Bài giảng Đại số tuyến tính Chương 2 Không gian vectơ

Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương II
KHÔNG GIAN VECTƠ

158


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương II
KHƠNG GIAN VECTƠ
Trong mơn hình học giải tích (sơ cấp) ở trường phổ thơng trung
học, bạn đọc đã làm quen với các vectơ tự do và các phép toán
trên chúng. Tập hợp các vectơ tự do trong không gian cùng với
phép cộng các vectơ và nhân một số thực với một vectơ có rất
nhiều tính chất, trong đó có 8 tính chất cơ bản:
(1) (x + y) + z = x + (y + z);
(2) x + 0 = 0 + x = x;
(3) x + (−x = (−x) + x = 0;

(4) x + y = y + x;

(5) λ(x + y) = λx + λy;

(6) (λ + µ)x = λx + µx;

(7) (λµ)x = λ(µx);

(8) 1x = x,

với mọi bộ ba vectơ tự do x, y, z tuỳ ý; mọi cặp số thực λ, µ bất kỳ.

158


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương II
KHƠNG GIAN VECTƠ
Trong mơn hình học giải tích (sơ cấp) ở trường phổ thơng trung
học, bạn đọc đã làm quen với các vectơ tự do và các phép toán
trên chúng. Tập hợp các vectơ tự do trong không gian cùng với
phép cộng các vectơ và nhân một số thực với một vectơ có rất
nhiều tính chất, trong đó có 8 tính chất cơ bản:
(1) (x + y) + z = x + (y + z);
(2) x + 0 = 0 + x = x;
(3) x + (−x = (−x) + x = 0;

(4) x + y = y + x;

(5) λ(x + y) = λx + λy;

(6) (λ + µ)x = λx + µx;

(7) (λµ)x = λ(µx);

(8) 1x = x,

với mọi bộ ba vectơ tự do x, y, z tuỳ ý; mọi cặp số thực λ, µ bất kỳ.

158

Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Nhắc lại rằng tập hợp các ma trận cấp m × n trên trường K,
Mm,n (K) (K là trường số thực hay trường số phức) cùng với phép
cộng các ma trận và nhân một số của K với một ma trận cũng có
8 tính chất tương tự. Sự giống nhau cơ bản đó của tập hợp các
vectơ tự do trong không gian và tập Mm,n (K) cũng như nhiều mơ
hình khác thường gặp trong tốn học đã dẫn đến việc tổng qt
hố thành khái niệm khơng gian vectơ mà chúng ta sẽ nghiên
cứu trong chương này.

159


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
§1 : KHÁI NIỆM VỀ KHƠNG GIAN VECTƠ

160


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
§1 : KHÁI NIỆM VỀ KHƠNG GIAN VECTƠ

1 Định nghĩa không gian vectơ.

160


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
§1 : KHÁI NIỆM VỀ KHƠNG GIAN VECTƠ

1 Định nghĩa không gian vectơ.
Cho V là một tập hợp khác rỗng mà các phần tử được gọi là các
”vectơ” và được kí hiệu bởi a, b, c, ..., u, v, x, y, z, t, ... . K là trường
số (thực hay phức) mà các số từ K còn được gọi là các ”vơ
hướng” và được kí hiệu bởi λ, µ, γ... Giả sử đã cho hai phép toán:

160


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
§1 : KHÁI NIỆM VỀ KHƠNG GIAN VECTƠ

1 Định nghĩa không gian vectơ.
Cho V là một tập hợp khác rỗng mà các phần tử được gọi là các
”vectơ” và được kí hiệu bởi a, b, c, ..., u, v, x, y, z, t, ... . K là trường
số (thực hay phức) mà các số từ K còn được gọi là các ”vơ
hướng” và được kí hiệu bởi λ, µ, γ... Giả sử đã cho hai phép toán:
- Phép cộng hai vectơ
V ×V

→V

(x, y)

→x+y

160


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân

§1 : KHÁI NIỆM VỀ KHƠNG GIAN VECTƠ

1 Định nghĩa không gian vectơ.
Cho V là một tập hợp khác rỗng mà các phần tử được gọi là các
”vectơ” và được kí hiệu bởi a, b, c, ..., u, v, x, y, z, t, ... . K là trường
số (thực hay phức) mà các số từ K còn được gọi là các ”vơ
hướng” và được kí hiệu bởi λ, µ, γ... Giả sử đã cho hai phép toán:
- Phép cộng hai vectơ
V ×V

→V

(x, y)

→x+y

160


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
- Phép nhân một vô hướng với một vectơ
VK×V

→V

(λ, x)

→ λx .

Ta bảo V cùng với hai phép tốn trên lập thành một khơng gian

vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây
được thoả mãn:

161


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
- Phép nhân một vô hướng với một vectơ
VK×V

→V

(λ, x)

→ λx .

Ta bảo V cùng với hai phép tốn trên lập thành một khơng gian
vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây
được thoả mãn:
(1) (x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
(2) ∃0V ∈ V sao cho x + 0V = 0V + x = x; ∀x ∈ V ;
(3) ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0V ;
(4) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ;
(5) λ(x + y) = λx + λy; ∀x, y ∈ V ; ∀λ ∈ K;
(6) (λ + µ)x = λx + µx; ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K;
(7) (λµ)x = λ(µx); ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K;
(8) 1.x = x ∀x ∈ V .
161

Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
- Phép nhân một vô hướng với một vectơ
VK×V

→V

(λ, x)

→ λx .

Ta bảo V cùng với hai phép tốn trên lập thành một khơng gian
vectơ trên K, hay K - không gian vectơ, nếu 8 tiên đề sau đây
được thoả mãn:
(1) (x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ V ;
(2) ∃0V ∈ V sao cho x + 0V = 0V + x = x; ∀x ∈ V ;
(3) ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0V ;
(4) x + y = y + x; ∀x, y ∈ V ;
(5) λ(x + y) = λx + λy; ∀x, y ∈ V ; ∀λ ∈ K;
(6) (λ + µ)x = λx + µx; ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K;
(7) (λµ)x = λ(µx); ∀x ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K;
(8) 1.x = x ∀x ∈ V .
161


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
∗ Vectơ 0V ∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V
và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu khơng sợ nhầm lẫn.
Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x.

162

Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
∗ Vectơ 0V ∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V
và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu khơng sợ nhầm lẫn.
Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x.
∗ Nhờ tiên đề (1) ta có thể viết x + y + z thay cho một trong hai
vế của (1) và còn được gọi là tổng của x, y, z Tổng quát hơn ta có
thể xét tổng n vectơ (n ≥ 2): x1 + x2 + ... + xn và kí hiệu là
n

xi . Tổng này đương nhiên không phụ thuộc vào thứ tự lấy tổng
i=1

theo tiên đề (4).

162


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
∗ Vectơ 0V ∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V
và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu khơng sợ nhầm lẫn.
Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x.
∗ Nhờ tiên đề (1) ta có thể viết x + y + z thay cho một trong hai
vế của (1) và còn được gọi là tổng của x, y, z Tổng quát hơn ta có
thể xét tổng n vectơ (n ≥ 2): x1 + x2 + ... + xn và kí hiệu là
n

xi . Tổng này đương nhiên không phụ thuộc vào thứ tự lấy tổng
i=1

theo tiên đề (4).
∗ Tổng x + (−y) còn được viết là x − y và gọi là hiệu của x và y.

162


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
∗ Vectơ 0V ∈ V trong tiên đề (2) được gọi là vectơ không của V
và thường được kí hiệu đơn giản là 0 nếu khơng sợ nhầm lẫn.
Vectơ −x ∈ V trong tiên đề (3) được gọi là vectơ đối của x.
∗ Nhờ tiên đề (1) ta có thể viết x + y + z thay cho một trong hai
vế của (1) và còn được gọi là tổng của x, y, z Tổng quát hơn ta có
thể xét tổng n vectơ (n ≥ 2): x1 + x2 + ... + xn và kí hiệu là
n

xi . Tổng này đương nhiên không phụ thuộc vào thứ tự lấy tổng
i=1

theo tiên đề (4).
∗ Tổng x + (−y) còn được viết là x − y và gọi là hiệu của x và y.
∗ Khi K = R (hay C) thì V được gọi là không gian vectơ thực (hay
phức).

162


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
2 Ví dụ.

163


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
2 Ví dụ.
Example 2.1. Hiển nhiên tập hợp các vectơ tự do trong không gia
(được giới thiệu ở phổ thông) với phép cộng các vectơ vừa phép
nhân một số thực với một vectơ là một không gian vectơ thực.

163


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
2 Ví dụ.
Example 2.1. Hiển nhiên tập hợp các vectơ tự do trong không gia
(được giới thiệu ở phổ thông) với phép cộng các vectơ vừa phép
nhân một số thực với một vectơ là một không gian vectơ thực.
Example 2.2. Tập hợp V = Mm,n (K cùng với phép cộng các ma
trận và nhân một số thuộc K với một ma trận cũng là một K không gian vectơ. Mỗi ma trận cấp m × n trên K là một vectơ;
vectơ không là ma trận 0m,n ; vectơ đối của A ∈ V = Mm,n (K)
chính là ma trận −A.

163


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
2 Ví dụ.
Example 2.1. Hiển nhiên tập hợp các vectơ tự do trong không gia
(được giới thiệu ở phổ thông) với phép cộng các vectơ vừa phép
nhân một số thực với một vectơ là một không gian vectơ thực.

Example 2.2. Tập hợp V = Mm,n (K cùng với phép cộng các ma
trận và nhân một số thuộc K với một ma trận cũng là một K không gian vectơ. Mỗi ma trận cấp m × n trên K là một vectơ;
vectơ không là ma trận 0m,n ; vectơ đối của A ∈ V = Mm,n (K)
chính là ma trận −A.
Example 2.3. Lũy thừa Descartes
Kn = {(x1 , x2 , ...xn ) | x1 , x2 , ..., xn ∈ K, n ∈ N+ }
là một K không gian vectơ với phép cộng và phép nhân với vô
163


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
hướng định nghĩa một cách tự nhiên như sau:
x+y = (x1 , x2 , ...xn )+(y1 , y2 , ..., yn ) = (x1 +y1 , x2 +y2 , ..., xn +yn );
λx = λ(x1 , x2 , ..., xn ) = (λx1 , λx2 , ..., λxn );
∀x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Kn ; ∀λ ∈ K.
Với mỗi vectơ là một bộ sắp thứ tự (x1 , x2 , ..., xn ) gồm n vô
hướng (thuộc K); vectơ không là bộ 0Kn = (0, 0, ..., 0) gồm n số
không; vectơ đối của
x = (x1 , x2 , ..., xn ) ⇒ −x = (−x1 , −x2 , ..., −xn )
. Không gian Kn thường được gọi là ”không gian các vectơ hàng
n chiều trên K”. Tên gọi này xuất phát từ việc đồng nhất Kn với
không gian M1,n (K), tức là đồng nhất mỗi phần tử
x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ K với [x1 , x2 , ..., xn ] ∈ M1,n (K).
Ngồi ra cịn có thể đồng nhất Kn với không gian Mn,1 (K) các
164


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
ma trận cột n phần tử trên K, tức là xem
 phần tử

 mỗi

x
 1
 
 x2 
n
 ∈ Mn,1 (K). Lúc đó
(x1 , x2 , ..., xn của K như ma trận cột 
 .. 
 . 
 
xn
cũng gọi Kn là không gian cácv vectơ cột n chiều trân K.
Không gian Kn là một K - không gian vectơ ”mẫu” trong các
nghiên cứu của chúng ta từ nay về sau. Đăc biệt
R2 (K = R, n = 2) và R3 (K = R, n = 3) có thể được đồng nhất
một cách hiển nhiên với mặt phẳng tọa độ xOy và không gian tọa
độ Oxyz tương ứng. Nhờ đó, nhiều vấn đề trừu tượng trong một
khơng gian vectơ tổng quát có thể diển tả một cách trực quan
trong mơ hình R2 = xOy hay R3 = Oxyz.

165


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
ma trận cột n phần tử trên K, tức là xem
 phần tử
 mỗi

x
 1
 
 x2 
n
 ∈ Mn,1 (K). Lúc đó
(x1 , x2 , ..., xn của K như ma trận cột 
.
 . 
 . 
 
xn
cũng gọi Kn là không gian cácv vectơ cột n chiều trân K.
Không gian Kn là một K - không gian vectơ ”mẫu” trong các
nghiên cứu của chúng ta từ nay về sau. Đăc biệt
R2 (K = R, n = 2) và R3 (K = R, n = 3) có thể được đồng nhất
một cách hiển nhiên với mặt phẳng tọa độ xOy và không gian tọa
độ Oxyz tương ứng. Nhờ đó, nhiều vấn đề trừu tượng trong một
khơng gian vectơ tổng quát có thể diển tả một cách trực quan
trong mơ hình R2 = xOy hay R3 = Oxyz.
Example 2.4. Tập hợp K[x] các đa thức một biến x với hệ số
165


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
trong K cùng với phép cộng các đa thức và nhân một số của K
với một đa thức là một K - không gian vectơ. Mỗi đa thức là một
vectơ, vectơ không là đa thức hằng không, vectơ đối của
p(x) ∈ K[x] là đa thức −p(x).

166


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
trong K cùng với phép cộng các đa thức và nhân một số của K
với một đa thức là một K - không gian vectơ. Mỗi đa thức là một
vectơ, vectơ không là đa thức hằng không, vectơ đối của
p(x) ∈ K[x] là đa thức −p(x).
Chú ý: Để chứng minh một tập hợp cùng với hai phép toán cộng
và nhân khơng phải là một khơng gian vectơ thì ta chỉ cần chỉ ra
các phép tốn đó khơng thỏa mãn 1 trong 8 tiên đề.

166