CHÙM BÀI TỐN
TIẾP TUYẾN – CÁT TUYẾN
ƠN THI VÀO 10
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Cho O; R và điểm M nằm ngồi đường trịn. Kẻ tiếp tuyến MB với đường trịn, dây BC vng
góc OM tại H .
B
O
H
I
M
C
1) Chứng minh OH .OM R 2 .
Vì MB là tiếp tuyến O BM OB OBM vuông tại B, BH là đường cao .
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông OBM : OM .OH OB 2 R 2
2) Chứng minh MB MC , HB HC .
Xét hai tam giác vng OHB và OHC có OB OC R , OH chung.
COH
BOH
.
Từ đó chỉ ra OHB OHC 2cgv
HB HC
Từ đó suy ra OMB OMC c g c MB MC .
3) Chứng minh MC là tiếp tuyến đường tròn.
OBM
900 CM là tiếp tuyến của O .
Do OMB OMC OCM
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
4) Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp đường tròn, tìm tâm đường trịn đó.
B
O
H
M
I
C
MCO
1800 MBOC nội tiếp, tâm nằm ở trung điểm OM .
Chỉ ra MBO
5) Bài có thể thay đổi lại đề bài, cho hai tiếp tuyến MB, MC . Chứng minh BC OM .
B
O
M
H
C
+ Lập luận vì MB MC M nằm trên trung trực BC , OB OC O nằm trên trung trực BC .
Vậy OM là trung trực BC OM BC .
( tính chất tiếp tuyến) nên OM là đường cao
+ Hoặc chỉ ra MB MC và MO là phân giác góc BMC
MBC OM BC .
biết OM 2 R .
6) Tính OH , HM , MB, MC , góc BMC
B
O
M
H
C
Chỉ ra OB 2 OH .OM R 2 OH .2 R OH
R
R 3R
.
HM OM OH 2 R
2
2
2
Tính BM OM 2 OB 2 R 3 MC MB R 3 .
sin BMO
OB 1
300 BMC
2.BMO
600 .
BMO
OM 2
7) Cho CM
4
R . Tính diện tích COBM .
3
1
1 4
4R 2
( đơn vị diện tích)
Vì OBM OCM SOBMC 2S OCM 2. .OC.CM 2. .R. R
2
2 3
3
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
và I là tâm đường tròn nội tiếp
8) Gọi giao OM với O là I . Chứng minh BI là phân giác góc MBC
MBC .
(Đề bài có thể đổi thành: Chứng minh khi M thay đổi, tâm đường trịn ngoại tiếp MBC ln nằm trên
một đường trịn cố định – hoặc chứng minh I cách đều 3 cạnh BM , CM , BC )
B
O
H
I
M
C
Cách 1: Do MC , MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M MO là phân giác góc BMC
1 .
IBM
900
OBI
HIB
900
IBM
BI là phân giác góc CBM
2 .
Ta có: HBI
HBI
HIB OBI , OI OB R
Từ 1 2 I là tâm đường tròn nội tiếp BCM .
Cách 2: Do MC , MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M MO là phân giác góc BMC
1 .
BI
.
COM
( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên cung CI
Ta có: BOM
1
CBI 2 sdCI
IBM
BI là phân giác góc CBM
2 .
Mà
CBI
1
sd BI
IBM
2
Từ 1 2 I là tâm đường tròn nội tiếp BCM .
9) Chứng minh
IH
HB
IM BM
B
O
H
I
M
C
HI BH ( tính chất phân giác) .
Xét BHM có BI là phân giác trong của góc HBM
IM BM
10) Tìm vị trí điểm M để BI MC ( hoặc CI MB ).
, để BI CM CBM cân tại B CB BM .
Vì BI là phân giác góc CBM
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
600 BOC
1200 BOM
600 .
Mà BM CM BCM là tam giác đều nên BMC
Ta có: cos BOM
OB
OB
OM
2R .
OM
cos BOM
Vậy để BI CM thì M O; 2 R .
11) Từ điểm A trên cung nhỏ BC vẽ tiếp tuyến với đường tròn O . Tiếp tuyến này cắt MB, MC tại
A1 , A2 . Chứng minh chu vi MA1 A2 không đổi và độ lớn góc
A1OA2 khơng phụ thuộc vào vị trí điểm
A khi A di chuyển trên cung nhỏ BC .
B
A1
A
O
M
A2
C
MB MC
Ta có: A1B A1 A ( tính chất tiếp tuyến cắt nhau) .
A A A C
2
2
Chu vi MA1 A2 là: MA1 MA2 A1 A2 MA1 MA2 A1 A AA2 MA1 A1 A MA2 AA2
MA1 A1B MA2 CA2 MB MC 2MB không đổi khi A di chuyển trên cung nhỏ BC .
1 1 1 1
khơng đổi.
Ta có:
A1OA2
A1OA
AOA2 BAO
AOC BOC 1800 BMC
2
2
2
2
A1OA2 khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A .
Vậy chu vi tam giác MA1 A2 và độ lớn góc
12) Cho R 3cm, OM 6cm . Tính số đo góc
A1OA2 .
B
A1
A
O
M
A2
C
1
. Trong tam giác vng BMO ta có:
Ta có:
A1OA2 1800 BMC
2
sin BMO
OB 3 1
300 BMC
600 .
BMO
OM 6 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
1
600 .
Do đó
A1OA2 1800 BMC
2
13) Gọi giao OA1 và OA2 với BC là A3 và A4 . Chứng minh A2 A3 OA1 và A1 A4 OA2 ( hoặc các câu
hỏi liên quan đến ba đường cao của OA1 A2 hoặc chứng minh tứ giác OCA2 A3 và OBA1 A4 và
A3 A4 A2 A1 là tứ giác nội tiếp)
B
A1
A3
O
A
M
A4
A2
C
1
1 .BOC
( góc ở tâm và góc nt)
Ở trên các em đã chứng minh được
mà BCA
A1OA2 .BOC
2
2
2
.
Suy ra
A1OA2 BCA
2
0
Từ đó suy ra tứ giác OCA2 A3 là tứ giác nội tiếp nên OA
3 A2 OCA2 90 .
1 .BOC
tứ giác OBA A nội tiếp nên
Chứng minh tương tự:
A1OA2 CBA
1 4
1
2
0
OA
4 A1 OBA1 90 A1 A4 OA2 .
600 , gọi giao OA và OA với BC là A và A . Tính tỉ số A1 A2 .
14) Cho góc BMC
1
2
3
4
A3 A4
B
A1
A3
O
A
M
A4
A2
C
1200 .
Đầu tiên các em tính góc BOC
Ở bài trên các em đã chứng minh được tứ giác OCA2 A3 nội tiếp nên OA
2 C OA3C OA2 A OA3C
A2 A1 OA3
( do OA
.
2 C OA2 A tính chất tt cắt nhau) . Từ đó suy ra OA3 A4 ∽ OA2 A1
A3 A4 OA2
OA3
OA3
1
1
Do OA3 A2 vuông tại A3 và
A3OA2 .BOC
600 nên cos
A3OA4
cos 600 .
OA2
OA2
2
2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Vậy
A2 A1 OA3 1
A3 A4 OA2 2
600 và OA1 BC A3 . Chứng minh AA . AA BA . CA .
15) Cho góc BMC
1
2
3
4
OA2 BC A4
B
A1
A3
O
A
M
A4
A2
C
Chỉ ra
A1 BA3
A1OA2
A2CA4 600 .
A1 BA3 ∽ A4OA3 g g
A B BA
A1 BA3 ∽ A4CA2 1 3 .
Chỉ ra
A4C CA2
A4OA3 ∽ A4CA2 g g
A1B A1 A
A A BA
1 3 AA1 . AA2 BA3 . CA4
Mà
A4C AA2
CA2 AA2
16) Từ điểm A trên cung nhỏ BC kẻ AR, AT , AY lần lượt vng góc với CB, BM , CM tại R , T , Y .
600 . Tính góc TRY
( hoặc chứng minh góc TRY
khơng đổi hoặc chứng minh
Cho góc BMC
BMC
)
TRY
B
T
A
R
M
O
Y
C
1
( góc nt và góc ở tâm)
Chỉ ra ATBR, AYCR là tứ giác nội tiếp nên
ART
ABT BOA
2
1
1 1 1 1
600 .
Và
ARY
ACY
AOC TRY
ART
ARY BOA
AOC BOC 1800 BMC
2
2
2
2
2
17) Chứng minh AR 2 AT . AY
B
T
A
R
M
O
Y
C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
AYR
ACR
ABT
ART
ARY ∽ ATR g g
Chỉ ra góc
ARY
ACT
ABC
ATR
Suy ra
AR AY
AR 2 AT . AY .
AT AR
18) Tìm vị trí điểm A để AT . AR . AY đạt giá trị lớn nhất hoặc AT . AY đạt giá trị lớn nhất.
B
T
A
R
M
O
Y
C
+ Ta có: AT . AY AR 2 .
Do đó AT . AY đạt giá trị lớn nhất khi AR lớn nhất, suy ra ARmax AI A I .
+ Ta có: AT . AY AR 2 AT .AY . AR AR 3
Do đó AT . AR . AY đạt giá trị lớn nhất khi AR lớn nhất, suy ra ARmax AI A I .
( với I OM O ).
19) Gọi RT AB A5 , RY AC A6 . Chứng minh tứ giác AA5 RA6 nội tiếp và A5 A6 RA ( hoặc
A5 A6 / / BC )
B
T
A5
R
O
A
H
M
A6
Y
C
ARA5
ABT
ACB
Chỉ ra
.
ARA6
ACY
ABC
Suy ra
A5 AA6
A5 RA6
A5 AA6
A5 RA
ARA6
A5 AA6
ACB
ABC 1800 .
Suy ra tứ giác AA5 RA6 nội tiếp.
A A / / BC A A AR .
Vì tứ giác AA5 RA6 nội tiếp nên
A6 A5 A
A6 RA
ACY CBA
5 6
5 6
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
20) Cho A, B, Y thẳng hàng, kéo dài A5 A6 BM R1 . Chứng minh BR1 A6 R là hình bình hành ( hoặc khai
thác các yếu tố của hình bình hành này)
B
R1
T
A5
H
O
M
A
R
A6
Y
C
Ở trên các em đã chỉ ra A5 A6 / / BC .
Mặt khác:
ABT
ACB
AYR RY / / BM . Từ đó suy ra BR1 A6 R là hình bình hành.
21) Chứng minh rằng nếu TR TB thì RY RC .
B
T
A
R
O
M
Y
C
Chỉ ra
AYR
ACR
ABT
ART
AYR
ART .
900
ART TRB
RYC
.
Mà
TRB
0
AYR RYC 90
TBR
RCY
RCY
RYC
RY RC .
Mặt khác TB TR TRB
.
22) Chứng minh rằng tia đối của tia AR là phân giác của góc TAY
B
T
O
y
A
R
M
H
Y
C
Gọi Ay là tia đối tia AR .
TAy
.
Chỉ ra tứ giác BTAR nội tiếp nên CBT
YAy
. Mà C
Ay là phân giác của góc TAY
.
Chỉ ra tứ giác CYAR nội tiếp nên BCY
BT BCY
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
AB RT A5
. Gọi O4 là đường tròn đi qua 3 điểm ATA5 , O5 là đường tròn đi qua 3 điểm
23) Gọi
AC RY A6
AYA6 và A7 là giao điểm thứ hai của O4 và O5 , H là trung điểm BC . Chứng minh A7 , A, H
thẳng hàng.
B
T
A5
O
R
A8
H
A6
O4
A7
A
M
O5
Y
C
Gọi A8 là giao A7 A với A5 A6 và H là giao A7 A với BC .
Chỉ ra
A5 A6 A BCA
A6YA A5 A6 là tiếp tuyến của O5 .
Từ đó chỉ ra được A8 A62 A8 A . A8 A7 .
Chứng minh tương tự :
A8 A5 A BCT
A5TA A8 A5 là tiếp tuyến của O4
suy ra A8 A52 A8 A . A8 A7 . Từ đó suy ra A8 A62 A8 A52 A8 A5 A8 A6 A8 là trung điểm A5 A6 .
+ Do A5 A6 / / BC
A5 A8 A6 A8 AA8
H B H C H là trung điểm BC H H .
H B H C AH
Vậy A7 , A, H thẳng hàng.
1200 . Gọi giao OA và OA với BC là A và A . Tìm vị trí điểm A trên cung nhỏ
24) Cho góc BOC
1
2
3
4
BC để diện tích tam giác OA3 A4 bé nhất và tìm giá trị bé nhất đó ( hoặc tìm vị trí điểm A để diện
tích OA1 A2 bé nhất hoặc độ dài A1 A2 bé nhất)
B
B
A1
A3
R
O
A1
T
A3
A
M
A4
O
A
H
A4
A2
Y
A2
C
Ta có: OA3 A4 ∽ OA2 A1 theo tỉ số K
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
C
OA3
1
cos
A3OA2 cos 600 .
2
OA2
M
Suy ra
S OA3 A4
S OA2 A1
=
S OA2 A1
1
.
S OA3 A4 =
4
4
Do đó SOA3 A4 nhỏ nhất khi S OA2 A1 nhỏ nhất.
1
R
Mà S OA2 A1 OA. A1 A2 . A1 A2 nhỏ nhất khi A1 A2 nhỏ nhất.
2
2
Mà A1 A2 nhỏ nhất khi A OM O . Khi đó OAB là tam giác đều nên OH HA
R
và OM 2 R .
2
Các em tính được BC 2 BH R 3 và AM OM OA R .
Ta có:
A1 A2 AM
AA
R
2 R. 3
1 2
A1 A2
3
R
3
BC MH
R 3
2
Khi đó S OA2 A1
Nên S OA3 A4 =
R
R 2 R. 3 R 2 3
.
. A1 A2 .
2
2
3
3
S OA2 A1
4
R2 3
12
25) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OM cắt MB, MC tại O1 và O2 . Tìm vị trí điểm M để diện
tích tam giác MO1O2 bé nhất.
O1
B
O
M
C
O2
Xét MO1O2 có: OM vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên MO1O2 cân tại M .
1
Suy ra S MO1O2 2 S MOO1 2. OB.O1M R.O1 M .
2
Mặt khác O1M O1 B BM 2 O1 B.BM 2 OB 2 2 R 2 2 R .
Dấu bằng xảy ra khi O1 B BM O1OM vuông cân nên OM R 2 .
Vậy min S MO1O2 2 R 2 khi điểm M nằm cách O một khoảng OM R 2 .
26) Chứng minh ba tam giác O1 A1O ∽ A1OA2 ∽ O2OA2 và O1 A1 . O2 A2 O2O . O1O .
1 1 1 1
.
Ta có:
A1OA2
A1OA
AOA2 POA
AOC BOC 1800 M
2
2
2
2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Do MO1O2 cân tại M ( vì OM vừa là đường cao, vừa là phân giác) nên
0
O
180 M O
O
O
A1OA2 .
1
2
1
2
2
Xét O1 A1O và A1OA2 có:
O
1 A1O OA1 A2 ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
O
A1OA2 ( chứng minh trên)
1
Suy ra O1 A1O ∽ A1OA2 g g .
Chứng minh tương tự các em sẽ được A1OA2 ∽ O2OA2 .
Vậy O1 A1O ∽ A1OA2 ∽ O2OA2 .
Chỉ ra O1 A1O ∽ O2OA2
O1 A1 O1O
O1 A1 . O2 A2 O2O . O1O ( đpcm).
O2O O2 A2
O1
B
A1
A
O
M
A2
C
O2
27) Chứng minh O1 A1 O2 A2 O1O2 .
O1
B
A1
A
O
M
A2
C
O2
Sử dụng BĐT Cosi:
Ta có: O1 A1 O2 A2 2 O1 A1 . O2 A2 O1 A1 O2 A2 2 O1O . O2O .
2
OO
OO
Mà O1O O2O 1 2 nên O1 A1 O2 A2 2 1 2 O1O2 .
2
2
28) Cho O; R và điểm M cố định. Tìm vị trí điểm A để O1 A1 O2 A2 nhỏ nhất.
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
O1
B
A1
A
O
M
A2
C
O2
Vì O; R và điểm M cố định nên O1O2 khơng đổi.
Ta có: O1 A1 O2 A2 2 O1 A1 . O2 A2 O1 A1 O2 A2 2 O1O . O2O .
2
Mà O1O O2O
O1O2
OO
nên O1 A1 O2 A2 2 1 2 O1O2 .
2
2
Dấu bằng xảy ra khi O1 A1 O2 A2 A1 A2 / / O1O2 A I ( với I OM O )
29) Cho O và M cố định, điểm A di chuyển trên cung nhỏ BC . Chứng minh chu vi tam giác MA1 A2
khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A .
O1
B
A1
A
O
M
A2
C
O2
Chỉ ra chu vi MA1 A2 là: MA1 A1 A AA2 A2 M MA1 A1 B CA2 A2 M MB MC 2 MB
không đổi.
Vậy chu vi tam giác MA1 A2 không phụ thuộc vào vị trí điểm A .
30) Cho O và M cố định . Tìm vị trí điểm A trên cung nhỏ BC để diện tích tam giác MA1 A2 lớn nhất.
O1
B
A1
A
O
M
A2
C
O2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Như trên ta đã chứng minh: Chu vi MA1 A2 không đổi và bằng 2MB .
Đặt MB a nửa chu vi MA1 A2 là p a không đổi
và S MA1 A2
p p MA1 p A1 A2 p MA2
p p MA1 p A1 A2 p MA2
4
4
3
p3
p MA1 p A1 A2 p MA2
Ta có: p MA1 p A1 A2 p MA2
3
27
Nên p p MA1 p A1 A2 p MA2
p4
S MA1 A2
27
p p MA1 p A1 A2 p MA2
p 2 . 27
27
Dấu bằng xảy ra khi MA1 MA2 A là giao điểm của OM với O
31) Kéo dài AH O Z . Chứng minh tứ giác MAOZ là tứ giác nội tiếp và góc BMZ
AMC ( hoặc
CM
chứng minh BMA
Z hoặc OM là phân giác góc
AMZ ).
B
A
O
M
H
Z
C
2
HM .HO HC
Chỉ ra
HM .HO HA.HZ .
2
HA.HZ HB.HC HC
Từ đó suy ra HAM ∽ HOZ c g c
AZO
AMO tứ giác MAOZ là tứ giác nội tiếp.
+ Ta có:
AMO
AZO (góc nt chắn cung OA ) mà OAZ
AZO ( OAZ cân tại O)
OMZ
(góc nt chắn cung OZ ) nên
mà BMO
CMO
nên BMA
CM
Và OAZ
AMO OMZ
Z suy ra
BMZ
AMC .
32) Lấy điểm T1 bất kì trên BC , kẻ đường thẳng qua T1 và vuông góc OT1 , cắt MB, MC tại T2 , T3 . Chứng
minh OT2T3 cân.
T2
B
T1
O
M
H
T3
C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
OT
OBT
1
2T1
mà
Chỉ ra tứ giác OT1 BT2 ; OT1T3C nội tiếp nên
T
OCT
OT
3 1
1
OCT
OT
OB OC OBT
1
2
2T1 OT3T1 OT2T3 cân tại O .
33) Chứng minh rằng nếu T1 là trung điểm HB thì T3 là trung điểm CM , hoặc HT3 BT2 là hình bình hành
( hoặc cho T1 là trung điểm HB , chứng minh BT3 là trung tuyến BMC , hoặc MG 2GH ….)
T2
B
T1
O
G
H
M
T3
C
Chỉ ra OT2T3 cân nên T1 là trung điểm T3T2 , mà T1 là trung điểm HB HT3 BT2 là hình bình hành, do
đó HT3 / / BT2 . Dựa vào MBC có HT3 / / BM mà H là trung điểm BC T3 là trung điểm CM .
34) Chứng minh OH . OT2 OB.OT1
T2
B
T1
O
M
H
T3
C
Chỉ ra OT
2T1 OBT1 OT2T1 ∽ OBH g g OH . OT2 OB.OT1
35) Vẽ đường kính CK của đường trịn O . Chứng minh BK / /OM .
B
K
O
H
I
M
C
Vì OB OC OK R CKB vuông tại B BK BC mà OM BC BK / / OM .
36) Đường thẳng vng góc KC tại O cắt BC tại E . Chứng minh HE.HC HO.HM R 2 .
Chỉ ra HOE ∽ HCO g g HE.HC OH 2 .
Mà HO.HM BH 2 HE.HC HO.HM OH 2 HB 2 OB 2 R 2 .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
37) Cho R 3cm, OM 5cm . Tính độ dài các cạnh của tam giác MBC .
Ta có: BM 2 OM 2 OB 2 16 BM MC 4cm .
BH .OM OB.BM BH
OM .BM 3.4 12
cm BC 2 BH 4,8cm .
OM
5
5
38) Kẻ CP BM tại P , CP OM Q . Chứng minh Q là trực tâm MBC và BQ MC . Tính BQ .
B
B
K
P
P
O
H
M
Q
O
H
M
Q
C
C
Xét MBC có MH , CP là đường cao nên Q là trực tâm MBC và BQ MC .
OB / /CQ MB
Chỉ ra OC / / BQ MC OBQC là hình thoi nên BQ OB R .
BC OQ
39) Giả sử O cố định và điểm M ln chạy trên đường trịn O;3R . Chứng minh khi đó Q chạy trên
một đường trịn cố định.
Các em tính được độ dài OH
R
2R
OQ
Q ln chạy trên đường trịn
3
3
.
40) Chứng minh BC là phân giác của góc KCP
HCQ
Chỉ ra BHQ CHQ 2cgv HBQ
KCB
( so le trong )
Do QB / / KC ( cùng vng góc CM ) nên HBQ
BCQ
BC là phân giác của góc KCP
.
Suy ra KCB
41) Tứ giác OBQC là hình gì ? Vì sao?
OB / / CQ, MB
Chỉ ra OC / / BQ, CM OBQC là hình thoi.
OQ BC
42) Gọi Q1 là trung điểm BK . Chứng minh OHBQ1 là hình chữ nhật.
K
B
Q1
O
M
H
C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
2R
O;
.
3
0
Chỉ ra OQ
1 B Q1 BH BHO 90 OHBQ1 là hình chữ nhật.
43) Từ C kẻ đường thẳng song song MB và cắt O tại Y2 . Chứng minh KY2 . OM 2 R 2
K
B
O
Y2
M
H
C
44) Từ C kẻ đường thẳng song song MB và cắt O tại Y2 . Tia MY2 cắt đường tròn tại M , gọi M 3 là
điểm đối xứng với M qua OM . Chứng minh Y2 , H , M 3 thẳng hàng.
B
B
O
M3
H
M
O
M'
Y2
M'3
H
M
M'
Y2
C
C
Cách 1:
Gọi M 3 là giao Y2 H với O . Chỉ ra tứ giác OHM Y2 nội tiếp.
OY
Từ đó suy ra MHM
2 M OM Y2 OHY2 M 3 HM .
M 3 và M đối xứng nhau qua OM M 3 M 3 .
Từ đó suy ra M 3 HM MHM
Cách 2:
1
Do M 3 đối xứng M qua MO nên M
.M 3OM M 3Y2 M .
3OM M OM
2
OM M
Y2 H M
Y2 H M
Y2 M 2 .
Mặt khác tứ giác OHM Y2 nội tiếp nên M
Vậy Y2 , H , M 3 thẳng hàng.
45) Từ B kẻ BF2 KC tại F2 , BF2 KM F3 . Chứng minh F3 là trung điểm F2 B và BC là phân giác
.
góc MBF
2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
K
B
F3
F2
O
K1
M
H
C
Chỉ ra F2 F3 / / CM
F2 F3 CM CM
.
KF2
KC 2OC
1 sd BC
F BK ∽ HMC g g F2 B HM .
Chỉ ra F
2 KB HCM
2
KF2 HC
2
Chỉ ra HOC ∽ HCM g g
Từ 3 đẳng thức trên các em suy ra :
HM CM
.
HC OC
F2 F3 1 CM 1 F2 B
FF 1 FB
FB
2 3 . 2 F2 F3 2 F3 là
.
.
KF2 2 OC 2 KF2
KF2 2 KF2
2
trung điểm F2 B .
1 sd BC
.
+ Chỉ ra F
2 BC CKB ( cùng phụ F2 BK ) mà CKB CBM
2
Suy ra F
2 BC CBM BC là phân giác góc MBF2 .
46) Qua O kẻ đường thẳng vng góc OB cắt MC tại Y1 . Chứng minh OY1M cân.
B
K
K1
I
H
I1
M
O
Y1
C
Chỉ ra OY1 / / MB OB Y
1OM OMB slt OMY1 OY1M cân tại Y1 .
47) Gọi B3 là điểm chính giữa cung I I1 . Từ H kẻ HH 3 B3 I1 tại H 3 , kẻ HH 4 B3 I tại H 4 . Chứng
minh 5 điểm O, H , H 4 , B3 , H 3 cùng thuộc một đường tròn.
B3
B
H3
H4
I1
O
H
I
M
C
Chỉ ra 5 điểm O, H , H 4 , B3 , H 3 cùng nằm trên đường trịn đường kính HB3 .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
48) Gọi H 5 là điểm đối xứng với H qua H 3 H 4 . Chứng minh H 4 H 5 B3 H 3 là hình thang cân.
B3
B
H3
H5
H4
I1
H
O
M
I
C
H 4 H H4 H5
( tính chất đối xứng trục)
Chỉ ra
H3H H3 H5
0
nên H 3 H 5 H 4 H 3 HH 4 g g g H
3 H 5 H 4 H 3 HH 4 90 H 4 H 5 B3 H 3 là tứ giác nội tiếp.
Vì H 4 H 5 HH 4 B3 H 3 B
3 H 5 H 3 H 4 H 3 H 5 ( góc nt chắn hai cung bằng nhau)
Suy ra B3 H 5 / / H 3 H 4 H 4 H 5 B3 H 3 là hình thang.
Vì hình thang H 4 H 5 B3 H 3 là tứ giác nội tiếp nên H 4 H 5 B3 H 3 là hình thang cân.
49) Chứng minh rằng H 5 O .
B3
B
H3
H5
H4
I1
O
M
I
H
C
0
OH
5 H 3 OB3 H 3 45
, mà H 4 H 5 B3 H 3 là tứ giác nội tiếp và H 4 H 5 B3 H 3 nên góc
Chỉ ra
I 450
OB
3
H
4 B3 H 5 B3 H 5 H 3 OB3 H 5 OH 5 B3 OH 5 B3 cân tại O OH 5 OB3 R H 5 O .
50) Tiếp tuyến tại H 5 cắt OM tại H 6 . Chứng minh H 3 , H 4 , H 6 thẳng hàng.
B3
B
H3
H5
H4
I1
O
H
C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
I
H6
M
IHH 4 OH 3 H 4 OB3 I 450
0
0
H
Tứ giác OHH 4 H 3 nội tiếp nên OH 5 H 4 OB
3 H 4 45
4 HI H 4 H 5 H 6 45
0
OH 5 H 6 90
Mà H
4 H 5 H H 4 HH 5 HH 5 H 6 H 5 HH 6 H 6 H 5 H 6 H H 6 nằm trên trung trực HH 5
Mà H 3 H 4 là trung trực HH 5 nên H 3 , H 4 , H 6 thẳng hàng.
51) Giả sử B cố định và M thay đổi sao cho MB là tiếp tuyến của O . Tìm quỹ tích điểm Q khi M
thay đổi.
Do OBQC là hình thoi nên BQ OB R mà B cố định nên Q B; R .
MK O K1
52) Gọi C1 là trung điểm CM , MK BC B1 . Chứng minh MK1.MK MH .MO .
C1 K1 BC B2
B2
K
B2
B
B1
O
K
B
K1
B1
M
H
O
K1
M
H
C1
C1
C
C
Chỉ ra CKM vuông tại C và có CK1 là đường cao nên MK1.MK CM 2 .
Chỉ ra OCM vng tại C có CH là đường cao nên MH .MO CH 2 .
Từ đó suy ra MK1.MK MH .MO
MKO
MHK
1
. Từ đó suy ra OKK1 H nội tiếp.
53) Chứng minh MK1 H ∽ MOK và góc
O
MOK
MK
1
B2
K
B2
B
B1
O
K
B
K1
B1
M
H
O
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
M
H
C1
C
K1
C1
C
chung và MK1 MH
Xét MK1 H và MOK có: góc KMO
MO MK
Từ đó suy ra MK1 H ∽ MOK .
MKO
MHK
1
Vì MK1 H ∽ MOK nên
.
MK
1O MOK
0
OHK
K
Xét tứ giác OKK1 H có OKK
1
1
1 HM OHK1 180 , mà đây là hai góc đối nhau nên tứ giác
OKK1 H là tứ giác nội tiếp.
54) Chứng minh C1 K1 là tiếp tuyến của O .
B2
K
B
B1
O
K1
M
H
C1
C
Chỉ ra CMK1 vuông tại K1 K1C1 C1C C1M C1 K1C cân tại C1 .
0
Chỉ ra OC1 K1 OC1C c c c OK
1C1 OCC1 90 .
Từ đó suy ra C1 K1 là tiếp tuyến của O .
55) Gọi K2 là trung điểm KK1 . Chứng minh B2 K là tiếp tuyến của O .
B'
K
B2
B
K2
O
B1
K
B
K2
K1
M
H
O
B1
M
H
C1
C
K1
C1
C
OK 2 KK1
.
Vì K2 là trung điểm KK1
K
OK
KOK
2
1
2
giả sử OK 2 BC B . Ta sẽ chứng minh B ' B2 , tức là chứng minh B ' K1 là tiếp tuyến O .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Ta có: OK 2 M ∽ OHB g g OK 2 .OB OH .OM OB 2 R 2 OK12
0
OK 2 .OB OK12 OK 2 K1 ∽ OK1 B c g c OK
1 B OK 2 K1 90 B K1 là tiếp tuyến của
O , suy ra
B B2 .
0
OK
Từ OKB2 OK1 B2 c g c OKB
2
1 B2 90 nên B2 K là tiếp tuyến của O .
56) Chứng minh MHB1 ∽ B2 HO . Từ đó suy ra HO.HM HB2 . HB1 BH 2 .
B'
K
B2
B
K2
O
B1
K
B
K2
K1
M
H
B1
O
K1
M
H
C1
C1
C
C
HB
Các em chỉ ra HMB
1
2 O ( cùng phụ HPB2 ).
Từ đó suy ra MHB1 ∽ B2 HO g g HO.HM HB2 . HB1 và HO.HM BH 2 .
57) Chứng minh BC 2 4 HB1 . HB2 .
2
BC
BC
2
Chỉ ra BH HO.HM HB2 . HB1 mà BH
HB2 . HB1 BC 4 HB1 . HB2 .
2
2
2
B2
K
B
K2
O
B1
K1
M
H
C1
C
58) Chứng minh OH .OM OK 2 .OB2 R 2 OB 2 ( hoặc chứng minh OK 2 .OB2 không đổi)
Chỉ ra K
2 MO HB2O ( cùng phụ HOB2 ) .
Từ đó suy ra K 2 MO ∽ HB2O g g OH .OM OK 2 .OB2 .
Mà OH .OM OB 2 R 2 nên OH .OM OK 2 .OB2 R 2 OB 2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
59) Chứng minh OB1 B2 M
B2
K
B
K2
O
K1
B1
M
H
C1
C
Chỉ ra B1 là trực tâm OMB2 OB1 MB2 .
60) Chứng minh tứ giác MHK 2 B2 nội tiếp từ đó suy ra OK 2 . OB2 không đổi.
B2
K
B
K2
O
K1
B1
M
H
C1
C
0
MK
Xét tứ giác MHK 2 B2 có: MHB
2
2 B2 90 , mà đây là hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh
MB2 , suy ra tứ giác MHK 2 B2 là tứ giác nội tiếp.
Chỉ ra OK 2 . OB2 OH .OM OB 2 R 2 không đổi.
61) Gọi BC1 O J1 . Chứng minh C1 J1C ∽ C1CB , C1MJ1 ∽ C1 BM ; CH J1C1 là tứ giác nội tiếp.
(hoặc bài có thể khai thác từ các yếu tố trên như chứng minh các góc, tỉ số đoạn thẳng…)
B
K
K1
J1
O
M
H
C1
C
Chỉ ra C1 H C1C ( trung tuyến tam giác vuông) nên C
1CH C1 HC .
1 sd CJ
C J C ∽ C CB g g C
Mặt khác C
1CJ1 C1 BC
1
1 1
1
1 J1C C1CB C1 HC .
2
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
Từ đó suy ra CH J1C1 là tứ giác nội tiếp.
+ Chỉ ra C1 J1C ∽ C1CB CC12 C1 J1 . C1 B mà
C1C C1M C1M 2 C1 J1 . C1 B C1MJ1 ∽ C1BM c g c
62) Kéo dài MJ1 cắt O tại J 2 . Chứng minh J1C là phân giác góc C
1 J1 J 2
B
K
K1
J2
J1
O
M
H
C1
C
Do C1MJ1 ∽ C1 BM C
1MJ1 C1 BM MJ 2 B J 2 B / / CM
CJ
J
BC BCM
1C1
2
J
2 J1C CJ1C1 J1C là phân giác góc C1 J 1 J 2 .
J 2 BC J 2 J1C
K 3 M 2 K 3 K1 . K 3 B
63) Kéo dài BK1 OM K 3 . Chứng minh
từ đó suy ra K3 là trung điểm HM và
2
K 3 H K3 K1 . K 3 B
HK1 BK1 .
B2
K
B
K1
O
H
K3
M
C
Chỉ ra K
3 MK MKB ( sole trong) mà MKB K 3 BM ( tính chất góc nt và góc tạo bởi tt và dây cung)
2
Nên K
3 MK K 3 BM . Từ đó suy ra K 3 MK1 ∽ K 3 BM g g K 3 M K 3 K1 . K 3 B .
MKO
mà MKO
HBK
( góc nt chắn cung CK
)
+ Do MK1 H ∽ MOK nên MHK
1
3
1
Từ đó suy ra K3 HK1 ∽ K3 BH g g K 3 H 2 K 3 K1 . K 3 B .
2
K 3 M K 3 K1 . K 3 B
Vì
K 3 M K 3 H K 3 là trung điểm MH .
2
K 3 H K3 K1 . K 3 B
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
B2
K
B
K1
O
H
M
K3
C
0
+ Ta có: K
1 BH K1 HB K1 HK 3 K1 HB K 3 HB 90 . Từ đó suy ra HK1 BK1 .
64) Chứng minh
HC 2 KK1
1.
HK12 MK1
B2
K
B
K1
O
H
M
K3
C
BH 2 BK1 .BK 3
2
BK3 BK1 K1 K 3
BK1
HC 2
CH BK1 .BK 3
2
Chỉ ra HK1 BK1 . K1 K 3
.
Suy
ra
1.
2
2
K1K 3
K1K 3
HK1 K1 K 3
BH CH
HK1 BK1 . K1 K 3
+ Ta có: BK / / OM
KK1
BK1
HC 2 KK1
BK1
KK1
suy ra
1
1.
2
HK1 MK1 K1 K 3
MK1
MK1 K1 K 3
65) Từ K1 kẻ đường thẳng song song KB cắt BC , BM tại K 5 , K 6 . Chứng minh K1 là trung điểm K 5 K 6 .
B
K
O
K6
K1
K5
K3
H
M
C
KB / / OM
KK
BK1 K1 K 6
K5 K 6 / / HM 1 5
mà HK 3 K 3 M K1 K 5 K1 K 6 K1 là trung
Vì
HK 3 BK3 K3 M
K5 K 6 / / KB
điểm K 5 K 6 .
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
K
B
B1
K5
O
K1
K6
M
H
C
và HM HB HM là phân giác ngồi
Cách khác: Các em có thể thấy, HB1 là phân giác trong KHK
1
K1 B1 K1 K 5
B K KB
K1 B1 MK1
( tính chất phân giác) . Mà 1
góc KHK1
K1 K 5 K1 K 6 .
B1 K
MK
MK1 K1 K 6
MK
KB
.
66) Chứng minh HB là phân giác góc KHK
1
B2
K
B
K1
O
M
H
C
O
KK1 K
1 HM
OK
Chỉ ra tứ giác OKK1 H là tứ giác nội tiếp nên
mà OKK
1
1 K ( do OKK1 cân)
K
OH
K
K
O
1
OHK
900
BHK
BHK
HB là phân giác góc KHK
.
BHK
Nên K1HM OHK mà
1
1
0
K
HM
BH
K
90
1
1
67) Chứng minh OK12 OH .OM từ đó chứng minh OK1 là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp HMK1
B
K
K1
O
M
H
C
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành