Luận văn thạc sĩ HUS nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.1 MB, 63 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Ngô Thị Mến
NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA HIỆU ỨNG
GIẢM KÍCH THƢỚC LÊN SỰ GIA TĂNG SĨNG ÂM
(PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG
SIÊU MẠNG PHA TẠP
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý tốn
Mã số: 60 44 01
BẢN TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Cán bộ hướng dẫn : PGS.TS Nguyễn Vũ Nhân
Hà Nội- 2011
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
MỤC LỤC
Mở đầu …………………………………………………………………….1
Chƣơng I: Siêu mạng pha tạp và phƣơng trình động lƣợng tử cho phonon
âm
(sóng
âm)
giam
cầm
trong
bán
dẫn
khối………………………………………………………………………...4
I.1. Siêu mạng pha tạp…………………………………………………………….4
I.1.1. Bán dẫn siêu mạng………………………………………………………….4
I.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong siêu mạng pha
tạp…………………………………………………………………………………....4
I.2. Phương trình động lượng tử và bài tốn gia tăng phonon âm (sóng âm)
trong bán dẫn khối………………………………………………........................6
I.2.1.Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn
khối…………………………………………………………………………………..6
I.2.2.Lý thuyết gia tăng sóng âm ( phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp
hấp thụ một phonon)…………………………………………………………8
I.2.3.Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng
âm và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối…………….....12
Chƣơng II: Phƣơng trình động lƣợng tử và hệ số gia tăng phonon âm
(sóng âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp và biểu thức giải
tích……………………………………………...........................................16
II.1. Phương trình động lượng tử của phonon âm (sóng âm) giam cầm trong
siêu mạng pha tạp………………………………………………..............16
II.1.1. Phương trình động lượng tử của phonon âm (sóng âm) giam cầm trong
bán dẫn siêu mạng………………………………………………………..16
II.1.2. Phương trình động lượng tử của phonon âm (sóng âm) giam cầm trong
siêu mạng pha tạp…………………………………………………………27
II.2. Biểu thức giải tích của hệ số gia tăng phonon âm (sóng âm) giam cầm
trong siêu mạng pha tạp………………………………………….....................34
II.2.1. Trường hợp khí electron khơng suy biến……………………………...34
II.2.2. Trường hợp khí electron suy biến………………………………………36
Chƣơng III: Tính tốn số và vẽ đồ thị cho siêu mạng pha tạp n-GaAs/ pGaAs……………………………………………………………………41
III.1. Tính tốn số trường hợp khí electron khơng suy biến………………...42
III.2. Tính tốn số trường hợp khí electron suy biến………………………...48
Kết luận………………………………………………………..................53
Tài liệu tham khảo……………………………………………………….54
Phụ lục……………………………………………………………………56
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc tần số
trường laser ứng với nhiệt độ 450 K (đường gạch), 480 K (đường liền),
500K(đường chấm)……………………………………………………..……………42
Hình 3.2: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc biên
độ trường laser ứng với nhiệt độ 450 K (đường gạch), 480 K (đường liền), 500
(đường
K
chấm)…………………………………………………………………..………………43
Hình 3.3: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc vào
nhiệt độ ứng với số sóng q 9 108 m1 (đường gạch), q 8 109 m1 (đường chấm),
q 8.1109 m1 (đường liền)………………………………………………………..…44
Hình 3.4: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc nồng
độ pha tạp ứng với nhiệt độ 480 K (đường gạch), 490 K (đường chấm), và 500
K
(đường
liền)………………………………………………………………………………….…45
Hình 3.5: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc vào
chu kì siêu mạng d ứng với số sóng
q 8 108 m1 (đường
liền),
q 8.5 108 m1 (đường chấm), q 9 108 m1 (đường gạch)………………..….…46
Hình 3.6: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc số
sóng q ứng với nhiệt độ 450 K (đường gạch), 480 K (đường liền), 500 K
(đường
chấm)…………………………………………………………..……………47
Hình 3.7: A (đường liền ), B (đường chấm) là hàm của biên độ trường laser E0
với
q 3.2 108 m1 ………………………………………………………………………….49
Hình 3.8: A (đường liền), B (đường chấm) là hàm của số sóng q với
m ………………………………………………………………………..50
E0 3 108 V
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Hình 3.9: hệ số gia tăng phonon âm giam cầm trong siêu mạng pha tạp phụ
thuộc biên độ trường laser ứng với số sóng 2.5 108 m1 (đường liền), 3 108 m1
(đường gạch), 3.5 108 m1 (đường chấm)……………………………………….51
Hình 3.10: hệ số gia tăng phonon âm giam cầm trong siêu mạng pha tạp phụ
thuộc tần số trường laser ứng với số sóng 2.5 108 m1 (đường gạch), 3 108 m1
(đường liền), 3.5 108 m1 (đường chấm)……………………………………….....52
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Ngày nay, vật lý chất rắn đang đi sâu vào việc nghiên cứu các màng mỏng
và các cấu trúc nhiều lớp. Trong các hệ có cấu trúc nanơ, chuyển động của hạt
dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hướng tọa độ với một vùng có kích
thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước sóng De Boglie, các tính chất của
electron bị thay đổi đáng kể, đặc biệt một số tính chất mới khác biệt so với vật
liệu khối xuất hiện gọi là hiệu ứng kích thước. Khi đó, các quy luật lượng tử
bắt đầu có hiệu lực mà đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lượng
bị biến đổi. Phổ năng lượng của electron trở thành gián đoạn dọc theo hướng
tọa độ bị giới hạn. Do đó, đặc trưng của hạt dẫn trong các cấu trúc này tương tự
như khí electron thấp chiều.
Với sự phát triển của vật lý chất rắn, công nghệ nuôi cấy tinh thể epytaxy
chùm phân tử (MBE) và kết tủa hơi kim loại hữu cơ (MOCV), cho phép tạo ra
nhiều hệ các cấu trúc thấp chiều như: hố lượng tử (quantum well), siêu mạng
(superlattice), dây lượng tử(quantum wire), chấm lượng tử (quantum dot).
Trong số các vật liệu mới đó, vài thập niên gần đây các nhà vật lý đặc biệt chú
ý tới bán dẫn siêu mạng. Bán dẫn siêu mạng có nhiều điểm ưu việt là do có thể
dễ dàng điều chỉnh các tham số, nên có thể tạo ra các bán dẫn siêu mạng có đặc
trưng cấu trúc và các hiệu ứng đáp ứng yêu cầu, mục đích sử dụng khác nhau.
Việc ra đời các nguồn bức xạ cao tần đã mở ra một hướng nghiên cứu mới
về các hiệu ứng cao tần gây bởi tương tác của các trường sóng điện từ cao tần
lên bán dẫn siêu mạng. Khi sóng điện từ cao tần (có tần số thỏa mãn điều
kiện 1, : thời gian hồi phục xung lượng) tương tác với vật liệu thì định
luật bảo tồn xung lượng bị thay đổi do sự tham gia của photon vào quá trình
hấp thụ và phát xạ phonon (trong đối số của hàm Delta - Dirac mô tả định luật
bảo toàn khi 1, ngoài năng lượng electron, phonon cịn có cả đại lượng
liên quan tới năng lượng photon l , l là số nguyên). Kết quả là hàng loạt các
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
hiệu ứng mới xuất hiện - hiệu ứng cao tần. Khi đó electron có thể tương tác với
phonon và gây ra các hiệu ứng có bản chất mới khác hồn tồn trường hợp
khơng có sóng điện từ cao tần (khi khơng có đại lượng liên quan tới năng
lượng photon l vào đối số của hàm Delta - Dirac).
Công nghệ laser giúp ta nghiên cứu một số hiệu ứng mới trong hệ cấu trúc
thấp chiều trong đó có hiệu ứng về gia tăng sóng âm (phonon âm). Trong bán
dẫn khối hiệu ứng này đã được nghiên cứu cả trường hợp khí electron suy biến
và khơng suy biến, cả q trình hấp thụ một photon cũng như nhiều photon.
Trong siêu mạng pha tạp, hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm
(phonon âm) khơng giam cầm cũng đã được nghiên cứu. Tuy nhiên, bài tốn
về tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp vẫn
cịn để ngỏ.
Với những lý do ở trên, chúng tơi chọn nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu ảnh
hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm)
giam cầm trong siêu mạng pha tạp”.
Khóa luận này, chúng tơi sử dụng phương trình động lượng tử cho phonon
âm (sóng âm) giam cầm để xây dựng cơng thức tính hệ số gia tăng sóng âm
(phonon âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp. Từ đó, chúng tơi đã khảo sát
và tính tốn số các kết quả thu được cho một siêu mạng pha tạp điển hình là: n
- GaAs/p - GaAs.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu:
Trong nghiên cứu lý thuyết, để nghiên cứu hiệu ứng giảm kích thước lên sự
gia tăng sóng âm, theo quan điểm cổ điển ta có thể sử dụng cách giải phương
trình động cổ điển Boltzmann. Trong lĩnh vực lượng tử, bài tốn này có thể
được giải quyết theo nhiều phương pháp khác nhau như: lý thuyết nhiễu loạn,
phương trình động lượng tử, lý thuyết hàm Green hoặc phương pháp chiếu
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
tốn tử. Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và nhược điểm riêng nên tùy từng
bài toán mà ta lựa chọn phương pháp cụ thể.
Trong khóa luận này chúng tơi sử dụng phương pháp phương trình động
lượng tử cho phonon. Từ Hamiltonian của hệ điện tử phonon ta xây dựng
phương trình động lượng tử đối với hàm phân bố số phonon hoặc hàm phân bố
lượng tử tổng quát của phonon để nghiên cứu tốc độ thay đổi phonon âm (sóng
âm) trong siêu mạng pha tạp.
Từ biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng phonon âm (sóng âm) trong siêu
mạng pha tạp, chúng tơi đã tiến hành tính tốn số, và thảo luận kết quả thu
được đối với siêu mạng n - GaAs/p - GaAs cho trường hợp phonon âm (sóng
âm) giam cầm.
3. Bố cục luận văn:
Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận được
chia làm 3 chương:
Chương I: Siêu mạng pha tạp và phương trình động lượng tử.
Chương II: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số gia
tăng phonon âm (sóng âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp.
Chương III: Tính số cho siêu mạng pha tạp và vẽ đồ thị.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
CHƢƠNG I:
Siêu mạng pha tạp và phƣơng trình động lƣợng tử cho phonon
âm (sóng âm) giam cầm trong bán dẫn khối
I.1. Siêu mạng pha tạp:
I.1.1. Bán dẫn siêu mạng:
Bán dẫn siêu mạng (superlattice) là vật liệu có cấu trúc tuần hoàn nhân
tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế
tiếp nhau.
Do cấu trúc tuần hoàn, nên trong bán dẫn siêu mạng các electron ngoài
chịu thế tuần hoàn của mạng tinh thể, cịn phải chịu một thế phụ tuần hồn do
siêu mạng tạo ra có chu kì lớn hơn nhiều lần so với hằng số mạng. Thế phụ này
được tạo ra do sự khác biệt của các đáy vùng dẫn của hai loại bán dẫn tạo
thành siêu mạng.
Bán dẫn siêu mạng gồm các lớp mỏng A có bề dày d A nằm xen kẽ giữa
các lớp mỏng B có bề dày dB. Chọn hướng vng góc với các lớp bán dẫn làm
trục siêu mạng Oz. Khi đó, khoảng cách d = d A + dB gọi là chu kì của siêu
mạng.
Dựa vào cấu trúc của hai lớp bán dẫn A và B, người ta chia bán dẫn siêu
mạng ra thành hai loại là: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng
thành phần.
I.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong siêu mạng pha tạp:
Siêu mạng pha tạp là siêu mạng được tạo thành từ hai bán dẫn cùng loại
nhưng được pha tạp khác nhau. Ưu điểm của siêu mạng pha tạp là có thể điều
chỉnh các tham số của siêu mạng dễ dàng nhờ thay đổi nồng độ pha tạp.
Giả sử thế của siêu mạng được tạo ra theo chiều z. Khi bỏ qua sự phụ
thuộc của năng lượng vào thành phần vectơ kz, hàm sóng và phổ năng lượng
của electron trong siêu mạng pha tạp có dạng:
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
s0
+ Hàm sóng: n,kz z eikz jz n z jd
(1.1)
1
+ Phổ năng lượng: n p n
2
(1.2)
j 1
Trong đó:
n z và n : hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong hố lượng tử biệt
lập phụ thuộc vào n.
n: chỉ số lượng tử hóa.
S0: số chu kỳ của siêu mạng.
p 2e
nD
: tần số plasma gây bởi các tạp chất donor với nồng độ pha tạp
0m
nD.
0 : hằng số điện.
e, m là điện tích và khối lượng hiệu dụng của electron.
Vậy hàm sóng của electron trong mini vùng n là tổ hợp của hàm sóng
theo mặt phẳng (x, y) có dạng sóng phẳng, và theo phương của trục z (trục của
siêu mạng) có dạng hàm Block:
s0
ik r
n,k r e un r eikz jz n z jd
(1.3)
j 1
Và phổ năng lượng:
2k 2
1
n k
p n
2m
2
(1.4)
I.2. Phƣơng trình động lƣợng tử và bài tốn gia tăng phonon âm (sóng
âm) trong bán dẫn khối.
I.2.1.Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn khối:
Hamiltonian của hệ điện tử phonon trong bán dẫn khối là:
2
1 e
H (t )
p A(t ) a p a p
q bqbq
Cq ap q ap (bq bq )
c
p 2m
q
p ,q
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
(1.5)
Trong đó ap và ap ( bq và bq ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của
điện tử (phonon); p và ( p q) là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ;
p
(q ) là
vectơ
sóng
của
điện
tử
(phonon)
trong
bán
dẫn
2
1 e
khối; ( p)
p A(t ) là năng lượng điện tử; q là năng lượng của
2m
c
phonon âm; c là vận tốc ánh sáng; m và e tương ứng là khối lượng và điện tích
của điện tử; C q là hằng số tương tác điện tử - phonon, A(t ) là thế vectơ. Trong
mối liên hệ với trường sóng điện từ, A(t ) xác định bởi biểu thức:
2
1 e
H (t )
p A(t ) a p a p
q bqbq
Cq ap q ap (bq bq ) (1.6)
c
p 2m
q
p ,q
Từ (1.5) ta có:
i
bq
t
1
e
bq , H (t )
p A(t ) bq , a p a p
t
2m p
c
2
t
t
(1.7)
k bq , bkbk Ck bq , ap k ap (bk bk ) .
t
t
k
p ,k
Thực hiện phép biến đổi và dựa vào các hệ thức tốn tử, ta có:
i
bq
t
t
q bq Cq a p q a p
t
p
(1.8)
t
Thiết lập phương trình cho a p q a p :
t
Thực
hiện
biến
đổi
đại
số
toán
tử
biểu
thức
(1.8),
ta
thu
được:
i
a p q a p
t
h
k
k
1
e
a p q a p , H (t )
p ' A(t )
a p q a p , a p 'a p '
t
t
t 2m p '
t
c
2
t
a p q a p , bb C a p q a p , a a (b b )
k k
p 'k p ' k
k
t
t
k
t
p ',k
(1.9)
t
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
i
a p q a p
t
Ck
k
t
eq
p p q
A(t ) a p q a p
mc
a a
p
p k
t
(bk bk ) a p k a p (bk bk )
t
t
(1.10)
t
Từ (1.10) ta tìm được:
a
p q
t
a p
t
i dt1
Ck
k
a a
p
p k
(bk bk ) a p k a p (bk bk )
t
t
e 1
exp i ( p p q )(t1 t ) i
qA
(
t
)
dt
2
2
mc t
t
1.11
Thay (1.10) vào (1.8), ta có:
bq iq bq
t
t
t
CqCk
p ,k
dt a a
t
p
1
k
p k
(bk bk ) a p k a p (bk bk )
t
t
t
e 1
exp i ( p p q )(t1 t ) i
qA
(
t
)
dt
1.12
2
2
mc t
Trong gần đúng bậc hai của Cq , có thể bỏ qua bq , và sẽ thu được:
t1
bq iq bq
t
t
t
C
2
q
(n
p ,k
t
p
n
p q
) dt1 bq
e
exp i ( p p q )(t1 t ) i
qA
(
t
)
dt
2
2
mc t
t1
t1
1.13
Với:
cE0
A(t2 ) cE0 sin(t2 )dt2
cos(t2 )
1.14
Thay (1.14) vào (1.13) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi:
exp( iz sin )=
J n ( z ) exp( in )
n=-
J n ( z ) là các hàm Bessel đối số thực ta sẽ có :
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
bq iq bq
t
t
C
2
q
t
(n
p
t
p
n
p q
) dt1 bq
t1
eE0 q eE0 q
exp i ( p p q )(t1 t ) ilt1 ist J l
J
2 s
2
m
l , s
m
1.15
Phương trình (1.15) chính là phương trình động lượng tử của phonon trong
bán dấn khối.
I.2.2.Lý thuyết gia tăng sóng âm ( phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp
hấp thụ một phonon):
Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:
it
( )
B
bq t e dt
q
b 1 B ( )e it d
q t
q
2
bq
t
t
i bq
(1.16)
t
Từ phương trình (1.15) và (1.16) ta có
i bq iq bq
t
C
2
q
t
(n
p
t
p
n p q ) dt1 bq
t1
eE0 q eE0 q
Jl
J
expi ( p p q )(t1 t ) ilt1 ist
2 s
2
m
m
l , s
1.17
Hay viết dưới dạng khác:
1
i
2
1
( )e
B
d
i
Bq ( )e it d
q
q
2
eE
q
eE
q
Cq2 (n p n p q ) J l 0 2 J s 0 2
p
l , s
m m
t
1
dt1
2
it
B ( )e
q
it
d exp i ( p p q )(t1 t ) il t1 ist
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
eE0 q eE0 q
C (n p n p q ) J l
J
2 s
2
m
m
p
l , s
it ilt ílt
Bq ( )e
1
i( p p q l i ) d
2
2
q
Trong đó: ( x) là hàm Delta-Dirac.
Dùng cơng thức chuyển phổ Fourier ta lại có:
B ( )e
q
it ilt íst
d
B (s l )e
q
it
d
Nên:
1
i
2
1
B
(
)
e
d
i
Bq ( )e it d
2
eE0 q eE0 q
2
Cq (n p n p q ) J l
J
2 s
2
p
l , s
m m
Bq ( s l ) e it
1
i( p p q l i ) d
2
q
it
q
1.18
Từ phương trình (1.18) ta có:
n p n p q
i Bq ( ) iq Bq ( ) Cq2
i ( p p q l i )
eE0 q eE0 q
Jl
J
B ( s l )
2 s
2 q
m
m
l , s
eE0
Từ (1.19) đặt a
m 2
p
( )
p
q
n p n p q
( p p q l i )
1.19
1.20
; 0
Ta sẽ có:
( q ) Bq ( ) Cq
2
J aq J aq ( l)B (s l ) 1.21
l , s
l
s
q
q
Nhận xét rằng trong phương trình (1.21) các số hạng với l s bên vế phải
sẽ cho đóng góp hằng số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn số hạng với
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
l s . Vậy có thể đặt l=s trong cơng thức (1.21) và thu được phương trình tán
sắc:
( ) B ( ) C
q
q
q
2
J aq ( l) 0
2
l
l
q
1.22
Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
(q ) Im( )
Cq
2
J aq n
l
2
l
p
p
n p q p p q l q
1.23
Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ cơng thức chung (1.23) ta
tính hệ số hấp thụ sóng âm (q ) cho bán dẫn:
Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ
một photon, với giả thiết q>>pF; F , thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
2 m2 eE0q q m
q m
(q )
p
F
4 s m2 2
q
2
q
eE0
Trong đó là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm,
m
PF là xung lượng Fermi của điện tử; ( z ) là hàm có bước nhảy:
1, z 0
0, z 0
( z)
Ở điểm q 2m , (q ) sẽ đổi dấu và với:
2m pF pF q 2m sẽ xuất hiện sự gia tăng sóng âm (q ) 0
Đối với trường hợp bán dẫn không suy biến và hấp thụ một phonon: coi đối
eE0
số của hàm Bessel rất nhỏ sao cho aq 1 với
.
m
Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử:
p2
n p Aexp
;
2
mkT
2
A n0
mkT
3/2
(1.24)
Hằng số tương tác điện tử - phonon âm:
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
C
q
2
2q
V0 2 s
(1.25)
Với V0 thể tích của tinh thể, thường chọn V0=1;
- hằng số thế biến dạng.
s – vận tốc sóng âm.
- mật độ tinh thể.
Đặt (1.24), (1.25) vào công thức chung (1.23). Chuyển từ tổng sang tích phân
theo p , thu được biểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm trường hợp hấp thụ
một photon:
q
exp
2
S
sh
q q 2kT
2
q
q4
2
exp 2Sqq sh
exp Sq q
4m 2
2kT
n0 2 m
(q )
s 2kT 2
1/2
Ở đây : Sq
2
1.26
m
2q 2 kT
K là hằng số Boltzmann;
N0 là mật độ điện tử;
T là nhiệt độ của hệ.
Từ công thức (1.26), trong trường hợp bất đẳng thức q được thực hiện,
ta có (q ) 0 và ứng với nó ta có hệ số hấp thụ sóng âm. Ngược lại, trong
vùng sóng âm thỏa mãn bất đẳng thức q ta có (q ) 0 và có dạng
tường minh sau:
1/2
2
n0 2 m
(q )
sh
s 2kT 2 2kT
sh 2Sqq
2
q 4
2
exp Sq q
4m 2
(1.27)
Công thức (1.27) chứng tỏ lúc này hệ số hấp thụ sóng âm ( (q ) 0 ) đã
chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm ( (q ) 0 ). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
sóng âm bởi trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường
hợp hấp thụ một photon.
I.2.3.Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng
sóng âm và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối:
Ta cũng có thể viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.23) dưới dạng khác:
(q ) Cq
2
J aq n
l
2
l
p
p
p q
p l q p q p l q
(1.28)
Đặt p q p l q trong trường hợp
1 , dùng công thức biến đổi:
2 2
J l 2 2
l
2
l
Ta sẽ thu được:
2 2 2 2
p n p 2 2 2 2
eE0
Trong đó:
m
(q ) Cq
2
(1.29)
Sử dụng:
q 2 pq
q 2 pz q
p q p l q
q
q
2m 2m
2m 2m
q 2 pq
q 2 pz q
p q p l q
q
q
2m 2m
2m 2m
Công thức biến đổi tổng thành tích phân
2
1
... 2 d .dP .P dP ....
p
.
3
0
.
z
Và xét bán dẫn khơng suy biến, ta sẽ có từ phương trình (1.26) phương trình
sau:
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
2
A Cq
(q )
3
2
2
P2
Pz2
d
.
dP
.
P
exp
dP
exp
0 0 . . 2mkT 0 z 2mkT
q2
2
2
m
q2
2
2m
2
q2
pz q
q 2
2m
2
m
2
q2
pz q
2
q
2m
2m
2
pz q
q
2m
2
pz q
q
2m
(1.30)
Tiếp theo ta tính tích phân theo Pz, P của (1.30), ta nhận được:
2
2 m .n0
m q2
2
(q )
q
exp 2
kT .2 2 s
2q kT 2m
m q2
1 / 2
q
2
I 2
!
l 0
q q kT 2m
q
2m
2
m q2
exp 2
q 2
2q kT 2m
1 / 2
2
!
l 0
q
q
2m
m q2
q
I 2
q kT 2m
1.31
Cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong bán
dẫn bởi trường bức xạ Laser đối với quá trình hấp thụ nhiều photon như sau:
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
1/2
2
1/2
m 2
2 n0 m
m q2
(q )
q
exp 2 exp 2
2 s 2kT
2q kT 2m
2q kT
m q2
1 / 2
I
2
2
q
q
!
q
kT
2
m
l 0
q
2m
exp q 2
kT q
q
2m
2
m q
q
I 2
q
kT
2
m
1.32
Từ (1.32) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện:
2
m q2
m q
q 2
q 1.33
2
I 2
I 2
q q kT 2m
q q kT 2m
q
q
2m
2m
Thì (q ) 0 ,còn nếu:
2
m q
m q2
q 2
q 1.34
2
I 2
I 2
q q kT 2m
q q kT 2m
q
q
2m
2m
Ta có (q ) 0 và có dạng tường minh như sau:
1/2
2
1/2
m 2
2 n0 m
m q2
(q )
q
exp 2 exp 2
2 s 2kT
2
q
kT
2
q
kT
2
m
m q2
1 / 2
q
q
I 2
exp 2
!
l 0
kT q q kT 2m
q
2m
2
q
q
2m
2
m q
q
I 2
q kT 2m
1.35
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Công thức (1.35) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm (q ) 0 đã
chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm (q ) 0 . Nghĩa là một lần nữa ta thu
nhận được hệ số gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon
bởi trường bức xạ Laser.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
CHƢƠNG II:
Phƣơng trình động lƣợng tử và hệ số gia tăng phonon âm (sóng
âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp và biểu thức
giải tích
II.1. Phƣơng trình động lƣợng tử của phonon âm (sóng âm) giam cầm
trong siêu mạng pha tạp.
II.1.1. Phương trình động lượng tử của phonon âm (sóng âm) giam cầm trong
bán dẫn siêu mạng:
Hamiltonian của hệ điện tử phonon âm giam cầm trong bán dẫn siêu mạng
khi có mặt trường bức xạ laser E E0 sin(t ) có dạng:
H = He + Hph + He-ph
(2.1)
Trong đó:
He =
n (k
n,k
Hph =
m , q
m , q
e
A(t ))a n,k a n,k : năng lượng của các điện tử không tương tác
c
bm ,q bm,q : năng lượng của các phonon âm không tương tác
C
m m
q n, n '
m, q n , n ' , k
He-ph =
I
an' , k q an, k (bm, q bm , q ) : năng lượng tương tác điện tử
phonon âm
H
C
=
m m
'
q n, n
'
m, q n , n , k
I
n,k
n
e
(k
A(t ))a n,k a n,k
c
an' , k q an, k (bm, q bm , q )
Gọi N m,q (t ) bm,q bm,q
t
+
m , q
m , q
bm ,q bm,q
+
(2.2)
là số phonon âm giam cầm trung bình tại thời
điểm t.
Dưới tác dụng của trường laser, hệ điện tử phonon âm giam cầm trở nên
không cân bằng.
Phương trình động lượng tử cho phonon âm giam cầm có dạng:
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
i
N m, q (t )
t
i
bm , q bm, q , H
N m,q (t )
t
t
bm ,q bm,q , H e bm ,q bm.q , H ph bm ,q bm,q , H e ph
t
t
t
(2.3)
Thay (2.2) vào (2.3) ta có:
i
N m, q (t )
t
e
a
bm, q bm, q , m ' , q ' bm ' , q ' bm ' , q ' +
+
(
k
A
(
t
))
a
bm, q bm, q ,
n
n
,
k
n
,
k
c
t
t
n, k
m ' , q '
m' m'
bm, q bm, q , Cq' I n, n ' an ' , k q' an, k (bm ' , q' bm ' , q' )
m ' , q ' n , n ' , k
t
Trong đó:
an, k (an, k ) là tốn tử sinh (hủy) của điện tử ở trạng thái n, k
bm , q (bm, q ) là toán tử sinh (hủy) của phonon âm giam cầm ở trạng thái m, q
k (q ) là xung lượng của điện tử (phonon) trong mặt phẳng vng góc với trục
của siêu mạng.
m, q tần số của phonon âm giam cầm.
1 dA(t )
E0 sin(t ) .
A(t ) thế vecto của trường điện từ được xác định bởi:
c dt
2 2 m 2
q (
) hệ số tương tác điện tử phonon âm
vsV
L
2
Cqm
V thể tích tinh thể; hằng số biến dạng; vs vận tốc âm; mật độ của tinh thể
TÍNH:
1. Số hạng thứ 1:
b
m, q m, q
=
b
, He
n k
n, k
= bm , q bm, q , n (k
t
n, k
e
A(t ))an, k an, k
c
e
At bm, q bm, q , an, k an, k
c
t
t
=0
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
b
m, q m, q
b
, He
=0
t
(2.4)
2. Số hạng thứ 2
b
m, q m, q
b
, H ph
m , q
m ' , q '
m ' , q '
b
m, q m, q
Tính:
b
=
'
'
'
bm , q bm, q , H ph
'
t
'
b
'
b
t
t
, bm ' , q ' bm ' , q '
b
m' ,q '
m ,q ' m' ,q ' m' ,q '
bm,q , bm ' ,q ' bm' ,q '
= (bm, q bm , q bm , q bm, q ) m, m q
= bm , q bm, q ,
t
'
, q
=0
=0
(2.5)
3. Số hạng thứ 3:
b
m, q m, q
=
b
, H e ph
= bm , q bm, q ,
t
'
q '
Tính:
b
m, q m, q
b
, an' , k
q '
an, k (bm ' , q ' bm ' , q ' )
m ' , q ' n , n ' , k
Cqm' I nm, n ' bm , q bm, q , an' , k
'
m ' , q ' n , n ' , k
'
'
'
q
an, k (bm ' , q ' bm ' , q ' )
'
'
= m,m q ,q bm,q
'
'
=
m ' , q ' n , n ' , k
n, n ' , k
'
'
bm,q m,m' q
'
, q
bm , q bm, q , H e ph
=
'
t
'
'
a
n ' , k q '
'
'
q '
an, k
an, k
t
Cqm' I nm, n ' (bm , q m, m ' q
'
t
= bm, q bm, q (bm , q bm , q ) (bm , q bm , q )bm, q bm, q an , k
an, k (bm ' , q ' bm ' , q ' )
Cqm' I nm, n ' an' , k
'
'
, q
m, m ' q
'
, q
bm, q )an' , k
q '
an, k
t
Cmq I nm, n ' bm , q an' , k
q
an, k
t
n, n ' , k
Cqm I nm, n ' bm, q an' , k
q
an, k
(2.6)
t
Thay (2.4), (2.5), (2.6) vào (2.3) ta có:
i
i
N m, q (t )
t
N m, q (t )
t
I nm, n ' Cmq bm , q an' , k
'
I nm, n ' Cqm Fnn, k, k q m, q , t Cmq Fnn' ,,kk q m, q , t
n, n , k
'
n, n , k
'
q
an, k
t
Cqm bm, q an' , k
q
an, k
t
(2.7)
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Với Fnn,,kk
q
'
m, q , t =
an, k an' , k
b
m , q
q
Tương tự ta viết phương trình động cho Fyx,,pp m, q , t
1
2
i
Fyx,,pp21 m, q , t
i
Fyx,,pp21 m, q , t
t
a
1
t
x , p1
= ax, p a y , p bm, q , H t
a
=
a y , p2 bm, q , H e ph
(2.8)
2
x , p1
a y , p2 bm, q , H e
t
a
+
x , p1
a y , p2 bm, q , H ph
t
+
t
Tính
1. Số hạng thứ 1:
a
=
x , p1
a y , p2 bm, q , H e
n1 , k 1
a
x , p1
n1
= ax, p a y , p bm, q ,
t
2
n1 , k 1
n1
e
k1 At an1 , k1 an1 , k1
c
e
k1 At ax , p1 a y , p2 bm, q , an1 , k1 an1 , k1
c
a y , p2 bm, q , an , k an , k
1
1
1
= ax, p an , k y , n p
1
1
1
1
1
1
2 , k 1
= a
x , p1
t
a y , p2 an , k an , k an , k an , k ax, p1 a y , p2 bm, q
1
1
1
1
1
1
1
1
an , k a y , p2 x, n1 p , k bm, q
1
t
1
1
1
(2.9)
2. Số hạng thứ 2
a
=
a
x , p1
a y , p2 bm, q , H ph
m1 , q 1
x , p1
m1 , q 1
a
x , p1
= ax, p a y , p bm, q ,
t
1
2
m1 , q 1
a y , p2 bm, q , bm1 , q1 bm1 , q1
m1 , q 1 m1 , q 1 m1 , q 1
b
1
2
1
1
1
t
t
a y , p2 bm, q , bm1 , q1 bm1 , q1 = ax, p1 a y , p2 bm, q , bm1 , q1 bm1 , q1
= ax, p a y , p bm , q m, m q
b
(2.10)
, q 1
3. Số hạng thứ 3:
a
x , p1
a y , p2 bm, q , H e ph
= ax, p a y , p bm, q ,
=
1
2
C
t
m1 , q 1 n1 , n1' , k 1
m
m1
1
q 1 n1 , n1'
m1 , q 1 n1 , n1' , k 1
I
a
x , p1
Cqm11 I nm1, n ' an' , k
1
1
1
a y , p2 bm, q , an' , k
1
1 q 1
1 q 1
an , k bm1 , q1 bm1 , q1
1 1
an , k bm1 , q1 bm1 , q1
1
1
t
t
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
a
x , p1
y,n' p
1
a y , p2 bm, q , an' , k
2 , k 1
1 q 1
1
an , k bm1 , q1 bm1 , q1
1
1
ax, p1 an , k bm, q bm1 , q1 bm1 , q1 n1 , x k
1
1
m, m1 q , q1 a
n1' , k 1 q 1
a
x , p1
a
n1 , k 1
1 , p1
an' , k
1 q 1
1
a y , p2 bm1 , q1 bm1 , q1 bm, q
(2.11)
ay , p2
Thay (2.9), (2.10), (2.11) vào (2.8) ta được:
i
Fyx,,pp21 m, q , t
t
n1 , k 1
m1 , q 1
ax, p1 a y , p2 bm1 , q1 m, m1 q , q1
m1 , q 1
C
e
At ax, p1 an , k y , n1 p , k an , k a y , p2 x, n1 p , k bm, q
n1 k 1
1 1
2 1
1 1
1 1
c
m
m1
1
q 1 n1 , n1'
m1 , q 1 n1 , n1' , k 1
y,n p
'
1
2 , k 1
ax, p1 an , k bm, q bm1 , q1 bm1 , q1 n1 , x k
1
1
1
1 q 1
m, q ax, p1 a y , p2 bm, q
m1 , q 1
m
m1
1
q 1 x , y
n1 , n1' , k 1
I
1
1
i
C
t
n1 , n1' , k 1
I
1 q 1
a y , p 2 bm1 , q1 bm1 , q1 bm, q
t
t
e
x p1 At ax, p1 a y , p2 bm, q
c
t
t
1
1 q
ax, p1 an ,k a y , p2
1
1
t
ax, p1 a y , p2 q1bm,q bm1 ,q1 bm1 , q1 ax, p1q1 a y , p2 bm1 ,q1 bm1 , q1 bm,q
1
Fyx,,pp21 m, q , t
1
t
e
e
y p2 At x p1 At m, q Fyx,,pp21 m, q , t
c
c
Cmq I nm , n ' ax, p1 an' ,k
t
1
1
1
Cmq I nm , n ' an' ,k
m
m1
1
q 1 x , y
an' , k
ax, p1 a y , p2 q1bm,q bm1 ,q1 bm1 , q1 ax, p1q1 a y , p2 bm1 ,q1 bm1 , q1 bm,q
Fyx,,pp21 m, q , t
m1 , q 1
1 , p1
ax, p1 an , k a y , p 2
e
y p2 At ax, p1 a y , p2 bm, q
c
C
t
I
m, m1 q , q1 an' , k
t
1
1 q
an ,k a y , p2
1
1
t
t
i
e
e
p
A
t
p
At m, q Fyx,,pp21 m, q , t
x 1
y
2
c
c
i
Cqm11 I xm,1y ax, p1 a y , p2 q1bm,q bm1 ,q1 bm1 , q1 ax, p1q1 a y , p2 bm1 ,q1 bm1 , q1 bm,q
m1 , q 1
i
Cmq I nm , n ' an' ,k q ax, p1 an ,k a y , p2
1 1
1 1
1 1
n1 , n1' , k 1
t
(2.12)
t
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
Giải (2.12): giải phương trình vi phân khơng thuần nhất với điều kiện F =
0
e
e
F i
x p1 At y p2 At m, q F
c
c
t
e
e
F i
p
A
t
p
At m, q t
x 1
y
2
c
c
F
(2.13)
Lấy tích phân 2 vế của (2.13) từ t :
2.12 ln F
i t
e
e
p
A
t
p
At1 m, q dt1
x
1
1
y
2
c
c
i t
e
e
F m exp x p1 At1 y p2 At1 m, q dt1
c
c
Giải phương trình vi phân không thuần nhất:
i t
e
e
F (t ) m t exp x p1 At1 y p2 At1 m, q dt1
c
c
i t
e
e
F (t ) m t exp x p1 At1 y p2 At1 m, q dt1
c
c
i
e
e
x p1 At1 y p2 At1 m, q F (t )
c
c
(2.14)
'
'
(2.15)
Thay (2.15) vào (2.12) thu được:
i t
e
e
m t exp x p1 At1 y p2 At1 m, q dt1
c
c
i
e
e
x p1 At1 y p2 At1 m, q F (t )
c
c
'
i
e
e
x p1 At y p2 At m, q F (t )
c
c
i
Cmq I nm , n ' ax, p1 an' ,k q a y , p2 an ,k
1 1
1 1
1 1
n1 , n1' , k 1
t
i
Cqm11 I xm,1y ax, p1 a y , p2 q1bm,q bm1 ,q1 bm1 , q1 ax, p1q1 a y , p2 bm1 ,q1 bm1 , q1 bm,q
m1 , q 1
m t =
'
i
n1 , n1' , k1
Cmq I nm,n' ax, p1 an' ,k
1
1
1
1 q
a y , p2 an ,k
1
1
t
Cqm11 I xm,1y ax, p1 ay , p2 q1 bm,q bm1 ,q1 bm1 , q1 ax, p1 q1 ay , p2 bm1 ,q1 bm1 ,q1 bm,q
m1 , q1
t
t
LUAN VAN CHAT LUONG download : add
