Giáo trình thuỷ khí _ Chuyển động thế phẳng pptx

Giáo trình thu khíỷ
Chuy n ng th ph ngể độ ế ẳ
1
Ch ng 8ươ chuy n ng th ph ngể độ ế ẳ
M c íchụ đ : Nghiên c u m t s c tr ng ng l c h c c a chuy n ng thứ ộ ố đặ ư độ ự ọ ủ ể độ ế
ph ng c a ch t l ng lý t ngẳ ủ ấ ỏ ưở
Ph ng phápươ : S d ng lý thuy t h m bi n ph cử ụ ế à ế ứ
8.1- ng d ng h m bi n ph cứ ụ à ế ứ
I. Th ph c:ế ứ
Dòng ch t l ng lý t ng chuy n ng có th khi tho mãn i u ki n:ấ ỏ ưở ể độ ế ả đề ệ
0urot =
Khi ó ta a v o h m th v n t c đ đư à à ế ậ ố ϕ, trong ó các th nh ph n v n t c c xácđ à ầ ậ ố đượ
nh:đị
i
u
i
∂
ϕ∂
=
(i=x,y,z) (1)
Vect v n t c:ơ ậ ố
ϕ= gradu
Ta gi thi t ả ế ϕ;
dt
dϕ
;
2
2
dt
d ϕ
l liên t c theo to à ụ ạđộ

Ta nh n th y b t k h m ậ ấ ấ ỳ à ϕ + C n o c ng tho mãn (1) : th c a tr ng v n t cà ũ ả ế ủ ườ ậ ố
chính xác n h ng s .đế ằ ố
i v i chuy n ng th d ng: Đố ớ ể độ ế ừ ϕ=ϕ(x,y,z); khi ϕ=ϕ(x,y,z)=const ta c ph ngđượ ươ
trình m t ng th (m t có th b ng nhau)ặ đẳ ế ặ ế ằ
Lý thuy t gi i tích vect cho th y: vect gradế ả ơ ấ ơ ϕ vuông góc v i m t ớ ặ ϕ=const do
ó trên m t ng th vec v n t c t i m i i m s vuông góc v i nó.đ ặ đẳ ế ơ ậ ố ạ ọ để ẽ ớ
Xét chuy n ng th , ph ng, d ng, khi ó ch t l ng di chuy n trong m t ph ngể độ ế ẳ ừ đ ấ ỏ ể ặ ẳ
xOy, th v n t c ế ậ ố ϕ c xác nh nh sau:đượ đị ư
x
u
x
∂
ϕ∂
=
;
y
u
y
∂
ϕ∂
=
Ph ng trình các ng ng th trong m t ph ng xOy s l : ươ đườ đẳ ế ặ ẳ ẽ à ϕ(x,y) = C
G i h m ọ à ψ(x,y) tho mãn i u ki n: ả đề ệ
y
u
x
∂
Ψ∂
=
;

x
u
y
∂
Ψ∂
−=
Bi u th c ể ứ ψ(x,y) = C l ph ng trình ng dòngà ươ đườ
H m th à ếϕ v h m dòng à à ψ tho mãn ph ng trình Laplace; b i vì:ả ươ ở
T i u ki n không xoáy: ừđề ệ
0
x
u
x
u
urot
x
y
x
=
∂
∂
−
∂
∂
=
2
ta có
0
yx
2

2
2
2
=
∂
Ψ∂
+
∂
Ψ∂
T ph ng trình liên t c: ừ ươ ụ
0
y
u
x
u
y
x
=
∂
∂
+
∂
∂
ta có
0
yx
2
2
2
2

=
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
Nh v y h m th v h m dòng l các h m i u ho (Laplace=0)ư ậ à ế à à à à đề à
Ta nh n th y h m th v h m dòng tho mãn i u ki n Cauchy-Riemann ( i uậ ấ à ế à à ả đề ệ đề
ki n tr c giao gi a ng dòng v ng ng th )ệ ự ữ đườ àđườ đẳ ế
0
yyxx
=
∂
Ψ∂
⋅
∂
ϕ∂
+
∂
Ψ∂
⋅
∂
ϕ∂
Trong lý thuy t h m bi n ph c, n u ế à ế ứ ế ϕ v à Ψ l các h m i u ho v tho mãnà à đề à à ả
i u ki n Cauchy- Riemann thì h m ph c đề ệ à ứ ϕ(x,y) + iΨ(x,y) l h m c a 1 bi nà à ủ ế
s ph c zố ứ
v i ớ z= x+iy=r(cosθ+isinθ)=e.exp(iθ)
Nh v y t n t i h m ph c W(z)= ư ậ ồ ạ à ứ ϕ(x,y) + iΨ(x,y) v còn g i l th ph c.à ọ à ế ứ
Hình 1
II. V n t c ph cậ ố ứ

Lý thuy t h m bi n ph c cho: ế à ế ứ
)iy(d
dW
dx
dW
dz
dW
==
ngh a l o h m ĩ à đạ à
dz
dW
v o h m theo 2 ph ng c a tr c th c v tr c o b ngà đạ à ươ ủ ụ ự à ụ ả ằ
nhau, ta có th ch ng minh:ể ứ
( )
uiuu
yy
i
dy
dW
i
iyd
dW
uiuu
x
i
xdx
dW
yx
yx
=−=

∂
Ψ∂
+
∂
ϕ∂
−=−=
=−=
∂
Ψ∂
+
∂
ϕ∂
=
3
z
x
y
i
1
θ
u=u
x
+iu
y
g i l v n t c ph c; ọ à ậ ố ứ
u
= u
x
+iu
y

g i l v n t c liên h p; m t ph ngọ à ậ ố ợ ặ ẳ
(u
x,
u
y
) g i l m t ph ng v n t c.ọ à ặ ẳ ậ ố
K t lu n: kh o sát chuy n ng th ph ng c a ch t l ng lý t ng ta áp d ngế ậ Để ả ể độ ế ẳ ủ ấ ỏ ưở ụ
lý thuy t h m bi n ph c, m i th ph c t ng ng v i 1 chuy n ng n o yế à ế ứ ỗ ế ứ ươ ứ ớ ể độ à đấ
c a ch t l ng; ng c l i, m t chuy n ng th s c bi u di n b ng m t thủ ấ ỏ ượ ạ ộ ể độ ế ẽđượ ể ễ ằ ộ ế
ph c n o y. T y ta có 2 lo i b i toán:ứ à đấ ừđấ ạ à
- Xác nh chuy n ng (tr ng v n t c) khi cho bi t th ph c.đị ể độ ườ ậ ố ế ế ứ
- Xác nh th ph c khi cho bi t ng biên c a v t b bao quanh v v n t c đị ế ứ ế đườ ủ ậ ị à ậ ố ở
vô cùng.
8.2 – M t s chuy n ng n gi n:ộ ố ể độ đơ ả
I. Chuy n ng ph ng:ể độ ẳ
Th ph cế ứ
( ) ( )
iyxaazzW +==
trong ó a l h ng s .đ à ằ ố
Ta có 2 cas:
a) a l s th c aà ố ự
1
( ) ( )
Ψ+ϕ=+==⇒ iiyxazazW
11
Do ó đ ϕ = a
1
x v àψ = a
1
y

ng ng th : Đườ đẳ ế ϕ = a
1
x = Const l h các ng th ng song song v i tr c y.à ọ đườ ẳ ớ ụ
Các ng dòng: đườ ψ = a
1
y = Const l h các ng th ng song song v i tr c y.à ọ đườ ẳ ớ ụ
Các th nh ph n v n t c: à ầ ậ ố
1x
a
yx
u =
∂
Ψ∂
=
∂
ϕ∂
=
0
xy
u
y
=
∂
Ψ∂
−=
∂
ϕ∂
=
V y ta có chuy n ng th ng theo ph ng x (hình2a)ậ ể độ ẳ ươ
b) a l s o:à ốả a = ia

1
(a
1
l s th c); t ng t nh trên, ta tìm c: à ố ự ươ ự ư đượ
ng ng th : Đườ đẳ ế ϕ = - a
1
y = Const l h các ng th ng song song v i tr c x.à ọ đườ ẳ ớ ụ
4
Hình 2a
ψ=const
y
x
ϕ=const
u
x
=a
1
ψ=const
y
x
ϕ=const
α
u
Hình 2b
Các ng dòng: đườ ψ = a
1
x = Const l h các ng th ng song song v i tr c y.à ọ đườ ẳ ớ ụ
Các th nh ph n v n t c: à ầ ậ ố
0
yx

u
x
=
∂
Ψ∂
=
∂
ϕ∂
=
1y
a
xy
u −=
∂
Ψ∂
−=
∂
ϕ∂
=
So v i cas a thì các ng dòng v các ng ng th i ch cho nhau; cácớ đườ à đườ đẳ ế đổ ỗ
hình chi u v n t c c ng i ch cho nhau.ế ậ ố ũ đổ ỗ
c) a l s ph c: a = aà ố ứ
1
+ ia
2
(a
1
; a
2
l s th c d ng)à ố ự ươ

Th ph c có d ng:ế ứ ạ

( ) ( )( ) ( ) ( )
Ψ+ϕ=++−=++== iyaxaiyaxaiyxiaaazzW
122121
V y ậ
( ) ( )
yaxayaxa
1221
+=Ψ−=ϕ
Ta có u
x
= a
1
u
y
= - a
2
ng ng th : Đườ đẳ ế ϕ = a
1
x - a
2
y = Const hay
Cx
a
a
y
2
1
+=

Các ng dòng: đườ ψ = a
2
x + a
1
y = Const hay
'
1
2
Cx
a
a
y +−=
ây l ph ng trình các ng th ng nghiêng vuông góc v i nhau (hình 2b)Đ à ươ đườ ẳ ớ
II. i m ngu n v i m hút:Để ồ àđể
Th ph c: ế ứ
( )
Ψ+ϕ=θ++=+===
θθ
iiarlnaelnarlna)reln(azlnazW
ii
H m th v n t c: à ế ậ ố ϕ=alnr : ϕ=const ⇒ r = const: ng ng th lđườ đẳ ế à
h các vòng tròn có tâm trùng v i g c to ọ ớ ố ạđộ
H m dòng:à ψ=aθ : ψ=const ⇒ θ = const: ng dòng l h ngđườ à ọ đườ
th ng i qua g c to ẳ đ ố ạđộ
Các th nh ph n v n t c c a chuy n ng bi u di n d i d ng to tr :à ầ ậ ố ủ ể độ ể ễ ướ ạ ạđộ ụ
( )
0
r
1
u

r
a
rlna
rr
u
r
=
θ∂
ϕ∂
=
=
∂
∂
=
∂
ϕ∂
=
θ
Nh v y ch có th nh ph n v n t c theo ph ng bán kính, ư ậ ỉ à ầ ậ ố ươ u
r
d ng khi cóươ
chi u h ng t tâm ra ngo i ề ướ ừ à t c l ứ à a d ngươ , khi ó ta có các ng dòng i tđ đườ đ ừ
tâm ra: i m ngu n.để ồ
Ng c l i, uượ ạ
r
âm (t c l ứ à a âm) khi có chi u h ng t ngo i v o tâmề ướ ừ à à , khi ó tađ
có các ng dòng i ngo i v o tâm : i m hút. T i tâm ta có r=0, khi ó uđườ đ à à để ạ đ
r
có
giá tr b ng ị ằ ∞, ta g i ây l i m t bi t.ọ đ àđể đặ ệ

L u l ng i m ngu n hay i m hút c xác nh nh sau:ư ượ để ồ để đượ đị ư
5
a2dr
r
a
druQ
2
0
2
0
r
π=θ=θ=
∫∫
ππ
Nh v y h ng s a c a th ph c có th bi u di n qua Q: ư ậ ằ ố ủ ế ứ ể ể ễ
π
=
2
Q
a
Th ph c có d ng ế ứ ạ
zln
2
Q
W
z
π
=
III Chuy n ng xoáy (xoáy th v n t c):ể độ ế ậ ố
Xét th ph c ế ứ W=a lnz trong ó đ a l s oà ốả : a=ia

1
(a
1
l s th c)à ố ự
W=a lnz =ia
1
lnz=ia
1
ln(re
i
θ
)=ϕ+iΨ
Trong tr ng h p n y ta có:ườ ợ à
H m th v n t c: à ế ậ ố ϕ=-a
1
θ : ϕ=const ⇒ θ = const: ng ng th lđườ đẳ ế à
h ng th ng i qua g c to ọđườ ẳ đ ố ạđộ
H m dòng:à ψ= a
1
lnr: ψ=const ⇒ r = const: ng dòng l h cácđườ à ọ
vòng tròn có tâm trùng v i g c to ớ ố ạđộ (chuy n ng xoáy)ể độ
Các th nh ph n v n t c c a chuy n ng bi u di n d i d ng to tr :à ầ ậ ố ủ ể độ ể ễ ướ ạ ạđộ ụ
( )
r
a
r
1
u
0a
rr

u
1
1r
−=
θ∂
ϕ∂
=
=θ−
∂
∂
=
∂
ϕ∂
=
θ
ý ngh a c a aĩ ủ
1
: ta nh ngh a đị ĩ
1
1
2
0
s
a2r2
r
a
rd.udsu π−=π−=θ==Γ
∫∫
π
θ

:l u s v n t cư ố ậ ố
(circular).
Thay v o bi u th c c a th ph c:à ể ứ ủ ế ứ
zln
i2
zln
2
i
W¦
π
Γ
=
π
Γ
−=
V n t c ậ ố
r2
u
π
Γ
=
θ
ngh a l ĩ à
const
2
ru =
π
Γ
=⋅
θ

M t chuy n ng nh th ng v i dòng có l u s v n t c quanh s i xoáy. Trongộ ể độ ư ếứ ớ ư ố ậ ố ợ
chuy n ng ph ng ây l dòng quanh 1 i m xoáy n m tâm to .ể độ ẳ đ à để ằ ở ạđộ
IV Chuy n ng l ng c c:ể độ ưỡ ự
6
ϕ=const
ψ=const
Kh o sát thé ph c: ả ứ
z
1
2
m
W
z
π
=
Thay z=x+iy ta có
( )
( )( )
( )
22
z
yx
iyx
2
m
iyxiyx
iyx
2
m
W

+
−
π
=
−+
−
π
=
Suy ra
22
yx
x
2
m
+
π
=ϕ
v à
22
yx
y
2
m
+
π
−=Ψ
Ph ng trình ng ng th : ươ đườ đẳ ế x
2
+ y
2

= Cx: h cácvòng tròn có tâm n m trênọ ằ
tr c x v i qua g c to ụ àđ ố ạđộ
Ph ng trình ng dòng: ươ đườ x
2
+ y
2
= Cy: h cácvòng tròn có tâm n m trên tr cọ ằ ụ
y v i qua g c to àđ ố ạđộ
Chuy n ng n y l chuy n ng l ng c c, ể độ à à ể độ ưỡ ự m g i l moment c a l ng c cọ à ủ ưỡ ự
8.3- dòng bao quanh tr tròn không có l u s v n t c (ụ ư ố ậ ố Γ=0)
I. Th ph c:ế ứ
Xét th ph c t ng h p c a th ph c ế ứ ổ ợ ủ ế ứ chuy n ng th ng song song v i tr c x ể độ ẳ ớ ụ và
l ng c c.ưỡ ự
( )
z
1
2
m
zVzW ⋅
π
+=
∞
Ta xác nh ph n th c v ph n o c a W(z)đị ầ ự à ầ ả ủ
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
  

  
Ψ
∞
ϕ
∞
∞∞








+
⋅
π
−+
+
⋅
π
+=
+
−
⋅
π
++=
+
⋅
π

++=
2222
22
yx
y
2
m
yVi
yx
x
2
m
xV
yx
iyx
2
m
iyxV
iyx
1
2
m
iyxVzW
II. ng dòngĐườ
Ph ng trình ng dòng:ươ đườ
7
ϕ=const
Ψ=const
( )
Cconsty

yx
1
2
m
V
22
==








+
⋅
π
−
∞
Cho C=0, ta có ph ng trình ươ ng dòng ‘không’đườ g m 2 ng:ồ đườ
y = 0: tr c ho nh Oxụ à
∞
π
=+
V2
m
yx
22
: vòng tròn có tâm l g c to v à ố ạ độ à

∞
π
=
V2
m
a
l bánà
kính. Thay ng dòng ‘không’ b ng th nh r n thì ta c dòng ph ng baođườ ằ à ắ đượ ẳ
quanh tr tròn v i v n t c vô cùng Vụ ớ ậ ố ở
∞

vuông góc v i tr c hình tr .ớ ụ ụ
III. Phân b v n t c v áp su tố ậ ố à ấ
Bi u di n th v n t c d i d ng to tr :ể ễ ế ậ ố ướ ạ ạđộ ụ






π
+θ=ϕ
∞
2
r
1
2
m
Vcosr
V i ớ

∞
∞
=
π
⇒
π
= Va
2
m
V2
m
a
2








+θ=ϕ
∞
2
2
r
a
1cosrV
Các th nh ph n v n t c có d ng:à ầ ậ ố ạ
θ







+−=
θ∂
ϕ∂
=
θ






−=
∂
ϕ∂
=
∞θ
∞
sin
r
a
1V
r
u
cos

r
a
1V
r
u
2
2
2
2
r
Trên m t tr r = a: uặ ụ
r
= 0; u
θ

= -2V
∞
sinθ; nh v y v n t c trên m t tr l theoư ậ ậ ố ặ ụ à
ph ng ti p tuy n v i m t tr v bi n i theo qui lu t sin. ươ ế ế ớ ặ ụ à ế đổ ậ T i ạ θ = 0 v à π (t iạ
A v B) ta có uà
A
= u
B
= 0; A v B g i l 2 i m t i h n à ọ à để ớ ạ ( i m d ng)để ừ
+ Xác nh phân b áp su t trên m t tr :đị ố ấ ặ ụ
Vi t ph ng trình Bernoulli cho ng dòng ‘không’ qua 2 m t c t: m t vôế ươ đườ ặ ắ ộ ở
cùng có V
∞

; p

∞

; m t qua m t tr có ộ ặ ụ u;p:
8
( )
θ−
ρ
+=








−
ρ
+=
⇒θ−=
ρ
+=
ρ
+
∞
∞
∞
∞
∞
∞

∞
∞
2
2
2
22
22
sin41
2
V
p
V
u
1
2
V
pp
sinV2uDo
2
u
p
2
V
p
Hình chi u c a áp l c lên 1 phân t di n tích ds.1=a.dế ủ ự ố ệ θ.1 s l :ẽ à
( )
0dacospX
dacospdX
0dsinsin41
2

V
adsinapY
dasinpdYY
dasinpdY
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
0
=θ⋅⋅θ⋅−=
⇒θ⋅⋅θ−=
=θ⋅θθ−
ρ
−θ⋅θ−=
⇒θ⋅⋅θ⋅−==
⇒θ⋅⋅θ−=
∫
∫∫
∫∫
π
π
∞
π

∞
π
π
Nh v y khi dòng th c a ch t l ng bao quanh tr tròn ư ậ ế ủ ấ ỏ ụ s khôngẽ có 1 l c n oự à
tác d ng lên tr . ụ ụ (Ngh ch lý Dalambert)ị
Trong th c t , khi ự ế dòng ch t l ng th c ấ ỏ ự ch y bao quanh tr tròn, phân b áp su tả ụ ố ấ
s không i x ng qua tr c y n a nên xu t hi n l c c n theo ph ng chuy nẽ đố ứ ụ ữ ấ ệ ự ả ươ ể
ng: hình tròn có d ng khí ng x u.độ ạ độ ấ
G i ọ
θ−=
ρ
−
=
∞
∞
2
2
p
sin41
V
2
1
pp
C
: h s áp su tệ ố ấ
Kh o sát Cả
p
; ta nh n th y n u qui c góc tính t i m t i h n A theo chi uậ ấ ế ướ ừ để ớ ạ ề
kim ng h thì :đồ ồ
T i A (ạ θ=0) : C

p
=1
2
V
2
1
pp
∞∞
ρ+=⇒
T i ạ θ = ±90
o
C
p
= 3: l n nh t. ớ ấ
2
V
2
1
3pp
∞∞
ρ−=⇒
T i 2 o n 0 ạ đ ạ ≤ θ ≤ 90
o
v 90à
o
≤ θ ≤ π : phân b áp su t l nh nhau.ố ấ à ư
Trong th c nghi m, do xu t hi n l c ma sát nh t nên ch t l ng không thự ệ ấ ệ ự ớ ấ ỏ ể
ch y bao quanh hình tr m t cách d n u không có i m r i nh trong ch tả ụ ộ ầ đề để ờ ư ấ
l ng lý t ng: Dòng ch t l ng sau khi b chia ôi t i A s bao b m t hình trỏ ưở ấ ỏ ị đ ạ ẽ ề ặ ụ
n i m S (đế để θ =± 82

o
v i dòng ch y t ng v ớ ả ầ à θ =± 120
o
v i dòng ch y r i). sauớ ả ố
ó dòng ch y tách kh i m t tr , nh ng ch cho ch t l ng t phía sau ùa t i.đ ả ỏ ặ ụ ườ ỗ ấ ỏ ừ ớ
8.4- dòng bao quanh tr tròn có l u s v n t c (ụ ư ố ậ ố Γ≠0)
9
I. Th ph c:ế ứ
Xét th ph c t ng h p c a th ph c ế ứ ổ ợ ủ ế ứ dòng bao quanh tr tròn không có l u sụ ư ố
v n t c ậ ố và chuy n ng xoáyể độ
( )
zln
i2z
a
zVzW
2
⋅
π
Γ
+






+=
∞
Ta xác nh ph n th c v ph n o c a W(z) tìm th v n t c v h m dòng:đị ầ ự à ầ ả ủ để ế ậ ố à à
rln

2
sinr
r
a
1V
2
cosr
r
a
1V
2
2
2
2
π
Γ
−θ








−=Ψ
θ
π
Γ
+θ









+=ϕ
∞
∞
Do óđ
r2
sin
r
a
1V
r
u
cosr
r
a
1V
r
u
2
2
2
2
r

π
Γ
+θ








+−=
θ∂⋅
ϕ∂
=
θ








−=
∂
ϕ∂
=
∞θ
∞

Trên m t tr r = a ta có: ặ ụ
a2
sinV2u
0u
r
π
Γ
+θ−=
=
∞θ
Ta tìm i m t i h n trên m t tr ( i m t i ó v n t c b ng 0); t i ó uđể ớ ạ ặ ụ để ạ đ ậ ố ằ ạ đ
θ
=0, do
ó:đ
∞
∞θ
π
Γ
=θ⇒=
π
Γ
+θ−=
aV4
sin0
a2
sinV2u
Ta có các tr ng h p sau:ườ ợ
a) Khi Γ=0: dòng bao quanh tr tròn không có l u s v n t c, v trí 2 i m t iụ ư ố ậ ố ị để ớ
h n ng v i sinạ ứ ớ θ
*

=0 t ng ng ươ ứ
v iớ
θ
*
=0 v àθ
*
=180
o
( i m A v B)để à
b)Khi Γ〈4πV
∞

a: 2 i m t i h n n m trên m t tr t i 2 v trí i x ng nhau quađể ớ ạ ằ ặ ụ ạ ị đố ứ
tr c y, trong kho ng 0ụ ả 〈 θ
*
〈π
c) Khi Γ=4πV
∞

a: hai i m A, B trùng nhau trên tr c y t i góc để ụ ạ θ
*
=90
o
d) Khi Γ>4πV
∞

a: A, B n m trên tr c y nh ng m t i m ngo i tr tròn cònằ ụ ư ộ để ở à ụ
i m kia n m trong tr tròn.để ằ ụ
10
Trong c 4 tr ng h p các ng dòng i x ng qua y nh ng không i x ngả ườ ợ đườ đố ứ ư đố ứ

qua x. Vì v y i v i dòng bao quanh tr tròn có l u s v n t c hình chi u c aậ đố ớ ụ ư ố ậ ố ế ủ
vectow áp l c trên tr c x b ng 0 còn hình chi u trên tr c y l :ự ụ ằ ế ụ à
∞
∞
∞
∞∞
∞
Γρ−=θ⋅θ
π
Γρ
−=⇒








θ−
π
Γ
ρ
−
ρ
+=⇒
θ⋅θ⋅−=
∫
∫
π

Vdsin
V
Y
sin2
aV2
2
V
2
V
ppBerrnoulliPt
dsinpaY
2
0
2
2
22
Nh v y vect chính c a áp l c ch có m t th nh ph n vuông góc v i v n t c ư ậ ơ ủ ự ỉ ộ à ầ ớ ậ ố ở
vô cùng v có giá tr b ng -à ị ằ ρΓV
∞
( nh lý Giuc pxki v l c nâng).Đị ố ề ự
i u n y gi i thích khi m t v t hình tr hay hình tròn quay trong ch t l ngĐề à ả ộ ậ ụ ấ ỏ
th c chuy n ng ta có th xem nh dòng bao quanh nó có l u s v n t c v doự ể độ ể ư ư ố ậ ố à
ó xu t hi n l c ngang vuông góc v i v n t c c a ch t l ng tác d ng lên v t ó:đ ấ ệ ự ớ ậ ố ủ ấ ỏ ụ ậ đ
Hi u ng M cnut (qu bóng xoáy)ệ ứ ắ ả
⇓5. dòng bao quanh profil cánh
B i toán ng c: Tìm th ph c khi bi t ng biên c a v t v v n t c xa vô à ượ ế ứ ế đườ ủ ậ à ậ ố ở
cùng.
Vi c tìm th ph c cho dòng bao quanh profil cánh v nh ng v t có hình d ng khácệ ế ứ à ữ ậ ạ
nhau l r t khó kh n à ấ ă ⇒ ng i ta s d ng dòng bao quanh 1 v t n gi n (tr tròn) ãườ ử ụ ậ đơ ả ụ đ
c nghiên c u k l m chu n tìm các thông s c a dòng bao quanh các v t cóđượ ứ ỹđể à ẩ để ố ủ ậ

hình d ng b t k .ạ ấ ỳ
I. Phép bi n hình b o giác.ế ả
Dòng ch t l ng lý t ng không nén c bao quanh profil cánh có th nghiên c uấ ỏ ưở đượ ể ứ
b ng ằ ph ng pháp bi n hình b o giác.ươ ế ả
Phép bi n hình b o giác l phép bi n i t b m t n y sang b m t khác trong óế ả à ế đổ ừ ề ặ à ề ặ đ
góc gi a các ng c b o to n.ữ đườ đượ ả à
Trong lý thuy t h m bi n ph c v n c b n c a ph ng pháp bi n hình b o giác lế à ế ứ ấ đề ơ ả ủ ươ ế ả à
vi c ệ bi n i t hình n y sang hình kia v thi t l p m i quan h gi a hai hình ó.ế đổ ừ à à ế ậ ố ệ ữ đ
B i toánà : Tìm dòng bao quanh profil cánh C trong m t ph ng z m ch a bi t th ph cặ ẳ à ư ế ế ứ
W(z).
Ta kh o sát vòng tròn Cả
1
có bán kính trong m t ph ng ặ ẳ ζ=ξ+iη (m t ph ng ánh x ),ặ ẳ ạ
vòng tròn a có tâm trùng v i g c to . Th ph c Wớ ố ạđộ ế ứ
1
c a dòng n y ã bi t.ủ à đ ế
Xét h m bi n ph c z=f(à ế ứ ζ) th c hi n phép bi n hình t mi n ngo i chu tuy n C c aự ệ ế ừ ề à ế ủ
profil cánh sang mi n ngo i chu vi vòng tròn Cề à
1
.
11
H m bi n i z=f(à ế đổ ζ) ph i tho mãn các i u ki n sau có phép bi n i 1-1:ả ả đề ệ để ế đổ
+ Các i m xa vô cùng trong mp z s chuy n sang các i m xa vô cùng trong mpđể ở ẽ ể để ở
ζ
+ Ph ng v n t c xa vô cùng trong 2 mp l không iươ ậ ố ở à đổ
Do dòng bao quanh hình tr không song song v i tr c x nên l y v n t c liên h pụ ớ ụ ấ ậ ố ợ
yx
iVVV
∞∞∞
−=

Th ph c c a dòng có l u s v n t c bao quanh tr tròn:ế ứ ủ ư ố ậ ố ụ
( )








ζ⋅
π
Γ
+
ζ
+ζ=ζ
∞
∞
ln
i2
aV
VW
1
2
1
11
Do W(z)=W[f(ζ)]=W
1
(ζ) nên
( )









ζ⋅
π
Γ
+
ζ
+ζ=
∞
∞∞
ln
i2
aV
VmzW
2
v i z=f(ớ ζ)
Trong ó đ
( )
∞=
ζ
=
∞→ζ
∞
'f

d
dz
m
Do
( ) ( )
ζ=ζ=
ζ
=
ζ
'f.uuhay'f
dz
dW
d
dz
dz
dW
d
dW
1
1
Ta có
Γ=ph nth cầ ự
dz.u
L
∫
=phth c ự
ζ
ζ
∫
d.

d
dz
.u
1
L
=phth c ự
ζ
∫
d.u
1
L
1
=Γ
1
12
ξ
η
ζ
C
1
L
1
α
1
V
∞1
a
x
y
Z

α
C
L
V
∞
B
B
1
⇒ l u s v n t c theo m i ng cong kín bao quanh profil s không i khi th cư ố ậ ố ọ đườ ẽ đổ ự
hi n phép bi n hình b o giácệ ế ả
V y phép bi n hình b o giác l phép bi n i t b m t n y sang b m t khác trongậ ế ả à ế đổ ừ ề ặ à ề ặ
ó góc gi a các ng c b o to n.đ ữ đườ đượ ả à
Ví d :ụ Xét h m bi n i à ế đổ
( )








ζ
+ζ=ζ=
2
a
2
1
fz
(Phép bi n i Joukovski)ế đổ

( ) ( )








η+ξ
η
−
η+ξ
ξ
+η+ξ=








η+ξ
+η+ξ=+=
22
2
22
22
iaa

i
2
1
i
a
i
2
1
iyxz








η+ξ
η
−η=








η+ξ
ξ

+ξ=⇒
22
2
22
2
a
2
1
y
a
2
1
x
Xét các tr ng h p sau:ườ ợ
1) Vòng tròn trong mp ζ có tâm trùng v i g c to v bán kính a. Ph ng trìnhớ ố ạ độ à ươ
vòng tròn l à
222
a
=η+ξ
Thay bi u th c trên v o h m bi n i x,y ta có: x=ể ứ à à ế đổ ξ, y=0. Vì ξ trong mp ζ thay i tđổ ừ
-a n +a nên pt x=đế ξ xác nh o n th ng d i 2ađị đ ạ ẳ à
2) Vòng tròn có tâm khác a, tâm trên tr c th c ở ụ ự ξ ⇒ profil i x ng trong mp zđố ứ
3) Vòng tròn có tâm khác a, tâm không trên 2 tr c to ở ụ ạ độ ⇒ profil cánh cong uôiđ
nh n trong mp zọ
K t lu n: ế ậ Khi cho bi t các giá tr a, bán kính vòng bi n hình R v tâm c a nó thì cóế ị ế à ủ
th tìm c trong mp Z m t profil cánh n o ó: profil Joukovski ể đượ ộ à đ
13
η
a
A B y

R
ξ
η
ζ
O
x
y
Z
ξ
ζ
x
Z
a a
R
ξ
η
ζ
O
y
II. Gi thuy t Joukovski - Traplighinả ế
T công th cừ ứ
( )









ζ⋅
π
Γ
+
ζ
+ζ=
∞
∞∞
ln
i2
aV
VmzW
2
ta th y ph thu c v o giá tr ấ ụ ộ à ị Γ s có nhi u d ng dòng bao quanh profil cánh C, ngh aẽ ề ạ ĩ
l b i toán có vô s nghi m. M i giá tr c a à à ố ệ ỗ ị ủ Γ ng v i m t d ng dòng v i các i m t iứ ớ ộ ạ ớ để ớ
h n xác nh Mu n b i toán có m t nghi m duy nh t ph i a ra gi thuy t v vi cạ đị ố à ộ ệ ấ ả đư ả ế ề ệ
ch n tr s c a ọ ị ố ủ Γ.
N u i m t i h n sau Bế để ớ ạ
1
trên hình tr không chuy n sang n m t i i m uôi B c aụ ể ằ ạ để đ ủ
profil thì chính t i uôi cánh s có th xu t hi n v n t c r t l n. T ó ạ đ ẽ ể ấ ệ ậ ố ấ ớ ừ đ Joukovski -
Traplighin a ra gi thuy t: t i i m uôi cánh B ch t n t i dòng bao quanh y u cóđư ả ế ạ để đ ỉ ồ ạ ế
v n t c h u h n (th ng l b ng 0: i m d ng). T gi thuy t n y ã t ra i u ki nậ ố ữ ạ ườ à ằ để ừ ừ ả ế à đ đặ đề ệ
h n ch cho giá tr c a ạ ế ị ủ Γ: ph i ch n ả ọ
Γ
nh th n o v n t c t i uôi cánh B l h uư ế à để ậ ố ạ đ à ữ
h n.ạ
14
ξ
η

ζ
C
1
L
1
α
1
V
∞1
a
x
y
Z
α
C
L
V
∞
B
B
1
III. L c c a dòng ch t l ng lý t ng tác d ng lên cánh nự ủ ấ ỏ ưở ụ đơ
nh lý Joukovski: Đị
N u có dòng ch y có v n t c Vế ả ậ ố
∞
bao
quanh profil cánh v l u s v n t c d cà ư ố ậ ố ọ
theo profil cánh l à Γ thì h p l c c a ápợ ự ủ
l c ch t l ng tác d ng lên profil cánh sự ấ ỏ ụ ẽ
có tr s ị ố ρΓV

∞
, còn ph ng chi u cươ ề đượ
xác nh b ng cách quay vect Vđị ằ ơ
∞
m tộ
góc 90
o
ng c chi u ượ ề Γ.
V m t v t lý ta nh n th y l c nâng tácề ặ ậ ậ ấ ự
d ng lên cánh l do chuy n ng vòng c a dòng ch t l ng xung quanh cánh ó (l uụ à ể độ ủ ấ ỏ đ ư
s v n t c), do nh h ng c a chuy n ng vòng n y m v n t c trên l ng cánh l nố ậ ố ả ưở ủ ể độ à à ậ ố ư ớ
h n v n t c d i b ng cánh, t ó sinh ra s chênh l ch v áp su t, áp su t b ngơ ậ ố ở ướ ụ ừđ ự ệ ề ấ ấ ở ụ
cánh l n h n áp su t l ng cánh t o th nh m t l c y t d i lên.ớ ơ ấ ở ư ạ à ộ ự đẩ ừ ướ
15

x
y
Z
Γ

V
∞

R