Bài giảng Đại số tuyến tính Chương 4 Dạng toàn phương trên RN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (239.08 KB, 131 trang )
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương IV
DẠNG TỒN PHƯƠNG TRÊN RN
§1 DẠNG TỒN PHƯƠNG
347
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương IV
DẠNG TỒN PHƯƠNG TRÊN RN
§1 DẠNG TỒN PHƯƠNG
1 Các khái niệm.
Definition 1.1. (Dạng tồn phương)
Trong khơng gian vectơ Rn cho cơ sở β = {e1 , e2 , ..., en }. Với mỗi
vectơ x ∈ Rn ta có (x)β = (x1 , x2 , ..., xn ). Một ánh xạ q : Rn → R
xác định bởi
347
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
q(x) = q(x1 , x2 , ..., xn ) =
xi xj
1≤i,j≤n
được gọi là một dạng toàn phương trên Rn ứng với cơ sở β.
Khi đó (1.1) cũng được gọi là biểu thức toạ độ của dạng toàn
phương q ứng với cơ sở β.
348
(1.1)
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
q(x) = q(x1 , x2 , ..., xn ) =
xi xj
(1.1)
1≤i,j≤n
được gọi là một dạng toàn phương trên Rn ứng với cơ sở β.
Khi đó (1.1) cũng được gọi là biểu thức toạ độ của dạng toàn
phương q ứng với cơ sở β.
Definition 1.2. (Ma trận của dạng toàn phương)
Cho dạng toàn phương (1.1), được xác định như trong Định nghĩa
1.1. Ma trận A = (aij )n được xác định bởi
348
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
b
ij
aij =
1 bij
2
nếu
i=j
nếu
i=j
được gọi là ma trận của dạng toàn phương q cho bởi (1.1).
349
(1.2)
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
b
ij
aij =
1 bij
2
nếu
i=j
nếu
i=j
được gọi là ma trận của dạng toàn phương q cho bởi (1.1).
Nhận xét:
349
(1.2)
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
b
ij
aij =
1 bij
2
nếu
i=j
nếu
i=j
(1.2)
được gọi là ma trận của dạng toàn phương q cho bởi (1.1).
Nhận xét:
(1) Từ hai định nghĩa ta có thể viết biểu thức toạ độ dưới dạng ma
trận
q(x) = (x)β A[x]β .
349
(1.3)
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
b
ij
aij =
1 bij
2
nếu
i=j
nếu
i=j
(1.2)
được gọi là ma trận của dạng toàn phương q cho bởi (1.1).
Nhận xét:
(1) Từ hai định nghĩa ta có thể viết biểu thức toạ độ dưới dạng ma
trận
q(x) = (x)β A[x]β .
(2) Ma trận A của dạng toàn phương là ma trận đối xứng.
349
(1.3)
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
b
ij
aij =
1 bij
2
nếu
i=j
nếu
i=j
(1.2)
được gọi là ma trận của dạng toàn phương q cho bởi (1.1).
Nhận xét:
(1) Từ hai định nghĩa ta có thể viết biểu thức toạ độ dưới dạng ma
trận
q(x) = (x)β A[x]β .
(1.3)
(2) Ma trận A của dạng toàn phương là ma trận đối xứng.
(3) q : Rn → R là một dạng toàn phương khác hằng không trên
Rn khi và chỉ khi q(x1 , x2 , ..., xn ) là một đa thức đẳng cấp bậc hai
của n biến x1 , x2 , ..., xn .
349
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
b
ij
aij =
1 bij
2
nếu
i=j
nếu
i=j
(1.2)
được gọi là ma trận của dạng toàn phương q cho bởi (1.1).
Nhận xét:
(1) Từ hai định nghĩa ta có thể viết biểu thức toạ độ dưới dạng ma
trận
q(x) = (x)β A[x]β .
(1.3)
(2) Ma trận A của dạng toàn phương là ma trận đối xứng.
(3) q : Rn → R là một dạng toàn phương khác hằng không trên
Rn khi và chỉ khi q(x1 , x2 , ..., xn ) là một đa thức đẳng cấp bậc hai
của n biến x1 , x2 , ..., xn .
(4) Nếu cho một dạng toàn phương mà khơng nhắc tới cơ sở thì
349
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
ta ngầm hiểu dạng tồn phương đó được cho trong cơ sở chính
tắc của Rn .
350
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
ta ngầm hiểu dạng tồn phương đó được cho trong cơ sở chính
tắc của Rn .
Example 1.1. Cho ánh xạ q : R3 → R xác định bởi
q(x, y, z) = 3x2 + 4xy − 2xz + y 2 + 6yz − 2z 2 , ∀(x, y, z) ∈ R3 .
Vì q(x, y, z) là một đa thức đẳng cấp bậc hai của ba biến thực
x, y, z nên q là một dạng toàn phương 3 biến thực. Theo cơng
thức (1.2) ta có ma trận của q trong cơ sở chính tắc ζ(3) của R3 là
3 2 −1
A= 2 1 3 .
−1 3 −2
350
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
ta ngầm hiểu dạng tồn phương đó được cho trong cơ sở chính
tắc của Rn .
Example 1.1. Cho ánh xạ q : R3 → R xác định bởi
q(x, y, z) = 3x2 + 4xy − 2xz + y 2 + 6yz − 2z 2 , ∀(x, y, z) ∈ R3 .
Vì q(x, y, z) là một đa thức đẳng cấp bậc hai của ba biến thực
x, y, z nên q là một dạng toàn phương 3 biến thực. Theo cơng
thức (1.2) ta có ma trận của q trong cơ sở chính tắc ζ(3) của R3 là
3 2 −1
A= 2 1 3 .
−1 3 −2
Example 1.2. Ánh xạ q : R3 → R, (x, y, z) → xy − xz + yz, cũng
là một dạng toàn phương 3 biến thực với ma trận trong cơ sở
350
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
chính tắc là
0
1/2 −1/2
A = 1/2
0
1/2 .
−1/2 1/2
0
351
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
chính tắc là
0
1/2 −1/2
A = 1/2
0
1/2 .
−1/2 1/2
0
Example 1.3. Ánh xạ f : R3 → R, (x, y, z) → x2 + y − z 2 ,
khơng là một dạng tồn phương ba biến thực vì f (x, y, z) không
phải là đa thức đẳng cấp bậc hai của ba biến x, y, z. Cụ thể nó
chứa đơn thức bậc nhất y.
351
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
2 Sự thay đổi của ma trận và biểu thức toạ độ
khi đổi cơ sở.
352
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
2 Sự thay đổi của ma trận và biểu thức toạ độ
khi đổi cơ sở.
Giả sử trong không gian vectơ Rn đã cho hai cơ sở
β = {e1 , e2 , ..., en } và β ′ = {e′1 , e′2 , ..., e′n }, q là một dạng toàn
phương trên Rn . Gọi A, A′ tương ứng là ma trận của q trong β và
β ′ , C là ma trận chuyể cơ sở từ β sang β ′ . Công thức đổi toạ độ
từ β sang β ′ cho ta
[x]β = C[x]β ′ ⇒ (x)β = [x]Tβ = (C[x]β ′ )T = (x)β ′ C T , ∀x ∈ Rn .
352
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
2 Sự thay đổi của ma trận và biểu thức toạ độ
khi đổi cơ sở.
Giả sử trong không gian vectơ Rn đã cho hai cơ sở
β = {e1 , e2 , ..., en } và β ′ = {e′1 , e′2 , ..., e′n }, q là một dạng toàn
phương trên Rn . Gọi A, A′ tương ứng là ma trận của q trong β và
β ′ , C là ma trận chuyể cơ sở từ β sang β ′ . Công thức đổi toạ độ
từ β sang β ′ cho ta
[x]β = C[x]β ′ ⇒ (x)β = [x]Tβ = (C[x]β ′ )T = (x)β ′ C T , ∀x ∈ Rn .
Suy ra
q(x) = (x)β A[x]β = (x)β ′ (C T AC)[x]β ′ = (x)β ′ A′ [x]β ′ .
Suy ra A và A′ tương đương với nhau và rankA = rankA′ .
352
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
2 Sự thay đổi của ma trận và biểu thức toạ độ
khi đổi cơ sở.
Giả sử trong không gian vectơ Rn đã cho hai cơ sở
β = {e1 , e2 , ..., en } và β ′ = {e′1 , e′2 , ..., e′n }, q là một dạng toàn
phương trên Rn . Gọi A, A′ tương ứng là ma trận của q trong β và
β ′ , C là ma trận chuyể cơ sở từ β sang β ′ . Công thức đổi toạ độ
từ β sang β ′ cho ta
[x]β = C[x]β ′ ⇒ (x)β = [x]Tβ = (C[x]β ′ )T = (x)β ′ C T , ∀x ∈ Rn .
Suy ra
q(x) = (x)β A[x]β = (x)β ′ (C T AC)[x]β ′ = (x)β ′ A′ [x]β ′ .
Suy ra A và A′ tương đương với nhau và rankA = rankA′ .
352
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Example 2.1. Cho dạng toàn phương ba biến thực
q(x, y, z) = 3x2 +12xy −6xz +8y 2 −28yz −12z 2 , ∀(x, y, z) ∈ R3 .
a) Lập ma trận và biểu thức toạ độ của q trong cơ sở
β1 = {(1, 1, 0)(0, 1, 1)(1, 0, 1)};
b) Lập ma trận và biểu thức toạ độ của q trong cơ sở
β2 = {(1, 0, 0), (−2, 1, 0), (5, −2, 1)}.
353
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Example 2.1. Cho dạng toàn phương ba biến thực
q(x, y, z) = 3x2 +12xy −6xz +8y 2 −28yz −12z 2 , ∀(x, y, z) ∈ R3 .
a) Lập ma trận và biểu thức toạ độ của q trong cơ sở
β1 = {(1, 1, 0)(0, 1, 1)(1, 0, 1)};
b) Lập ma trận và biểu thức toạ độ của q trong cơ sở
β2 = {(1, 0, 0), (−2, 1, 0), (5, −2, 1)}.
Giải: Ma trận của q trong cơ sở chính tắc là
3
6
−3
A= 6
8
−14 .
−3 −14 −12
353
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Example 2.1. Cho dạng toàn phương ba biến thực
q(x, y, z) = 3x2 +12xy −6xz +8y 2 −28yz −12z 2 , ∀(x, y, z) ∈ R3 .
a) Lập ma trận và biểu thức toạ độ của q trong cơ sở
β1 = {(1, 1, 0)(0, 1, 1)(1, 0, 1)};
b) Lập ma trận và biểu thức toạ độ của q trong cơ sở
β2 = {(1, 0, 0), (−2, 1, 0), (5, −2, 1)}.
Giải: Ma trận của q trong cơ sở chính tắc là
3
6
−3
A= 6
8
−14 .
−3 −14 −12
353
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
a) Ma trận đổi cơ
sở từ cơ sở chính tắc sang β1 là
1 0 1
C1 = 1 1 0 . Do đó q có ma trận trong β1 là
0 1 1
1 0 1
3
6
−3
1 1 0
A1 = C1T AC1 = 0 1 1 6
8
−14 1 1 0
0 1 1
−3 −14 −12
1 0 1
19 −7 −8
= −7 −36 −23 .
−8 −23 −15
Suy ra với mỗi u ∈ R3 , u/β1 = (x1 , y1 , z1 ) biểu thức toạ độ của q
354
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
trong β1 là
q(u) = (u)β1 A1 [u]β1
x
19 −7 −8
1
= (x1 , y1 , z1 ) −7 −36 −23 y1
z1
−8 −23 −15
= 19x21 − 14x1 y1 − 16x1 z1 − 36y12 − 46y1 z1 − 15z12 .
355
Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
trong β1 là
q(u) = (u)β1 A1 [u]β1
x
19 −7 −8
1
= (x1 , y1 , z1 ) −7 −36 −23 y1
z1
−8 −23 −15
= 19x21 − 14x1 y1 − 16x1 z1 − 36y12 − 46y1 z1 − 15z12 .
b) Hoàn toàn tương tự ta có biểu thức toạ độ trong β2 là
q(u) = (u)β2 A2 [u]β2 = 3x22 − 4y22 + z22 .
355
