KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2011 – 2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ potx

Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số:
3 2
y = x 3mx + 2−
(1), m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) tạo với các trục tọa độ
một tam giác có diện tích bằng 4.
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2 2
3cot 2 2 sin (2 3 2)cosx x x
+ = +
2. Giải phương trình:
2
7
3 6 3
3
x
x x
+
+ − =

Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân
1
2
1
3
3 9 1
x
dx
x x

+ −
∫
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA = a,
SB= a 3
,
·
0
BAD = 60
và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB,
BC. Tính thể tích tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
3 3 3
x y z
P x y z
y z x
     
= + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     

Câu VI (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3,2),
trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là G(
2 2
,
3 3
) và I(1,-2). Xác

định tọa độ đỉnh C.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 1 1
:
2 1 1
x y z
d
− + −
= =
, điểm
A (1,4,2) và mặt phẳng (P): 5x – y + 3z – 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A,
∆
nằm trong mp(P) biết rằng khoảng cách giữa d và
∆
bằng
2 3
.
Câu VII (1,0 điểm) Cho hai số phức
1 2
z ,z
thỏa mãn
1
i.z 2 0,5
+ =
và
2 1
z =i.z
. Tìm giá trị

nhỏ nhất của
1 2
z z−
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:……………………………………………… SBD:……………………
TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2011 – 2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
KHỐI A,B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ
NĂM HỌC 2011 – 2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A, B
CÂU NỘI DUNG
ĐIỂM
I-1
(1điểm
)
m = 1 ⇒
3 2
y = x 3x + 2−
a) TXĐ: R
b) Sự biến thiên:
*) Giới hạn:

lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
0,25
*) Chiều biến thiên:
2
x = 0
x = 2
y' = 3x 6x ; y' = 0



− ⇔
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-
∞
; 0) và (2; +
∞
), hàm số nghịch biến trên (0; 2)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y
CĐ
= 2; hàm số đạt tiểu tại x = 2, y
CT
= - 2
0,25
BBT x -
∞
0 2 +
∞

f’(x) + 0 - 0 +
f(x)
2 +
∞

-
∞
-2
0,25
c) Đồ thị:
0,25
I-2
(1điểm
)
3 2
y = x 3mx + 2−
⇒
2
y' = 3x 6mx−
;
x = 0
x = 2m
y' = 0



⇔
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0
0,25

Với m ≠ 0 thì đồ thị hàm số (1) có tọa độ 2 điểm cực trị là: A(0; 2) và
B(2m;-4m
3
+2)
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B là:
2
3

x y 2
= 2m x + y 2 = 0
2m
- 4m
−
⇔ −
0,25
AB cắt Ox tại
2
1
C ;0
m
 
 ÷
 
, cắt Oy tại A(0; 2)
Đường thẳng qua 2 điểm cực trị tạo với các trục tọa độ tam giác OAC vuông tại O ta
có:
OAC
2 2
1 1 1 1
S = OA.OC = .2. =

2 2
m m
0,25
Yêu cầu bài toán thỏa mãn
2
4
1 1
= m
m 2
= ±⇔ ⇔
(thỏa mãn m ≠ 0).
Vậy
1
m
2
= ±

0,25
II-1
(1
điểm)
Điều kiện : x ≠ kπ
Phương trình tương đương: 3cosx(
2
sin
cos
2
−
x
x

) = 2(cosx -
2
sin
2
x)
0,25

⇔
(cosx -
2
sin
2
x)(3cosx – 2sin
2
x) = 0
⇔




=−+
=−+
02cos3cos2
02coscos2
2
2
xx
xx
0,25

cos 2 ( )
2
cos
2
cos 2 ( )
1
cos
2
x loai
x
x loai
x

=−


=

⇔

=−


=


0,25
KÕt hîp víi ®/k suy ra pt cã nghiÖm: x =
π
π

2
4
k+±
& x =
π
π
2
3
k+±
0,25
II-2
(1
điểm)
2 2
7 1 1
3 6 3 ( 1) 2 ( 1) 2
3 3 3
x
x x x x
+
+ − = ⇔ + − = + +
,
7x
≥ −
Đặt
1
1
( 1) 2 ( 0)
3
u x

v x v
= +



= + + ≥


ta có hệ phương trình:
2
2
1
2
3
1
2
3
u v
v u

− =




− =


0,25
⇔

2 2 2
2
2 2
( )[3( ) 1] 0
3 6 3( ) 0
3 6
3 6 3 6
u v u v
u v u v u v
u v
v u u v
− + + = 
− = − + − =

 
⇔ ⇔
  
− =
− = − =
 

 
⇔
2
0
3 6
u v
u v
− =



− =

hoặc
2
3( ) 1 0
3 6
u v
u v
+ + =


− =

0,25

2 2
1 73
(lo¹i)
0
6
3 6 3 6 0
1 73
6
u
u v u v
u v u u
u

−

=

− = =
 

⇔ ⇒
 
− = − − =

+
 
=



2
2
1 1 69
3( ) 1 0
3 6
17
3 6
1 69
3 0
(lo¹i)
3
6
v u u
u v
u v

u u
u

− −

= − − =


+ + =



⇔ ⇒
 
− =

− +


+ − =
=




0,25
+ Với
1 3 7 1 73 73 5
1
6 6 6

u x
+ + −
= ⇒ = − =
.
0,25
+ Với
1 69 1 69 69 7
1
6 6 6
u x
− − − − − −
= ⇒ = − =
.
III
(1
điểm)
1 1 1 1
2 2 2
2
1 1 1 1
3 3 3 3
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1
x
I dx x x x dx x dx x x dx
x x
= = − − = − −
+ −
∫ ∫ ∫ ∫
0,25

1
1
2 3
1
1
3
1
3
26
3
27
I x dx x
= = =
∫
0,25

1
1 1
3
2 2 2 2
2
2
1
1 1
3
3 3
1 1 16 2
9 1 9 1 (9 1) (9 1)
18 27 27

I x x dx x d x x= − = − − = − =
∫ ∫
0,25
Vậy
26 16 2
27
I
−
=
0,25
IV
(1
điểm)
Từ giả thiết có AB = 2a, SA = a,
SB =
3
, tam giác ASB vuông tại S suy ra
2
AB
SM a= =
do đó tam giác SAM đều.
Gọi H là trung điểm AM thì
SH
⊥
AB. Mặt khác (SAB)
⊥
(ABCD) nên
suy ra
( )SH ABCD⊥
0,25

2 3
1 1 1 1 3 1 4 3
. . . .
3 3 2 3 2 2 4 4
NSDC SNDC DNC BDC
a a a
V V SH S SH S
∆ ∆
= = = = =
0,25
Gọi Q là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 4 AQ khi đó MQ//ND nên
·
·
( , ) ( , )SM DN SM QM=
. Gọi K là trung điểm MQ suy ra HK//AD nên HK
⊥
MQ
Mà SH
⊥
(ABCD), HK
⊥
MK suy ra SK
⊥
MQ suy ra
·
·
·
( , ) ( , )SM DN SM QM SMK= =
0,25
Trong tam giác vuông SMK:

·
1 1 1
3
3
2 4 4
os
4
MQ DN a
MK
c SMK
SM a a a
= = = = =
0,25
V
(1 điểm)
ĐÆt x =
2 2 2
, ,a y b z c= =
. Do
2 2 2
3 3x y z suy ra a b c+ + = + + =
.
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của
3 3 3
2 2 2
3 3 3
a b c
P
b c a
= + +

+ + +
.
Áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân có:

3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
a a b a a
b b
+
+ + ≥ =
+ +
(1)

3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
b b c c c
c c
+
+ + ≥ =
+ +

(2)

3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
c c a c c
a a
+
+ + ≥ =
+ +
(3)
0,5
Cộng theo vế ta được:

( )
2 2 2
2 2 2
9 3
16 4
a b c
P a b c
+ + +
+ ≥ + +
(4)
0,25
Vì a

2
+b
2
+c
2
=3
Từ (4)
3
2
P⇔ ≥
vậy giá trị nhỏ nhất
3
2
P =
khi a = b = c =1
⇔
x = y = z = 1
0,25
VI- 1
(1 điểm)
7 4
(2;4), ;
3 3
IM GM
 
= =
 ÷
 
uuur uuur
Gọi A(x

A
; y
A
). Có
2AG GM=
uuur uuur
⇒ A(-4; -2).
0,25
Đường thẳng BC đi qua M nhận vec tơ
IM
uuur
làm vec tơ pháp tuyến nên có PT:
2(x - 3) + 4(y - 2) = 0 ⇔ x + 2y - 7 = 0.
0,25
Gọi C(x; y). Có C ∈ BC ⇒ x + 2y - 7 = 0.
Mặt khác IC = IA ⇔
2 2 2 2
( 1) ( 2) 25 ( 1) ( 2) 25x y x y− + + = ⇔ − + + =
.
0,25
Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
2 7 0
( 1) ( 2) 25
x y
x y
− − =


− + + =


Giải hệ phương trình ta tìm được
5
1
x
y
=


=

và
1
3
x
y
=


=

.
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3).
0,25
VI-2
(1 điểm)
Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và cách A(1,4,2) một khoảng
2 3
.
(Q) qua N(1, -1, 1) thuộc d nên có phương trình: a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = 0 (1)

Do (Q) qua N’(1, -1, 1) thuộc d nên 2a + b + c =0 hay c = - 2a – 2b (2)
0,25
2 2 2 2
( ,( ))
2 2 2
2 2 2
(1 1) (4 1) (2 1)
2 3 2 3 (5 ) 12( )
12 13 11 10 0 (3)
A Q
a b c
d b c a b c
a b c
a b c bc
− + + + −
= ⇔ = ⇔ + = + +
+ +
⇔ − + − =
Thay (2) vào (3) có
2 2
7 8 0a ab b+ + =
. Chọn b = 1 được a = -1 hoặc a =
1
7
−
0,25
Với b = 1 , a = -1 thì (Q) có phương trình: x – y – z – 1 = 0
Đường thẳng
∆
qua A và song song với giao tuyến của (P) và (Q) có VTCP

1 1 1 1 1 1
, , 4(1,2, 1)
1 3 3 5 5 1
u
 − − − − 
= = − −
 ÷
− −
 
r
nên
∆
có phương trình:
1 4 2
1 2 1
x y z− − −
= =
−
0,25
Với b = 1 , a =
1
7
−
thì (Q) có phương trình: x –7y +5z – 13 = 0
Đường thẳng
∆
qua A và song song với giao tuyến của (P) và (Q) có VTCP
( 8,11,17)u −
r
nên

∆
có phương trình:
1 4 2
8 11 17
x y z− − −
= =
−
0,25
VII.
(1 điểm)
Đặt
1 1 1 1 1
( , )z x iy x y R= + ∈

Khi đó điểm M
1 1
( , )x y
biểu diễn
1
z
,
2 2
1 1 1 1 1
i.z 2 0,5 i.x 2 0,5 ( 2) 0,25y x y+ = ⇔ − + = ⇔ + − =
Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn
1
z
là đường tròn (C
1
) tâm O

1
(0,
2
) bán kính
R
1
=0,5.
0,25
2 1 1 1
z iz y x i= = − +
Suy ra N (- y
1
, x
1
) biểu diễn
2
z

0,25
Ta cần tìm M thuộc (C
1
) để
1 2
z z MN− =
nhỏ nhất
Để ý rằng
1 1 1 1
( , ) ( , )OM x y ON y x⊥ −
uuuur uuur
và OM = ON nên MN =

2
.OM
0,25
MN đạt giá trị nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất . Đường thẳng OO
1
đường tròn (C
1
) tại
M
1
(0,
1
2
2
−
) và M
2
(0,
1
2
2
+
). Dễ thấy MN nhỏ nhất bằng
1
2
2
−
khi M trùng M
1
(0,

1
2
2
−
) tức là
1
1
( 2 )
2
z i= −
0,25