Luận văn thạc sĩ HUS nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu mạng pha hợp phần
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.08 MB, 61 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------------
Lê Thị Miền
NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA HIỆU ỨNG
GIẢM KÍCH THƢỚC LÊN SỰ GIA TĂNG SĨNG ÂM
(PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP
PHẦN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2011
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
**********
Lê Thị Miền
NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA HIỆU ỨNG
GIẢM KÍCH THƢỚC LÊN SỰ GIA TĂNG SĨNG ÂM
(PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Vũ Nhân
Hà Nội - 2011
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
MỤC LỤC
Mở đầu ………………………………………………………………………………….……….1
Chƣơng 1: Siêu mạng hợp phần và phƣơng trình đơng lƣợng tử cho phonon âm
(sóng âm) trong bán dẫn khối…………………...………………..………………….4
1.1. Siêu mạng hợp phần…………….……………………….…………………4
1.1.1. Bán dẫn siêu mạng…………...…………………………………………...4
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong siêu mạng hợp
phần……..…………………..………………………………………………………….4
1.2. Phương trình động lượng tử và bài tốn gia tăng sóng âm (phonon âm)
trong bán dẫn khối……...………………………………………………………………6
1.2.1.Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn
khối…...…………………………..…………………………………………………….6
1.2.2.Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp
hấp thụ một phonon)…………..………………………………………………………..8
1.2.3.Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng âm
và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối……..…...........................................12
Chƣơng 2: Phƣơng trình động lƣợng tử và hệ số gia tăng phonon âm (sóng âm)
giam cầm trong siêu mạng hợp phần …..……………………………………….….16
2.1. Phương trình động lượng tử của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu
mạng hợp phần.…………….…………………………………………….....................16
2.1.1. Phương trình động lượng tử của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong
bán dẫn siêu mạng………………………………………………………......................16
2.1.2. Phương trình động lượng tử của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong
siêu mạng hợp phần……………………………...…………………………….……...28
2.2. Biểu thức giải tích của hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong
siêu mạng hợp phần………….…………………………...…………………………...35
2.2.1. Trường hợp khí electron khơng suy biến….……………..………….......35
2.2.2. Trường hợp khí electron suy biến……….……………………..………..37
Chƣơng 3: Tính tốn số và vẽ đồ thị cho siêu mạng hợp phần
GaAs-Al0.3Ga0.7As.…………………………………………………………..………..42
3.1. Tính tốn số trường hợp khí electron khơng suy biến……..……………...42
3.2. Tính tốn số trường hợp khí electron suy biến………….………………...45
Kết luận……….……………………………………………………………………....47
Tài liệu tham khảo….……………………………………………............…………..48
Phụ lục……………….………………………………………………….……………50
1
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong vài thập kỷ gần đây, công nghệ Laser phát triển mạnh và được áp dụng trong
nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Nhiều tác giả đã và đang quan tâm nghiên cứu các
màng mỏng và các cấu trúc nhiều lớp của vật liệu. Trong các hệ có cấu trúc nanơ,
chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hướng tọa độ với một
vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước sóng De Boglie, các tính chất của
electron bị thay đổi đáng kể, đặc biệt một số tính chất mới khác biệt so với vật liệu
khối xuất hiện gọi là hiệu ứng kích thước. Các quy luật lượng tử đã bắt đầu có hiệu lực
đáng kể mà đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lượng bị biến đổi. Phổ
năng lượng của electron trở thành gián đoạn dọc theo hướng tọa độ bị giới hạn, do đó
đặc trưng của hạt dẫn trong các cấu trúc này tương tự như khí electron thấp chiều
1 4,9 .
Với sự phát triển của vật lý chất rắn, công nghệ nuôi cấy tinh thể epytaxy chùm
phân tử (MBE) và kết tủa hơi kim loại hữu cơ (MOCV), cho phép tạo ra nhiều hệ các
cấu trúc thấp chiều như: hố lượng tử (quantum well), siêu mạng (superlattice), dây
lượng tử(quantum wire), chấm lượng tử (quantum dot). Trong số các vật liệu mới đó,
các nhà vật lý đặc biệt chú ý tới bán dẫn siêu mạng. Bán dẫn siêu mạng có nhiều ưu
điểm là do có thể dễ dàng điều chỉnh các tham số, từ đó có thể tạo ra các bán dẫn siêu
mạng có đặc trưng cấu trúc và các hiệu ứng đáp ứng những yêu cầu và mục đích sử
dụng khác nhau.
Khi các nguồn bức xạ cao tần ra đời đã mở ra một hướng nghiên cứu mới về các
hiệu ứng cao tần gây bởi tương tác của các trường sóng điện từ cao tần lên bán dẫn siêu
mạng. Khi sóng điện từ cao tần (có tần số thỏa mãn điều kiện 1, : thời gian
hồi phục xung lượng) tương tác với vật liệu thì định luật bảo tồn xung lượng bị thay
đổi do sự tham gia của photon vào quá trình hấp thụ và phát xạ phonon (trong đối số
của hàm Delta - Dirac mơ tả định luật bảo tồn khi 1, ngoài năng lượng electron,
2
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
phonon cịn có cả đại lượng liên quan tới năng lượng photon l , l là số nguyên). Kết
quả là hàng loạt các hiệu ứng mới xuất hiện - hiệu ứng cao tần. Khi đó electron có thể
tương tác với phonon và gây ra các hiệu ứng có bản chất mới khác hồn tồn trường
hợp khơng có sóng điện từ cao tần (khi khơng có đại lượng liên quan tới năng lượng
photon l vào đối số của hàm Delta - Dirac) 5 8,12 15 .
Công nghệ laser cho phép ta nghiên cứu một số hiệu ứng mới trong hệ cấu trúc thấp
chiều, trong đó có hiệu ứng về gia tăng sóng âm (phonon âm). Trong bán dẫn khối hiệu
ứng này đã được nghiên cứu cả trường hợp khí electron suy biến và khơng suy biến, cả
q trình hấp thụ một photon cũng như nhiều photon. Trong siêu mạng hợp phần, hiệu
ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam cầm đã được
nghiên cứu, bài tốn về tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu
mạng hợp phần đang còn để ngỏ.
Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu ảnh
hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm
trong siêu mạng hợp phần”.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu về mặt lý thuyết, để nghiên cứu hiệu ứng giảm kích
thước lên sự gia tăng sóng âm ta có thể dùng các phương pháp khác nhau. Theo quan
điểm cổ điển, ta có thể sử dụng cách giải phương trình động cổ điển Boltzman. Trong
lĩnh vực lượng tử, bài tốn này có thể được giải quyết theo nhiều phương pháp khác
nhau như: lý thuyết nhiễu loạn, phương trình động lượng tử, lý thuyết hàm Green hoặc
phương pháp chiếu tốn tử. Mỗi phương pháp đều có những ưu điểm và nhược điểm
riêng nên tùy từng bài toán cụ thể mà ta lựa chọn phương pháp phù hợp.
Trong luận văn này, chúng tơi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử
cho phonon. Từ Hamiltonian của hệ điện tử phonon ta xây dựng phương trình động
lượng tử đối với hàm phân bố số phonon hoặc hàm phân bố lượng tử tổng quát của
phonon để nghiên cứu tốc độ thay đổi sóng âm (phonon âm) trong siêu mạng hợp phần.
3
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Từ biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) trong siêu mạng
hợp phần, chúng tơi tiến hành tính tốn số và thảo luận kết quả thu được đối với siêu
mạng GaAs-Al0.3Ga0.7As cho trường hợp sóng âm (phonon âm) giam cầm.
3. Mục đích nghiên cứu
Bằng cách sử dụng phương trình động lượng tử cho sóng âm (phonon âm) giam
cầm chúng tơi xây dựng cơng thức tính hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm
trong siêu mạng hợp phần. Từ đó, chúng tơi đã khảo sát và tính tốn số các kết quả cho
một siêu mạng hợp phần điển hình là GaAs-Al0.3Ga0.7As trong hai trường hợp khí điện
tử khơng suy biến và có suy biến.
4. Bố cục luận văn:
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình
bày làm 3 chương.
Một số vấn đề liên quan về siêu mạng hợp phần và phương trình động lượng tử
được trình bày ở chương I.
Trong chương II, phương trình động lượng tử được xây dựng cụ thể, từ đó xây
dựng được biểu thức giải tích của hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong
siêu mạng hợp phần.
Việc tính số, vẽ đồ thị và thảo luận đánh giá kết quả cho một siêu mạng điển hình
GaAs-Al0.3Ga0.7As được trình bày ở chương III
Với kết quả đã thực hiện được trong luận văn, một phần các kết quả đó được gửi
đăng trên tạp chí “Nghiên cứu Khoa học và Cơng nghệ Quân Sự”.
CHƢƠNG I
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ
CHO SÓNG ÂM (PHONON ÂM) TRONG BÁN DẪN KHỐI
4
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
I.1. Siêu mạng hợp phần
I.1.1. Bán dẫn siêu mạng
Bán dẫn siêu mạng (superlattice) là vật liệu bán dẫn có cấu trúc tuần hoàn nhân
tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp
nhau.
Với cấu trúc có tính tuần hồn, nên ở bán dẫn siêu mạng các electron ngoài sự
chịu thế tuần hồn của mạng tinh thể, cịn phải chịu một thế phụ tuần hồn do siêu
mạng tạo ra có chu kì lớn hơn nhiều lần so với hằng số mạng. Thế phụ này được tạo ra
do sự khác biệt của các đáy vùng dẫn của hai loại bán dẫn tạo thành siêu mạng.
Bán dẫn siêu mạng gồm các lớp mỏng A có bề dày d A nằm xen kẽ giữa các lớp
mỏng B có bề dày dB. Chọn hướng vng góc với các lớp bán dẫn làm trục siêu mạng
Oz. Khi đó, khoảng cách d = dA + dB gọi là chu kì của siêu mạng.
Dựa vào cấu trúc của hai lớp bán dẫn A và B, người ta chia bán dẫn siêu mạng
ra thành hai loại là: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng hợp phần.
I.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong bán dẫn siêu mạng hợp phần
Bán dẫn siêu mạng hợp phần là bán dẫn gồm các lớp bán dẫn A và B khác nhau
thỏa mãn hàng rào thế trong các hố lượng tử đa lớp trở thành đa lớp với hiệu ứng
đường ngầm, các hố lượng tử đa lớp trở thành bán dẫn siêu mạng hợp phần.
Hệ electron trong bán dẫn siêu mạng hợp phần là hệ electron chuẩn hai chiều.
Thế siêu mạng có ảnh hưởng rất ít đến chuyển động của electron theo phương vng
góc với trục siêu mạng (trục z), còn chuyển động theo hướng z sẽ tương ứng với
chuyển động với một trường thế tuần hoàn với chu kỳ d. Kết quả là
2k 2
n (k )
n (k z ) .
2m*
(1.1)
5
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Với k cố định, đường cong tán sắc (k z ) của bán dẫn phân thành các mini
vùng năng lượng n (k z ) , được ngăn cách nhau bởi mini vùng cấm có tâm tại vị trí
k z 0 và biên tại k z .
d
Các đặc điểm định tính cấu trúc vùng năng lượng của các bán dẫn siêu mạng là
giống nhau đối với các siêu mạng khác nhau . Phổ n (pz ) bao gồm hàng loạt các vùng
năng lượng mini không chồng chập lên nhau. Khi chỉ số vùng năng lượng mini n tăng,
độ rộng của khe năng lượng mini bị giảm. Nếu năng lượng của mini vùng nhỏ hơn cực
đại của thế siêu mạng thì trong gần đúng liên kết mạnh năng lượng được mô tả như kết
quả của Shik
n (k z ) n n cos(k zd) ,
(1.2)
Trong đó n là một nửa độ rộng của mini vùng n, n là mức năng lượng trong hố
lượng tử cô lập, được xác định bởi tham số của siêu mạng
2 2 n 2
n
2m*d 2
Từ đó ta có phổ năng lượng của electron trong siêu mạng hợp phần ở trạng thái n,k
có dạng:
n ,k
2 k2 2 2 n 2
cos(kn d )
n
2m 2md 2
(1.3)
Cần lưu ý rằng n và n là những tham số có thể thay đổi được nhờ thay đổi
các tham số khác của siêu mạng.
Hàm sóng tồn phần của electron có thể phân thành hai thành phần, một phụ
thuộc vào z, còn thành phần kia chỉ phụ thuộc vào x và y
r x, y z ,
(1.4)
Trong đó x, y là nghiệm phương trình đối với hạt tự do nên có dạng sóng phẳng.
6
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Hàm sóng tổng cộng của electron trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần
trong gần đúng liên kết mạng có dạng
r
S0
1
ik r
e eikz jz n z jd
Lx Ly S0
j 1
Trong đó Lx, Ly tương ứng là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y
I.2. Phƣơng trình động lƣợng tử và bài tốn gia tăng sóng âm (phonon âm) trong
bán dẫn khối.
I.2.1.Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn khối:
Hamiltonian của hệ điện tử phonon trong bán dẫn khối là:
2
1 e
H (t )
p A(t ) a p a p
q bqbq
C a a (bq bq )
q p q p
c
p 2m
q
p ,q
(1.5)
Trong đó a p và ap ( b q và b q ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của
điện tử (phonon); p và ( p q) là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ;
p , (q) là
vectơ
sóng
của
điện
tử
(phonon)
trong
bán
dẫn
2
1 e
p A(t ) là năng lượng điện tử; q là năng lượng của
khối; ( p)
2m
c
phonon âm; c là vận tốc ánh sáng; m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện
tử; C q là hằng số tương tác điện tử - phonon, A(t ) là thế vectơ. Trong mối liên hệ
với trường sóng điện từ, A(t ) xác định bởi biểu thức:
2
1 e
H (t )
p A(t ) a p a p
q bqbq
Cq ap q ap (bq bq )
c
p 2m
q
p ,q
(1.6)
Từ (1.5) ta có:
7
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
i
bq
t
bq , H (t )
t
k bq , bkbk
k
t
t
2
1
e
p
A(t ) bq , a p a p
2m p
c
t
(1.7)
Ck bq , ap k ap (bk bk ) .
t
p ,k
Thực hiện phép biến đổi và dựa vào các hệ thức tốn tử, ta có:
i
bq q bq Cq a p q a p
t
t
t
p
Thiết lập phương trình cho
Thực
hiện
biến
a p q a p
đổi
(1.8)
t
t:
đại
số
toán
tử
biểu
thức
(1.8),
ta
thu
được:
1
e
i a pq a p a pq a p , H (t )
p ' A(t )
a pq a p , a p 'a p '
t
t
t
t
t
t
2m p '
c
2
h
k
k
a p q a p , bb C a p q a p , a a (b b )
k k
p 'k p ' k
k
t
t
k
t
p ',k
i
a p q a p
t
Ck
k
t
eq
p p q
A(t ) a p q a p
mc
a a
p
p k
(bk bk )
t
(1.9)
t
t
a p k a p (bk bk )
t
(1.10)
Từ (1.10) ta tìm được:
a p q a p
t
t
i dt1
Ck
k
a a
p
p k
(bk bk )
t
e 1
exp i ( p p q )(t1 t ) i
qA
(
t
)
dt
2
2
mc t
t
a p k a p (bk bk )
t
1.11
Thay (1.10) vào (1.8), ta có:
8
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
a p a (b b ) a a p (b b )
bq iq bq CqCk dt1
k
k
p k k k t p k
t
t
t
p ,k
k
t
t
e 1
exp i ( p p q )(t1 t ) i
qA
(
t
)
dt
2
2
mc t
t
1.12
Trong gần đúng bậc hai của Cq , có thể bỏ qua bq t , và sẽ thu được:
1
bq
t
t
iq bq
C
2
q
t
(n
p ,k
t
p
n p q ) dt1 bq
t1
t
e 1
exp i ( p p q )(t1 t ) i
qA
(
t
)
dt
2
2
mc t
1.13
Với:
cE0
A(t2 ) cE0 sin(t2 )dt2
cos(t2 )
1.14
Thay (1.14) vào (1.13) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi 10,11 :
exp( iz sin )=
J ( z )exp( in )
n
n
J n ( z ) là các hàm Bessel đối số thực ta sẽ có :
bq iq bq
t
t
t
C
2
q
(n
p
t
p
n p q ) dt1 bq
t1
eE0 q eE0 q
exp i ( p p q )(t1 t ) ilt1 ist J l
J
2 s
2
m
l , s
m
1.15
Phương trình (1.15) chính là phương trình động lượng tử của phonon trong bán
dấn khối.
I.2.2. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp hấp
thụ một phonon):
Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:
9
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Bq ( ) bq t eit dt
b 1 B ( )e it d
q t
q
2
bq
t
t
i bq
(1.16)
t
Từ phương trình (1.15) và (1.16) ta có
i bq iq bq
t
t
t
Cq2 (n p n p q ) dt1 bq
p
t1
eE0 q eE0q
Jl
J
expi ( p p q )(t1 t ) ilt1 ist
2 s
2
l , s
m m
1.17
Hay viết dưới dạng khác:
1
i
2
1
B
(
)
e
d
i
Bq ( )e it d
2
eE
q
eE
q
Cq2 (n p n p q ) J l 0 2 J s 0 2
p
l , s
m m
t
1
dt1
2
it
q
B ( )e
q
q
it
d exp i ( p p q )(t1 t ) il t1 ist
eE0 q eE0 q
C (n p n p q ) J l
J
2 s
2
p
l , s
m m
Bq ( )e it ilt ílt
1
i( p p q l i ) d
2
2
q
Trong đó: ( x) là hàm Delta-Dirac.
Dùng cơng thức chuyển phổ Fourier ta lại có:
B ( )e
q
it ilt íst
d
B (s l )e
q
it
d
Nên:
10
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
1
i
2
1
B ( )e
d i
Bq ( )e it d
2
eE0 q eE0 q
2
Cq ( n p n p q ) J l
J
2 s
2
p
l , s
m m
1
2
it
q
q
Bq ( s l ) e it
i(
p
p q l i )
1.18
d
Từ phương trình (1.18) ta có:
n p n p q
i Bq ( ) iq Bq ( ) Cq2
i( p p q l i )
eE0 q eE0 q
Jl
J
B ( s l )
2 s
2 q
m
m
l , s
eE0
Từ (1.19) đặt a
m 2
p
( )
p
q
n p n p q
( p p q l i )
1.19
1.20
; 0
Ta sẽ có:
( q ) Bq ( ) Cq
2
J aq J aq ( l)B (s l )
l , s
l
s
q
q
Nhận xét rằng trong phương trình (1.21) các số hạng với
1.21
l s bên vế phải sẽ cho
đóng góp hằng số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn số hạng với
l s . Vậy có thể
đặt l = s trong cơng thức (1.21) và thu được phương trình tán sắc:
( q ) Bq ( ) Cq
2
J aq ( l) 0
l
2
l
q
1.22
Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
(q ) Im( )
Cq
2
J aq n
l
2
l
p
p
n p q p p q l q
1.23
11
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ cơng thức chung (1.23) ta tính hệ số
hấp thụ sóng âm (q ) cho bán dẫn:
Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ một
photon, với giả thiết q>>pF; F , thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
2 m2 eE0 q q m
q m
(q )
pF
2
4 s m 2
q
2
q
eE0
Trong đó là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm,
m
PF là xung lượng Fermi của điện tử; ( z ) là hàm có bước nhảy:
1, z 0
0, z 0.
( z)
Ở điểm q 2m , (q ) sẽ đổi dấu và với:
2m pF pF q 2m sẽ xuất hiện sự gia tăng sóng âm (q ) 0
Đối với trường hợp bán dẫn không suy biến và hấp thụ một phonon: coi đối
eE0
số của hàm Bessel rất nhỏ sao cho aq 1 với
.
m
Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử:
p2
n p Aexp
2mkT
;
2
A n0
mkT
3/2
(1.24)
Hằng số tương tác điện tử - phonon âm:
Cq
2
2q
V0 2 s
(1.25)
Với V0 thể tích của tinh thể, thường chọn V0=1;
- hằng số thế biến dạng.
s – vận tốc sóng âm.
- mật độ tinh thể.
12
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Đặt (1.24), (1.25) vào công thức chung (1.23). Chuyển từ tổng sang tích phân theo p ,
thu được biểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm trường hợp hấp thụ một photon:
2
q
sh
exp
2
S
q q
2
2kT
2
q
q4
2
exp 2 Sqq sh
exp S q q
4m 2
2kT
n 2 m
(q ) 0
s 2kT
1/2
1.26
Ở đây :
Sq
m
2q 2 kT
K là hằng số Boltzmann;
N0 là mật độ điện tử;
T là nhiệt độ tuyệt đối của hệ.
Từ công thức (1.26), trong trường hợp bất đẳng thức q được thực hiện, ta có
(q ) 0 và ứng với nó ta có hệ số hấp thụ sóng âm. Ngược lại, trong vùng sóng âm
thỏa mãn bất đẳng thức q ta có (q ) 0 và có dạng tường minh sau:
n0 2 m
(q )
s 2kT
1/2
2
sh
2kT
2
sh 2S qq
q4
exp Sq q2 2
2
4m
(1.27)
Công thức (1.27) chứng tỏ lúc này hệ số hấp thụ sóng âm ( (q ) 0 ) đã chuyển
thành hệ số gia tăng sóng âm ( (q ) 0 ). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng sóng âm bởi
trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường hợp hấp thụ một
photon.
I.2.3. Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng âm và
điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối:
Ta viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.23) dưới dạng khác:
13
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
2
(q ) Cq J l2 aq n p p q p l q p q p l q
p
l
Đặt p q p l q trong trường hợp
(1.28)
1 , dùng công thức biến đổi:
2 2
J l 2 2
l
2
l
Ta sẽ thu được:
(q ) Cq
2
2 2 2 2
n p
2
2
2
2
p
(1.29)
eE0
m
Trong đó:
Sử dụng:
q2
pq
q 2 pz q
p q p l q
q
q
2m 2m
2m 2m
q2
pq
q 2 pz q
p q p l q
q
q
2m 2m
2m 2m
Công thức biến đổi tổng thành tích phân
2
1
... 2 d .dP .P dP ....
p
.
3
.
z
0
Và xét bán dẫn không suy biến, thì từ phương trình (1.26) ta có phương trình sau:
2
A Cq
(q )
3
2
2
P2
Pz2
0 d .0 dP..P. exp 2mkT 0 dPz exp 2mkT
q2
2
2m
q2
2
2m
2
2
2 q2
pz q
pz q
q
q
2m
2
m
2
m
2
2
q2
pz q
pz q
2
q
q
2m
2
m
2
m
(1.30)
Tiếp theo ta tính tích phân theo Pz, P của (1.30), ta nhận được:
14
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
2
2 m .n0
m q2
2
(q )
q
exp 2
kT .2 2 s
2q kT 2m
1 / 2
2
!
l 0
q
q
2m
m q2
q
I 2
q kT 2m
2
m q2
exp 2
q 2
2q kT 2m
1 / 2
2
!
l 0
q
q
2m
2
m q
q
I 2
q
kT
2
m
1.31
Cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong bán dẫn bởi
trường bức xạ Laser đối với quá trình hấp thụ nhiều photon như sau:
2 n0 m
(q )
2 s 2kT
1/2
1/2
m 2
exp 2
2q kT
1 / 2
2
!
l 0
q q
2m
exp q 2
kT q
q
2m
2
m q2
exp 2
q
2q kT 2m
m q2
q
I 2
q kT 2m
2
m q
I 2
q
q kT 2m
1.32
Từ (1.32) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện:
2
m q2
m q
q 2
q 1.33
2
I 2
I 2
q q kT 2m
q q kT 2m
q
q
2m
2m
15
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Thì (q ) 0 , cịn nếu:
m q2
m q2
q 2
q 1.34
2
I 2
I 2
q q kT 2m
q q kT 2m
q
q
2m
2m
Thì ta có (q ) 0 và có dạng tường minh như sau:
1/2
2
1/2
m 2
2 n0 m
m q2
(q )
q
exp 2 exp 2
2 s 2kT
2
q
kT
2
q
kT
2
m
m q2
1 / 2
q
I
exp
2
q
q2
!
kT
q
kT
2
m
l 0
q
2m
2
q
q
2m
m q2
I
2
q
q kT 2m
1.35
Công thức (1.35) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm (q ) 0 đã chuyển
thành hệ số gia tăng sóng âm (q ) 0 . Nghĩa là một lần nữa ta thu nhận được hệ số
gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon bởi trường bức xạ Laser.
16
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
CHƢƠNG II
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ HỆ SỐ GIA TĂNG SÓNG ÂM
(PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
II.1. Phƣơng trình động lƣợng tử của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu
mạng hợp phần.
II.1.1. Phương trình động lượng tử của sóng âm (phonon âm) giam cầm trong bán
dẫn siêu mạng:
Hamiltonian của hệ điện tử phonon âm giam cầm trong bán dẫn siêu mạng khi có
mặt trường bức xạ laser E E0 sin(t ) có dạng:
H = He + Hph + He-ph
(2.1)
Trong đó:
He =
n (k
n,k
Hph =
m , q
m , q
e
A(t ))a n,k a n,k : năng lượng của các điện tử không tương tác
c
bm ,q bm,q : năng lượng của các phonon âm không tương tác
C
He-ph =
m m
q n , n ' n ' , k q n , k
'
m, q n , n , k
H
I
a
a
n (k
=
n,k
C
m m
'
'
q
n
,
n
n
, k q n, k
m, q n , n ' , k
I a
(bm, q bm , q ) : năng lượng tương tác điện tử phonon âm
a
e
A(t ))a n,k a n,k
c
+
m , q
m , q
(bm, q bm, q )
bm ,q bm,q
+
(2.2)
Gọi N m,q (t ) bm,q bm,q là số phonon âm giam cầm trung bình tại thời điểm t.
t
Dưới tác dụng của trường laser, hệ điện tử phonon âm giam cầm trở nên khơng
cân bằng.
Phương trình động lượng tử cho phonon âm giam cầm có dạng:
i
N m, q (t )
t
bm , q bm, q , H
t
17
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
N m, q (t )
i
t
bm , q bm, q , H e
b
t
m , q m. q
b
, H ph bm , q bm, q , H e ph
t
(2.3)
t
Thay (2.2) vào (2.3) ta có:
N m, q (t )
i
t
e
a
b ,
(
k
A
(
t
))
a
b
+
+
bm, q bm, q ,
' ' b ' ' b ' '
n
m
,
q
m
,
q
n
,
k
n
,
k
m
,
q
m
,
q
m
,
q
c
t
n, k
t
m ' , q '
m' m'
bm, q bm, q , Cq' I n, n ' an ' , k q' an, k (bm ' , q' bm ' , q' )
m ' , q ' n , n ' , k
t
Trong đó:
n, k
a
(an, k
) là tốn tử sinh (hủy) của điện tử ở trạng thái n, k
bm, q (bm, q ) là toán tử sinh (hủy) của phonon âm giam cầm ở trạng thái m, q
k (q ) là xung lượng của điện tử (phonon) trong mặt phẳng vuông góc với trục của
siêu mạng.
m, q tần số của phonon âm giam cầm.
1 dA(t )
E0 sin(t ) .
A(t ) thế vecto của trường điện từ được xác định bởi:
c
m 2
q
C
dt
2 2 m 2
q (
) hệ số tương tác điện tử phonon âm
vsV
L
V thể tích tinh thể; hằng số biến dạng; vs vận tốc âm; mật độ của tinh thể
TÍNH:
1. Số hạng thứ 1:
b
m, q m, q
b
, He
=
t
e
a
(
k
A
(
t
))
a
bm, q bm, q ,
n
n, k n, k
c
n, k
t
18
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
n k
=
n, k
b
m, q m, q
b
e
At bm, q bm, q , an, k an, k
c
=0
t
, He = 0
t
(2.4)
2. Số hạng thứ 2
b
m, q m, q
b
, H ph = bm, q bm, q , m ' , q ' bm ' , q ' bm ' , q '
t
m' ,q '
b
=
m , q
m ' , q '
m , q '
'
b
m, q m, q
Tính:
b
bm,q , bm ' ,q ' bm' ,q '
, bm ' , q ' bm' , q '
t
t
= (bm , q bm ' , q' bm ' , q' bm, q ) m, m ' q , q' = 0
bm, q bm, q , H ph
=0
t
(2.5)
3. Số hạng thứ 3:
b
m, q m, q
=
b
m' m'
b
b
,
C
I
a
a
(
b
b
)
, H e ph = m, q m, q q' n, n ' n ' , k q' n, k m ' , q '
m ' , q '
t
m ' , q ' n , n ' , k
C
b
m, q m, q
m' m'
'
q n, n '
m ' , q ' n , n ' , k
I
b
, an' , k
'
q
Tính:
b
m, q m, q
b
=
, an' , k
'
q
an, k (bm' , q ' bm ' , q ' )
an, k (bm ' , q ' bm ' , q ' )
t
t
= bm, q bm, q (bm ' , q' bm ' , q' ) (bm ' , q' bm ' , q' )bm, q bm, q an ' , k q' an, k
m,m'
q
bm ,q m,m' q
b
' m,q
,q
bm, q bm, q , H e ph
'
, q
a
n ' , k q ' n, k
a
t
19
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
=
=
Cqm' I nm, n ' (bm , q m, m ' q
'
m ' , q ' n , n ' , k
C
'
, q
m, m ' q
'
, q
bm, q )an' , k
q '
an, k
t
bm , q an' , k
m
m
q n, n '
n, n ' , k
'
I
q
an, k
t
-
C
bm, q an' , k
m m
q n, n '
n, n ' , k
I
q
an, k
(2.6)
t
Thay (2.4), (2.5), (2.6) vào (2.3) ta có:
i
i
N m, q (t )
t
N m, q (t )
t
n, k
'
n , k q
Với F
I nm, n ' Cmq bm , q an' , k
n, n ' , k
n, n ' , k
q
an, k
t
Cqm bm, q an' , k
q
an, k
'
I nm, n ' Cqm Fnn, k, k q m, q , t Cmq Fnn' ,,kk q m, q , t
t
(2.7)
m, q , t = an, k an' , k q bm, q
x, p
Tương tự ta viết phương trình động cho Fy , p21 m, q , t
i
Fyx,,pp21 m, q , t
i
Fyx,,pp21 m, q , t
t
t
= ax, p1 a y , p2 bm, q , H
(2.8)
t
= ax, p1 ay, p2 bm, q , H e t + ax, p1 a y , p2 bm, q , H ph
t
+ ax, p1 a y , p2 bm, q , H e ph
t
Tính
1. Số hạng thứ 1:
a
=
x , p1 y , p 2 m, q
a b
n1 , k 1
a
e
, H e = ax, p1 a y , p2 bm, q , n1 k1 At an1 , k1 an1 , k1
t
c
n1 , k 1
e
At ax, p1 a y , p2 bm, q , an , k an , k
n1 k1
1 1
1 1
c
x , p1 y , p 2 m, q
a
b
, an , k an , k
1
1
1
1
= a
x , p1 y , p 2 n1 , k 1 n1 , k 1
a
a
a
t
t
an , k an , k ax, p1 a y , p2 bm, q
= ax, p1 an1 , k1 y , n1 p2 , k1 an1 , k1 ay , p2 x, n1 p1 , k1 bm, q
1
1
1
1
(2.9)
2. Số hạng thứ 2
20
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
a
=
a
a b , H ph = ax, p1 a y , p2 bm, q , m1 , q1 bm1 , q1 bm1 , q1
t
m1 , q 1
x , p1 y , p 2 m, q
m1 , q 1
x , p1 y , p 2 m, q
a
a
m1 , q 1
b
x , p1 y , p 2 m, q
a
b
, bm1 , q1 bm1 , q1
t
t
, bm1 , q1 bm1 , q1 = ax, p1 a y , p2 bm, q , bm1 , q1 bm1 , q1
= ax , p1 a y , p 2 bm1 , q1 m, m1 q , q1
(2.10)
3. Số hạng thứ 3:
a
x , p1 y , p 2 m, q
a
b
, H e ph
t
m m
b b
,
1 I 1 'a '
a
a
b
C
a
q1 n1 ,n1 n1 ,k1 q1 n1 ,k1 m1 ,q1 m1 ,q1
=
x , p1 y , p 2 m , q
m1 , q 1 n1 , n1' , k 1
=
a
C
m m1
1
q 1 n1 , n1'
m1 , q 1 n1 , n1' , k 1
x , p1 y , p 2 m, q
a
b
I
, an' , k
1
a
x , p1 y , p 2 m, q
a
a
1 q 1 n1 , k 1
, an' , k
b
b
m1 , q 1
1
bm1 , q1
1 q 1
an' , k
1
1
1
an , k bm1 , q1 bm1 , q1
1
1
1 q 1
'
1
t
ay, p2 bm1 , q1 bm1 ,q1 bm, q m, m1 q ,q1
x, p
q
1 n1 , k 1 y , p 2
1
1
a a
t
y,n' p ,k ax, p1 an ,k bm,q bm1 ,q1 bm1 ,q1 n , x k , p an ,k
2 1
1 1
1
1
a
(2.11)
Thay (2.9), (2.10), (2.11) vào (2.8) ta được:
Fyx,,pp21 m, q , t
i
t
e
n1 k1 c At ax, p an ,k y,n p ,k an ,k ay, p x,n p ,k bm,q
n1 , k 1
m1 , q 1
m1 , q 1
1
1
1
1
1
2
ax, p1 ay , p2 bm1 , q1 m, m1 q , q1
1
1
2
1
1
1
t
t
21
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
C
m
m1
1
'
q 1 n1 , n1
'
m1 , q 1 n1 , n1 , k 1
y,n p
'
1
2 , k 1
I
ax, p1 an , k bm, q bm1 , q1 bm1 , q1 n1 , x k
1
1
m, m1 q , q1 an' , k
1
x
, p1 n1 , k 1
q
1
1
a
a
1 , p1
an' , k
1
1 q 1
a y , p2
t
e
e
At ax, p a y , p bm, q
y p2 At ax, p1 a y , p2 bm, q x p1
1
2
t
c
c
m, q ax, p1 a y , p2 bm, q
C
m
1
q 1
m1 , q 1
t
t
I xm,1y ax, p1 a y , p2 q1bm,q bm1 ,q1 bm1 , q1 ax, p1q1 a y , p2 bm1 ,q1 bm1 , q1 bm,q
n1 , n1' , k 1
a y , p2 bm1 , q1 bm1 , q1 bm, q
Cmq I nm , n ' an' ,k
1
1
1 q
1
ax, p1 an ,k a y , p2
1
1
t
t
Fyx,,pp21 m, q , t
e
e
y p2 At x p1 At m, q Fyx,,pp m, q , t
i
c
c
t
1
2
C
m1 , q 1
m m1
1
q 1 x , y
n1 , n1' , k 1
I
ax, p1 a y , p2 q1bm,q bm1,q1 bm1,q1 ax, p1q1 a y , p2 bm1,q1 bm1,q1 bm,q
Cmq I nm , n ' ax , p1 an' ,k
1
1 q
1
1
an ,k a y , p2
1
1
t
Fyx,,pp21 m, q , t i
e
e
x p1 At y p2 At m, q
t
c
c
x, p1
Fy , p2 m, q , t
i
Cqm11 I xm,1y ax, p a y , p q bm,q bm ,q bm , q ax, p q a y , p bm ,q bm , q bm,q
m1 , q1
1
t
2
1
1
1
i
Cmq I nm , n ' an' ,k q ax, p1 an ,k a y , p2
1 1
1 1
1 1
n1 , n1' , k1
1
1
1
1
t
2
1
1
1
1
t
(2.12)
Giải (2.12): giải phương trình vi phân khơng thuần nhất với điều kiện F = 0
i
e
e
F
x p1 At y p2 At m, q F
c
c
t
22
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
i
e
e
F
p
A
t
p
At m, q t
x 1
y 2
c
c
F
(2.13)
Lấy tích phân 2 vế của (2.13) từ t :
2.12 ln F
i t
e
e
p
A
t
p
At1 m, q dt1
x
1
1
y
2
c
c
i t
e
e
F m exp x p1 At1 y p2 At1 m, q dt1
c
c
Giải phương trình vi phân không thuần nhất:
i t
e
e
F (t ) m t exp x p1 At1 y p2 At1 m, q dt1
c
c
(2.14)
i t
e
e
'
At1 y p2
At1 m, q dt1
F ' (t ) m t exp x p1
c
c
i
e
e
x p1 At1 y p2 At1 m, q F (t )
c
c
(2.15)
Thay (2.15) vào (2.12) thu được:
i t
e
e
m t exp x p1 At1 y p2 At1 m, q dt1
c
c
'
i
e
e
x p1 At1 y p2 At1 m, q F (t )
c
c
i
e
e
x p1 At y p2 At m, q F (t )
c
c
i
Cmq I nm , n ' ax, p1 an' ,k q a y , p2 an ,k
1 1
1 1
1 1
n1 , n1' , k 1
t
i
Cqm11 I xm,1y ax, p1 ay, p2 q1bm,q bm1,q1 bm1,q1 ax, p1q1 a y, p2 bm1,q1 bm1,q1 bm,q
m1 , q1
m t =
'
i
n1 ,n1' ,k1
Cmq I nm,n' ax, p1 an' ,k
1 1
1
1 q
a y , p2 an ,k
1
1
t
t
23
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
