Chuyên đề ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

Chuyên đề

: Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
TỔ: TOÁN - TIN
CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG HỆ TRỤC Oxy

y

O

x

GV: Phan Đức Tiến

1


Chuyên đề

: Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG HỆ TRỤC Oxy

Muc lục
Tên mục
Mở đầu
Lý do chọn chuyên đề
Mục đích nghiên cứu

Giới hạn chuyên đề
Phương pháp nghiên cứu
Nội dung
Kiến thức cơ sở
Cơ sở lý luận
Giải quyết vấn đề
Biện pháp thực hiện
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Trang
3
3
3
3
3
4
4
5
7
13
13
13

2


Chuyên đề

: Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài:
Phép biến hình là một mảng kiến thức học sinh thấy hấp hẫn, có tính thực tế
nhưng đòi hỏi tư duy cao, cách diễn đạt thì gắn gọn đầy thuyết phục. Khi đưa phép biến
hình vào hệ trục Oxy để giải quyết bài tốn thì cần phải hiểu rõ bài tốn cần dùng phép
biến hình nào, vận dụng tính chất nào, và sử dụng tốt biểu thức tọa độ của từng phép
biến hình ra làm sao mới giải quyết được bài toán.
Một chuyên đề ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy sẽ giúp được q thầy
cơ và học sinh thích thú hơn trong tiết dạy và học, vừa có thể giải quyết một số bài tốn
khó như tìm tập hợp điểm, dựng hình, khoảng cánh , lập các phương trình đường.
Mục đích nghiên cứu:
Chuyên đề nghiên cứu tập trung vào phép dời hình , các biểu thức tọa độ của từng
phép biến hình, các bài toán cơ bản và ứng dụng các bài toán cơ bản vào giải một số bài
toán trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Ứng dụng này giúp học sinh đặt niềm tin vào các tính
chất của phép biến hình mà vận dụng vào các mảng toán học khác như hình học khơng
gian, trong hệ trục toạ độ Oxyz, mặt phẳng phức và cả trong đồ thị hàm số một cách
linh hoạt nhất.
Giới hạn nghiên cứu chuyên đề:
Khi nói đến phép biến hình thì cịn rất nhiều phép biến hình khơng phổ biến,
nhưng nhờ nó mà việc chứng minh một số tính chất hình học được dễ dàng như phép
nghịch đảo, phép co. Đề tài chỉ giới hạn các phép biến hình thường dùng trong chương
trình trung học cơ sở, trung học phổ thông nhưng nhờ ứng dụng này mà chúng ta có thể
vận dụng để giải quyết được các bài toán trong mặt phẳng Oxy dễ dàng hơn , ngay cả đề
thi tuyển sinh vào cao đẳng và đại học các năm trước và đề thi tốt nghiệp quốc gia.
Đề tài được bắt đầu nghiên cứu vào tháng 5 năm 2011, và đưa vào khảo sát trên toàn
học sinh khối 10 và khối 11của trường .
Phương pháp nghiên cứu:
Cho học sinh tiếp cận phép biến hình, hiểu được tính chất, và định hướng vận
dụng vào trung điểm, đường trung trực, đường phân giác, trọng tâm , tỉ lệ độ dài và các

tính chất bảo tồn. Tiến hành động viên, tìm hiểu và thống kê những học sinh chưa thích
học mơn hình học, ngại khó trong hình học. Khảo sát học sinh về kiến thức phép biến
hình, và kiến thức hình học cơ bản. Đưa chun đề đến tổ Tốn - Tin của trường góp ý
và áp dụng cho trường từ năm 2012, đưa lên hội thảo hội đồng bộ môn của tỉnh. Thông
tin phản hồi từ đồng nghiệp và học sinh về ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy
là mới, dễ vận dụng và rất hiệu quả.

3


Chuyên đề

: Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy
NỘI DUNG

Kiến thức cơ sở:
Cho trước một tập hợp T các điểm (chẳng hạn tập hợp các điểm trên mặt phẳng, tập
hợp các điểm trong không gian hoặc một phần những tập hợp này). Một phép biến
hình f trong tập hợp T là một ánh xạ 1-1 của T vào chính nó. Với mỗi M  T, ta kí
hiệu ảnh của M là f(M), và gọi M là tạo ảnh của f(M).
Với các phép biến hình trong tập T cho trước, chúng ta có những tính chất sau đây:
1. Tích của hai phép biến hình trong T là một phép biến hình trong T.
2. Phép đồng nhất biến mỗi điểm M thuộc T thành chính nó cũng là một phép biến hình
trong T.
3. Cho trước một phép biến hình trong f : T ⟶ T , thì ánh xạ f-1 là nghịch đảo của f .
Một khái niệm cũng hay được sử dụng trong phép biến hình là điểm bất động. Một điểm
O thuộc T được là điểm bất động của f nếu ta có f(O) = O. Tương tự, một bất biến của
phép biến hình f là một tính chất hình học được giữ ngun khơng thay đổi trong phép biến
hình f.
Một phép biến hình bảo tồn độ dài đoạn thẳng là một phép dời hình. Phép dời hình đặc

biệt quan trọng trong phép biến hình và có những tính chất sau:
i) Phép dời hình bảo tồn độ lớn của góc.
ii)Phép dời hình biến một điểm thành một điểm, một đoạn thẳng thành một
đoạn thẳng … bảo tồn quan hệ thuộc nhau của các yếu tố hình học.
iii) Phép dời hình biến hình H thành hình H’ bằng chính nó.
iv) Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình.
Căn cứ vào tính chất cịn giữ ngun hướng của góc định hướng hay khơng mà
người ta cịn phân biệt phép dời hình thuận và phép dời hình ngược.

1.

2.

3.
4.

Một số phép dời hình quan trọng
Phép tịnh tiến theo a⃗ : là phép biến hình trong mặt phẳng hay trong không gian sao
cho vectơ nối tạo ảnh và ảnh luôn bằng một vec tơ a⃗ cho trước (a⃗ được là vec tơ tịnh
tiến). Tích của hai phép tịnh tiến theo a⃗ và b⃗ là phép tịnh tiến theo a⃗ + b⃗ .
Phép quay quanh tâm O với góc α : là phép biến hình trong mặt phẳng sao cho với
mỗi điểm M của mặt phẳng và ảnh M’ của nó, ta ln có góc (theo chiều quay từ M
tới M’ quanh O) Bằng α. Tích của hai phép quay cùng tâm O với góc α và β là phép
quay tâm O với góc α + β .
Phép đối xứng tâm O : là phép biến hình trong mặt phẳng hay trong không gian biến
mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận điểm O làm trung điểm.
Phép đối xứng qua đường thẳng( trục) d : là phép biến hình trong mặt phẳng hay
trong khơng gian biến mỗi điểm của d thành chính nó và mỗi điểm M không thuộc d
thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận d làm đường thẳng trung trực.
4

Chuyên đề

: Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

5. Phép quay góc α quanh trục d: là phép biến hình trong khơng gian biến mỗi điểm M
thành M’ nằm trên mặt phẳng đi qua M và vng góc với đường thẳng d và sao cho
MOM ’=α .
góc ^
6. Phép đối xứng qua mặt phẳng (P): là phép biến hình trong khơng gian biến mỗi điểm
của (P) thành chính nó và biến mỗi điểm M khơng thuộc (P) thành điểm M’ sao cho
(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn MM’.
Một số phép biến hình khơng ln là phép dời hình
1. Phép vị tự hệ số k ≠ 0 với tâm vị tự O: là phép biến hình trong mặt phẳng hay trong
OM '=k .⃗
OM .
không gian biến mỗi điểm M thành M’ sao cho ⃗
2. Phép nghịch đảo hệ số k ≠ 0 với tâm nghịch đảo S : là phép biến hình trong tập hợp
điểm khác S trong không gian hoặc trong tập hợp điểm khác S trong mặt phẳng biến
k ⃗
SM '=
. SM .
mỗi điểm M khác S thành điểm M’ sao cho ⃗
2
SM

Cơ sở lý luận: {kiến thức bổ sung}
Một số phép biến hình thường dùng trong hệ trục Oxy
Bài toán cơ bản

1. Phép đối xứng tâm trong hệ tọa độ Oxy.
Bài toán 1 (BT1): Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm H(a ; b). Lập công thức của
phép đối xứng tâm H.
Giải:
Giả sử M(x0 ; y0) là điểm bất kì, M’(x ;y) là điểm đối xứng của M qua tâm H. Ta có
⃗
HM '=−⃗
HM ⇔

{

x−a=a− x0
x=2 a−x 0
x =2 a−x
⇔
⇔ 0
y −b=b− y 0
y =2 b− y 0
y 0 =2 b− y

{

{

2.Phép đối xứng qua đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy.
Bài toán 2 (BT2): Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng
d : Ax + By + C = 0 (A2 + B2 ≠ 0). Lập công thức của phép đối xứng trục d .
Giải:
Giả sử M(x ; y) là điểm bất kì, M’(x’ ;y’) là điểm đối xứng của M qua đường thẳng d. Ta
có trung điểm của đoạn H (

x+ x' y + y '
MM ' ⊥ u⃗ =( B ;− A) (với u⃗ là vec tơ chỉ
;
)  d và ⃗
2
2

phương của d). Ta có hệ phương trình:

{

A

( x+2x ' )+ B ( y +2y ' )+C=0 , ta suy ra được công
'

'

B ( x −x ) −A ( y − y )=0

thức sau:

5


i)
ii)

{

{

Chuyên đề : Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy
x =x+2 kA ; k= −( △ ) ; ( △ )=△ ( M )= Ax+ By+C
.
'
A 2 + B2
y = y +2 kB
'

x=x '+ 2 kA ;k = −( △) ; ( △ ) =△ ( M ' )= Ax '+ By ' +C .
2
2
y= y '+2 kB
A +B

4. Phép tịnh tiến trong hệ tọa độ Oxy.
Bài toán 3 (BT3): Trong hệ tọa độ Oxy, cho u⃗ =( a; b) . Lập công thức của phép tịnh tiến
theo u⃗ =( a; b) .
Giải:
Giả sử M(x0 ; y0) là điểm bất kì, M’(x ; y) là ảnh của M qua phép tịnh tiến u⃗ =(a;b) . Ta có
x−x 0=a
x=x 0+ a
x 0 =x+ a
'
⃗
M M =⃗u ⇔ y − y =b ⇔ y = y +b ⇔ y = y +b
0
0
0

{

{

{

5. Phép quay trong hệ tọa độ Oxy.
Bài toán 4 (BT4): Trong hệ tọa độ Oxy cho phép quay R (I,α). Với I(a ; b) . Tìm biểu thức tọa
độ của phép quay đó.
Giải:
(Vận dụng tính chất phép quay khơng khó để ta có biểu thức)
Giả sử M(x ; y) là điểm bất kì, M’(x’ ;y’) là ảnh của phép quay R (I,α).
x' =a+ ( x−a ) cosα−( y−b ) sinα
Biểu thức tọa độ của phép quay là: '
.
y =b+ ( x−a ) sinα + ( y−b ) cosα

{

Khi tâm quay là O(0 ; 0)ta có :

{

x' =xcosα − ysinα
.
'
y =xsinα + ycosα

Khi tâm quay là O(0 ; 0) và α = 900 ta có :

{

x' =− y
.
'
y =x

6. Phép vị tự trong hệ tọa độ Oxy.
Bài toán 5 (BT5) Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(a ; b) và số thực k khác không. Lập
công thức của phép vị tự tâm M với tỉ lệ k.
Giải:
Giả sử M(x ; y) là điểm bất kì, M’(x’ ;y’) là ảnh của M qua phép tâm I với tỉ số k.Ta có
⃗
ℑ=k ⃗
ℑ'

Biểu thức tọa độ là:

.

6


Chuyên đề

: Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

Giải quyết vấn đề:
Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD với AB: x – 2y + 2 = 0 ,
AD : 2x + 3y – 2 = 0 và có tâm I(-1 ; 2). Viết phương trình các cạnh cịn lại.
Giải:
Ta có CD là đối xứng của AB qua tâm I(-1 ; 2). Với mỗi M’(x ; y) thuộc CD suy ra tồn tạn
M(x0 ; y0) thuộc AB nhận I(-1 ; 2) làm tâm đối xứng. Ta có biểu thức tọa độ (theo BT1)
là :

{

x 0=−2−x
y 0=4− y

(1)

Thay (1) vào phương trình AB ta được : (-2 – x) - 2(4 – y) + 2 = 0.
Vậy phương trình đường thẳng CD: x – 2y + 8 = 0.
Ta có BC là đối xứng của AD qua tâm I(-1 ; 2). Với mỗi N’(x ; y) thuộc BC suy ra tồn tạn
N(x0 ; y0) thuộc AD nhận I(-1 ; 2) làm tâm đối xứng. Ta có biểu thức tọa độ (1).
Thay (1) vào phương trình AD ta được : 2(-2 – x) + 3(4 – y) - 2 = 0.
Vậy phương trình đường thẳng BC: 2x + 3y – 6 = 0.
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho A(6 ; 5), B(-1 ; 1), M(a ; 0), N(a+1; 0) (a >0). Tìm
giá trị nào của a để BM+MN+NA nhỏ nhất.
Giải:
MN =( 1;0 ) ⟹|⃗
MN|=1 (khơng đổi)
Ta có ⃗
MN =( 1; 0 ).(theo BT3)
Gọi B’(x ; y) là ảnh của của B(-1 ; 1) qua phép tịnh tiến ⃗
Ta có B’(0 ; 1). Khi đó BM + MN + NA = B’N +NA +1 nhỏ nhất, suy ra bài tốn tìm N
trên trục Ox để B’N + NA nhỏ nhất.

Xét các điểm A, B điều có tung độ dương nên hai điểm nằm cùng phía trên trục hồnh.
Ta gọi B’’(x ; y) đối xứng với B’(0 ; 1) qua trục Ox (theo BT2). Ta được B”(0 ; -1).
HA=−5 ⃗
HB . (theo BT5)
Tính d(B’’,Ox) = 1, d(A,Ox) = 5, AB” cắt Ox tại H suy ra ⃗
Ta được H(1 ; 0).
Ta thấy B’N + NA = B”N + NA ≥ B”A = B’’H + HA nên B’N + NA nhỏ nhất khi N≡H
hay a + 1 = 1
Vậy để BM + MN + NA nhỏ nhất thì a = 0.
Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho A(a ; 0), B( 0 ; a) (a >0) và M( 3 ; 2). Tìm giá trị
nào của a để AM + MB nhỏ nhất.
Giải:

7


Chuyên đề

: Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

Xét phép quay tâm O(0 ; 0) với góc quay 90 0, ta có M(3 ; 2) biến thành M’(-2 ; 3) và A(a ;
0) biến thành A’(0 ; a) (theo BT4) và dễ thấy A’ trùng với B.
Xét AM + MB = A’M’ + MB = M’B + BM nhỏ nhất, suy ra bài tốn tìm điểm B trên trục
tung sao cho M’B + BM nhỏ nhất.
−3 ⃗
BM =
BM ' .(BT5)
Tính d(M’,Oy) = 2, d(M,Oy) = 3, MM’ cắt Oy tại B suy ra ⃗
2
12

Ta được B 0 ; 5 .

(

)

12

Vậy để AM + MB nhỏ nhất thì a= 5 .
Bài 4. (ĐH-D-2010) Trong mặt phằng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3 ; -7),
trực tâm H(3 ; -1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2 ; 0). Xác định tọa độ của đỉnh C, biết C
có hồnh độ dương.
Giải:
Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình:
(C): ( x +2)2 + y 2=74
AH =(0 ; 6).
Tìm phương trình (C’) là ảnh của đường trịn (C) qua phép tịnh tiến ⃗
2
2
Phương trình đường trịn (C’): (x +2) +( y−6) =74 (theo BT3)
Phép đối xứng trục BC cũng biến đường trịn (C) thành đường trịn (C’) (vì BC = B’C’).
Tọa độ của điểm B, C là nghiệm của hệ:
2

2

( x +2) +( y−6) =74 ⇔ ( x +2 )2+ 9=74
‘ (xc > 0)
2
2

y =3
( x +2) +( y−6) =74

{

{

Vậy C (−2+ √ 65 ; 3)
Bài 5.(thử sức trước kì thi THTT-số 403) Tính diện tích của tam giác đều nội tiếp
elip ( E ) :

2

2

x y
+ =1 , nhận điểm A(0 ; 2) là đỉnh và trục tung làm trục đối xứng.
16 4

Giải:
Gọi tam giác đều ABC cần tìm với A(0 ; 2), điểm B, C đối xứng nhau qua trục tung có tọa
độ B(x0; y0), C(-x0; y0), (theo BT2) với x0 > 0, y0 < 2.
Độ dài cạnh tam giác đều: a = BC = 2x0.
Độ dài đường cao h = AH = 2 – y0 , với H(0, y0) là trung điểm BC.
a 3
Ta có : h= √ ⇔ 2− y 0=x 0 √3 ⇔ y 0=2−x0 √ 3 ⟹ B( x 0 ;2−x 0 √3)
2

2

2

x (2−x 0 √ 3)
16 3
Điểm B∈ ( E ) ⟺ 0 +
=1 ⇔ 13 x 20 −16 x0 √ 3=0 ⇔ x=0 loại ∨ x= √
16
4
13
2

1
1
3 32 √ 3
768 √ 3
2 √3
=√
=
Diện tích đều ABC là: S= a2 sin 60 0= ( 2 x0 )
2
2
2
4
13
169

(

)

8


Chuyên đề

: Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

Bài 6. .(thử sức trước kì thi THTT-số 404) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho
tam giác cân ABC (AB = AC). Biết các phương trình đường thẳng AB,BC tương ứng là
(d1) : 2x + y – 1 = 0, (d2) : x + 4y + 3 = 0. Lập phương trình đường cao qua đỉnh B của tam
giác ABC.
Giải:
Tọa độ của điểm B:

⇔ { x =1
{2x x+4+ y−1=0
y+ 3=0
y=−1

Chọn A’(0 ; 1) thuộc (d1) khác với điểm B(1 ; -1).
Gọi A’H’ là đường thẳng qua A’ và vng góc với (d 2) tại H’.
Ta được A’H’ : 4x – y + 1 = 0 và tọa độ điểm H’:

4 x− y+1=0 ⇔
x+ 4 y +3=0

{

( −31

5

{

−7
17
;
−11
y=
17
x=

)

Gọi điểm C’ đối xứng với B qua H’, khi đó ta được C ’ 17 ;− 17 .(BT1)
Tồn tại phép vị tự tâm B tỉ số k biến AC thành A’C’ (k ≠ 0).
Suy ra đường cao (d3) qua đỉnh B(1 ; -1) của tam giác ABC vng góc với A’C’, có vectơ
31 22
C ' A '=
;
pháp tuyến là ⃗
,
17 17
Đường cao (d3) : 31(x – 1) + 22(y + 1) = 0 < = > 31x + 22y – 9 = 0.
Bài 7.(thử sức trước kì thi THTT-số 03-12/2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam
giác ABC vng tại A có G là trọng tâm, B(-10 ; 1), C(10 ; 1). Xác định tọa độ đỉnh A biết
diện tích tam giác ABG bằng 20.
Giải:
Ta có diện tích S của tam giác BCG bằng với diện tích tam giác ABG.
Phương trình đường thẳng BC: y = 1, độ dài BC = 20,

(

2S

)

2.20

Ta được d ( G , BC ) = BC = 20 =2.
Suy ra d(A,BC) = 3d(G,BC) = 6 (phép vị tự)
Khi đó điểm A nằm trên đường thẳng có phương trình: y = 7 hoặc y = - 5 (BT5)
Tam giác ABC vuông tại A nên đỉnh A nằm trên đường trịn đường kính BC
Phương trình đường trịn (BC) : x2 + (y – 1)2 = 100
Vậy tọa độ của đỉnh A có thể nhận là: (8 ; 7), (-8, 7), (8 ; -5) hay (-8 ; -5).
Bài 8.(thử sức trước kì thi THTT-số 04-1/2013)Trong mặt phẳng Oxy, cho đường
trịn (C) có phương trình x2 + y2 + 8x + 4y + 16 = 0 và đường thẳng d có phương trình
x + y – 5=0. Tìm trên d điểm M, trên (C) điểm N sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng
MN.

9


Chuyên đề

: Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

Giải:
Ta gọi d’ là đối xứng của đường thẳng d qua tâm O(0 ; 0). Với mỗi H’(x ; y) thuộc d’ suy
ra tồn tạn H(x0 ; y0) thuộc AB nhận O(0 ; 0) làm tâm đối xứng. Ta có biểu thức tọa độ (theo

{

x=−x 0

BT1) là : y=− y (1)
0
Thay (1) vào phương trình d ta được : – x – y – 5 = 0.
Vậy phương trình đường thẳng d’: x + y + 5 = 0.
Lấy trên d điểm M, trên (C) điểm N sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MN thì điểm
N đối xứng với M qua tâm O, nên N thuộc d’.
2
2
Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ: x + y +8 x +4 y+16=0

{

x + y +5=0

(2)

( −7−2 √ 7 ; −3+2 √ 7 ) v à M ( 7+2√ 7 ; 3−2√7 )
−7+ √ 7 −3−√ 7
7−√ 7 3+ √7
h ay N (
;
vàM(
;
)
2

2
2
2 )
N

0
Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có ^
BAC=135 , đường cao BH :

1 3
3 x+ y+ 10=0 , trung điểm BC là M ( ;− ) và trực tâm H(0 ; -10). Biết tung độ của điểm B
2 2

âm. Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C .
Giải:

(1 3 )

Ta gọi d là đối xứng của đường thẳng BH qua tâm M 2 ;− 2 . Với mỗi H’(x ; y) thuộc d
suy ra tồn tạn H(x0 ; y0) thuộc BH nhận M làm tâm đối xứng. Ta có biểu thức tọa độ (theo

{

x 0=1−x

BT1) là : y =−3− y
0

(1)

Thay (1) vào phương trình BH ta được : 3(1 – x )+(−3 ;− y )+ 10=0.
Phương trình đường thẳng d: 3 x+ y−10=0.
Điểm C là ảnh của B qua phép đối xứng tâm M nên C thuộc đường thẳng d.
0
Ta có AC vng góc với BH và ^
BAC=135 , suy ra khoảng cách từ C đến H là:
0
^ =45 0 ∨ ^
CH =√ 2.2 d ( M , BH )=2 √ 2. √ 10=2 √ 20 (CBH
CHB=1345 và BH // d )
Điểm C nằm trên đường tròn tâm H với bán kính r =2 √ 20, với phương trình:
2

2

x + ( y+ 10 ) =80

Tọa độ của điểm C:

{

2
2
x +( y +10) =80 ⇔ x=4 ho ặ c x=8
y=−2
y−14
3 x+ y−10=0

{

{

Với C(8 ; -14) suy ra B(-7 ; 11) (loại)

10


Chuyên đề

: Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

14
12
Với C(4 ; -2) suy ra B(-3 ; -1) (nhận ) và A 11 ;− 11 ,( A là trực tâm tam giác BHC)

(

)

Bài 10. { Bài 7, đề thi minh hoạ - Kì thi THPT quốc gia năm 2015 của Bộ giáo dục và Đào
tạo}
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác OAB có các đỉnh A và B thuộc đường
thẳng ∆ : 4x + 3y – 12 = 0 và điểm K(6 ; 6) là tâm của đường trịn bang tiếp góc O. Gọi C
là điểm nằm trên ∆ sao cho AC = AO và các điểm C , B nằm khác phía so với điểm A. Biết
24

điểm C có hồnh độ bằng 5 , tìm tọa độ các đỉnh A, B.
Giải.
Hình vẽ: {minh họa}

•K

24

•B

Vì C  ∆ và có hồnh độ x= 5 (gt)
nên gọi y0 là tung độ của C, ta có:
4.

A’ •
••

24
−12
+3 y 0−12=0. Suy ra y 0=
.
5
5

• A

O•

Gọi A(3t, 4 – 4t)  ∆. Ta có OA = CA (gt) { đx trục }
hay

• C

24 2

12 2
) + 4−4 t +
5
5
2
2
24
24
32
32
⇔ 4 2−32 t=−2.3 . t+
+
−2. .4 t
5
5
5
5
⇔ 48 t =48 ⇔ t=1.
2

2

(3 t) + ( 4−4 t ) =(3t−

(

)

( ) ( )

Vậy A(3; 0)
AOB có phương trình y = x
Vì K(6; 6) nên phương trình đường phân giác OK của góc ^
Gọi A’(x’; y’) là ảnh của điểm A(3; 0) qua trục OK: y = x. (theo BT2)
Ta suy ra A’(0; 3)  OB, nên OB có phương trình : x = 0 { qua O và qua A’}
Điểm B là giao điểm của đường OB và đường thẳng ∆.

{

x=0

Tọa độ của B là nghiệm của hệ 4 x +3 y−12=0 ;
Vậy B(0; 4)
Bài 11. { Bài 8, đề thi chính thức - Kì thi THPT quốc gia năm 2015 của Bộ giáo dục và
Đào tạo}
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu
vng góc của A trên cạnh BC; D là điểm đối xúng của B qua H; K là hình chiếu vng
góc của C trên đường thẳng AD. Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và trung điểm của cạnh AC
thuộc đường thẳng x – y + 10 = 0. Tìm tọa độ điểm A
Giải.
A
Hình vẽ: {minh họa}
M
11
D

B

C

K

Chuyên đề

: Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

Gọi M là trung điểm AC
Ta có M(t, t+10) thuộc đường thẳng x – y + 10 = 0,
và HM = KM = ½ AC { trung tuyến = ½ cạnh h }
hay
(t +5)2+ ( t +15 )2=(t−9)2 + ( t +13 )2
⇔ 2.5 .t +5 2+ 30t +152=−2.9. t+ ( 9 )2 +2.13 .t .+ ( 13 )2
⇔ 32t=0 ⇔ t=0. Suy ra M(0; 10)
Ta có tam giác ABD cân tại A, nên ^
BAH = ^
HAD ⇒ AH =HD . {AB tiếp tuyến,}

Mặt khác ta đã có AM = MD, nên A và K đốinxúng nhau qua trục HM
Gọi A(x’; y’) là ảnh của điểm K(9; -3) qua trục HM : 3x – y +10 = 0. (theo BT2)
Ta có A(-15 ; 5)

12


Chuyên đề

: Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

Biện pháp tổ chức thực hiện:

Đề tài nghiên cứu đã là một ứng dụng toán học nên việc tổ chức thực hiện rất nhanh
chóng và hiệu quả. Phổ biến “ứng dụng phép biến trong hệ trục Oxy” trực tiếp cho đồng
nghiệp qua nhiều hình thức. Với học sinh, phổ biến phép biến hình và các tính chất của
phép biến hình trước, hình học trong hệ tọa độ Oxy và sau đó đưa ứng dụng của đề tài vào,
lúc đó mới có hiệu quả tốt. Đề tài sẽ được gởi đến các hội thảo toán học, diễn đàn toán học
và đưa lên mạng để bạn đọc cùng ứng dụng.
Những kết quả đã đạt tại trường khi đưa ứng dụng vào cho học sinh thật là khả quan.
Học sinh khối 10 và khối 11 làm tốt các bài tốn hình trong hệ tọa độ Oxy, khảo sát thống
kê được 84% học sinh làm tốt bài tốn hình trong học kì II năm học 2011-2012 và 91%
học sinh làm tốt bài tốn hình trong học kì I năm học 2012-2013. Học sinh khối 12 ơn tập
bài tốn hình học trên hệ trục Oxy trong các đề thi đại học và cao đẳng nhất là nay còn áp
dung vào đề thi tốt nghiệp quốc gia rất chích thú và có niềm tin trình bày bài giải theo ứng
dụng phép biến hình.
KẾT LUẬN
Đề tài “ Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy” có tính mới và có cơ sở lý luận
chặt chẽ, có hướng phát triển rộng lên hệ trục chuẩn Oxyz, hình học không gian, mặt phẳng
phức và cả trong các bài toán khảo sát hàm số và vẽ đồ thị. Ứng dụng trong đề tài còn vận
dụng trong thực tế của ngành xây dựng, trong đo đạt. Đề tài ngoại việc mang lại cho học
sinh kiến thức tốn học, một cơng cụ mới để giải bài tốn rất nhanh và chính xác nó cịn
đêm đến cho người dạy và người học một sự thích thú về điều kì diệu trong phép biến hình.
Kiến nghị : Hội đồng khao học khi đã có kết quả thẩm định các đề tài đạt thì nên tổ
chức phổ biến đề tài rộng rãi.
Đề xuất: Hội đồng bộ mơn nên tìm một đề tài tồn thể giáo viên tốn trong tỉnh cùng
nhau nghiên cứu để có những sáng kiến, đề tài khoa học có tầm vóc cho tỉnh nhà.
Tài liệu tham khảo:
1) TSKH Vũ Đình Hịa. Bất đẳng thức hình học – Nhà xuất bản Giáo dục – 2004.
2) Đỗ Thanh Sơn. Phương pháp giải toán hình học phẳng – Nhà xuất bản Đại học quốc
gia hà nội – 2006.
3) Lê Hồng Đức ( Chủ biên). Phương pháp giải tốn hình học tập 1 – Nhà xuất bản Đại
học sư phạm – 2004.

4) Trần Bá Hà. Phương pháp giải tốn hình học khơng gian – Nhà xuất bản Đại học
quốc gia hà nội – 2008.
5) Tạp chí Tốn học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục
6) WWW. Mathqb. easy.vn

13


Chuyên đề

: Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy

+ NHẬN XÉT CỦA TỔ TOÁN – TIN TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

+ HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

+ HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC

14