Phân tích nội lực kết cấu dầm siêu tĩnh có dạng phi tuyến hình học

PHÂN TÍCH NỘI LỰC KẾT CẤU DẦM SIÊU TĨNH
CĨ DẠNG PHI TUYẾN HÌNH HỌC
Trần Tấn Phát & Nguyễn Lê Cơng
Khoa Xây Dựng, Trường Đại học Cơng Nghệ TP. Hồ Chí Minh (HUTECH)
GVHD: TS. Nguyễn Sơn Lâm
TĨM TẮT
Bài báo trình bày phương pháp phân tích nội lực kết cấu dầm siêu tĩnh có dạng phi tuyến hình học. Với những
kết quả nghiên cứu đạt được, nhóm tác giả đã tiến hành nghiên cứu và giới thiệu giải thuật phương pháp phân
tích nội lực trên nền tảng Mathcad Prime với lời giải chính xác cho vấn đề trên. Kết quả nghiên cứu có sự so
sánh đối chiếu với các phần mềm thương mại khác như Etabs.
Từ khóa: dầm siêu tĩnh, dầm phi tuyến hình học, Etabs, Mathcad Prime, nội lực dầm
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong thực tế việc thiết kế kết cấu phải tiết kiệm nhằm hạ giá thành sản phẩm và tăng lợi nhuận, nhờ giảm
trọng lượng bản thân kết cấu, giảm chi phí vật liệu sử dụng. Đồng thời giúp tải trọng truyền xuống móng cũng
giảm đi theo, hiển nhiên sẽ giúp giảm chi phí của móng hoặc kích thước móng. Nhưng bên cạnh đó do việc
giảm trọng lượng bản thân kết cấu bằng cách thay đổi kích thước hình học của dầm là một vấn đề khó và địi
hỏi người kỹ sư phải nắm rõ các kỹ thuật tính tốn, dựng hình nếu khơng sẽ dễ xảy ra những sai sót khơng đáng
có. Hiện nay với sự phát triển của cơng nghệ máy tính phương pháp phần tử hữu hạn có những bước tiến vượt
bậc tuy nhiên việc đưa ra lời giải chính xác cho các kết cấu dầm có dạng phi tuyến hình học vẫn cịn nhiều vấn
đề cần phải bàn, độ tin cậy chưa cao. Chính vì lý do này, nhóm nghiên cứu đã mạnh dạng áp dụng các kỹ thuật
lập trình trên nền tảng Mathcad Prime (Brent Maxfiel, 2006) giới thiệu đến các bạn sinh viên, kỹ sư xây dựng
phương pháp và giải thuật các bài toán dạng dầm phi tuyến (Carrera et al., 2011) nhằm có cơ sở so sánh đối
chiếu từ đó đánh giá được mức độ tin cậy khi sử dụng các phần mềm phần tử hữu hạn khác như Etabs (Carrera
et al., 2011)
2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Ta xét trường hợp dầm chịu tác dụng của
nhiều loại tải trọng, viết các hàm lực cắt
Qy(z) và moment uốn Mx(z) theo z. Sau đó
chú thích các giá trị của z để vẽ được các
biểu đồ lực cắt và moment. Tại đây, ta dùng

Hình 1 – Quy ước dấu nội lực của phương pháp mặt cắt

1221


phương pháp mặt cắt xét cân bằng lực và
tìm mối quan hệ giữa lực cắt và moment:

Viết phương trình cân bằng nội lực ta được:

dQy
= q( z )
dz

(1)

dM x
= Qy ( z)
dz

(2)

Các phương trình (1) và (2) cũng có thể viết dưới dạng

dQy = q( z)  dz
hay

dM x = Qy dz

và

Qy =  q( z)  dz

(3)

M x =  M x ( z)  dz

(4)

Để xác định mối quan hệ giữa moment và bán
kính cong ρ của một đường cong đàn hồi tại một
điểm, ta phân tích trường hợp phổ biến là dầm
bị biến dạng đàn hồi bởi tải trọng tác dụng
vng góc với trục thanh của dầm và nằm trong
mặt phẳng uốn xy (Karnovsky & Lebed, 2010).
Khi này, do dầm có chiều dài lớn hơn nhiều so
với chiều cao của tiết diện ngang dầm. Biến
dạng dầm khi này thực chất có thể xem là sự

Hình 2 – mối quan hệ giữa moment và bán kính cong ρ

uốn cong.
Trong quá trình dầm bị uốn cong tại tâm uốn O’ nào đó, với tác dụng của moment
uốn, đoạn dầm dz bị biến dạng một góc dθ (hình 2). Bán kính cong ρ xác định như

1



=−


y

(5)

sau:

Nếu vật liệu đồng nhất và đàn hồi tuyến tính, thì áp dụng luật Hooke ta có (6):

1222

=


E

(6)


Theo sức bền vật liệu, ta có:

 =−

Từ (5) và (6). Kết hợp hai phương trình này và thay thế vào phương trình (7), ta có:

1



Mx  y
I
Ix

=

Mx
EI

(7)

(8)

Dấu của ρ do phụ thuộc vào chiều của
moment. Như trong hình 3, khi M dương, ρ
kéo dài phía trên dầm, tức là theo chiều
dương trục y; Khi M là âm, ρ kéo dài dưới
dầm, hoặc theo hướng âm trục y.
Hình 3 – xác định dấu quy ước của ρ
Phương trình của đường cong đàn hồi đối với chùm có thể được biểu diễn
về mặt toán học là y = f (z). Để có được phương trình này, trước tiên
chúng ta phải biểu diễn độ cong 1/  theo y và z. Trong hầu hết các sách

1



d 2 y / dz 2

=

3

1 + (dy / dxz)2  2

(9)

giải tích, người ta chỉ ra rằng mối quan hệ này là:
Thay (9) vào (8) ta được:

d 2 y / dz 2
1 + (dy / dz)2 

3
2

=

Mx
EI

(10)

Phương trình có dạng phương trình vi phân bậc hai phi tuyến. Biểu diễn
một phương trình vi phân cấp 2 phi tuyến. Để giải được nghiệm chính
xác là một vấn đề khó. Ta dùng phương pháp gần đúng như sau:

1
Do

dy
là rất bé. Do đó,
dz



2

 dy 
 dz   0 . Khi này:
 

Ta có thể viết lại:
Thay cơng thức (12) vào (2), ta được:

1223



d2y
dz 2

(11)

d 2Qy M x
=
dz 2
EI

(12)

d 2Qy
d
( EI  2 ) = Qy ( z)
dz
dz

(13)


Với

q( z ) =

dQy
dz

d 2Qy
d2
(
EI

) = q( z )
dz 2
dz 2

ta được:

Trong hầu hết các trường hợp độ cứng EI sẽ

d 4Qy
= q( z )
dx4

(15)

d 3Qy
= Qy ( z)
dz3

(16)

d 2Q y
EI  2 = M x ( z)
dz

(17)

EI 

không đổi dọc theo chiều dài của dầm, giả sử

(14)

trường hợp này xảy ra có thể sắp xếp thành 3
phương trình sau:

EI 

3. THÍ DỤ ÁP DỤNG

Cho dầm chịu uốn, chịu tải trọng như hình. Biết lực tập trung Pk = 20 kN, moment tập trung Mk = 10 kN٠m, lực phân bố với q1 =
8 kN/m, q2 = 5 kN/m. Biết a = 0,5m; chiều dài dầm L= 16.a và dầm có tiết diện chữ T với chiều cao dầm thay đổi hs(z) theo z, bề
rộng cánh bs = 300mm, tw = 100mm, tt = 100mm không đổi suốt dọc chiều dài dầm, mô đun đàn hồi của vật liệu là E = 2٠105
MPa.

Yêu cầu
1. Vẽ biểu đồ lực cắt Qy và moment uốn Mx;
2. Vẽ biểu đồ góc xoay θx và chuyển vị uy;
1. Vẽ biểu đồ lực cắt Qy và moment uốn Mx;
Biểu đồ lực cắt Qy:

1224


Biểu đồ moment uốn Mx:

2. Vẽ biểu đồ góc xoay θx và chuyển vị uy;
Biểu đồ góc xoay θx:

Biểu đồ chuyển vị uy:

1225


Kết quả so sánh kết quả tính tốn Etabs và Mathcad

Lực cắt Qy (kN)

Moment Mx (kN.m)

Vị trí
(m)

Etabs

Mathcad
Prime

ΔQy (%)

Etabs

Mathcad
Prime

ΔMx (%)

0.00

-12.170

-12.150

0.165

0.000

0.000

0.000

0.50

-9.520

-9.500

0.211

5.435

5.420

0.277

1.00

-6.570

-6.550

0.305

9.471

9.450

0.222

1.50

-3.320

-3.300

0.606

11.956

11.930

0.218

2.00

0.230

0.240

-4.167

12.741

12.070

5.559

2.50

4.080

4.090

-0.244

11.676

11.630

0.396

3.00

7.930

7.940

-0.126

8.662

8.610

0.604

1226


3.50

11.480

11.490

-0.087

3.797

3.730

1.796

4.00

14.730

14.740

-0.068

-2.768

-2.830

-2.191

4.50

17.680

17.690

-0.057s

-10.883

-10.950

-0.612

5.00

20.330

20.345

-0.076

-20.397

-20.470

-0.357

5.00

-12.270

-12.409

-1.118

-20.397

-20.470

-0.357

5.50

-12.270

-12.409

-1.118

-14.265

-14.270

-0.035

6.00

-12.270

-12.409

-1.118

-8.132

-8.070

0.768

6.50

-12.270

-12.409

-1.118

-1.999

-1.860

7.473

6.50

7.730

7.591

1.828

8.001

4.330

84.781

7.00

7.730

7.591

1.828

4.134

0.540

665.556

7.50

7.730

7.591

1.828

0.267

0.540

-50.556

8.00

7.730

7.591

1.828

-3.600

-3.250

10.769

Góc xoay θy (deg)

Chuyển vị δy (mm)

Vi tri
(m)

Etabs

Mathcad
Prime

Δθy (%)

Etabs

Mathcad
Prime

Δδy (%)

0.00

0.002979

0.00324

-8.04

0.00

0.00

0.00

0.50

0.002807

0.00307

-8.55

-0.0265

-0.0277

-4.32

1.00

0.002235

0.00242

-7.66

-0.04977

-0.05213

-4.53

1.50

0.001375

0.00146

-5.82

-0.06623

-0.0691

-4.15

1227


2.00

0.000401

0.00036

11.41

-0.07416

-0.07711

-3.83

2.50

-0.000573

-0.0007

-18.15

-0.07298

-0.07552

-3.36

3.00

-0.001375

-0.00162

-15.12

-0.06341

-0.06495

-2.37

3.50

-0.001891

-0.00219

-13.66

-0.04755

-0.04824

-1.43

4.00

-0.001948

-0.00222

-12.25

-0.02876

-0.0285

0.92

4.50

-0.001432

-0.00163

-12.12

-0.0116

-0.01099

5.51

5.00

-0.000859

-0.00097

-11.40

0.00

0.00

0.00

5.00

-0.000859

-0.00097

-11.40

0.00

0.00

0.00

5.50

-0.000401

-0.0004

0.27

0.004667

0.00615

-24.11

6.00

0.000172

0.00023

-25.27

0.004403

0.00699

-37.01

6.50

0.000516

0.00064

-19.43

-0.00026

0.00287

-90.8

6.50

0.000516

0.000664

-22.34

-0.00026

0.00287

-90.8

7.00

0.000057

0.00011

-47.91

-0.00171

-0.00011

1457.27

7.50

-0.000057

-0.00004

43.24

-0.00089

-0.00023

287.83

8.00

0.000000

0.00000

0.00

0.00

0.00

0.00

4. KẾT LUẬN & KIẾN NGHỊ
Thông qua kết quả nghiên cứu, nhóm nhận thấy rằng: việc phân tích nội lực và biến dạng cho dầm phi tuyến
hình học. Nhóm nghiên cứu nhận thấy rằng các thuật tốn được lập trình trên nền tảng Mathcad Prime cho kết
quả với độ chính xác cao khi so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn trên nền tảng phần mềm thương mại
Etabs. Tuy nhiên, kết quả phân tich ta nhận thấy rằng: Trong đoạn dầm AB tiết diện dầm thay đổi tuyến tính
thì kết quả tính tốn chấp nhận được khi sai số dưới 5%. Tuy nhiên, với đoạn BC tiết diện dầm thay đổi dạng
bậc 2 thì kết quả cho sai số rất lớn. Lý do là hiện nay phần mềm Etabs vẫn chưa hỗ trợ tiết diện dạng này. Đây
cũng là những hạn chế của phần mềm. Chính vì vậy nhóm nghiên cứu đã sử dụng kỹ thuật tuyến tính hố từng
đoạn từ bậc 2 về bậc 1 để mô phỏng dẫn đến kết quả có sai số. Thơng qua bài báo nhóm tác giả muốn gửi đến
1228


các bạn sinh viên, kỹ sư thiết kế kết cấu có thêm nguồn tài liệu để tham khảo và đánh giá được độ tin cậy của
phần phần phần tử hữu hạn mà đang được sử dụng phổ biến hiện nay ở Việt Nam.
Nhóm nghiên cứu hy vọng các kỹ sư thiết kế kết cấu cần cẩn trọng trong việc thiết kế các kết cấu có tiết diện
dạng phi tuyến hình học như thế này. Đặc biệt là phần mềm Etabs bởi độ tin cậy của nó hiện chưa cao.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Brent Maxfiel. (2006). Engineering with Mathcad: Using Mathcad to Create and Organize Your
Engineering Calculations. Elsevier’s Science.
2. Carrera, E., Giunta, G., & Petrolo, M. (2011). Beam Structures Classical and Advanced Theories. A John
Wiley & Sons.
3. Karnovsky, I. A., & Lebed, O. (2010). Advanced methods of structural analysis. In Advanced Methods of
Structural Analysis. />
1229