(TIỂU LUẬN) TIỂU LUẬN một số ỨNG DỤNG của PHÉP TỊNH TIẾN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA TỐN TIN HỌC
MƠN HÌNH HỌC SƠ CẤP

TIỂU ḶN MỘT SỐ ỨNG
DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN

Người hướng dẫn: TS. Trần Nam Dũng

Thành viên
1511100 Trần Thanh Hoàng
1511130 Trần An Khang
1511136 Đặng Trọng Khiêm
1511172 Đặng Thị Thúy Mơ
1511278 Lê Thanh Thảo


MỤC LỤC
I.

LỜI MỞ ĐẦU...........................................................................................

II.

GIỚI THIỆU VỀ PHÉP TỊNH TIẾN .......................................................
1.

ĐỊNH NGHĨA .............................................................................

2.

TÍNH CHẤT.................................................................................
2.1

Định lý ..............................................................

2.2

Hệ quả ...............................................................

2.3

Biểu thức toạ đợ của phép tịnh tiến ..................

3.

III.

PHƯƠNG PHÁP LÀM .................................................................
3.1

Xác định phương trình ảnh (d’) của đường thẳn

3.2

Xác định phương trình ảnh (C’) của đường trịn

3.3

Xác định phương trình ảnh (H’) của đường (H)

3.4

Xác định quỹ tích của một điểm .......................

3.5

Xác định hình cần dựng ....................................

ỨNG DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN TRONG GIẢI TOÁN.............

1.GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ ........................

1.1. XÁC ĐỊNH ĐIỂM, ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT PHÉP TỊNH TIẾ

1.2 TÌM PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ ....................

2.GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC ...................................................

2.1 DẠNG TỐN XÁC ĐỊNH GÓC, ĐỢ DÀI.....................................

2.2 DẠNG TỐN XÁC ĐỊNH QUỸ TÍCH .........................................

2.3 DẠNG TỐN CHỨNG MINH ......................................................

2.4 DẠNG TỐN DỰNG HÌNH...........................................................

2.5 DẠNG TOÁN CỰC TRỊ..................................................................
Tài liệu tham khảo ....................................................................................................

1


I.

LỜI MỞ ĐẦU
Lời đầu tiên nhóm chúng em xin gửi đến quý thấy cơ khoa

Tốn- tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên lời chào trân trọng
nhất, cùng lời chúc sức khỏe và lời cám ơn sâu sắc. Nhờ sự quan tâm
và sự chỉ dẫn nhiệt tình, chu đáo, tận tâm của quý thầy cơ, chúng em
đã có thể hồn thành được bài tiểu luận này.
Mợt lần nữa, với lòng biết ơn sâu sắc, chúng em xin gửi lời cám
ơn đến quý thầy cơ tḥc khoa Tốn- tin, trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, cùng như quý thầy cô tḥc Đại học Quốc gia Thành phố Hồ
Chí Minh, vì đã tạo cơ hội cho chúng em được tiếp cận với bợ mơn
Hình học sơ cấp, mợt mơn học vơ cùng bổ ích, thú vị và có nhiều ứng
dụng trong thực tiễn đời sống. Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cám ơn
chân thành nhất đến thầy Trần Nam Dũng đã hỗ trợ, cung cấp kiến
thức, chỉ bảo, hướng dẫn chúng em trong suốt quá trình làm tiểu luận.
Bài tiểu luận này của chúng em được thực hiện với sự cố gắng,
nỗ lực và tâm huyết của tất cả các thành viên trong nhóm. Tuy nhiên,
với tầm hiểu biết, kiến thức vẫn còn hạn chế nên bài tiểu luận vẫn cịn
nhiều thiếu sót. Vì vậy chúng em rất mong có thể nhận được sự nhận
xét, góp ý từ quý thầy cơ cũng như bạn bè để chúng em có thể hoàn
thiện hơn bài tiểu luận, đúc kết kinh nghiệm để phục vụ tốt hơn cho
những dự án trong tương lai.
Xin chân thành cám ơn!

2

II.

GIỚI THIỆU VỀ PHÉP TỊNH TIẾN

1.

ĐỊNH NGHĨA

Trong mặt phẳng cho vectơ
điểm M thành M’ sao cho:
⃗′

được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ

. Phép biến hình biến mỗi

=

Kí hiệu: ( ) = =
2.
TÍNH CHẤT
′  ′

2.1 Định ly
Định ly 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành M’
và N’ thì MN = M’N’
Định ly 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba diểm
thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó

( )=

′

và

( )=

2.2 Hệ qua

Phép tịnh tiến theo vectơ

′

=> MN = M’N’

biến:

+Đường thẳng (đoạn thẳng) thành đường thẳng (đoạn thẳng) song
song hoặc trùng với đường thẳng(đoạn thẳng) đã cho. +Tia thành tia
có cùng hướng.
+Đa giác thành đa giác bằng với đa giác đã cho.
+Đường tròn thành đường trịn có cùng bán kính (khi đó chỉ cần xác
định ảnh của tâm)
+Góc thành góc bằng góc đã cho.
2.3 Biểu thức toạ đợ của phép tịnh tiến
Ta có M(x, y) và M’(x’, y’),
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Phép tịnh tiến theo vectơ

=( , )

( ) = ′ta có :

′

{′

= +

=+

3


3.

PHƯƠNG PHÁP LÀM

3.1 Xác định phương trình anh (d’) của đường thẳng (d)
Phương pháp 1:


Chọn điểm M( 0, 0) cụ thể thuộc đường thẳng (d) và vecto pháp tuyến



Dùng biểu thức tọa đợ để tìm ′( 0′, 0′) là ảnh của M qua phép tình tiến .

thẳng (d).




Đường thẳng ( ′) là đường thẳng đi qua ′và có vecto pháp tuyến
′
′
0 ) + B(y - 0 ) = 0

( ′): A(x -

= (A, B) của đường

= (A, B)

Phương pháp 2:


Chọn 2 điểm M(

(d).


0,

0)

và N( 1,

1)

cụ thể thuộc đường thẳng

Dùng biểu thức tọa đợ để tìm ′( 0′, 0′) và ′( 1′, 1′) là ảnh của M và N qua phép tình tiến .



Đường thẳng ( ′) là đường thẳng đi qua 2 điểm ′ và ′ có vecto pháp tuyến

= (A, B)



3.2 Xác định phương trình anh (C’) của đường trịn (C)
Xác định tâm O( , ) và bán kính R của đường trịn (C).




Dùng biểu thức tọa đợ để tìm tọa đợ ảnh ′( 0′, 0′) của tâm O qua phép tịnh tiến .
′

Đường tròn ( ) là đường trịn có tâm

(

′

): (x −

′ 2

0)

+ (y −

′ 2
0)

′

và bán kính R

2

=R

3.3 Xác định phương trình anh (H’) của đường (H)
Gọi M(x, y) là điểm tùy y trên đường (H): ƒ(x, y) = 0.






Gọi

′

(

′

,

′

) là ảnh của M qua phép tịnh tiến

{

′

′

MЄ(H)=>ƒ( − , − )=0.

4





(

( ′) là ảnh của (H) qua phép tịnh tiến
′

=> ( ′) là tập hợp tất cả các điểm ′.

): ƒ(x − a, y − b) = 0

3.4 Xác định quỹ tích của mợt điểm
Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho EM v không đổi. (tức là phải tìm
ra mợt hình bình hành có EM là cạnh và cạnh đối diện của nó phải cố định)

 Xác định hình (H) là quỹ tích của điểm E.
 Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) - ảnh của (H) qua phép
tịnh tiến theo vectơ v

3.5 Xác định hình cần dựng



(Dựng điểm M) Tìm mợt hình (H) cố định và vectơ v
không đổi cho trước sao cho khi thực hiện phép tịnh tiến theo
vectơ v ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định tại
điểm M cần dựng.



Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v để tìm các điểm cịn
lại từ đó ta có hình cần dựng.

5


III.

ỨNG DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN TRONG GIẢI TOÁN

1.

GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ

1.1. XÁC ĐỊNH ĐIỂM, ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT PHÉP TỊNH
TIẾN
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ đợ Oxy cho điểm A(1;2), B(-2;3). Tìm toạ đợ điểm M’ là ảnh của điểm M(-3;4) qua phép tịnh tiến .

Hướng dẫn
Giả sử M’(x’;y’) theo công thức toạ độ của phép tịnh tiến ta có
⃗

= (-3;1)

′

{

Kết luận:M’(-6;5)

=−3−3=6
′
=4+1=5

Bài 2: Trong mặt phẳng toạ đợ Oxy A(1;2), B(-2;3). Xác định phương
trình tổng quát của : {

=4+2

Hướng dẫn
Ta có

=> M(4+2t ;-t); =(-3;1 ).

∈

Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến

.

Theo cơng thức toạ đợ phép tịnh tiến ta có:
{

x′ = 4 + 2t − 3 = 2t + 1

y′ = −t + 1

là phương trình tham số của đường thẳng d’.
Kết luận: Suy ra x’ = 2(1 − y’) + 1



2y’ + x’ = 3 là phương trình tổng quát của đường thẳng d’

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường trịn (C) có phương trình
3).

2

+

2

−2

+4

− 4 = 0. Tìm ảnh của đường trịn (C) qua phép tịnh tiến theo vecto

= (−2;

6


Hướng dẫn
Giả sử ( , ) là điểm bất kì tḥc đường trịn (C) và ′( ′, ′) tḥc đường tròn (C’) là ảnh của điểm qua phép tịnh tiến theo vecto
biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có:

′

{

= (−2; 3). Theo

− =

′

− =

Thay ,

′

+ 2)2 + (

(




′2

′2

′

(

′

+ 1) + (

′

ở trên vào phương trình của đường trịn (C) ta được:

− 3)2 − 2(

+ 2) + 4(

′

− 3) − 4 = 0

+ +2 −2 −7=0
2

′

2

− 1) = 9

Kết ḷn: Vậy đường trịn (C’) có phương trình là: (
′
2

(

′

′

− 1) = 9

′

2

+ 1) +

2

2

2

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa đợ cho đường trịn (C) có phương trình ( − 2) + ( + 1) = 16 và đường tròn (C’) có phương trình ( − 5) + ( + 5)
= 16. Biết đường tròn (C’) là ảnh của đường trịn (C) qua phép tịnh tiến theo vecto . Tìm tọa đợ của vecto .

2

Hướng dẫn

Tâm đường trịn (C) là điểm (2; −1), tâm đường tròn (C’) là điểm
′(5; −5).

Do đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vecto
Gọi tọa độ của vecto

là:

=( ; )

Vậy tọa độ của vecto

là:

= (3; −4)

′

nên cũng là ảnh của qua phép tịnh tiến theo vecto .

7


1.2 TÌM PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1: Cho hàm số y = 2x − 1 có đồ thị là đường thẳng d và hàm số y = 2x − 7 có đồ thị là
đường thẳng (d1). Tìm phép tịnh tiến biến d thành (d1).

Hướng dẫn

Đặt f(x) = 2x − 1

Ta có: y = 2x − 7 = 2x − 6 − 1 = 2(x − 3) − 1 = f(x − 3)

Kết luận: Vậy phép tịnh tiến cần tìm ở đây chính là ta đã tịnh tiến (d)
sang phải 3 đơn vị để được (d1).
Bài 2: Cho hàm số y = x2 − 2x + 4 có đồ thị (P1) và hàm số
y

= x2 − 6x + 12 có đồ thị (P2). Hãy tìm mợt phép tịnh tiến biến đồ thị (P1) thành đồ thị (P2).

2

Đặt ( ) =

−2 +4

Hướng dẫn

Biến đổi:
= 2−6 +12
=

2

=

(

=

( −2) −2( −2)+4

=

−4 −2 +4
2

−4 +4)−4−2 +4
2

( − 2)

Kết luận: Vậy phép tịnh tiến cần tìm ở đây chính là ta đã tịnh tiến đồ
thị sang phải 2 đơn vị.
Bài 3: Cho đồ thị (P1): y = x2 − 10x + 5 có và đồ thị
(P2):y = x2 − 8x − 1. Tìm phép tịnh tiến đồ thị biến (P1) thành (P2).

8


Hướng dẫn

Đặt f(x) = x2 − 10x + 5

Ta có:

y = x2 − 8x − 1
=
=

=
=

=
=
=

2

x + 2x − 10x − 1
2
x + 2x + 1 − 1 − 10x − 1

(x + 21)2 − 1 − 10(x + 1) + 10 − 1
(x + 1) − 10(x + 1) + 8

(x + 1)22− 10(x + 1) + 5 + 3

[(x + 1) − 10(x + 1) + 5] + 3
( + 1) + 3

Kết luận: Để biến (P1) thành (P2) thì chúng ta phải tịnh

tiến (P1) sang trái 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến tiếp đồ thị lên trên 3 đơn vị.

Bài 4: Cho hai phép tịnh tiến T , T . Biết T (M)
u

v

u

M ', T (M ')

M ''

.

v

Chứng minh rằng phép dời hình biến M thành M '' là một phép tịnh
tiến
Hướng dẫn
T (M)

M'



M

'' 

u

T (M')
v

MM

' u

M ' M '' v

Ta có
MM '' MM ' M ' M '' u

v

 Tu v (M) M ''
Vậy phép biến hình M thành
M '' là phép tịnh tiến T
u v

9


2.

GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC

2.1 DẠNG TOÁN XÁC ĐỊNH GÓC, ĐỢ DÀI
Bài 1: Cho tứ giác ABCD có AB 6 3 cm, CD 12 cm, 150 BAD 60 ,
ABC , ADC 90 . Tính độ dài cạnh BC và DA.
Hướng dẫn
Xét phép tịnh tiến :
T:AM
BC

Khi đó ta có: AM BC và AB MC 6
Do đó: ABCM là hình bình hành
BCM

180

30 (V ABC 150 )

ABC

ì

Lại có:
BCD 360

A B D

60

MCD

30

Theo định lý cosin cho tam giác MDC ta
có:
2

MD

Ta có: MC

.
CM

vng tại M

MDC 60MDA 30
DMA cân tại M ( vì MAD 60 MAB 30
BCMAMD6
AD

sin AMD


10


Bài 2: Cho đường tròn (O, R) và hai điểm A, B nằm trên đường tròn
sao cho số đo cung AB bé hơn 180 . Gọi (O’;R’) và B’ là ảnh của

(O;R) và B qua phép tịnh tiến theo 2OA . Tính số đo BAB' .
Hướng dẫn
Xét phép tịnh tiến:
T

:

O

O'

2OA

B B'
(O, R) (O ', R ')

 OB//OB’

 B'O'O BOO' 180

0

Qua phép tịnh tiến T
2OA

 O’A + OA=2R=2R’



(O,R) tiếp xúc (O’, R’)

A là điểm tiếp xúc giữa (O) và (O’)

Kẻ tiếp tuyến (d) qua A cắt BB’ tại E.




B'AE

B'O'O

tiếp tuyến và dây cung)

 B'AE BAE
B'AB

90


11


2.2 DẠNG TOÁN XÁC ĐỊNH QUỸ TÍCH
Bài 1: Cho hai điểm phân biệt B, C cố định (BC không phải là đường
kính) trên đường trịn (O), điểm A di đợng trên (O). Chứng minh rằng
khi A di động trên (O) thì trực tâm H của tam giác ABC di đợng trên
mợt đường trịn.
Hướng dẫn
Dựng đường kính AD
Ta chứng minh tứ giác BHCD là hình bình

hành
 HD BC {I} , I là trung điểm BC
 OI là đường trung bình AHD


OI

Xét phép tịnh tiến:

T :A H
2OI

(O)

(O ')

Mà A (O)
 H (O')
Vậy quỹ tích điểm H là đường tròn (O’) với T2OI (O) = (O ')

Bài 2: Cho hình thang ABCD có đáy AB cố định và đáy CD thay đổi.
Biết AB = a và CD = b (với a, b không đổi). Tìm quỹ tích điểm C
trong các trường hợp sau:
a. Góc ADC 90
b. DA = DB
Hướng dẫn
a) Gọi I là trung điểm AB



I cố định (A, B cố định)

Theo đề bài, ta có∆
vng tại D

ID=IA=IB= 2 =2

12


Do đó điểm D chạy trên đường trịn
(C)

tâm I và bán kính R=2 bỏ đi hai điểm A và B ((C) cố định)

Gọi A’ thuộc cạnh AB sao cho:

b
a



AA’CD là hình bình hành
 DC AA ' ( với AA ' cố định). Từ đó theo định nghĩa tịnh tiến ta
có:
T

: D

C

AA '

I I'
C

C'

Mà điểm D chạy trên đường tròn (C) nên điểm C sẽ chạy
trên đường tròn (C’).
Vậy tập hợp tất cả các điểm C là đường tròn (C’) tâm I ' T (I) và
AA '
bán kính R

bỏ đi hai giao điểm của (C’) và đường thẳng AB.

b) Gọi d là đường trung trực của AB



d cố định (vì A, B cố định)
theo giả thiết ta có DA = DB



D chạy trên d (bỏ trung điểm AB)

Gọi A’ thuộc cạnh AB sao cho:
AA'



AB

b

a

AA’CD là hình bình hành


DC AA ' ( với AA ' cố định ). Từ đó theo định nghĩa phép
tịnh tiến ta có:
TAA' :D
d

C
d'

13


Mà điểm C chạy trên đường thẳng d nên điểm C sẽ chạy
trên đường thẳng d’.
Vậy tập hợp điểm C là đường thẳng d' = T (d) , bỏ giao điểm
AA '

của d’ và đường thẳng AB.

Bài 3: Cho hình bình hành

ABCD
CD
và A, B, D nằm trong đường
trịn cố định O, bán kinh R. Tìm quỹ tích
C.

Hướng dẫn
Gọi H là trực tâm tam giác ABD.
I là trung điểm BD
A’ đôi xứng A qua tâm O
Khi đó t có:
BH

AD

A'D

BH / /A'D
DH / /A'B

AD
DH

AB

A'B

AB

Do đó ta có: BHDA ' là hình bình hành

I là trung điểm của HA '
OI là đường trung bình của tam giác
AHA' AH
AH

2OI

2OI
2 R21

Quỹ tích điểm H là đường trịn (C)
tâm A bán kính 2 R2 1
Vì ABCD là hình bình hành nên I là
trung điểm AC
OI là đường trung bình của tam giác
ACA'

A'C

2OI (2)

AHCA' là hình bình hành HC AA ' O
Từ (1) và (2) ta có A ' C AH
Lại có AA ' cố định (vì A và cố định)


14


Do đó theo định nghĩa của phép tịnh tiến ta có:

T

:
AA'

A

Lại có H chạy trên đường trịn A, 2 R2 1 nên C sẽ chạy trên đường
tròn A ', 2 R2 1
Vậy quỹ tích điểm C là đường tròn tâm A ' (đối xứng với A qua O) và
bán kính

2.3 DẠNG TOÁN CHỨNG MINH
Bài 1: Cho tam giác

cắt cạnh A .
C

Phía ngoài tam giác

AA ''.

BB ' A ' A, BB'C'C, AA''C''C sao cho A là trung điểm đoạn
(S
là diện tích của hình
Chứng minh rằng: S

(H))
Hướng dẫn
Ta có: BB ' A ' A, BB'C'C, AA''C''C là hình bình hành

B'B

A'A,B'B

C'C,AA''

CC''

Lại có A là trung điểm
AA''

A' A AA''

Do đó: B ' B A ' A C ' C AA ''

CC ''

Theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có:


15


T

R'R

Mà T

R'R

là phép dời hình nên ta có:

A'B'C'CA, ABCC''A''

là các ngũ giác bằng nhau S

S
Lại có:

BB' A' A

S

(đpcm)

ACC '' A''

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C
△MBD và MBC MDC . Chứng minh rằng: AMD BMC

nằm trong
.

Hướng dẫn
Xét phép tịnh tiến:

T→ :M→M′
BA

B→A



△ MBC =△ M′AD và MM′ // CD

BMC = AM D (1)
⃗̂

{

C→D

̂′

MBĈ = MM ′AD (2)
Có

MBC = MDC
(2)

⇒ MDC = M′AD

⃗̂ ̂

Mà MM’//CD


⃗̂ ̂

MDC = DMM′

 ⃗̂′ ̂ M AD = DMM′

16




⃗̂′
DAMM’ nợi tiếp ( vì M AD, DMM′cùng chắn cung DM’)


⃗̂

̂

AMD = AM′D
AMD = BMC


⃗̂ ̂

2.4 DẠNG TOÁN DỰNG HÌNH
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của



ABC qua TAD . Hướng dẫn

Ta có: T (A) D
AD

Do ABCD là hình bình hành
BC AD
T (B) C
AD

Dựng hình bình hành ACED

 AD
T
T

CE (C) E
AD

( ABC)DCE

AD

Bài 2: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) (với R ≠ R’) và đường



thẳng
. Hãy dựng đường thẳng d song song với
đường tròn (O) và (O’) những dây cung bằng nhau.



và chắn

Hướng dẫn
Cách dựng:
Dựng tia Ox ⊥ O’K (với K là hình chiếu của O’ lên △).
Gọi I = Ox ∩ O’K

17


Dựng đường tròn tâm I bán kính bằng R
Gọi {A’, B’} = (O’, R’) ∩ (I, R)

Dựng đường thẳng d đi qua hai điếm A’ và B’

Chứng minh:
Vì {A’, B’} = (O’, R’) ∩ (I, R)

=> A′B′ ⊥ O’I

=> d ⊥ O’K => d //
Xét phép tịnh tiến:



: A’

, Є( , )
Do đó ta có: {

′ ′

=

⃗

′

=

Biện luận:
′ ′

Bài tốn có nghiệm hình khi và chỉ khi 2 đường trịn (I, R) và ( , ) cắt nhau.

Khi đó bài tốn chỉ có mợt nghiệm hình.

18


2.5 DẠNG TOÁN CỰC TRỊ
Bài: Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con song (Xem hai bờ
sông là hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc
cầu MN bắc qua sông (cầu vuông góc với bờ sơng) và làm hai đoạn
đường AM, NB (như hình vẽ). Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao
cho AM+NB ngắn nhất.

Hướng dẫn
Ta có a,b là hai đường cố định nên

định.

M cố
N

T MN (A) =A’ AA’ = MN Mà
AA’//MN
AA’NM là hình bình hành
A’N = AM.
Ta có AM + BN = A’N + NB ≥ A’B Để AM+BN
nhỏ nhất thì AM+BN=A’B Tức A’, M, B thẳng
hàng

19