥ c
0
> 0, hầu khắp nơi trên Ω. (1.20)
Tương tự phần trên, ta có a(u, v) thỏa mãn điều kiện (1.13), (1.15) trên Z. Vì
vậy, nếu ta xét một bộ ba không gian Z ⊂ L
2
(Ω) ⊂ Z
∗
thì toán tử A liên kết với
dạng (1.17) và các hạn chế A|
L
2

(Ω)
, A|
Z
là các toán tử quạt trên Z
∗
, L
2
(Ω), Z, với
các góc phổ nhỏ hơn
π
2
.
Tiếp theo, ta xét các trường hợp đặc biệt hơn. Trường hợp Z =
o
H
1
(Ω). Khi
đó, Z
∗
trùng với H
−1
(Ω). Do D(Ω) trù mật trong
o
H
1
(Ω) nên H
−1
(Ω) ⊂ D
′
(Ω) .

Do đó, ta có
Au = −
n

i,j=1
D
j
[a
ij
(x)D
i
u] + c(x)u trong không gian hàm suy rộng. (1.21)
Điều này chỉ ra rằng A, A|
L
2
(Ω)
, A|
o
H
1
(Ω)
là toán tử đạo hàm ( 1.21 ) trong H
−1
(Ω),
L
2
(Ω),
o
H
1

(Ω). Nếu Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz thì D(A) =
o
H
1
(Ω). Vì
vậy u ∈ D(A) thỏa mãn điều kiện biên Lipschitz
u = 0 trên ∂Ω. (1.22)
Định lý 1.6 ([11], Định lý 2.3). Cho Ω là miền trong R
n
. Giả sử ta có các giả
thiết (1.18), (1.19), (1.20). Khi đó, toán tử A liên kết với dạng (1.17) và hạn
chế A|
L
2
(Ω)
, A|
o
H
1
(Ω)
thỏa mãn (1.1), (1.2) với góc ω = π/2 và hằng số M được
xác định bởi ∥a
ij
∥
L
∞
, ∥c∥
L
∞
, δ, c

0
, tức là, các toán tử A, A|
L
2
(Ω)
, A|
o
H
1
(Ω)
là toán tử
quạt trong H
−1
(Ω), L
2
(Ω),
o
H
1
(Ω) với các góc phổ nhỏ hơn π/2. Hơn nữa, nếu Ω
là một miền bị chặn với biên Lipschitz thì các hàm trong D(A) thỏa mãn (1.22).
16
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trường hợp Z = H
1
(Ω). Khi đó Z
∗
không trùng với bất kỳ không gian con
suy rộng nào. Vì vậy, toán tử liên kết A không phải là một toán tử đạo hàm
thông thường. Nhưng với u ∈ D(A|

L
2
), nghĩa là Au ∈ L
2
(Ω). Khi đó theo công
thức Green ta có
(Au, v)
L
2
= a(u, v) = −
n

i,j=1

Ω
D
j
[a
ij
(x)D
i
u]vdx
+
n

i,j=1

∂Ω
[ν
j

(x)a
ij
(x)D
i
u]vdS +

Ω
c(x)uvdx, v ∈ H
1
(Ω).
trong đó ν(x) = (ν
1
(x), , ν
n
(x)) là vector trực giao ngoài tại x ∈ ∂Ω . Do a(u, v)
liên tục tại v với tôpô trong L
2
(Ω) nên tích phân trên ∂Ω bị triệt tiêu. Tức là, u
phải thỏa mãn điều kiện biên
∂u
∂ν
A
≡
n

i,j=1
ν
j
(x)a
ij

(x)D
i
u = 0 trên ∂(Ω). (1.23)
Điều kiện này đượ c gọi là điều kiện biên Newmann trên ∂Ω. Khi đó, ta thu được
(Au, v)
L
2
=

−
n

i,j=1
D
j
[a
ij
(x)D
i
u] + c(x)u, v

L
2
, v ∈ H
1
(Ω).
Do đó
Au = −
n


i,j=1
D
j
[a
ij
(x)D
i
u] + c(x)u trong L
2
(Ω). (1.24)
Ta có A, A|
L
2
(Ω)
, A|
H
1
(Ω)
là toán tử đạo hàm (1.21) dưới điều kiện biên Newmann
(1.23) trong H
1
(Ω)
∗
, L
2
(Ω), H
1
(Ω).
Định lý 1.7 ([11], Định lý 2.4). Cho Ω là miền trong R
n

. Giả sử ta có các
giả thiết (1.18), (1.19), (1.20). Khi đó toán tử A liên kết với dạng (1.17) và
hạn chế A|
L
2
(Ω)
, A|
H
1
(Ω)
thỏa mãn (1.1) và (1.2) với ω =
π
2
và M được xác
định bởi ∥a
ij
∥
L
∞
, ∥c∥
L
∞
, δ, c
0
, tức là A, A|
L
2
(Ω)
, A|
H

1
(Ω)
là các toán tử quạt trong
H
1
(Ω)
∗
, L
2
(Ω), H
1
(Ω) với các góc phổ nhỏ hơn
π
2
.
Trường hợp Z =
o
H
1
D
(Ω). Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz. Ta tách
biên ∂Ω thành Γ
D
và Γ
N
, nghĩa là, ∂Ω = Γ
D
∪ Γ
N
, Γ

D
∩ Γ
N
= ∅ và Γ
D
là tập mở
khác rỗng của ∂Ω. Ta đặt
Z =
o
H
1
D
(Ω) = {u ∈ H
1
(Ω) : u = 0 trên Γ
D
}. (1.25)
Toán tử A liên kết với dạng (1.17) và các hạn chế A|
L
2
(Ω)
, A|
o
H
1
D
(Ω)
là toán tử đạo
hàm (1.21) dưới điều kiện biên tách như sau
u = 0 trên Γ

D
và
∂u
∂ν
A
= 0 trên Γ
N
. (1.26)
17
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định lý 1.8 ([11], Định lý 2.5). Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz. Giả
sử ta có các giả thiết (1.18), (1.19), (1.20). Khi đó, toán tử A liên kết với dạng
(1.17) và hạn chế A|
L
2
(Ω)
, A|
o
H
1
D
(Ω)
thỏa mãn (1.1), (1.2) với góc ω = π/2 và hằng
số M được xác định bởi ∥a
ij
∥
L
∞
, ∥c∥
L

∞
, δ, c
0
, tức là, các toán tử A, A|
L
2
(Ω)
, A|
o
H
1
D
(Ω)
là toán tử quạt trong
o
H
1
D
(Ω)
∗
, L
2
(Ω),
o
H
1
D
(Ω) với các góc phổ nhỏ hơn π/2.
Chú ý 1.1. Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz. Khi Z =
o

H
1
D
(Ω) thì điều
kiện bức (1.15) có được nhờ sử dụng tính dương của hàm c(x). Từ bất đẳng thức
Poincare ta có ∥u∥
L
2
≤ C∥∇u∥
L
2
với mọi u ∈
o
H
1
D
(Ω). Do đó từ (1.19) và điều
kiện c(x) ≥ 0 ta thu được điều kiện (1.15).
Ngoài ra, ta có kết quả sau.
Định lý 1.9 ([11], Định lý 2.10). Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz được
tách như sau ∂Ω = Γ
D
∪Γ
N
, Γ
D
∩Γ
N
= ∅ và Γ
D

là tập mở khác rỗng của ∂Ω. Giả
sử ta có các giả thiết (1.18), (1.19), (1.20) và hai điều kiện sau:
|B(x
0
, R) ∩ Γ
D
| ≥ γ.R
n−1
, ∀x
0
∈ Γ
D
, (1.27)
|B(x
0
, R) ∩ Ω| ≥ γ.R
n
, ∀x
0
∈ Γ
N
, B(x
0
, R) ∩ Γ
D
= ∅, (1.28)
trong đó γ > 0 là hằng số, B(x
0
, R) là hình cầu mở tâm x
0

∈ ∂Ω, bán kính R > 0.
Khi đó, hạn chế A|
L
2
của toán tử liên kết với dạng (1.17) trong
o
H
1
D
(Ω) thỏa mãn
D(A|
L
2
) ⊂ W
1
p
(Ω) và
∥u∥
W
1
p
≤ C (∥A|
L
2
u∥
L
2
+ ∥u∥
L
2

) , u ∈ D(A|
L
2
),
với số mũ p > 2.
Đặc biệt, khi dạng nửa song tuyến tính (1.17) có a
ij
= δ
ij
và c(x) = 0 thì ta
có
a(u, v) =

Ω
∇u.∇¯vdx, u, v ∈
o
H
1
D
(Ω)
và toán tử liên kết với a(u, v) là
Λu = −
n

i=1
D
2
i
u = −∆u. (1.29)
Theo định lý 1.8 thì Λ là toán tử quạt trên H

−1
D
(Ω)
Ta có, theo Định lý 2.35 ([11], Chương 2), miền xác định của toán tử căn bậc
hai Λ
1/2
trùng với L
2
(Ω), nghĩa là,
D(Λ
1/2
) = L
2
(Ω). (1.30)
18
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Hơn nữa, với
1
2
≤ θ ≤ 1 thì
D(Λ
θ
) = [L
2
(Ω),
o
H
1
D
(Ω)]

2θ − 1
⊂ [L
2
(Ω), H
1
(Ω)]
2θ −1
= H
2θ− 1
(Ω). (1.31)
Theo Định lý 1.9 thì tồn tại p
0
> 2 sao cho D(Λ|
L
2
) ⊂ W
1
p
0
(Ω) và
∥u∥
W
1
p
0
≤ C.∥Λu∥
L
2
, u ∈ D(Λ|
L

2
). (1.32)
Tiếp theo, ta mở rộng định nghĩa toán tử ∇.[u∇χ] cho trường hợp u ∈ H
2/p
(Ω)
và χ ∈ D(Λ|
L
2
) ∩ W
1
p
(Ω) với 2 < p < ∞.
Mệnh đề 1.1. Cho 2 < p < ∞ cố định. Phép tương ứng (u, χ) → ∇[u∇χ] là liên
tục từ H
2
(Ω) × [D(Λ|
L
2
) ∩ W
1
p
(Ω)] vào L
2
(Ω). Ta có thể mở rộng tương ứng này
liên tục từ H
2/p
× [D(Λ|
L
2
) ∩ W

1
p
(Ω)] lên H
−1
D
(Ω).
Chứng minh. Cho u ∈ H
2
(Ω) và χ ∈ D(Λ|
L
2
) ∩ W
1
p
(Ω). Ta có
∇.[u∇χ] = ∇u.∇χ − u.Λχ ∈ L
2
(Ω).
Vì u ∈ H
2
(Ω) nên suy ra ∇u ∈ L
2
(Ω) và u ∈ L
2
(Ω). Tương tự, từ χ ∈ D(Λ|
L
2
) ∩
W
1

p
(Ω) cũng cho ta ∇χ ∈ L
2
(Ω). Hơn nữa, theo định nghĩa của Λ, ta có
(Λχ, ¯uv)
L
2
=

Ω
Λχ.uvdx =

Ω
Λχ.u.¯vdx
=

Ω
∇χ.∇(u¯v)dx =

Ω
∇χ.(¯v∇u + u∇¯v)dx, v ∈
o
H
1
D
(Ω).
Do u ∈ H
2
(Ω), v ∈
o

H
1
D
(Ω) nên uv ∈
o
H
1
D
(Ω). Ta có
< ∇.[u∇χ], v >
H
−1
D
×
o
H
1
D
= (∇.[u∇χ], v)
L
2
= −

Ω
u∇χ.∇vdx, v ∈
o
H
1
D
(Ω),

Với u ∈ H
2/p
(Ω) và χ ∈ D(Λ|
L
2
) ∩ W
1
p
(Ω). Do bất đẳng thức
∥uv∥
L
r
≤ ∥u∥
L
p
.∥v∥
L
q
, u ∈ L
p
(Ω), v ∈ L
q
(Ω), 1 ≤ p, q, r ≤ ∞,
1
p
+
1
q
=
1

r
, (1.33)
ta có

Ω
|u∇χ.∇v|dx ≤ ∥u∥
L
2p
p−2
.∥∇χ∥
L
p
.∥∇v∥
L
2
≤ C
p
.∥u∥
H
2/p
.∥χ∥
W
1
p
.∥v∥
o
H
1
D
. (1.34)

Do H
2
(Ω) là không gian con trù mật của H
2/p
(Ω) nên chúng ta có thể mở rộng
∇.[u∇χ] ∈ H
−1
D
(Ω) một cách liên tục, với mọi u ∈ H
2/p
(Ω) và χ ∈ D(Λ|
L
2
)∩W
1
p
(Ω)
bởi công thức
< ∇.[u∇χ], v >
H
−1
D
×
o
H
1
D
= −

Ω

u∇χ.∇vdx, v ∈
o
H
1
D
. (1.35)
19
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Ta có
∥∇.[u∇χ]∥
H
−1
D
≤ C.∥u∥
H
2/p
.∥χ∥
W
1
p
, u ∈ H
2/p
, χ ∈ D(Λ|
L
2
) ∩ W
1
p
(Ω). (1.36)
Tuy nhiên điều này cũng đúng với giá trị p = p

0
. Trong trường hợp này do (1.32)
nên D(Λ|
L
2
) ∩ W
1
p
0
(Ω) = D(Λ|
L
2
).
1.2.4 Toán tử quạt trong không gian tích
Cho (X
1
, ∥.∥
1
) và (X
2
, ∥.∥
2
) là hai không gian Banach. Giả sử X là không gian
Banach tích của X
1
và X
2
với chuẩn
∥F ∥ = ∥f
1

∥
1
+ ∥f
2
∥
2
, F =

f
1
f
2

∈ X.
Cho A
1
, A
2
lần lượt là toán tử quạt của X
1
và X
2
với góc 0 ≤ ω
1
< π và
0 ≤ ω
2
< π. Ta xét toán tử ma trận có dạng
A =


A
1
0
0 A
2

(1.37)
D(A) =

u
1
u
2

: u
1
∈ D(A
1
), u
2
∈ D(A
2
)

Định lý 1.10 (Định lý 2.16 [11]). Giả sử A
k
là toán tử quạt trong X
k
với góc
0 ≤ ω

k
< π, với k = 1, 2. Khi đó, toán tử A xác định bởi (1.37) thỏa mãn (1.1)
và (1.2) với góc ω thỏa mãn ω
A
< ω ≤ π, trong đó ω
A
= max {ω
1
, ω
2
} và với hằng
số M
ω
= max {M
1,ω
, M
2,ω
}, tức là, A là toán tử quạt của X với góc nhỏ hơn π.
1.3 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính
Cho (X, ∥.∥) là không gian Banach. Xét bài toán Cauchy cho phương trình
tiến hóa nửa tuyến tính trong X như sau



dU
dt
+ AU = F(U) + G(t), 0 < t ≤ T,
U(0) = U
0
.

(1.38)
Trong đó, A là toán tử quạt trên X và thỏa mãn điều kiện (1.6) và (1.7). F là
toán tử từ D(A
η
) vào X, với 0 < η < 1. Giả sử F thỏa mãn điều kiện Lipschitz
dưới dạng
∥F (U) − F (V )∥ ≤ φ(∥A
β
U∥+ ∥A
β
V ∥)[∥A
η
(U −V )∥
20
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
+ (∥A
η
U∥+ ∥A
η
V ∥)∥A
β
(U −V )∥], U, V ∈ D(A
η
), (1.39)
trong đó β là số mũ thỏa mãn
0 < β ≤ η < 1, (1.40)
và φ(.) là hàm liên tục tăng. Đặc biệt từ (1.39) ta suy ra ước lượng
∥F (U)∥ ≤ ψ(∥A
β
U∥)(∥A

η
U∥+ 1), U ∈ D(A
η
), (1.41)
trong đó ψ(ξ) = ∥F (0)∥ + φ(ξ)(ξ + 1). Hàm G(t) ∈ F
β,σ
((0, T ]; X), 0 < σ < β. Giá
trị ban đầu U
0
của bài toán thuộc D(A
β
). Với các giả thiết trên chúng ta sẽ đi
chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương củabài toán (1.38). Đầu tiên, ta xét
bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính sau.
Định lý 1.11 ([11], Định lý 3.4). Cho A là toán tử quạt thỏa mãn điều kiện
(1.6), (1.7), G(t) ∈ F
β,σ
((0, T ]; X), 0 < σ < β < 1 và U
0
∈ X. Khi đó, bài toán



dU
dt
+ AU = G(t), 0 < t ≤ T
U(0) = U
0
,
(1.42)

tồn tại duy nhất một nghiệm U trong không gian hàm
U ∈ C((0, T]; D(A)) ∩ C([0, T ]; X) ∩ C
1
((0, T ]; X) (1.43)
và thỏa mãn ước lượng
∥U(t)∥+ t∥
dU
dt
(t)∥ + t∥AU(t)∥ ≤ C(∥U
0
∥ + ∥G∥
F
β,σ
), 0 < t ≤ T. (1.44)
Hơn nữa, U được xác định bởi công thức
U(t) = e
−tA
+

t
0
e
−(t−τ)A
G(τ)dτ, 0 ≤ t ≤ T.
Sự tồn tại nghiệm địa phương của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính được
phát biểu trong định lý sau.
Định lý 1.12 ([11], Định lý 4.1). Giả sử ta có các giả thiết (1.6), (1.7 ), (1.39),
(1.40), với G ∈ F
β,σ
((0, T ]; X), trong đó 0 < σ < 1 − η, và với mọi U

0
∈ D(A
β
).
Khi đó, tồn tại duy nhất một nghiệm địa phương U của bài toán (1.38) trong
không gian hàm



U ∈ C((0, T
G,U
0
]; D(A)) ∩ C([0, T
G,U
0
]; D(A
β
)) ∩ C
1
((0, T
G,U
0
]; X),
dU
dt
, AU ∈ F
β,σ
((0, T
G,U
0

]; X),
(1.45)
trong đó T
G,U
0
> 0 chỉ phụ thuộc vào chuẩn ∥G∥
F
β,σ
và ∥A
β
U
0
∥. Hơn nữa, U thỏa
mãn ước lượng
∥A
β
U∥
C
+ ∥
dU
dt
∥
F
β,σ
+ ∥AU∥
F
β,σ
≤ C
G,U
0

, (1.46)
với hằng số C
G,U
0
> 0 phụ thuộc vào chuẩn ∥G∥
F
β,σ
và ∥A
β
U
0
∥.
21
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chứng minh. Với mỗi S ∈ (0, T ], xét không gian Banach sau
X(S) =

U ∈ C((0, S]; D(A
η
)) ∩ C([0, S]; D(A
β
)) : sup
0<t≤S
t
η−β
∥A
η
U(t)∥ < ∞

,

∥U∥
X (S)
= sup
0<t≤S
t
η−β
∥A
η
U(t)∥+ sup
0<t≤S
∥A
β
U(t)∥.
Trong X(S), ta xét tập K(S) gồm tất cả các hàm thỏa mãn
t
η−β
∥A
η
U(t)∥ ≤ C
1
, 0 < t ≤ S (1.47)
∥A
β
U(t)∥ ≤ C
2
, 0 ≤ t ≤ S (1.48)
trong đó hai hằng số C
i
(i = 1, 2) cố định. Khi đó K(S) là một tập con khác rỗng,
đóng trong X(S).

Với mỗi U ∈ K(S), ta định nghĩa hàm
{ΦU}(t) = e
−tA
U
0
+

t
0
e
−(t−s)
A[F (U(s)) + G(s)]ds, 0 ≤ t ≤ S. (1.49)
Ta sẽ chứng minh Φ là ánh xạ co từ K(S) vào chính nó với S đủ nhỏ và điểm
bất động của Φ là nghiệm của (1.38). Trong suốt quá trình chứng minh, ký hiệu
C
G,U
0
là một hằng số, được xác định trong mỗi trường hợp bởi các hằng số trong
(1.6), (1.7), (1.39), (1.40) và bởi hàm φ(.) và các chuẩn ∥G∥
F
β,σ
, ∥A
β
U
0
∥.
Bước 1: Ta kiểm tra Φ là ánh xạ từ K(S) vào chính nó. Với U ∈ K(S), theo
(1.47), (1.48) ta có thể viết (1.41) như sau
∥F (U(t))∥ ≤ ψ(∥A
β

U∥)(∥A
η
U∥+ 1)
suy ra
∥F (U(t))∥ ≤ ψ(C
2
)(C
1
t
β−η
+ 1), 0 < t ≤ S. (1.50)
Với mỗi θ thỏa mãn β ≤ θ < 1, ta có
∥A
θ
{ΦU}(t)∥ ≤ ∥A
θ − β
e
−tA
∥∥A
β
U
0
∥
+

t
0
∥A
θ
e

−(t−s)A
∥[∥F (U(s))∥ + ∥G(s)∥]ds.
Ta có
t
θ − β
∥A
θ
{ΦU}(t)∥ ≤ t
θ −β
∥A
θ −β
e
−tA
∥∥A
β
U
0
∥
+ t
θ − β

t
0
∥A
θ
e
−(t−s)A
∥∥F (U(s))∥ds
+ t
θ − β


t
0
∥A
θ
e
−(t−s)A
∥∥G(U(s))∥ds.
22
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Đặt A
ξ
= sup
0<t≤T
t
ξ
∥A
ξ
e
−tA
∥, 0 ≤ ξ ≤ 1. Khi đó
t
θ − β
∥A
θ
{ΦU}(t)∥ ≤ A
θ − β
∥A
β
U

0
∥ + t
θ − β
A
θ

t
0
(t − s)
−θ
ψ(C
2
)(C
1
s
β−η
+ 1)ds
+ t
θ − β

t
0
A
θ
(t − s)
−θ
∥G∥
F
β,σ
s

β−1
ds
= A
θ −β
∥A
β
U
0
∥ + t
θ − β
A
θ
ψ(C
2
)

t
0
(t − s)
θ
(C
1
s
β−η
+ 1)ds
+ t
θ − β
A
θ
∥G∥

F
β,σ

t
0
(t − s)
−θ
s
β−1
ds.
Đổi biến
s
t
= u suy ra s = ut, ds = tdu. Khi đó, ta có
+) t
θ − β
A
θ
ψ(C
2
)

t
0
(t − s)
−θ
(C
1
s
β−η

+ 1)ds
=t
θ − β
A
θ
ψ(C
2
)

1
0
t
−θ
(1 − u)
−θ
(C
1
(ut)
β−η
+ 1)tdu
=A
θ
ψ(C
2
)(C
1

1
0
t

1−η
(1 − u)
−θ
u
β−η
du +

1
0
t
1−β
(1 − u)
−θ
u
0
du)
=A
θ
ψ(C
2
)

C
1
t
1−η
B(1 − θ, 1 + β −η) + t
1−β
B(1 − θ, 1)


.
+) t
θ − β
A
θ
∥G∥
F
β,σ

t
0
(t − s)
−θ
s
β−1
ds
=t
θ −β
A
θ
∥G∥
F
β,σ

1
0
t
−θ
(1 − u)
−θ

(tu)
β−1
tdu
=A
θ
∥G∥
F
β,σ

1
0
(1 − u)
−θ
u
β−1
du)
=A
θ
∥G∥
F
β,σ
B(1 − θ, β).
Suy ra
t
θ − β
∥A
θ
{ΦU}(t)∥ ≤ A
θ − β
∥A

β
U
0
∥ + A
θ
B(1 − θ, β)∥G∥
β,σ
+ A
θ
ψ(C
2
)

C
1
B(1 − θ, 1 + β −η)t
1−η
+ B(1 − θ, 1)t
1−β

, (1.51)
trong đó B(x, y) là hàm Beta được xác định như sau
B(x, y) =

1
0
(1 − u)
x−1
u
y−1

du.
Với θ = η ta có
t
η−β
∥A
η
{ΦU}(t)∥ ≤ A
η−β
∥A
β
U
0
∥ + A
η
B(1 − η, β)∥G∥
β,σ
+ A
η
ψ(C
2
)

C
1
B(1 − η, 1 + β − η)t
1−η
+ B(1 − η, 1)t
1−β

.

23
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Ta đặt A = A
η−β
∥A
β
U
0
∥ + A
η
B(1 − η, β)∥G∥
β,σ
là một hằng số. Khi đó, do 0 <
1−η < 1, 0 < β < 1 nên hàm B(1−η, β) bị chặn. Do t ∈ (0, S] và 1−η > 0, 1−β > 0
nên ta có
A
η
ψ(C
2
)C
1
B(1 − η, 1 + β − η)t
1−η
≤ A
η
ψ(C
2
)C
1
B(1 − η, 1 + β − η)S

1−η
.
Chọn S đủ nhỏ để
A
η
ψ(C
2
)C
1
B(1 − η, 1 + β − η)S
1−η
≤
C
1
− A
2
,
A
η
ψ(C
2
)C
1
B(1 − η, 1)t
1−β
≤ A
η
ψ(C
2
)C

1
B(1 − η, 1)S
1−β
C
1
− A
2
.
Khi đó t
η−β
∥A
η
{ΦU}(t)∥ ≤ C
1
thỏa mãn (1.47).
Với θ = β ta có
∥A
β
{ΦU}(t)∥ ≤ A
0
∥A
β
U
0
∥ + A
β
B(1 − β, β)∥G∥
β,σ
+ A
0

ψ(C
2
)

C
1
B(1 − β, 1 + β − η)t
1−η
+ B(1 − β, 1)t
1−β

.
Tương tự chọn S đủ nhỏ ta được ∥A
β
{ΦU}(t)∥ ≤ C
2
thỏa mãn (1.48). Tức là,
ΦU ∈ K(S).
Ta kiểm tra ΦU ∈ C((0, S], D(A
η
)).
Với 0 < s < t ≤ S, sử dụng tính chất nửa nhóm ta có
ΦU(t) = e
−tA
U
0
+

t
0

e
−(t−s)A
[F (U(s)) + G(s)]ds
= e
−(t−s)A
e
−sA
U
0
+

t
s
e
−(t−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ
+ e
−(t−s)A

s
0
e
−(s−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ,
ΦU(s) = e
−sA
U
0
+


s
0
e
−(s−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ.
Suy ra
ΦU(t) − ΦU(s) = (e
−(t−s)A
− 1)ΦU(s) +

t
s
e
−(t−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ,
Ta có
∥A
η
(ΦU(t) − ΦU(s))∥ ≤∥(e
−(t−s)A
− 1)A
−σ
∥∥A
η+σ
ΦU(s)∥
+

t
s
∥A

η
e
−(t−τ)A
∥[∥F (U(τ))∥ + ∥G(τ )∥]dτ
≤ C
G,U
0
A
1−σ
(t − s)
σ
s
β−σ−η
+ C
G,U
0
A
η

t
s
(t − τ)
−η
(τ
β−1
+ 1)dτ.
24
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Viết β −1 = (η + σ −1) + (β − σ −η), ta có


t
s
(t − τ)
−η
τ
β−1
dτ ≤

t
s
(t − τ)
−η
(τ −s)
η+σ−1
s
β−σ−η
dτ.
Đặt u = τ −s, du = dτ . Khi đó

t
s
(t − s)
η
(τ −s)
η+σ−1
s
β−σ−η
dτ =

t−s

0
(t − u − s)
−η
u
η+σ−1
s
β−σ−η
du.
Đặt v =
u
t − s
, dv =
du
t − s
. Khi đó

1
0
(t − s)
−η
(1 − v)
−η
v
η+σ−1
(t − s)
η+σ−1
s
β−σ−η
(t − s)dv
=


1
0
(t − s)
σ
s
β−σ−η
(1 − v)
−η
v
η+σ−1
dv
= (t − s)
σ
s
β−σ−η
B(1 − η, η + σ).
Do 0 < 1 −η < 1, 0 < η + σ < 1 nên B(1 − η, η + σ) bị chặn. Suy ra
∥A
η
(ΦU(t) − ΦU(s))∥ ≤ C
G,U
0
(t − s)
σ
s
β−σ−η
, 0 < s < t ≤ S. (1.52)
Tiếp theo ta kiểm tra ΦU ∈ C([0, S], D(A
β

)). Ta có
∥A
β
(ΦU(t) − ΦU(s))∥ ≤ ∥(e
−(t−s)A
− 1)A
β
ΦU(s)∥
+

t
s
∥A
β
e
−(t−τ)A
∥[∥F (U(τ))∥ + ∥G(τ )∥]dτ
≤ ∥e
−(t−s)A
A
σ
∥∥A
β+σ
ΦU(s)∥
+

t
s
∥A
β

e
−(t−τ)A
∥[∥F (U(τ))∥ + ∥G(τ )∥]dτ
≤ C
G,U
0
(t − s)
σ
s
−σ
+ C
G,U
0

t
s
(t − τ)
−β
τ
β−1
dτ.
Viết β −1 = (β + σ − 1) − σ, ta có

t
s
(t − τ)
−β
τ
β−1
dτ ≤


t
s
(t − τ)
−β
(τ −s)
β+σ−1
s
−σ
dτ.
Đổi biến u = τ −s, dτ = du, τ = u + s. Khi đó
I =

t
s
(t − τ)
−β
(τ −s)
β+σ−1
s
−σ
dτ =

t−s
0
(t − u − s)
−β
u
β+σ−1
s

−σ
du.
25