CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
I. Giá trị lượng giác của các cung (góc) đặc biệt.
0o
30o
45o
60o
90o
120o
135o
150o
α
0
3
4
1
1
3
2
1
2
2
2
2
2
5
6
1
2
cosα
3
3
2
1
2
2
3
0
4
2
2
2
2
2
sinα
6
1
2
tanα
0
1
3
∥
3
-1
cotα
∥
1
3
3
0
3
3
-1
3
2
3
3
3
0
tan
180o
0
3
2
3
3
-1
3
∥
0
II. Giá trị lượng giác của các cặp góc đặc biệt.
Góc đối nhau
Góc bù
nhau
Góc phụ
nhau
Góc hơn kém
Góc hơn kém
𝛑
𝛑/2
sin cos
2
sin( ) sin
sin( ) sin
sin cos
2
sin( ) sin
cos( ) cos
cos( ) cos
cos sin
2
cos( ) cos
cos sin
2
tan( ) tan
tan( ) tan
tan cot
2
tan( ) tan
tan cot
2
cot( ) cot
cot( ) cot
cot tan
2
cot( ) cot
cot tan
2
III. Công thức nghiệm cơ bản:
sin
sin
cos
cos
tan
cot
tan
cot
cos
Chú yù:
2k
1
cos
2k
k2
sin
k
k
sin
1
2
1
k2
2
k2
k2
1
sin
0
cos
0
k2
k
2
k
CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
IV. Công thức lượng giác .
1. Công thức cơ bản:
sin 3 3sin 4sin3
sin2 cos2 1
1 tan
2
1 cot
cos3 4 cos 3 cos
3 tan tan3
tan 3
1 3 tan 2
1
2
cos
1
2. Công thức cộng:
sin(a b) sin a.cos b sin b.cos a
tan(a b)
sin a.sin b
tan a tan b
1 tan a.tan b
sin3
cos
3
1
3 sin
4
1
3 cos
4
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos2 sin 2
2 cos2 1
1 2 sin 2
2 tan
1 tan 2
cot 2 1
cot 2
2 cot
tích:
1 cos 2
2
1 cos 2
2
cos
2
1 cos 2
2
tan
1 cos 2
4
cos
2 sin
4
4
sin 2
cos
sin
tan
cot
2
sin 2
cot
tan
2 cot2
sin4α + cos4 α
cos a cos b 2 cos
ab
ab
.cos
2
2
ab
ab
cos a cos b 2sin
.sin
2
2
=1=
1
sin22 α
2
1
3
cos 4
4
4
sin6 α + cos6α
sin a sin b 2sin
ab
ab
.cos
2
2
=1-
sin a sin b 2 cos
ab
ab
.sin
2
2
=
3
sin22 α
4
3
5
cos 4
8
8
8. Công thức biểu diễn
Hệ quả: (Công thức hạ bậc hai)
sin 2
1
2 cos
4
2 cos
5. Công thức biến đổi tổng thành
3. Công thức nhân đôi:
tan 2
sin
sin 3
cos 3
sin
2 sin
Hệ quả: (Công thức hạ bậc ba)
sin2
cos(a b) cosa.cos b
cos
3
tan .cot 1
2
7. Công thức bổ xung:
4. Công thức nhân ba:
6. Công thức biến đổi tích thành
2
theo t = tan .
toång:
1
cos(a b) cos(a b)
2
1
sin a.sin b cos(a b) cos(a b)
2
1
sin a.cos b sin(a b) sin(a b)
2
cos a.cos b
sin
2t
1 t2
cos
1 t2
1 t2
tan
2t
1 t2
2
Cách học thuộc nhanh Bảng công thức lượng giác bằng thơ, "thần chú"
Cách học thuộc các công thức lượng giác bằng thơ
Công thức CỘNG trong lượng giác
Cos + cos = 2 cos cos
cos trừ cos = trừ 2 sin sin
Sin + sin = 2 sin cos
sin trừ sin = 2 cos sin.
Sin thì sin cos cos sin
Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).
Tang tổng thì lấy tổng tang
Chia một trừ với tích tang, dễ ịm.
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bắt được quả tang
Sin nằm trên cos (tan@ = sin@:cos@)
Cotang dại dột
Bị cos đè cho. (cot@ = cos@:sin@)
Cách 2:
Bắt được quả tang
Sin nằm trên cos
Côtang cãi lại
Cos nằm trên sin!
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan
Cosin của 2 góc đối bằng nhau; sin của 2 góc bù nhau thì bằng nhau; phụ chéo
là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tan góc này = cot góc kia; tan
của 2 góc hơn kém pi thì bằng nhau.
CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC NHÂN BA
Nhân ba một góc bất kỳ,
sin thì ba bốn, cos thì bốn ba,
dấu trừ đặt giữa 2 ta, lập phương chỗ bốn,
… thế là ok.
Công thức gấp đôi:
+ Sin gấp đơi = 2 sin cos
+ Cos gấp đơi = bình cos trừ bình sin
= trừ 1 + 2 lần bình cos
= + 1 trừ 2 lần bình sin
+Tang gấp đơi
Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang)
Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.
Cách nhớ cơng thức: tan(a+b)=(tan+tanb)/1-tana.tanb
tan một tổng 2 tầng cao rộng
trên thượng tầng tan + tan tan
dưới hạ tầng số 1 ngang tàng
dám trừ một tích tan tan oai hùng
CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
Cos cos nửa cos-+, + cos-trừ
Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-+
Sin cos nửa sin-+ + sin-trừ
CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
sin tổng lập tổng sin cô
cô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàng
cịn tan tử + đơi tan (hoặc là: tan tổng lập tổng 2 tan)
một trừ tan tích mẫu mang thương sầu
gặp hiệu ta chớ lo âu,
đổi trừ thành + ghi sâu vào lịng
Một phiên bản khác của câu Tan mình + với tan ta, bằng sin 2 đứa trên cos ta
cos mình… là
tanx + tany: tình mình + lại tình ta, sinh ra 2 đứa con mình con ta
tanx - tan y: tình mình hiệu với tình ta sinh ra hiệu chúng, con ta con mình
CƠNG THỨC CHIA ĐƠI (tính theo t=tg(a/2))
Sin, cos mẫu giống nhau chả khác
Ai cũng là một + bình tê (1+t2)
Sin thì tử có 2 tê (2t),
cos thì tử có 1 trừ bình tê (1-t2).
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Sao Đi Học (Sin = Đối / Huyền)
Cứ Khóc Hồi (Cos = Kề / Huyền)
Thơi Đừng Khóc (Tan = Đối / Kề)
Có Kẹo Đây (Cotan = Kề/ Đối)
Sin: đi học (cạnh đối - cạnh huyền)
Cos: không hư (cạnh đối - cạnh huyền)
Tang: đoàn kết (cạnh đối - cạnh kề)
Cotang: kết đoàn (cạnh kề - cạnh đối)
Tìm sin lấy đối chia huyền
Cosin lấy cạnh kề, huyền chia nhau
Cịn tang ta hãy tính sau
Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền
Cotang cũng dễ ăn tiền
Kề trên, đối dưới chia liền là ra
Sin bù, cos đối, hơn kém pi tang, phụ chéo.
+ Sin bù: Sin(180-a)=sina
+ Cos đối: Cos(-a)=cosa
+ Hơn kém pi tang:
Tg(a+180)=tga
Cotg(a+180)=cotga
+ Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tg góc này = cotg
góc kia.
Cơng thức tổng qt hơn về việc hơn kém pi như sau:
Hơn kém bội 2 pi sin, cos
Tang, cotang hơn kém bội pi.
Sin(a+k.2.180)=sina ; Cos(a+k.2.180)=cosa
Tg(a+k180)=tga ; Cotg(a+k180)=cotga
* sin bình + cos bình = 1
* Sin bình = tg bình trên tg bình + 1.
* cos bình = 1 trên 1 + tg bình.
* Một trên cos bình = 1 + tg bình.
* Một trên sin bình = 1 + cotg bình.
(Chú ý sin *; cos @ ; tg @ ;cotg * với các dấu * và @ là chúng có liên quan
nhau trong CT trên)
Học công thức lượng giác “thần chú”
• Sin= đối/ huyền
Cos= kề/ huyền
Tan= đối/ kề
Cot= kề/ huyền
* Thần chú: Sin đi học, Cos khơng hư, tan đồn kết, cotan kết đồn
Hoặc: Sao đi học, cứ khóc hồi, thơi đừng khóc, có kẹo đây!
• Cơng thức cộng:
Cos(x y)= cosxcosy sinxsiny
Sin(x y)= sinxcosy cosxsiny
* Thần chú: Cos thì cos cos sin sin
Sin thì sin cos cos sin rõ ràng
Cos thì đổi dấu hỡi nàng
Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho!
Tan(x+y)=
* Thần chú: Tan một tổng hai tầng cao rộng
Trên thượng tầng tan cộng cùng tan
Hạ tầng số 1 ngang tàng
Dám trừ đi cả tan tan oai hùng
Hoặc: Tang tổng thì lấy tổng tang
Chia một trừ với tích tang, dễ ịm.
• Cơng thức biến đổi tổng thành tích:
Ví dụ: cosx+cosy= 2cos cos
(Tương tự những công thức như vậy)
* Thần chú: cos cộng cos bằng 2 cos cos
Cos trừ cos bằng – 2 sin sin
Sin cộng sin bằng 2 sin sin
Sin trừ sin bằng 2 cos sin.
* Tan ta cộng với tan mình bằng sin hai đứa trên cos mình cos ta.
Cơng thức biến đổi tích thành tổng:
Ví dụ: cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)] (Tương tự những công thức như vậy)
* Thần chú: Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ
Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng
Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ.
• Cơng thức nhân đơi:
Ví dụ: sin2x= 2sinxcosx (Tương tự những công thức như vậy)
Thần chú: Sin gấp đơi = 2 sin cos
Cos gấp đơi = bình cos trừ bình sin
= trừ 1 cộng hai bình cos
= cộng 1 trừ hai bình sin
Chỉ việc nhớ cơng thức nhân đơi của cos bằng thần chú trên rồi từ đó có thể suy
ra cơng thức hạ bậc.
Tang gấp đơi=Tang đơi ta lấy đơi tang (2 tang)
Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.
• Hàm số lượng giác và các cung có liên quan đặc biệt:
Ví dụ: Cos(-x)= cosx
Tan( + x)= tan x
* Thần chú: Sin bù, Cos đối, Tang Pi,
Phụ nhau Sin Cos, ắt thì phân chia
Hoặc: Cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém pi tang.