SKKN Ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng giải các bài toán tìm tập hợp điểm

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM”
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình hình học ở bậc THPT chúng ta đã biết các phép biến hình trong
mặt phẳng như phép đối xứng qua một đường thẳng, phép đối xứng qua một điểm,phép
tịnh tiến,phép vị tự ,phép đồng dạng ,việc làm quen ,sử dụng và lại ứng dụng được nó là
một điều hết sức khó khăn và học sinh rất ngại học phần này.
Trong khi dạy học sinh ôn tập tôi đã chú trọng phân dạng và dạy cho học sinh những
dạng toán cơ bản về phép biến hình,với những đối tượng học sinh học giỏi tôi mạnh dạn
đưa và dạng toán ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng giải các bài toán tìm tập hợp
điểm.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài “ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng giải các bài toán tìm
tập hợp điểm " nhằm giúp học sinh có thêm cách giải các bài toán về tập hợp điểm trong
hình học.Có nhiều bài toán về tập hợp điểm khó khăn ( thậm chí cảm giác không tìm ra
cách giải) dặc biệt là lời giải một cách tự nhiên nhất ,thì lại giải quyết một cách đơn giản
bằng cách áp dụng phép biến hình .Phát huy kĩ năng giải toán ,phát triển tư duy lôgic cho
học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập của học sinh ,tạo được hứng thú học tập
môn toán.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Phép biến hình trong mặt phẳng là khái niệm mới và khó nên học sinh ngại
nghiên cứu tuy ứng dụng của nó rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nên
việc áp dụng thành thạo các bài tập cơ bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt.
- Vì học sinh học phép biến hình chỉ nghĩ đơn thuần là nắm được định nghĩa và tính
chất nên khi áp dụng phép biến hình trong mặt phẳng vào giải các bài toán tập hợp điểm,
học sinh gặp nhiều khó khăn.
Vậy áp dụng như thế nào và có phổ biến trong mọi dạng toán hay không? Để giải
quyết hết mọi vấn đề thì khó nhưng trong những dạng tôi đã dạy các em đã phần nào trả

lời được các câu hỏi đó.
4. Đối tượng nghiên cứu
Ứng phép biến hình trong mặt phẳng để giải các bài toán tìm tập hợp điểm trong
chương trình toán học THPT.
5. Phạm vi nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức của bộ môn toán trung học
phổ thông, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng học sinh luyện
thi đại học ,cao đẳng và học sinh giỏi.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khao, sách tham khảo, các
tài liệu liên quan khác,
- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường PTTH Tiên Lữ
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy.
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN, THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
I.1 Cơ sở lý luận của vấn đề
Việc đưa các phép biến hình trong mặt phẳng vào giải các bài toán tìm tập hợp
điểm không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải toán à cong tập
cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự
việc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của
chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá,tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh và
sáng tạo trong tương lai. Ngoài ra có thể dựa vào một bài toán hình học cụ thể về tìm tập
hợp điểm bằng phép biến hình ta còn có thể sáng tạo ra các bài toán khác nhau và đây là
một việc làm mang lại nhiều hứng thú trong việc tìm tòi, nghiên cứu hình học. Hơn nữa
việc lựa chọn các công cụ thích hợp cho mỗi loại toán hình học khác nhau là một việc
làm cần thiết giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sức để giải các bài toán đó
một cách có hiệu quả nhất.
I.2 Thực trạng của vấn đề.
Phép biến hình là khái niệm mới và khó nên học sinh lười nghiên cứu, tuy ứng
dụng của nó rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nên việc áp dụng thành thạo

các bài tập cơ bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt. Trong quá trình ôn tập cho học
sinh tôi luôn quan tâm đến vấn đề này dạy cho học sinh hiểu bài không chỉ dạy lý thuyết
mà phải có áp dụng đi cùng. Khi chọn đề tài này đã phần nào giúp học sinh tháo gỡ việc
nhận thức học phần phép biến hình và có công cụ giải quyết được dạng bài tập về tập hợp
điểm.
CHƯƠNG II
DÙNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM
TẬP HỢP ĐIỂM
I. Phép biến hình - Phép tịnh tiến và phép dời hình:
1. Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M trên mặt phẳng có thể xác định
được một điểm duy nhất M' thuộc mặt phẳng
2. Phép tịnh tiến theo vectơ
u
r
là phép biến hình biến điểm M thành điểm M' sao
cho
'MM u=
uuuuur r
3. Tính chất cơ bản của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng
cách giữa hai chất điểm bất kì.
4. Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm
bất kì. Phép tịnh tiến là một phép dời hình.
5. Phép dời hình có tính chất: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng
và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tia thành tia, biến tam giác thành tam giác bằng nó,
biến góc thành góc bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
6. Cho hai phép dời hình F và G, giả sử M là điểm phép biến hình F biến điểm M
thành điểm M' và phép biến hình G biến M' thành M". Khi đó phép biến hình biến điểm
M thành điểm M" được gọi là hợp thành của phép F và phép G.
II. Phép đối xứng trục:

1. Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm
M' đối xứng với M qua đường thẳng a. Phép đối xứng qua đường thẳng a còn gọi là phép
đối xứng trục. Đường thẳng a gọi là trục của phép đối xứng.
2. Phép đối xứng trục là một phép dời hình.
3. Trục đối xứng của hình H là đường thẳng mà phép đối xứng qua đường thẳng đó
biến hình H thành hình H.
III. Phép quay và phép đối xứng tâm:
1. Trong mặt phẳng, cho điểm O và góc lượng giác
ϕ
. Phép quay Q
( )
0;
ϕ
tâm O góc quay
ϕ
là phép dời hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành điểm
M' sao cho OM=OM' và (OM, OM')=
ϕ
2. Phép quay là một phép dời hình
3. Khi
ϕ
=
π
thì phép quay Q(O,
π
) gọi là phép đối xứng qua điểm O, kí hiệu Đ
0
.
Phép đối xứng qua điểm O còn gọi là phép đối xứng tâm.
Phép đối xứng qua điểm O biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho

' 0OM OM+ =
uuuur uuuuur r
IV. Hai hình bằng nhau:
1. Nếu ABC và A'B'C' là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến tam giác
này thành tam giác kia
2. Hai hình H và H' gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình
kia.
V. Phép vị tự - Phép đồng dạng:
1. Phép vị tự V(O;k) với tâm O, tỉ số k (k
≠
0) là phép biến hình biến mỗi điểm M
thành điểm M' sao cho
'OM kOM=
uuuuur uuuur
2. Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song ( hoặc trùng)
với đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được
nhân lên với |k|, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là |k|, biến
góc thành góc bằng nó.
3. Phép vị tự biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|R.
4. Tâm vị tự của hai đường tròn: đó là tâm của phép vị tự V biến đường tròn này
thành đường tròn kia. Tâm vị tự đó gọi là tâm vị tự ngoài hay tâm vị tự trong tùy theo tỉ
số của phép vị tự là dương hay âm.
Hai đường tròn có bán kính khác nhau thì có một tâm vị từ ngoài và một tâm vị tự
trong. Hai đường tròn có bán kính bằng nhau ( tâm khác nhau) thì chỉ có tâm vị tự trong,
đó chính là trung điểm đoạn thẳng nối tâm hai đường tròn.
5. Phép đồng dạng tỉ số k ( k>0) là phép biến hình biến hai điểm tùy ý M, N thành
hai điểm M’, N’ sao cho M’N’=kMN
6. Mọi phép đồng dạng F tỉ số k là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một
phép dời hình D.
7. Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này

thành hình kia.
CHƯƠNG III ÁP DỤNG
A. Tìm tập hợp điểm bằng phép tịnh tiến
u
T
r

Phương pháp:
1. Xác định phép tịnh tiến
u
T
r
biến điểm M thành M'
2. Tìm quỹ tích điểm M
3. Từ quỹ tích của điểm M, dựa vào tính chất của phép tịnh tiến để suy ra quỹ tích của
điểm M'
Bài toán 1:
Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi
trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho:
'MM MA MB+ =
uuuuur uuur uuur
Giải: Ta có
'MM MB MA AB= − =
uuuuur uuur uuur uuur

Phép tịnh tiến T theo vecto
AB
uuur
biến M thành M’
Gọi O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức là

OO' AB=
uuuur uuur
thì
quỹ tích M' là đường tròn O' có bán kính bằng bán kính đường
tròn (O).
Bài toán 2:
Cho đường tròn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi. Các
đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q. Tìm quỹ tích trực tâm
các tam giác MPQ và NPQ?
Giải
MPQV
có QA là một đường cao ( vì
QA MP⊥
).
Kẻ MM'
⊥
PQ thì MM' cắt QA tại trực tâm H của
MPQV
, đoạn đường thẳng OA là đường trung
bình của
NMH∆
nên
2MH OA BA= =
uuuur uuur uuur
Vậy phép tịnh tiến T theo
BA
uuur
biến M thành H. (
M không trùng A; M không trùng B)
⇒

Quỹ tích
H là ảnh của đường tròn (O)
( không kể hai điểm A và B) qua phép tịnh tiến đó.
Làm tương tự đối với trực tâm H' của
NPQ∆
Bài toán 3:
Cho
ABC∆
, với mỗi điểm M ta dựng điểm N thỏa mãn:
2 3MN MA MB MC= + −
uuuur uuur uuur uuuur
. Tìm
tập hợp điểm N, khi M thay đổi trên một đường thẳng d.
Giải
2 3 2 3MN MA MB MC MN AB AC AE= + − ⇔ = − =
uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur
Ta có
AE
uuur
là một vecto xác định
→
N là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo
AE
uuur
. Vì M
thuộc d, nên N thuộc d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến đó. Tập hợp N là cả đường thẳng
d’.
Bài toán 4:
Cho
ABC∆

cố định có trực tâm H. Vẽ hình thoi BCDE, từ D và E vẽ các đường
thẳng vuông góc với AB và AC. Các đường thẳng này cắt nhau tại điểm M. Tìm quỹ tích
của điểm M.
Giải
Tứ giác BCDE là hình thoi nên BC=CD, BC//ED.
H là trực tâm
ABC
∆
nên
, ME ACBH AC⊥ ⊥
BH⇒
// ME. Suy ra
·
·
HBC MED=
Tương tự: HC//DM và BC//ED
·
·
HCB MDE⇒ =
Suy ra:
HBC MDE CH DM∆ = ∆ ⇒ =
uuur uuuur
⇒
Phép tịnh tiến
( )
CH
T D M=
uuuur
Ta có BC=CD nên điểm D chạy trên đường tròn (C) tâm C, bán kính R=BC
⇒

điểm M thuộc đường tròn tâm H, bán kính R=BC là ảnh của đường tròn (C) qua phép
tịnh tiến
CH
T
uuuur
Bài toàn 5
ABC∆
có
µ
0
90A =
. Từ điểm P thay đổi trên cạnh huyền BC của
ABC∆
vẽ các đường
vuông góc PR, PQ với các cạnh vuông AB, AC ( R
∈
AB, Q
∈
AC). Tìm quỹ tích trung
điểm M của đoạn thẳng RQ.
Giải
Dựng hình chữ nhật ABSQ
Ta có PR
⊥
AB, PQ
⊥
AC và RA
⊥
AQ
⇒

ARPQ là hình chữ nhật. Suy ra RBSP là hình chữ
nhật.
Gọi N là trung điểm cạnh BP thì MN//SQ và MN=
1
2
SQ
⇒
MN//BA và MN=
1
2
BA
Đặt
1
2
u BA NM u= ⇒ =
r uuur uuuur r
. Phép tịnh tiến
: N M
u
T →
r
Khi P
≡
C thì N
≡
D là trung điểm cạnh BC
Khi P thay đổi trên cạnh huyền BC thì N cũng thay đổi trên đoạn thẳng BD thuộc cạnh
huyền BC.
1
: B

u
T B→
r
và
1
: D
u
T N→
r
thì B
1
và N
1
là trung điểm cạnh AB, AC. Suy ra quỹ tích của
điểm M là đoạn thẳng B
1
N
1
.
B. Tìm tập hợp điểm bằng phép đối xứng Đ
a
Phương pháp:
1. Xác định phép đối xứng Đ
a
biến điểm M thành M'
2. Tìm quỹ tích điểm M
3. Từ quỹ tích của ddierm M, dựa vào tính chất của phép đối xứng trục để suy ra quỹ
tích điểm M'
Bài toán 6:
Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M ta xác định điểm M'

sao cho
'MM MA MB= +
uuuuur uuur uuur
. Tìm quỹ tích điểm M' sao cho M chạy trên (O;R).
Giải
Gọi I là trung điểm của AB
thi I cố định và
2MA MB MI+ =
uuur uuur uuur
,
'MM MA MB= +
uuuuur uuur uuur
' 2MM MI⇔ =
uuuuur uuur
'MM
⇒
nhận I làm trung điểm
hay phép đối xứng tâm Đ
I
biến điểm M thành M'. Vậy khi M chạy trên đường tròn (O;R)
thì quỹ tích điểm M' là ảnh của đường tròn qua Đ
I
. Nếu ta gọi O' là điểm đối xứng của O
qua điểm I thì quỹ tích của M' là đường tròn (O';R).
Bài toán 7:
Cho đường tròn (O) và
ABC
∆
. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Gọi M
1

là
điểm đối xứng của M qua A. M
2
là điểm đối xứng của M
1
qua B, M
3
là điểm đối xứng
của M
2
qua C. Tìm quỹ tích điểm M3.
Giải
Gọi D là trung điểm của MM
3
thì ABCD là hình bình hành
⇒
điểm D cố định. Vì phép
đối xứng qua điểm D biến M thành M
3
nên quỹ tích M
3
là ảnh của đường tòn (O) qua
phép đối xứng đó.
Bài toán 8
Cho đoạn thẳng BC cố định và số k>0. Với mỗi điểm A ta xác định điểm D sao cho
AD AB AC= +
uuur uuur uuur
. Tìm tập hợp điểm D khi A thay đổi thỏa mãn điều kiện
2 2
AB AC k+ =

Giải
Gọi I là trung điểm của BC, khi đó
2AI AB AC AD= + =
uur uuur uuur uuur
⇒
I là trung điểm của AD. Phép đối xứng qua I biến A thành D. Tập hợp điểm A thỏa
mãn điều kiện đã cho là một đường tròn hoặc một điểm hoặc rỗng. Vậy tập hợp điểm D
là đường tròn hoặc một điểm hoặc tập rỗng.
Bài toán 9
Cho hai điểm cố định A, B và số a>0. Xét các đường elip (E) đi qua A, nhận B là
tâm đối xứng và có độ dài trục lớn là 2a. Tìm tập hợp các tiêu điểm của (E).
Giải
Gọi F
1
, F
2
là hai tiêu điểm của (E). Với A’ đối xứng với A qua B, khi đó ta có:
1 1 1 1
A'F AF A'F AF 2a+ = + =
.
Vậy tập hợp các tiêu điểm là một elip nhận A, A’ làm các tiêu điểm và có độ dài trục lớn
là 2a.
Bài toán 10
Cho ba điểm A, B, C cố định trên đường tròn (O) và điểm M thay đổi trên (O). Gọi M
1
đối xứng với M qua A, M
2
đối xứng M
1
qua B, M

3
đối xứng với M
2
qua C. Tìm quỹ tích
của điểm M
3
.
Giải
Gọi D là trung điểm của M và M
1
thì AD là đường
trung bình của
1 3
MM M∆
⇒
AD//M
1
M
3
và
( )
1 3
1
1
2
AD M M=
Ta có BC là đường trung bình của
1 2 3
M M M∆ ⇒
BC//M

1
M
3
và BC=
( )
1 3
1
2
2
M M
Từ (1), (2) ta có AD//BC, AD=BC nên ABCD là hình bình hành
Ta có A, B, C cố định nên D cố định. Xét phép đối xứng tâm D là Đ
D
Đ
D
:
3
M M→
điểm M chạy trên đường tròn (O)
nên điểm M
3
chạy trên đường tròn (O')
Với (O') là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D. Vậy quỹ tích các điểm M
3
là đường tròn (O').
Bài toán 11
Cho hai điểm A, B cố định. Với mỗi đường thẳng đi qua B ta dựng điểm A’ đối
xứng với A qua d. Tìm tập hợp A’ đi qua d quay quanh B.
Giải
Gọi H là giao điểm của d với AA’, ta có

AA'BH ⊥
.
Gọi C là điểm đối xứng với A qua B, khi đó
'A C
//d, C cố định và
' 'A C A A⊥ ⇒
A’ nằm
trên đường tròn đường kính AC. Đảo lại nếu A’ là điểm nằm trên đường tròn đường kính
AC thì đường thẳng d đi qua B và trung điểm của AA’ là trục đối xứng của hai điểm A và
A’.
Bài toán 12:
Cho elip có hai tiêu điểm F
1
và F
2
. Xét đường thẳng d có một điểm chung duy nhất
M với elip và F’ là điểm đối xứng với F
2
qua d. Tìm tập hợp F khi d thay đổi.
Giải
Kí hiệu 2a là độ dài trục lớn của (E), theo định nghĩa MF
1
+MF
2
=2a. Vì F’ đối xứng với
F
2
qua d khi đó MF
1
+MF’= MF1+MF

2
=2a. Điều đó chứng tỏ M nằm trên đường thẳng
F
1
F’ và tập hợp điểm F là một đường tròn tâm F
1
, bán kính bằng 2a.
Bài toàn 13:
Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B
thuộc đường tròn. Đường tròn (I,r) tiếp xúc ngoài với
đường tròn (O;R) tại A. Một điểm M di động trên
đường tròn (O;R), tia MA cắt đường tròn (I,r) tại điểm
thứ hai C. Qua C vẽ đường thẳng song song với AB
cắt đường thẳng MB tại D. Tìm quỹ tích của điểm D.
Giải
Gọi E là giao điểm của CD với (I;r)
Vẽ tiếp tuyến chung của (O;R) và (I;r) là
xt
Ta có
·
·
·
·
; CEA=tACABM xAM=
và
·
·
xAM tAC=
·
·

ABM EDB=
do (CD//AB)
⇒
·
·
CEA EDB=
nên tứ giác ABDE là hình thang cân
Gọi d là đường trung trực đoạn thẳng AB thi d cũng là đường trung trực của đoạn ED
Phép đối xứng Đ
d
: E
→
D
Khi M di động trên đường tròn (O;R) thì E di động trên đường tròn (I;r) nên quỹ tích
điểm D là đường tròn (I';r) ảnh của đường tròn (I;r) qua phép đối xứng Đ
d
. Do đường tròn
(I;r) tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại A nên đường tròn (I';r) tiếp xúc với đường tròn
(O;R) tại B.
Bài toán 14
Cho đường tròn (O) có dây cung BC cố định và điểm A di
động trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích trực tâm H của
∆
ABC.
Giải
Ta có:
·
·
HAC CBH=
( góc có cạnh tương ứng vuông góc)

·
·
HAC KBC=
(cùng chắn cung
»
KC
)
Suy ra:
·
·
CBH CBK=
nên BC là phân giác góc
·
KBH
Mặt khác
AI BC⊥
Suy ra
∆
BHK cân tại B
⇒
HI=IK
Phép đối xứng trục BC là Đ
BC
:
K H→
Khi A chạy trên đường tròn (O) thì K cũng chạy trên đường tròn (O)
Quỹ tích điểm H là đường tròn (O), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng trục BC
C. Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp quay
( )
;Q O

ϕ
:
Phương pháp:
1. Xác định phép quay biến điểm M thành M'
2. Xác định quỹ tích của điểm M
3. Dựa vào tính chất phép quay để tìm quỹ tích của điểm M'
Bài toán 15
Cho đường tròn (O) và một điểm I không nằm trên đường tròn. Với mỗi điểm A
thay đổi trên đường tròn, ta xét hình vuông ABCD có tâm là I. Tìm quỹ tích các điểm B,
C, D
Giải
Phép đối xứng qua điểm I biến A thành C. Vậy quỹ tích C là đường tròn đối xứng
với (O) qua I.
Phép quay Q tâm I góc quay 90
0
biến A thành B( hoặc thành D), phép quay Q' tâm
I góc quay - 90
0
biến A thành D ( hoặc thành B). Vậy quỹ tích B và D là ảnh của (O) qua
hai phép quay đó.
Bài toán 16
Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a. Với mỗi điểm A nằm trên
đường thẳng a ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi
A chạy trên a.
Giải
Phép quay tâm G góc quay 120
0
biến A thành B ( hoặc C)
Phép quay tâm G góc quay 240
0

biến A thành C ( hoặc B)
Vậy quỹ tích B và C là ảnh của đường thẳng a qua hai phép quay nói trên.
Bài toán 17
Cho đường thẳng d, điểm A cố định không nằm trên d. Với mỗi điểm B
∈
d ta dựng
tam giác đều ABC. Tìm tập hợp điểm C khi B thay đổi trên đường thẳng d.
Giải
Từ điều kiện bài toán ta suy ra C là ảnh của B qua phép quay tâm A với góc quay
60
0
. Tập hợp điểm C là ảnh của d qua phép quay đó.
Bài toán 18
Cho điểm I cố định. Mọi M, M' là hai điểm sao cho
∆
IMM' vuông cân tại I.
a) Cho điểm M chạy trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích các điểm M'
b) Cho điểm M chạy trên đường thẳng d. Tìm quỹ tích các điểm M' . Gọi H là hình
chiếu của I xuống MM'. Tìm quỹ tích các điểm H.
Giải
∆
IMM' vuông cân tại I nên IM=IM' và
( )
0
, ' 90IM IM =
Suy ra M' là ảnh của M qua phép quay tâm I, góc quay 90
0
.
Tức là Q(I,90
0

):
'M M→
a) Khi
( )
M O∈
Q(I,90
0
):
'O O
→
⇒
Q(I,90
0
):
( ) ( ')O O→
Suy ra
( )
' 'M O∈
Vậy quỹ tích điểm M' là đường tròn (O') ảnh của đường
tròn (O) qua phép quay Q(I,90
0
)
b) Khi
M d∈
Gọi J là hình chiếu vuông góc của I lên d
Q(I,90
0
):
'J J→
⇒

Q(I,90
0
):
'd d
→
và
' IJ'd
⊥
tại J',
', 'd d M d M d⊥ ∈ ⇒ ∈
Vậy quỹ tích điểm M' là đường thẳng d' đi qua J' và vuông góc với d.
* Tìm quỹ tích điểm H:
Kẻ
·
0
' 45IH MM MIH⊥ ⇒ =
( Do
∆
IMM' vuông cân tại I )
Suy ra tứ giác IJMH nội tiếp đường tròn đường kính MI
·
·
0
45MJH MIH⇒ = =
( cùng chắn cung
¼
MH
)
Ta có
·

0
' 45MJJ =
(JJ' là đường chéo hình vuông OJIJ')
·
·
'MJH MJJ⇒ =
. Hai điểm H và J' nằm cùng phía đối
với đường thẳng d nên
'H JJ
∈
. Quỹ tích của điểm H là đường thẳng JJ'.
D. Tìm tập hợp điểm bằng phép vị tự:
Phương pháp:
1. Xác định phép vị tự biến điểm M thành điểm M'
2. Tìm quỹ tích của điểm M
3. Dựa vào tính chất của phép vị tự để tìm quỹ tích của điểm M'
Bài toán 19
Tam giác ABC có bán kính B, C cố định còn đỉnh A chạy trên một đường tròn
(O;R) cố định không có điểm chung với đường thẳng BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của
ABC∆
Giải
Gọi I là trung điểm của BC thì I cố định
Điểm G là trọng tâm
ABC
∆
khi và chỉ khi
1
3
IG IA=
uur uur

Phép vị tự tâm I tỉ số
1
3
biến điểm A thành điểm G.
Khi A chạy trên (O;R) thì quỹ tích g là ảnh của đường
tròn đó qua phép vị tự V, tức là đường tròn (O',R')
mà
1
'
3
IO IO=
uuur uur
và
1
'
3
R R=
Bài toán 20
Cho đường tròn (O;R) và điểm I cố định khác O. Một điểm M thay đổi trên đường
tròn. Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N.
Giải
Đặt IO=d ( d
≠
0). Theo tính chất tia phân giác của
MOI
∆
ta có:
IN IO d
NM OM R
= =

Suy ra
IN d IN d
IN NM d R IM d R
= ⇔ =
+ + +
Hai vecto
IN
uur
và
IM
uuur
cùng hướng nên
d
IN IM
d R
=
+
uur uuur
Gọi V là phép vị tự tâm I tỉ số
d
k
d R
=
+
thì V biến điểm M thành điểm N. Khi M ở vị trí
M
0
trên đường tròn (O;R) sao cho
·
0

0
0IOM =
thì tia phân giác của góc
·
0
IOM
cắt IM. Điểm
N không tồn tại. Vậy khi M chạy trên (O;R) (M không trùng M
0
) thì quỹ tích điểm N là
ảnh của (O;R) qua phép vị tự V bỏ đi ảnh của điểm M
0
.
Bài toán 21
Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và PQ
là đường kính thay đổi của (O) khác đường kính AB. Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần
lượt tại M và N.
a) CMR: Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ
b) Tìm quỹ tích các điểm M và N khi đường kính PQ thay đổi.
Giải
a) QB//AP ( vì cùng vuông góc với PB) và B là trung
điểm của AC nên Q là trung điểm của CM.
AQ//BN ( vì cùng vuông góc với AP) và B là trung điểm
của AC nên N là trung điểm của CQ.
b)
2CM CQ=
uuuur uuur

⇒
Phép vị tự V tâm C tỉ số 2 biến Q thành

M. Vì Q chạy trên đường tròn (O) ( trừ hai điểm A, B) nên
quỹ tích M là ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự V ( trừ
ảnh của A, B),
1
2
CN CQ=
uuur uuur
⇒
Quỹ tích N là ảnh của đường tròn (O) qua phép vị tự V tâm
C, tỉ số
1
2
( trừ ảnh của A, B).
Bài toán 22
Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định. Một dây cung BC thay đổi của (O;R) có
độ dài không đổi, BC=m. Tìm quỹ tích các điểm G sao cho
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
Giải
Gọi I là trung điểm của BC
2
0
3
GA GB GC AG AI+ + = ⇔ =
uuur uuur uuur r uuur uur
⇒
Phép vị tự V tâm A tỉ số
2
3
biến điểm I thành điểm G

V
vuông OIB: OI=
2
2 2 2
'
4
m
OB IB R R− = − =
( không đổi)
Nên quỹ tích I là đường tròn (O;R’) hoặc là điểm O ( nếu m=2R). Do đó quỹ tích G là
ảnh của quỹ tích I qua phép vị tự V.
Bài toán 23
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng thay đổi đi
qua A cắt (O) ở A và M, cắt (O') tại A và M'. Gọi P và P' lền lượt là trung điểm của AM
và AM'.
a) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng PP'
b) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MM'
Giải
a) Gọi Q là trung điểm của OO' thì
QI IA⊥ ⇒
Quỹ tích
I là đường tròn đường kính AQ
b) Vì J là trung điểm MM' nên
( )
1
AJ ' ' 2
2
AM AM AP AP AI= + = + =
uur uuuur uuuuur uuur uuuur uur
Vậy phép vị tự tâm A tỉ số 2 biến điểm I thành

điểm J
Do đó quỹ tích J là ảnh của đường tròn đường kính AQ qua phép vị tự đó.
Bài toán 24
Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn đó. Một đường thẳng
thay đổi đi qua P, cắt (O) tại điểm A và B. Tìm quỹ tích điểm M sao cho
PM PA PB= +
uuuur uuur uuur
Giải
Gọi I là trung điểm của đoạn AB
( )
1
2
PI PA PB⇒ = +
uur uuur uuur
do đó
2PM PA PB PI= + =
uuuur uuur uuur uur
Gọi V là phép vị tự tâm P tỉ số k =2 thì V biến điểm I
thành điểm M
Vì I là trung điểm của AB nên
OI AB⊥
. Suy ra quỹ
tích điểm I là đường tròn (C) đường kính PO.
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn (C') ảnh của (C) qua phép vị tự V. Nếu O' là điểm
sao cho
' 2PO PO=
uuuur uuur
thì (C') là đường tròn đường kính PO'
Bài toán 25
Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Với mỗi điểm M thuộc d ta xác định điểm N

sao cho
2 3MN MA MB MC= + +
uuuur uuur uuur uuuur
. Tìm tập hợp điểm N, khi điểm M thay đổi trên d.
Giải
Gọi I là điểm có tính chất:
2 3 0IA IB IC+ + =
uur uur uur r
⇒
I là điểm cố định. Vì vậy
6 5MN MI IN IM= ⇒ = −
uuuur uuur uur uuur
⇒
N là ảnh của M qua phép vị tự tâm I, tỉ số k=-5
Vậy tập hợp N là đường thẳng d’ nhận được từ d qua phép vị tự đó.
Bài toán 26
ABC
∆
và điểm M thuộc cạnh AB. Qua M vẽ các đường thẳng song song với trung
tuyến AA
1
và BB
1
cắt BC, CA tại P và Q. Tìm quỹ tích các điểm S sao cho tứ giác MPSQ
là hình bình hành.
Giải
Gọi E, F lần lượt là giao điểm của MQ, MP với AA
1
, BB
1

.
G là trọng tâm
ABC∆
. Khi đó:
1
2 2
1 3 3
ME MQ ME BG
ME MQ
BG BB MQ BB
= ⇒ = = ⇒ =
uuur uuuur

Tương tự
2
3
MF MP=
uuur uuur
2 2 2
3 3 3
MG ME EG ME MF MQ MP MG
= + = + = + =
uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur

1
2
GS GM⇒ = −
uuur uuuur

Suy ra S là ảnh của M qua phép vị tự tâm G, tỉ số k=

1
2
−
. Khi M thuộc cạnh AB thì S
thuộc đoạn A
1
B
1
là ảnh của AB qua V
1
;
2
G
 
−
 ÷
 

Vậy quỹ tích S là đoạn thẳng A
1
B
1
.
Bài toán 27
Gọi P, Q, R là các điểm đối xứng với điểm M qua trung điểm các cạnh của
ABC∆
a) Chứng minh rằng các đoạn thẳng AP, BQ, CR cắt nhau tại trung điểm I của
chúng
b) Khi M chạy trên đường tròn ngoại tiếp
ABC

∆
, tìm quỹ tích điểm I.
Giải
a) Ta có
2 , 2 , 2MP MJ MQ MK MR ML= = =
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur

( )
;2 :V M JKL PQR⇒ ∆ → ∆

Gọi G là trọng tâm
ABC
∆
thì V
1
;
2
G
 
−
 ÷
 
:
ABC PQR∆ → ∆
mà
( )
;2V M
.V
1
;

2
G
 
−
 ÷
 
=V(1;-1)
Suy ra I là trung điểm các đoạn thẳng AP, BQ, CR
b) Ta có G, M và I thẳng hàng
MI⇒
cắt AJ tại G
⇒
G là trọng tâm
AMP∆
⇒
1
2
GI GM= −
uur uuuur

1
; :
2
V G M I
 
⇒ − →
 ÷
 

M thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp

ABC∆
nên quỹ tích các điểm I là đường tròn (O) ngoại
tiếp
JKL
∆
E. Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp đồng dạng:
Phương pháp: Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp đối xứng tâm
Bài toán 28
Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên đường tròn
đó. Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D
Giải
Gọi AR là đường kính của (O) và PQ là đường kính của
(O) vuông góc với AR ((AR,AP)=45
0
)
⇒
Phép đồng dạng F biến AR thành AP. Vậy quỹ tích
B là đường tròn đường kính AP. Tương tự quỹ tích D là
đường tròn đường kính AQ.
( Lưu ý: F là hợp thành của phép vị tự tâm A tỉ số k =
2
2

và phép quay tâm A góc quay 45
0
)
Bài toán 29:
Cho đường tròn (O), đường kính AB=2R. M là một điểm bất kỳ trên (O), dựng
hình vuông AMNP có các đỉnh theo chiều dương. Tìm quỹ tích các điểm N
Giải

Ta có
2AN AM=
và (AM, AN)=45
0
Phép quay Q(A;45
0
): M
→
M
1
Phép vị tự V(A;
2
): M
1

→
N
( )
( )
0
; 2 . ;45 :V A Q A M N⇒ →

M thuộc đường tròn (O), đường kính AB=2R nên N
thuộc đường tròn (O') là ảnh của (O) qua phép
đồng dạng là hợp thành của
( )
; 2V A
và
( )
0

;45Q A

có tâm O' là trung điểm của cung AB và bán kính R'=
2R

Bài toán 30:
Cho điểm A cố định chạy trên đường tròn (O) và
ABC∆
vuông cân tại C, B di động
trên đường tròn (O)
a)CMR đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm quỹ tích các điểm C
Giải
gọi A' đối xứng với A qua tâm O và BC cắt (O) tại I.
Phép quay
( )
0
;45Q A
: B
→
B
1
A
→
I
1
thì BA'=B
1
I
1

và (BA',B
1
I
1
)=45
0
Phép vị tự V
1
2
; :
2
A B C
 
→
 ÷
 ÷
 

I
1

→
I
2
1 1
2 2 2
2 2 2
AC AB AC AB AB⇒ = ⇒ = =

Phép hợp thành V

2
;
2
A
 
 ÷
 ÷
 
.Q(A;45
0
): B
→
C
A'
→
I
2
Ta có
ABC∆
vuông cân tại C nên
2
'AA I∆
vuông cân tại I
2

2
I⇒
là trung điểm của cung
¼
AA'

thì I
2
cố định
Mặt khác, (BA',CI
2
)=45
0
, (BA',CB)=45
0
2 2
I BC I I⇒ ∈ ⇒ ≡

Vậy đường thẳng BC luôn đi qua điểm cố định I.
b) Ta có: Phép hợp thành
( )
0
2
; . ,45 :
2
V A Q A B C
 
→
 ÷
 ÷
 
điểm B thuộc đường tròn (O) nên
điểm C thuộc đường tròn (O') là ảnh của (O) qua phép đồng dạng trên. Vậy quỹ tích của
điểm C là đường tròn (O'), đường kính AI.
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1
Cho đường tròn cố định (O;R) và một dây cung cố định AB, M là điểm di động trên
đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích trực tâm H của
MAB∆

Hướng dẫn:
N là điểm đối xứng với M qua O
⇒
Tứ giác AHBN là hình bình hành
⇒
I là trung
điểm của AB và HN.
Trong
MHN∆
, OI là đường trung bình
⇒

2MH OI=
uuuur uur

⇒
2
:
OI
T M H→
uuur

Quỹ tích của H là đường tròn (O'), ảnh của (O) qua phép tịnh tiến
2OI
T

uuur
.
Bài 2
Cho đường tròn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi. Các
đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến B lần lượt tại P và Q. Tìm quỹ tích trực tâm các
tam giác MPQ và NPQ.
Hướng dẫn:
Cho H, H
1
lần lượt là trực tâm
MPQ∆
và
NPQ∆
Ta có
, / /HM PQ AB PQ AO HM⊥ ⊥ ⇒

AO
⇒
là đường trung bình của
2HMN MH OA∆ ⇒ =
uuuur uuur
Ta có
1 1
, / /H N PQ AB PQ AO H N⊥ ⊥ ⇒

1
2NH OA⇒ =
uuuur uuur

Phép tịnh tiến

2OA
T
uuur
: M
H→

N
1
H→
M, N thuộc đường tròn tâm O, đường kính AB nên H, H
1
thuộc đường tròn (O') là
ảnh của (O) qua phép tịnh tiến
2OA
T
uuur
Vậy quỹ tích của H, H
1
là đường tròn (O')
Bài 3
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp
ABC
∆
, đi qua điểm cố định P và hai đỉnh B, C thuộc
đường thẳng cố định, trực tâm H cố định. Tìm quỹ tích tâm O của đường tròn (O).
Hướng dẫn:
Gọi A' là điểm đối xứng với H qua đường thẳng cố định a thì A' cố định. Ta có
OA'=OP nên O thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng A'P. Suy ra quỹ tích của tâm O
là đường thẳng d.
Bài 4

Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên đường tròn. Với mỗi điểm A thay
đổi trên đường tròn, xét hinh vuông ABCD có tâm I. Tìm quỹ tích các điểm B, C, D.
Hướng dẫn
Ta có
0 :
I
IA IB D A C+ = ⇒ →
uur uur r

mà
( )
A O∈
nên
( ) ( )
1
:
I
D O O→
và
( )
1
C O∈
Quỹ tích điểm C là đường tròn (O
1
) ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm Đ
I
.
Ta có IA=IB và (IA, IB)=90
0

( )
0
;90 :Q I A B⇒ →

Quỹ tích của điểm B là đường tròn (O
2
), ảnh của đường tròn (O) qua phép quay Q(I,90
0
)
Ta có IA=ID và (IA, ID)=90
0

( )
0
; 90 :Q I A D⇒ − →
Quỹ tích của điểm D là đường tròn (O
3
), ảnh của (O) qua phép quay
( )
0
; 90Q I −
Bài 5
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R và M là điểm chuyển động trên
đường tròn đó. Dựng phía ngoài
AMB∆
một hình vuông MBCD. Tìm quỹ tích của điểm C
Hướng dẫn:
Ta có BM=BC và (BM, BC)=90
0

( )
0
;90 :Q B M C⇒ →
M thuộc nửa đường tròn đường kính AB=2R
Suy ra quỹ tích của điểm C là nửa đường tròn đường kính BA'=2R là ảnh của nửa đường
tròn đường kính AB=2R qua phép quay
( )
0
;90Q B
Bài 6
Cho
ABC
∆
nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm cạnh BC, B và C di động trên đường
tròn (O), A cố định
a) Tìm quỹ tích trọng tâm G của
ABC
∆
b) Phân giác góc
·
BAC
cắt BC tại I và cắt đường tròn (O) tại D. Tìm quỹ tích điểm G khi I
và D cố định.
Hướng dẫn:
a) Ta có
2
3
AG AM=
uuur uuuur
và

2 2
OM R a= −
nên M thuộc đường tròn (O), bán kính
2 2
r R a= −
Suy ra
( ) ( )
2
; : ; '; '
3
V A O r O r
 
→
 ÷
 
với
2 2
2
'
3
r R a= −

Vậy quỹ tích của điểm G là đường tròn (O';r')
b) Ta có AD là phân giác
·
BAC
» »
BD CD OD BC⇒ = ⇒ ⊥
tại M
·

0
90IMD⇒ =
nên M thuộc đường
tròn đường kính ID. Gọi (C) là đường tròn đường kính ID và (C') là ảnh của (C) qua
2
;
3
V A
 
 ÷
 
thì quỹ tích của G là đường tròn (C') có tâm J' là ảnh của J (J là trung điểm ID)
qua
2
;
3
V A
 
 ÷
 
Bài 7
Cho
ABC
∆
có 2 điểm cố định B và C. Các đường trung tuyến BN và CM vuông góc
với nhau. Tìm quỹ tích các điểm A.
Hướng dẫn:
Gọi G là trọng tâm
ABC∆
ta có

3OA OG=
uuur uuur
(O là trung điểm BC)
( )
;3 :V O G A⇒ →

Ta có
·
0
90BN CM BGC G⊥ ⇒ = ⇒
thuộc đường tròn (O) đường kính BC nên
( ) ( ) ( )
;3 : 'V O O O→
với (O') là đường tròn tâm O', bán kính OA=3OG
Vậy quỹ tích điểm A là đường tròn (O')
Bài 8
Cho đoạn thẳng AB cố định và M là điểm di động trên đoạn thẳng, vẽ cùng phía
đối với đoạn thẳng AB. Các tam giác đều AMP, QMB, AP cắt BQ tại C.
a) Tìm quỹ tích trung điểm I của PQ
b) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp
CPQ∆
Hướng dẫn:
a)
,AMP BMQ∆ ∆
đều
·
·
0
60PAM QBM⇒ = =

ABC⇒ ∆
đều
/ /CQ PM⇒
và CP//QM
⇒
Tứ giác CPMQ là hình bình hành
⇒
I là trung điểm CM
⇒
1
2
CI CM=
uur uuuur
, ta có AB cố định nên C cố định
1 1
; : ; :
2 2
V C M I V C AB HF
   
→ ⇒ →
 ÷  ÷
   
uuur uuur

Vậy quỹ tích của điểm I là đoạn HF, HF//AB,
1
2
HF AB=
b) Tứ giác CPMQ là hình bình hành nên
CPQ∆

và
MQP∆
đối xứng nhau qua tâm I của
hình bình hành CPMQ, gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp
CPQ∆
và O là tâm đường tròn
ngoại tiếp
ABC
∆
Ta có đường trung trực của BC cũng là đường trung trực của MP và đường trung trực của
AC cũng là đường trung trực của MQ suy ra O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp
MQP∆

nên O cố định và
2OJ OI=
uuur uur

( ) ( )
;2 : ;2 :V O I J V O HF DE⇒ → ⇒ →
uuur uuur

Quỹ tích của điểm J là đoạn thẳng DE, DE=2HF và DE//HF
DE AB⇒ =
và DE//AB.
Bài 9
Trong mp Oxy cho điểm A(-a;0), B(a;0) với a>0. Gọi (C) là đường tròn đường kính
AB và M là điểm di động trên (C). Gọi S là điểm đối xứng với A qua M
a) Tìm quỹ tích các điểm S
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp
ASB∆

. Tìm quỹ tích các điểm I.
Hướng dẫn:
a) Phép vị tự
( )
; 1 :V A M S− →
Quỹ tích của S là đường tròn (O
1
), ảnh của (O) qua
( )
; 1V A −
Phương trình đường tròn (O): x
2
+y
2
=a
2
Biểu thức giải tích của
( )
; 1V A −
là
' - - 2
' -
x a a
y y
=


=


nên phương trình của đường tròn (O
1
) là :
( ) ( )
2
2 2
2 *x a y a+ + =

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp
ASB∆
là trung điểm I của SB